第三章一阶线性微分方程组第一讲一阶微分方程组与解的存在唯一性定理

第一讲 一阶微分方程组及解的存在惟一性定理（2课时）

一、 目的与要求: 了解高阶微分方程与一阶微分方程组的等价关系, 理解用向量和矩阵来研 究一阶微分方程组的作用, 了解微分方程组解的存在唯一性定理.

二、重点：一阶微分方程组的向量和矩阵表示及解的存在唯一性定理.

三、难点：向量和矩阵列的收敛性的定义, 二者的范数定义及其相关性质.

四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程：

1 课题引入

在前两章里，我们研究了含有一个未知函数的常微分方程的解法及其解的性质.但是，在很多实际和理论问题中，还要求我们去求解含有多个未知函数的微分方程组，或者研究它们的解的性质.

例如，已知在空间运动的质点(,,)P x y z 的速度与时间t 及该点的坐标的关系为(,,)x y z v v v v

123(,,,)(,,,)(,,,)x y z

v f t x y z v f t x y z v f t x y z =⎧⎪

=⎨⎪=⎩

且质点在时刻0t 经过点000(,,)x y z ，求该质点的运动轨迹。

因为,x y dx dy v v dt dt ==和z dz

v dt =, 所以这个问题其实就是求

一阶微分方程组

123(,,,)

(,,,)(,,,)x f t x y z y f t x y z z f t x y z =⎧⎪

=⎨⎪=⎩

的满足初始条件

00(),x t x = 00(),y t y = 00()z t z =

的解(),(),()x t y t z t .

另外，在n 阶微分方程

（1.12）

()

(1)

(,,,

,)n n y

f x y y y

-'=

中,令

(1)

121,,

,n n y y y y y

y --'''===就可

以把它化成等价的一阶微分方程组

112

21111(,,,,)

n n n n dy y dx dy y

dx dy y dx dy

f x y y y dx

----⎧=⎪⎪

⎪=⎪⎪⎨⎪

⎪=⎪⎪⎪=

⎩

注意，这是一个含n 个未知函数11,,,n y y y - 的一阶微分

方程组.

含有n 个未知函数12,,,n y y y 的一阶微分方程组的一般形

式为：

1

1122112112(,,,,)(,,,,)(,,,,)

n n n n dy f x y y y dx dy f x y y y dx dy f x y y y dx

⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪⎪

⎪=⎪

⎩ (3.1)

如果方程组(3.1)右端函数不显含x , 则相应的方程称为是自治的. 方程组(3.1)在[,]a b 上的一个解，是这样的一组函数

12(),(),

,()n y x y x y x

使得在[,]a b 上有恒等式

12()

(,(),(),,())

i i n dy x f x y x y x y x dx

=

(1,2,

,)i n =

含有n 个任意常数12,,,n C C C 的解

1112221212(,,,,)(,,,,)(,,,,)

n n n n n y x C C C y x C C C y x C C C ϕϕϕ=⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩

称为(3.1)的通解. 如果通解满足方程组

11212212121212(,,,,,,,,)0(,,,,,,,,)0(,,,,,,,,)0

n n n n n n n x y y y C C C x y y y C C C x y y y C C C Φ=⎧⎪Φ=⎪⎨⎪⎪Φ=⎩

则称后者为(3.1)的通积分.

如果已求得(3.1)的通解或通积分，要求满足初始条件

1010202000(),(),

,()n n y x y y x y y x y ===

(3.2)

的解，可以把初始条件(3.2)代入通解或通积分之中，得到关于12,,

,n C C C 的n 个方程式，如果从其中解得12,,

,n C C C ，

再代回通解或通积分中，就得到所求的初值问题的解.

2 一阶微分方程组的向量和矩阵表示

为了简洁方便，经常采用向量与矩阵来研究一阶微分方程组(3.1). 令n 维向量函数

12()()(),

()n y x y x Y x y x ⎡⎤

⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥

⎣⎦

11221212(,,,,)(,,,,)(,)(,,,

,)n n n n f x y y y f x y y y F x Y f x y y y ⎡⎤

⎢⎥⎢⎥

=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

并定义

111()

,dy dx dy dY x dx dx dy dx ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

00

001()()()()x x x x n x x x n x f x dx f x dx F x dx f x dx ⎡⎤⎢⎥⎢⎥

⎢⎥

=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎰⎰⎰⎰

则(3.1)可记成向量形式