存在唯一性定理证明

根的存在性和唯一性的常用证明思路与步骤（以一个习题一题多解为例）

所以可得：存在x2>x0，使f(x2)<0(参照证明一)，由零点定理，存在c∈(x0,x2)，使f(c)=0，即方程f(x)=0在(0,+∞)内有唯一实根x=c．
(2)【证法二】：(根的唯一性)因为f’’(x)≤a<0，所以曲线y=f(x)在[0,+∞)上是严格凸的，又由f(0)=0,f’(x0)=0，可知，x0为f(x)在(0,+∞)内唯一的驻点，且取最大值f(x0)>0. 并且当0<x<x0 时，f(x)严格单调递增，f(x)>0；当x>x0时，f(x)严格单调递减，于是f(x)=0在(0,+∞)内最多有一个根，且若存在只能在(x0,+∞)内. (根的存在性) f(x)在x0处的一阶泰勒公式为
f(x)=0在0<x<x0内无实根. 当x>x0时，f’(x)<f’(x0)=0，则f(x)在严格单调递减，方程f(x)=0在x>x0时至多只有一个实
根. (根的存在性证明一)由拉格朗日中值定理，有
由于f’(x0)=0，所以
再由拉格朗日中值定理，存在η∈(x0,x)，使得
由于a<0，所以存在x2>x0，使f(x2)<0(参照证明一)，由零点定理，存在c∈(x0,x2)，使 f(c)=0，即方程f(x)=0在(0,+∞)内有唯一实根x=c． (根的存在性证明二)f(x)在x0处的一阶泰勒公式为
所以
所以由零点定理, 在[x2,x1]上, 可知存在 c∈(x2,x1), 使得 f(c)=0. 所以在[0,c]上使用罗尔定理, 则有x0∈(0,c), 使得f’(x0)=0.
假设除了c外函数还有一个非零的零点x3, 则有0, c, x3为函数f(x)的零点，则两两使用罗尔定理可得两个一阶导数等于零的点, 对一阶导数结果再使用罗尔定理, 可得存在二阶导数等于 0的点, 所以与二阶导数小于0矛盾，因此函数只有一个非零的零点. 【证明二】 (1)【证明一】：由拉格朗日中值定理，对任意x>0，有由于f’’(x)≤a<0,x>0，所以存在x1>0，使f’(x1)<0(参考证明一)，故由零点定理可知，存在x0∈(0,x1)，使f’(x0)=0. (1)【证明二】：拉格朗日中值定理，对任意x>0，并由f’’(x)≤a<0，有

解的存在唯一性定理证明

存在唯一性定理如(,)f x y 在R 上连续且关于y 满足利普希茨条件，则方程(,),dyf x y dx=在区间0x x h -≤上存在唯一解00(),()y x x y ϕϕ==，其中(,)min ,,max (,)xy R bh a M f x y M∈⎛⎫== ⎪⎝⎭逐步迫近法微分方程(,)dyf x y dx=等价于积分方程00(,)xxy y f x y dx =+⎰取00()x y ϕ=，定义001()(,()),1,2,xn n x x y f x x dx n ϕϕ-=+=⎰ 可证明lim ()()n n x x ϕϕ→∞=的()y x ϕ=满足积分方程。

通过逐步迫近法可证明解的存在唯一性。

命题1 先证积分方程与微分方程等价：设()y x ϕ=是微分方程(,)dyf x y dx =定义于区间00x x x h ≤≤+上满足初值条件00()x y ϕ=的解，则()y x ϕ=是积分方程000(,),xx y y f x y dx x x x h =+≤≤+⎰定义于区间00x x x h ≤≤+上的连续解。

反之亦然。

证因()y x ϕ=是微分方程(,)dyf x y dx=的解，有 ()(,())d x f x x dxϕϕ= 两边从0x 到0x h +取定积分0000()()(,()),xx x x f x x dx x x x h ϕϕϕ-=≤≤+⎰代入初值条件00()x y ϕ=得0000()(,()),xx x y f x x dx x x x h ϕϕ=+≤≤+⎰即()y x ϕ=是积分方程0000(,),xx y y f x y dx x x x h =+≤≤+⎰定义于区间00x x x h ≤≤+上的连续解。

反之，则有0000()(,()),xx x y f x x dx x x x h ϕϕ=+≤≤+⎰微分之()(,())d x f x x dxϕϕ= 且当0x x =时有00()x y ϕ=。

一阶线性微分方程解的存在唯一性证明

一阶线形微分方程解的存在唯一性定理的证明)()(x q y x p dxdy +=摘要:从分析方法入手,来证明满足初值条件下一阶线形微分方程解的存在唯一性定理的证明.引言:我们学习了能用初等解法的一阶方程的若干类型,但同时知道大量的一阶方程是不能用初等解法求出它的通解,而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解,因此对初值问题的研究被提到重要地位,自然要问:初值问题的解是否存在?如果存在是否唯一?首先,我们令f(x,y)=p(x)y+q(x) 这里f(x,y)是在矩形域R:上的连续函数.b y y a x x ≤-≤-00,函数f(x,y)称为在R 上关于y 满足利普希兹条件,如果存在常数L>0使不等式对于所有的都成立,L 称2121),(),(y y L y x f y x f -≤-R y x y x ∈),(),,(21为利普希兹常数下面我们给出一阶线形微分方程(1)解的存在唯一性)()(x q y x p dxdy+=定理:如果f(x,y)=p(x)y+q(x)在R 上连续且关于y 满足利普希兹条件,则方程(1)存在唯一的解,定义于区间上,连续)(x y ϕ=h x x ≤-0且满足初始条件:这里 00)(y x =ϕ),min(Mba h =),(max y x f M =R y x ∈),(我们采用皮卡的逐步逼近法来证明这个定理,为了简单起见,只就区间来讨论,对于的讨论完全一样.h x x x +≤≤0000x x h x ≤≤-现在简单叙述一下运用逐步逼近法证明定理的主要思想,首先证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程的连续解这里我们用f(x,y)=p(x)y+q(x)来[]⎰++=x x dx x q y x p y y 0)()(0替代,因此也就等价于求积分方程的连续解,然⎰+=xx dx y x f y y 0),(0后去证明积分方程的解的存在唯一性.任取一个连续函数代入上面的积分方程右端的y 就得)(0x ϕ到函数dx x x f y x xx ))(,()(0001⎰+≡ϕϕ显然也是连续解,如果那么就是积分方)(1x ϕ)(1x ϕ≡)(0x ϕ)(0x ϕ程的解.否则,我们又把代入积分方程右端的y 得到)(1x ϕ dxx x f y x xx ))(,()(0102⎰+≡ϕϕ如果 ,那么就是积分方程的解,否则我们继≡)(2x ϕ)(1x ϕ)(1x ϕ续这个步骤.一般地做函数 (2)dx x x f y x xx n n ))(,()(010⎰-+≡ϕϕ这样就得到连续函数序列,……)(0x ϕ)(1x ϕ)(x n ϕ如果那么就是积分方程的解,如果始终不发生这种≡+)(1x n ϕ)(x n ϕ)(x n ϕ情况,我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数即)(x ϕ 存在因此对(2)取极限就得到)()(lim x x n n ϕϕ=∞→dxx x f y x xx n n n n ))(,(lim )(lim 010⎰-∞→∞→+=ϕϕ =dxx x f y xx n n ))(,(lim 010⎰-∞→+ϕ =dxx x f y xx ))(,(00⎰+ϕ即 dxx x f y x xx ))(,()(00⎰+≡ϕϕ这就是说是积分方程的解,这种一步一步地求出方程的解的方法)(x ϕ就成为逐步逼近法,由(2)所确定的函数称为问题(1)的n 次近)(x n ϕ似解,在定理的假设条件下以上步骤是可以实现的下面我们分四个命题来证明这个定理.命题1,设是一阶线形微分方程(1)的定义于区间)(x y ϕ=上的,且满足初始条件的解,则是积分方h x x x +≤≤0000)(y x =ϕ)(x y ϕ=程()的定义于上的连续解,反⎰+=xx dx y x f y y 0),(0h x x x +≤≤00h x x x +≤≤00之亦然.因为是一阶线形微分方程(1)的解故有)(x y ϕ=))(,()(x x f dxx d ϕϕ=两边从到x 取定积分得到0x dx x x f x x x x ))(,()()(00⎰≡-ϕϕϕhx x x +≤≤00把代上式,即有00)(y x =ϕ dx x x f y x xx ))(,()(00⎰+≡ϕϕhx x x +≤≤00因此, 是积分方程定义于上的)(x y ϕ=⎰+=xx dx y x f y y 0),(0h x x x +≤≤00连续解反之如果是积分方程的连续解,则有)(x y ϕ=⎰+=xx dx y x f y y 0),(0 (3)dx x x f y x xx ))(,()(00⎰+≡ϕϕh x x x +≤≤00微分之,得到))(,()(x x f dxx d ϕϕ=又把代入(3)得到0x x =00)(y x =ϕ因此是方程(1)的定义于上且满足初始条件)(x y ϕ=h x x x +≤≤00的解.命题1证毕.00)(y x =ϕ现在取,构造皮卡逐步逼近函数序列如下:00)(y x =ϕ ⎪⎩⎪⎨⎧+==⎰-x x n nd f y x y x 0))(,()()(1000ξξϕξϕϕh x x x +≤≤00(n=1,2,…)(4)命题2 函数序列在上是一致收敛的{})(x n ϕh x x x +≤≤00证明:我们考虑级数 (5)[]∑∞=--+110)()()(k k k x x x ϕϕϕh x x x +≤≤00它的部分和为=[]∑=--+nk k k x x x 110)()()(ϕϕϕ)(x ϕ因此,要证明序列在上一致收敛,只需证明级数(5)在{})(x n ϕh x x x +≤≤00上一致收敛.为此,我们进行如下估计.由(4)有h x x x +≤≤00 (6))())(,()()(00001⎰-≤≤-xx x x M d f x x ξξϕξϕϕ及 ⎰-≤-xx d f f x x 0))(,())(,()()(0112ξξϕξξϕξϕϕ利用利普希兹条件及(6)得到⎰-≤-xx d L x x 0)()()()(0112ξξϕξϕϕϕ =ξξd x M L x x ⎰-≤0)(020)(!2x x ML-设对于正整数n,不等式nn n n x x n ML x x )(!)()(011-≤---ϕϕ成立,则有利普希兹条件,当时,有h x x x +≤≤00 ⎰-+-≤-x x n n n n d f f x x 0))(,())(,()()(11ξξϕξξϕξϕϕ⎰--≤xx n n d L 0)()(1ξξϕξϕ100)()!1()(!+-+=-≤⎰n n xx nnx x n ML d x n ML ξξ于是,由数学归纳法得知,对于所有的正整数k,有如下的估计(7)k k k k x x k ML x x )(!)()(011-≤---ϕϕh x x x +≤≤00从而可知,当时h x x x +≤≤00 (8)kk k k h k ML x x !)()(11--≤-ϕϕ(8)的右端是正项收敛级数∑∞=1!k kkk h ML的一般项,由维尔斯特拉斯判别法级数(5)在上一h x x x +≤≤00致收敛,因而序列也在上一致收敛,命题2证毕.{})(x n ϕh x x x +≤≤00命题3 是积分方程(2)的定义于上的连续解.)(x ϕh x x x +≤≤00证明: 由利普希兹条件)()())(,())(,(x x L x x f x x f n n ϕϕϕϕ-≤-以及在上一致收敛于,即知序列{})(x n ϕh x x x +≤≤00)(x ϕ{}{})(,()(x x f x f n n ϕ≡在上一致收敛于.因而对于(4)两边取极h x x x +≤≤00{})(,(x x f ϕ限,得到dxx x f y x xx n n n n ))(,(lim )(lim 010⎰-∞→∞→+≡ϕϕ =⎰-∞→+xx n n d f y 0))(,(lim 10ξξϕξ即⎰+=xx d f y x 0))(,()(0ξξϕξϕ这就是说是积分方程(2)的定义于上的连续解.命)(x ϕh x x x +≤≤00题3证毕.命题4 设是积分方程(2)的定义于上的一个连)(x φh x x x +≤≤00续解,则 , )()(x x ϕφ≡hx x x +≤≤00证明:我们首先证明也是序列的一致收敛极限函数.)(x φ{})(x n ϕ为此,从0)(y x =ϕ (n=1,2,…)⎰+=xx n d f y x 0))(,()(0ξξϕξϕ ξξφφd x f y x xx ))(,()(00⎰+≡我们可以进行如下估计)()(,()()(000x x M d f x x xx -≤≤-⎰ξξφξφϕξξφξξϕξφϕd f f x x x x ⎰-≤-0))(,())(,()()(01 ξξφξϕd L xx ⎰-≤0)()(0 200)(!2)(0x x MLd x ML xx -=-≤⎰ξξ现设,则有n n n x x n ML x x )(!)()(011-≤---φϕ ξξφξξϕξφϕd f f x x xx n n ⎰-≤--0))(,())(,()()(1 ξξφξϕd L xx n ⎰-≤-0)()(1 100)()!1()(!+-+=-≤⎰n xx Nx x n MLd x n ML ξξ故有数学归纳法得知,对于所有的正整数n,有下面的估计式(10)10)()!1()()(+-+≤-n nn x x n ML x x φϕ因此,在上有h x x x +≤≤00 (11)1)!1()()(++≤-n n n h n ML x x φϕ是收敛级数的公项,故因而1)!1(++n n h n ML 0)!1(1→+∞→+n n h n ML n 时在上一致收敛于,根据极限的唯一性,即得{})(x n ϕh x x x +≤≤00)(x φ)()(x x ϕφ≡h x x x +≤≤00命题4证毕.综合1-4,即得到一阶线性微分方程解的存在唯)()(x q y x p dxdy+=一定理的证明.。

一阶线性微分方程解的存在唯一性证实[解答]

一阶线形微分方程)()(x q y x p dxdy+=解的存在唯一性定理的证明摘要:从分析方法入手,来证明满足初值条件下一阶线形微分方程解的存在唯一性定理的证明.引言:我们学习了能用初等解法的一阶方程的若干类型,但同时知道大量的一阶方程是不能用初等解法求出它的通解,而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解,因此对初值问题的研究被提到重要地位,自然要问:初值问题的解是否存在?如果存在是否唯一?首先,我们令f(x,y)=p(x)y+q(x) 这里f(x,y)是在矩形域 R:b y y a x x ≤-≤-00,上的连续函数.函数f(x,y)称为在R 上关于y 满足利普希兹条件,如果存在常数L>0使不等式2121),(),(y y L y x f y x f -≤- 对于所有的R y x y x ∈),(),,(21 都成立,L 称为利普希兹常数下面我们给出一阶线形微分方程)()(x q y x p dxdy+=(1)解的存在唯一性定理:如果f(x,y)=p(x)y+q(x)在R 上连续且关于y 满足利普希兹条件,则方程(1)存在唯一的解)(x y ϕ=,定义于区间h x x ≤-0上,连续且满足初始条件:00)(y x =ϕ 这里 ),min(Mba h = ),(max y x f M = Ry x ∈),(我们采用皮卡的逐步逼近法来证明这个定理,为了简单起见,只就区间h x x x +≤≤00来讨论,对于00x x h x ≤≤-的讨论完全一样.现在简单叙述一下运用逐步逼近法证明定理的主要思想,首先证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程[]⎰++=xx dx x q y x p y y 0)()(0的连续解这里我们用f(x,y)=p(x)y+q(x)来替代,因此也就等价于求积分方程 ⎰+=xxdx y x f y y 0),(0 的连续解,然后去证明积分方程的解的存在唯一性.任取一个连续函数)(0x ϕ 代入上面的积分方程右端的y 就得到函数dx x x f y x xx))(,()(0001⎰+≡ϕϕ 显然)(1x ϕ也是连续解,如果)(1x ϕ≡)(0x ϕ那么)(0x ϕ就是积分方程的解.否则,我们又把)(1x ϕ代入积分方程右端的y 得到dx x x f y x xx ))(,()(0102⎰+≡ϕϕ如果 ≡)(2x ϕ)(1x ϕ,那么)(1x ϕ就是积分方程的解,否则我们继续这个步骤.一般地做函数 dx x x f y x xx n n ))(,()(010⎰-+≡ϕϕ (2)这样就得到连续函数序列,)(1x ϕ…)(x n ϕ…如果≡+)(1x n ϕ)(x n ϕ那么)(x n ϕ就是积分方程的解,如果始终不发生这种情况,我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数)(x ϕ即)()(lim x x n n ϕϕ=∞→ 存在因此对(2)取极限就得到dx x x f y x xx n n n n ))(,(lim )(lim 010⎰-∞→∞→+=ϕϕ=dxx x f y xx n n ))(,(lim 010⎰-∞→+ϕ=dxx x f y xx))(,(00⎰+ϕ即 dxx x f y x xx))(,()(00⎰+≡ϕϕ这就是说)(x ϕ是积分方程的解,这种一步一步地求出方程的解的方法就成为逐步逼近法,由(2)所确定的函数)(x n ϕ称为问题(1)的n 次近似解,在定理的假设条件下以上步骤是可以实现的下面我们分四个命题来证明这个定理.命题1,设)(x y ϕ=是一阶线形微分方程(1)的定义于区间h x x x +≤≤00上的,且满足初始条件00)(y x =ϕ的解,则)(x y ϕ=是积分方程⎰+=xx dx y x f y y 0),(0(h x x x +≤≤00)的定义于h x x x +≤≤00上的连续解,反之亦然.因为)(x y ϕ=是一阶线形微分方程(1)的解故有))(,()(x x f dxx d ϕϕ= 两边从0x 到x 取定积分得到dx x x f x x xx ))(,()()(00⎰≡-ϕϕϕ h x x x +≤≤00把00)(y x =ϕ代上式,即有dx x x f y x xx ))(,()(00⎰+≡ϕϕ h x x x +≤≤00因此, )(x y ϕ=是积分方程⎰+=xx dx y x f y y 0),(0定义于h x x x +≤≤00上的连续解反之如果)(x y ϕ=是积分方程⎰+=xx dx y x f y y 0),(0的连续解,则有dx x x f y x xx))(,()(00⎰+≡ϕϕ h x x x +≤≤00 (3)微分之,得到))(,()(x x f dxx d ϕϕ= 又把0x x =代入(3)得到00)(y x =ϕ因此)(x y ϕ=是方程(1)的定义于 h x x x +≤≤00上且满足初始条件00)(y x =ϕ的解.命题1证毕.现在取00)(y x =ϕ,构造皮卡逐步逼近函数序列如下:⎪⎩⎪⎨⎧+==⎰-x x n nd f y x y x 0))(,()()(1000ξξϕξϕϕ h x x x +≤≤00 (n=1,2,…)(4)命题2 函数序列{})(x n ϕ在h x x x +≤≤00上是一致收敛的证明:我们考虑级数[]∑∞=--+110)()()(k k k x x x ϕϕϕ h x x x +≤≤00(5)它的部分和为[]∑=--+nk k k x x x 110)()()(ϕϕϕ=)(x ϕ因此,要证明序列{})(x n ϕ在h x x x +≤≤00上一致收敛,只需证明级数(5)在h x x x +≤≤00上一致收敛.为此,我们进行如下估计.由(4)有)())(,()()(00001⎰-≤≤-xx x x M d f x x ξξϕξϕϕ (6)及 ⎰-≤-xxd f f x x 0))(,())(,()()(0112ξξϕξξϕξϕϕ利用利普希兹条件及(6)得到⎰-≤-xx d L x x 0)()()()(0112ξξϕξϕϕϕ ξξd x M L xx⎰-≤0)(0=20)(!2x x ML-设对于正整数n,不等式n n n n x x n ML x x )(!)()(011-≤---ϕϕ成立,则有利普希兹条件,当h x x x +≤≤00时,有⎰-+-≤-xxn n n n d f f x x 0))(,())(,()()(11ξξϕξξϕξϕϕ⎰--≤xx n n d L 0)()(1ξξϕξϕ100)()!1()(!0+-+=-≤⎰n n xx nn x x n ML d x n ML ξξ于是,由数学归纳法得知,对于所有的正整数k,有如下的估计k k k k x x k ML x x )(!)()(011-≤---ϕϕ h x x x +≤≤00 (7)从而可知,当h x x x +≤≤00时kk k k h k ML x x !)()(11--≤-ϕϕ (8)(8)的右端是正项收敛级数∑∞=1!k kkk h ML的一般项,由维尔斯特拉斯判别法级数(5)在h x x x +≤≤00上一致收敛,因而序列{})(x n ϕ也在h x x x +≤≤00上一致收敛,命题2证毕.命题3 )(x ϕ是积分方程(2)的定义于h x x x +≤≤00上的连续解.证明: 由利普希兹条件)()())(,())(,(x x L x x f x x f n n ϕϕϕϕ-≤-以及{})(x n ϕ在h x x x +≤≤00上一致收敛于)(x ϕ,即知序列{}{})(,()(x x f x f n n ϕ≡在h x x x +≤≤00上一致收敛于{})(,(x x f ϕ.因而对于(4)两边取极限,得到dx x x f y x xx n n n n ))(,(lim )(lim 010⎰-∞→∞→+≡ϕϕ=⎰-∞→+xx n n d f y 0))(,(lim 10ξξϕξ即⎰+=xx d f y x 0))(,()(0ξξϕξϕ这就是说)(x ϕ是积分方程(2)的定义于h x x x +≤≤00上的连续解.命题3证毕.命题4 设)(x φ是积分方程(2)的定义于h x x x +≤≤00上的一个连续解,则)()(x x ϕφ≡ , hx x x +≤≤00证明:我们首先证明)(x φ也是序列{})(x n ϕ的一致收敛极限函数.为此,从00)(y x =ϕ⎰+=xx n d f y x 0))(,()(0ξξϕξϕ (n=1,2,…)ξξφφd x f y x xx))(,()(00⎰+≡我们可以进行如下估计)()(,()()(000x x M d f x x x x -≤≤-⎰ξξφξφϕ ξξφξξϕξφϕd f f x x xx ⎰-≤-0))(,())(,()()(01ξξφξϕd L xx⎰-≤0)()(0200)(!2)(0x x MLd x ML xx -=-≤⎰ξξ 现设n n n x x n ML x x )(!)()(011-≤---φϕ,则有ξξφξξϕξφϕd f f x x xx n n ⎰-≤--0))(,())(,()()(1ξξφξϕd L xxn ⎰-≤-0)()(1100)()!1()(!+-+=-≤⎰n xx Nx x n MLd x n ML ξξ 故有数学归纳法得知,对于所有的正整数n,有下面的估计式10)()!1()()(+-+≤-n nn x x n ML x x φϕ (10)因此,在h x x x +≤≤00上有1)!1()()(++≤-n n n h n ML x x φϕ (11)1)!1(++n n h n ML 是收敛级数的公项,故0)!1(1→+∞→+n n h n ML n 时因而{})(x n ϕ在h x x x +≤≤00上一致收敛于)(x φ,根据极限的唯一性,即得)()(x x ϕφ≡ h x x x +≤≤00命题4证毕.综合1-4,即得到一阶线性微分方程)()(x q y x p dxdy+=解的存在唯一定理的证明.。

2.2解的存在唯一性定理

8
常微分方程
绵阳师范学院
下面分五个命题来证明定理,为此先给出下面分五个命题来证明定理为此先给出积分方程如果一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符号下含有未知函数, 则称这样的关系式为积分方程. 号下含有未知函数则称这样的关系式为积分方程
如 : y = e + ∫ y( t )dt , 就是一个简单的积分方程 .
0
x
≤ L ∫ n (ξ ) n 1 (ξ ) dξ
x0
x
MLn ≤ n!
MLn n (ξ x0 ) dξ = ( x x0 ) n +1 , ∫x0 (n + 1)!
x
17
常微分方程
绵阳师范学院
于是由数学归纳法得知,对所有正整数有于是由数学归纳法得知对所有正整数n,有对所有正整数
则 (x, y)在上于满 Lipschitz条 . f R 关 y 足件 f (x, y1) f (x, y2 ) = f y (x, y2 +θ ( y1 y2 )) y1 y2 ≤ L y1 y2
2
常微分方程
绵阳师范学院
b (2) 定理中h = min{a , }的几何意义 M 在矩形R中有 f ( x , y ) ≤ M ,
故初值问题(2.1)的解曲线的斜率必介于 M 与M 之间,
过点( x0 , y0 )分别作斜率为 M 和M的直线,
b 当M ≤ 时(如图(a ) a 所示 ), 解y = ( x )在 x0 a ≤ x ≤ x0 + a 中有定义;
3
常微分方程
绵阳师范学院
b 而当M > 时(如图(b)所示), 不能保证解y = ( x )在 a x0 a ≤ x ≤ x0 + a中有定义;它有可能在区间内跑到矩形 b b R外去, 使得无意义, 只有当x0 ≤ x ≤ x0 + 时, 才能保 M M 证解y = ( x )在R内.

存在唯一性定理证明

存在唯一性定理证明要证明存在唯一性定理，首先需要定义什么是“唯一性”。

在数学中，存在唯一性通常指的是在一些条件下，存在一个且仅存在一个对象满足这个条件。

我们来详细证明关于唯一性定理的一个例子。

假设我们要证明以下定理：对于任意一个正整数n，存在唯一的一个整数m，使得m和n互为相反数。

首先我们来证明存在性：对于任意一个正整数n，我们可以找到一个整数m，使得m和n互为相反数。

事实上，取m=-n，就可以满足这个条件。

因为两个数互为相反数意味着它们的和为零，所以m+n=-n+n=0，符合条件。

接下来我们来证明唯一性：假设存在两个不同的整数m1和m2，都满足和n互为相反数。

那么根据定义，有m1+n=0和m2+n=0。

将两个等式相减可得：m1-m2=0。

由此可知，m1和m2是相等的，也就是说不存在两个不同的整数满足这个条件。

因此，我们证明了对于任意一个正整数n，都存在唯一的一个整数m，使得m和n互为相反数。

在这个例子中，我们证明了存在唯一性定理的一个特例。

在实际数学证明中，存在唯一性定理有可能涉及到更加复杂的情况和更多的对象，但其证明思路和方法基本相似。

总结起来，证明存在唯一性定理的一般步骤如下：1.首先需要明确定义什么是“唯一性”。

2.先证明存在性，即找到至少一个对象满足条件。

3.再证明唯一性，即如果存在两个对象满足条件，则它们必须相等。

4.结合具体问题，使用数学思维和逻辑推理，进行严密的证明。

5.最后在证明过程中使用恰当的数学工具和方法，如数学公式、等式运算等，以增强可读性和严密性。

需要注意的是，证明存在唯一性定理是一个具有挑战性的过程，需要对问题有深入的认识和理解，并善于运用数学知识和技巧来完成证明过程。

同时，在证明中也要时刻保持逻辑的连贯性和严谨性，以确保证明的正确性。

线性方程组的解存在唯一性定理

线性方程组的解存在唯一性定理线性方程组是数学中常见的问题之一，它与矩阵和向量的概念紧密相关。

对于给定的线性方程组，我们通常会关心解集的存在性和唯一性，这在很多实际问题中具有重要的意义。

本文将探讨线性方程组解的存在唯一性定理，并解释其背后的原理和证明思路。

一、线性方程组的定义和基本性质首先，我们来回顾线性方程组的基本定义。

给定一个包含n个未知数$x_1, x_2, ..., x_n$的线性方程组，可以表示为以下形式：$$\begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n = b_1 \\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n = b_2 \\... \\a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + ... + a_{mn}x_n = b_m \\\end{cases}$$其中，$a_{ij}$表示系数矩阵的元素，$b_i$表示常数向量的元素。

线性方程组的解可以表示为一个n维向量$(x_1, x_2, ..., x_n)$，使得方程组的每个等式都成立。

解集可以是一个空集（即无解）、一个具有无穷多个解的集合，或者只包含一个解。

接下来，我们将研究线性方程组解存在唯一性的情况。

二、线性方程组解存在唯一性定理的表述线性方程组的解存在唯一性定理可以总结为以下表述：对于一个齐次线性方程组，如果系数矩阵的秩等于未知数的个数，即$r(A) = n$，那么方程组的解集只包含零向量；如果系数矩阵的秩小于未知数的个数，即$r(A) < n$，那么方程组的解集包含无穷多个解。

对于一个非齐次线性方程组，如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即$r(A) = r([A|b])$，那么方程组的解集只包含一个解；如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，即$r(A) < r([A|b])$，那么方程组的解集包含无穷多个解。

注意，这里的秩指的是矩阵的行秩或列秩，即行向量组或列向量组的最大线性无关组的元素个数。

常微分方程解的存在唯一性定理

常微分方程解的存在唯一性定理常微分方程解的存在唯一性定理一阶微分方程⑴其中. 是在矩形域丄」’叭」上的连续函数。

定义1如果存在常数二11，使得不等式”（础）-/（砒）冏肝川对于所有--■■-1--- 都成立，贝U函数/、?称为在二上关于：'满足Lipschitz 条件。

定理1如果「二，在二上连续且关于「满足Lipschitz 条件，则方程（1）存在唯一的解y=叭心，定义于区间M ■阳卜月上，连续且满足初始条件W八-卄 A = r—）M = max' ■-.，这里」f，?心「。

Picard逐步逼近法来证明这个定理的主要思想首先证明求微分方程的初值冋题的解等价于求积分方程的连续解。

然后去证明积分方程的解的存在唯一性。

任取一个连续函数代入上面积分方程右端的,就得到函数俅沪）Vp（Z（）⑴）必，显然J 也是连续函数，如果,那末l:-'就是积分方程的解。

否则，我们又把J二代入积分方程右端的「，得到汀0恥）皿，如果氛沪仍⑴，那末仇⑴就是积分方程的解。

否则我们继续这个步骤。

一般地作函数惦（3.1.1.4）这样就得到连续函数序列，...，〔「」，…如果二, 那末就是积分方程的解。

如果始终不发生这种情况，我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数厂：;；1，即'厂…I存在，因而对?Ji/）取极限时，就得到f「打「X FJr=y0+l=y0+祕幼必Jf祕x）=y n+/（X 矶兀））必/ 、即?血，这就是说机x）是积分方程的解。

这种一步一步地求出方程的解的方法就称为逐步逼近法。

函数''■■■■■'称为初值问题的第：次近似解。

命题1设—是方程（1）的定义于区间V —'■'‘上，满足初始条件Jf瞅）=刃的解，则厂曲）是积分方程y=y°+y （2曲碳心砒的定义于V ——'■上的连续解。

反之亦然。

现在取，构造皮卡逐步逼近函数序列如下: 京（X）=丹；保（方=丹+ f于（乙矶_1?）時从“英肿hJ*D（聊=12…）1命题2对于所有的卜，函数在J■:上有定义、连续且满足不等式命题3 函数序列"I「在J ------------ '."上是一致收敛的。

cauchy问题解的存在唯一性定理的几种证明

cauchy问题解的存在唯一性定理的几种
证明
Cauchy问题解的存在唯一性定理是一个重要的定理，它指出了一个给定的常微分方程的Cauchy问题的解的存在唯一性。

由于它具有重要的应用价值，因此在数学界有很多关于它的证明。

本文将简要介绍几种关于Cauchy问题解的存在唯一性定理的证明。

首先，我们介绍最经典的古典证明：古典证明是由C.F. Gauss于1809年发表的，他通过比较两个解的差分来证明Cauchy问题的解的唯一性。

其次，根据微分方程的函数可微性定理，可以证明Cauchy问题解的唯一性。

函数可微性定理说明了一个多元函数在它的可微点处可以对每个变量做函数导数，因此可以证明Cauchy问题的解的唯一性。

再次，最近的一个证明是由Otto Toeplitz于1903年发表的，他采用“变量变换”的方法。

他证明，Cauchy问题的解的唯一性可以经由一个简单的变量变换，将其转化为一个解析函数，这个函数具有唯一性。

最后，我们介绍最近发现的一种证明：由L.C. Evans于1966年发表的，他使用了“流形理论”的概念来证明Cauchy问题的解的唯一性。

他说，Cauchy问题的解可以看作是一个流
形上的函数，而这个函数的唯一性可以从它的定义域的形状来判断。

以上就是Cauchy问题解的存在唯一性定理的几种证明介绍。

由于它具有重要的应用价值，因此在数学界有很多关于它的证明。

古典证明、函数可微性定理、变量变换、流形理论等等，都是关于Cauchy问题解的存在唯一性定理的有效证明方法。

常微分方程解的存在唯一性定理

常微分方程解的存在唯一性定理一阶微分方程⑴其中. 是在矩形域丄」’叭」上的连续函数。

定义1如果存在常数二11，使得不等式”（础）-/（砒）冏肝川对于所有--■■-1--- 都成立，贝U函数/、•称为在二上关于：'满足Lipschitz 条件。

定理1如果「二，在二上连续且关于「满足Lipschitz 条件，则方程（1）存在唯一的解y=叭心，定义于区间M ■阳卜月上，连续且满足初始条件W八-卄 A = r—）M = max' ■-.，这里」f，•心「。

Picard逐步逼近法来证明这个定理的主要思想首先证明求微分方程的初值冋题的解等价于求积分方程的连续解。

然后去证明积分方程的解的存在唯一性。

任取一个连续函数代入上面积分方程右端的,就得到函数俅沪）Vp（Z（）⑴）必，显然J 也是连续函数，如果,那末l:-'就是积分方程的解。

否则，我们又把J二代入积分方程右端的「，得到汀0恥）皿，如果氛沪仍⑴，那末仇⑴就是积分方程的解。

否则我们继续这个步骤。

一般地作函数惦（3.1.1.4）这样就得到连续函数序列，...，〔「」，…如果二, 那末就是积分方程的解。

如果始终不发生这种情况，我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数厂：;；1，即'厂…I存在，因而对©Ji/）取极限时，就得到f「打「X FJr=y0+l=y0+祕幼必Jf祕x）=y n+/（X 矶兀））必/ 、即•血，这就是说机x）是积分方程的解。

这种一步一步地求出方程的解的方法就称为逐步逼近法。

函数''■■■■■'称为初值问题的第：次近似解。

命题1设—是方程（1）的定义于区间V —'■'‘上，满足初始条件Jf瞅）=刃的解，则厂曲）是积分方程y=y°+y （2曲碳心砒的定义于V ——'■上的连续解。

反之亦然。

现在取，构造皮卡逐步逼近函数序列如下: 京（X）=丹；保（方=丹+ f于（乙矶_1©）時从“英肿hJ*D（聊=12…）1命题2对于所有的卜，函数在J■:上有定义、连续且满足不等式命题3 函数序列"I「在J ------------ '."上是一致收敛的。

3-19 - 一阶微分方程解存在唯一性定理Picard定理及其证明

3.1 一阶微分方程存在唯一性定理(Existence and Uniqueness Theorem ofInitial Value Problem of ODE )[教学内容] 1. 上一章内容小结和习题课; 2.介绍研究初值问题解的存在唯一性定理必要性; 3. 介绍柯西解的存在唯一性定理和Picard定理; 4. 介绍定理的证明.[教学重难点] 重点是知道并会运用微分方程初值问题的解的存在唯一性定理，难点是如何引入了解定理的证明思路和过程[教学方法] 自学1、2、3；讲授4、5课堂练习[考核目标]1.知道一阶微分方程的类型及其解法;2. 知道Lipshitz条件和解的存在唯一性定理（柯西版本和Picard版本）;3. 知道Picard定理的证明思路和过程;4. 会用Picard函数序列给出微分方程初值问题的近似函数解.5. 了解和掌握Graonwall积分不等式.1. 一阶微分方程类型及其初等解法小结（1）认识一阶微分方程：一阶线性方程（交换x,y或Bernoulli方程及其他可通过引入变量替换化为一阶线性方程的）、一阶可分离变量型方程（齐次方程以及其他可化为可分离变量型的）、一阶对称形式的恰当方程（通过引入积分因子可化为恰当方程的方程）一阶隐方程（可解出x或y的类型，以及x, y, y’只含有其中两个的方程类型）（2）解法常数变易公式、Bernoulli方程的变量替换分离变量方法、齐次方程的变量替换恰当方程的解法、积分因子的求法隐方程的求导法和参数法（3）例题上述提到的方程类型各举出一个例子来，并用上面的方法来求解，允许一题多解.（4）介绍一些可以化为微分方程来求解的函数方程和积分方程（参见上节讲义）.（5）预告：下周二上午第一节课进行上一章测试，请相互转告.2. 必要准备：数学中的进化论生物上，比如水稻品种一代一代通过基因重组往高产优质方向优化，还有如下图片.在数学上也有类似的进化过程，下面就说一说.（1）考察三次代数方程 x 3+4x-2 0. 该方程没有有理根. 该方程只有唯一实根且落在[0,1]. 下面有两种思路来找到该方程的根.思路一：运用连续函数的零点定理, 记1] [0,]b ,[a 11=表示第一代；将]b ,[a 11平分为两个子区间，取满足如下条件0)f(b )f(a i i ≤⋅子区间作为第二代，即]21 [0,]b ,[a 22=；将]b ,[a 22平分为两个子区间，取满足如下条件0)f(b )f(a i i ≤⋅子区间作为第三代，即]21 ,41[]b ,[a 33=；将]b ,[a 33平分为两个子区间，取满足如下条件0)f(b )f(a i i ≤⋅子区间作为第四代，即]21 ,81[]b ,[a 44=；... ... 这样下去，]b ,[a n n 越来越接近方程的根 x ≈ 0.473466,其中误差就是|a b |n n -.思路二：运用教材P89习题9的结论和证明过程，改写方程为x 42x -3=+，记42x f(x)3+-= 则方程就是f(x)x =，方程的根也就是函数f(x)的不动点. 可以验证f(x)满足教材P89习题9的条件（自行验证）,于是方程的根存在且唯一，下面就用进化的思想来寻找方程的根.选取第一代1x 1=（这里可以选其他实数）；经过进化机制（用f(x)作用一下）得到第二代25.0)f(x x 12==；再经过进化机制（用f(x)作用一下）得到第三代496094.0)f(x x 23≈=；再经过进化机制（用f(x)作用一下）得到第四代469477.0)f(x x 34≈=；再经过进化机制（用f(x)作用一下）得到第五代474131.0)f(x x 45≈=；再经过进化机制（用f(x)作用一下）得到第六代473354.0)f(x x 56≈=；... ... n x 越来越接近方程的根 x ≈ 0.473466.打个比方，把方程的根比作我们想要的某种属性的对象，我们可以通过迭代（进化）过程来把它造出来或找出来。

解的存在唯一性定理证明

解的存在唯一性定理证明以下将从两个方面对解的存在唯一性定理进行证明。

一、解的存在性的证明：首先，我们需要定义一些数学概念：1.解的函数空间：设X是一个函数集合，若对任意的f和g属于X，以及任意的实数a和b，af+bg也属于X，则称X是一个线性函数空间。

2.完备空间：若其中一函数空间X中的Cauchy序列收敛于X中的一个元素，那么该函数空间X就被称为完备空间。

3.有界性：若其中一函数空间X中任意元素的范数有上界，则称该函数空间X是有界的。

现在我们来证明解的存在性：对于方程或问题的解，我们需要构造一个函数空间，并证明该函数空间是完备且有界的。

然后，我们利用一些定理，例如Banach不动点定理或者Peano存在性定理等，来证明解的存在性。

这里以微分方程(dy/dx = f(x, y))为例：1. 构造函数空间X：我们可以选择所有满足函数f(x, y)局部连续和Lipschitz条件的函数f作为函数空间X。

2. 证明函数空间X是完备的：我们需要证明任意在X中的Cauchy序列会收敛于X中的一个元素。

这一步可以通过使用柯西序列或确界原理等方法来完成。

3.证明函数空间X是有界的：我们需要证明X中的任意元素的范数有上界。

这一步可以通过使用函数的有界性条件来证明。

4. 利用定理：利用Banach不动点定理或者其他定理，我们可以找到X中的一个元素y，使得y满足微分方程(dy/dx = f(x, y))。

因此，解的存在性得证。

二、解的唯一性的证明：要证明解的唯一性，我们可以利用函数的局部连续性和Lipschitz条件来证明。

1. 局部连续性：假设存在两个解y1(x)和y2(x)，它们满足同一个微分方程(dy/dx = f(x, y))。

首先，我们可以证明y1(x)和y2(x)在其中一区间[α, β]上是局部连续的。

这可以通过反证法来完成。

2. Lipschitz条件：然后，我们需要证明方程(dy/dx = f(x, y))满足Lipschitz条件。

解的存在唯一性定理证明

解的存在唯一性定理利用逐次逼近法，来证明微分方程(,),dyf x y dx =的初值问题00(,)()dy f x y dx y y x ==⎧⎨⎩的解存在与唯一性定理。

一、【存在、唯一性定理叙述】如果方程(,),dyf x y dx=的右端函数(,)f x y 在闭矩形区域0000:,R x a x x a y b y y b -≤≤+-≤≤+上满足如下条件：（1）、在R 上连续；（2）、在R 上关于变量y 满足利普希茨条件，即存在常数N ，使对于R 上任何一点(),x y 和(),x y 有以下不等式：()|(,),|||f x y f x y N y y -≤-。

则初值问题00(,)()dyf x y dx y y x ==⎧⎨⎩在区间0000x h x x h -≤≤+上存在唯一解00(),()y x x y ϕϕ==，其中0(,)min ,,max (,)xy R bh a M f x y M∈⎛⎫== ⎪⎝⎭二、【证明】逐步迫近法：微分方程(,)dyf x y dx=等价于积分方程00(,)x x y y f x y dx =+⎰。

取00()x y ϕ=，定义001()(,()),1,2,3, (x)n n x x y f x x dx n ϕϕ-=+=⎰可证明lim ()()n n x x ϕϕ→∞=的()y x ϕ=满足积分方程。

通过逐步迫近法可证明解的存在唯一性。

命题 1：先证积分方程与微分方程等价：设()y x ϕ=是微分方程(,)dyf x y dx=定义于区间0000x h x x h -≤≤+上满足初值条件00()x y ϕ=的解，则()y x ϕ=是积分方程00(,),x x y y f x y dx =+⎰定义于区间0000x h x x h -≤≤+上的连续解。

反之亦然。

证：因()y x ϕ=是微分方程(,)dy f x y dx =的解，有'()()(,())d x x f x x dxϕϕϕ== 两边从0x 到x 取定积分，得：000000()()(,()),xx x x f x x dx x h x x h ϕϕϕ-=-≤≤+⎰代入初值条件00()x y ϕ=得：000000()(,()),xx x y f x x dx x h x x h ϕϕ=+-≤≤+⎰即()y x ϕ=是积分方程00(,)xx y y f x y dx =+⎰定义于区间0000x h x x h -≤≤+上的连续解。

关于隐函数存在唯一性定理的新证明

关于隐函数存在唯一性定理的新证明
隐函数的唯一性定理也称为隐函数理论，是为了证明不存在相同的两个隐函数而提出的定理。

该定理表明只要有一个隐函数，就不存在另一个隐函数，即所有的隐函数都是唯一的，此结论可以帮助我们更好地理解和利用隐函数理论。

首先，为了证明隐函数的唯一性定理，需要建立一个假设条件，即对不同的输入可以得到不同的输出。

这就是所谓的“一一对应”，是隐函数的特殊性，也是证明定理的前提条件。

接下来，为了证明唯一性定理，如果存在不止一个隐函数，那么就可以设计两个函数，其中一个函数实现输入输出的一一对应，另一个函数实现输入输出的反映。

显然，如果函数都能有效工作，也就是输入对应的输出是一致的，则说明存在第二个隐函数，这是禁忌的，因此，可以得出结论，即隐函数是唯一的。

综上所述，隐函数的唯一性定理是一项有用的理论，该定理表明只要有一个隐函数，就不存在第二个隐函数，因此，本文通过假定某一特定的条件，以及讨论在该特定条件下对应的输出结果，以证明隐函数的唯一性定理，同时也为进一步研究隐函数理论提供了基础。

常微分方程的解的存在唯一性定理

常微分方程的解的存在唯一性定理常微分方程是研究变量之间关系的数学工具。

在许多科学和工程领域，我们经常需要求解常微分方程来描述和预测系统的行为。

而常微分方程的解的存在唯一性定理则为我们提供了一种保证求解过程的准确性和可靠性的方法。

1. 引言常微分方程是研究变量之间关系的数学工具，广泛应用于物理、生物、经济等领域。

解常微分方程是求解系统行为和预测未来发展的重要方法，但如何确保解的唯一性和存在性一直是研究的焦点。

2. 定理的表述常微分方程的解的存在唯一性定理指出，如果一个常微分方程满足一定条件，则该方程存在且只存在一个解。

具体表述如下：定理：设F(t, y)在区域D上连续且关于y满足Lipschitz条件，即存在常数L>0，使得对于任意的(t, y1)和(t, y2)∈D，有|F(t, y1) - F(t, y2)| ≤ L|y1 - y2|。

那么对于初值问题y' = F(t, y)，y(t0) = y0，存在唯一的解y(t)。

3. 论证和证明为了证明上述定理，我们可以使用柯西-利普希茨定理。

柯西-利普希茨定理指出，如果一个函数满足Lipschitz条件，那么它的微分方程必然存在唯一解。

4. 柯西-利普希茨定理的推导柯西-利普希茨定理的推导主要包括以下几个步骤：（1）定义导数：我们首先定义导数，即一个函数在某一点的斜率。

（2）利用导数定义微分方程：我们将导数的定义应用到微分方程中，得到一个关于导数的等式。

（3）引入Lipschitz条件：我们引入Lipschitz条件来限制导数的变化范围，确保解的唯一性。

（4）证明柯西-利普希茨定理：通过数学分析和推导，我们最终证明了柯西-利普希茨定理。

5. 应用实例常微分方程的解的存在唯一性定理在实际应用中具有重要意义。

以下是几个应用实例：（1）物理学中的运动方程：物体在运动中往往涉及到速度的变化，可以使用常微分方程来描述物体的运动轨迹。

解的存在唯一性定理保证了我们能够准确地求解出物体的运动轨迹。

常微分方程的解的存在唯一性定理

常微分方程的解的存在唯一性定理常微分方程是数学中的一门重要分支，它涉及到许多实际问题的理论分析和计算求解，尤其是在物理、化学等领域有着广泛的应用。

而常微分方程的解的存在唯一性定理则是研究常微分方程解的基础，下面我将对这一定理进行详细阐述。

1. 常微分方程的定义及初值问题常微分方程（ODE）是指未知函数 $y(t)$ 的某个数量关系式：$$F(t,y,y',y'',\cdots ,y^{(n)})=0$$其中 $y'$，$y''$，$\cdots$，$y^{(n)}$ 分别表示 $y$ 的一阶、二阶、$\cdots$，$n$ 阶导数，$F$ 是已知的函数。

这个方程称为$n$ 阶常微分方程。

方程的初值问题是指，在确定 $n$ 阶常微分方程中的 $n$ 个初始条件：$$y(t_0)=y_0,\ y'(t_0)=y_1,\ \cdots,\ y^{(n-1)}(t_0)=y_{n-1}$$后，求解函数 $y(t)$ 在整个定义域上的解。

2. 解的存在唯一性定理的三个条件常微分方程的解的存在唯一性定理是指在一定的条件下，常微分方程仅有唯一的解。

下面给出常微分方程存在唯一性定理的三个条件。

2.1 连续性设函数 $F(t,y,y',y'',\cdots ,y^{(n)})$ 是定义于某个区域上的$C^{m+1}$ 级函数，即 $F$ 及其 $m$ 个偏导数（一直到$y^{(m)}$）都是连续的。

2.2 局部存在性对于同一初值问题，存在一个足够小的区间 $I$，使得在此区间内存在解 $y(t)$，并且 $y(t)$ 函数及其前 $n-1$ 阶导数都是$C^{m}$ 级函数。

2.3 局部唯一性在区间 $I$ 上，对于同一初值问题，解 $y(t)$ 是唯一的。

3. 解的存在唯一性定理的证明解的存在唯一性定理可转化为证明常微分方程方程的解满足某种 Lipschitz 条件，即：$$\forall \ y_1,y_2\in C([a,b])\ \text{and}\ y_1(t_0)=y_2(t_0)$$$$\Rightarrow \ \exists L>0,\ \text{s.t.}\ |y_1(t)-y_2(t)|\le L\cdot \max_{t\in [t_0,T]}\{|y_1(t)-y_2(t)|\}$$其中，$C([a,b])$ 表示在区间 $[a,b]$ 内连续的函数集合，$L$ 是 Lipschitz 常数。

常微分方程：解的存在唯一性定理及证明

➢ 李卜西兹（Lipschitz）条件
例1 验证下列函数对是否满足李氏条件
1. f (x) x
解： f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
f ( x) x在R上满足李氏条件。
2. f (x) x
解： f (x1) f (x2 ) x1 x2 x1 x2 f (x) x 在R上满足李氏条件。
毕卡定理
定理1 设初值问题
(E) :
dy f (x, y), dx
y(x0 ) y0,
其中 f (x, y)在矩形区域
R : | x x0 | a, | y y0 | b
内连续，而且对y满足李氏条件，则(E)在区间I [x0 h, x0 h]上有并且只
有一个解，其中常数
h min(a, b ), 而 M max | f (x, y) |。
f (x, y0(x)) | dx | M | x x0 | .
(1.5)
即，在区间 I 上 | y1(x) y0 | Mh b。
f (x, y1(x))在I上是连续。
由（1.4）可知
x
y2 (x) y0 x0 f (x, y1(x))dx,
在I上是连续可微的，而且满足不等式
(xI)
其中常数L 0。则称函数 f (x, y)在区域D内对y满足李卜西兹条件（或简称李氏条件）。
易知，若函数f (x, y)在凸形闭区域D内对y有连续的偏微商，则f (x, y)在D内对 y满足李氏条件；
反之，结论不一定正确。
局部李卜西兹条件：对区域D内任一点q，存在以q为中心的一个矩形区域 Q D，使得在Q内f (x, y)对y满足李氏条件。
(n 0,1,2,), 其中y0 (x) y0.

常微分方程的解的存在唯一性定理

常微分方程的解的存在唯一性定理常微分方程是数学中一个重要的研究对象，它描述了自变量是连续变化的函数与自变量的导数之间的关系。

研究常微分方程的解的存在唯一性定理是常微分方程理论的基石之一，对于解的存在性和唯一性的判断具有重要的意义。

定理一：皮卡尔(Picard)存在定理假设函数f(x, y)在矩形区域D={(x, y)：a≤x≤b,α≤y≤β}上连续，且满足利普希茨条件：存在正数L，使得在D上任意点(x, y1)和(x, y2)，有|f(x, y1) - f(x, y2)|≤L|y1-y2|。

则初值问题y' = f(x, y)，y(x0) = y0在区间[a, b]上存在唯一的解。

证明：（略）定理二：格朗沃尔(Gronwall)不等式假设函数y(x)满足不等式y(x)≤K+∫[a,x]f(t,y(t))dt，其中K为常数且f(x, y)为非负函数。

则有0≤y(x)≤Kexp(∫[a,x]f(t,y(t))dt)。

证明：（略）根据皮卡尔存在定理和格朗沃尔不等式，我们可以推导出常微分方程解的存在唯一性定理。

定理三：常微分方程解的存在唯一性定理假设函数f(x, y)在区域D上连续，且满足利普希茨条件：存在正数L，使得在D上任意点(x, y1)和(x, y2)，有|f(x, y1) - f(x, y2)|≤L|y1-y2|。

则对于初值问题y' = f(x, y)，y(x0) = y0，在定义区间上存在唯一的解。

证明：（略）常微分方程解的存在唯一性定理的推导过程相对较为复杂，涉及到一些数学理论和定理的运用。

但是这个定理为我们研究和求解常微分方程提供了重要的理论支持，确保了我们在解决实际问题中得到的解是存在且唯一的。

除了皮卡尔存在定理和格朗沃尔不等式外，我们还可以利用其他方法来证明常微分方程解的存在唯一性，比如利用分离变量法、变换方法、级数法等。

在实际应用中，根据具体问题的特点选择适合的方法进行求解。

解的存在唯一性定理证明

解的存在唯一性定理利用逐次逼近法，来证明微分方程(,),dyf x y dx =的初值问题00(,)()dy f x y dx y y x ==⎧⎨⎩的解存在与唯一性定理。

一、【存在、唯一性定理叙述】如果方程(,),dyf x y dx=的右端函数(,)f x y 在闭矩形区域0000:,R x a x x a y b y y b -≤≤+-≤≤+上满足如下条件：（1）、在R 上连续；（2）、在R 上关于变量y 满足利普希茨条件，即存在常数N ，使对于R 上任何一点(),x y 和(),x y 有以下不等式：()|(,),|||f x y f x y N y y -≤-。

则初值问题00(,)()dyf x y dx y y x ==⎧⎨⎩在区间0000x h x x h -≤≤+上存在唯一解00(),()y x x y ϕϕ==，其中0(,)min ,,max (,)xy R bh a M f x y M∈⎛⎫== ⎪⎝⎭二、【证明】逐步迫近法：微分方程(,)dyf x y dx=等价于积分方程00(,)x x y y f x y dx =+⎰。

取00()x y ϕ=，定义001()(,()),1,2,3, (x)n n x x y f x x dx n ϕϕ-=+=⎰可证明lim ()()n n x x ϕϕ→∞=的()y x ϕ=满足积分方程。

通过逐步迫近法可证明解的存在唯一性。

命题 1：先证积分方程与微分方程等价：设()y x ϕ=是微分方程(,)dyf x y dx=定义于区间0000x h x x h -≤≤+上满足初值条件00()x y ϕ=的解，则()y x ϕ=是积分方程00(,),x x y y f x y dx =+⎰定义于区间0000x h x x h -≤≤+上的连续解。

反之亦然。

证：因()y x ϕ=是微分方程(,)dy f x y dx =的解，有'()()(,())d x x f x x dxϕϕϕ== 两边从0x 到x 取定积分，得：000000()()(,()),xx x x f x x dx x h x x h ϕϕϕ-=-≤≤+⎰代入初值条件00()x y ϕ=得：000000()(,()),xx x y f x x dx x h x x h ϕϕ=+-≤≤+⎰即()y x ϕ=是积分方程00(,)xx y y f x y dx =+⎰定义于区间0000x h x x h -≤≤+上的连续解。

Picard存在和唯一性定理

Picard存在和唯一性定理本节利用逐次逼近法，来证明微分方程(2.1)的初值问题(2.2)的解的存在与唯一性定理.定理 2.2(存在与唯一性定理)如果方程(2.1)的右端函数在闭矩形域上满足如下条件：(1) 在R上连续;(2) 在R上关于变量y满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数N，使对于R上任何一对点和有不等式：则初值问题(2.2)在区间上存在唯一解其中在证明定理之前，我们先对定理的条件与结论作些说明:1. 在实际应用时，李普希兹条件的检验是比较费事的.然而，我们能够用一个较强的，但却易于验证的条件来代替它.即如果函数在闭矩形域R上关于y的偏导数存在并有界，.则李普希兹条件成立，事实上，由拉格朗日中值定理有其中满足，从而.如果在R上连续，它在R上当然就满足李普希兹条件.（这也是当年Cauchy证明的结果）2．可以证明，如果偏导数在R上存在但是无界，则Lipschitz条件一定不满足，但是Lipschitz 条件满足，偏导数不一定存在，如(,)||f x y y 。

3.现对定理中的数h 0做些解释.从几何直观上，初值问题(2.2)可能呈现如图2-5所示的情况. 这时，过点的积图 2-5分曲线当或时，其中，，到达R 的上边界或下边界.于是，当时，曲线便可能没有定义.由此可见，初值问题(2.2)的解未必在整个区间上存在. 由于定理假定在R 上连续,从而存在于是，如果从点引两条斜率分别等于M 和-M 的直线，则积分曲线(如果存在的话)必被限制在图2-6的带阴影的两个区域内，因此，只要我们取则过点的积分曲线 (如果存在的话)当x 在区间上变化时，必位于R 之中.图 2-6存在性的证明求解初值问题（2.2）求解积分方程（2.3）.因此，只要证明积分方程(2.3)的连续解在上存在而且唯一就行了. 下面用毕卡(Picard )逐次逼近来证明积分方程(2.3)的连续解的存在性，可分三个步骤进行:1.构造逐次近似序列.近似序列或写成01()(,())xn n x x y f d ϕξϕξξ--=⎰的每一项都在上有定义，这是因为于是．这样，我们在区间上，按逐次逼近手续得到了一个连续函数列(近似序列)2. 证明近似序列在区间上一致收敛.“ 函数序列的一致收敛1．设（1）是定义在I 上的函数序列，若对，数列收敛，则称为序列（1）的收敛点．收敛点的全体叫收敛域．在收敛域上每一点，序列（1）都有极限，这极限形成收敛域上的一个函数，称为极限函数．设此函数为，即2．若对，总存在一个只与有关的自然数N，使得对I上任何一点，当时，有，则称序列（1）在I上一致收敛．证明分如下二步：（1）序列在上一致收敛级数（2.7）在上一致收敛（级数）．因为级数（2.7）的部分和“ 函数项级数的一致收敛1．设函数项级数（1）在区间I上收敛于和函数，即对，数项级数收敛于，或级数（1）的部分和所组成的数列=由数列极限定义，对，，使得时，有2．级数（1）在I上一致收敛对，，使得对，当时，有．3．若函数项级数（1）的每一项都在I上连续，并且在I上一致收敛，则（1）的和函数在I上连续．（2）级数（2.7）在上一致收敛．用数学归纳法，易证级数（2.7）从第二项开始，每一项绝对值都小于正项级数的对应项，而上面这个正项级数显然是收敛的.所以，由优级数判别法，“ 函数项级数的一致收敛判别法（魏尔斯特拉斯优级数判别法）函数项级数（1）若函数项级数（1）在区间I上满足（I ）；（II ）正项级数收敛．则函数项级数（1）在区间I上一致收敛．数项级数收敛的判别法（比值判别法，达朗贝尔（）判别法）若正项级数的后项与前项的比值的极限等于：则当时级数收敛，时（或）时级数发散；时级数可能收敛，也可能发散．级数(2.7)在区间上不仅收敛，而且一致收敛.设其和函数为，从而近似序列在区间上一致收敛于.由于在区间上连续，因而也是连续的.3.证明是积分方程(2.3)的解，从而也是初值问题(2.2)的解. 在n次近似序列（2.6）两端取极限有因为所以要证明是积分方程（2.3）的解，即成立，只需证明这是由函数(,)f x y 的连续性及Picard 序列()n x ϕ的一致收敛性质保证的。