标准型矩阵特征值
矩阵不变因子
矩阵不变因子矩阵不变因子，又称矩阵的特征值和特征向量，是矩阵同构、相似及特征值分解的基础。
它是用来表征矩阵的性质，它的存在让人们可以将复杂的矩阵一步步分解成简单的矩阵，从而让矩阵的处理变得更简单。
矩阵不变因子一般由标准型矩阵特征值分解表示，即一个方阵A 可以被分解为：A = PΛPT-1，其中P是特征向量矩阵，T是转置，Λ是对角特征值矩阵。
特征值分解也可以应用于非方阵，即将一个m ×n矩阵A分解为A = UΣVT-1，其中U是m×m正交矩阵，T是转置，V是n×n正交矩阵，Σ是m×n个标量的对角阵。
如果一个n维矩阵A具有n个互异的特征值，则A的矩阵不变因子分解为A=PΛPT-1，其中P是特征向量矩阵，T是转置，Λ是n×n 的对角特征值矩阵，Λ的对角线上的每个元素是A的特征值，每个特征值对应一个特征向量，即P的每一列。
矩阵不变因子分解的特征值和特征向量可以用来帮助我们理解矩阵的性质。
首先，特征值可以告诉我们矩阵A的大小，而特征向量可以告诉我们A的缩放比例。
其次，特征值也可以用来计算矩阵A的行列式，特征向量的乘积可以用来计算A的逆矩阵。
此外，特征值和特征向量可以用来计算矩阵A的迹、伴随矩阵和相似变换。
当矩阵A的特征值均为实数时，可以确定A的迹，特征向量乘以特征值的乘积等于A，即A =aipi，其中ai为A的第i个特征值，pi 为A的第i个特征向量；A的特征向量乘以其逆等于单位矩阵，即p-1ipi = E，其中E为单位矩阵。
在实际应用中，矩阵不变因子在机器学习和数据挖掘中有着广泛的应用，比如PCA（主分量分析），K-means聚类，正交正则化等。
PCA 是一种常用的数据降维方法，它利用矩阵不变因子分解，从而将原始数据点以矩阵的形式重新组织为一系列的主成分，即较少的一组变量，来表示复杂的数据集。
K-means聚类也利用矩阵不变因子分解，将数据分割成K个聚类，从而获得有意义的数据结构。
矩阵理论(第三章矩阵的标准型)
100
2100 2 2101 2 0 100 101 2 1 2 1 0 2100 1 2101 2 1
第一节
矩阵的相似对角形
一、矩阵的特征值与特征向量 1、相似矩阵：设V是n维线性空间，T是线性变换， e1, e2,…,en与e'1,e'2,…,e' 是两组基，过渡矩阵 P，则T在这两组基下的矩阵A与B相似，
i
1
i Js
这些约当块构成的分块对角阵J，称为A的约当标准形。
J2
例5 Jordan标准形。
例5的初级因子为 ( 1),( 1),( 2) Jordan标准形为
1 J 1 2
2、k级行列式因子：特征矩阵A(λ)中所有非零的k 级子式的首项（最高次项）系数为1 的最大公因 式Dk(λ)称为 A(λ)的k级行列式因子。
A( ) E A
例5 求矩阵的特征矩阵的行列式因子 解：特征矩阵为
1 1 E A 2
若A能与对角形矩阵相似，对角阵是由特征值构 成的P是由对应特征值的特征向量构成的。
例3
解：
4 6 0 A 3 5 0 3 6 1
100 A ，计算：
4 A E 3 3
6
0
5 0 (1 )2 ( 2) 0 6 1
3级因子，因为
0 0 0 2 1 1 2 3 3 0
1
3
0 0 0, 2 0
2 2(( 1)3 ,( 1)2 ( 2), 2 2 7,0,...) 1
4级因子
矩阵的特征值与特征向量总结-全文可读
2•
第二步：对每个特征值 代入齐次线性方程组 求非零解.
齐次线性方程组为 系数矩阵
2•
得基础解系
是对应于
类似可以求得 A的属于特征
值 的全部特征向量分别为
是不为零的常数.
2•
所以
是矩阵f (A)的一个特征值.
2•
3. 特征多项式f )的性质
( 在特征多项式
中有一项是主对角线上元素的连乘积：
f )的展开式的其余各项为
(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2•
设f ) = 0的根
(
为
，则有
性质1 设 n 阶方阵 A 的 n个特征
值为
则
称为矩阵A的迹，记为
2•
性质2 若A的特征值是 , X是A的对应于 的特征向量,
(1) kA的特征值是 ;(k是任意常数) k
(m是正整数)
(3) 若A可逆,则A -1的特征值
是
且X 仍然是矩
阵
-1 , 的特征值是 分别对应于
的特征向量.
2•
为x的多项式, 则f (A)的特征值
为 证
再继续施行上述步骤 m - 2 次, 就
得
2•
其它请同学们自己证明.
3•
例6 已知三阶方阵A的特征值为1、2、3, 求矩阵 的A行*+列E式.
解 由性质1（2）知
则矩阵A*的特征值 所以矩阵A*的特征值分别是6，3，2，A*+E的特征值
是值A, 的属于特征值 λ = 5的特征向
量；
6•
7•
故由定义4.1知， λ = 5也 1、X2、X3 的特征值, 即是对X于 λ = 5的特征向量是不唯一
的.
矩阵的标准形式
矩阵的标准形式矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
在矩阵的运算中，标准形式是一个非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和处理矩阵的性质和特点。
本文将介绍矩阵的标准形式，包括矩阵的相似变换、对角化和标准型等内容。
矩阵的相似变换是指对于给定的矩阵A，存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP=B，其中B是一个特殊的形式。
这个特殊的形式就是矩阵的标准形式，它可以帮助我们更好地理解矩阵的结构和性质。
对于n阶矩阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP=B，其中B是一个对角矩阵，那么我们称矩阵A是可对角化的，B是矩阵A 的相似标准形式。
矩阵的对角化是矩阵理论中一个非常重要的问题，它可以简化矩阵的运算和分析。
对于一个n阶矩阵A，如果它是可对角化的，那么存在一个对角矩阵D和一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP=D。
这个对角矩阵D的对角线上的元素就是矩阵A的特征值，而矩阵P的列向量就是矩阵A的特征向量。
因此，对角化可以帮助我们找到矩阵的特征值和特征向量，从而更好地理解矩阵的性质和特点。
对于一般的矩阵来说，并不是所有的矩阵都是可对角化的。
但是，即使矩阵不是可对角化的，我们也可以将它化为一种更简单的形式，这就是矩阵的标准型。
对于任意一个n阶矩阵A，都存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP=J，其中J是一种特殊的形式，它可以帮助我们更好地理解矩阵的结构和性质。
这种特殊的形式就是矩阵的标准型，它可以帮助我们更好地理解矩阵的结构和性质。
总之，矩阵的标准形式是矩阵理论中一个非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和处理矩阵的性质和特点。
通过矩阵的相似变换、对角化和标准型，我们可以更好地理解矩阵的结构和性质，从而更好地应用矩阵理论解决实际问题。
希望本文对读者能有所帮助，谢谢！。
矩阵化jordan标准型步骤
矩阵化jordan标准型步骤矩阵化Jordan标准型步骤在线性代数中，Jordan标准型是可逆矩阵与相似变换的重要概念之一。
通过将一个矩阵转换为Jordan标准型，我们可以更好地理解线性变换在向量空间中的表现，这对于解析和计算矩阵的特征值和特征向量非常有用。
本文将详细介绍将一个矩阵转换为Jordan标准型的步骤。
步骤1：找到矩阵的特征值。
首先，我们需要找到矩阵的特征值。
一个nxn矩阵A的特征值是一个标量λ，满足方程Ax=λx，其中x是非零向量。
为了找到矩阵的特征值，我们需要解决特征方程A-λI =0，其中I是单位矩阵，λ是特征值。
步骤2：找到每个特征值对应的特征向量。
接下来，我们需要找到每个特征值对应的特征向量。
对于每个特征值λ，我们需要解决方程组(A-λI)x=0，其中x是特征向量。
注意，特征向量不为零，因为特征向量的零向量在任何情况下都不是非零向量。
步骤3：计算矩阵的几何重数。
在计算Jordan标准型之前，我们需要计算矩阵的几何重数。
矩阵的几何重数是特定特征值的线性无关特征向量的数量。
在计算几何重数时，我们应该将特征向量进行标准化处理。
步骤4：根据特征值的代数重数创建块。
接下来，我们需要根据每个特征值的代数重数创建Jordan块。
矩阵的代数重数是特征值在特征多项式中的幂的最高次数。
对于每个特征值λ，我们创建一个与特征值的代数重数相对应的Jordan块。
Jordan块是一个形如λI+aJ的方阵，其中λ是特征值，I是单位矩阵，J是Jordan块的大小（有J^r个非零元素的r x r方阵）。
步骤5：将Jordan块连接成一个矩阵。
接下来，我们需要将所有的Jordan块连接成一个矩阵，以得到矩阵的Jordan标准型。
具体而言，我们按照如下的方式将Jordan块排列在一起：⎡J1 ⎡⎡⎡⎡J2 ⎡⎡⎡⎡J3 ⎡这样，我们就得到了一个与原始矩阵具有相同特征值和特征向量的Jordan 标准型矩阵。
步骤6：计算矩阵的Jordan标准型。
矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量是线性代数中重要的概念，被广泛应用于各个领域，如物理学、工程学和计算机科学等。
特征值和特征向量给出了矩阵的重要性质和结构，因此对于理解矩阵的本质和应用至关重要。
首先，什么是矩阵的特征值与特征向量呢？矩阵的特征值表示矩阵在某个特定方向上的放大或缩小程度，而特征向量则表示在这个方向上的运动方向。
特征值和特征向量是成对出现的，每个特征值都对应一个特征向量。
特征值可以是实数或者复数，而特征向量是非零向量。
我们从一个简单的二维矩阵开始理解特征值和特征向量的概念。
假设有一个二维矩阵A，我们可以把它表示为如下形式：A = [a11 a12][a21 a22]要计算矩阵A的特征值和特征向量，我们需要找到一个非零向量x，使得满足以下条件：Ax = λx其中，λ是特征值。
这个方程的解是一个特殊的向量x，即特征向量。
这意味着矩阵A作用在特征向量上仅仅是对其进行了一个标量倍数的放大或缩小，而没有改变其方向。
为了求解特征向量和特征值，我们可以通过求解如下方程来实现：|A - λI| = 0其中，I是单位矩阵。
这个方程的解是特征值λ。
当我们得到特征值后，我们可以将其代入到方程(A - λI)x = 0中，解得对应的特征向量。
特征值和特征向量有许多重要的应用。
首先，特征值和特征向量可以用于计算矩阵的幂。
设矩阵A的特征值为λ，特征向量为x，则根据特征值和特征向量的定义，我们可以得到：A^n = (PΛP^-1)^n = PΛ^nP^-1其中，Λ是一个对角矩阵，其对角线上的元素为矩阵A的特征值。
这个结果对于计算矩阵的高次幂非常有用。
其次，矩阵的特征值和特征向量可以用于解决一些最优化问题。
例如，在机器学习中，我们经常需要求解一个矩阵的主成分分析（PCA）问题，即找到使得数据变化最大的方向。
这个问题可以通过求解矩阵的特征值和特征向量来实现。
此外，特征值和特征向量在空间变换和变换矩阵的定义中也有重要的应用。
变换矩阵可以通过特征向量和特征值来描述，从而可以得到有关变换的重要信息，如旋转角度和缩放程度。
矩阵的特征值及特征向量
２．相似变换与相似变换矩阵
相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A
变成
，而可逆矩阵 称为进行这一变换的
相似变换矩阵．
这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种 运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与 之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从 而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对 角矩阵的运算．
对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量， 还是能对角化．
例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 解
解之得基础解系
求得基础解系
故 不能化为对角矩阵.
解之得基础解系
例2 A能否对角化？若能对角 解
解之得基础解系
所以 可对角化.
注意
即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应．
四、小结
二、特征值和特征向量的性质
证明
则
即
类推之，有
ห้องสมุดไป่ตู้
把上列各式合写成矩阵形式，得
注意
１ . 属于不同特征值的特征向量是线性无关 的．
２ . 属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量．
３ . 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值．
三、特征值与特征向量的求法
例5 设A是 阶方阵，其特征多项式为
解
四、小结
求矩阵特征值与特征向量的步骤：
思考题
思考题解答
、 相似矩阵
一、相似矩阵与相似变换的概念 二、相似矩阵与相似变换的性质 三、利用相似变换将方阵对角化
一、相似矩阵与相似变换的概念
矩阵特征值计算
第五章矩阵特征值计算与线性方程组的求解问题一样，矩阵特征值与特征向量的计算也是数值线性代数的重要内容. 在理论上，矩阵的特征值是特征多项式方程的根，因此特征值的计算可转化为单个多项式方程的求解. 然而对于高阶矩阵，这种转化并不能使问题得到简化，而且在实际应用中还会引入严重的数值误差. 因此，正如第二章指出的，我们一般将多项式方程求解转化为矩阵特征值计算问题，而不是反过来.本章介绍有关矩阵特征值计算问题的基本理论和算法. 与非线性方程求根问题类似，计算矩阵特征值的算法也是迭代方法①.5.1基本概念与特征值分布本节先介绍矩阵特征值、特征向量的基本概念和性质，然后讨论对特征值分布范围的简单估计方法.5.1.1基本概念与性质定义5.1：矩阵A=(a kj)∈ℂn×n，(1) 称φ(λ)=det(λI−A)=λn+c1λn−1+⋯+c n−1λ+c n为A的特征多项式(characteristic polynomial)；n次代数方程φ(λ)=0为A的特征方程(characteristic equation)，它的n个根：λ1,⋯,λn，被称为A的特征值（eigenvalue）. 此外，常用λ(A)表示A的全体特征值的集合，也称为特征值谱(spectrum of eigenvalue).(2) 对于矩阵A的一个给定特征值λ，相应的齐次线性方程组(λI−A)x=0 , (5.1)有非零解（因为系数矩阵奇异），其解向量x称为矩阵A对应于λ的特征向量（eigenvector）.根据方程(5.1)，我们得出矩阵特征值与特征向量的关系，即Ax=λx .(5.2)第三章的定义3.5就利用公式(5.2)对矩阵特征值和特征向量进行了定义，它与定义5.1是等价的. 另外，同一个特征值对应的特征向量一定不唯一，它们构成线性子空间，称为特征子空间(eigenspace).我们一般讨论实矩阵的特征值问题. 应注意，实矩阵的特征值和特征向量不一定是实数和实向量，但实特征值一定对应于实特征向量（方程(5.1)的解），而一般的复特征值对应的特征向量一定不是实向量. 此外，若特征值不是实数, 则其复共轭也一定是特征值（由于特征方程为实系数方程）. 定理3.3表明，实对称矩阵A∈ℝn×n的特征值均为实数，存在n个线性无关、且正交的实特征向量，即存在由特征值组成的对角阵Λ和特征向量组成的正交阵Q，使得:A=QΛQ T.(5.3)例5.1（弹簧－质点系统）：考虑图5-1的弹簧－质点系统，其中包括三个质量分别为m1、m2、m3的物体，由三个弹性系数分别为k1,k2,k3的弹簧相连，三个物体的位置均为时间的函数，①如果用有限次运算能求得一般矩阵的特征值，则多项式方程求根问题也可用有限次运算解决，这与阿贝尔证明的“高于4次的多项式并不都有用初等运算表示的求根公式”的理论矛盾.这里考查三个物体偏离平衡位置的位移，分别记为y 1(t), y 2(t), y 3(t). 因为物体在平衡状态所受的重力已经和弹簧伸长的弹力平衡，所以物体的加速度只和偏离平衡位置引起的弹簧伸长相关. 根据牛顿第二定律以及胡克定律（即弹簧的弹力与拉伸长度成正比）可列出如下微分方程组②： My ′′(t)+Ky(t)=0 ,其中y (t )=[y 1(t)y 2(t)y 3(t)]T ,M =[m 1000m 2000m 3],K =[k 1+k 2−k 20−k 2k 2+k 3−k 30−k 3k 3] . 在一般情况下，这个系统会以自然频率ω做谐波振动，而y 的通解包含如下的分量： y j (t )=x j e iωt ,(j =1,2,3)其中i =√−1，根据它可求解出振动的频率ω及振幅x j . 由这个式子可得出：y j ′′(t )=−ω2x j e iωt ,(j =1,2,3)代入微分方程，可得代数方程:−ω2Mx +Kx =0,或Ax =λx ,其中A =M −1K ，λ=ω2. 通过求解矩阵A 的特征值便可求出这个弹簧－质点系统的自然频率（有多个）. 再结合初始条件可确定这三个位移函数，它们可能按某个自然频率振动（简正振动），也可能是若干个简正振动的线性叠加.例5.2（根据定义计算特征值、特征向量）：求矩阵A =[5−1−131−14−21]的特征值和特征向量.[解]: 矩阵A 的特征方程为：det (λI −A )=|λ−511−3λ−11−42λ−1|=(λ−3)(λ−2)2=0故A 的特征值为λ1=3，λ2=2（二重特征值）.当λ=λ1=3时，由(λI −A)x =0，得到方程[−211−321−422][x 1x 2x 3]=[000]它有无穷多个解，若假设x 1=1, 则求出解为x =[1,1,1]T ，记为x 1，则x 1是λ1对应的一个特征向量.当λ=λ2=2时，由(λI −A)x =0，得到方程[−311−311−421][x 1x 2x 3]=[000]它有无穷多个解，若假设x 1=1, 则求出解为x =[1,1,2]T ，记为x 2，则x 2是λ2对应的一个特② 本书第八章将介绍这种常微分方程组的数值求解方法.图5-1 弹簧－质点系统.征向量.下面概括地介绍有关矩阵特征值、特征向量的一些性质，它们可根据定义5.1，以及公式(5.2)加以证明.定理5.1：设λj (j =1,2,…,n)为n 阶矩阵A 的特征值，则(1) ∑λj n j=1=∑a jj n j=1=tr(A) ;(2) ∏λj n j=1=det(A) .这里tr(A)表示矩阵对角线上元素之和，称为矩阵的迹（trace ）.从上述结论(2)也可以看出，非奇异矩阵特征值均不为0, 而0一定是奇异矩阵的特征值. 定理5.2：矩阵转置不改变特征值，即λ(A )=λ(A T ).定理5.3：若矩阵A 为对角阵或上(下)三角阵，则其对角线元素即为矩阵的特征值.定理5.4：若矩阵A 为分块对角阵，或分块上(下)三角阵，例如A =[A 11A 12⋯A 1m A 22⋯A 2m ⋱⋮A mm] , 其中每个对角块A jj 均为方阵，则矩阵A 的特征值为各对角块矩阵特征值的合并，即λ(A )=⋃λ(A jj )m j=1.定理5.5：矩阵的相似变换(similarity transformation)不改变特征值. 设矩阵A 和B 为相似矩阵，即存在非奇异矩阵X 使得B =X −1AX ，则(1) 矩阵A 和B 的特征值相等，即 λ(A )=λ(B ) ;(2) 若y 为B 的特征向量，则相应地，Xy 为A 的特征向量.通过相似变换并不总能把矩阵转化为对角阵，或者说矩阵A 并不总是可对角化的(diagonalizable). 下面给出特征值的代数重数、几何重数，和亏损矩阵的概念，以及几个定理..定义5.2: 设矩阵A ∈ℝn×n 有m 个（m n ）不同的特征值λ̃1,⋯,λ̃m ，若λ̃j 是特征方程的n j 重根，则称n j 为λ̃j 的代数重数(algebraic multiplicity)，并称λ̃j 的特征子空间(ℂn 的子空间)的维数为λ̃j 的几何重数(geometric multiplicity). 定理5.6：设矩阵A ∈ℝn×n 的m 个不同的特征值为λ̃1,⋯,λ̃m ，特征值λ̃j ,(j =1,⋯,m)的代数重数为n j ，几何重数为k j ，则(1) ∑n j m j=1=n ，且任一个特征值的几何重数不大于代数重数，即∀j ，n j ≥k j .(2) 不同特征值的特征向量线性无关，并且将所有特征子空间的∑k j m j=1个基(特征向量)放在一起，它们构成一组线性无关向量.(3) 若每个特征值的代数重数等于几何重数，则总共可得n 个线性无关的特征向量，它们是全空间ℂn 的基.定义5.3：若矩阵A ∈ℝn×n 的某个代数重数为k 的特征值对应的线性无关特征向量数目少于k （即几何重数小于代数重数），则称A 为亏损阵（defective matrix ），否则称其为非亏损阵（nondefective matrix ）.定理5.7：设矩阵A ∈ℝn×n 可对角化，即存在非奇异矩阵X ∈ℂn×n 使得X −1AX =Λ,其中Λ∈ℂn×n 为对角阵, 的充要条件是A 为非亏损矩阵. 此时，Λ的对角线元素为矩阵A 的特征值，而矩阵X 的列向量为n 个线性无关的特征向量.定理5.7中方程的等价形式为A =XΛX −1, 它被称为特征值分解，也叫谱分解(spectrum decomposition). 特征值分解存在的充要条件是A 为非亏损矩阵. 但现实中还有很多矩阵是亏损矩阵，例如例5.2中的矩阵，它的特征值2的代数重数为2，而几何重数仅为1. 这种矩阵不能相似变换为对角阵，但存在下面的若当分解(Jordan decomposition).定理5.8：设矩阵A ∈ℝn×n , 存在非奇异矩阵X ∈ℂn×n 使得A =XJX −1,矩阵J 为形如[J 1⋱J p ]的分块对角阵（称为若当标准型），其中J k =[ λk 1λk ⋱⋱1λk ] 称为若当块，其对角线元素为矩阵A 的特征值. 设矩阵A 有m 个不同的特征值为λ̃1,⋯,λ̃m ，特征值λ̃j ,(j =1,⋯,m)的代数重数为n j ，几何重数为k j ，则p =∑k j m j=1, λ̃j 对应于k j 个若当块, 其阶数之和等于n j .在若当分解中，如果所有若当块都是1阶的，则J 为对角阵，这种分解就是特征值分解，相应的矩阵为非亏损阵. 若当分解是很有用的理论工具，利用它还可证明下面关于矩阵运算结果的特征值的定理.定理5.9：设λj (j =1,2,…,n)为n 阶矩阵A 的特征值，则(1) 矩阵cA, c 为常数, 的特征值为cλ1,cλ2,⋯,cλn .(2) 矩阵A +pI, p 为常数, 的特征值为λ1+p,λ2+p,⋯,λn +p.(3) 矩阵A k , k 为正整数, 的特征值为λ1k ,λ2k ,⋯,λn k .(4) 设p (t )为一多项式函数，则矩阵p (A )的特征值为p (λ1),p (λ2),⋯ ,p (λn ) .(5) 若A 为非奇异矩阵，则λj ≠0,(j =1,2,…,n), 且矩阵A −1的特征值为λ1−1,λ2−1,⋯,λn −1.5.1.2特征值分布范围的估计估计特征值的分布范围或它们的界，无论在理论上或实际应用上，都有重要意义. 比如，本书前面的内容曾涉及两个问题：(1). 计算矩阵的2-条件数：cond (A )2=√λmax (A T A)λmin (A T A) ;(2). 考察一阶定常迭代法x (k+1)=Bx (k)+f 的收敛性、收敛速度：收敛的判据是谱半径ρ(B)=max 1≤j≤n |λj (B)|<1 ; 收敛速度为R =−log 10ρ(B) .其中都需要对矩阵特征值分布范围的了解.上一章的定理4.4说明谱半径的大小不超过任何一种算子范数，即ρ(A )≤‖A ‖ ,这是关于特征值的上界的一个重要结论.下面先给出定义5.4，再介绍有关特征值的界的另一个重要结论.定义5.4：设A =(a kj )∈ℂn×n ，记r k =∑|a kj |n j=1j≠k ,(k =1,⋯,n)，则集合D k ={z||z −a kk |≤r k ,z ∈ℂ},(k =1,⋯,n)在复平面为以a kk 为圆心、r k 为半径的圆盘，称为A 的Gerschgorin （格什戈林）圆盘.图5-2显示了一个3⨯3复矩阵的格什戈林圆盘.定理5.10 (圆盘定理)：设A =(a kj )∈ℂn×n ，则：(1) A 的每一个特征值必属于A 的格什戈林圆盘之中，即对任一特征值λ必定存在k,1≤k ≤n ，使得：|λ−a kk |≤∑|a kj |nj=1j≠k .(5.4)图5-2 复坐标平面，以及3⨯3矩阵A 的格什戈林圆盘.用集合的关系来说明，这意味着λ(A)⊆⋃D k n k=1.(2) 若A 的格什戈林圆盘中有m 个组成一连通并集S ，且S 与余下的n −m 个圆盘分离，则S内恰好包含A 的m 个特征值（重特征值按重数计）.对图5-2所示的例子，定理5.10的第(2)个结论的含义是：D 1中只包含一个特征值，而另外两个特征值在D 2,D 3的并集中. 下面对定理5.10的结论(1)进行证明，结论(2)的证明超出了本书的范围.[证明]: 设λ为A 的任一特征值，则有Ax =λx ，x 为非零向量. 设x 中第k 个分量最大，即|x k |=max 1≤j≤n|x j |>0 , 考虑方程(5.2)中第k 个方程：∑a kj x j nj=1=λx k , 将其中与x k 有关的项移到等号左边，其余到右边，再两边取模得：|λ−a kk ||x k |=|∑a kj x j n j=1j≠k |≤∑|a kj ||x j |n j=1j≠k ≤|x k |∑|a kj |nj=1j≠k .(5.5)最后一个不等式的推导利用了“x 中第k 个分量最大”的假设. 将不等式(5.5)除以|x k |，即得到(5.4)式，因此证明了定理 5.10的结论(1). 上述证明过程还说明，若某个特征向量的第k 个分量的模最大，则相应的特征值必定属于第k 个圆盘中.根据定理5.2，还可以按照矩阵的每一列元素定义n 个圆盘，对于它们定理5.10仍然成立. 下面的定理是圆盘定理的重要推论，其证明留给感兴趣的读者.定理5.11：设A ∈ℝn×n ，且A 的对角元均大于0，则(1) 若A 严格对角占优，则A 的特征值的实部都大于0.(2) 若A 为对角占优的对称矩阵，则A 一定是对称半正定矩阵，若同时A 非奇异，则A 为对称正定矩阵.例5.3 (圆盘定理的应用)：试估计矩阵A =[41010−111−4]的特征值范围.[解]: 直接应用圆盘定理，该矩阵的三个圆盘如下:D 1: |λ−4|≤1, D 2: |λ|≤2, D 3: |λ+4|≤2.D 1与其他圆盘分离，则它仅含一个特征值，且必定为实数（若为虚数则其共轭也是特征值，这与D 1仅含一个特征值矛盾）. 所以对矩阵特征值的范围的估计是：3≤λ1≤5,λ2,λ3∈D 2∪D 3 .再对矩阵A T 应用圆盘定理，则可以进一步优化上述结果. 矩阵A T 对应的三个圆盘为： D ’1: |λ−4|≤2, D ’2: |λ|≤2, D ’3: |λ+4|≤1.这说明D ’3中存在一个特征值，且为实数，它属于区间[-5, -3]，经过综合分析可知三个特征值均为实数，它们的范围是：λ1∈[3,5],λ2∈[−2,2],λ3∈[−5,−3].事实上，使用Matlab 的eig 命令可求出矩阵A 的特征值为：4.2030, -0.4429, -3.7601.根据定理5.5，还可以对矩阵A 做简单的相似变换，例如取X 为对角阵，然后再应用圆盘定理估计特征值的范围.例5.4 (特征值范围的估计)：选取适当的矩阵X ，应用定理5.5和5.10估计例5.3中矩阵的特征值范围.[解]: 取X−1=[100010000.9] , 则A 1=X −1AX =[41010−109⁄0.90.9−4]的特征值与A 的相同. 对A 1应用圆盘定理，得到三个分离的圆盘，它们分别包含一个实特征值，由此得到特征值的范围估计：λ1∈[3,5],λ2∈[−199,199],λ3∈[−5.8,−2.2]. 此外，还可进一步估计ρ(A)的范围，即3≤ρ(A)≤5.8 .上述例子表明，综合运用圆盘定理和矩阵特征值的性质（如定理5.2, 定理5.5），可对特征值的范围进行一定的估计. 对具体例子，可适当设置相似变换矩阵，尽可能让圆盘相互分离，从而提高估计的有效性.5.2幂法与反幂法幂法是一种计算矩阵最大的特征值及其对应特征向量的方法. 本节介绍幂法、反幂法以及加快幂法迭代收敛的技术.5.2.1幂法定义5.5：在矩阵A 的特征值中，模最大的特征值称为主特征值，也叫“第一特征值”，它对应的特征向量称为主特征向量.应注意的是，主特征值有可能不唯一，因为模相同的复数可以有很多. 例如模为5的特征值可能是5,−5,3+4i,3−4i , 等等. 另外，请注意谱半径和主特征值的区别.如果矩阵A 有唯一的主特征值，则一般通过幂法能方便地计算出主特征值及其对应的特征向量. 对于实矩阵，这个唯一的主特征值显然是实数，但不排除它是重特征值的情况. 幂法(power iteration)的计算过程是，首先任取一非零向量v 0∈ℝn ，再进行迭代计算：v k =Av k−1,(k =1,2,⋯)得到向量序列{v k }，根据它即可求出主特征与特征向量. 下面用定理来说明.定理5.12: 设A ∈ℝn×n ，其主特征值唯一，记为λ1，且λ1的几何重数等于代数重数，则对于非零向量v 0∈ℝn ，v 0不与主特征值对应的特征向量正交，按迭代公式进行计算：v k =Av k−1,(k =1,2,⋯),存在如下极限等式：lim k→∞v k λ1k =x 1 , (5.6) lim k→∞(v k+1)j (v k )j =λ1 , (5.7)其中x 1为主特征向量，(v k )j 表示向量v k 的第j 个分量(k =1,2,⋯).[证明]: 为了推导简便，不妨设主特征值λ1不是重特征值，并且假设矩阵A 为非亏损矩阵. 设A 的n 个特征值按模从大到小排列为: |λ1|>|λ2|≥⋯≥|λn |，它们对应于一组线性无关的单位特征向量x ̂1,⋯,x ̂n . 向量v 0可写成这些特征向量的线性组合：v 0=α1x̂1+⋯+αn x ̂n 根据已知条件，α1≠0，则v k =Av k−1=A k v 0=α1λ1k x ̂1+α2λ2k x̂2+⋯+αn λn k x ̂n =λ1k [α1x ̂1+∑αj (λj λ1)kx ̂j n j=2] =λ1k (α1x̂1+εk ) 其中εk =∑αj (λj λ1)k x ̂j n j=2. 由于|λj λ1|<1,(j =2,…,n), 则 lim k→∞εk =0 ⟹lim k→∞v kλ1k =α1x̂1 . 由于特征向量放大、缩小任意倍数后仍是特征向量，设x 1=α1x̂1，则它是主特征对应的一个特征向量. 上式说明，随k 的增大， v k 越来越趋近于主特征值的对应的特征向量.设j 为1到n 之间的整数，且(v k )j ≠0，则(v k+1)j (v k )j =λ1(α1x ̂1+εk+1)j (α1x̂1+εk )j 由于lim k→∞εk =0，随k 的增大上式等号右边趋于一个常数: λ1. 这就证明了定理的结论.若矩阵A 为亏损矩阵，可利用矩阵的若当分解证明这个定理，这里略去. 在这种情况下，“主特征值的几何重数等于代数重数”这一条件很重要，例如，若A =[310030001] ,它的主特征值为3，但其几何重数为1，不满足条件. 对这个矩阵A 进行实验显示无法用幂法求出主特征值.关于定理5.12，再说明几点：● 当主特征值λ1为重特征值时，应要求其几何重数等于代数重数，此时特征子空间维数大于1，向量序列{v k λ1k ⁄}的收敛值是其特征子空间中的某一个基向量.● 公式(5.7)式的含义是相邻迭代向量分量的比值收敛到主特征值. 因此在实际计算时，可任意取j 的值，只需保证比值的分母不为零.● 证明中假设了α1≠0，在实际应用中往往随机选取v 0，由于存在舍入误差，它一般都能满足. 感兴趣的读者也可思考一下，若初始向量v 0恰好与主特征向量都正交，那么幂法中的迭代向量序列会有什么结果？直接使用幂法，还存在如下两方面问题：(1) 溢出：由于v k ≈λ1k x 1，则|λ1|>1时，实际计算v k 会出现上溢出（当k 很大时）；|λ1|<1时，实际计算v k 会出现下溢出（当k 很大时）.(2) 可能收敛速度很慢. 由于εk =∑αj (λj λ1)kx j n j=2， εk →0的速度取决于求和式中衰减最慢的因子|λ2λ1|，当|λ2λ1|≈1时，收敛很慢. 由此导致v k →λ1k α1x 1, (v k+1)j (v k )j →λ1的收敛速度都将很慢，严重影响计算的效率.下面采用规格化向量的技术防止溢出，导出实用的幂法. 关于加速收敛技术的讨论，见下一小节.定义 5.6：记max ̅̅̅̅̅̅(v )为向量v ∈ℝn 的绝对值最大的分量， max ̅̅̅̅̅̅(v )=v j ，其中j 满足|v j |=max 1≤k≤n |v k |, 若j 的值不唯一，则取最小的那个. 并且，称u =v/max ̅̅̅̅̅̅(v )为向量v 的规格化向量(normalized vector).例5.5（规格化向量）：设v =[3,−5,0]T ，max ̅̅̅̅̅̅(v )=−5，对应的规格化向量为u =[−35,1,0]T .根据定义5.6，容易得出规格化向量的两条性质.定理5.13: 定义5.6中的规格化向量满足如下两条性质：(1) 若u 为规格化向量，则‖u ‖ =1，并且max ̅̅̅̅̅̅(u )=1.(2) 设向量v 1和v 2的规格化向量分别为u 1和u 2，若v 1=αv 2, 实数α≠0，则u 1= u 2.在幂法的每一步增加向量规格化的操作可解决溢出问题. 先看第一步，v 1=Av 0，此时计算v 1的规格化向量u 1=v 1max ̅̅̅̅̅̅(v 1)=Av 0max ̅̅̅̅̅̅(Av 0). 然后使用规格化向量计算v 2:v 2=Au 1=A 2v 0max ̅̅̅̅̅̅(Av 0), (5.8) 再进行向量规划化操作，u 2=v 2max ̅̅̅̅̅̅(v 2)=A 2v 0max ̅̅̅̅̅̅(A 2v 0). (5.9) 公式(5.9)的推导，利用了(5.8)式和定理5.13的结论(2). 依次类推，我们得到： { v k =Au k−1=A k v 0max ̅̅̅̅̅̅(A k−1v 0) u k =v k max ̅̅̅̅̅̅(v k )=A k v 0max ̅̅̅̅̅̅(A k v 0) , k =1,2,⋯. (5.10) 根据定理5.12的证明过程， A k v 0=λ1k [α1x ̂1+∑αj (λj λ1)k x ̂j n j=2] ⟹u k =A k v 0max ̅̅̅̅̅̅(A k v 0)=α1x ̂1+∑αj (λj λ1)k x ̂j n j=2max ̅̅̅̅̅̅(α1x ̂1+∑αj (λj λ1)k x ̂j n j=2)k→∞→ x 1max ̅̅̅̅̅̅(x 1) , 即u k 逐渐逼近规格化的主特征向量. 同理，v k =Au k−1=A k v 0max ̅̅̅̅̅̅(A k−1v 0)=λ1k [α1x ̂1+∑αj (λj λ1)k x ̂j n j=2]max ̅̅̅̅̅̅(λ1k−1[α1x ̂1+∑αj (λj λ1)k−1x̂j n j=2]) =λ1α1x ̂1+∑αj(λj λ1)kx ̂j n j=2max ̅̅̅̅̅̅(α1x ̂1+∑αj (λj λ1)k−1x ̂j n j=2) 因此，根据定理5.13的结论(1)有：lim k→∞v k=λ1x1max̅̅̅̅̅̅(x1)⟹limk→∞max̅̅̅̅̅̅(v k)=λ1.基于上述推导，我们得到如下定理，以及如算法5.1描述的实用幂法.定理5.14: 设A∈ℝn×n，其主特征值唯一（且几何重数等于代数重数），记为λ1，取任意非零初始向量v0=u0，它不与主特征值对应的特征向量正交，按迭代公式(5.10)进行计算，则lim k→∞u k=x1max̅̅̅̅̅̅(x1),(5.11)lim k→∞max̅̅̅̅̅̅(v k)=λ1 ,(5.12)其中x1为主特征向量.算法5.1：计算主特征值λ1和主特征向量x1的实用幂法输入：v,A; 输出：x1,λ1.u:=v;While不满足判停准则dov:=Au;λ1:=max̅̅̅̅̅̅(v); {主特征值近似值}u:=v/λ1; {规格化}Endx1:=u. {规格化的主特征向量}在算法5.1中，可根据相邻两步迭代得到的主特征值近似值之差来判断是否停止迭代. 每个迭代步的主要计算是算一次矩阵与向量乘法，若A为稀疏矩阵则可利用它的稀疏性提高计算效率. 实用的幂法保证了向量序列{v k},{u k}不溢出，并且向量v k的最大分量的极限就是主特征值.最后，针对幂法的适用范围再说明两点：(1). 若实矩阵A对称半正定或对称半负定，则其主特征值必唯一（而且是非亏损阵）. 有时也可以估计特征值的分布范围，从而说明主特征值的唯一性. 只有满足此条件，才能保证幂法的收敛性.(2). 对一般的矩阵，幂法的迭代过程有可能不收敛，此时序列{u k}有可能包括多个收敛于不同向量的子序列，它趋向于成为多个特征向量的线性组合. 但是，一旦幂法的迭代过程收敛，向量序列的收敛值就一定是特征向量，并可求出相应的特征值.例5.6 (实用的幂法)：用实用的幂法求如下矩阵的主特征值：A=[3113] ,[解]: 取初始向量为v0=u0=[01]T . 按算法5.1的迭代过程，计算结果列于表5-1中.表5-1 实用幂法的迭代计算过程从结果可以看出，在每次迭代步中做的规格化操作避免了分量的指数增大或缩小. 经过9步迭代，特征值max ̅̅̅̅̅̅(v k )已非常接近主特征值的准确值4，特征向量也非常接近[1 1]T .5.2.2加速收敛的方法 加速幂法迭代收敛过程的方法主要有两种：原点位移技术和瑞利商（Rayleigh quotient ）加速. 下面做些简略的介绍.一. 原点位移技术原点位移技术，也叫原点平移技术，它利用定理5.9的结论(2)，即矩阵A −pI 的特征值为A 的特征值减去p 的结果. 对矩阵B =A −pI 应用幂法有可能得到矩阵A 的某个特征值λj 和相应的特征向量. 要使原点位移达到理想的效果，首先要求λj −p 是B 的主特征值，其次还要使幂法尽快收敛，即比例|λ2(B)λj −p |要尽量小，这里的λ2(B)表示矩阵B 的（按模）第二大的特征值. 在某种情况下设置合适的p 值，矩阵A,B 可同时取到主特征值. 图5-3显示了这样一个例子，矩阵A 的特征值分布在阴影区域覆盖的实数轴上，λ1为其主特征值. 按图中所示选取的p 值，将使得λ1−p 是矩阵B =A −pI 的主特征值，并且显然有|λ2(B)λ1−p |<|λ2(A)λ1| . 此时用幂法计算B 的主特征值能更快地收敛，进而得到矩阵的A 的主特征值. 图5-3也解释了原点位移法名字的由来，即将原点（或虚数坐标轴）移到p 的位置上，原始矩阵A 的特征值分布变成了矩阵B 的特征值分布.采用原点位移技术后，执行幂法仅带来很少的额外运算，而且仍然能利用矩阵A 的稀疏性. 它的关键问题是，如何选择合适的参数p 以达到较好的效果？这依赖于具体矩阵的情况，以及对其特征值分布的了解. 在后面，我们还会看到原点位移技术的其他用途.二. 瑞利商加速首先给出瑞利商的定义，以及它与特征值的关系，然后介绍瑞利商加速技术.定义5.7：设A ∈ℝn×n ，且为对称矩阵，对任一非零向量x ≠0，称R (x )=〈Ax,x 〉〈x,x 〉为对应于向量x 的瑞利商（Rayleigh quotient ）. 这里符号〈,〉代表向量内积.定理5.15：设A ∈ℝn×n ，且为对称矩阵，其n 个特征值依次为：λ1≥λ2≥⋯≥ λn ，则矩阵A 有关的瑞利商的上下确界分别为λ1和λn . 即∀x ≠0,λn ≤R (x )≤λ1,且当x 为λ1对应的特征向量时R (x )=λ1，当x 为λn 对应的特征向量时R (x )=λn .[证明]: 根据实对称矩阵的特点，即可正交对角化（定理3.3），设特征值λ1,λ2,⋯,λn 对应的单位特征向量为x 1,x 2,⋯,x n ，设x =∑αj x j n j=1，则〈x,x 〉=〈∑αj x j n j=1,∑αj x j n j=1〉=∑αj 2n j=1，而图5-3 原点位移技术示意图.。
第三章 特征值与矩阵的Jordan标准型
74
则
AU1 = U1
λ1 0 . . . 0
c12 c13 · · · c1n C1
.
由于 C1 为 n − 1 阶矩阵, 由归纳假设, 存在 n − 1 阶酉矩阵 U2 使 b22 b23 · · · b33 · · · ∗ U2 C1 U2 = B1 = .. . b2n b3n . . . bnn 为上三角矩阵. 令 U = U1 则 U ∗ AU = 1
证 注意 P 是第三种初等矩阵, P −1 = I − αEpq . 故 P −1 A 仅将 A 的第 q 行的 −α 倍加 到第 p 行, 因此所得矩阵仍是上三角矩阵且不改变 A 的对角线; AP 的意义类似. 因此知 B 是 与 A 的主对角线相同 (包括顺序) 的上三角矩阵. 直接计算可得 bpq . 例 3.1.1 设 λ1 = λ2 , P = I −
0. 故由分块 Schur 三角化定理, 可设 A = A1 ⊕ A2 ⊕ · · · ⊕ As , 其中 Ai 是特征值均为 λi 的 ni 阶上三角矩阵. 则 f (A) = (A − λ1 I )n1 (A − λ2 I )n2 · · · (B − λs I )ns . 由 例 3.1.2 可知, 对每个 i, 均有 (Ai − λi Ini )ni = 0, 故上式的第 i 个因子 (A − λi I )ni 的第 i 个 块为 ni 阶 0 矩阵, 从而整个乘积等于 0 矩阵. 由于 n 阶矩阵 A 的特征多项式是 n 次多项式, Cayley-Hamilton 定理表明, A 的 n 次幂 可由其较低次幂的线性组合给出, 因此, A 的高于 n 次的幂可由其低于 n 次的幂的线性组合给 出, 故对任意自然数 m, 有 Am ∈ Span{I, A, A2 , · · · , An−1 }. 换句话说, n 阶矩阵 A 的任意次幂均属于由 I, A, A2 , · · · , An−1 生成的 Mn (C) 的子空间. 这 就提供了一种计算高次幂的降幂算法. 例 3.1.3 设 A= 求 A2 , A3 , A4 . 解 A 的特征多项式为 f (λ) = λ2 − 4λ + 1, 所以 A2 − 4A + I = 0. 故知 A2 = 4A − I, A3 = 4A2 − A = 15A − 4I, A4 = 15A2 − 4A = 56A − 15I. 命 题 3.1.1 (Sylvester 降幂公式) 设 A 与 B 分别是 m × n 与 n × m 矩阵, m ≥ n. 则 |λIm − AB | = λm−n |λIn − BA|. 证 注意下述分块矩阵的恒等式: I B 0 I 因此, 矩阵 C1 = BA 0 A 0 与矩阵 C2 = 0 0 A AB 0 0 A AB = BA BAB A AB = BA 0 A 0 I B 0 I , 2 3 1 2 ,
矩阵的特征值的含义
矩阵的特征值的含义特征值就是那个矩阵所对应的⼀元多次⽅程组的根特征值表⽰⼀个矩阵的向量被拉伸或压缩的程度,例如特征值为1111111111,则表⽰经过变换以后,向量没有被拉伸,在物理上表⽰做刚体运动,相当与整体框架做了变动,但内部结构没有变化.量⼦⼒学中,矩阵代表⼒学量,矩阵的特征向量代表定态波函数,矩阵的特征植代表⼒学量的某个可能的观测值。
⼀个向量（或函数）被矩阵相乘，表⽰对这个向量做了⼀个线性变换。
如果变换后还是这个向量本⾝乘以⼀个常数，这个常数就叫特征值。
这是特征值的数学涵义；⾄于特征值的物理涵义，根据具体情况有不同的解释。
⽐如动⼒学中的频率，稳定分析中的极限荷载，甚⾄应⼒分析中的主应⼒矩阵的特征值要想说清楚还要从线性变换⼊⼿，把⼀个矩阵当作⼀个线性变换在某⼀组基下的矩阵，最简单的线性变换就是数乘变换，求特征值的⽬的就是看看⼀个线性变换对⼀些⾮零向量的作⽤是否能够相当于⼀个数乘变换，特征值就是这个数乘变换的变换⽐，这样的⼀些⾮零向量就是特征向量，其实我们更关⼼的是特征向量，希望能把原先的线性空间分解成⼀些和特征向量相关的⼦空间的直和，这样我们的研究就可以分别限定在这些⼦空间上来进⾏，这和物理中在研究运动的时候将运动分解成⽔平⽅向和垂直⽅向的做法是⼀个道理！⽤matlab求矩阵最⼤特征值的特征向量⽤函数[V,D]=eig(A)矩阵D的对⾓元存储的是A的所有特征值，⽽且是从⼩到⼤排列的矩阵V的每⼀列存储的是相应的特征向量所以应该是V的最后⼀个列就是最⼤特征值的特征向量特征向量-定义数学上，线性变换的特征向量（本征向量）是⼀个⾮退化的向量，其⽅向在该变换下不变。
该向量在此变换下缩放的⽐例称为其特征值（本征值）。
图1给出了⼀幅图像的例⼦。
⼀个变换通常可以由其特征值和特征向量完全描述。
特征空间是相同特征值的特征向量的集合。
这些概念在纯数学和应⽤数学的很多领域发挥着巨⼤的作⽤—在线性代数，泛函分析，甚⾄在⼀些⾮线性的情况中也有着显著的重要性。
矩阵的标准型及分解
1
1
2
2
解： A 的特征值为 `1 0, `2 `3 `4 1，则
JA
A1 ( 2)
A2
(1)
因为特征值 `1 0 为单根，所以 A1(0) 0
并从 ( A 0 I )x 解得对应的特征向量为
1 (1, 3,1, 2)T
对于三重特征值 `2 `3 `4 1 ，由 ( A (1) I )x 解得两个特征向量为
的基底变换，其目的在于寻找描述同一系统的运动行
为的尽可能简单的状态空间描述。
求下列状态方程的约当标准型：
0 1 0 0
x
Ax
Bu
0
0
1
x
0
u
2 3 0 1
这里矩阵 A 是特征多项式 | I A |的友矩阵。
解： | I A | 3 3 2 ( 2)( 1)2 0
n1
n2
nt
即矩阵 A 是可对角化矩阵。显然正规矩阵是一类最
特殊的可对角化矩阵。
例 3 求矩阵 A 的 Jordan标准型 J A 和相应的 Jordan变换矩阵 P ，其中
1 1 0 A 4 3 0
1 0 2
解： A 特征值为 `1 2, `2 `3 1 ，所以设
JA
A1 ( 2)
,
p( ni ij
j))
由 Ap i j pi j J j ( i ) ，可知
( A i I ) pi(1j )
(
A
i
I
)
pi(
2 j
)
pi(1j )
(
A
i
I
)
p( ni ij
j
)
p( ni j 1) ij
矩阵的特征值与特征向量
1
所以，A 的特征值为 1 2 , 2 3 1,
7
当 1 2 时, 解方程组 ( 2 I A ) x 0 ,
1 x1 2 1 x 2 0, 即 1 2 x 3 1 解之得基础解系为 p 1 1 , 1 2 1 1 1
故 1是 A1的特征值, 且 x 也是 A1对应于1的特征向量.
24
性质2 矩阵 A 和 AT 的特征值相同. 证 因为 IAT = ( I)TAT = ( IA)T 所以 det ( IA) = det ( IAT)
因此, A 和AT 有完全相同的特征值.
补充 性质 设 是方阵 A 的特征值.设
(*)式中不含 的常数项为
a 11 a 21 a n1 a 12 a 22 an2 a1n a2n a nn
21
( 1) A ,
n
即 c n ( 1) A
n
f 所以， ( ) I A ( 1 )( 2 ) ( n )
的全部特征向量.
9
例
2 设矩阵 A 2 0
2 1 2
0 2 , 求 A 的特征值. 0
解 A 的特征多项式为
2 I A
2 0 2 0 2 ( 2 )( 1 )( 4 ),
1
2
所以，A 的特征值为 1 2 , 2 1 , 3 4 . 特征值的计算不容易！！
0 A 1 1 1 0 1 1 1 0
所以 k 1 p 1 是对应于 1 2 的全部特征向量;
矩阵的行列式和特征值的计算公式
矩阵的行列式和特征值的计算公式矩阵是一个高度抽象的数学概念，是很多科学领域都必不可少的工具。
矩阵的行列式和特征值是矩阵理论中的两个基本概念，也是很多实际问题中需要用到的关键概念。
本文将详细介绍矩阵的行列式和特征值的计算公式，帮助读者更好地理解和运用这些概念。
一、矩阵的行列式矩阵的行列式是一个数值，可以理解为矩阵在某种意义下的“大小”。
定义矩阵$A=(a_{ij})_{n\times n}$的行列式为：$$\det(A)=\sum_{\sigma\inS_n}\operatorname{sgn}(\sigma)a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)}$$其中，$S_n$表示$n$个数的全排列集合，$\sigma$是其中一个排列，$\operatorname{sgn}(\sigma)$是$\sigma$的符号，定义为$\operatorname{sgn}(\sigma)=(-1)^{\text{逆序数}}$，$a_{i\sigma(i)}$表示矩阵$A$的第$i$行，第$\sigma(i)$列的元素。
在计算行列式时，按照定义，需要对$S_n$中的每一个排列求积，逐一带入以上公式中，最终将求和得到行列式的值。
对于2阶和3阶矩阵，可以通过简单的公式直接计算行列式。
对于一个2阶矩阵$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} &a_{22} \\ \end{pmatrix}$，$$\det\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\\end{pmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}$$对于一个3阶矩阵$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\\end{pmatrix}$，$$\begin{aligned} &\det\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} &a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{pmatrix} \\=&a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} -a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}\end{aligned}$$但对于高维矩阵，直接计算行列式就不可行了。
什么是标准型矩阵
什么是标准型矩阵标准型矩阵是线性代数中的重要概念，它在数学和工程领域都有着广泛的应用。
在矩阵理论中，标准型矩阵是一种特殊的方阵，具有一些特定的性质和特征。
本文将对标准型矩阵进行详细的介绍，包括定义、性质、应用等方面的内容。
首先，让我们来了解一下标准型矩阵的定义。
标准型矩阵是指一个方阵，它具有一些特殊的性质，首先，它是一个方阵，也就是说它的行数和列数相等；其次，它是一个对角矩阵，即除了对角线上的元素外，其他元素都为零；最后，对角线上的元素是按照一定的顺序排列的，通常是从大到小排列。
这样的矩阵具有简洁的形式，便于进行计算和分析。
标准型矩阵具有一些特定的性质，这些性质使它在数学和工程领域有着广泛的应用。
首先，标准型矩阵可以简化线性方程组的求解过程，特别是在求解特征值和特征向量的问题时，标准型矩阵可以大大简化计算过程，提高计算效率。
其次，标准型矩阵在控制理论、信号处理、图像处理等领域有着重要的应用，它可以帮助我们分析和处理复杂的系统，提高系统的稳定性和性能。
此外，标准型矩阵还在数值计算、优化理论、统计学等领域有着重要的应用，可以帮助我们解决各种实际问题。
在实际应用中，我们经常会遇到标准型矩阵的问题，因此了解标准型矩阵的性质和应用是非常重要的。
在处理实际问题时，我们可以通过将原始矩阵进行相似变换，将其转化为标准型矩阵，从而简化计算过程，得到更加简洁和直观的结果。
因此，掌握标准型矩阵的相关知识，对于提高我们的数学建模和问题求解能力有着重要的意义。
总之，标准型矩阵是线性代数中的重要概念，它具有简洁的形式和重要的应用价值。
通过对标准型矩阵的深入了解，我们可以更好地理解和应用线性代数的相关知识，提高数学建模和问题求解的能力。
希望本文对读者们对标准型矩阵有所帮助，也希望大家能够在学习和工作中灵活运用标准型矩阵的相关知识，发挥它在实际问题中的重要作用。
什么叫标准型矩阵
什么叫标准型矩阵标准型矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在数学和工程领域中有着广泛的应用。
在矩阵理论中，标准型矩阵是一种特殊的矩阵形式，具有一些特定的性质和特征。
本文将对标准型矩阵进行详细的介绍，包括其定义、特点、性质以及在实际应用中的意义。
首先，让我们来看一下标准型矩阵的定义。
标准型矩阵是指具有特定形式的矩阵，通常是指对角矩阵或者上三角矩阵。
对角矩阵是指除了对角线上的元素外，其余元素均为零的矩阵，而上三角矩阵则是指除了对角线及其以上的元素外，其余元素均为零的矩阵。
这些特殊的形式使得标准型矩阵具有一些重要的性质和特点，在矩阵运算和应用中具有重要的作用。
其次，标准型矩阵具有一些重要的性质。
首先，标准型矩阵是可逆的，即存在逆矩阵使得其乘积为单位矩阵。
其次，标准型矩阵的特征值可以通过其对角线上的元素直接得到，这对于矩阵的特征值分解和特征向量求解有着重要的意义。
此外，标准型矩阵在线性方程组的求解和矩阵变换中也具有重要的作用，可以简化复杂的运算和问题求解过程。
在实际应用中，标准型矩阵有着广泛的意义和应用价值。
首先，在工程领域中，标准型矩阵常常用于描述线性系统的动态特性和稳定性，例如控制系统的状态空间表示和传递函数求解。
其次，在数学建模和优化问题中，标准型矩阵可以简化问题的求解过程，提高计算效率和精度。
此外，在信号处理和图像处理领域，标准型矩阵也有着重要的应用，例如傅里叶变换和小波变换等。
总之，标准型矩阵是线性代数中的重要概念，具有重要的理论意义和实际应用价值。
通过对标准型矩阵的深入理解和研究，可以更好地应用和推广其在科学和工程领域中的作用，促进相关领域的发展和进步。
希望本文能够对读者对标准型矩阵有所帮助，同时也欢迎对该领域感兴趣的读者进行进一步的探讨和研究。
什么是标准型矩阵
什么是标准型矩阵标准型矩阵是指一个矩阵具有特定的性质和特征，它在线性代数和数学分析中具有重要的作用和应用。
在矩阵理论中，标准型矩阵是一个非常基础的概念，对于研究矩阵的性质和应用具有重要的意义。
本文将从标准型矩阵的定义、性质和应用等方面进行介绍，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
首先，我们来看一下标准型矩阵的定义。
标准型矩阵是指一个矩阵具有特定的形式和结构，可以通过一系列的变换将其化为标准形式。
在实际应用中，标准型矩阵通常是指对角矩阵或者上三角矩阵。
对角矩阵是指除了对角线上的元素之外，其他元素都为零的矩阵；而上三角矩阵是指主对角线以下的元素都为零的矩阵。
通过相似变换，任意一个矩阵都可以化为对角矩阵或者上三角矩阵，这就是标准型矩阵的基本定义。
其次，我们来看一下标准型矩阵的性质。
标准型矩阵具有一些重要的性质，这些性质对于研究矩阵的性质和应用具有重要的意义。
首先，对角矩阵的特征值就是其对角线上的元素，这为矩阵的特征值分解提供了便利；其次，对角矩阵的乘法运算非常简单，只需要将对角线上的元素相乘即可，这对于矩阵的运算和求逆等操作提供了便利；再次，上三角矩阵的行列式就是其对角线上的元素之积，这为矩阵的行列式计算提供了便利。
这些性质使得标准型矩阵在矩阵理论和实际应用中具有重要的地位。
最后，我们来看一下标准型矩阵的应用。
标准型矩阵在线性代数、数学分析、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
在线性代数中，对角化矩阵可以简化矩阵的运算和求解，使得复杂的线性方程组和矩阵方程可以更加方便地求解；在数学分析中，对角化矩阵可以简化矩阵函数的计算，使得矩阵函数的性质和特征更加清晰地展现出来；在物理学和工程学中，对角化矩阵可以简化物理系统的描述和分析，使得复杂的物理问题可以更加直观地理解和求解。
可以说，标准型矩阵在各个领域都有着重要的应用和意义。
综上所述，标准型矩阵是一个在线性代数和数学分析中具有重要意义和应用的概念。
通过对标准型矩阵的定义、性质和应用进行介绍，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一概念，同时也希望能够引起读者对于矩阵理论和应用的兴趣，促进相关领域的学术研究和技术应用的发展。
特征值法求标准型
特征值法求标准型
特征值法是用于求解矩阵标准型的一种方法。
具体步骤如下：
1.求解特征值：首先，我们需要找到矩阵的特征值。
特征值可以通过特
征方程求解，特征方程为det(A-λI)=0，其中I是单位矩阵。
通过求解特征方程的根，我们可以获得矩阵A的所有特征值。
2.求解特征向量：当我们找到一个非零向量X，使得AX=λX时，我们
称λ是A的特征值，X是对应的特征向量。
通过求解特征方程，我们可以找到对应于每个特征值的特征向量。
3.建立变换矩阵：我们可以通过将原始矩阵A与一个由特征向量组成
的矩阵相乘，得到一个新的矩阵。
这个新的矩阵是对角线矩阵，对角线上的元素就是原矩阵的特征值。
这个过程被称为对角化。
4.得到标准型：通过对角化后的矩阵，我们可以得到原矩阵A的标准
型。
标准型是一种特殊的矩阵形式，其元素在主对角线上为特征值，其他位置为零。
需要注意的是，这只是一种基本的方法，实际应用中可能需要根据具体情况进行适当的调整。
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标准型矩阵特征值
矩阵特征值，也称为本征值，是矩阵的一个重要特征。
以下是一个标准型矩阵特征值的制作过程：
1. 定义矩阵：我们需要定义一个n阶方阵，用字母A表示。
为了简化，我们可以假设矩阵的元素都为实数。
2. 计算特征多项式：接下来，我们需要计算特征多项式。
特征多项式是通过对矩阵A 进行特征值求解得到的。
其计算公式为det(A-λI)，det表示求矩阵的行列式，λ为一个未知数，I为单位矩阵。
3. 求解特征值：特征多项式是一个关于λ的多项式方程，我们需要对其进行求解。
在求解过程中，一般会得到n个不同的特征值。
4. 构建对角矩阵：特征值求解完成后，我们将特征值按照大小的顺序排列，并将其组成一个对角矩阵。
对角矩阵的对角线上的元素就是矩阵的特征值，而其它位置上的元素都为0。
5. 选择特征向量：为了进一步描述矩阵的特征，我们需要选择与每个特征值相对应的特征向量。
特征向量是由原矩阵A乘以特征值λ得到的。
6. 形成标准型矩阵：我们将特征向量按照特征值的顺序排列，构成一个n×n的矩阵P。
标准型矩阵的公式为Λ = P^-1 × A × P，其中Λ表示标准型矩阵。
通过以上步骤，我们就可以得到一个标准型矩阵特征值。
这个过程在数学和物理等领域有广泛的应用，能够帮助我们理解矩阵的性质和行为。