曲线与方程

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曲线与方程的关系

曲线与方程的关系

曲线与方程的关系
曲线与方程之间存在着密切的联系,它们不仅相互依存,而且彼
此又具有重要的数学意义。

首先,曲线是由一个函数表示的,而这个函数就是方程。

因此,
曲线和方程之间存在着直接的联系。

其次,通过求解该方程,可以得
到曲线的性质。

例如,如果曲线是抛物线,则可以根据抛物线的方程
来计算出它的顶点;如果曲线是椭圆,则可以通过椭圆方程来计算出
它的长轴和短轴等。

此外,曲线与方程还具有更为深刻的数学意义。

曲线和方程能够
反映物理和化学现象的发展趋势,并且可以使用数学工具对其进行解
析和研究。

更重要的是,曲线和方程也可以用于描述某些重要的场景,如关于经济学、生态学等的分析。

因此,曲线与方程之间有着密不可分的关系,而这种关系有着重
要的数学意义。

正是由于曲线和方程能够将复杂的物理世界变为易于
理解和推导的数学现象,它们才能够为人们在研究自然界现象中提供
强大的帮助。

曲线与方程

曲线与方程

曲线与方程一、曲线与方程的关系:一般地,在坐标平面内的一条曲线C 与一个二元方程(,)0F x y =之间, 如果具有以下两个关系:1.曲线C 上的点的坐标,都是 的解;2.以方程(,)0F x y =的解为坐标的点,都是 的点,那么,方程(,)0F x y =叫做这条曲线C 的方程;曲线C 叫做这个方程(,)0F x y =的曲线.二、求轨迹方程的常用方法有:直接法,定义法,待定系数法,参数法,相关点法(代入法),交轨法等.三、求曲线的方程的步骤:①建立适当的坐标系,用(,)M x y 表示曲线上的任意一点的坐标;②写出适合条件P 的点M 的集合{|()}P M p M =;③用坐标表示条件P ,列出方程(,)0f x y =;④将方程(,)0f x y =化为最简形式;⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.四、直线系 具有某种共同属性的一类直线的集合,称为直线系.它的方程称直线系方程.(1)共点直线系:过已知点 P (x 0 , y 0 ) 的直线系方程 y − y 0 = k (x − x 0 ) (k 为参数) (2)平行直线系:斜率为 k 的直线系方程 y = kx + b (b 是参数)与已知直线 Ax + By + C = 0 平行的直线系方程 Ax + By + λ = 0 (λ 为参数)(3)垂直直线系:与已知直线 Ax + By + C = 0 垂直的直线系方程Bx − Ay + λ = 0(λ 为参数)(4)过直线 l 1 :A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 与 l 2 :A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 的交点的直线系方程:A 1 x + B 1 y + C 1 + λ(A 2 x + B 2 y + C 2 ) = 0(λ 为参数),此直线系不含直线 l 2例1: “ 以方程 f(x, y) = 0 的解为坐标的点都在曲线 C 上” 是 “ 曲线 C 的方程是 f(x,y) = 0 ” 的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件下列方程各表示什么曲线?① 29y x -=② 0324222=++-+y x y x 0)9)(2(22=-+-+y x y x例2: 设圆 C : (x − 1)2 + y 2 = 1 ,过原点 O 作圆的任意弦,求所作弦的中点的轨迹方程.练习1:(直接法)已知线段AB 的长度为10,它的两个端点分别在x 轴,y 轴上滑动,求AB 的中点P 的轨迹方程。

曲线及其方程知识点总结

曲线及其方程知识点总结

曲线及其方程知识点总结一、直线的方程1. 斜率和截距法直线的方程可以用斜率和截距来表示。

直线的斜率是指直线上一点的纵坐标和横坐标的变化率,截距是指直线和y轴或x轴相交的坐标。

若直线的斜率为m,截距为b,则直线的方程可以表示为y=mx+b或者x=my+b。

2. 两点式直线的两点式表示了通过两个已知点的直线方程。

若已知直线上两点A(x1, y1)和B(x2,y2),则直线的方程可以表示为(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)。

3. 截距式直线的截距式表示了直线和坐标轴的截距关系。

若已知直线的x轴截距为a,y轴截距为b,则直线的方程可以表示为x/a+y/b=1。

二、曲线的方程1. 二次曲线二次曲线的一般方程可以表示为Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0。

其中A、B、C、D、E、F为常数。

二次曲线包括圆、椭圆、双曲线和抛物线等。

- 圆的方程圆的一般方程可以表示为(x-h)^2+(y-k)^2=r^2。

其中(h,k)表示圆心的坐标,r表示圆的半径。

- 椭圆的方程椭圆的一般方程可以表示为(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1。

其中(h,k)表示椭圆的中心坐标,a和b分别表示椭圆在x轴和y轴的半轴长。

- 双曲线的方程双曲线的一般方程可以表示为(x-h)^2/a^2-(y-k)^2/b^2=1。

或者(x-h)^2/a^2-(y-k)^2/b^2=-1。

其中(h,k)表示双曲线的中心坐标,a和b分别表示双曲线在x轴和y轴的半轴长。

- 抛物线的方程抛物线的一般方程可以表示为y=ax^2+bx+c或者x=ay^2+by+c。

其中a不等于0。

抛物线的开口方向取决于系数a的正负性。

2. 极坐标方程极坐标方程是一种表示曲线的方程,它使用极坐标系下的极径r和极角θ来表示曲线上任意一点的位置。

极坐标方程可以表示为r=f(θ),其中f(θ)为极坐标方程的极坐标函数。

三、参数方程参数方程是一种用参数的形式表示曲线的方程。

曲线与方程

曲线与方程

曲线与方程
曲线与方程是数学中常见的概念,它们之间有很多共同的地方,
但也有一些不同之处。

曲线是一种描述函数行为的几何图形。

它由一个或多个参数确定,通常是空间中的一条曲线,表示为x和y的函数,或者以极坐标系的
形式表示为ρ和θ的函数。

曲线的形状受参数的取值范围、参数的
关系以及参数的交互作用的影响。

方程,又称为函数方程,以数学表达式的形式表示多个变量之间
的关系,它是一种描述系统性质运动和事物变化规律的工具。

方程通
常用一个或多个未知量来表示,通过求解方程组可找到这些未知量的值,从而得出有关个系统的描述。

虽然曲线和方程都是数学概念,但它们不是一回事。

方程是一种
广义的概念,它可用于描述任何函数,而曲线只是一种特殊的函数,
也就是说,曲线也可以用方程来表示。

通常情况下,曲线是二维空间
上的图形,而方程是一种关系表达式,可以用来解释性地描述曲线。

总之,曲线和方程之间是有联系的,但它们是两个不同的概念,
曲线是用来描述函数行为的几何图形,而方程则是用数学表达式来描
述多个变量之间的关系。

曲线与方程

曲线与方程

点在曲线上的充要条件: 如果曲线C的方程是f(x,y)=0,那么点P0=(x0,y0). 在曲线C上的充要条件是f(x0,y0)=0.
曲线的点集与方程的解集之间的关系
点M与有序实数对(x,y),曲线C与方程 f(x,y)=0之间建立一一对应的关系。
点M 按某种运动规律 几何意义 曲线C
坐标(x,y)
曲线与方程
直线 抛物线
曲线与方程概念
一般地,在直角坐标系中,如果其曲线 c 上的点与一 个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点, 那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程 的曲线.
定义中为什么要作两条规定?从集合的角度来看: 一条曲线C和一个方程f(x,y)=0可以是同一个点 集在“形”和“数”两个不同方面的反映,只有 当曲线所表示的点集C与方程f(x,y)=0的解所表 示的点集F是同一个点集,即C=F时,才能称曲线 为方程的曲线,方程为曲线的方程,那么怎样验 证C=F呢?从以下两个方面:
1°曲线C上任一点的坐标都是方程f(x,y)=0的解. 2°以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上. (2)把点M1(3,-4)的坐标代入方程x2+y2=25,左右两 边相等,(3,-4)是方程的解,所以点M1在这个圆上; 把点M2(-2,2)的坐标代入方程x2+y2=25,左右两边不 等,(-2,2)不是方程的解,所以点M2不在这个圆上.
即点M1在线段AB的垂直平分线上 由(1)、(2)可知方程①是线段AB的垂直平分线的方程.
由上面的例子可以看出,求曲线(图形)的方程,一般 有下面几个步骤: (1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲 线上任意一点M的坐标; (2)写出适合条件P的点M的集合P={M|p(M)}; (3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0; (4)化方程f(x,y)=0为最简形式; (5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

曲线与方程

曲线与方程

曲线与方程在数学中,曲线和方程是紧密相关的概念。

曲线是定义在偏微分方程中的函数的曲繁的一个例子,而方程提供了一种用来描述曲线的有效方法。

曲线和方程之间的关系是复杂的,但它们之间的协作关系可以帮助我们了解和研究多种数学问题。

首先,我们需要了解曲线及其定义。

曲线可以定义为数学函数或图像,它可以以不同类型的函数和表示形式描述。

曲线的一般形式是一些列点,当连接起来时,就会形成曲线。

在数学中,曲线的特性受到多个函数参数的结合影响,而这些参数的变化也会影响曲线的形状。

接下来,我们讨论一下方程的概念。

方程为我们提供了一种表示数学函数的方法,它可以表示从简单的二次方程到更复杂的多项式方程。

其中,二元一次方程和二次方程是最常用的方程形式,它们在很多概念中展示出明显的特点,例如空间几何、椭圆几何等。

曲线和方程之间的关系是一个多层次的问题。

对于任意一个曲线,都可以找到一个能够反映它的数学方程,并且可以通过方程来描述曲线的特性。

与此同时,不同的曲线也可以用等效的方程表示,例如,椭圆可以用二次方程或双曲线方程表示。

此外,曲线的性质也受到变量的类型和特性的影响,特别是物理和数学上的变量。

例如,一个曲线的性质受到势函数的影响,因此,即使两个曲线有着相同的方程,在特定的情况下也会有所不同。

这就是曲线和方程之间复杂的关系,在研究时涉及到多种变量。

另外,曲线和方程之间的关系也可以应用到工程和计算机科学中。

例如,在计算机图形学中,可以用曲线和方程来描绘出不同的几何形状,并使用方程来检测视觉上有趣的特征。

在机械设计中,也可以使用曲线和方程来设计出更加完美的几何形状。

总之,曲线和方程之间的关系是复杂的,它们之间共同依赖于变量特性,并可以应用到许多不同的科学领域中。

因此,我们需要充分理解它们之间的复杂关系,从而了解和研究更多的数学问题。

曲线和方程知识要点

曲线和方程知识要点

曲线和方程的概念【知识要点】定义 一般地,如果曲线C 与方程0),(=y x F 之间有以下两个关系:(1)曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x F 的解;(2)以方程0),(=y x F 的解为坐标的点都在曲线C 上. 我们就把0),(=y x F 叫做曲线C 的方程,曲线C 叫做方程0),(=y x F 的曲线.注意:要建立曲线与方程间的对应关系,仅有条件“曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x F 的解”是不够的,因为可能有满足方程0),(=y x F 的点不在曲线C 上;仅有条件“以方程0),(=y x F 的解为坐标的点都在曲线C 上”也是不够的,因为曲线C 上可能有不满足方程0),(=y x F 的点.只有同时具备这两个条件时,才能说方程0),(=y x F 是曲线C 的方程,曲线C 是方程0),(=y x F 的曲线.求曲线的方程【知识要点】1 求曲线的方程的步骤:①建立适当的直角坐标系(如果已给出,本步骤省略).②设曲线上任意一点的坐标为),(y x ,写出已知点的坐标,设出相关点的坐标.③根据曲线上点所适合的条件,写出等式.④用坐标表示这个等式(方程),并化简.⑤证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(在本教材不作要求).(6)检验,该说明的要说明.2 求曲线方程的常用方法:定义法、直接法、代入法、参数法等.(1)定义法:根据题意可以得出或推出动点的轨迹是直线或圆或椭圆或双曲线或抛物线.根据所学知识可以写出或求出轨迹方程.若方程形式知道,往往用待定系数法求.(2)直接法:根据题设条件直接写出动点的坐标),(y x 所满足的关系式,即方程0),(=y x F .(3)相关点法(代入法):是所求轨迹上的动点),(y x P 随着另一个已知曲线上的动点),(11y x M 的运动而运动时,一般用代入法求动点P 的轨迹方程.其方法是根据题设条件求得两动点坐标),(y x 与),(11y x 之间的关系式,从中解出),(),,(11y x g y y x f x ==,由于),(11y x M 在已知曲线上,故),(11y x M 满足已知曲线方程,将11,y x 的表达式代入已知曲线方程,从而求得动点P 的轨迹方程.(4)参数法:根据题意得出动点P 的坐标y x ,用其他点的坐标或长度、角、斜率、时间等参数来表示.常用到的公式有两点间的距离公式、中点坐标公式、斜率公式、夹角公式、点到直线的距离公式.曲线的交点【知识要点】1 要求两条曲线的交点的坐标,只需解由这两条曲线的方程所组成的方程组.如果方程组没有实数解,那么这两个方程的曲线就没有交点.反过来,曲线有没有交点也可用来说明方程组有没有实数解.即可用几何图形的性质说明代数方程(组)有没有实数解.2 一般地,斜率为k 的直线b kx y l +=:与曲线C 相交于两点),(),,(2211y x B y x A ,则 ]4))[(1())(1()()(2122122212221221x x x x k x x k y y x x AB -++=-+=-+-=. 或]4))[(11())(11(2122122212y y y y k y y k AB -++=-+=.。

曲线与方程

曲线与方程

(1)根据已知条件,求出表示平面曲线的方程
(2)通过方程,研究平面曲线的性质。
课堂新授
例1.点M与两条互相垂直的直线的距离的
积是常数k(k>0),求点M的轨迹方程。
解:取已知的两条互相垂直的直线 为坐标轴,建立坐标系如右 设点M的坐标为(x,y),点M的轨 迹就是与坐标轴距离的积等于常数 k的点的集合 P={M||MR|.|MQ|=k} 其中 Q,R分别是点M到x轴、y轴的垂线的垂足。 因为|MR|=|x|,|MQ|=|y|, 所以|x|.|y|=k
作业:P,-1)
x
即 (x 1) ( y 1) ( x 3) ( y 7)
2 2 2
2
将上式两边平方,整理得 x+2y-7=0 (证明略)
课堂小结
求曲线的方程的一般步骤:
设(建系设点) 列(列方程) --- M(x,y) 写(写等量关系) --- P={M|M满足的条件}
曲线和方程
1.曲线和方程
课堂新授
1.曲线的方程和方程的曲线的概念
y
X-y=0
M(x ,y )
0 0
y
y ax2 (a 0)
M(x ,y )
0 0
o
x
o
x
课堂新授
曲线的方程与方程的曲线: 1.曲线上的点的坐标都是这个方程的解 2.以这个方程的解为坐标的点都是曲线
上的点。 这个方程叫做这个曲线的方程
•3.已知M(1,0),N(-1,0),若 x2+y2=1(x≠±1) 则动点p的轨迹方程为:______________
课堂小结
求曲线的方程的一般步骤: 1.建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示 曲线上任意一点M的坐标;(建系设点) 2.写出适合条件p的点M的集合;(找等量关系) 3.用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0; (列方程) 4.化简方程f(x,y)=0; 5.证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线 上的点。 (一般情况下可省略)

曲线与方程

曲线与方程

曲线与方程知识要点一、曲线方程的定义:在直角坐标系中,如果某曲线C 上的点与一个二元方程(,)0f x y =的实数解建立了如下关系:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么,这个方程叫曲线方程;这条曲线叫方程的曲线。

若曲线C 的方程是(,)0f x y =,则点000(,)P x y 在曲线C 上的充要条件是:00(,)0f x y =理解:(1)“曲线上的点集”与“方程的解集”一一对应;(2)曲线可以看成一个点集C ,一个二元方程的解为坐标的点也组成一个点集F ,在定义中:条件(1)⇔C F ≤,条件(2)⇔F C ≤,综合(1)(2)即得C F =。

二、点与曲线的关系:(1点000(,)P x y 既在曲线C 1:(,)0f x y =上,又在曲线C 2:(,)0g x y =上的充要条件是点P 的坐标是方程组(,)0(,)0f x y g x y =⎧⎨=⎩的解。

(2)若点P 既在曲线C 1:(,)0f x y =上又在曲线C 2:(,)0g x y =上,则点P 与曲线3:(,)(,)0C f x y g x y λ+= (R λ∈)的关系是3P C ∈(曲线系方程)例、若曲线1C 的方程是()1,0f x y =,曲线2C 的方程是()2,0f x y =,若1C 与2C 有且仅有点12,P P 两个公共点,则曲线C :()()12,,0f x y f x y λ+=与曲线2C 的公共点( )A .只有一个点1P ;B .只有一个点2P ;C .只有1P ,2P 两个点;D .除了1P ,2P 两个点外,还有其它公共点。

三、坐标法(1)定义:借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法。

(2)解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科。

平面解析几何研究的主要问题是:①根据已 知条件,求出表示平面曲线的方程;②通过方程,研究平面曲线的性质。

曲线与方程 课件(共35张PPT)

曲线与方程  课件(共35张PPT)
曲线与方程
最新考纲展示
1.了解方程的曲线与 曲线的方程的对应关系.
2.了解解析几何的基本 思想和利用坐标法研究几 何问题的基本方法.
3.能够根据所给条件选 择适当的方法求曲线的轨 迹方程.
一、曲线与方程的定义 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方
程f(x,y)=0的实数解建立如下的对应关系:
(2)证明:设 E(xE,yE),F(xF,yF),依题意,
y=k1x+3,
由y92+x2=1
⇒(k21+9)x2+6k1x=0,①
解得 x=0 或 x=-k216+k19. 所以 xE=-k216+k19,yE=k1-k216+k19+3=2k721-+39k21, ∴E-k126+k19,2k721-+39k21. ∵k1k2=-9,∴k2=-k91.用 k2=-k91替代①中的 k1, 同理可得 Fk126+k19,3kk2121- +297. 显然 E,F 关于原点对称,∴直接 EF 必过原点 O.
曲线的交点问题(师生共研)
例 2 (2015 年南京模拟)设 0<θ<π2,曲线 x2sin θ+y2cos θ=1 和 x2cos θ-y2sin θ=1 有 4 个不同的交点.
(1)求θ的取值范围; (2)证明:这4个点共圆,并求圆的半径的取值范围.
解 析 (1) 两 曲 线 的 交 点 坐 标 (x , y) 满 足 方 程 组 x2sin θ+y2cos θ=1, x2=sin θ+cos θ, x2cos θ-y2sin θ=1, 即y2=cos θ-sin θ.
D.以上答案都不对
(2)(2015年广州模拟)下列说法正确的是( )
A.△ABC中,已知A(1,1),B(4,1),C(2,3),则AB边上的高的方

高二数学曲线与方程知识点

高二数学曲线与方程知识点

高二数学曲线与方程知识点在高二数学课程中,曲线与方程是重要的知识点之一,涉及到的内容较为广泛。

本文将介绍高二数学曲线与方程的相关概念、性质以及解题技巧。

一、直线的方程直线是最简单的曲线,其方程由一次函数表示。

一次函数的一般形式为y = kx + b,其中k为直线的斜率,b为直线在y轴上的截距。

根据直线上的两点可以确定直线的斜率和截距,从而确定直线的方程。

二、二次曲线的方程1. 抛物线抛物线是二次曲线的一种特殊形式,其方程通常表示为y = ax^2 + bx + c。

其中,a决定了抛物线的开口方向和形状,正值为向上开口,负值为向下开口;b和c是常数,分别表示抛物线在x 轴和y轴上的截距。

2. 圆的方程圆是二次曲线的另一种形式,其方程通常表示为(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2。

其中,(h, k)表示圆心的坐标,r表示圆的半径。

通过圆心和半径的信息,我们可以确定圆的方程。

三、三角函数的图像三角函数是一类周期性的函数,包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

它们的图像具有一定的规律性。

以正弦函数为例,y = A·sin(Bx + C) + D,其中A、B、C、D为常数。

根据这些常数的取值,可以确定正弦函数图像上的特征,如振幅、周期、相位等。

四、指数函数与对数函数的图像指数函数和对数函数也是高二数学中重要的曲线类型。

指数函数的一般形式为y = a^x,其中a>0且a≠1,它的图像随着自变量x 的增大或减小而增大或减小。

对数函数是指数函数的反函数,其一般形式为y = log_a(x),其中a>0且a≠1,它的图像为直线y = log_a(x)。

五、曲线的平移、伸缩和翻转曲线的平移、伸缩和翻转是曲线变换的基本操作。

平移是指曲线沿x轴或y轴方向移动;伸缩是指曲线在x轴或y轴方向上的拉伸或压缩;翻转是指曲线关于x轴或y轴进行翻转。

通过对曲线进行这些变换,可以得到新的曲线方程。

曲线与方程

曲线与方程

曲线与方程
曲线和方程也被称为“曲线和方程学”,它是一门基础数学学科,也是工程学科和计算机科学学科中重要的概念,其所涉及的概念与数学有关,特别是几何学中的概念。

本篇文章将以“曲线与方程”为核心,讨论它们之间的关系,以及它们在实际应用中的重要性。

首先,“曲线”是自然界中最常见的几何概念之一,它有很多种形状,例如抛物线、椭圆形、圆形等。

曲线可以表示为一系列的点,它们之间的关系也可以用数学表示,因此可以说曲线是由数学表达来描述的。

“方程”是描述数学问题的公式,它可以用于求解数学中的问题,并且在实际应用中也可以通过方程计算问题的结果。

例如,一元二次方程可以用于求解两个未知数之间的关系,而二次多项式方程可以用于表示某种函数关系。

曲线与方程之间的关系是极为密切的,实际上,曲线可以用一元二次函数方程表示,而方程又可以用曲线来描述。

例如,二次多项式方程可以表示成一条二次曲线,而二次曲线又可以用相应的多项式方程来表示。

由此可见,曲线和方程之间的关系是极为密切的,因此,从理论上讲,曲线和方程可以互相转换。

曲线和方程在实际应用中也具有非常重要的意义,比如它们可以用来分析所求解问题的性质,以及对求解结果的分析,此外,它们在物理学中也有着重要的应用,比如在力学中可以使用它们来描述运动轨迹,在流体力学中可以用它们来描述流体流动等。

总之,曲线和方
程在实际应用中都有着重要的意义,因此,理解这两个概念对于学习数学以及更多的科学和工程学科都是十分重要的。

由上文可以看出,“曲线与方程”是一个重要的数学概念,它们之间存在着密切的关系,同时,它们在实际应用中也有着重要的作用。

因此,学习和理解曲线和方程也是学习数学和其他学科的基础。

曲线与方程知识点总结

曲线与方程知识点总结

曲线与方程知识点总结一、直线的方程1. 斜截式方程直线的斜率k为非零常数,截距b为任意实数,直线方程可表示为:y = kx + b2. 截距式方程过点A(a,b)且与x轴、y轴交点分别为A,B的直线方程为:\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 13. 两点式方程经过两点A(x1,y1)和B(x2,y2)的直线方程为:\frac{y-y1}{y2-y1} = \frac{x-x1}{x2-x1}4. 四个参数式方程经过点A(x1,y1)且斜率为k的直线方程为:(y-y1) = k(x-x1)5. 我国教科书通常在中学阶段只讲解前三种方程的形式,但四个参数式方程在高等数学的微积分、解析几何等课程中非常常见。

6. 平面直角直线方程通常可写为y = kx + b,其中k为直线的斜率,b为截距。

二、曲线的方程1. 平面曲线方程:对于任一平面曲线,通常可以写成y=f(x)的形式。

其中,f(x)是x的函数,描述了y与x 的关系。

2. 参数式方程:有时,平面曲线不方便用y=f(x)的形式描述,而可以使用参数式方程。

参数式方程是一对函数x(t),y(t)关于参数t的表达式。

3. 极坐标方程:在极坐标系中,平面曲线可以写成r=f(θ)的形式。

其中,r是极径,θ是极角。

三、曲线的性质1. 曲线的对称性:关于x轴对称、y轴对称、原点对称、关于直线y=x对称等。

2. 曲线的周期性:函数f(x)具有周期T的性质,如果满足f(x+T) = f(x)。

曲线在点(x,f(x))和点(x+T,f(x))上有相同的函数值。

3. 曲线的单调性:函数f(x)在区间I上单调递增或单调递减。

4. 曲线的凹凸性:函数f(x)在区间I上凹函数或凸函数。

5. 曲线的渐近线:直线y=kx+b与曲线f(x)有以下情形:a) f(x)在正无穷大的地方与y=kx+b趋近同一数值。

b) f(x)在正无穷大的地方与y=kx+b趋近无穷大。

c) f(x)在正无穷大的地方与y=kx+b有交点但同时趋于正无穷大和负无穷大。

8.5 曲线与方程

8.5  曲线与方程

2.平面解析几何研究的两个主要问题 2.平面解析几何研究的两个主要问题 (1)根据已知条件,求出表示曲线的方程; 根据已知条件,求出表示曲线的方程; (2)通过曲线的方程研究曲线的性质. 通过曲线的方程研究曲线的性质. 3.求曲线方程的一般方法(五步法) 3.求曲线方程的一般方法(五步法) 求曲线方程的一般方法 求曲线(图形)的方程,一般有下面几个步骤: 求曲线(图形)的方程,一般有下面几个步骤: (1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示 建立适当的坐标系,用有序实数对( 曲线上任意一点M的坐标; 曲线上任意一点M的坐标; (2)写出适合条件p的点M的集合P={M|p(M)}; 写出适合条件p的点M的集合P={M (3)用坐标表示条件p(M),列出方程 用坐标表示条件p ),列出方程 f(x,y)=0; )=0; (4)化方程f(x,y)=0为最简形式; 化方程f )=0为最简形式; 为最简形式 (5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线 上的点. 上的点.
4.两曲线的交点 4.两曲线的交点 (1)由曲线方程的定义可知,两条曲线交点的 由曲线方程的定义可知, 坐标应该是两个曲线方程的 , 公共实数解 即两个 曲线方程组成的方程组的实数解;反过来, 曲线方程组成的方程组的实数解;反过来,方 程组有几组解,两条曲线就有几个交点,方程 程组有几组解,两条曲线就有几个交点, 两条曲线就没有交点. 组 没有实数解 ,两条曲线就没有交点. (2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程 所组成的方程组有实数解.可见, 所组成的方程组有实数解.可见,求曲线的交点 问题, 问题,就是求由它们的方程所组成的方程组的 实数解问题. 实数解问题.
a 焦距为|BC|= |=a 实半轴长为 ,焦距为|BC|=a. 4 ∴虚半轴长为 ( a ) 2 − ( a ) 2 = 3 a ,由双曲线标准 2 2 4 4 2 方程得 16 x − 16 y2 = 1 y≠0)的右支. ( ≠0)的右支. 2 a 3a 2 16x 16y2 答案 − 2 =1 2 a 3a

曲线和方程

曲线和方程

曲线和方程【知识要点】1.曲线与方程的关系如果曲线C 上的点与一个二元方程0),(=y x F .建立如下关系:①曲线C 的点的坐标都是方程0),(=y x F 的解;②以方程0),(=y x F 的解为坐标的点都是曲线C 上的点.那么方程0),(=y x F 叫做曲线C 的方程,曲线C 叫做方程0),(=y x F 的曲线.2.求曲线方程的步骤求曲线方程的基本步骤,用直接法求曲线方程要重点掌握五个步骤.①建立适当的直角坐标系,设y x m 2为曲线上的任意一点;②写出适合条件P 的点M 的集合{})(m P M P =③用坐标表示条件)(m P ,列出方程0),(=y x F④化方程0),(=y x F 为最简形式⑤证明比化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.注意:通常第②步可省略,如果化简过程为同解变形,第⑤步也可省略.如果第②步到第③步不是等价关系,或者第④步的变形不是同解变形,就必须检查轨迹是否完备,是否纯粹,即补漏和去伪.3.已知曲线求方程,已知方程画曲线是解析几何的核心内容.已知曲线求方程实质就是求轨迹方程,其议程有直接法、代入法、定义法、等数法. 已知方程画曲线,就是用方法,研究方程的性质(y x ,的取值范围,对称性等)然后根据性质及一些基本函数(方程)的图象作出曲线.4.关于曲线的交点(1)由曲线方程的定义可知,两曲线的交点坐标,就是两曲线的方程所构成的方程组的公共解,于是,求曲线交点坐标的问题,就转化为解二元方程组的问题.确定两曲线交点个数的问题,就转化为讨论方程的解的组数的问题.这类问题的解法,充分体现了解析几何利用代数方法解决几何问题的思想.(2)直线与二次曲线的交点:一般通过建立二方程得到关于x 或关于y 的一元二次方程的判别式来判断,当0>∆时,有两个交点,当0<∆时,无交点,当0=∆时有一个交点.(这时称直线与二次曲线相切)5.求含参数的轧迹方程,当参数在一定范围内变化时,曲线的开关亦发生改变,在高考中将求轧迹方程与分类讨论综合在一起,是常考内容之一.【经典练习】例1.判断每个图下面的方程是否为图中曲线的方程( ).例2.过定点),(b a A 任作互相垂直的两直线21l l 与,且1l 与x 轴交于M 点,2l 与y 轴交于N 点,求线段MN 中点P 的轧迹方程.例3.画出方程))(log (log 2log log )1()1()1()1(x x x x y y y y -+-+=+所表示的曲线.例4.与圆1)2(22=--y x 外切,且与y 轴相切的动圆圆心P 的轨迹方程为 .例5.已知方程x y kc y 422=+=和当k 为何值时,两曲线有且只有一个交点.122=+y x A022=-y x Bx y = CD【作业】1.已知直线023)2(:,062:21=++-=++a ay x a l y a x l .求当a 为何值时,21l l 与相交、平行、重合.2.已知直线l 与点A (3,3)和B (5,2)的距离相等,且过二直线023:1=--y x l 和03:2=-+y x l 的交点,求直线l 的方程.3.直线l 过点(1,0),且被两平行直线033063=++=-+y x y x 和所截得的线段长为9.求直线l 的方程.4.在直线42:=-y x l 上求一点P ,使它与两定点A (4,-1),B (3,4)的距离之差最大.。

2.6.1曲线与方程

2.6.1曲线与方程
2 2
所以该点在这个圆上 。
例2: 已知一座圆拱桥的跨度是36m,圆拱高为6m, 以圆拱所对的弦AB所在的直线为x轴,AB的垂直 平分线为y轴,建立平面直角坐标系xOy,求圆拱的方程.
分层训练:
必做题:P55 练习3,4,5. P56 习题 1、2 选做题: 线的性质,我们建立了 直线的方程,圆的方程及圆锥曲线的方程, 那么,对于一般的曲线 曲线的含义是什么?如何建立曲线的方程?
§ . 6 曲线与方程 2
§ . 6. 1 曲线与方程 2
学习目标:
(1)了解曲线方程的概念. (2)能根据曲线方程的概念解决一些简单问题。
自学指导:
两层含义:
1曲线上点的坐标都是这 个方程的解;
2以这个方程的解为坐标的点都在曲线上.
曲线方程是 f x, y 0也可以说成曲线f x, y 0 .
例1 : 判断点(2, 3 ),3,)是否 2 ( 1 在圆x y 16上.
2 2
解 : 因为2 2 (2 3 ) 2 4 12 16, 即点(2,2 3 )的坐标 是圆的方程x y 16的解,
1.命题“以C(a,b)为圆心,r为半径的圆
的方程是 ( x a)2 ( y b)2 r 2 ” ,包含了哪两 层含义? 2.曲线方程的概念中包含哪两层含义? 3.如何判定点是否在曲线上?
自学检测:P55 练习 1,2
“以C(a,b)为圆心,r为半径的圆 的方程 是 ( x a)2 ( y b)2 r 2 ” , 这句话的含义是:
1、圆C上的点的坐标(x,y)都是方程 ( x a)2 ( y b)2 r 2 的解,
( x a)2 ( y b)2 r 2 的解为坐标 2、且以方程

曲线的方程与方程的曲线-课件

曲线的方程与方程的曲线-课件

5.一般地:在直角坐标系中,如果某曲线C上的点与 一个二元方程f(x,y)=0的实数解之间建立了如下的关系: ①曲线上点的坐标都是这个方程的解;②以这个方程的解 为坐标的点都是曲线上的点,那么,这个方程叫做 ______________;这条曲线叫做________.
例:画出方程y=-x2(x≥0)的曲线.
解析:(1)∵12+(-2-1)2=10,
( 2)2+(3-1)2=6≠10.
∴点P(1,-2)在方程x2+(y-1)2=10表示的曲线上,
点Q( 2 ,3)不在方程x2+(y-1)2=10表示的曲线上.
(2)∵点 Mm2 ,-m在方程 x2+(y-1)2=10 表示的曲线上.
∴x=m2 ,y=-m 适合方程 x2+(y-1)2=10.

11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/3/32021/3/32021/3/3M ar-213- Mar-21

12、越是无能的人,越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/3/32021/3/32021/3/3Wednesday, March 03, 2021

13、知人者智,自知者明。胜人者有 力,自 胜者强 。2021/3/32021/3/32021/3/32021/3/33/3/2021
程x2+y2=25(x≤0)所表示的曲线上.
答案:(1)不正确 (2)不正确 (3)不正确
一、选择填空题
1.下列命题正确的是( D )
A.方程x-y 2=1 表示斜率为 1,在 y 轴上的截距为-2 的直线方程
B.△ABC 的三个顶点坐标为 A(-3,0)、B(3,0)、C(0,3), 则中线 CO(O 为坐标原点)的方程是 x=0
C.到 y 轴距离为 2 的轨迹方程为 x=2 D.方程 y= x2+2x+1表示两条射线

曲线与方程 课件

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所以|x0|·|y0|=k, 即(x0,y0)是方程 xy=±k 的解.
②设点 M1 的坐标(x1,y1)是方程 xy=±k 的解, 则 x1y1=±k,即|x1|·|y1|=k.
而|x1|,|y1|正是点 M1 到纵轴、横轴的距离,因此点 M1 到这 两条直线的距离的积是常数 k,点 M1 是曲线上的点. 由①②可知,xy=±k 是与两条坐标轴的距离的积为常数 k(k>0)的点的轨迹方程.
结论:一般地,在直角坐标系中,如果某曲线 C 上的点与 一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么,这 个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线.
问题 4 曲线的方程与方程的曲线有什么区别? 答案 曲线的方程与方程的曲线是两个不同的概念, “曲线的方程”强调的是图形所满足的数量关系;而 “方程的曲线”强调的是数量关系所表示的图形.两者 通过曲线上的点的坐标建立起一一对应关系,使方程成 为曲线(几何图形)的代数表示,从而将研究曲线的性质转 化到讨论相应方程的问题上.
(3)中,类似(1)(2)得出不符合“曲线上的点的坐标都是方程 的解”,“以方程的解为坐标的点都在曲线上”.事实上, (1)(2)(3)中各方程表示的曲线应该是下图的三种情况:
Hale Waihona Puke 小结 判断方程表示什么曲线,必要时要对方程适当变形, 变形过程中一定要注意与原方程等价,否则变形后的方程 表示的曲线就不是原方程的曲线.
答案 不对
问题 3 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么?为 什么? 答案 y=±x 理由:在直角坐标系中,到两坐标轴距离相等的点 M 的坐 标(x0,y0)满足 y0=x0 或 y0=-x0;即(x0,y0)是方程 y=±x 的解;反之,如果(x0,y0)是方程 y=x 或 y=-x 的解,那 么以(x0,y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等.
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曲线与方程
本节内容
一、曲线与方程
一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C (看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程(),0f x y =的实数解建立了如下关系:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线的点.那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线.
二、解析几何
建立直角坐标系,用坐标表示点,把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹,用曲线上点的坐标(),x y 所满足的方程(),0f x y =表示曲线,通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这个方法叫做坐标法.数学中,用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何.解析几何研究的主要问题是:(1)根据已知条件,求出表示曲线的方程;(2)通过曲线的方程,研究曲线的性质.
三、求曲线的方程
第一步:建立适当的直角坐标系,用(),x y 表示曲线上任意一点P 的坐标;
第二步:写出满足条件的点P 的集合,用坐标表示该条件,写出方程(),0f x y =;
第三步:化简方程(等价变形),并验证.
四、求动点轨迹方程的方法
(1)直接法
直接根据条件建立动点(),P x y 满足的方程(),0f x y =.
(2)定义法
若动点轨迹满足已知曲线的定义,可先设定方程,再确定其中的基本量.
(3)待定系数法
根据条件能知道曲线方程的类型,可设出其方程形式,再根据条件确定待定系数.
(4)代入法(相关点法)
动点(),P x y 满足的条件不便用等式列出,但动点随着另一动点而运动.如果另一动点所满足的条件是可求的,这是我们可以用动点坐标来表示其相关点坐标,根据相关点坐标所满足的方程来求出动点(),P x y 的轨迹方程.
(5)交轨法
求两动曲线交点的轨迹问题时,通常要通过解方程组得出交点坐标(含参),再消去参数求出轨迹方程.该方法常与参数法并用
注:
①轨迹方程是坐标关系式,是一个方程,有时要在方程后根据需要指明变量的取值范围;轨迹是点的集合,是曲线,是几何图形.
②求曲线方程或轨迹方程时,要注意:第一,建立不同的坐标系,同一曲线的方程也不相同;第二,一般地,求哪个点的轨迹方程,就设哪个点的坐标是(),x y ;化简所求的方程(),0f x y =时,一定要注意同解性.如果破坏了同解性,就要剔除不属于轨迹上的点,找回属于轨迹但遗漏的点.
五、两曲线的交点
两曲线的交点坐标即两曲线的方程所构成的方程组的解.
六、曲线的对称性
在曲线方程里,如果以y -代y 方程不变,那么当点(),P x y 在曲线上时,它关于x 轴的对称点()',P x y -也在曲线上,所以曲线关于x 轴对称.同理:我们也可以推出满足什么条件,曲线关于y 轴对称,关于原点对称.并且,曲线具有上述三种对称性中的任意两种,那么它一定还具有另一种对称性.想一想这是为什么呢?
本节习题
题型一 方程表示的曲线
1.(1)11x y -=-表示( )
A .两条线段
B .两条直线
C .两条射线
D .一条射线一条线段
(2)方程111x y -+-=所表示的图形是 .
(3)方程()22
140x y x y +-+-=表示的曲线是 .
题型二 曲线的对称性
2.曲线(),0f x y =关于直线30x y --=对称的曲线方程是( )
A .()3,0f x y -=
B .()3,0f y x +=
C .()3,30f y x -+=
D .()3,30f y x +-=
题型三 求轨迹方程
3.设圆()2
2:11C x y -+=,过原点O 作圆的任意弦,求所作弦的中点的轨迹方程.请分别用直接法、 定义法、代入法、参数法来求.
4.求到直线20x y -=和20x y -=的距离相等的点的轨迹方程.
5.已知动点P 到定点()1,0F 和直线3x =的距离之和等于4,求P 的轨迹方程.
6.圆()()22
:546C x y -+-=内的一定点()4,3A ,在圆上作弦MN ,使90MAN ∠=,求弦MN 的 中点P 的轨迹方程.
7.已知点P 到两个定点()()1,0,1,0M N -距离的比为2,点N 到直线PM 的距离为1.求直线PN 的 方程.
8.已知点()3,0P -,点A 在y 轴上,点Q 在x 轴的正半轴上,且0PA AQ ⋅=.点M 在直线AQ 上, 满足32
AM MQ =-
.当点A 在y 轴上移动时,求动点M 的轨迹C 的方程.
9.由P 向圆221x y +=作两条切线,PA PB ,切点分别为,A B ,60APB ∠=,求动点P 的轨迹方程.
10.已知1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭,B 是圆2
21:42F x y ⎛⎫-+= ⎪⎝
⎭(F 为圆心)上一动点,线段AB 的垂直平分线交BF 于P ,求动点P 的轨迹方程.
11.已知圆()221:425M x y ++=,圆()222:41M x y -+=,一动圆与这两个圆都外切,求动圆圆心P
的轨迹方程.
12.动点P 是抛物线2
21y x =+上任一点,定点为()0,1A -,点M 分PA 所成的比为2,求动点M 的 轨迹方程.
13.已知定点()3,0B ,点A 在圆221x y +=上运动,M 是线段AB 上的一点,且13
AM MB =
,求点M 的轨迹方程.
14.过点()1,3P 作两条相互垂直的直线12,l l ,1l 交x 轴于A 点,2l 交y 轴于B 点,求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
15.点P 是曲线22412390x y x y ++-+=上的动点,直线10x y -+=是线段PQ 的中垂线,求点Q 的 轨迹方程.
课后练习
【练1】 若直线y x b =+与曲线234y x x =--有公共点,则b 的取值范围是( )
A .1122⎡⎤-+⎣⎦,
B .122122⎡⎤-+⎣⎦,
C .1223⎡⎤-⎣⎦,
D .123⎡⎤-⎣⎦,
【练2】 若曲线C 上的点的坐标都是方程(),0f x y =的解,则下面判断正确的是( )
A .曲线C 的方程是(),0f x y =
B .以方程(),0f x y =的解为坐标的点都在曲线
C 上
C .方程(),0f x y =表示的曲线是C
D .方程(),0f x y =表示的曲线不一定是C
【练3】 “点M 在曲线24y x =上”是点M 的坐标满足方程2y x =-的( )
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分又不必要条件
【练4】 下列命题正确的是( )
A .到两坐标轴的距离相等的点组成的直线方程是y x =
B .已知三点()()()2,0,0,2,0,0A B
C ,ABC 的边AB 上的中线方程为y x =
C .到两坐标轴的距离的乘积是1的点的轨迹方程是1xy =±
D .到x 轴的距离等于1的点的轨迹方程是1y =
【练5】 方程221y x x =-+所表示的曲线是( )
A .两条直线
B .两条射线
C .一条直线
D .一条射线
【练6】 方程222xy x y x -=所表示的曲线( )
A .关于y 轴对称
B .关于0x y +=对称
C .关于原点对称
D .关于0x y -=对称
【练7】 21y x =-与曲线y x =的交点个数是______.
【练8】 曲线22330y x ++=与曲线22450x y x +--=的交点的个数是_________.
【练9】 已知两点551,,4,44M N ⎛⎫
⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
给出下列曲线方程:①4210x y +-=;②223x y +=;③2212x y +=;④2
212
x y -=,在曲线上存在点P 满足MP NP =的所有曲线方程是( ) A .①③ B .②④ C .①②③ D .②③④
【题1】 两条直线10x my --=与10mx y +-=的交点的轨迹方程是 .
【题2】 圆()2
2:11C x y -+=,过原点O 作圆的弦OA ,则弦的中点M 的轨迹方程是 . 【题3】 当m 变化时,则抛物线()22
211y x m x m =+++-的顶点的轨迹方程为 .。

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