最新圆锥曲线高中数学基础知识与典型例题教程文件

第二定义 : 平面内到定点 F 与到定直线 l 的距离之比是常数 e(0<e<1)的点的轨迹是椭圆 ,
定点叫做椭圆的焦点 ,定直线 l 叫做椭圆的准线 ,常数 e叫做椭圆的离心率 .
2.椭圆的标准方程及其几何性质 (如下表所示 )
标准方程
x2 y 2 a2 b2 1(a b 0)
x2 y2 2 2 1(a b 0) ba
y2 x2 a2 b2 1(a 0,b 0)
顶点 对称轴 焦点
( a,0)
(0, a)
x 轴， y 轴，实轴长为 2a ，虚轴长为 2b
F1 ( c,0), F2 (c,0)
F1 (0, c), F2 (0, c)
焦距
焦距为 F1F2 2c(c 0), c2 a 2 b2
离心率 准线方程
c
e
(e>1)
e c (0<e<1)
a
a2 x
c
a2 y
c
|PF 右 |=a-ex0 , |PF 左|=a+ex0
|PF 上 |=a-ex0 , |PF 下|=a+ex0
( “左加右减 ”)
例 6. 设 A(－ 2, 3 )，椭圆 3x2＋4y2=48 的右焦点是 F，点 P 在椭圆上移动， 当|AP|＋2|PF|取最小值时 P 点的坐标是 ( ) 。
图形
椭 圆
顶点 对称轴
焦点
焦距
( a,0) , (0, b)
(0, a) , ( b,0)
x 轴， y 轴，长轴长为 2a ，短轴长为 2b
F1 ( c,0) 、 F2 (c,0)
F1(0, c) 、 F2 (0,c)
焦距为 F1F2 2c(c 0), c2 a2 b2
(A) x 2
y 2 1 (B) x 2
读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思
数学基础知识与典型例题 (圆锥曲线 )
椭 圆 知 识 关 系 网
注 :1. 焦半径 ( 椭圆上一点到焦点的连线段
忆 ,但要会运用椭圆的第二定义 .
椭 圆 2.椭圆参数方程
x a cos
：
y b sin
)公式不要求记
如图点 N (a cos ,b sin ) 的轨迹为椭圆 .
的最大值是
．
例 10. 椭圆中心是坐标原点 O，焦点在 x 轴上， e= 3 ，过椭圆左焦点 F 的直 2
线交椭圆于 P、Q两点， |PQ|= 20 ，且 OP⊥OQ，求此椭圆的方程 . 9
双 曲 线 知 识 关 系 网
双 1.双曲线的定义： 曲 第一定义 ：平面内到两个定点 F 1、 F2 的距离之差的绝对值等于定值 2a(0<2 a<|F 1F 2|)的点 线 的轨迹叫做双曲线 ,这两个定点叫做双曲线的焦点 ,两焦点的距离叫做双曲线的焦距 .
设
F1(-
c，0) 、F2( c，0) 是椭圆
x2 a2
+ y2 b2
=1( a>b>0) 的两个焦点，
P 是以
F1F2
为直径的圆与椭圆的一个交点 , 若∠ PF1F2=5∠ PF2F1, 则椭圆的离心率为 ( )
(A) 3
(B)
6
(C)
2
(D)
2
2
3
2
3
离心率
准线方程
点 P(x0,y0) 的焦半径公式
c
当 P 在右支上时 d
x0
2
a,
c
PF右
2
e( x0
a )
ex0
a;
c
当 P 在左支上时 d
a2
x0 , PF右
a2
e(
x0 ) a ex0
c
c
即 | MF 右 |
|
x0 x0
|
(ex0
a) ,
类似可推导
| MF左 |
|
x0 x0
例 1.F1，F2 是定点，且 |F1F2|=6，动点 M 满足 |MF1|+|MF2|=6，则 M 点的轨迹
方程是 ( )
(A) 椭圆
(B) 直线
(C)圆
(D) 线段
例 2. 已知 ABC 的周长是 16， A( 3,0) ，B (3,0) , 则动点的轨迹方程是 ( )
1.椭圆的定义： 第一定义：平面内到两个定点 F1、 F2 的距离之和等于定值 2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做 椭圆 ,这两个定点叫做椭圆的焦点 ,两焦点的距离叫做椭圆的焦距 .
( 1) 长轴与短轴的和为 18，焦距为 6;
.
( 2) 焦点坐标为 ( 3,0) , ( 3,0) ,并且经过点 ( 2，1) ;
.
椭
( 3) 椭圆的两个顶点坐标分别为
( 3,0) , (3,0) ,且短轴是长轴的
1
;
圆
3
____.
( 4) 离心率为 3 ，经过点 ( 2，0) ;
.
2
例 9. F1、F2 是椭圆 x2 y2 1的左、右焦点，点 P 在椭圆上运动，则 | PF1 | | PF2 | 4
椭
a
b2 ( B)( c, )
(C)(0
ห้องสมุดไป่ตู้，± b)
(D)
a
不存在
圆 例 4. 如果椭圆 x2 y2 1 上有一点 P，它到左准线的距离为 2.5，那么 P 点到 25 9
右焦点的距离与到左焦点的距离之比是 ( ) 。
(A)3 : 1
( B) 4 : 1
( C) 15 : 2
( D) 5 : 1
例
5.
( A) (0, 2 3 )
( B) (0, － 2 3 ) ( C) (2 3 , 3 ) ( D) (－2 3 , 3 )
读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思
例 7. P 点在椭圆 x 2
45
坐标是
.
y2 20
1 上， F1、F2 是两个焦点，若 PF1
PF2 ，则 P 点的
例 8.写出满足下列条件的椭圆的标准方程：
第二定义 : 平面内到定点 F 与到定直线 l 的距离之比是常数 e(e>1) 的点的轨迹是双曲线 ,
定点叫做双曲线的焦点 ,定直线 l 叫做双曲线的准线 ,常数 e 叫做双曲线的离心率 .
2.双曲线的标准方程及其几何性质 (如下表所示 )
标准方程 图形
x2 y 2 a2 b2 1(a 0,b 0)
a
x
a2
c
y
a2
c
点 P(x0,y0) 的焦半径 公式
如 需 要 用 到 焦 半 径 就 自 己 推 导 一 下 : 如 设 P( x0 , y0 ) 是 双 曲 线
x2
2
y2
2
1(a
0, b
0) 上 一 点 ,
F右 (c,o) 为 右 焦 点 , 点 P 到 相 应 准 线
ab
l : x a2 的距离为 d , 则 PF右 ed .
y 2 1( y 0) (C) x2
y2 1
(D) x 2
y2 1( y 0)
25 16
25 16
16 25
16 25
例
3.
若
F( c，0) 是椭圆
x2 a2
y2 b2
1的右焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为
M M，最小值为 m，则椭圆上与 F 点的距离等于
m 的点的坐标是 (
)
2
(A)( c，
b2 )