第3章_第1节_解的局部存在唯一性定理(续)
第3章_第2节_解的延拓定理(解的整体存在唯一性定理)
max ( x 2 y 2 ) 8
( x , y )D2
( x , y )D2
f ( x, y)
a b 2，
b 2 1 h2 min{ a, } min{ 2, } . M2 8 4
当 f ( x , y) x 2 y 2 , ( x , y) D2时，
( x0 , y0 )
o
x0 h x0 x h =x 0 1
G x
的唯一解： y ( x ) ①
x I [ x1 h1 , x1 h1 ]
令 h min{2h, h1 }
(确保： x1 h x0 h )
y
Q ( x1 , y1 )
( x0 h) h x0 h h 2h 由解的唯一性，知
( G为G的边界，为欧氏距离). 对 有类似的结论.
例3 在区域 G {( x, y)
y 2}内, 讨论方程
dy y 2 分别通过点(1,1), ( 3, 1)的解的 dx 最大存在区间.
解 f ( x , y ) y 2 , f y ( x , y) 2 y 均在G内连续
∴ 所给方程过点 (1,1) 的解的最大
( 3 , 1 )
x
例4
设 f ( x , y ) 在R 2内满足： (1) 连续； ( 2) 有界； ( 3) f y ( x , y )连续，
dy 证明： 方程 f ( x , y )的任一解 y ( x ) dx 的最大存在区间是 ( , ).
证 设初值问题(1)的积分曲线 L : y ( x ), x I [ x0 h, x0 h] y 则 L G. 令 x1 x0 h, y1 ( x1 )
常微分方程_§3.1解的存在唯一性定理及逐步逼近法
n1 ( x) n ( x) x f ( ,n ( )) f ( ,n1 ( ))d
0
x
L n ( ) n1 ( ) d
x0
x
MLn n!
n ML n n 1 ( x ) d ( x x ) , 0 0 x0 (n 1)!
由 f ( x,n ( x)) f ( x,( x)) L n ( x) ( x)
只需 {n ( x)}在[ x0 h, x0 h]上一致收敛于 ( x).
2018/11/11 常微分方程
由于 0 ( x) (k ( x) k 1 ( x)) n ( x),
2018/11/11
常微分方程
§3.1 解的存在唯一性定理与逐 步逼近法
2018/11/11
常微分方程
一 存在唯一性定理
1 定理1 考虑初值问题
dy f ( x, y ) , (3.1) dx y ( x0 ) y0 其中f ( x, y)在矩形区域R : x x0 a, y y0 b, (3.2) 上连续, 并且对y满足Lipschitz 条件 : 即存在L 0, 使对所有( x, y1 ), ( x, y2 ) R常成立 f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) L y1 y2
x0
x
(3.5)
的连续解. (2) 构造(3.5)近似解函数列 { n ( x)}
任取一连续函数 0 ( x), 0 ( x) y0 b, 代入(3.5) 右侧的y, 得
1 ( x) y0 f ( ,0 ( ))d
x0 x
x
若1 ( x) 0 ( x),则0 ( x)为解, 否则将1 ( x)代入(3.5) 右侧的y, 得
Chapter3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法
2013-6-15
第三章第 节
5
两边从 x0 到 x 积分可得
x
将初始条件 (x0)=y0 代入即得到
( x) y0 f ( x, ( x))dx
x0 x
x0
d ( x) f ( x, ( x))dx ( x) ( x0 ) f ( x, ( x))dx
x0 x0
x
x
所以 y=(x) 是积分方程(3.5)的定义于 x0 x x0+h 上的 连续解. “←”: 设 y=(x) 是积分方程(3.5)的定义于 x0 x x0+h 上的连续解,则有
( x) y0 f ( x, ( x))dx
x
两边对x求导得 ( x) f ( x, ( x)) f ( x, y) 又上述积分方程显然满足初始条件,所命题成立.
k 1 n
它的部分和恰为
0 ( x) [k ( x) k 1 ( x)] n ( x)
k 1
因此要证明函数序列 {n(x)} 在 x0 x x0+h 上一致收敛 只须证明上述级数一致收敛即可.
2013-6-15
第三章第 节
10
1 ( x) 0 ( x) | | f (t , 0 (t )) | dt M ( x x0 ) |
x0
f ( x, n 1 ( x)) dx
(3)如果上述过程可无限地进行,则证明此过程构造的函 数列收敛于某一连续函数(x); (4)证明上述解是唯一的;
2013-6-15 第三章第 节 4
皮卡逐步逼近法
命题1 设y=(x)是方程(3.1)的定义于区间 x0 x x0+h 上,满足初值条件 (x0)=y0 的解,则 y=(x) 是 积分方程 x
唯一性定理
唯一性定理唯一性定理是数学中的重要定理之一，它指出了在某些条件下，特定类型的方程或问题只有唯一解。
唯一性定理最经典的形式是微分方程的唯一性定理，它在微积分和微分方程的研究中占据重要的地位。
微分方程是描述自然现象和物理规律的重要工具，通过对微分方程的求解，可以得到问题的解析解，从而更好地理解和预测现象。
然而，并不是所有的微分方程都能够得到解析解，有些方程可能只能通过数值方法进行求解。
因此，唯一性定理提供了一种重要的判据，用于确定方程是否有唯一解。
在微分方程的唯一性定理中，通常需要满足连续性和局部利普希茨条件。
连续性要求方程中的函数在某个区域内是连续的，这是非常基本的要求，因为连续性是数学分析中的重要概念。
局部利普希茨条件则要求方程中的函数在一定范围内具有有界的导数，这个条件保证了方程的解在某个区间内是唯一的。
微分方程的唯一性定理可以通过三个步骤来证明。
首先，需要利用泰勒级数展开将微分方程转化为一个无穷级数。
其次，需要证明无穷级数的解存在且唯一。
最后，通过局部利普希茨条件和连续性条件，得到解的存在范围。
除了微分方程的唯一性定理，数学中还有一些其他类型问题的唯一性定理。
例如，线性代数中的矩阵方程的唯一性定理，数论中的素因数分解的唯一性定理等等。
这些定理都有一个共同点，即在满足一定条件下，问题的解是唯一的。
唯一性定理在数学研究和应用中有着广泛的应用。
通过这些定理，我们可以确定问题是否存在唯一解，从而帮助我们深入研究和理解问题。
唯一性定理也经常被用于证明其他定理，深化了我们对数学的认识和理解。
总之，唯一性定理是数学中的一类重要定理，它指出了在满足特定条件下，方程或问题具有唯一解的情况。
微分方程的唯一性定理是其中最经典和重要的定理之一，它在微积分和微分方程的研究中扮演着重要的角色。
唯一性定理的应用广泛，帮助我们理解和解决各种数学问题，并进一步推动数学的发展。
唯一性定理除了在微分方程中应用广泛，还在其他数学领域中有重要的应用。
常微分方程考研讲义第三章-一阶微分方程解的存在定理
第三章一阶微分方程解的存在定理[教学目标]1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解的误差估计式。
2.了解解的延拓定理及延拓条件。
3.理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。
[教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。
[教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 12学时[教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。
[考核目标]1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。
2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。
3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。
§1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。
在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。
而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。
因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。
他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。
例如方程dydx=过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y =是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2y x =或更一般地，函数20 0() c<1x cy x c x ≤≤⎧=⎨-≤⎩ 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。
解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。
第1节 解的局部存在唯一性定理
1 ( x ) y0 y0
x
x0 x
f [ x , 0 ( x )]dx f ( x , y0 )dx
x0
在I上连续，且 当 x I时，有
1 ( x ) y0
x0 f ( x, y0 ) dx x0
x
x
f ( x , y0 ) dx
x0 M dx
即
y0 M x x0 ( x ) y0 M x x0
这意味着： x I时， y ( x )必介于两直线： 当 L1 : y y0 M ( x x0 )
与
L2 :
y y0 M ( x x0 )
所夹的两个阴影区域中.
b b (1) 当 a 时，即 M 时 a M
b 当M 时 a y = (x)不可能从D的
上下边界越出D, 故
y0 b
y
(k
b ) a
当 x [ x0 a, x0 a]时， 曲线 y = (x)完全落
在 f (x, y ) 的定义域
y0
( x0 , y0 )
L2
y = (x)
y0 b
L1
x0 a
x0
D中. 故此时可取
考虑级数：
0 ( x ) [ k ( x ) k 1 ( x )]
k 1
( x I ) (5)
其部分和： n1 ( x ) 0 ( x ) [ 1 ( x ) 0 ( x )] S
[ n ( x ) n1 ( x )] n ( x) (x I)
b h min( a, ) M
4. 定理1的证明思路 (1) 解的存在性 (2) 解的唯一性 (分四步进行证明)
《常微分方程》第三章 一阶微分方程解的存在唯一性定理
1(x) y0 x0 f ( , y0 )d
x
x0 f ( , y0 ) d M (x x0 ) Mh b
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
1 (x) 在 x0 x x0 h 上有定义,连续
现在取 0 (x) y0 ，构造皮卡逐步逼近函数序列如下:
0 (x) y0
n (x) y0
x x0
f ( ,n1( ))d
x0 h x x0 h
(3.1.9)
0 (x) y0
x
1(x) y0 x0 f ( ,0 ( ))d
x0 x x0 h
命题2 对于所有的 (3.1.9) 中函数 n (x) 在
x0 x x0 h 上有定义、连续，即满足不等式:
n (x) y0 b (3.1.10)
证 明: （只在正半区间来证明，另半区间的证明类似）
x
当 n =1 时, 1(x) y0 x0 f (, y0 )d
MLn1 n!
(x
x0 )n
成立，
x
n1(x) n (x) x0 f (,n ( )) f (,n1( ))d
x
L x0 n ( ) n1( )d
MLn
n!
x
(
x0
x0 )n d
MLn (x (n 1)!
x0 ) n1
y0
'.............(3.1.4)
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
【免费下载】第三章 一阶线性微分方程组 第一讲一阶微分方程组及解的存在唯一性定理
韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案第一讲 一阶微分方程组及解的存在惟一性定理（2课时）一、目的与要求: 了解高阶微分方程与一阶微分方程组的等价关系, 理解用向量和矩阵来研 究一阶微分方程组的作用, 了解微分方程组解的存在唯一性定理.二、重点：一阶微分方程组的向量和矩阵表示及解的存在唯一性定理.三、难点：向量和矩阵列的收敛性的定义, 二者的范数定义及其相关性质.四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.六、教学过程：1 课题引入在前两章里，我们研究了含有一个未知函数的常微分方程的解法及其解的性质.但是，在很多实际和理论问题中，还要求我们去求解含有多个未知函数的微分方程组，或者研究它们的解的性质.例如，已知在空间运动的质点的速度与时间及(,,)P x y z t 该点的坐标的关系为(,,)x y z v v v v韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案123(,,,)(,,,)(,,,)x y z v f t x y z v f t x y z v f t x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩且质点在时刻经过点，求该质点的运动轨迹。
0t 000(,,)x y z 因为和, 所以这个问题其实就是求,x y dx dy v v dt dt ==z dz v dt =一阶微分方程组123(,,,)(,,,)(,,,)x f t x y z y f t x y z z f t x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 的满足初始条件 00(),x t x =00(),y t y =00()z t z =的解.(),(),()x t y t z t 另外，在n 阶微分方程（1.12）()(1)(,,,,)n n y f x y y y -'= 中,令就可(1)121,,,n n y y y y y y --'''=== 以把它化成等价的一阶微分方程组韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案11221111(,,,,)n n n n dy y dx dy y dx dy y dx dy f x y y y dx ----⎧=⎪⎪⎪=⎪⎪⎨⎪⎪=⎪⎪⎪=⎩ 注意，这是一个含n 个未知函数 的一阶微分11,,,n y y y - 方程组.含有n 个未知函数的一阶微分方程组的一般形12,,,n y y y 式为： (3.1)11122112112(,,,,)(,,,,)(,,,,)n n n n dy f x y y y dx dy f x y y y dx dy f x y y y dx ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪⎪⎪=⎪⎩ 如果方程组(3.1)右端函数不显含, 则相应的方程称为是自x 治的. 方程组(3.1)在上的一个解，是这样的一组函数[,]a b韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案12(),(),,()n y x y x y x 使得在上有恒等式[,]a b 12()(,(),(),,())i i n dy x f x y x y x y x dx = (1,2,,)i n = 含有n 个任意常数 的解12,,,n C C C 1112221212(,,,,)(,,,,)(,,,,)n n n n n y x C C C y x C C C y x C C C ϕϕϕ=⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩ 称为(3.1)的通解. 如果通解满足方程组11212212121212(,,,,,,,,)0(,,,,,,,,)0(,,,,,,,,)0n n n n n n n x y y y C C C x y y y C C C x y y y C C C Φ=⎧⎪Φ=⎪⎨⎪⎪Φ=⎩ 则称后者为(3.1)的通积分.如果已求得(3.1)的通解或通积分，要求满足初始条件 1010202000(),(),,()n n y x y y x y y x y ===韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案(3.2)的解，可以把初始条件(3.2)代入通解或通积分之中，得到关于的n 个方程式，如果从其中解得，12,,,n C C C 12,,,n C C C 再代回通解或通积分中，就得到所求的初值问题的解. 2 一阶微分方程组的向量和矩阵表示 为了简洁方便，经常采用向量与矩阵来研究一阶微分方程组(3.1). 令n 维向量函数 12()()(),()n y x y x Y x y x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 11221212(,,,,)(,,,,)(,)(,,,,)n n n n f x y y y f x y y y F x Y f x y y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 并定义 111(),dy dx dy dY x dx dx dy dx ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 00001()()()()x x x x n x x x n x f x dx f x dx F x dx f x dx ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰ 则(3.1)可记成向量形式(3.3)(,)dY F x Y dx =初始条件(3.2)可记为 其中 00(),Y x Y =102000n y y Y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (3.2)′(3.3)的满足(3.2)′的初值问题可记为(3.4)00(,)()dY F x Y dx Y x Y ⎧=⎪⎨⎪=⎩这样，从形式上看，一阶方程组与一阶方程式完全一样了.进一步，对n 维向量Y 和矩阵,()ij A a =12,n y y Y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 111212122212n nn n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦定义 1,n i i Y y ==∑,1niji j A a ==∑易于证明以下性质：1., 且, 当且仅当0Y ≥0Y =0Y =( 表示零向量，下同);02.;1212Y Y Y Y +≤+3.对任意常数，有;αY Y αα=A 4.;0A ≥5.;A B A B +≤+6.对任意常数，有;γA A γγ=A 7.;AY A Y ≤A 8. .AB A B ≤A 称和分别为向量和矩阵的范数. 进而还有如Y A Y A 下性质韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案00()()x x x x F x dx F x dx≤⎰⎰有了维空间的范数定义后，我们可以定义按范数收敛n 的概念. 即：如果对 上的任意x ，有[,]a b lim ()()0n n Y x Y x →∞-=则称 在 上按范数收敛于Y (x ).如果上式对 ()n Y x [,]a b [,]a b 上的x 为一致的，则称 在上 按范数一致收敛()n Y x [,]a b 于.()Y x 另外, 如果对n 维向量函数F (x )有00lim ()()0x x F x F x →-=则称 在 连续. 如果 在区间 上每()F x 0x ()F x [,]a b 一点 都连续, 则称 在区间 上连续.0x ()F x [,]a b 有了以上准备，完全类似于第二章定理2.2，我们有如下的关于初值问题(3.4)的解的存在与唯一性定理.定理3.1 如果函数 在 维空间的区域(,)F x Y 1n +00:,R x x a Y Y b -≤-≤上满足：1) 连续；2) 关于满足李普希兹条件，即存在, 使对于上Y 0N >R 任意两点 ,有1(,),x Y 2(,)x Y韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案1212(,)(,)F x Y F x Y N Y Y -≤-则存在, 使初值问题(3.4)的解在 上存在00h >00x x h -≤且唯一，其中0min(,b h a M =.(,)max (,)x Y R M F x Y ∈= 定理的证明方法与定理2.2完全类似,也是首先证明(3.4)与积分方程 00()(,())x x Y x Y F x Y x dx =+⎰(3.5)同解.为证(3.5)的解在 上的存在性，同样用00x x h -≤逐次逼近法，其步骤可以逐字逐句重复定理2.2的证明.最后，唯一性的证明，同样用贝尔曼不等式完成. 对于方程组(3.3)也有类似第二章关于纯量方程(1.9)的解的延展定理和解对初值的连续依赖性定理，这只要在第二章相应定理中把纯量换成向量即可.y Y 最后，我们要指出方程组(3.3)解的几何意义：我们已经知道，纯量方程(1.9)的一个解是二维空间平面上的一条xoy 曲线，或称为积分曲线，那么，很自然地有方程组(3.3)的一韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案个解就是维空间中的一条曲线了，也称它为方程组x Y1n (,)(3.3)的积分曲线.本节要点：1．一阶微分方程组解的存在唯一性定理及解的几何意义.2．一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理及其特征：系数和非齐次项连续区间上整体存在.作业: 完成定理3.1的证明. 。
解的存在唯一性定理
一阶微分方程解的存在性定理的其它证明方法姜旭东摘要 本文在文[1]对一阶微分方程初值问题解得存在唯一性定理证明的基础上,应用压缩映像原理，Schauder 不动点定理，以及Euler 折线法，给出了一阶微分方程解得存在唯一性定理的其它几种证法.关键词 一阶微分方程 不动点定理 解的存在性 唯一性 1、引言微分方程来源于生活实际，研究微分方程的目的在于掌握它所反映的客观规律。
在文[1]第二章里,介绍了能用初等解法求解的一阶方程的若干类型,但同时指出,大量的一阶方程一般是不能用初等解法求解它的通解,而实际问题需要的往往是要求满足某种初始条件的解. 本文在文[1]对一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理证明的基础上,应用压缩映像原理，Schauder 不动点定理，以及Euler 折线法，给出了一阶微分方程解的存在唯一性定理的其它几种证法.考虑一阶微分方程 (,)dyf x y dx= (1.1)这里(,)f x y 是在矩形区域00:||,||R x x a y y b -≤-≤ (1.2)上的连续函数.函数(,)f x y 在R 上满足Lipschitz 条件，即存在常数L ＞0，使得不等式1212|(,)(,)|||f x y f x y L y y -≤- (1.3)对所有12(,),(,)x y x y R ∈都成立, L 称为Lipschitz 常数。
定理1.1、如果(,)f x y 在R 上连续且关于y 满足Lipschitz 条件，则方程(1.1)存在唯一的解()y x ϕ=,定义于区间0||x x h -≤上,连续且满足初始条件00()x y ϕ=这里min(,)bh a M=,(,)max |(,)|x y R M f x y ∈=.文[1]中采用皮卡逐步逼近法来证明这个定理.为了简单起见,只就区间00x x x h≤≤+来讨论,对于00x h x x -≤≤的讨论完全一样.分五个命题来证明这个定理:命题1、设()y x ϕ=是方程(1.1)定义于区间00x x x h ≤≤+上满足初始条件00()x y ϕ=的解,则()y x ϕ=是积分方程0(,)xx y y f x y dx =+⎰ 00x x x h ≤≤+ (1.4)的定义于00x x x h ≤≤+上的连续解.反之亦然. 现在取00()x y ϕ=,构造皮卡逐步逼近函数序列如下:0000100()()(,())x nn x x y x y f d x x x hϕϕξϕξξ-=⎧⎪⎨=+≤≤+⎪⎩⎰ (1.5)(n=1,2,…)命题2 、对于所有的n ，(1.5)中()n x ϕ在00x x x h ≤≤+上有定义、且满足不等式0|()|n x y b ϕ-≤命题3 、函数序列{}()n x ϕ在00x x x h ≤≤+上是一致收敛的. 命题4 、()x ϕ是积分方程(1.4)的定义于00x x x h ≤≤+上的连续解.命题5 、()x ψ是积分方程(1.4)的定义于00x x x h ≤≤+上的一个连续解，则()()x x ϕψ=，00x x x h ≤≤+.综合命题1—5，即得到存在唯一性定理.本文在方程(1.1)在满足定理1.1条件下,应用应用压缩映像原理，Schauder 不动点定理，以及Euler 折线法，给出了一阶微分方程解得存在唯一性定理的其它几种证法.2、预备知识定义 2.1、 定义在t αβ≤≤上的实值(m 维)向量函数族{}()F f t =,如果存在数M ＞0，使得对任一f F ∈，都有()f t M ≤，当t αβ≤≤时，则称函数族F 在t αβ≤≤上是一致有界的.定义2.2 、定义在t αβ≤≤上的实值(m 维)向量函数族{}()F f t =，如果对于任给的ε﹥0，总存在δ﹥0，使得对任一f F ∈和任意的12,[,]t t αβ∈，只要12|,|t t -＜δ就有12()()f t f t -＜ε则称函数族F 在 t αβ≤≤上是同等连续.定义2.3、设X 是度量空间，M 是X 中子集，若M 是X 中紧集，则称M 是X 中相对紧集。
3. 一阶常微分方程解的存在唯一性
由于ϕn(x) = ϕ0(x) + ϕ1(x) − ϕ0(x) + ϕ2(x) − ϕ1(x) + · · · + ϕn(x) − ϕn−1(x) ，
∞
故只需证明无穷级数ϕ0(x) + [ϕn+1(x) − ϕn(x)]在I上一致收敛即可。采用数学 n=0
归纳法来证明：
特别，取ϕ0(x) = y0，则 |ϕ1(x) − ϕ0(x)| =
设ϕ(x)和ψ(x)都 是 微 分 方 程(3.1)在I上 的 解。 记M = max |ϕ(x) − ψ(x)|， 根 x∈I
据Lipschitz条件，当x ∈ I时，有
|ϕ(x) − ψ(x)| ≤
x
|f (t, ϕ(t)) − f (t, ψ(t))|dt
x0 x
≤ L |ϕ(t) − ψ(t)|dt
第三章 一阶常微分方程解的存在唯一性
本章主要介绍和证明一阶微分方程解的Picard存在和唯一性定理，解的延拓，解对 初值的连续性和可微性等概念。
3.1 Picard存在唯一性定理
3.1.1 一阶显式微分方程
考虑一阶显式常微分方程的初值问题
dy dx
=
f (x, y)
y|x=x0 = y0
(3.1)
≤
LnM n!
x
|t − x0|ndt
x0
=
LnM (n + 1)!
|x
−
x0|n+1
特别，当|x − x0| ≤ h时，
|ϕn+1(x)
−
ϕn(x)|
≤
LnM (n + 1)!
hn+1
∞
由于正项级数
由Levy过程驱动的倒向随机微分方程在局部Bihari条件下解的存在唯一性
ｒ
＝
Ｅ Ｉｔ ∞ 上 ＇＜ 。 ｄ
・
（ ， ； ）由取值于 Ｚ的 Ｆ 一可测随机过程 所构成的空间， Ｏ ＴＩ 满足
Ｅ ’ｄ＜ ，中２ ） Ｒ ∑ ＜ ｝ 上 Ｉｔ ∞其 ｌ ＝ ： 且＝ ∞。 ｉ ｌ
・
Ｐ （ ， ｚ 是由 （ ， ； ）中的可料过程生成的子空间。 ２０ ； ） ０ Ｔｌ
局 部 Ｂｈ ｒ 条 件下解 的存 在 唯 一性 ｉａｉ
林爱 红 夏 宁茂
（ 东理工大学数学系， 华 上海， ０ ３ ） ２ ２７ ０
摘 要 本文利用推广 的 Ｂｈｒ不等式和截断函数 ， 明 了由 ｖ ｉａｉ 证 ｙ过程驱动的倒 向随机微分方程在局部 Ｂ－ ｉ
ｈｒ条件下解的存在唯一性。我们先给 出在 某种较 弱的条件 下， ａｉ 方程在局部 区间 ［ ， 上解的存在唯一性，
此外 ， 注意到 Ｌｐｃｉ 条 件是 个要 求较 高 的条件 ， ｉｓｈｔ ｚ 在实 际 中往 往不 易 得 到满 足 ， 必要 对 有
此进行放松 ， 例如放松为局部 Ｌｐｃｉ 条件 ，ｉ ｒ条件 ， ｉ ｈｚ ｓ ｔ Ｂｈ ｉ ａ 单调条件等 ， 有兴趣 的读者可参考 ［ ８
一
ｌ ］ 的文章 。为引入 本文 即将 给 出 的条件 ， 们着 重考虑 以下 学者 的研 究 成果 。龚 光鲁 在 ０等 我
１ 引 言
１９ ９０年， ａ ｏｘ和 Ｐ ｎ［ ］ Ｐｒ ｕ ｄ ｅｇ １ 利用鞅表示定理证明了由 Ｂｏｎ运动驱动 的倒向随机微分 ｒ ｗ 方程（ 简称 Ｂ Ｄ ｓ Ｓ Ｅ）
．
１
＾ ｌ
—
Ｊ（ ｙｚ） ＋Ｊ， ＝ ，５ Ｉ Ｉ ，， ｄ Ｚ
ｔ ０１ ∈［， ］
（．） １ １
解的存在唯一性定理与逐步逼近法
x0 x
y y0 f ( x, y )dx
x0
x
2 ( x) y0 f ( x, 1 ( x)) dx
x0 x
x
3 ( x ) y0
x
x0
f ( x, 2 ( x)) dx … n ( x) y0
y y0 f ( x, y )dx(3.5)
x0 x
定义于 x0 x x0+h 上的连续解,反之亦然.
命题2
命题2 对于所有的 n,函数 n(x) 在 x0xx0+h 上有定 义,连续且满足不等式 | n(x)y0 | b.
命题3
命题3 函数序列 {n(x)} 在 x0 x x0+h 上是一致收敛 的. 注： 1、函数列的一致收敛性 设函数列{fn}与函数f定义在同一数集D上，若对 给的正数ε，总存在某一正数N，使得当n≥N时， 对一切x∈D，都有： |fn(x)-f(x)|<ε,则称函数列{fn}在D上一致收敛。
b 其中 h min( a, ), M max | f ( x, y ) | ( x , y )R M
皮卡(Picard)逐步逼近法
思路(区间取为 x0 x x0+h )
(1)证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程 的连续解; (2)取一连续函数 0(x) 进行迭代求解,构造函数序列: 0(x), 1(x), 2(x),… n(x)…;
2、函数项级数一致收敛的维尔斯特拉斯判别法： 设函数项级数∑un(x)定义在数集D上， ∑mn为收 敛的正项级数，若对一切x∈D，有：
| un(x) |≤ mn
解的存在唯一性定理
上连续,从而k1(x)在[x0 , x0 h]上连续且
k1(x) y0
x
x0 f ( ,k ( ))d
x x0
f (,k ( ))d
M x x0 Mh b
即当n k 1时成立,命题2成立
综上，命题2得证
二、存在唯一性定理
定理1
dy =f (x, y)
(1)
dx
D :| x x0 | a,| y y0 | b
如果f (x, y)在D上连续且关于y满足利普希茨条件，
则方程(1)存在唯一的连续解y (x),定义在|x x0| h
上，连续且满足初值条件
(x0 ) y0
这里h min(a, b ), M max | f (x, y) |
x
L x0 n ( ) n1( )d
MLn
n!
x x0
(
x0 )nd
MLn (x (n 1)!
x0 )n1,
于是由数学归纳法得知,对所有正整数n,有
n (x) n1(x)
MLn1 n!
(x
x0 )n ,
x0 x x0 h,
(3.11)
从而当x0 x x0 h时,
n (x) n1(x)
于是{n (x)}一致收敛性与级数 (3.9)一致收敛性等价 .
对级数(3.9)的通项进行估计
x
1(x) 0(x) x0 f (,0( ))d M x x0
x
2(x) 1(x) x0 f (,1( )) f (,0 ( ))d
x
L x0 1( ) 0( )d
L
x x0
M (
第三章 线性算子与线性泛函
精选2021版课件
18
定理3的证明：由于f 是M的有界线性泛函，那么 | f (x) ||| f ||M || x ||,这里|| f ||M sup{| f (m) |;mM}.
||m||1
令p(x) || f ||M || x ||,则p是X上的次可加正齐次泛函， 由定理1，存在X上的连续线性泛函F满足:
精选2021版课件
14
2 在 扩 大 的 定 义 域 上 作 f的 线 性 延 拓 令 f1λx1yfyλc,λx1yX1.
易 证 f1是 X1上 的 线 性 泛 函 ,且 f1|Mf.
3 恰当选择被控制的延拓
f在X1上的线性延拓具有形式:
令f1λx1y f yλc,λx1yX1.
选择恰当的c使得
这表明sup p yM
y -
x1
f
y
inf
yM
p
y
x1
f
y.
取满足下面的不等式的c即可
sup p
yM
y -
x1
f
y
c
inf p y
yM
x1
f
y.
精选2021版课件
16
2 做出f满足以下条件的全部延拓;
f |M f
f
x
px,xX
记这些延拓的全体为Γ.那么我们有
Γg|g是Dg上的线h-Steinhaus定理)：设X 是Banach空间，
Y是赋范线性空间，算子族{T; } B(X ,Y ) 满足:
sup || T x || ,x X .那么sup || T || .
推论1：设 fn是Banach空间X 上的一列有界线性泛函,
如果 fn在X的每点x处有界, 那么 fn一致有界.
解的存在唯一性定理证明
解的存在唯一性定理利用逐次逼近法，来证明微分方程(,),dyf x y dx =的初值问题00(,)()dy f x y dx y y x ==⎧⎨⎩的解存在与唯一性定理。
一、【存在、唯一性定理叙述】 如果方程(,),dyf x y dx=的右端函数(,)f x y 在闭矩形区域0000:,R x a x x a y b y y b -≤≤+-≤≤+上满足如下条件：（1）、在R 上连续；（2）、在R 上关于变量y 满足利普希茨条件，即存在常数N ，使对于R 上任何一点(),x y 和(),x y 有以下不等式：()|(,),|||f x y f x y N y y -≤-。
则初值问题00(,)()dyf x y dx y y x ==⎧⎨⎩在区间0000x h x x h -≤≤+上存在唯一解00(),()y x x y ϕϕ==， 其中0(,)min ,,max (,)xy R bh a M f x y M∈⎛⎫== ⎪⎝⎭二、【证明】 逐步迫近法：微分方程(,)dyf x y dx=等价于积分方程00(,)x x y y f x y dx =+⎰。
取00()x y ϕ=，定义001()(,()),1,2,3, (x)n n x x y f x x dx n ϕϕ-=+=⎰可证明lim ()()n n x x ϕϕ→∞=的()y x ϕ=满足积分方程。
通过逐步迫近法可证明解的存在唯一性。
命 题 1：先证积分方程与微分方程等价： 设()y x ϕ=是微分方程(,)dyf x y dx=定义于区间0000x h x x h -≤≤+上满足初值条件00()x y ϕ=的解，则()y x ϕ=是积分方程00(,),x x y y f x y dx =+⎰定义于区间0000x h x x h -≤≤+上的连续解。
反之亦然。
证： 因()y x ϕ=是微分方程(,)dy f x y dx =的解，有'()()(,())d x x f x x dxϕϕϕ== 两边从0x 到x 取定积分，得：000000()()(,()),xx x x f x x dx x h x x h ϕϕϕ-=-≤≤+⎰代入初值条件00()x y ϕ=得：000000()(,()),xx x y f x x dx x h x x h ϕϕ=+-≤≤+⎰即()y x ϕ=是积分方程00(,)xx y y f x y dx =+⎰定义于区间0000x h x x h -≤≤+上的连续解。
3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法
在，要去求解就毫无意义，以后我们将给出在相当一 般的条件下，上述Cauchy问题的是存在的.
(2) 若已知Cauchy问题的解是存在的，我们进一步要问
这样的解是否唯一的？因为如果解是不唯一的，由于 不知道要确定哪一个解，却要去近似地确定它，问题 也是不明确的。
下面讨论解的存在唯一性的条件，对于微分方程
分析：转化为函数项级数，讨论该函数项级数的收敛性！ 工具：利用M-判别法（Weierstass）判别收敛性。
目的：寻求收敛正项数项级数。
构造级数 它的部分和为：
() x [ () x () x ] , x xx h 0 k k 1 0 0
k 1
( x ) [ ( x ) ( x ) ] ( x ) 0 k k 1 n
x
x3 x7 3 63
3 7 1 1 1 5 x x 2 x x 3 6 3 2 0 7 9 5 9 5 3 5
3 ( x ) 就是所求的近似解。
5、皮卡（Picard）的逐步逼近法的主要思想 定义：通过适当的方法，一步一步的逼近所要求的问题 的解的方法称为逐步逼近法。
则方程（3.15）存在唯一解
y y(x ),
x x0 h （h为足够小的正数 ）
' y ( x ) y , y ' ( x ) y 满足初始条件 0 0 0 0
3.1.2 近似计算和误差估计 1、误差公式
存在唯一性定理不仅肯定了解的存在唯一性，并且在证
明中所采用的逐步逼近法在实用上也是求方程近似解的 一种方法。在估计式（3.14）中令 差估计式
(x ), Q (x ) 在区间 [, ] 上为连续时，定理1的条件就能 当P 满足。 •逐次逼近法：这个方法不仅可用来证明方程解的存在唯 一性定理，还可以广泛地用于分析中许多其它问题，将 各种应用中所使用的逐次逼近方法的本质加以抽象和概 括，便可得到各种形式的“不动点定理”。
常微分方程§3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法
通过比较两个可能的解，证明它们必须相等。
举例说明
简单的一阶常微分方程
dy/dt = y，其解为 y = Ce^t（C为 常数）。
高阶常微分方程
d^2y/dt^2 = -g/m * dy/dt - k/m * y，描述了物体的自由落体运动，其解 为y(t) = A*cos(ωt + φ)（A、φ为常 数，ω=√(g/m)）。
02
常微分方程解的存在唯一性定理
定义与定理陈述
定义
常微分方程是数学中描述一个或多个变量的函数如何随时间变化 的方程。
定理陈述
对于给定的常微分方程，如果其初值条件是合理的，那么该方程 存在唯一的解。
证明方法概述
02
01
03
数学分析
使用极限理论来证明解的存在性和唯一性。
连续性
证明解在时间上的连续性，从而说明解的存在性。
03
逐步逼近法
方法原理
逐步逼近法是一种通过逐步近 似求解常微分方程的方法。其 基本原理是，通过逐步构造一 系列的近似解，使得这些近似 解逐渐逼近真实的解。
在每一步中，根据已知的近似 解和微分方程的信息，构造一 个新的近似解，使得新解与旧 解之间的差距逐渐减小。
通过这样的方式，逐步逼近法 能够逐渐逼近真实的解，最终 得到满足精度要求的近似解。
输出满足精度要求的近似解。
迭代；否则，继续迭代。
04
解的存在唯一性定理与逐步逼近法的应用
在实际问题中的应用
物理问题
常微分方程在物理学中有广泛的应用，如力学、电磁学等领域。通过解的存在唯一性定理和逐步逼近法，可以求解物 理问题中的微分方程，从而得到物理现象的数学模型。
经济问题
在经济学中，常微分方程可以用来描述经济系统的动态变化，如供需关系、市场竞争等。通过逐步逼近法，可以求解 这些微分方程，为经济决策提供依据。
解的存在唯一性定理
一阶微分方程解的存在性定理的其它证明方法姜旭东摘要 本文在文[1]对一阶微分方程初值问题解得存在唯一性定理证明的基础上,应用压缩映像原理，Schauder 不动点定理，以及Euler 折线法，给出了一阶微分方程解得存在唯一性定理的其它几种证法.关键词 一阶微分方程 不动点定理 解的存在性 唯一性 1、引言微分方程来源于生活实际，研究微分方程的目的在于掌握它所反映的客观规律。
在文[1]第二章里,介绍了能用初等解法求解的一阶方程的若干类型,但同时指出,大量的一阶方程一般是不能用初等解法求解它的通解,而实际问题需要的往往是要求满足某种初始条件的解. 本文在文[1]对一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理证明的基础上,应用压缩映像原理，Schauder 不动点定理，以及Euler 折线法，给出了一阶微分方程解的存在唯一性定理的其它几种证法.考虑一阶微分方程 (,)dyf x y dx= (1.1)这里(,)f x y 是在矩形区域00:||,||R x x a y y b -≤-≤ (1.2)上的连续函数.函数(,)f x y 在R 上满足Lipschitz 条件，即存在常数L ＞0，使得不等式1212|(,)(,)|||f x y f x y L y y -≤- (1.3)对所有12(,),(,)x y x y R ∈都成立, L 称为Lipschitz 常数。
定理1.1、如果(,)f x y 在R 上连续且关于y 满足Lipschitz 条件，则方程(1.1)存在唯一的解()y x ϕ=,定义于区间0||x x h -≤上,连续且满足初始条件00()x y ϕ=这里min(,)bh a M=,(,)max |(,)|x y R M f x y ∈=.文[1]中采用皮卡逐步逼近法来证明这个定理.为了简单起见,只就区间00x x x h≤≤+来讨论,对于00x h x x -≤≤的讨论完全一样.分五个命题来证明这个定理:命题1、设()y x ϕ=是方程(1.1)定义于区间00x x x h ≤≤+上满足初始条件00()x y ϕ=的解,则()y x ϕ=是积分方程0(,)xx y y f x y dx =+⎰ 00x x x h ≤≤+ (1.4)的定义于00x x x h ≤≤+上的连续解.反之亦然. 现在取00()x y ϕ=,构造皮卡逐步逼近函数序列如下:0000100()()(,())x nn x x y x y f d x x x hϕϕξϕξξ-=⎧⎪⎨=+≤≤+⎪⎩⎰ (1.5)(n=1,2,…)命题2 、对于所有的n ，(1.5)中()n x ϕ在00x x x h ≤≤+上有定义、且满足不等式0|()|n x y b ϕ-≤命题3 、函数序列{}()n x ϕ在00x x x h ≤≤+上是一致收敛的. 命题4 、()x ϕ是积分方程(1.4)的定义于00x x x h ≤≤+上的连续解.命题5 、()x ψ是积分方程(1.4)的定义于00x x x h ≤≤+上的一个连续解，则()()x x ϕψ=，00x x x h ≤≤+.综合命题1—5，即得到存在唯一性定理.本文在方程(1.1)在满足定理1.1条件下,应用应用压缩映像原理，Schauder 不动点定理，以及Euler 折线法，给出了一阶微分方程解得存在唯一性定理的其它几种证法.2、预备知识定义 2.1、 定义在t αβ≤≤上的实值(m 维)向量函数族{}()F f t =,如果存在数M ＞0，使得对任一f F ∈，都有()f t M ≤，当t αβ≤≤时，则称函数族F 在t αβ≤≤上是一致有界的.定义2.2 、定义在t αβ≤≤上的实值(m 维)向量函数族{}()F f t =，如果对于任给的ε﹥0，总存在δ﹥0，使得对任一f F ∈和任意的12,[,]t t αβ∈，只要12|,|t t -＜δ就有12()()f t f t -＜ε则称函数族F 在 t αβ≤≤上是同等连续.定义2.3、设X 是度量空间，M 是X 中子集，若M 是X 中紧集，则称M 是X 中相对紧集。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(1)
–1
当 y0 0, 1时， 所给方程过点( x0 , y0 ) 的解(积分曲线)是 y( x ) x 1 y0 y ln y dy x0dx
由被积函数，知
积分
y0 y( x ) 0
y( x ) x 1 dy dx , 得 x0 y ln y
y0
ln ln y( x ) ln ln y0 x x0
证 f y ( x , y )在D上连续, 必有界
dy f ( x, y) (1) dx y( x0 ) y0
常数 L 0, 使
f y ( x , y) L (( x , y) D )
从而 ( x , y1 )，( x , y2 ) D，
(介于y1与y2之间), 使
f ( x , y )在D上关于y 满足 Lipschitz 条件
反例： 取 f ( x , y) y，
( x , y) D {( x , y) x x0 a, y 0 b}
( x , y1 )，( x , y2 ) D
f ( x , y2 ) f ( x , y1 ) y2 y1 y2 y1
L1
即 f ( x, y) y 在D上关于y 满足 Lipschitz条件
但点( x ,0)( D )处，f y ( x , y) 不存在
f y ( x , y )在D上不连续.
的条件(2).
上述关系表明：推论1中的条件(2)强于定理1
2. 可将定理1中的有界闭矩形区域 D 推广；
若 f ( x , y) 在闭带形区域： 推论2 D {( x , y) x , y }
推论4
设 f ( x , y ) 在区域G内有定义，若 f ( x , y ) 在G内满足下列两个条件： (1) 连续； ( 2) 关于y满足 局部 的Lipschitz条件，即
P ( x0 , y0 ) G ,
DP {( x , y) x x0 a, y y0 b} G ,
ln y( x ) ln x x0 , 即 ln y( x ) e x x0 ln y0 ln y0 由关系(1)，知 ln y( x ) 0 y ln y0 1 ( x0 , y0 ) ln y( x ) e x x0 ln y0 o 又 y0 y( x ) 0 –1
M 0 max f ( x , y0 )
x[ , ]
代替定理1证明中的M. 2º 在唯一性证明中，取
M1 max f ( x , ( x ))
x[ , ]
代替定理1证明中的M.
dy P ( x ) y Q( x ) 推论3 对于 dx ( 2), 线性方程 y( x0 ) y0 设P ( x ), Q ( x )均在区间[ , ] 上连续, 则
一、问题的提出 二、皮卡存在唯一性定理与逐步逼近法 三、几点说明
三、几点说明
1. 可用“f y ( x , y ) 在D上连续” 代替定理1
中的Lipschitz 条件，此条件更加便于检验；
推论1 (柯西存在唯一性定理)
设 f ( x , y ) 在有界闭矩形区域： D {( x , y ) x x0 a, y y0 b}
从而 ( x , y1 )，( x , y2 ) D， (介于y1与y2之间), 使
f ( x , y2 ) f ( x , y1 ) f y ( x , ) y2 y1 L y2 y1
即 f ( x, y)在D上关于y满足Lipschitz条件
由推论2知，推论3成立.
的解是否一定不唯一？
答：不一定. 事实上， 由观察知，y 0是该方程的解, y 1也是该方程的解.
dy y ln y , y 0 dx 0, y0
由1º 知，当 y0 0 时，所给方程过点 (x0, y0)
的解 y(x) 与 y0 有如下关系：
当 y0 1 时， y 1; 当 y0 1 时， y 1. y 1
在G内，初值问题(1)的解唯一.
例1
试证方程 dy y ln y , y 0 dx 0, y0
经过xOy 面上任一点的解都存在且唯一. 解 (1) 存在性
y ln y , y 0 f ( x, y) , ( x, y) R 2 y0 0,
由初等函数的连续性，知
P ( x0 ,0)
DP
x
L 0, y 0, ( x , y ) DP
L 矛盾！ 使 y 3 不存在常数 L > 0,
3
1
使
f ( x , y ) f ( x ,0 ) L y
即 f ( x , y )在以P ( x0 ,0)为中心的任一有界闭 矩形区域DP 上关于y均不满足Lip条件
2 当 y0 0 时，
y
x
f ( x , y ) f ( x ,0 )
o
( x, y)
P ( x0 ,0)Fra bibliotekDPx
y ln y 0 ln y y
而 lim ln y
y0
L 0, y 0, ( x , y ) DP
使 ln y L. 即不存在常数 L > 0,
( x0 , y0 ) R 2，该方程满足初始条件： y( x0 ) y0 的解存在且唯一.
2 dy 3 3 y 讨论初值问题： dx 例2 y( x0 ) y0
的解的存在唯一性. 解 (1) 存在性
f ( x, y)
2 3 y 3 在R 2内连续
( x0 , y0 ) R 2，所给初值问题的解必存在.
f ( x , y ) f ( x ,0 ) 3 o L y 0 L 1 3 则当 y 0 时，有 y 3 1 但另一方面， lim y 3
y0
假定： 常数 L 0, 使 ( x , y ), ( x ,0) DP
2 y3
y
x
( x, y)
(2) 唯一性 1 当 y 0 时，f y ( x , y) 2 y 3 连续
当 y 0 时，f ( x , y)关于y满足局部Lip条件
故 1 当 y0 0 时， 所给初值问题的解 ( ) 在 y 0 内存在且唯一. ( ) 2 当 y0 0 时，
记 DP {( x , y) x x0 a, y 0 b}
f ( x , y2 ) f ( x , y1 ) f y ( x , )( y2 y1 ) f y ( x , ) y2 y1
L y2 y1
即 f ( x , y)在D上关于y满足Lipschitz条件
由定理1知，推论1的结论成立.
注
f y ( x , y )在D上连续
综上所述：
1 当 y0 0 时， 所给初值问题的解 ( ) 在 y 0 内存在且唯一 ; 但在R 2 ( )
内该初值问题的解存在却不唯一.
2 当 y0 0 时，
该初值问题的解存在但 不唯一.
y
o
( x 0 ,0 ) x
dy ( 3.1) 例3 考虑 dx p( x ) y q( x ) 其中p( x )和q( x )都是在( , )上以 0 为周期的连续函数. 试证：
亦即 f ( x , y)在y 0上关于y不满足局部Lip条件.
当 y 0 时，将原方程变量分离得 1 dy dx 2 3 y3
通解：
即
1 y3
xc
( c为任意常数)
y ( x c )3
有两个解：y ( x x0 ) 3 及 y 0.
可以验证：当 y0 0时，所给初值问题至少
使 f ( x , y)在DP 上关于y满足Lipschitz条件,
即 常数 LP 0, 使 ( x , y1 )，( x , y2 ) DP， 有
f ( x , y2 ) f ( x , y1 ) LP y2 y1
dy 则方程 f ( x , y )在G内经过每一点 dx P ( x0 , y0 )有且只有一条积分曲线，即
上满足如下两个条件： (1) 连续；
dy f ( x, y) (1) dx y( x0 ) y0
( 2) 关于y满足Lipschitz条件,
则 ( x0 , y0 ) D , 初值问题(1)存在唯一的
定义在整个区间 [ , ]上的解.
证明提示： 1º 在存在性证明中，取
当 y 0 时，f ( x , y)连续;
当 y 0 时， ln y lim f ( x , y ) lim y ln y lim y 0 1 x x y0 y0 1 y y lim ( y ) 0 f ( x,0) lim 1 y0 y0 2 y f ( x , y)在R 2内连续
x
当 y0 0 时， y( x ) e
e x x0 (ln y0 )
当 y 0 0时， y ( x) e
e x x0 ln( y0.)
这些解不可能与y = 0相交. 因此, 对于x
轴上的点 (x0 , 0), 所给方程只有唯一的 解 y = 0 通过. 综上所述：
上满足如下两个条件： (1) 连续； ( 2) f y ( x , y )连续,
则初值问题(1)存在唯一的解 : y ( x ) x I [ x0 h, x0 h] b 其中 h min( a, ), M max f ( x , y ) . ( x , y )D M