存在唯一性定理证明

现设
则 在 上有定义、连续且
命题4 是积分方程 在 上的连续解。
证由利普希茨条件
及 在 上一致收敛于 ，知函数序列 在 上一致收敛于 。于是
即
是积分方程 在 上的连续解。命题4得证。
命题5设 是积分方程 在 上的另一连续解。则 。
证现证 也是序列 在 上的一致收敛极限函数。由
得
设 ，则
由数学归纳法，对所有 ，有
证因 是微分方程 的解，有
两边从 到 取定积分
代入初值条件 得
即 是积分方程 定义于区间 上的连续解。
反之，则有
微分之
且当 时有 。即 是微分方程 定义于区间 上满足初值条件 的解。
现取 ，构造逐步迫近函数序列
命题ຫໍສະໝຸດ Baidu对所有 ,函数序列 在 上有定义、连续且满足不等式
证当 时 。显然 在 上有定义、连续且有
因此，对所有 ，在 成立
但当 时 。故 在 上的一致收敛于 。由极限的唯一性，得 。命题5得证。
存在唯一性定理如 在 上连续且关于 满足利普希茨条件，则方程 在区间 上存在唯一解 ，其中
逐步迫近法微分方程 等价于积分方程
取 ，定义 可证明 的 满足积分方程。
通过逐步迫近法可证明解的存在唯一性。
命题1先证积分方程与微分方程等价：
设 是微分方程 定义于区间 上满足初值条件
的解，则 是积分方程 定义于区间 上的连续解。反之亦然。
命题2当 时成立。设命题2当 时成立，则对
知 在 上有定义、连续且有
命题2当 时也成立。由数学归纳法，命题2对所有 均成立。
命题3函数序列 在 上一致收敛。
证只须考虑级数
(3.9)
在 上一致收敛。因其部分和为
因
设对 成立
则当 时有
即对所有 ，在 成立
其右端组成正项收敛级数
由魏氏判别法，级数(3.9)在 上一致收敛。即 在 上一致收敛。命题3得证。