多元函数的偏导数与方向导数
偏导数与方向导数的存在关系
偏导数与方向导数的关系偏导数和方向导数都是微积分中重要的概念，它们的存在有着密切的关联。
首先，我们来看偏导数。
偏导数是指在多元函数中，对某一个自变量求导数，而将其他自变量视为常数的结果。
它反映了函数在该自变量方向上的变化率。
举个例子，对于函数f(x,y) = x^2 + 3xy，我们可以求出f关于x的偏导数为2x+3y，关于y的偏导数为3x。
这意味着在点(x0,y0)处，函数在x方向上的变化率为2x0+3y0，y方向上的变化率为3x0。
与偏导数相关的还有方向导数。
方向导数是指在多元函数中，在某个指定点上沿着某一方向的导数值。
与偏导数不同的是，方向导数需要在给定点和方向上求出方向向量，再将其归一化为单位向量。
方向导数代表了函数在某个方向上的变化率，因此是偏导数的延伸。
例如，对于函数f(x,y) = x^2 + 3xy，在点(1,2)处，沿着向量v = (1,1)的方向导数为5根号2。
那么，偏导数与方向导数有哪些关系呢？我们可以发现，偏导数可以作为方向导数的特例，也就是说，沿着坐标轴方向的方向导数就是偏导数。
此外，对于任何一个方向，方向导数都可以表示为该方向与各坐标轴方向的夹角余弦值的线性组合，也就是说，方向导数可以由各个偏导数表示。
具体来说，设函数f(x,y)在点(x0,y0)处具有偏导数fx和fy，v为方向向量，则f在点(x0,y0)处沿着方向v的方向导数为：Dvf(x0,y0) = fx * cosθx + fy * cosθy，其中θx和θy是方向向量v与坐标轴正方向的夹角。
综上所述，偏导数和方向导数在微积分中都有着重要的作用，二者之间存在着密切的关联，相互延伸。
掌握它们的概念、计算方法和应用场景，对于深入理解微积分和应用数学具有重要的指导意义。
方向导数存在与偏导数存在的关系
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多元函数的偏导数与方向导数的计算与应用
多元函数的偏导数与方向导数的计算与应用1. 多元函数的偏导数多元函数的偏导数是指在多元函数中，当只针对其中一个自变量进行微分时，其他自变量视为常数，从而得到的导数。
偏导数的计算是通过链式法则实现的。
偏导数的计算方法如下：- 对于函数 $f(x, y)$，求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 时，将 $y$ 视为常数，对 $x$ 进行求导。
- 对于函数 $f(x, y)$，求 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 时，将 $x$ 视为常数，对 $y$ 进行求导。
例如，对于函数 $f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2$，我们通过偏导数计算可以得到$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 2y$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y} = 2x + 2y$。
2. 多元函数的方向导数多元函数的方向导数表示函数在某一方向上的变化率。
方向导数的计算与偏导数类似，只是需要引入方向向量。
假设有一个函数 $f(x, y)$，在点 $(x_0, y_0)$ 处沿着方向 $\mathbf{v} = (v_1,v_2)$ 的方向导数可以通过以下公式计算：$$D_\mathbf{v} f(x_0, y_0) = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot v_1 +\frac{\partial f}{\partial y} \cdot v_2$$例如，对于函数 $f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2$ 在点 $(1, 2)$ 处沿着方向$\mathbf{v} = (2, -1)$ 的方向导数可以通过如下计算得到：$D_\mathbf{v} f(1, 2) = \frac{\partial f}{\partial x}(1, 2) \cdot 2 + \frac{\partialf}{\partial y}(1, 2) \cdot (-1)$3. 多元函数的偏导数与方向导数的应用多元函数的偏导数和方向导数在实际应用中具有广泛的意义，以下列举几个应用方面：- 线性近似：通过偏导数和方向导数可以进行线性近似，即将一个复杂的多元函数近似为一个线性函数，从而简化问题的求解过程。
方向导数和偏导数的存在关系
方向导数和偏导数的存在关系一、引言在微积分中，方向导数和偏导数是两个重要的概念。
它们都是用来描述函数在某一点上的变化率，但是在定义和计算方法上有所不同。
本文将深入探讨方向导数和偏导数的存在关系，从而更好地理解它们在数学和物理中的应用。
二、方向导数的定义方向导数是用来衡量函数在某一点上沿着某一给定方向的变化率。
对于二元函数f(x, y)，在点P(x0, y0)处沿着单位向量u=<a, b>的方向导数的定义如下：D_u f(x0, y0) = lim(h->0) [f(x0 + ah, y0 + bh) - f(x0, y0)] / h其中，a和b是单位向量u的分量。
三、偏导数的定义偏导数是用来衡量函数在某一点上沿着坐标轴方向的变化率。
对于二元函数f(x, y)，在点P(x0, y0)处关于x的偏导数定义如下：∂f/∂x(x0, y0) = lim(h->0) [f(x0 + h, y0) - f(x0, y0)] / h类似地，关于y的偏导数定义如下：∂f/∂y(x0, y0) = lim(h->0) [f(x0, y0 + h) - f(x0, y0)] / h四、方向导数与偏导数的关系方向导数和偏导数之间存在着一定的关系。
事实上，当单位向量u与坐标轴方向平行时，方向导数与偏导数是等价的。
具体来说，如果u=<1, 0>，则D_u f(x0, y0) = ∂f/∂x(x0, y0)如果u=<0, 1>，则D_u f(x0, y0) = ∂f/∂y(x0, y0)这是因为当u与坐标轴方向平行时，函数在该方向上的变化率就等于在该方向上的偏导数。
五、方向导数的计算方法方向导数的计算方法比较简单，可以通过求函数在给定方向上的导数来得到。
假设函数f(x, y)在点P(x0, y0)处可微分，且方向向量u=<a, b>是一个单位向量，则方向导数可以通过以下公式计算：D_u f(x0, y0) = ∇f(x0, y0) · u其中，∇f(x0, y0)是函数f(x, y)在点P(x0, y0)处的梯度向量。
多元函数的偏导数与方向导数
多元函数的偏导数与方向导数在多元函数中，偏导数和方向导数是两个重要的概念。
它们用于描述函数在不同方向上的变化率，对于理解函数的性质和优化问题都具有重要意义。
1. 偏导数首先，我们来了解多元函数的偏导数。
在一元函数中，导数表示函数在某一点上的变化率，而在多元函数中，偏导数表示函数在某一点上对于某个变量的变化率。
对于一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，其中xi代表第i个变量，偏导数∂f/∂xi表示在其他变量固定的情况下，函数f关于xi的变化率。
可以表示为以下式子：∂f/∂xi = lim(h->0) [f(x1, x2, ..., xi+h, ..., xn) - f(x1, x2, ..., xi, ..., xn)] / h 偏导数的计算方法与一元函数的导数类似，将其他变量视为常数，对于需要求导的变量进行求导操作即可。
2. 方向导数方向导数是多元函数在某一点上沿着某个方向的变化率。
在平面上，我们可以通过一个向量来表示一个方向，而在三维空间中，我们需要使用一个单位向量来表示方向。
对于一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，在某一点(x01, x02, ..., x0n)上，沿着一个方向<α1, α2, ..., αn>的方向导数可以表示为以下式子：Df(x0)[α] = ∂f/∂x1·α1 + ∂f/∂x2·α2 + ... + ∂f/∂xn·αn其中∂f/∂xi表示函数f对于xi的偏导数，αi表示方向向量<α1, α2, ..., αn>的第i个分量。
方向导数可以帮助我们确定函数在某一点上沿着不同方向的最大变化率，从而在优化问题中具有重要的应用。
3. 偏导数与方向导数的关系在多元函数中，偏导数是方向导数的特例。
当方向向量为单位向量<α1, α2, ...,αn>时，方向导数就是偏导数。
Df(x0)[α] = ∂f/∂x1·α1 + ∂f/∂x2·α2 + ... + ∂f/∂xn·αn当α为单位向量时，即α1^2 + α2^2 + ... + αn^2 = 1，方向导数可以表示为：Df(x0)[α] = ∂f/∂x1·α1 + ∂f/∂x2·α2 + ... + ∂f/∂xn·αn = ∂f/∂x1·cosθ1 +∂f/∂x2·cosθ2 + ... + ∂f/∂xn·cosθn其中θ1, θ2, ..., θn为方向向量与坐标轴的夹角。
多元函数的连续性,偏导数,方向导数及可微性之间的关系
多元函数的连续性,偏导数,方向导数及可微性之间的关
系
多元函数这些性质之间的关系是：可微分是最强的性质，即可微必然
可以推出偏导数存在，必然可以推出连续。
反之偏导数存在与连续之间是
不能相互推出的（没有直接关系），即连续多元函数偏导数可以不存在；
偏导数都存在多元函数也可以不连续。
偏导数连续强于函数可微分，是可
微分的充分不必要条件，相关例子可以在数学分析书籍中找到。
其中可微分的定义是：
以二元函数为例（n元类似）
扩展：可微分可以直观地理解为用线性函数逼近函数时的情况（一元
函数用一次函数即切线替代函数增量，二元函数可以看做是用平面来代替，更多元可以看做是超平面来的代替函数增量，当点P距离定点P0的距离
p趋于零时，函数增量与线性函数增量的差是自变量与定点差的高阶无穷
小（函数增量差距缩小的速度快与自变量P靠近P0的速度））。
偏导数与方向导数
偏导数与方向导数偏导数和方向导数是微积分中重要的概念，用于研究多变量函数的变化规律。
它们在各个学科领域中都有广泛的应用，如物理学、经济学、工程学等。
本文将详细介绍偏导数和方向导数的定义、计算方法以及实际应用。
一、偏导数偏导数是多元函数中对某一变量的导数，保持其他变量不变。
对于一个函数f(x1, x2, ..., xn)，我们可以对其中的任意一个变量进行求导，得到对应的偏导数。
用符号∂表示偏导数。
1.1 定义对于一个二元函数f(x, y)，它的偏导数可以表示为：∂f/∂x = lim(Δx→0)(f(x+Δx, y) –f(x,y))/Δx类似地，我们可以计算f(x, y)对y的偏导数：∂f/∂y = lim(Δy→0) (f(x, y+Δy) –f(x,y))/Δy1.2 计算方法偏导数的计算与求常导数类似，只需将其他变量视为常数。
对于高阶偏导数的计算，可逐个变量进行求导。
1.3 应用举例偏导数的应用非常广泛。
举几个例子：例1：经济学中的边际效应在经济学中，边际效应描述了某一变量的微小变化对整体效果的影响。
偏导数可以用来计算边际效应，帮助经济学家进行政策制定和预测。
例2：物理学中的速度与加速度在物理学中，速度和加速度是描述物体运动的重要概念。
对于复杂的多变量函数，通过求偏导数可以得到速度和加速度的具体数值。
二、方向导数方向导数可以理解为多元函数在给定方向上的变化率。
与偏导数类似，方向导数可以帮助我们理解函数在不同方向上的变化情况。
2.1 定义设函数f(x, y)在点P(x0, y0)处可微分，方向向量为u=(a, b)，则函数f(x, y)在P点沿u的方向导数为：∂f/∂u = ∂f/∂x * a + ∂f/∂y * b2.2 计算方法方向导数的计算需要使用向量运算。
可以根据给定的方向向量和偏导数，按照一定的公式计算得到方向导数。
2.3 应用举例方向导数的应用非常广泛，尤其在优化问题和最优化算法中常常用到。
多元函数中方向导数与偏导数的关系
多元函数中方向导数与偏导数的关系对于多元函数 $f(x,y)$，在 $(x_0,y_0)$ 处的方向导数$D_{\boldsymbol{u}}f(x_0,y_0)$ 是函数在该点沿任意方向$\boldsymbol{u}=(u_1,u_2)$ 的导数，其定义为：$$D_{\boldsymbol{u}}f(x_0,y_0) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+hu_1,y_0+hu_2)-f(x_0,y_0)}{h}$$。
由此可知，方向导数的计算需要指定一个方向向量$\boldsymbol{u}$。
如果我们考虑在坐标系的 $x$ 方向和 $y$ 方向分别取单位向量 $i$ 和 $j$ 作为方向向量，则可以得到以下两个方向导数：$$D_if(x_0,y_0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h} = \frac{\partial f}{\partialx}\bigg|_{(x_0,y_0)}$$。
$$D_jf(x_0,y_0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0,y_0+h)-f(x_0,y_0)}{h} = \frac{\partial f}{\partialy}\bigg|_{(x_0,y_0)}$$。
这两个方向导数分别对应于函数在$(x_0,y_0)$处沿$x$轴和$y$轴的导数，也就是函数的偏导数。
在一般情况下，方向导数和偏导数之间的关系如下：$$D_{\boldsymbol{u}}f(x_0,y_0) = \frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(x_0,y_0)}u_1+\frac{\partial f}{\partialy}\bigg|_{(x_0,y_0)}u_2$$。
也就是说，方向导数可以表示为偏导数的线性组合。
这个公式可以推广到更高维的情况下。
多元函数的偏导数与方向导数计算
多元函数的偏导数与方向导数计算在多元函数中，偏导数与方向导数是常用的求导工具，可以帮助我们研究函数在不同方向上的变化率和导数值。
本文将介绍计算多元函数的偏导数和方向导数的方法和公式，并通过实例进行说明。
一、多元函数的偏导数多元函数是指含有多个自变量的函数，其偏导数表示在各个自变量上的变化率。
1. 一阶偏导数对于二元函数 $z = f(x, y)$，其一阶偏导数表示对每个自变量的偏导数值。
分别记作 $\frac{{\partial z}}{{\partial x}}$ 和 $\frac{{\partial z}}{{\partial y}}$，计算方法如下：$$\frac{{\partial z}}{{\partial x}} = \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{{f(x + \Delta x, y) - f(x, y)}}{{\Delta x}}$$$$\frac{{\partial z}}{{\partial y}} = \lim_{{\Delta y \to 0}} \frac{{f(x, y + \Delta y) - f(x, y)}}{{\Delta y}}$$2. 高阶偏导数如果一阶偏导数存在，我们还可以继续求解二阶、三阶乃至更高阶的偏导数。
对于二阶偏导数，我们可以通过对一阶偏导数再次求导得到，记作 $\frac{{\partial^2 z}}{{\partial x^2}}$、$\frac{{\partial^2 z}}{{\partial x \partial y}}$ 和 $\frac{{\partial^2 z}}{{\partial y^2}}$。
计算方法如下：$$\frac{{\partial^2 z}}{{\partial x^2}} = \frac{{\partial}}{{\partial x}} \left(\frac{{\partial z}}{{\partial x}}\right)$$$$\frac{{\partial^2 z}}{{\partial x \partial y}} =\frac{{\partial}}{{\partial x}} \left(\frac{{\partial z}}{{\partial y}}\right)$$$$\frac{{\partial^2 z}}{{\partial y^2}} = \frac{{\partial}}{{\partial y}} \left(\frac{{\partial z}}{{\partial y}}\right)$$二、多元函数的方向导数方向导数表示函数在某个方向上的变化率，是由函数的梯度（gradient）来表示的。
偏导数与方向导数
偏导数与方向导数偏导数和方向导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点的变化率和方向性。
在本文中，我们将介绍偏导数和方向导数的定义、计算方法以及它们在实际问题中的应用。
一、偏导数的定义和计算方法偏导数是多元函数在某一点上对某个变量的偏导数。
对于一个函数f(x1, x2, ..., xn)，它的偏导数可以表示为∂f/∂xi，其中∂表示偏导数的符号，f表示函数，xi表示自变量。
偏导数的计算方法与一元函数的导数类似，只需将其他变量视为常数，对某个变量求导即可。
例如，对于函数f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，我们可以分别计算∂f/∂x和∂f/∂y。
计算∂f/∂x时，将y视为常数，对x求导，得到2x + 2y。
同理，计算∂f/∂y时，将x视为常数，对y求导，得到2x + 2y。
因此，函数f(x, y)的偏导数为∂f/∂x = 2x + 2y，∂f/∂y = 2x + 2y。
二、方向导数的定义和计算方法方向导数是多元函数在某一点上沿着某个方向的变化率。
对于一个函数f(x1, x2, ..., xn)，它的方向导数可以表示为∇f·u，其中∇f表示函数f的梯度，u表示方向向量。
方向导数的计算方法可以通过梯度向量和方向向量的点积来实现。
梯度向量∇f表示函数在某一点上的变化率最大的方向，它的计算方法为∇f = (∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn)。
例如，对于函数f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，在点(1, 2)处的方向导数可以表示为∇f(1, 2)·u，其中∇f(1, 2) = (4, 6)。
如果方向向量u为(1, 1)，则方向导数为(4, 6)·(1, 1) = 10。
这表示在点(1, 2)处沿着方向(1, 1)的变化率为10。
三、偏导数和方向导数的应用偏导数和方向导数在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 最优化问题：偏导数可以用于求解多元函数的最大值和最小值。
方向导数
x = x0 处求导数。因此，求二元函数的偏导数就变成了
求一元函数的导数。
●同理可叙述
f ( x, y )在 P0 ( x0 , y 0 )处关于y的偏导数
∆y → 0
′ ( x 0 , y 0 ) = lim f ( x0 , y0 + ∆y ) − f ( x0 , y0 ) fy
∆y
●可推广至n元函数在某一点的偏导数问题 ●若函数z
f ( x, y ) 就变成了变量t的一元函数g (t ) = f ( x0 + tv1 , y 0 + tv 2 )
且g (0) = f ( x0 , y0 )
若
dg dt
t =0
f ( x0 + tv1 , y 0 + tv 2 ) − f ( x0 , y 0 ) g (t ) − g (0) = lim = lim t →0 t →0 t t
在点(2,1)处的全微分
∂z yexy , = ∂x ∂z 2 =e , ) ∂x (2,1
∂z xexy = ∂y ∂z 2 = 2e ) ∂y (2,1
例2. 计算函数 解: du=
1 cos y + (2 2
的全微分
yz ) d y ze
内容小结
1. 微分定义:
∆z =
+o(ρ) ρ = (∆x)2 + (∆y)2
解:
=0 =0
在之前已说明过 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续! !
注意事项：
●对于一元函数来说
∂z 也可理解为“微商” ； 但对于二元函数而言， 或 ∂x ∂z 则只能看成整体记号，不能理解为商。 ∂y
●一元函数中，可导必定连续；但是对于二元函数
多元函数微分学
面,点P为切点.
定理3 曲面z f (x, y)在点P(x0, y0, f (x0, y0))存在 不平行于z轴的切平面的充要条件是函数 f 在点 P0(x0, y0)可微. 定理3说明若函数 f 在(x0, y0)可微, 则曲面z f (x, y) 在点P(x0, y0, z0)处的切平面方程为 z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ). 过切点P与切平面垂直的直线称为曲面在点P的 法线. 由切平面方程知道, 法线的方向数是
1
z f ( x, y )
S
S1
R2
P1
1
1
y y0 曲线P0 N z f ( x, y) x x0 曲线P0 R z f ( x, y)
P1 S1 P1 R2 R2 S1 z P1 R2 Q1 R1 dy y M 0
0
M ( x0 dx, y0 dy)
f x
x
tan
M0
偏导与连续的关系.
例 讨论函数
x 2 y 2 , xy 0 f ( x, y) , xy 0 1,
在(0,0)点的偏导数及连续性.
二、 可微性与全微分
定义 设函数 z = f (x, y)在点P0(x0, y0)的某邻域U (P0) 内有定义, 对于U (P0)中的点P(x, y) (x0 x, y0 y), 若函数 f 在P0处的全增量z可表示为: z f (x0 x, y0 y) f (x0, y0) Ax By o(), 其中A, B是仅与点P0有关的常数, (1)
d f |(x0, y0) fx(x0, y0)· fy(x0, y0)· dx dy.
多元函数的连续性偏导数方向导数及可微性之间的关系
多元函数的连续性偏导数方向导数及可微性之间的关系首先，我们来回顾一下这些概念的定义和性质：1.多元函数的连续性：设有一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，若对于任意给定的点(x1,x2, ..., xn)，当自变量的每一个分量变化时，函数值都趋于其中一个确定的数，则称此函数在点(x1, x2, ..., xn)连续。
多元函数在定义域内的每一个点处都连续时，称此函数在该定义域上连续。
2.多元函数的偏导数：设有一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，对于其中的其中一个自变量xi，在其他自变量固定的情况下，当xi取得一个微小的变化Δxi时，相应的函数值f(x1, x2, ..., xn)也会发生变化，偏导数是指函数值的这种变化相对于Δxi的比率的极限。
对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，xi的偏导数记作∂f/∂xi。
3.多元函数的方向导数：设有一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，对于函数上的其中一点(x1, x2, ..., xn)和以该点为起点的任意方向向量v=(v1, v2, ..., vn)，方向的导数是指函数在该点沿着方向v的变化率的极限，记作D_vf(x1,x2, ..., xn)。
4.多元函数的可微性：设有一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，若对于给定点(x1,x2, ..., xn)附近的一个小邻域内的任一点(x1+Δx1, x2+Δx2, ...,xn+Δxn)，都有一个线性函数L(x1+Δx1, x2+Δx2, ..., xn+Δxn)，使得当Δx1, Δx2, ..., Δxn趋于零时，有f(x1+Δx1, x2+Δx2, ...,xn+Δxn) = f(x1, x2, ..., xn) + L(x1+Δx1, x2+Δx2, ..., xn+Δxn) + o(Δxi)，则称此函数在点(x1, x2, ..., xn)处可微。
多元函数的偏导数、方向导数、梯度以及微分之间的关系思考
本篇文章，探讨下多元函数微分学下的一些知识点之间的关系。
包括全微分、偏导数、方向导数、梯度、全导数等内容。
初学这些知识的时候，学生会明显觉得这些概念不难掌握，而且定义及计算公式也很容易记住，但总觉得差那么点东西，说又不知道从何说起。
反正笔者是这种感觉。
其实最根本的原因是没有理清这些知识间的关系，对这些知识并没有本质的理解。
不妨现在就跟笔者一起再重新认识下它们，看看是否解开了你内心得些许疑惑。
一、导数和微分到底是什么，以及为什么会有这些概念关于导数和微分到底是个什么玩意，笔者在探讨一元函数微分的时候有清晰的描述，现在再复述一遍，如下：导数和微分其实就是数学家创造的两个代数工具，是为了从代数的角度来描述函数图像在几何上的变化。
说白了，就是每次描述函数图像变化，不用再画图了，有了这个，直接用算式算算就行了。
因此导数和微分也是沟通几何和代数的重要桥梁之一。
而导数描述的是函数在一点处的变化快慢的趋势，是一个变化的速率，微分描述的是函数从一点（移动一个无穷小量）到另一点的变化幅度，是一个变化的量。
我们知道在一元函数中，函数从一点到另一点的变化只有一个方向，就是沿着函数曲线移动就行了。
而且函数在某一点处的切线也只有一条，因此函数的变化快慢只由这个切线（的斜率）决定。
然而多元函数就不同了，多元函数往往是一个面，这也是为什么多元函数的微分学会多出那么多东西，催生那么多概念。
但是不要怕，其实多出的东西只是一元函数微分的拓展，本质都是一样的，不信请跟着笔者往下看，不难的，万变不离其宗。
我们来看图1。
现在跟着笔者，咱们一起像数学家一样来思考（其实学会从数学家的角度来思考问题，往往最能达到理解知识的本质的目的）。
描述函数的变化，一个是描述函数的变化快慢，一个是描述函数变化多少。
比如图1中，类似于一元函数的探讨，我想知道函数在A点变化的快慢趋势，以及从A点到B点变化的幅度是多少。
另外我们多元函数的图像还有一个有意思的问题，就是函数可以固定一个变量，让另一个变量来变化，那么这又是与一元函数的十分不同的变化了，其实这是一个变化维度的问题。
多元函数微积分初步
多元函数微积分初步微积分是数学的一门重要学科，包括单变量微积分和多变量微积分。
而多元函数微积分是其中的重要分支，掌握这门学科将有助于我们理解许多自然现象和实际问题。
一、向量和函数我们先来回顾一下向量和函数的定义。
向量是具有大小和方向的量，通常表示为箭头，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
函数是一种映射关系，将一个变量的取值映射到另一个变量的取值。
对于多元函数，一个变量可以对应多个取值。
对于$R^n$空间内的向量$\boldsymbol{a}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$和向量$\boldsymbol{b}=(b_1,b_2,\cdots,b_n)$，定义向量的加法为$$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots,a_n+b _n)$$同时，定义向量的数乘为$$k\boldsymbol{a}=(ka_1,ka_2,\cdots,ka_n)$$其中$k$为一个实数。
这些定义也可以推广到更一般的向量空间中。
而对于多元函数$f:D \subseteq R^n \rightarrow R$，我们可以将其表示为$$z=f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$$其中$D$表示定义域，$R$表示实数集合。
有时候也将向量$\boldsymbol{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$表示为$\boldsymbol{x} \in D$，$\boldsymbol{y}=f(\boldsymbol{x})$表示为函数在向量$\boldsymbol{x}$处的取值。
同理，我们也可以将定义域和值域扩展到复数域。
二、偏导数和方向导数在单变量函数的微积分中，我们知道了导数的概念，通过求解导数，我们可以得到函数在某一点的切线斜率，也就是函数变化的快慢。
同样，在多元函数的微积分中，我们也可以定义导数的概念。
但是，由于多元函数的变量数量增加，直接求导数并不容易，需要借助一些新的概念。
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例2 (2）求多元函数 ux2sinx(y)的高阶偏导数
解：输入命令
>> syms x y u %定义符号变量 >> u=x^2*sin(x*y);%给出函数 >> dx2=diff(u,x,2);%对x求2 阶偏导 >> dy2=diff(u,y,2);%对y求2 阶偏导 >> dxdy=diff(diff(u,x),y); %先对x求偏导， 再对y求偏导
f f f x y z
g g g
x hxy hyz h
z
作业
计算习题9.3.1第2、3、4题
谢谢！
g(t) f ( p0 tev ) f v ( p0) g'(0)
例2.用matlab求函数 ux2sinx(y)在点A(5,1)沿点A(5,1) 到点B(9,4)的方向上的方向导数
解：输入命令
>>A=[5,1 ];%给出点A >>B=[9,4 ];%给出点B >>L=sqrt(sum((B-A).^2));%求AB线段长 >>cosx=(B(1)-A(1))/L;%求方向向量的第一分量 >>cosy=(B(2)-A(2))/L; %求方向向量的第二分量 >>syms x y t%定义符号变量 >>g=(x+t*cosx)^2*sin((x+t*cosx)*(y+t*cosy));%定义关于 t的函数 >>dg_dl=diff(g,t);%对t求导数 >>b=subs(dg_dl,{x,y,t},{5,1,0});
结果：du_dl=(8*x*sin(x*y))/5 +x^2*cos(x*y)*((3*x)/5 + (4*y)/5) b =19.2765
高等数学-偏导数
高等数学-偏导数偏导数是多元函数微积分的重要概念，它是一个函数在某个点沿着某个方向的变化率。
通过偏导数可以研究多元函数的性质，求得最值点和方向导数等重要结果。
一、定义1.1 对于二元函数f(x,y)，在点(x0,y0)处，对x求偏导数定义为：可以理解为将y看做常数，对x进行求导。
二、求解方法偏导数的求解和一元函数的求导有些不同，需要注意以下几点：2.1 偏导数的计算只与所求变量有关，其它变量作为常数处理。
例如对于二元函数f(x,y)=xy+sin(x)其关于x的偏导数为：2.2 求偏导数时需要计算相应的极限，因此需要满足极限的存在。
例如对于二元函数f(x,y)=x^2y，f在(0,0)处的偏导数f‘ x和f ‘y均为0。
2.3 当函数存在二阶及以上的导数时，须注意求偏导数的顺序。
偏导数的计算顺序应当与求导阶数的顺序一致。
例如对于二元函数f(x,y)=xe^y+cosx，它的二阶偏导数f'' xy可以通过以下步骤求解：三、应用3.1 最值点在多元函数的优化问题中，最值点是非常重要的概念，偏导数可以帮助求解。
设f(x1,x2,...,xn)为多元函数，当它在点(x1 0,x2 0,..., xn 0)处取最大值或最小值时，称点(x1 0,x2 0,..., xn 0)为f的最值点。
最值点的判定定理为：例如对于二元函数f(x,y)=(x-1)^2+(y-2)^2+3，在点(1,2)处有f‘x=2(x-1)=0，f‘y=2(y-2)=0，因此点(1,2)为可能的最值点。
通过计算可以得到：f‘‘xx=2,f‘‘yy=2,f‘‘xy=0，从而确定点(1,2)为f的最小值点。
3.2 方向导数方向导数是多元函数微积分的重要概念，它表示函数在某一方向上的变化率。
在三维空间中，每一点存在无数个方向，因此方向导数具有方向性。
设f(x,y,z)为三元函数，点P(x0,y0,z0)处的单位向量为l，其方向导数定义为：3.3 泰勒公式泰勒公式是微积分中的重要定理，它可以将一个函数在某点处的导数展开成一系列项的和，进而研究函数的性质。
第八章 多元函数微分学
例. 设 z = f ( xy, yg ( x)) 其中函数 f 具有二阶连续 偏导数，函数 可导， 偏导数，函数g(x)可导，且在 可导 且在x=1处取得极值 处取得极值 ∂2 z g(1)=1,求 求 x =1, y =1 ∂x∂y 可导且在x=1处取极值所以 g ′(1) = 0 解:由g(x)可导且在 由 可导且在 处取极值所以
′′′ fx′′′ (x, y, z) = f yz x (x, y, z) = fz′′′y (x, y, z) yz x
= fx′′′ y (x, y, z) = f y′′′ (x, y, z) = f z′′′ (x, y, z) z xz yx
4. 微分
∆z = fx′(x, y) ∆x + f y′(x, y) ∆ y
答案： （ 考研题） 答案：B（2012考研题） 考研题
x2 y2 2 2 , x + y ≠0 3 证明: 例. 证明 f (x, y) = (x2 + y2 ) 2 0 , x2 + y2 = 0 在点(0,0) 处连续且偏导数存在 , 但不可微 . 在点 解: 利用 2xy ≤ x2 + y2 , 知 1 1 2 2 2 f (x, y) ≤ (x + y ) 4 ∴ lim f (x, y) = 0 = f (0, 0)
k −1
f ( x, y , z )
同乘以 t, 得
(tx) f1′(u, v, w) + (ty) f 2′(u, v, w) + (tz ) f 3′(u, v, w) = k ⋅ t k f ( x, y, z )
由条件f (tx, ty , tz ) = t k f ( x, y , z ), 及u = tx, v = ty , w = tz , 得
【微积分】导数,偏导数,方向导数与梯度
【微积分】导数,偏导数,方向导数与梯度1. 引言1.1 概述微积分是数学中一个重要的分支，研究的是变化与无限小量的关系。
在微积分中，导数、偏导数和梯度是最基础的概念之一。
它们能够描述函数在某一点上的变化率以及方向性，并且在许多科学和工程领域中都有广泛应用。
1.2 文章结构本文将围绕导数、偏导数、方向导数和梯度展开讨论。
首先介绍导数的定义、性质和计算方法，接着详细讲解偏导数及其与多元函数的关系以及计算方法。
然后深入探究方向导数的定义、意义以及如何计算方向导数。
最后，将介绍梯度的概念，并探讨其在微积分中的应用。
1.3 目的本文旨在全面介绍和阐述微积分中与导数、偏导数、方向导数以及梯度相关的知识。
通过对这些概念进行详细解析，读者可以加深对它们背后原理和运用方法的理解。
同时，希望能够激发读者对微积分更深层次的思考，并提供进一步学习和研究的方向建议。
2. 导数2.1 导数的定义导数是微积分中一个重要的概念，用来描述函数在某一点上的变化率。
在数学上，给定函数y=f(x)，如果它在点x处有定义且在该点附近存在极限，那么它在点x 处的导数可以表示为f'(x)或dy/dx。
导数可以理解为函数的瞬时变化率。
2.2 导数的性质导数具有以下几个基本性质：- 可加性：若f(x)和g(x)可导，则(f+g)(x)也可导，并且其导函数为(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)。
- 常数倍性：若f(x)可导，则对于任意实常数a，af(x)也可导，并且其导函数为(a*f)'(x)=af'(x)。
- 乘积法则：若f(x)和g(x)可导，则(f*g)(x)也可导，并且其导函数为(f*g)'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。
- 商法则：若f(x)和g(x)都可导且g(x)≠0，则(f/g)(x)也可导，并且其导函数为(f/g)'(x)=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/[g^2 (x)]。
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多元函数的偏导数与方向导数在数学中，多元函数是指有多个自变量的函数。
对于多元函数，我
们可以研究其导数和方向导数来揭示函数的性质和变化规律。
本文将
介绍多元函数的偏导数和方向导数的概念及其计算方法，并通过具体
的例子进行解析。
一、多元函数的偏导数
偏导数是多元函数在某一变量上的导数。
对于一个具有n个自变量
的函数f(x1, x2, ..., xn)，它的偏导数可以表示为∂f/∂xi（i=1, 2, ..., n），
表示在其他自变量保持不变的条件下，函数对第i个自变量的变化率。
注意，偏导数只关心某一变量的变化对函数的影响，而其他变量视为
常数。
计算多元函数的偏导数时，可以按照每个自变量单独求导的方式进行，即将其他自变量视为常数进行计算。
最终的偏导数结果是一个函数，而不是一个具体的数值。
例如，对于函数f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，我们可以计算出∂f/∂x = 2x + 2y，∂f/∂y = 2x + 2y。
二、方向导数
方向导数是多元函数在给定方向上的变化率。
对于一个具有n个自
变量的函数f(x1, x2, ..., xn)，在点(x0, y0, ..., zn)沿着向量u=(u1, u2, ..., un)的方向上的方向导数可以表示为∂f/∂u = ∇f · u，其中∇f表示函数f
的梯度（即所有偏导数的向量），u表示单位向量。
计算函数沿给定方向的方向导数时，首先需要计算函数的梯度∇f，然后再与给定方向向量u进行点乘，得到方向导数的值。
例如，对于函数f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，在点(1, 2)处沿着向量u=（2, 1）的方向上的方向导数可以表示为∂f(u)/∂u = ∇f(1, 2) · (2, 1) = 10。
三、应用实例
下面我们通过实例来进一步理解偏导数和方向导数在多元函数中的应用。
例1：考虑函数f(x, y) = x^3 + 3xy^2，求其在点(1, 2)处的偏导数和沿着向量u=(1, 2)的方向导数。
解：首先计算偏导数。
对于函数f(x, y) = x^3 + 3xy^2，我们有∂f/∂x = 3x^2 + 3y^2，∂f/∂y = 6xy。
在点(1, 2)处，代入坐标得到偏导数的具体值∂f/∂x = 3 + 12 = 15，∂f/∂y = 12。
接下来计算方向导数。
根据方向导数的定义，我们需要计算函数的梯度∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)。
代入偏导数的具体值，得到∇f = (15, 12)。
沿着给定的向量u=(1, 2)，计算方向导数的值∂f(u)/∂u = ∇f · u = (15,
12) · (1, 2) = 39。
通过以上计算，我们求得函数f(x, y) = x^3 + 3xy^2在点(1, 2)处的偏导数为∂f/∂x = 15，∂f/∂y = 12，并且沿着向量u=(1, 2)的方向上的方向导数为∂f(u)/∂u = 39。
结语
多元函数的偏导数和方向导数在数学和应用领域有着广泛的应用。
通过研究函数的导数和方向导数，我们能够了解函数的变化规律，揭示函数的性质，并为解决实际问题提供数学工具和方法。
掌握多元函数的偏导数和方向导数的概念和计算方法，对进一步学习和应用数学具有重要意义。