实对称矩阵和对角矩阵的关系
线性代数 4-3实对称矩阵的相似对角化
(ii ) 对每一个重特征值λi，求出对应的ri 个线性无关的特 征向量ξ i1 , ξ i 2 , L , ξ iri ； = 1,2, L , m ),由性质知∑ ri = n. (i
i =1 m
(iii ) 用施密特正交化方法将每一个重特征值λi 所对应的 ri 个线性无关的特征向量ξ i1 , ξ i 2 , L , ξ iri ； = 1,2, L , m ) (i 先正交化再单位化为ηi1 ,ηi 2 , L ,ηiri ； = 1,2, L , m )， (i 它们仍为属于λi的特征向量。
Q A对称, A = AT ,
∴ λ1 p1 = (λ1 p1 ) = ( Ap1 ) = p1 T AT = p1 T A,
T T T
(λ 2 p2 ) = λ 2 p1T p2 , 于是 λ1 p p2 = p Ap2 = p
T 1 T 1 T 1
(λ1 λ 2 ) p1T p2 = 0.
Q λ1 ≠ λ2 , ∴ p p2 = 0. 即p1与p2正交.
x1 + x2 + x3 = 0 2 x1 + 2 x2 + x3 = 0 1 1 1 → 1 1 1 → 1 1 0 0 0 1 0 0 1 2 2 1
x2 = x1 α 3 = 1， 1， T （ 0） x3 = 0
对于一般矩阵， 对于一般矩阵，只能保证相异特征值所对应的特征向 量线性无关，但不一定是正交的； 量线性无关，但不一定是正交的；实对称矩阵相异特 征值所对应的特征向量不仅线性无关，而且彼此正交。 征值所对应的特征向量不仅线性无关，而且彼此正交。
T
P = (ξ1 ξ 2
1 2 2 ξ3 ) = 2 1 0 2 0 1
线性代数第三章第四节实对称矩阵的正交对角化
当 1 4 时 , 求 得 A 4 E x 0 的 基 础 解 系 为 1 1 .
1
2
当 2 1 时 , 求 得 A E x 0 的 基 础 解 系 2 1 .
2
1
当 3 2 时 , 求 得 A 2 E x 0 的 基 础 解 系 为 3 2 .
2
第三步 将特征向量正交化
由 于 1,2,3 是 属 于 A 的 3 个 不 同 特 征 值 1,2,3 的 特 征 向 量 ,故 它 们 必 两 两 正 交 .
第四步 将特征向量单位化
令 i
i i
,
i1,2,3.
2 3
23
1 3
得
1
2
3
,
2
1
3
,
3
2
3
.
1 3
2 3
则
P1AP0 0 0.
0 0 0
例 设 3阶 实 对 称 矩 阵 A的 特 征 值 为 5,1,1,且 A的
对 应 于 特 征 值 为 5的 特 征 向 量 为 1=1,1,1T,
试 求 矩 阵 A.
解 由对称矩阵不同特征值对应的特征向量是正交的知
若 = x 1 , x 2 , x 3 T 是 与 特 征 值 = - 1 对 应 的 特 征 向 量 ， 则
2 3
2 2 1
命 P1，2，3132 1 2,
1 2 2
4 0 0
则
P1AP0 1 0 .
0 0 2
1 1 1 例 设A 1 1 1,求一个正交矩阵P，
1 1 1 使得P1AP为对角矩阵.
解 (1)第一步 求 A的特征值
1 1 1
AE 1 1 1 230
实对称矩阵的相似对角化
一. 实对称矩阵的特征值和特征向量的性质 设矩阵A=(aij), 用aij表示aij的共轭复数, 记 A=(aij ) 称A为A的共轭矩阵. 显然, A为实矩阵时,A=A. 共轭矩阵具有下列性质:
(1) A + B = A + B ; (2) A = A , 其中是常数; (3) AB = AB ;
ξ Aξ1 = ξ ξ
T 2
T 1 2 1
而且
T T T T ξT A ξ = ξ A ξ = ( A ξ ) ξ = ξ 2 1 2 1 2 1 2 2 ξ1
于是
(1 2 )ξ ξ = 0
T 2 1
由于12, 所以2T1=0, 即1, 2正交.
二. 实对称矩阵正交相似于对角矩阵 定理6.9 设A是实对称矩阵, 则必存在正交矩阵Q, 使 得Q-1AQ=QTAQ为对角矩阵. 证 n=1时显然成立, 设对n-1阶矩阵定理结论成立. 取n阶实对称矩阵A的任一特征值1, 和属于1的特征向量1,
=(+1)(2-10-11)=(+1)2(2-11) 得特征值λ1=λ2=-1, λ3=11.
对λ1=λ2=-1, 由于
2 2 4 1 1 2 -E-A 2 2 4 0 0 0 4 4 8 0 0 0
例6 设
1 2 4 A 2 1 4 4 4 7
求一个正交矩阵Q, 使Q-1AQ为对角矩阵. 解 先求A的所有特征值 det(E-A)
1 2 4 1 1 4 3 0 8 2 1 4 2 1 4 2 1 4 4 4 7 4 0 7 4 0 7
1 6
4.4 实对称矩阵的对角化
便有P1APPTAP
注意中对角元的排列次序与P中列向量的排列次序相对应
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习题4-3, P154
5 1 2 4 相似 4 设矩阵 A 2 x 2 与 y 4 2 1 4 求x y 并求一个正交阵P 使P1AP
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2 1 求An 例4.2设 A 1 2 解 因为|AE|(1)(3) 所以A的特征值为11 23
对应11 解方程(AE)x0 得p1(1 1)T 对应13 解方程(A3E)x0 得p2(1 1)T 于是有可逆矩阵P(p1 p2) 及diag(1 3) 使
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小结 :实对称矩阵的性质
定理4.1 实对称阵的特征值为实数
定理4.2 实对称阵的对应于不同特征值的特征向量正交. 设1 2是实对称阵A的两个特征值 p1 p2是对应的特 征向量 若12 则p1与p2正交 定理4.3 设A为n阶实对称阵 是A的特征方程的k重根 则对应特 征值恰有k个线性无关的特征向量 定理4.4 设A为n阶实对称阵 则必有正交阵P 使P1APPTAP 其中是以A的n个特征值为对角元的对角矩阵
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0 1 1 例4.1 设 A 1 0 1 求正交阵 P 使P1AP为对角阵 1 1 0 解 由|AE|(1)2(2) 得特征值12 231
对应12 解方程(A2E)x0 得基础解系1(1 1 1)T 将1单位化 得 p1 1 ( 1, 1, 1)T 3 对应231 解方程 (AE)x0 即 x1 +x2－x30 2(1 1 0)T 3(1 0 1)T 得基础解系 将2 3正交化、单位化得
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0 1 1 例4.1 设 A 1 0 1 求正交阵 P 使P1AP为对角阵 1 1 0
5.3实对称矩阵的对角化
令x3 = 2, 得属于5的特征向量为 3 = (1, −2,2)T .
12
显然1 = (2,2,1)T , 2 = ( −2,1,2)T , 3 = (1, −2,2)T 正交.
(2) 求单位向量组. 1 = 2 = 3 = 3, 所以得单位正交向量组 T T T 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 = , , , 2 = , − , − , 3 = , − , . 3 3 3 3 3 3 3 3 3 (3) 求正交矩阵Q. 1 则 2 2 令 3 3 3 −1 0 0 2 1 2 −1 Q = ( 1 , 2 , 3 ) = − − , Q AQ = 0 2 0 = . 3 3 3 0 0 5 1 2 2 3 −3 3
T T T T 1 A = 11 , 1 A 2 = 11 2
T T 21 2 = 11 2 ,
T (2 − 1 )1 2 = 0
T 1 2 = 0
3
定理 若实对称矩阵A的特征值 的重数为k，则A 恰有k个对应于 的线性无关的特征向量. 定理 n阶实对称矩阵A一定有n个正交的特征向量. 设矩阵A的互不相同的特征值分别为 1 ( k1重) : 11 , 12 , , 1k1 , 正 11 , 12 , , 1k1 , 交 , , , , 2 k2 2 ( k2重) : 21 , 22 , , 2 k2 , 化 21 22 后 , , 得 m 1 , m 2 , , mkm , m ( km 重) : m 1 , m 2 , , mkm , 11 ,12 , ,1k1 , 1 单 其中,k1 + k2 + + km = n. 位 , , , , 21 22 2 k2 2 化 T ij ks = 0, i k . 后 , 得 m 1 ,m 2 , , mkm , m
实对称矩阵和对角矩阵的关系
实对称矩阵和对角矩阵的关系一、实对称矩阵和对角矩阵的定义及性质实对称矩阵是指一个$n\times n$的矩阵，满足$A=A^T$，即矩阵的转置等于它本身。
对角矩阵是指一个$n\times n$的矩阵，只有主对角线上有非零元素，其他元素均为零。
实对称矩阵和对角矩阵都是特殊的方阵。
它们有以下共同的性质：1. 对于实对称矩阵和对角矩阵，其特征值都是实数。
2. 对于实对称矩阵和对角矩阵，其特征向量可以正交化。
3. 对于实对称矩阵和对角矩阵，它们可以相似对角化。
二、实对称矩阵和对角化1. 实对称矩阵的特征值分解由于实对称矩阵的特殊性质，我们可以通过特征值分解将其相似变换为一个以特征值为主元素的对角线式形式。
设$A$是一个$n\timesn$的实对称矩阵，则有：$$A=Q\Lambda Q^T$$其中$\Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\l ambda_n)$是以特征值为主元素的对角矩阵，$Q$是由特征向量组成的正交矩阵。
2. 实对称矩阵的谱分解实对称矩阵还可以通过谱分解来表示。
设$A$是一个$n\times n$的实对称矩阵，则有：$$A=\sum_{i=1}^n\lambda_iu_iu_i^T$$其中$\lambda_i$和$u_i$分别是$A$的第$i$个特征值和对应的特征向量。
由于实对称矩阵的特殊性质，我们可以将其表示为一组正交向量之和。
三、实对称矩阵和对角矩阵的关系1. 实对称矩阵可以相似对角化为一个对角矩阵根据上述内容可知，实对称矩阵可以通过相似变换转化为一个以特征值为主元素的对角线式形式。
因此，我们可以得出结论：实对称矩阵可以相似对角化为一个对角矩阵。
2. 对角矩阵是一种特殊的实对称矩阵由于只有主对角线上有非零元素，其他元素均为零，因此显然对角矩阵是一种特殊的实对称矩阵。
同时，由于对角矩阵是一种特殊的实对称矩阵，因此它也具有实对称矩阵的所有性质。
实对称矩阵的对角化
（2）单位化，取
b1 b2 br e1 , e2 , , er , b1 b2 br
Page 11
那么 e1 , e2 ,, er 为V的一个规范正交基.
上述由线性无关向量组 a1 ,, a r 构造出正交 向量组b1 ,, br的过程, 称为 施密特正交化过程 .
例1 用施密特正交化方法，将向量组 a1 (1,1,1,1), a2 (1,1,0,4), a 3 ( 3,5,1,1) 正交规范化.
这个极大无关组规范正交化 .
若a1 , a2 ,L , ar 为向量空间V的一个极大无关组, （1）正交化，取 b1 a1 ， b1 , a2 b2 a2 b1 , b1 , b1
Page 10
[b1 , a 3 ] [b2 , a 3 ] b3 a 3 b1 b2 [b1 , b1 ] [b2 , b2 ]
３ 正交向量组的性质
定理1 若n维向量 1, 2, , r是一组两两正交的 非零向量,则 1, 2, , r 线性无关.
证明 设有 1 , 2 ,, r 使 11 2 2 r 0
T 以a 左乘上式两端 ,得 1 1 1 0
单位向量：当 x 1时, 称 x 为 单位向量.
Page 4
三、正交向量组的概念及求法
１ 正交的概念
当[ x , y] 0时, 称向量x与y 正交.
由定义知, 若 x 0, 则 x 与任何向量都正交 .
２ 正交向量组的概念
若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组．
Page 5
[e i , e j ] 0, i j且i , j 1,2,3,4. 由于 [e i , e j ] 1, i j且i , j 1,2,3,4.
实对称矩阵一定可以相似对角化吗
实对称矩阵一定可以相似对角化吗先从理解可相似对角化的充分必要条件着手：
A有n个线性无关的特征向量（注：即要求k重特征值有k个线性无关解）
之所以说实对称矩阵一定可以相似对角化恰恰就是因为它满足可相似对角化的充分必要条件
（不同特征值必线性无关，k重特征值有k个线性无关解）
而满足对角化充分必要条件的绝对不仅仅是实对称矩阵，很多都可以，你只要想出一个特征值不存在重根的就可以简单验证了实对称矩阵必定可以相似对角化，A相似于B，且a，b相似于同一个对角阵，又无论怎么样的可逆线性变换，二次型化到标准形或规范形，正负惯性系数p、q是不变的，所以这个对角阵上的特征值的正负个数就代表着A与B的p、q。
即A，B合同了。
实对称矩阵和对角矩阵的关系
实对称矩阵和对角矩阵的关系1. 实对称矩阵的定义实对称矩阵是指矩阵的转置与其本身相等的矩阵。
也就是说，对于一个n × n 的实对称矩阵 A，满足 A^T = A，其中 A^T 表示 A 的转置。
2. 对角矩阵的定义对角矩阵是指除了主对角线上的元素外，其他元素都为零的矩阵。
对于一个n × n 的对角矩阵 D，满足 D[i][j] = 0，当i ≠ j，其中 D[i][j] 表示 D 在第 i 行、第 j 列的元素。
3. 实对称矩阵与对角矩阵的关系实对称矩阵和对角矩阵之间存在一种特殊的关系。
这种关系体现在实对称矩阵必然可以通过正交矩阵相似变换成对角矩阵，即 A = P^T · D · P，其中 P 是正交矩阵，D 是对角矩阵。
证明这一关系可以分为两个方面：一是对于实对称矩阵 A，存在正交矩阵 P，使得A = P^T · D · P；二是对于任意满足 A = P^T · D · P 的实对称矩阵 A，P 是正交矩阵。
3.1 实对称矩阵通过正交矩阵相似变换成对角矩阵假设 A 是一个n × n 的实对称矩阵，那么根据线性代数的一般理论，可以推导出存在正交矩阵 P 和对角矩阵 D，使得 A = P^T · D · P。
首先，由于 P 是一个正交矩阵，因此满足P^T · P = I，其中 I 是单位矩阵。
所以，P 的每一列都是一个单位向量，并且 P 的列向量两两正交。
其次，我们定义一个矩阵 B = P^T · A · P，其中 B 是一个n × n 的矩阵。
我们观察 B 的对角线元素，即 B[i][i]，可以得出以下结论：•当i ≠ j 时，B[i][j] = (P^T · A · P)[i][j] =(P^T)[i][k] · A[k][l] · (P)[l][j] (其中，k 和 l 是由矩阵 A 定义的，可以是任意值)。
实对称矩阵一定可以相似对角化的证明
实对称矩阵一定可以相似对角化的证明实对称矩阵是线性代数中非常重要的概念，它具有许多独特的性质。
其中一个重要的性质是实对称矩阵一定可以相似对角化。
在本文中，我们将证明这一性质，并解释其重要性。
让我们回顾一下对角化的概念。
对角化是指将一个矩阵相似变换成对角矩阵的过程。
对角矩阵是一种特殊的矩阵，它只在对角线上有非零元素，其他位置都是零。
通过对角化，我们可以简化矩阵的运算，并更好地理解矩阵的性质。
现在让我们来证明实对称矩阵可以相似对角化的性质。
假设A是一个n阶实对称矩阵，我们需要证明存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP是一个对角矩阵。
由于A是实对称矩阵，所以A一定可以对角化。
也就是说，存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP是一个对角矩阵。
我们设对角矩阵为D，即P^(-1)AP=D。
我们可以进一步将D写成对角线上元素的形式，即D=diag(λ1, λ2, ..., λn)，其中λ1, λ2, ..., λn是A的特征值。
接下来，我们来证明对角线上元素都是实数。
由于A是实对称矩阵，它的特征值一定是实数。
因此，对角线上的元素λ1, λ2, ..., λn都是实数。
我们需要证明P也是实的。
由于P是可逆矩阵，它的逆矩阵也是实的。
因此，P是一个实矩阵。
我们证明了实对称矩阵可以相似对角化的性质。
这个性质在实际应用中非常重要，因为它简化了矩阵的运算，并帮助我们更好地理解矩阵的结构和性质。
在实对称矩阵可以相似对角化的基础上，我们可以进一步研究实对称矩阵的特征值和特征向量，以及它们在线性代数和其他领域中的应用。
通过深入理解实对称矩阵的性质，我们可以更好地解决实际问题，并推动数学和科学领域的发展。
实对称矩阵可以相似对角化是一个重要且有趣的性质。
通过证明这一性质，我们不仅加深了对矩阵理论的理解，还为我们在实际应用中解决问题提供了有力的工具。
希望本文可以帮助读者更好地理解实对称矩阵的性质，并在学习和研究中有所启发。
实对称矩阵对角化
由于1,2 ,3是属于A的3个不同特征值1, 2 ,
3的特征向量,故它们必两两正交. 令
i
i i
,
i 1,2,3.
2 3
23
1 3
得
1 2 3 , 2 1 3 ,
3 2 3.
1 3
2 3
2 3
作
P
1 ,
2
,
3
1
3
2 2 1
2 1 2
1 2, 2
4 0 0
则
.
对应 1
1
,由
A
E
1 1
1 1
r
1 0
1 0
得1
1 1
;
对应
2
3
,由
A
3E
1 1
1 1
r
1 0
1 0
得2
1 1
.
并有p ( 1 1
, 2 ) 2
1 2
11
11 ,
再求出 p1
1 2
11
11 .
于是
An
pn p1
1 2
11
11 10
0 1 3n 1
11
1 2
11
3n 3n
1 1
3n 3n
.
三、小结 1. 对称矩阵的性质：
(1)特征值为实数； (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的 特征向量的个数相等； (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵， 且对角矩阵对角元素即为特征值． 2. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤： (1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向 量单位化正交化；(4)得正交阵和对角阵．
实对称矩阵的相似对角化
1 2 2
例：设A
2
2
4 ，求正交阵Q，使Q1AQ为对角阵。
2 4 2
1 2
2
A E 2 2 4 ( 2)2 ( 7)
2
4 2
1 2 2,3 7.
1 (2,1,0)T ,2 (2,0,1)T 为属于特征值2的线性无关的特
相似对角形
特征值与特征向量 一般矩阵的相似对角化 实对称矩阵的相似对角化
实对称矩阵的相似对角化
性质1：实对称矩阵的特征值都是实数。 性质2：实对称矩阵的相异特征值所对应的特征向 量必定正交。
性质3：实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性无 关的特征向量恰有k个。
定理1：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。
将3
(1，2，
2)T
单位化，得：3
（1 ，2， 33
2 ）T . 3
2 5
2 35
1
3
Q 1
2
3
1 5
4 35
2 3
,
0
5 35
2 3
2
Q1
AQ
2
.
7
用正交阵将实对称矩阵A化为对角阵的步骤：
(i)求出A的所有相异的特征值1, 2,, m;
(ii)对每一个重特征值i，求出对应的ri个线性无关的
(iv)将上面求得的正交单位向量作为列向量，排成一个 n阶方阵Q，则Q即为所求的正交方阵。此时
练 习
2 2 0
设A
2
1
2，特征值为 2，1，4
0 2 0
求正交阵Q，使Q1 AQ为对角阵。
1 2 2
Q
(1,2
第四节 实对称矩阵的对角化
4. 令P (11,12 ,L ,1r1 ,L , s1,L , srs ), 则P为正交阵且有 PT AP=P1AP diag(1Er1 , 2Er2 ,L , s Er s ) .
二、利用正交矩阵将实对称矩阵对角化的方法
利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的步骤为：
1. 由特征方程 E A 0解得 A的所有特征值, 设所有的 不同的特征值为1,L ,s;
2. 对每个i分别求出齐次线性方程组 (iE A) X 0 的 基础解系 , 设之为i1,i2,L ,iri (i 1, 2,L , s);
第二步 由iE A X 0,求出A的正交的特征向量组
对 1 2,解齐次线性方程组2E A X 0,由
1 2 2 1 2 2
2E
A
2
2
4 4
4
4
0 0
0 0
0
0
得基础解系
2 2
1
1
,
2
0
.
0
1
对1,
正交化得
2
2
1
=1
=
1
,
0
2
=2
2 , 1,
1 1
1
=
2 5
4 5
1
.
对 3 7,解齐次线性方程组7E A X 0,由
8 2 2 0 18 18
7E
A
2
2
5 4
4
5
2
0
5 9
4
9
1
0
实对称矩阵一定可以相似对角化的证明
实对称矩阵一定可以相似对角化的证明实对称矩阵是线性代数中非常重要的概念，而相似对角化则是对于矩阵进行简化操作的一种方法。
本文将探讨实对称矩阵为什么一定可以相似对角化的原因。
我们需要明确实对称矩阵的定义。
实对称矩阵是一个方阵，它的转置等于它本身，即A的转置等于A。
这意味着矩阵A的元素关于对角线对称。
实对称矩阵在许多实际问题中都有广泛的应用，如物理学、工程学等领域。
接下来，我们来看实对称矩阵为什么可以相似对角化。
相似对角化是指找到一个可逆矩阵P，使得P^-1AP为对角矩阵。
对于实对称矩阵来说，由于其对称性质，我们可以通过选取合适的正交矩阵P来实现对角化。
正交矩阵是一个满足QTQ=I的矩阵，其中Q的转置等于其逆。
在矩阵理论中，正交矩阵具有许多重要的性质，其中最重要的性质之一就是其列向量是单位正交的。
对于实对称矩阵来说，我们可以找到一组标准正交基底，使得实对称矩阵在这组基底下的表示是对角矩阵。
具体来说，对于实对称矩阵A，我们可以找到一组标准正交基底{v1, v2, ..., vn}，使得A在这组基底下的表示是对角矩阵。
这就是说，存在一个正交矩阵P，使得P^-1AP是对角矩阵。
这就是实对称矩阵可以相似对角化的原因。
实对称矩阵相似对角化的重要性在于简化计算。
对角矩阵的计算更加方便快捷，能够方便地求解矩阵的幂、指数等运算。
因此，将实对称矩阵相似对角化可以大大简化矩阵的运算过程，提高计算效率。
实对称矩阵一定可以相似对角化的原因在于其对称性质和正交矩阵的性质。
通过选取合适的正交矩阵，我们可以将实对称矩阵化为对角矩阵，从而简化计算过程。
实对称矩阵相似对角化在线性代数理论中具有重要的意义，也在实际问题中有着广泛的应用。
希望通过本文的讨论，读者能够更加深入地理解实对称矩阵相似对角化的原理和意义。
14实对称矩阵的相似对角化
再单位化，得：
1 2 2 T 将 ξ1 = (1， − 2 ) 单位化，得： η1 = ， ， ） . 2， （ − 3 3 3 T T 将ξ 2 = ( −2,1,0) , ξ 3 = ( 2,0,1) 正交化，得： （ξ 3，β 2） 1 T β 2 = ξ 2 = ( −2,1,0) ，β 3 = ξ 3 − β 2 = ( 2,4,5)T （β 2，β 2） 5
性质3： 性质 ：实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性无 关的特征向量恰有k个。
由此推出：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。
二、实对称矩阵的相似对角化： 实对称矩阵的相似对角化： 定理1：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似 一定与对角矩阵相似。 定理 ：实对称矩阵 一定与对角矩阵相似。 定理2：实对称矩阵A一定与对角矩阵正交相似 一定与对角矩阵正交相似。 定理 ：实对称矩阵 一定与对角矩阵正交相似。
∵ A = 0,∴ k = l . ∵ A − E = 0,∴ k = l = 0. 1 1 1 0 1 0 2 ∴ A = 0 1 0 . 2 Q= 0 1 0 1 0 1 − 1 0 1 2 2
A, P或Q及Λ三者的互求
且与对角阵相似。 1 1 2 − 2 Λ= 2 P = (α1 , α 2 , α 3 ) = 2 − 2 − 1 2 1 3 2 0 − 2 7 2 2 1 1 −1 A = PΛ P = 0 5 − 2 P −1 = 1 2 − 2 1 3 9 −2 −2 6 − 2 − 1 2
性质2： 性质 ：实对称矩阵的相异特征值所对应的特征向 对一般矩阵，只能保证相异特征 量必定正交。
值所对应的特征向量线性无关。
实对称矩阵的相似对角化
1
1
,
2
13 2 4
所以
A
U
1
U
1
1
1
9
2 4
10
2
.
2 13
基本概念 实对称矩阵 基本理论 ① 实对称矩阵有n个实特征值 ② k重特征值有k个线性无关的特征向量 ③ 不同特征值下特征向量正交
基本方法 ① 求正交阵使实对称阵相似对角化
② 由一组特征值下的特征向量， 求另外一个特征值下的特征向量， 进而求得未知矩阵
1/ 2
1/ 6
1/ 3
1
1
/ 0
2
，
2
1/ 2 /
6 6
，
3
1/ 1 /
3 3
第四步 令Q (1 2 3 ), 写出结果, 即
1/ 2 Q 1/ 2 0
1/ 6 1/ 6 2 / 6
1/ 1/ 1/
3
3 3
0
则 Q 1
AQ
0
0
0 0 0
0
0
3
归纳步骤
(1) 求全部特征值及所属的无关特征向量； (2) 将同一特征值下的无关特征向量正交化； (3) 将正交化后的特征向量单位化； (4) 构造Q，则 Q1 AQ ，注意特征向量与
Q-1 AQ= .
二、对于实对称矩阵A ，求正交矩阵Q，使得A相似对 角化 （ 即 Q1 AQ ） 的方法
1 1 1
例1
设
A
1
1
1 求正交阵Q，使 Q1 AQ 为对角阵.
1 1 1
解 第一步 求A的特征值与所属的无关特征向量
1 1 1
E A 1 1 1 2( 3) 0, Q 1 0(二重), 2 3 1 1 1
实对称矩阵一定可以正交对角化证明
实对称矩阵一定可以正交对角化证明实对称矩阵是一种特殊的矩阵，其转置矩阵等于本身。
这种矩阵在数学和物理中都有广泛的应用。
而正交对角化是指将一个矩阵分解成一个正交矩阵和一个对角矩阵的乘积。
下面我们来证明实对称矩阵一定可以正交对角化。
首先，我们知道实对称矩阵的特征值都是实数。
这可以通过谱定理来证明。
谱定理指出，对于任意一个实对称矩阵A，都可以通过正交变换Q将其对角化成一个对角矩阵D，即：A = QDQ^T其中，Q是一个正交矩阵，即Q^TQ = I，D是一个对角矩阵，其对角线上的元素就是A的特征值。
接下来，我们需要证明正交矩阵可以将任意实矩阵对角化。
这可以通过施密特正交化方法来证明。
施密特正交化方法是将一个线性无关的向量组转化为正交向量组的方法。
对于任意一个线性无关的向量组{v1, v2, ..., vn}，我们可以通过以下步骤将其转化为正交向量组{u1, u2, ..., un}：1. 令u1 = v1/||v1||，其中||v1||表示v1的模长。
2. 对于i = 2, 3, ..., n，令ui = vi - (ui-1·vi)ui-1 - ... - (ui-1·v1)u1，其中·表示向量的内积。
3. 对于i = 1, 2, ..., n，令ei = ui/||ui||，其中||ui||表示ui的模长。
这样得到的向量组{e1, e2, ..., en}就是一个正交向量组。
此外，我们还可以通过调整每个向量的符号，将其转化为一个标准正交向量组，即ei·ej = δij，其中δij为Kronecker delta符号，当i=j时为1，否则为0。
因此，对于任意一个实矩阵A，我们可以通过施密特正交化方法将其列向量转化为一个正交向量组Q。
这样，我们就得到了一个正交矩阵Q，满足Q^TQ = I。
接着，我们可以将A转化为一个对角矩阵D，其中D的对角线上的元素就是A的特征值。
实对称矩阵与相似对角阵
此定理不予证明
二、实对称矩阵的正交相似对角化
复习：
1。定义(107页) 如果n阶实方阵A满足ATA= E，
AAT= E则称 A为 正交矩阵.
A的行（列）向量组都是单位向量且两两正交.
2、 将线性无关的向量组1，2，…，r化为 2. 正交矩阵的性 一组两两正交的单位向量组的方法。 施密特(Schmidt) 质 方法 （108页 ） (1) 将线性无关的向量组1，2，…，r正交化. 令 1=1， = - 2 , 1 ， 2 2 1 1 , 1 3, 2 3 , 1 3 = 31 2， 2, 2 1 , 1 … … … … … … … ， r , 2 r , r 1 r , 1 r = r1 - , 2 - …- , r-1. 1 , 1 2 2 r 1 r 1 (2) 将1，2，…，r单位化，令
1
1
4
1、P中特征向量与对角阵中特征值的顺序要一致
2、实对称阵的重特征值对应的特征向量有多种取法， 故这里的正交矩阵P不唯一。
3、实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交， 可检验计算的正确性
【定理6.4 】设A为 n 阶实对称矩阵， 使得 则必存在 n 阶正交矩阵P，
P AP
P AP
1
Λ
2
例题分析
例2
2 1 1 1 2 1 A 设 1 1 2
求一个正交矩阵P
1 使 P AP 为对角阵.
解
(1)求特征值
A E
2 1 1
1
1
2 1 1 2
( 4)( 1)2
故得特征值
1 2 1
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实对称矩阵和对角矩阵的关系
实对称矩阵和对角矩阵是线性代数中常见的两种特殊矩阵。
实对称矩阵是指一个矩阵的转置等于其本身，而对角矩阵是指一个矩阵的非对角线元素都等于零。
实对称矩阵相较于一般的矩阵具有较多的性质，在很多领域都有广泛的应用。
对角矩阵是实对称矩阵的一种特殊形式，其特点是非对角线上的元素都为零，只有对角线上的元素有非零值。
首先，对角矩阵是实对称矩阵的一种特殊形式。
对于一个对角矩阵，其所有的非对角线元素都为零，这也意味着该矩阵的转置等于其本身。
因此，对角矩阵是实对称矩阵的一种特殊情况。
其次，实对称矩阵可以通过对角化成对角矩阵。
对角化是指将一个矩阵转化为对角矩阵的过程。
根据线性代数的基本理论，对于任意一个n阶实对称矩阵A，都存在一个正交矩阵P，使
得P^T * A * P = D，其中D是一个对角矩阵。
这个过程被称
为实对称矩阵的对角化。
进一步地，对角化过程可以得到对角矩阵的特征值和特征向量。
特征值表示对角矩阵对应每个特征向量的比例系数，而特征向量表示对角矩阵对应特征值方向的向量。
对于实对称矩阵而言，其特征值都是实数，并且对应不同特征值的特征向量是相互正交的。
这个性质使得实对称矩阵的对角化过程特别重要。
实对称矩阵的对角化还带来了另外一个重要的性质——正交对角化。
正交对角化是指当实对称矩阵对角化时，对应的正交矩
阵P的每一列都是单位正交向量，即满足 P^T * P = I，其中I 是单位矩阵。
正交对角化是实对称矩阵特有的性质，使得实对称矩阵的许多性质和运算变得更加简洁和方便。
最后，实对称矩阵还具有一些重要的性质，如其所有的特征值都是实数，且对应不同特征值的特征向量是相互正交的。
这些性质使得实对称矩阵在很多领域中都有广泛的应用，如在物理学中描述对称关系、在统计学中用于协方差矩阵的分析、在机器学习中用于降维技术等。
综上所述，实对称矩阵是一个重要的特殊矩阵，它与对角矩阵存在紧密的关系。
实对称矩阵可以通过对角化得到对角矩阵，而对角化过程使得实对称矩阵具有一系列重要的性质和应用。
实对称矩阵和对角矩阵的研究在线性代数和相关领域中具有重要的地位和价值。