求等差数列前n项和的最值问题的两种常用解法

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等差数列的最值问题

2009×2008
解析（1）设数列{ }的公差为d，则由2009 = 0得20091 +
= 0，
2
1
2009−

即1 + 1004 = 0，则 = −
1 ,所以1 + =
1 ,所以 = (1 +
1004
1004
2
2009−

) = ⋅
1 = 1 ⋅ (2009 − 2 ).因为1 < 0, ∈ ∗ ,所以当 = 1004或
由 S5＝S12 得 5a1＋10d＝12a1＋66d，
d＝－ a1<0.
8
1
－ a1
n（n－1）
n（n－1）
1
则 Sn ＝ na1 ＋
d ＝ na1 ＋
· 8 ＝－ a1(n2 － 17n) ＝－
16
2
2
17
n－
1
2 289
a1
2 ＋
a1，因为 a1>0，n∈N*，所以当 n＝8 或 9 时，Sn 有最大值．
2
1004
2008
1005
= 1005时，取得最小值，最小值为
1 .
2
1005−
1
1005−
2
（2）由（1）得 =
1 . 由 ≤ , 得
(2009 − ) ≤
1 .
1004
2008
1004
因为 1 < 0, 所以 2 − 2011 + 2010 ≤ 0, 即 ( − 1)( − 2010) ≤ 0 ，解得 1 ≤
≤ 2010 .故所求的取值集合为 {|1 ≤ ≤ 2010, ∈ ∗ } .

高考数学一轮复习第五章数列第二节等差数列学案文(含解析)新人教A版-新人教A版高三全册数学

第二节等差数列2019考纲考题考情1．等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示，定义表达式为a n －a n －1＝d (常数)(n ∈N *，n ≥2)或a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)。

(2)等差中项若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且有A ＝a ＋b2。

2．等差数列的有关公式 (1)等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d 。

(2)等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2d 或S n ＝n (a 1＋a n )2。

3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)。

(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n 。

(等和性) (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d 。

(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列。

(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列。

(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列。

(7)S 2n －1＝(2n －1)a n 。

(8)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd2；若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)。

1．用等差数列的定义判断数列是否为等差数列，要注意定义中的三个关键词：“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”。

等差数列前n项和的最值问题(精品文档)

等差数列前n 项和的最值问题问题引入：已知数列{},n a 的前n 项和212n S n n =+,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么? 解:当n>1时:1122n n n a s s n -=-==-当n=1时:211131122a s ==+⨯= 综上:122na n =-,其中:132a =,2d =探究1:一般地,如果一个数列{}n a 的前n 项和为:2,ns pn qn r =++其中:p.q.r 为常数,且p ≠0,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是什么?结论:当r=0时为等差,当r ≠0时不是一、应用二次函数图象求解最值例1：等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时？n S 最大分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。

解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-，其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为496.52n +==，而n N *∈，且6.5介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。

1.已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值.解析：设公差为d ，由3S =11S 得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2,n a =13-2(n-1), n a =15-2n,由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0)1n (2150n 215得：6.5≤n ≤7.5,所以n=7时,n S 取最大值.2.已知a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，若S 10=0，求数列a n 前 5 项和取得最大值．结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，S 10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n=错误!未找到引用源。

2.2.2等差数列前n项和公式

练习3 已知一个共有n项的等差数列前4项之和为26,末四项之和为110,且所有项的和为 187，求n.
n=11
提示：a1+a2+a3+a4=26
a1+an=34
an+an-1+an-2+an-3=110
Sn

n(a1 2
an )

34n 2
187,n
11
课堂小结
1．等差数列前n项和的公式；（两个）
解:(1)由已知得 12a1+6×11d>0
13a1+13×6d<0
24 d 3 7
(2)
∵
Sn

na1

1 2
n(n
1)d
1
n(12 2d ) n(n 1)d
2
d n2 (12 5d )n
2
2 5 12
∴Sn图象的对称轴为 n
由(1)知 24 7
+ S =100 + 99 + 98 + … + 3 + 2 + 1
2S = 101 +101+101 + … + 101 + 101 + 101
100101
S=
2
=5050
实例2
如图，表示堆放的钢管共8层，自上而下各层的钢管数组成等差数列4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11，求钢管的总数 .
Sn

n(a1 2
an )
Sn

na1

n(n 1) 2
d
2．等差数列前n项和公式的推导方法— —倒序相加法；

等差数列的前n项和的最值问题

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解方法一 ∵a1＝20，S10＝S15， ∴10×20＋10× 2 9d＝15×20＋15× 2 14d， ∴d＝－53. ∴an＝20＋(n－1)×－53＝－53n＋635. ∴a13＝0. 即当 n≤12 时，an>0，n≥14 时，an<0. ∴当 n＝12 或 13 时，Sn 取得最大值，且最大值为 S12＝S13＝12×20＋12× 2 11×－53＝130.
S2 009＝0.
(1)求 Sn 的最小值及此时 n 的值；
(2)求 n 的取值集合，使 an≥Sn.
解方法一 (1)设公差为 d，则由 S2 009＝0
⇒2
009a1＋2
009×2 2
008d＝0⇒a1＋1
004d＝0，
d＝－1 0104a1，a1＋an＝2 010090－4 na1，
∴Sn＝n2(a1＋an)＝n09n－n2)
∵a1<0，n∈N*，
∴当
n＝1
004
或
1
005精品时资料，Sn
取最小值1
005 2 a1.
(2)an＝1 100050－ 4 na1，
Sn≤an⇔2
a0108(2
009n－n2)≤1
005－n 1 004 a1
∵a1<0， ∴n2－2 011n＋2 010≤0，即(n－1)(n－2 010)≤0，
等差数列(děnɡ chā shù liè)的前n项和的最值问题
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前n项和Sn最大（最小）
1）在a1 0, d 0,求n为何值时Sn最大，可由不等式组 aann100来确定n 2)在a1 0, d 0,求n为何值时Sn最小，可由不等式组 aann100来确定n

2020版高考数学第五章数列第2节等差数列及其前n项和讲义理(含解析)新人教A版

第2节等差数列及其前n 项和考试要求 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.体会等差数列与一次函数的关系.知识梳理1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数).(2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b2.2.等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝n （a 1＋a n ）2.3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列. (4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列.(5)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列.[微点提醒]1.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列，且公差为p .2.在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值.3.等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列.4.数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数).基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( )(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.( ) (4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数.( ) 解析 (3)若公差d ＝0，则通项公式不是n 的一次函数. (4)若公差d ＝0，则前n 项和不是二次函数. 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×2.(必修5P46A2改编)设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A.31B.32C.33D.34解析由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝263，d ＝－43，∴S 8＝8a 1＋8×72d ＝32.答案 B3.(必修5P68A8改编)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________. 解析由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，∴a 5＝90，∴a 2＋a 8＝2a 5＝180. 答案 1804.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A.－12B.－10C.10D.12解析设等差数列{a n }的公差为d ，则3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋6d ，即d ＝－32a 1.又a 1＝2，∴d ＝－3，∴a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10. 答案 B5.(2019·上海黄浦区模拟)已知等差数列{a n }中，a 2＝1，前5项和S 5＝－15，则数列{a n }的公差为( ) A.－3B.－52C.－2D.－4解析设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，S 5＝－15，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，5a 1＋5×42d ＝－15，解得d ＝－4. 答案 D6.(2019·苏北四市联考)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8>0，且S 9<0，则S 1，S 2，…，S 9中最小的是______.解析在等差数列{a n }中， ∵a 3＋a 8>0，S 9<0，∴a 5＋a 6＝a 3＋a 8>0，S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5<0，∴a 5<0，a 6>0，∴S 1，S 2，…，S 9中最小的是S 5. 答案 S 5考点一等差数列基本量的运算【例1】 (1)(一题多解)(2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A.1B.2C.4D.8(2)(2019·潍坊检测)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11＝22，a 4＝－12，若a m ＝30，则m ＝( ) A.9B.10C.11D.15解析 (1)法一设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋3d ）＋（a 1＋4d ）＝24，6a 1＋6×52d ＝48，所以d ＝4. 法二等差数列{a n }中，S 6＝（a 1＋a 6）×62＝48，则a 1＋a 6＝16＝a 2＋a 5，又a 4＋a 5＝24，所以a 4－a 2＝2d ＝24－16＝8，则d ＝4.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 11＝11a 1＋11×（11－1）2d ＝22，a 4＝a 1＋3d ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－33，d ＝7， ∴a m ＝a 1＋(m －1)d ＝7m －40＝30，∴m ＝10. 答案 (1)C (2)B规律方法 1.等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.【训练1】 (1)等差数列log 3(2x )，log 3(3x )，log 3(4x ＋2)，…的第四项等于( ) A.3 B.4 C.log 318 D.log 324(2)(一题多解)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝6，S 4＝12，则S 6＝________. 解析 (1)∵log 3(2x )，log 3(3x )，log 3(4x ＋2)成等差数列， ∴log 3(2x )＋log 3(4x ＋2)＝2log 3(3x )，∴log 3[2x (4x ＋2)]＝log 3(3x )2，则2x (4x ＋2)＝9x 2，解之得x ＝4，x ＝0(舍去).∴等差数列的前三项为log 38，log 312，log 318， ∴公差d ＝log 312－log 38＝log 332，∴数列的第四项为log 318＋log 332＝log 327＝3.(2)法一设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由S 3＝6，S 4＝12，可得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝3a 1＋3d ＝6，S 4＝4a 1＋6d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝2，所以S 6＝6a 1＋15d ＝30.法二由{a n }为等差数列，故可设前n 项和S n ＝An 2＋Bn ，由S 3＝6，S 4＝12可得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝9A ＋3B ＝6，S 4＝16A ＋4B ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1，B ＝－1，即S n ＝n 2－n ，则S 6＝36－6＝30.答案 (1)A (2)30考点二等差数列的判定与证明典例迁移【例2】 (经典母题)若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列. (2)解由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝n －1－n 2n （n －1）＝－12n （n －1）.当n ＝1时，a 1＝12不适合上式.故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n （n －1），n ≥2.【迁移探究1】本例条件不变，判断数列{a n }是否为等差数列，并说明理由. 解因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a n ＋2S n S n －1＝0，所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2). 所以1S n －1S n －1＝2(n ≥2).又1S 1＝1a 1＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列.所以1S n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n.所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝－12n （n －1），所以a n ＋1＝－12n （n ＋1），又a n ＋1－a n ＝－12n （n ＋1）－－12n （n －1）＝－12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n －1＝1n （n －1）（n ＋1）.所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是一个等差数列. 【迁移探究2】本例中，若将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式. 解由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，又a 1＝35， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25，∴a n ＝n 2－25n . 规律方法 1.证明数列是等差数列的主要方法：(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数. (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)都成立. 2.判定一个数列是等差数列还常用到结论：(1)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列.(2)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.【训练2】 (2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列. 解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－2，a 1＝－2. 故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n. (2)由(1)可得S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－23＋(－1)n 2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋23.＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋(－1)n ·2n ＋13＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列. 考点三等差数列的性质及应用多维探究角度1 等差数列项的性质【例3－1】 (2019·临沂一模)在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则a 2＋a 14的值为( ) A.6B.12C.24D.48解析 ∵在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，由等差数列的性质，a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120， ∴a 8＝24，∴a 2＋a 14＝2a 8＝48. 答案 D角度2 等差数列和的性质【例3－2】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.63B.45C.36D.27解析由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，所以a 7＋a 8＋a 9＝45. 答案 B规律方法 1.项的性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .2.和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 (1)S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； (2)S 2n －1＝(2n －1)a n .【训练3】 (1)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 015，S 2 0152 015－S 2 0092 009＝6，则S 2 019＝________.(2)(2019·荆州一模)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＝3，a 8＝8，则a 12的值是( ) A.15B.30C.31D.64(3)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于( )A.3727B.1914C.3929D.43解析 (1)由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列. 设其公差为d ，则S 2 0152 015－S 2 0092 009＝6d ＝6，∴d ＝1.故S 2 0192 019＝S 11＋2 018d ＝－2 015＋2 018＝3， ∴S 2 019＝3×2 019＝6 057.(2)由a 3＋a 4＋a 5＝3及等差数列的性质， ∴3a 4＝3，则a 4＝1.又a 4＋a 12＝2a 8，得1＋a 12＝2×8. ∴a 12＝16－1＝15.(3)a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727. 答案 (1)6 057 (2)A (3)A 考点四等差数列的前n 项和及其最值【例4】 (2019·衡水中学质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1≠0，常数λ>0，且λa 1a n ＝S 1＋S n 对一切正整数n 都成立. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设a 1>0，λ＝100，当n 为何值时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前n 项和最大？解 (1)令n ＝1，得λa 21＝2S 1＝2a 1，a 1(λa 1－2)＝0，因为a 1≠0，所以a 1＝2λ，当n ≥2时，2a n ＝2λ＋S n ，2a n －1＝2λ＋S n －1，两式相减得2a n －2a n －1＝a n (n ≥2). 所以a n ＝2a n －1(n ≥2)，从而数列{a n }为等比数列，a n ＝a 1·2n －1＝2nλ. (2)当a 1>0，λ＝100时，由(1)知，a n ＝2n100，则b n ＝lg 1a n ＝lg 1002n ＝lg 100－lg 2n＝2－n lg 2，所以数列{b n }是单调递减的等差数列，公差为－lg 2，所以b 1>b 2>…>b 6＝lg 10026＝lg 10064>lg 1＝0，当n ≥7时，b n ≤b 7＝lg 10027<lg 1＝0，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前6项和最大.规律方法求等差数列前n 项和S n 的最值的常用方法：(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn (a ≠0)，通过配方或借助图象求二次函数的最值.(2)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，进而求S n 的最值. ①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m (当a m ＋1＝0时，S m ＋1也为最大值)；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m (当a m ＋1＝0时，S m ＋1也为最小值).【训练4】 (1)等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3，a 5，a 15成等比数列，若a 5＝5，S n 为数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和取最小值时的n 为( )A.3B.3或4C.4或5D.5(2)已知等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，则前n 项和S n 的最大值为________.解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋2d ）（a 1＋14d ）＝25，a 1＋4d ＝5，由d ≠0，解得a 1＝－3，d ＝2，∴S nn＝na 1＋n （n －1）2dn＝－3＋n －1＝n －4，则n －4≥0，得n ≥4，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和取最小值时的n 为3或4.(2)因为等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝20n －n （n －1）2×2＝－n 2＋21n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2122，又因为n ∈N *，所以n ＝10或n ＝11时，S n 取得最大值，最大值为110. 答案 (1)B (2)110[思维升华]1.证明等差数列可利用定义或等差中项的性质，另外还常用前n 项和S n ＝An 2＋Bn 及通项a n ＝pn ＋q 来判断一个数列是否为等差数列. 2.等差数列基本量思想(1)在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于a 1，d 的方程组进行求解. (2)若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d .若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.(3)灵活使用等差数列的性质，可以大大减少运算量. [易错防范]1.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了a n ＋1－a n ＝d (n ≥2)时，应注意验证a 2－a 1是否等于d ，若a 2－a 1≠d ，则数列{a n }不为等差数列.2.利用二次函数性质求等差数列前n 项和最值时，一定要注意自变量n 是正整数.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A.100B.99C.98D.97解析设等差数列{a n }的公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧9a 1＋36d ＝27，a 1＋9d ＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1，所以a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99＝98. 答案 C2.(2019·淄博调研)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 6a 5＝911，则S 11S 9＝( )A.1B.－1C.2D.12 解析由于S 11S 9＝11a 69a 5＝119×911＝1. 答案 A 3.(2019·中原名校联考)若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列，已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝( )A.10B.20C.30D.40解析依题意，11x n ＋1－11x n＝x n ＋1－x n ＝d ， ∴{x n }是等差数列.又x 1＋x 2＋…＋x 20＝20（x 1＋x 20）2＝200. ∴x 1＋x 20＝20，从而x 5＋x 16＝x 1＋x 20＝20.答案 B4.(2019·北京海淀区质检)中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是( )A.174斤B.184斤C.191斤D.201斤解析用a 1，a 2，…，a 8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列a 1，a 2，…，a 8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴8a 1＋8×72×17＝996，解之得a 1＝65. ∴a 8＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到的绵是184斤.答案 B5.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝9，S 99－S 55＝－4，则S n 取最大值时的n 为( ) A.4 B.5 C.6 D.4或5 解析由{a n }为等差数列，得S 99－S 55＝a 5－a 3＝2d ＝－4，即d ＝－2，由于a 1＝9，所以a n ＝－2n ＋11，令a n ＝－2n ＋11<0，得n >112，所以S n 取最大值时的n 为5.答案 B二、填空题6.已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为________.解析设项数为2n ，则由S 偶－S 奇＝nd 得，25－15＝2n 解得n ＝5，故这个数列的项数为10.答案 107.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1，则a 6＝________. 解析将a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1两边同时除以a n a n ＋1，1a n ＋1－1a n ＝2. 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，2为公差的等差数列，所以1a 6＝1＋5×2＝11，即a 6＝111. 答案 1118.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10＝16，S 100－S 90＝24，则S 100＝________. 解析依题意，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d .又S 10＝16，S 100－S 90＝24，因此S 100－S 90＝24＝16＋(10－1)d ＝16＋9d ，解得d ＝89，因此S 100＝10S 10＋10×92d ＝10×16＋10×92×89＝200. 答案 200三、解答题9.等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解 (1)设数列{a n }首项为a 1，公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝25.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35. (2)由(1)知，b n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋35. 当n ＝1，2，3时，1≤2n ＋35<2，b n ＝1；当n ＝4，5时，2≤2n ＋35<3，b n ＝2；当n ＝6，7，8时，3≤2n ＋35<4，b n ＝3；当n ＝9，10时，4≤2n ＋35<5，b n ＝4. 所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.10.已知等差数列的前三项依次为a ，4，3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110.(1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项公式b n ＝S n n ，证明：数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .(1)解设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ，由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2，所以S k ＝ka 1＋k （k －1）2·d ＝2k ＋k （k －1）2×2＝k 2＋k ，由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10.(2)证明由(1)得S n ＝n （2＋2n ）2＝n (n ＋1)，则b n ＝S n n ＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列，所以T n ＝n （2＋n ＋1）2＝n （n ＋3）2.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2019·济宁模拟)设数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1(n ≥2且n ∈N *)，则a 18＝( )A.259B.269C.3D.289 解析令b n ＝na n ，则2b n ＝b n －1＋b n ＋1(n ≥2)，所以{b n }为等差数列，因为b 1＝1，b 2＝4，所以公差d ＝3，则b n ＝3n －2，所以b 18＝52，则18a 18＝52，所以a 18＝269. 答案 B12.(2019·青岛诊断)已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n (n ∈N *)，若S n T n ＝2n －1n ＋1，则a 12b 6＝( ) A.154B.158C.237D.3 解析由题意不妨设S n ＝n (2n －1)，T n ＝n (n ＋1)，所以a 12＝S 12－S 11＝12×23－11×21＝45，b 6＝T 6－T 5＝6×(6＋1)－5×(5＋1)＝42－30＝12，所以a 12b 6＝4512＝154. 答案 A13.设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 解析由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，∴n ≤5时，a n ≤0，当n >5时，a n >0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130. 答案 13014.(2019·长沙雅礼中学模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＋a 13＝26，S 9＝81.(1)求{a n }的通项公式；(2)令b n ＝1a n ＋1a n ＋2，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若30T n －m ≤0对一切n ∈N *成立，求实数m 的最小值.解 (1)∵等差数列{a n }中，a 1＋a 13＝26，S 9＝81，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 7＝26，9a 5＝81，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 7＝13，a 5＝9， ∴d ＝a 7－a 57－5＝13－92＝2，∴a n ＝a 5＋(n －5)d ＝9＋2(n －5)＝2n －1.(2)∵b n ＝1a n ＋1a n ＋2＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3， ∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3， ∵12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3随着n 的增大而增大，知{T n }单调递增. 又12n ＋3>0，∴T n <16，∴m ≥5， ∴实数m 的最小值为5.新高考创新预测15.(多填题)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，满足S 2＝S 6，S 55－S 44＝2，则a 1＝________，公差d ＝________.解析由{a n }为等差数列，得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为a 1，公差为d 2的等差数列，∵S 55－S 44＝2，∴d 2＝2⇒d ＝4，又S 2＝S 6⇒2a 1＋4＝6a 1＋6×52×4⇒a 1＝－14. 答案－14 4。

与等差数列前n项和Sn有关的最值问题教学讲义

与等差数列前n 项和S n 有关的最值问题教学讲义例5 (文)(2018·福州模拟)在等差数列{a n }中，已知a 1＝10，前n 项和为S n ，若S 9＝S 12，则S n 取得最大值时，n ＝10或11，S n 的最大值为55.[分析] 求出数列的公差，再根据通项公式或前n 项和公式求解．[解析] 解法一：因为a 1＝10，S 9＝S 12，所以9×10＋9×82d ＝12×10＋12×112d ，所以d ＝－1.所以a n ＝－n ＋11.所以a 11＝0，即当n ≤10时，a n >0，当n ≥12时，a n <0，所以当n ＝10或11时，S n 取得最大值，且最大值为S 10＝S 11＝10×10＋10×92×(－1)＝55.解法二：同解法一求得d ＝－1.所以S n ＝10n ＋n (n －1)2·(－1)＝－12n 2＋212n ＝－12(n －212)2＋4418. 因为n ∈N *，所以当n ＝10或11时，S n 有最大值，且最大值为S 10＝S 11＝55. 解法三：同解法一求得d ＝－1.又由S 9＝S 12得a 10＋a 11＋a 12＝0.所以3a 11＝0，即a 11＝0.∴a 1>a 2>…>a 10>a 11＝0，所以当n ＝10或11时，S n 有最大值．且最大值为S 10＝S 11＝55.例5 (理)(1)(2018·吉林市调研)设S n 是公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和，且a 1>0，若S 5＝S 9，则当S n 最大时，n ＝( B )A ．6B ．7C ．10D ．9(2)(2018·黑龙江牡丹江一中月考)已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且其前n 项和S n 有最大值，则使得S n >0的最大值n 为( B )A ．11B ．19C ．20D ．21[分析] (1)由S 5＝S 9可求得a 1与d 的关系，进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为负，或利用S n 是关于n 的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解；(2)利用S n >0⇔a 1＋a n >0求解．[解析] (1)解法一：由S 5＝S 9得a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0即a 7＋a 8＝0，∴2a 1＋13d ＝0，又a 1>0，∴d <0.∴a 7>0，a 8<0，∴a 1>a 2>…>a 7>0>a 8>a 9>…，∴S n 最大时，n ＝7，故选B ．解法二：S n 是关于n 的二次函数，S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n ，且d <0，(n ，S n )所在抛物线开口向下，又S 5＝S 9，∴抛物线对称轴为n ＝7.即n ＝7时，S n 最大，故选B ．解法三：由解法1知d ＝－213a 1， ∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(a 1－12d )n ＝－a 113n 2＋1413a 1n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1， ∵a 1>0，∴－a 113<0，∴当n ＝7时，S n 最大．解法四：由解法一可知，d ＝－213a 1. ∵a 1>0，∴d <0.令⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0得⎩⎨⎧ a 1＋(n －1)(－213a 1)≥0，a 1＋n (－213a 1)≤0，解得132≤n ≤152. ∵n ∈N ＋，∴当n ＝7时，S n 最大．(2)∵S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n 有最大值，∴d <0，又a 11a 10<－1，∴a 10>0，a 11<0，∴a 10＋a 11<0，即a 1＋a 20<0，∴S 20＝10(a 1＋a 20)<0，又S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19a 10>0，∴使S n >0的n 的最大值为19.故选B ．[引申]①本例(1)中若将“S 5＝S 9”改为“S 5＝S 10”，则当S n 取最大值时n ＝7或8； ②本例(1)中，使S n <0的n 的最小值为15；③本例(2)中，使S n 取最大值时n ＝10.[解析] ①若S 5＝S 10，则S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n 的对称轴为n ＝7.5，但n ∈N *，故使S n 最大的n 的值为7或8.②由a 7＋a 8＝a 1＋a 14＝0知S 14＝0，又a 8<0，∴2a 8＝a 1＋a 15<0，即S 15<0，∴使S n <0的n 的最小值为15.名师点拨 ☞求等差数列{a n }的前n 项和S n 的最值的方法：〔变式训练3〕(2018·长春市模拟)等差数列{a n }中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d >0，则其前n 项和取最小值时的n 的值为( C )A ．6B ．7C ．8D ．9[解析] ∵|a 6|＝|a 11|且公差d >0，∴a 6＝－a 11∴a 6＋a 11＝a 8＋a 9＝0，且a 8<0，a 9>0∴a 1<a 2<…<a 8<0<a 9<a 10<…∴使S n 取最小值的n 的值为8.故选C ．。

巧解等差数列前n项和的最值

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巧解等差数列前n项和的最值
作者：陈新成
来源：《新课程·中学》2012年第08期
一、二次函数法
等差数列前n项和Sn=a1n+n是关于常数项为0的二次函数，因此其最值可以转化成求二
次函数的最值（切记n∈N+）.
二、通项公式法
“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和，即由不等式组an≥0an+1≤0或an≤0an+1≥0能确定出前多少项为非负（或非正）（切记n∈N+），从而求出其最值.
例.在等差数列an中，已知a1=25，S17=S9，求Sn的最大值及此时的n值.
解法一：由a1=25S17=S9得d=—2
点评：解法一用二次函数最值求解；解法二利用二次函数图象的对称性求解；解法三、四用通项公式法求解.若能有意识、有目的地对这些数学问题进行深入的分析领悟，往往能起到
以小见大、以浅见深、以窄见宽、以点见面的效果，从而达到培养创新能力、复习巩固的目的.
变式训练：
1.若an是等差数列，a1>0，a2012+a2013>0，a2012·a20130成立的最大正整数是 .（答案：4024）
2.在等差数列an中，满足3a4=7a7，且a1>0，Sn是数列an前n项的和，若Sn取得最大值，则n= .（答案：9）。

等差数列的前n项和

S50 50 （50 1) 50 100 (2) 2550 2
(3)a1 14.5, d 0.7, an 32.
n 26, S 26
n(a1 an ) Sn 2
26 (14 .5 32 ) 604 .5. 2
(1)
n(n 1) S n na1 d (2) 2
习题1.设等差数列{an}的前n项和为Sn, 若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( B ) A.63 B.45 C.36 D.27
2. 从1到200的所有整数中，既不是2的倍数，又不是3的倍数的所有整数和是多少？解：从1到200的所有整数中，所有2的倍数 2，4，6，8，… ，200 构成的等差数列. 所有3的倍数 3，6，9，12，… ，198 构成的等差数列.
S2k 1 (2k 1)ak T2k 1 (2k 1)bk

ak S 2 k 1 bk T2 k 1
a11 S21 23 . 21 2 b11 T21 3 21 4 67
练习题:
1．(1)已知等差数列{an}的an＝24－3n，则前多少项和最大？ (2)已知等差数列{bn}的通项bn＝2n－17, 则前多少项和最小?
n
n(n 1) sn 2 这种求和法称为倒序相加法
1.公式推导
如何求等差数列an 的前n项和Sn ? 问题2：
sn a1 a2
a3
an a1
sn an a n 1 an 2 n(a1 an ) sn 2
1.公式推导
n(a1 an ) 公式1 S n 2
例2:等差数列－10，－6，－2，2，… 前多少项和是54?

等差数列的前n项和讲课讲稿

已知量2.2等差数列的前n项和1 •理解并掌握等差数列的前n项和公式及其推导过程，体会等差数列的前n 项和公式与二次函数的关系.（重点）2•熟练掌握等差数列的五个基本量a i, d, n, a n, S n之间的联系，能够由其中的任意三个求出其余的两个.（重点）1.等差数列的前n2.n n—1 d 2dS n= na i + —2—d=㊁门+ a i —2 n.d M0时，S n是关于n的二次函数，且无常数项.判断(正确的打“V”，错误的打“x”)(1) 公差为零的数列不能应用等差数列的前n项和公式.()(2) 数列｛n2｝可以用等差数列的前n项和公式求其前n项和S n.()(3) 若数列｛a n｝的前n项和为S n= an2+bn,则｛a n｝是等差数列.()【解析】(1)任何等差数列都能应用等差数列的前n项和公式.(2)数列｛n2｝不是等差数列，故不能用等差数列的前n项和公式.(3)当公差不为0时，等差数列的前n项和是关于n的二次函数(常数项为0).【答案】(1)x ⑵x (3)V［小组合作型］3(1) 已知等差数列｛a n｝中，a i =2,1d= —2，Si= —15, 求n 和a n；(2) 已知等差数列｛a n｝中，S5= 24,求a2 + a4；(3) 数列｛a n｝是等差数列，a i= 1，a n= —512, —1 022,求公差d;⑷已知等差数列｛a n ｝中,a 2 + a 5= 19, S = 40,求a io .【精彩点拨】运用方程的思想，根据已知条件建立方程或方程组求解，另外解题时要注意整体代换.3 n n —1 1【尝试解答】 (1)S n = n 2+2 •— 2 = — 15,整理得 n - 7n — 60= 0, 解得n = 12或n = —5(舍去),3 1所以 a 12= 2+ (12— 1)x — 2 = — 4.(2)设等差数列的首项为a 1,公差为d ,即 5a 1+ 10d = 24,所以 a 〔 + 2d =£, 所以 a 2 + a 4= 2(a 1 + 2d) = 2X 乍=譽n n — 1⑶因为 a n = a 1 + (n — 1)d , S n = na 1+ 2d ,又 a 1 = 1, a n = — 512, S n =— 1 022,1+ n — 1 d = — 512,① 所以 1n +qnn — 1 d =— 1 022,②把(n — 1)d = — 513代入②得1n + 刃(—513)= — 1 022,解得 n = 4,所以 d = — 171.a 1 + d + a 1 + 4d = 19,⑷由已知可得 5X 45a 1 + -^d = 40,解得 a 1 = 2, d = 3,则 S 5 = 5a 1 + 5X 5— 12d = 24,所以a io= a i + 9d= 2+ 9X 3= 29.等差数列中基本计算的两个技巧：(1) 利用基本量求值.等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量ai,d, n,a n和S n, —般是利用公式列出基本量a i和d的方程组，解出a i和d,便可解决问题•解题时注意整体代换的思想.(2) 利用等差数列的性质解题•等差数列的常用性质：若m+ n = p+ q(m, n,n a i + a np, q€ N+),贝U a m + a n = a p+ a q,常与求和公式S n= 2 结合使用.［再练一题］1. 等差数列中：(1) a i = 105, a n= 994, d= 7,求S n；(2) a n = 8n+ 2, d = 5,求S20；1(3) d= 3, n = 37, S n= 629,求a i 及a n.【解】(1)由a n= a i + (n- 1)d 且a i= 105, d= 7,得994= 105+ (n- 1)X 7,解得n= 128,n a i+ a n 128X 105+ 994=70 336.(2)van= 8n + 2,—a i= 10,又d = 5,20 X 20 - 1 20a i + X 5 = 20X 10+ 10X 19X 5= 1 150.1 ⑶将 d = 3，n = 37, S = 629代入 a n = a 1 + (n - 1)d ,a 1= 11, 解得a n = 23.为响应教育部下发的《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》的要求，某市提出了实施“校校通”工程的总目标：从2011年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网•据测算，2011年该市用于“校校通”工程的经费为 500万元•为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加 50万元•那么从2011年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？【精彩点拨】将该实际问题转化为数列问题求解，由于每年投入资金都比n a 1 + a nS n = 2 ，得a n = a 1 + 12, 37 a+ a n 2 =上一年增加50万元，故可考虑利用等差数列求解.【尝试解答】根据题意，从2011年〜2020年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元，所以，每年投入的资金依次组成等差数列｛a n｝，其中，a i = 500, d= 50. 那么，到2020年(n= 10)，投入的资金总额为10X 10—1S10= 10X 500+ 2 X 50= 7 250(万元)，即从2011年〜2020年，该市在“校校通”工程中的总投入是7 250万元.有关数列的应用问题，应首先通过对实际问题的研究建立数列的数学模型，最后求出符合实际的答案，可分以下几步考虑：(1) 问题中所涉及的数列｛a n｝有何特征；(2) 是求数列｛a n｝的通项还是求前n项和；(3) 列出等式(或方程)求解.［再练一题］2. 如图1-2-2，一个堆放铅笔的V型架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支.最上面一层放120支，这个V型架上共放着多少支铅笔？图1-2-2【解】由题意可知这个V型架自下而上各层的铅笔数组成等差数列，记为数列｛a n｝，其中a i= 1, a i20 = 120.根据等差数列前n项和公式得S120 = 120X 1 + 1202 = 7 260.即V型架上共放着7 260支铅笔.［探究共研型］探究1设｛a n｝是等差数列，公差为d, S n是其前n项和，那么S m, ®m—S3m- S2m 也成等差数列吗？如果是，它们的公差是多少？【提示】由S m= a1 + a2+… • + a m，S2m—S m—a m+ 1 + a m + 2+ …+ a2m —a1 + md+ a2 + md+ …+ a m+ md—S m + m2d，I r 2同理S3m —S2m—a2m+ 1 + a2m + 2+ …+ a3m —S2m —S m+ m d，所以S m , S 2m — S m , S 3m — &m 也成等差数列，公差为 m 2d.探究2设S 、T n 分别为两个等差数列｛a n ｝和｛b n ｝的前n 项和，那么b n 与12^1有怎样的关系？请证明之.a n 2a n a1 + a2n -1b n—2bn—b l + b 2n — 12n — 1 a 1 + a 2n —12 S 2n -12n — 1 b 1 + b 2n — 1 T 2n — 12(1) 等差数列｛a n ｝的前m 项和为30,前2m 项和为100,求数列｛a n ｝的前3m 项的和S 3叫Si 7n + 2 a 5(2) 两个等差数列｛a n ｝, ｛b n ｝的前n 项和分别为S 和T n ,已知讯—"n +3，求^ 的值.【精彩点拨】 ⑴利用S m , S 2m — S m , S3m — S^m 成等差数列求解.(2)利用前 n 项和结合等差数列的性质将项的比值转化为和的比值求解.【尝试解答】 ⑴在等差数列中，Sm,®m — S m,S 3m — &m 成等差数列，【提示】a n S2n— 1b n — T 2n 【证明】「30,70,S 3m - 100成等差数列,•'•2X 70= 30 + (S 3m — 100),.°S 3m = 210. a s 2a 5 9 a1 +a9 S 9 65 (2)b 5 = 2b 5= 9b i + b 9 = T ^=乜.巧妙应用等差数列前n 项和的性质 ⑴“片段和”性质.若｛a n ｝为等差数列，前n 项和为S n ,则S n , S 2n — S n , S 3n — S 2n ,…构成公差为n 2d 的等差数列.⑵项数(下标)的“等和”性质.(3) 项的个数的“奇偶”性质. ｛a n ｝为等差数列，公差为d.①若共有 2n 项，贝U S 2n = n(a n + a n +1)；②若共有 2n + 1 项，贝U S 2n +1 = (2n + 1)a n +1 ； S 偶一S 奇=—a n +1 ； =S 奇 n 十i (4) 等差数列｛a n ｝中，若 S n = m , S m = n(m M n),贝U S m+ n = — (m + n). (5) 等差数列｛a n ｝中，若 S n = S m (m M n)，贝U S m + n = 0.S n =n a i + a n 2=n a m + a n - m +1S 偶一 S 奇=nd ;S 偶 a n +1S 奇 a n［再练一题］3. 已知两个等差数列｛a n ｝与｛b n ｝的前n(n >1)项和分别是S n 和T n ,且S n : T n a 9=(2n + 1) : (3n — 2),求$的值.a 9 2a 9 a1 +a17b 9 2b9 b i + b i7a i + a i72X i7+ i_35_53X i7 — 2 — 49 — 7探究i 将等差数列前n 项和S n = na i + 丄d 变形为S 关于n 的函数后，该函数是怎样的函数？为什么？一 n n —i d 2 d【提示］由于 S n = na i + 2 d = 2n 2 + a i — 2 n , 所以当d M 0时，3为关于n 的二次函数，且常数项为0.探究2类比二次函数的最值情况，等差数列的S n 何时有最大值？最小值？【提示］由二次函数的性质可以得出，当d >0时，S 有最小值；当d v 0 时，有最大值，且n 取值最接近对称轴的正整数时，S n 取得最值.［解］X 17 S 17b i + b i72X i7T i7在等差数列｛a n｝中，a io = 18,前5项的和—15.(1) 求数列｛a n｝的通项公式.(2) 求数列｛a n｝的前n项和的最小值，并指出何时取最小值.【精彩点拨】(1)直接根据等差数列的通项公式和前n项和公式列关于首项a i和公差d的方程，求得a1和d,进而得解；(2)可先求出前n项和公式，再利用二次函数求最值的方法求解，也可以利用通项公式，根据等差数列的单调性求解.a1 + 9d = 18，【尝试解答】(1)由题意得 5 X 45a1 + —厂X d=—15,.'a n = 3n —12.n a1+an 1 2 一、3 7 2 147⑵ S n = 2 = 2(3 n —21n) = ?n — 2 —8•••当门=3或4时，前n项的和取得最小值S3= ®= —18.等差数列前n项和的最值问题的三种解法：⑴利用a n：当a i>0, d v 0时，前n项和有最大值，可由a n>0且a n+1<0, 求得n 的值；当a i v0, d>0,前n项和有最小值，可由a n<0且a n+i >0,求得n的值.d d(2) 利用S n：由S n=2n2+ a i — 2 n(d^0),利用二次函数配方法求得最值时n 的值.(3) 利用二次函数的图象的对称性.［再练一题］4. 在等差数列｛a n｝中，a i = 25, S i7= S9,求S n的最大值.【解】禾I」用前n项和公式和二次函数性质，由S i7= Sa得i7 925X i7+2(i7—i)d= 25X 9 + 2(9 —i)d，解得d= —2,•0 = 25 n+ 2(n—i)(—2)= —(n—i3)2+ i69,•••由二次函数性质，当n= i3时，S n有最大值i69.1.设3为等差数列｛a n ｝的前n 项和，3 = 4a 3, a 7=- 2,则a 9=()A . - 6B .- 4C .- 2D . 28 a i + a s【解析】 S 8=2= 4(a 3 + a 6),又 S s = 4a 3,所以 a 6 = 0,又 a 7=- 2,所以 a 8=- 4, a 9=- 6. 【答案】 A2. 记等差数列前n 项和为3,若S 2= 4,9 = 20,则该数列的公差d 等于( )A . 2B . 3C . 6D . 72a i + d = 4,【解析】由题意得4a i + 6d = 20,【答案】 B 3.在等差数列｛a n ｝中，a i = 2,前三项和为15,则前6项和为()A . 57B . - 40C . - 57D . 40【解析】由题意知 a 1 + a 2 + a 3= 15,—3a 2= 15, a 2 = 5, •'•d = a 2 — a 1 = 3,—a n = 3n - 1, 6 2+ 17 ••$= 2 = 57.1 a 1= 2,解得d = 3.【答案】A4.在等差数列｛a n ｝中，已知a i = 2, d = 2,贝U S 2o = _________【解析】820= 20 a i + 20；19X d = 20X 2+ 2°；19X 2= 420.【答案】 4205. 等差数列｛a n ｝中，a io = 30, a 20= 50. (1) 求通项公式a n ； (2) 若 S n = 242，求 n.【解】 (1)由 a n = a i + (n — 1)d , a io = 30, a 20= 50,a i + 9d = 30,得方程组a i + 19d = 50, a i = 12, 解得 d = 2, 所以 a n = 2n + 10.解得n = 11或n = — 22（舍去），所以n = 11.学业分层测评（五）（建议用时：45分钟）［学业达标］一、选择题1.设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若a i + a 3+ a 5= 3,则S 5=（）A . 5B . 7C . 9D . 11【解析】法一:^ai + a 5 = 2a 3,.°.a i + a 3 + a 5= 3a 3= 3,—a 3= 1, 5 a i + a 5 •'•85= 2 = 5a 3= 5,故选 A.⑵由 n n — 1S n = n a i + 2 d ,得 12n + n n —1 2"- X2 = 242,法二：tai + a 3 + a 5 = a i + (a i + 2d) + (a i + 4d) = 3a i + 6d = 3, •'a i + 2d = 1,5X 4.，S5 = 5a i + ~2~d = 5(a i + 2d) = 5,故选 A. 【答案】 A2•已知｛a n ｝是公差为1的等差数列，S n 为｛a n ｝的前n 项和，若S 8= 4S 4,则 a io =()17 19 A.yB.qC . 10D . 12【解析】 t •公差为1,8X 8- 1.'S 8 — 8a 1 + 2 X 1 = 8a 1 + 28, S 4 = 4a 1 + 6. 1'•'S 8 — 4S 4,.8a 1 + 28 — 4(4a 1 + 6),解得 a 1 —㊁， 1 19.•010— a 1 + 9d — 2+ 9—㊁.故选 B. 【答案】 B3.在等差数列｛a n ｝中，若S 9— 18, S n — 240, a n -4— 30,则n 的值为( )A . 14B . 15C . 16D . 17•'•n(2 + 30) — 480,. n — 15. 【答案】 B4. 设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 3— 3，则豊等于() 3 111 A 石% D.9【解析】由题意S 3, S 6- S 3, S 9-S 6, S 12- S 9成等差数列.S 3 1 '•'S 6=3•不妨设 S 3= 1, S fc = 3,贝U S fc — S 3= 2,所以 S 9— S fc = 3,故 S 9= 6,二【解析】 S 9 — n a 1 + a n9 a 1 + a 9—9a 5 —18,所以 a 5 — 2, S n —n a 5 + a n -42—240,S12 —S9= 4,故S i2= 10,.鱼_ 3 -S2= 10.【答案】A5. 设等差数列｛a n｝的前n项和为S n,若a1_—11, a4 + a6_ —6,则当S n取得最小值时，n等于（）A. 6B. 7C. 8D. 9【解析】设公差为d,由a4+ a6_2a5_ —6,得a5_ —3_a1 + 4d,解得d_2,n n—1 2••S_— 11 n+ 2x 2_ n2—12n,• ••当门_ 6时，S n取得最小值.【答案】A二、填空题6. 已知｛a n｝为等差数列，3为其前n项和.若a1_ 6, a3 + a5_0,贝U S6_【解析】'-a3+ a5_ 2a4,.°.a4_ 0.'•a1 _6, a4_a1 + 3d,：d_ —2.6x 6—1.'•S3_ 6a1+ d_ 6.【答案】67. _______ 已知｛a n｝是等差数列，Sn是其前n项和.若a1 + a2_ —3, S5_ 10,则a9 的值是.5 x 4 【解析】法一：设等差数列｛a n｝的公差为d,由S5_ 10,知S5_5a1+= d_ 10,得a1 + 2d_2, 即卩a1_2—2d.所以a2_a1 + d_2 —d,代入a1 + a2_ —3,化简得d2- -6d+ 9—0,所以 d —3, a1 —— 4.故a9 —a1+ 8d—— 4 + 24 —20.法二：5 a1+ a s设等差数列｛a n｝的公差为d,由S5—10，知2—5a3 —10,所以a3= 2.所以由a1+ a3—2a2,得a1—2a2—2,代入a1+ a2——3,化简得a2+ 2a2+ 1=0,所以a2—— 1.公差 d —a3 —a2 —2+ 1 —3,故a9 —a3+ 6d—2+ 18—20.【答案】208. 等差数列｛a n｝的前9项的和等于前4项的和，若a1 —1，a k + a4 —0,则k9X 8【解析】设｛a n｝的公差为d,由3—S4及a1—1得9X 1+〒X d —4X 14 X 3 1 1+ ~2~ X d ,所以d ——6 ,又a k + a4 —0 ,所以1 + k—1 X —石+11+ 4—1 X —6 —0, 即卩k—10.【答案】10三、解答题9. 一个等差数列的前10项之和为100,前100项之和为10,求前110项之和.【解】设等差数列｛a n｝的公差为d,前n项和为S n,则- n n—1S n—na1 + 2 d.10X 910a1 + 2~d—100,100X 99 100a1 + 2 d—10,11①X 10—②，整理得d——55,由已知得1 099代入①，得勿=110X 109所以 S 11O = 110a i + 2 ------ d 1 099 110X 109 11二110X100 + 2X - 501 099- 109X 11 =110 =— 110.100故此数列的前110项之和为一110.10. 已知等差数列｛a n ｝中，a 1 = 9, a 4+ a 7= 0. (1) 求数列｛a n ｝的通项公式；⑵当n 为何值时，数列｛a n ｝的前n 项和取得最大值? 【解】(1)由 a 1 = 9, a 4+ a 7= 0, 得 a 1 + 3d + a 1 + 6d = 0,解得 d = — 2, • a n = a 1 + (n — 1)d —11 — 2n. (2) a 1 — 9, d —-2,n n — 1Sn — 9n + —2— (— 2)— — n 2 + 10n ——(n — 5)2 + 25,•••当n — 5时，S n 取得最大值.［能力提升］1.在项数为2n + 1项的等差数列｛a n ｝中，所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n —( )A . 9B . 10C . 11D . 12【解析】•••等差数列有2n + 1项，又 a i + a 2n +1 = a 2 + a 2n , .躡 n +1165n + 1 •'S 奇— a 1 + a 2n +12 ,S 偶— n a 2 + a 2n冠=~n~ = 150，•'•n= 10.【答案】BA n 7n + 452. 已知两个等差数列｛a n｝与｛b n｝的前n项和分别为A n和B n, 且n+3，则使得a n为整数的正整数n的个数是()A. 2 B . 3C. 4 D . 5a n A2n-1 14n + 38 7n + 19 7n+ 1 + 12 12【解析】b"= = = = = 7 + ,.n= bn B2n-1 2n + 2 n+1 n+1 n+11,2,3,5,11.【答案】D3. 在等差数列｛a n｝中，d = 2, a n= 11, S n= 35,则a1等于________ .n n—1 n n—1【解析】因为Si= na1 + 2 d,所以35= na1+ 2 x2= na1 + n(n —1)①，又a n= a1+ (n—1) d= a1 + 2(n—1),••a + 2(n—1)= 11 ②，由①②可得a1 —2a1 —3= 0,解得a1 = 3或一 1.【答案】3或—14 .从4月1日开始，有一新款服装投入某商场销售，4月1日该款服装销售出10件，第二天销售出25件，第三天销售出40件，以后每天售出的件数分别递增15件，直到4月12号日销售量达到最大，然后，每天销售的件数分别递减10件.(1) 记该款服装4月份日销售与销售天数n的关系为a n,求a n；(2) 求4月份的总销售量；(3) 按规律，当该商场销售此服装超过1 200件时，社会上就流行，而且销售量连续下降，且日销售低于100件时，则流行消失，问：该款服装在社会上流行是否超过10天？【解】(1)从4月1日起每天销售量依次组成数列{a n } , (n € {1,2 ,…，30}) 依题意，数列a 1，a 2，…，a 12是首项为10，公差为15的等差数列， •'a n = 15n — 5(1 w n W 12).a 13，a 14，a 15，…，a 3o 是首项为 a 13= a 12—10= 165，公差为一10的等差数列，••a n = 165+ (n — 13)(— 10)=— 10n + 295(13= n < 30)，15n — 51W n W 12，n € N + ，• 'a n =—10n + 295 13<n W 30，n € N + .(2)4月份的总销售量为 18X 17X — 10+ 18X 165+ 2 = 2 550（件），⑶4月1日至4月12日销售总数为39 ••4月12日前还没有流行.由—10n + 295< 100得n >{， •••第20天流行结束，故该服装在社会上流行没有超过 10天.12 10+ 175212 a 1 + a 122 12 10+ 175=1 110< 1 200，2.2等差数列的前n 项和1 •理解并掌握等差数列的前n 项和公式及其推导过程，体会等差数列的前 n 项和公式与二次函数的关系.（重点）2•熟练掌握等差数列的五个基本量 a i , d , n , a n , S n 之间的联系，能够由其中的任意三个求出其余的两个.（重点）1.等差数列的前n2.已知量n n—1 d 2dS n= na i + —2—d=㊁门+ a i —2 n.d M0时，S n是关于n的二次函数，且无常数项.判断(正确的打“V”，错误的打“x”)(1) 公差为零的数列不能应用等差数列的前n项和公式.()(2) 数列｛n2｝可以用等差数列的前n项和公式求其前n项和S n.()(3) 若数列｛a n｝的前n项和为S n= an2+bn,则｛a n｝是等差数列.()【解析】(1)任何等差数列都能应用等差数列的前n项和公式.(2)数列｛n2｝不是等差数列，故不能用等差数列的前n项和公式.(3)当公差不为0时，等差数列的前n项和是关于n的二次函数(常数项为0).［小组合作型］3(1) 已知等差数列｛a n｝中，a i =2,1d= —2，Si= —15, 求n 和a n；(2) 已知等差数列｛a n｝中，S5= 24,求a2 + a4；(3) 数列｛a n｝是等差数列，a i= 1，a n= —512, —1 022,求公差d;⑷已知等差数列｛a n ｝中,a 2 + a 5= 19, S = 40,求a io .【精彩点拨】运用方程的思想，根据已知条件建立方程或方程组求解，另外解题时要注意整体代换.3 n n —1 1【尝试解答】 (1)S n = n 2+2 •— 2 = — 15,整理得 n - 7n — 60= 0,解得n = 12或n = —5(舍去),3 1所以 a 12= 2+ (12— 1)x — 2 = — 4. (2)设等差数列的首项为a 1,公差为d ,即 5a 1+ 10d = 24,所以 a 〔 + 2d =£, 所以 a 2 + a 4= 2(a 1 + 2d) = 2X 乍=譽 n n — 1⑶因为 a n = a 1 + (n — 1)d , S n = na 1+ 2d , 又 a 1 = 1, a n = — 512, S n =— 1 022,1+ n — 1 d = — 512,①所以 1n +qnn — 1 d =— 1 022,② 把(n — 1)d = — 513代入②得 1n + 刃(—513)= — 1 022,解得 n = 4, 所以 d = — 171.a 1 + d + a 1 + 4d = 19,⑷由已知可得5X 45a 1 + -^d = 40,解得 a 1 = 2, d = 3,则 S 5 = 5a 1 + 5X 5—12d = 24,所以a io= a i + 9d= 2+ 9X 3= 29.等差数列中基本计算的两个技巧：(1) 利用基本量求值.等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量ai,d, n,a n和S n, —般是利用公式列出基本量a i和d的方程组，解出a i和d,便可解决问题•解题时注意整体代换的思想.(2) 利用等差数列的性质解题•等差数列的常用性质：若m+ n = p+ q(m, n,n a i + a np, q€ N+),贝U a m + a n = a p+ a q,常与求和公式S n= 2 结合使用.［再练一题］1. 等差数列中：(1) a i = 105, a n= 994, d= 7,求S n；(2) a n = 8n+ 2, d = 5,求S20；1(3) d= 3, n = 37, S n= 629,求a i 及a n.为响应教育部下发的《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》的要求，某市提出了实施“校校通”工程的总目标：从2011年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网•据测算，2011年该市用于“校校通”工程的经费为500万元•为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元•那么从2011年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？【精彩点拨】将该实际问题转化为数列问题求解，由于每年投入资金都比上一年增加50万元，故可考虑利用等差数列求解.【尝试解答】根据题意，从2011年〜2020年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元，所以，每年投入的资金依次组成等差数列｛a n｝，其中，a1 = 500, d= 50.那么，到2020年(n= 10),投入的资金总额为10X 10—1S io= 10X 500+ 2 X 50= 7 250(万元),即从2011年〜2020年，该市在“校校通”工程中的总投入是7 250万元.有关数列的应用问题，应首先通过对实际问题的研究建立数列的数学模型，最后求出符合实际的答案，可分以下几步考虑：(1) 问题中所涉及的数列｛a n｝有何特征；(2) 是求数列｛a n｝的通项还是求前n项和；(3) 列出等式(或方程)求解.［再练一题］2. 如图1-2-2，一个堆放铅笔的V型架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支.最上面一层放120支，这个V型架上共放着多少支铅笔？图1-2-2［探究共研型］探究1设｛a n｝是等差数列，公差为d, S n是其前n项和，那么S m, S2m- Sn , S3m- S2m也成等差数列吗？如果是，它们的公差是多少？【提示】由S m= a i + a2+…+ a m, S2m- S m= a m+1 + a m + 2+…+ a2m= a i +2md+ a2 + md+ …+ a m+ md= S m+ m d,同^理S3m —S2m —a2m+ 1 + a2m + 2+ …+ a3m —S2m —S m + m2d ,所以S m, S2m—S m, S3m —&m也成等差数列，公差为m2d.、a n , S 2n -1设S 、T n 分别为两个等差数列｛a n ｝和｛b n ｝的前n 项和，那么6与T7有怎样的关系？请证明之.a n 2a n ai + a2n -1bn 2bnb l + b 2n -12n — 1 a i + a 2n —i2 S2n -12n — 1 b 1 + b 2n - 1 T 2n - 12(1) 等差数列｛a n ｝的前m 项和为30,前2m 项和为100,求数列｛a n ｝的前3m 项的和S 3叫7 n -p 2 a 5(2) 两个等差数列｛a n ｝, ｛b n ｝的前n 项和分别为S 和T n ,已知T n = "n +3，求^ 的值.【精彩点拨】 ⑴利用S m , S 2m - S m , S 3m - S m 成等差数列求解.(2)利用前 n 项和结合等差数列的性质将项的比值转化为和的比值求解.【尝试解答】 ⑴在等差数列中，S m,9m — S m,S 3m — S 2m 成等差数列，「30,70, S 3m - 100成等差数列，探究2【提示】a n Sn-1 如―T 2n -1 【证明】•'•2X 70= 30+ (S 3m — 100),.°.S 3m = 210. a 5 2a5 9 ai+a9S 9 65 (2)b 5=2b 5= 9b i + b 9 = T 9= 12.巧妙应用等差数列前n 项和的性质 ⑴“片段和”性质.若｛a n ｝为等差数列，前n 项和为S,贝U S1, S 2n — S n , S 3n — S 2n ,…构成公差为n 2d 的等差数列.⑵项数(下标)的“等和”性质.(3) 项的个数的“奇偶”性质. ｛a n ｝为等差数列，公差为d.①若共有 2n 项，贝U S 2n = n(a n + a n +1)；S 禺 a n +1S 偶—S 奇=nd ;S 奇 a n②若共有 2n + 1 项，贝U S 2n +1 = (2n + 1)a n +1 ； S 偶一S 奇=—a n +1(4) 等差数列｛a n ｝中，若 S n = m , S m =n(m M n),贝U S m+n = — (m + n). (5) 等差数列｛a n ｝中，若 S n = S m (m M n)，贝U S m + n = 0. ［再练一题］S n =n a i + a n 2n a m + a n - m + 12S 禺 n S 奇 n + 13. 已知两个等差数列｛a n｝与｛b n｝的前n(n>1)项和分别是S n和T n,且S n : T n=(2n+ 1) : (3n —2),求甬的值.探究1将等差数列前n项和S n = na i + n；1d变形为S n关于n的函数后, 该函数是怎样的函数？为什么？【提由于S n二na i+ 2 d =a i—； n.示】所以当d M 0时，S n为关于n的二次函数，且常数项为0.探究2类比二次函数的最值情况，等差数列的&何时有最大值？最小值？【提示】由二次函数的性质可以得出，当d>0时，S有最小值；当d v0 时，有最大值，且n取值最接近对称轴的正整数时，S n取得最值.在等差数列｛a n｝中，a io = 18,前5项的和—15.(1) 求数列｛a n｝的通项公式.(2) 求数列｛a n｝的前n项和的最小值，并指出何时取最小值.【精彩点拨】(1)直接根据等差数列的通项公式和前n项和公式列关于首项a i和公差d的方程，求得a1和d,进而得解；(2)可先求出前n项和公式，再利用二次函数求最值的方法求解，也可以利用通项公式，根据等差数列的单调性求解.a1 + 9d = 18，【尝试解答】(1)由题意得 5 X 45a1 + —厂X d=—15,.'a n = 3n —12.n a1+an 1 2 一、3 7 2 147⑵ S n = 2 = 2(3 n —21n) = ?n — 2 —8•••当门=3或4时，前n项的和取得最小值S3= ®= —18.等差数列前n项和的最值问题的三种解法：⑴利用a n：当a i>0, d v 0时，前n项和有最大值，可由a n>0且a n+1<0, 求得n的值；当a i v0, d>0,前n项和有最小值，可由a n<0且a n+i >0,求得n的值.d d(2) 利用S n：由S n=2n2+ a i — 2 n(d^0),利用二次函数配方法求得最值时n 的值.(3) 利用二次函数的图象的对称性.［再练一题］4. 在等差数列｛a n｝中，a i = 25, S i7= S9,求S n的最大值.1. 设3为等差数列｛a n｝的前n项和，3 = 4a3, a7=- 2,则a9=( )A．－6 B．－4 C．－2 D．22. 记等差数列前n项和为3,若S2= 4,9 = 20,则该数列的公差d等于()A. 2B. 3C. 6D. 73. 在等差数列｛a n｝中，a i = 2,前三项和为15,则前6项和为()A. 57B.- 40C.- 57D. 404. ________________________________________________ 在等差数列｛a n｝中，已知a i = 2, d= 2,贝U S20= _________________________ .5. 等差数列｛a n｝中，a io= 30, a20= 50.(1) 求通项公式a n；(2) 若S n= 242,求n.学业分层测评（五）（建议用时：45分钟）［学业达标］、选择题1. 设3是等差数列｛a n｝的前n项和，若a i+ a3+ a5= 3,则（）A. 5B. 7C. 9D. 112. 已知｛a n｝是公差为1的等差数列，S n为｛a n｝的前n项和，若S8= 4S4,则a io=( )C. 10D. 123. 在等差数列｛a n｝中，若S9= 18, S n= 240, a n-4= 30,则n的值为（）A. 14B. 15C. 16D. 174 .设Sn是等差数列｛a n｝的前n项和，若S6= 3，则SB等于（）3 1 1 1A•必 C.8 D.95. 设等差数列｛a n｝的前n项和为S n,若a1=- 11, a4 +a e=-6,则当S n取得最小值时，n等于（）A . 6B . 7C . 8D . 9二、填空题6 .已知｛a n｝为等差数列，Sn为其前n项和.若a1 = 6, a3 + a5= 0,贝U S6=7.已知｛a n｝是等差数列，Sn是其前n项和.若a1 + a2=- 3, S5= 10,则a9 的值是__________ .8 .等差数列｛a n｝的前9项的和等于前4项的和，若a1 = 1, a k + a4= 0,则k三、解答题9. 一个等差数列的前10项之和为100,前100项之和为10,求前110项之和.10. 已知等差数列｛a n｝中，a i = 9, a4+ a7= 0.(1)求数列｛a n｝的通项公式；⑵当n为何值时，数列｛a n｝的前n项和取得最大值?［能力提升］1. 在项数为2n+ 1项的等差数列｛a n｝中，所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n=( )A. 9B. 10C. 11D. 122. 已知两个等差数列｛a n｝与｛b n｝的前n项和分别为A n和B n, 且An=帀+：5,B n n+ 3则使得a n为整数的正整数n的个数是()A. 2 B . 3C. 4 D . 53. ______________________________________________________ 在等差数列｛a n｝中，d = 2, a n= 11, S n= 35,则a1等于 _____________________ .4 .从4月1日开始，有一新款服装投入某商场销售，4月1日该款服装销售出10件，第二天销售出25件，第三天销售出40 件，以后每天售出的件数分别递增15件，直到4月12号日销售量达到最大，然后，每天销售的件数分别递减10 件．(1) 记该款服装4月份日销售与销售天数n的关系为a n,求a n；(2) 求4 月份的总销售量；(3) 按规律，当该商场销售此服装超过1 200 件时，社会上就流行，而且销售量连续下降，且日销售低于 1 00件时，则流行消失，问：该款服装在社会上流行是否超过10 天？。

2023年高考数学(文科)一轮复习——等差数列及其前n项和

第2节等差数列及其前n 项和考试要求 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数).(2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b 2.2.等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d .(2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝n （a 1＋a n ）2. 3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列.(4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列.(5)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列.1.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列，且公差为p .2.在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值.3.等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列.4.数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( )(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.( )(4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0且关于n 的二次函数.( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×解析 (3)若公差d ＝0，则通项公式不是n 的一次函数.(4)若公差d ＝0，则前n 项和不是n 的二次函数.2.(2022·南宁一模)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，S 3＝92，则数列{a n }的通项公式a n ＝( )A.nB.n ＋12C.2n －1D.3n －12答案 B解析设等差数列{a n }的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22d ＝3＋3d ＝92，解得d ＝12，∴a n ＝1＋(n －1)×12＝n ＋12.3.(2021·宝鸡二模)已知{a n }是等差数列，满足3(a 1＋a 5)＋2(a 3＋a 6＋a 9)＝18，则该数列的前8项和为( )A.36B.24C.16D.12答案 D解析由等差数列性质可得a 1＋a 5＝2a 3，a 3＋a 6＋a 9＝3a 6，所以3×2a 3＋2×3a 6＝18，即a 3＋a 6＝3，所以S 8＝8（a 1＋a 8）2＝8（a 3＋a 6）2＝12. 4.在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＝5，a 3＋a 4＝15，则a 5＋a 6＝( )A.10B.20C.25D.30答案 C解析等差数列{a n }中，每相邻2项的和仍然构成等差数列，设其公差为d ，若a 1＋a 2＝5，a 3＋a 4＝15，则d ＝15－5＝10，因此a 5＋a 6＝(a 3＋a 4)＋d ＝15＋10＝25.5.一物体从1 960 m 的高空降落，如果第1秒降落4.90 m ，以后每秒比前一秒多降落9.80 m ，那么经过________秒落到地面.答案 20解析设物体经过t 秒降落到地面.物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列.所以4.90t ＋12t (t －1)×9.80＝1 960，即4.90t 2＝1 960，解得t ＝20.6.(易错题)在等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d ＜0，则使数列{a n }的前n 项和S n 取最大值的正整数n 的值是________.答案 5或6解析 ∵|a 3|＝|a 9|，∴|a 1＋2d |＝|a 1＋8d |，可得a 1＝－5d ，∴a 6＝a 1＋5d ＝0，且a 1＞0，∴a 5＞0，故S n 取最大值时n 的值为5或6.考点一等差数列的基本运算1.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4＝0，a 5＝5，则( )A.a n ＝2n －5B.a n ＝3n －10C.S n ＝2n 2－8nD.S n ＝12n 2－2n答案 A解析设首项为a 1，公差为d .由S 4＝0，a 5＝5可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝n ×(－3)＋n （n －1）2×2＝n 2－4n . 2.(2022·太原调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 8＝a 8＝8，则公差d ＝( )A.14B.12C.1D.2 答案 D解析 ∵S 8＝a 8＝8，∴a 1＋a 2＋…＋a 8＝a 8，∴S 7＝7a 4＝0，则a 4＝0.∴d ＝a 8－a 48－4＝2. 3.(2020·全国Ⅱ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 1＝－2，a 2＋a 6＝2，则S 10＝________.答案 25解析设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＋a 6＝2a 1＋6d ＝2×(－2)＋6d ＝2.解得d ＝1.所以S 10＝10×(－2)＋10×92×1＝25.4.(2019·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 9＝－a5.(1)若 a 3＝4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围.解 (1)设{a n }的公差为d .由S 9＝－a 5可知9a 5＝－a 5，所以a 5＝0.因为a 3＝4，所以d ＝a 5－a 32＝0－42＝－2，所以a n ＝a 3＋(n －3)×(－2)＝10－2n ，因此{a n }的通项公式为a n ＝10－2n .(2)由(1)得a 5＝0，因为a 1>0，所以等差数列{a n }单调递减，即d <0，a 1＝a 5－4d ＝－4d ，S n ＝n （n －9）d 2， a n ＝－4d ＋d (n －1)＝dn －5d ，因为S n ≥a n ，所以nd （n －9）2≥dn －5d ，又因为d <0，所以1≤n ≤10.感悟提升 1.等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.考点二等差数列的判定与证明例1 (2021·全国甲卷)已知数列{a n }的各项均为正数，记S n 为{a n }的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列{a n }是等差数列；②数列{S n }是等差数列；③a 2＝3a 1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.解 ①③⇒②.已知{a n }是等差数列，a 2＝3a 1.设数列{a n }的公差为d ，则a 2＝3a 1＝a 1＋d ，得d ＝2a 1，所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n 2a 1. 因为数列{a n }的各项均为正数，所以S n ＝n a 1，所以S n ＋1－S n ＝(n ＋1)a 1－n a 1＝a 1(常数)，所以数列{S n }是等差数列. ①②⇒③.已知{a n }是等差数列，{S n }是等差数列.设数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝12n 2d ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n . 因为数列{S n }是等差数列，所以数列{S n }的通项公式是关于n 的一次函数，则a1－d2＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1.②③⇒①.已知数列{S n}是等差数列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.设数列{S n}的公差为d，d＞0，则S2－S1＝4a1－a1＝d，得a1＝d2，所以S n＝S1＋(n －1)d＝nd，所以S n＝n2d2，所以n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2，对n＝1也适合，所以a n＝2d2n－d2，所以a n＋1－a n＝2d2(n＋1)－d2－(2d2n－d2)＝2d2(常数)，所以数列{a n}是等差数列.感悟提升 1.证明数列是等差数列的主要方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证a n－a n－1为同一常数.即作差法，将关于a n－1的a n代入a n－a n－1，再化简得到定值.(2)等差中项法：验证2a n－1＝a n＋a n－2(n≥3，n∈N*)都成立.2.判定一个数列是等差数列还常用到的结论：(1)通项公式：a n＝pn＋q(p，q为常数)⇔{a n}是等差数列.(2)前n项和公式：S n＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{a n}是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.训练1 (2021·全国乙卷)设S n为数列{a n}的前n项和，b n为数列{S n}的前n项积，已知2S n＋1b n＝2.(1)证明：数列{b n}是等差数列；(2)求{a n}的通项公式.(1)证明因为b n是数列{S n}的前n项积，所以n ≥2时，S n ＝b n b n －1，代入2S n ＋1b n ＝2可得，2b n －1b n ＋1b n＝2，整理可得2b n －1＋1＝2b n ，即b n －b n －1＝12(n ≥2).又2S 1＋1b 1＝3b 1＝2，所以b 1＝32，故{b n }是以32为首项，12为公差的等差数列.(2)解由(1)可知，b n ＝32＋12(n －1)＝n ＋22，则2S n ＋2n ＋2＝2，所以S n ＝n ＋2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝32，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋2n ＋1－n ＋1n ＝－1n （n ＋1）. 故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧32，n ＝1，－1n （n ＋1），n ≥2. 考点三等差数列的性质及应用角度1 等差数列项的性质例2 (1)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且4＋a 5＝a 6＋a 4，则S 9等于( )A.72B.36C.18D.9 (2)在等差数列{a n }中，若a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( )A.10B.20C.40D.2＋log 25答案 (1)B (2)B解析 (1)∵a 6＋a 4＝2a 5，∴a 5＝4，∴S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5＝36. (2)由等差数列的性质知a 1＋a 10＝a 2＋a 9＝a 3＋a 8＝a 4＋a 7＝a 5＋a 6＝a 4，则2a 1···2a 10＝2a 1＋a 2＋…＋a 10＝25(a 5＋a 6)＝25×4，所以log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝log 225×4＝20. 角度2 等差数列前n 项和的性质例3 (1)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 5＝7，S 10＝21，则S 15等于( )A.35B.42C.49D.63(2)(2020·全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块.向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )A.3 699块B.3 474块C.3 402块D.3 339块答案 (1)B (2)C解析 (1)在等差数列{a n }中，S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等差数列，即7，14，S 15－21成等差数列，所以7＋(S 15－21)＝2×14，解得S 15＝42.(2)设每一层有n 环，由题可知从内到外每环之间构成公差d ＝9，a 1＝9的等差数列.由等差数列的性质知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列，且(S 3n －S 2n )－(S 2n －S n )＝n 2d ，则9n 2＝729，得n ＝9，则三层共有扇面形石板S 3n ＝S 27＝27×9＋27×262×9＝3 402(块).角度3 等差数列前n 项和的最值例4 等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1＞0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 最大？解法一设公差为d .由S 3＝S 11，可得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，即d ＝－213a 1.从而S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1，因为a 1＞0，所以－a 113＜0.故当n ＝7时，S n 最大.法二易知S n ＝An 2＋Bn 是关于n 的二次函数，由S 3＝S 11，可知S n ＝An 2＋Bn 的图象关于直线n ＝3＋112＝7对称. 由解法一可知A ＝－a 113＜0，故当n ＝7时，S n 最大.法三设公差为d .由解法一可知d ＝－213a 1.要使S n 最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（n －1）⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≥0，a 1＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≤0，解得6.5≤n ≤7.5，故当n ＝7时，S n 最大.法四设公差为d .由S 3＝S 11，可得2a 1＋13d ＝0，即(a 1＋6d )＋(a 1＋7d )＝0，故a 7＋a 8＝0，又由a 1＞0，S 3＝S 11可知d ＜0，所以a 7＞0，a 8＜0，所以当n ＝7时，S n 最大.感悟提升 1.项的性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .2.和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则(1)S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；(2)S 2n －1＝(2n －1)a n .(3)依次k 项和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列.3.求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)利用公差不为零的等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数，A ≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.训练2 (1)(2021·洛阳质检)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 17＝272，则a 3＋a 9＋a 15＝( )A.24B.36C.48D.64(2)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 020，S 2 0202 020－S 2 0142 014＝6，则S 2 023等于( )A.2 023B.－2 023C.4 046D.－4 046(3)设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n ＞0(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋10a 2n的最大值是________. 答案 (1)C (2)C (3)121解析 (1)因为数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，所以S 17＝272＝a 1＋a 172×17＝2a 92×17＝17a 9，∴a 9＝16，所以a 3＋a 9＋a 15＝3a 9＝48.(2)∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，设公差为d ′，则S 2 020 2 020－S 2 0142 014＝6d ′＝6，∴d ′＝1，首项为S 11＝－2 020，∴S 2 0232 023＝－2 020＋(2 023－1)×1＝2，∴S 2 023＝2 023×2＝4 046，故选C.(3)设数列{a n }的公差为d ，依题意得2S 2＝S 1＋S 3，∴22a 1＋d ＝a 1＋3a 1＋3d ，把a 1＝1代入求得d ＝2，∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，S n ＝n ＋n （n －1）2×2＝n 2，∴S n ＋10a 2n ＝（n ＋10）2（2n －1）2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n ＋102n －12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（2n －1）＋2122n －12＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋212n －12≤121.∴S n ＋10a 2n 的最大值是121.1.在等差数列{a n }中，3a 5＝2a 7，则此数列中一定为0的是() A.a 1 B.a 3 C.a 8 D.a 10答案 A解析设{a n }的公差为d (d ≠0)，∵3a 5＝2a 7，∴3(a 1＋4d )＝2(a 1＋6d )，得a 1＝0.2.(2021·重庆二模)已知公差不为0的等差数列{a n }中，a 2＋a 4＝a 6，a 9＝a 26，则a 10＝( )A.52B.5C.10D.40答案 A解析设公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＋a 1＋3d ＝a 1＋5d ，a 1＋8d ＝（a 1＋5d ）2，由于d ≠0，故a 1＝d ＝14，所以a 10＝14＋14×9＝52.3.已知数列{a n }满足5an ＋1＝25·5an ，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝() A.－3 B.3 C.－13 D.13答案 A解析数列{a n }满足5an ＋1＝25·5an ，∴a n ＋1＝a n ＋2，即a n ＋1－a n ＝2，∴数列{a n }是等差数列，公差为2.∵a 2＋a 4＋a 6＝9，∴3a 4＝9，a 4＝3.∴a 1＋3×2＝3，解得a 1＝－3.∴a 5＋a 7＋a 9＝3a 7＝3×(－3＋6×2)＝27，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 1333＝－3.故选A.4.(2022·太原一模)在数列{a n }中，a 1＝3，a m ＋n ＝a m ＋a n (m ，n ∈N *)，若a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k ＝135，则k ＝( )A.10B.9C.8D.7 答案 B解析令m ＝1，由a m ＋n ＝a m ＋a n 可得a n ＋1＝a 1＋a n ，所以a n ＋1－a n ＝3，所以{a n }是首项为a 1＝3，公差为3的等差数列，a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k ＝k （a 1＋a k ）2＝k （3＋3k ）2＝135. 整理可得k 2＋k －90＝0，解得k ＝9或k ＝－10(舍).5.程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为( )A.65B.176C.183D.184答案 D解析根据题意可知每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{a n }，其中d ＝17，n ＝8，S 8＝996.由等差数列前n 项和公式可得8a 1＋8×72×17＝996，解得a 1＝65.由等差数列通项公式得a 8＝65＋(8－1)×17＝184.则第八个孩子分得斤数为184.6.(2021·全国大联考)在等差数列{a n }中，若a 10a 9<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0成立的正整数n 的最大值是( )A.15B.16C.17D.14答案 C解析 ∵等差数列{a n }的前n 项和有最大值，∴等差数列{a n }为递减数列，又a 10a 9<－1，∴a 9>0，a 10<0， ∴a 9＋a 10<0，又S 18＝18（a 1＋a 18）2＝9(a 9＋a 10)<0，且S 17＝17（a 1＋a 17）2＝17a 9>0. 故使得S n >0成立的正整数n 的最大值为17.7.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 6＝1，S 12＝4，则S 18＝________. 答案 9解析在等差数列中，S 6，S 12－S 6，S 18－S 12成等差数列，∵S 6＝1，S 12＝4，∴1，3，S 18－4成公差为2的等差数列，即S 18－4＝5，S 18＝9.8.等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于________. 答案 3727解析 a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727. 9.(2021·西安一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 1＝32，a 2＝2，2(S n ＋2＋S n )＝4S n ＋1＋1，则数列{a n }的前16项和S 16＝________.答案 84解析将2(S n ＋2＋S n )＝4S n ＋1＋1变形为(S n ＋2－S n ＋1)－(S n ＋1－S n )＝12，即a n ＋2－a n＋1＝12，又a 1＝32，a 2＝2，∴a 2－a 1＝12符合上式，∴{a n }是首项a 1＝32，公差d ＝12的等差数列，∴S 16＝16×32＋16×152×12＝84.10.已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2a 4＝65，a 1＋a 5＝18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在常数k ，使得数列{S n ＋kn }为等差数列？若存在，求出常数k ；若不存在，请说明理由.解 (1)设公差为d .∵{a n }为等差数列，∴a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝18，又a 2a 4＝65，∴a 2，a 4是方程x 2－18x ＋65＝0的两个根，又公差d ＞0，∴a 2＜a 4，∴a 2＝5，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)知，S n ＝n ＋n （n －1）2×4＝2n 2－n ，假设存在常数k ，使数列{S n ＋kn }为等差数列. 由S 1＋k ＋S 3＋3k ＝2S 2＋2k ，得1＋k ＋15＋3k ＝26＋2k ，解得k ＝1. ∴S n ＋kn ＝2n 2＝2n ，当n ≥2时，2n －2(n －1)＝2，为常数，∴数列{S n ＋kn }为等差数列.故存在常数k ＝1，使得数列{S n ＋kn }为等差数列. 11.设数列{a n }的各项都为正数，其前n 项和为S n ，已知对任意n ∈N *，S n 是a 2n 和a n 的等差中项.(1)证明：数列{a n }为等差数列；(2)若b n ＝－n ＋5，求{a n ·b n }的最大项的值并求出取最大值时n 的值.(1)证明由已知可得2S n ＝a 2n ＋a n ，且a n >0，当n ＝1时，2a 1＝a 21＋a 1，解得a 1＝1.当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋a n －1，所以2a n ＝2S n －2S n －1＝a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1，所以a 2n －a 2n －1＝a n ＋a n －1，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝a n ＋a n －1，因为a n ＋a n －1>0，所以a n －a n －1＝1(n ≥2).故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列.(2)解由(1)可知a n ＝n ，设c n ＝a n ·b n ，则c n ＝n (－n ＋5)＝－n 2＋5n＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋254，因为n ∈N *，所以n ＝2或3，c 2＝c 3＝6，因此当n ＝2或n ＝3时，{a n ·b n }取最大项，且最大项的值为6.12.(2020·新高考山东卷)将数列{2n －1}与{3n －2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为__________.答案 3n 2－2n解析法一(观察归纳法) 数列{}2n －1的各项为1，3，5，7，9，11，13，…；数列{3n －2}的各项为1，4，7，10，13，….现观察归纳可知，两个数列的公共项为1，7，13，…，是首项为1，公差为6的等差数列，则a n ＝1＋6(n －1)＝6n －5.故其前n 项和为S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （1＋6n －5）2＝3n 2－2n . 法二(引入参变量法) 令b n ＝2n －1，c m ＝3m －2，b n ＝c m ，则2n －1＝3m －2，即3m ＝2n ＋1，m 必为奇数.令m ＝2t －1，则n ＝3t －2(t ＝1，2，3，…).a t ＝b 3t －2＝c 2t －1＝6t －5，即a n ＝6n －5.以下同法一.13.(2022·衡水模拟)已知在数列{a n }中，a 6＝11，且na n －(n －1)a n ＋1＝1，则a n ＝______；a 2n ＋143n 的最小值为________.答案 2n －1 44解析 na n －(n －1)a n ＋1＝1，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2＝1，两式相减得na n －2na n ＋1＋na n ＋2＝0，∴a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1，∴数列{a n }为等差数列.当n ＝1时，由na n －(n －1)a n ＋1＝1得a 1＝1，由a 6＝11，得公差d ＝2，∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴a 2n ＋143n ＝（2n －1）2＋143n＝4n ＋144n －4≥24n ·144n －4＝44，当且仅当4n ＝144n ，即n ＝6时等号成立.14.等差数列{a n }中，公差d ＜0，a 2＋a 6＝－8，a 3a 5＝7.(1)求{a n }的通项公式；(2)记T n 为数列{b n }前n 项的和，其中b n ＝|a n |，n ∈N *，若T n ≥1 464，求n 的最小值.解 (1)∵等差数列{a n }中，公差d ＜0，a 2＋a 6＝－8， ∴a 2＋a 6＝a 3＋a 5＝－8，又∵a 3a 5＝7，∴a 3，a 5是一元二次方程x 2＋8x ＋7＝0的两个根，且a 3＞a 5，解方程x 2＋8x ＋7＝0，得a 3＝－1，a 5＝－7，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝－1，a 1＋4d ＝－7，解得a 1＝5，d ＝－3. ∴a n ＝5＋(n －1)×(－3)＝－3n ＋8.(2)由(1)知{a n }的前n 项和S n ＝5n ＋n （n －1）2×(－3)＝－32n 2＋132n . ∵b n ＝|a n |，∴b 1＝5，b 2＝2，b 3＝|－1|＝1，b 4＝|－4|＝4，当n ≥3时，b n ＝|a n |＝3n －8.当n ＜3时，T 1＝5，T 2＝7；当n ≥3时，T n ＝－S n ＋2S 2＝3n 22－13n 2＋14.∵T n ≥1 464，∴T n ＝3n 22－13n 2＋14≥1 464，即(3n－100)(n＋29)≥0，解得n≥100，3∴n的最小值为34.。

高中数学选择性必修修二第二课时等差数列前n项和的最值及应用

第二课时等差数列前n 项和的最值及应用课标要求素养要求能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.通过利用等差数列的前n 项和公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.新知探究公元前二千多年的巴比伦人就提出了等差数列问题，“十兄弟分银子”就是其中之一.有100两银子要分给10个兄弟，按年龄的不同分给不同的数量，老大要比老二多，老二要比老三多，依次类推，都相差一级，每一级相差数都一样，但不知是多少，只知道老八分到的银子是6两.问题每一级的差额是多少？提示设十兄弟所分得的银子从多到少依次为a 1，a 2，…，a 10，易知其为等差数列，且a 8＝6，由⎩⎪⎨⎪⎧S10＝10a1＋12×9×10d ＝100，a8＝a1＋7d ＝6，解得a 1＝865，d ＝－85.故每一级的差额是85两.1.前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a1－d 2n . 2.等差数列前n 项和的最值d 的符号决定S n 有最大值还是最小值 (1)在等差数列{a n }中，当a 1>0，d <0时，S n 有最大值，使S n 取到最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧an≥0，an ＋1≤0确定；当a 1<0，d >0时，S n 有最小值，使S n 取到最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧an≤0，an ＋1≥0确定.(2)因为S n ＝d2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a1－d 2n ，若d ≠0，则从二次函数的角度看：当d >0时，S n 有最小值；当d <0时，S n 有最大值，且n 取最接近对称轴的自然数时，S n 取到最值.拓展深化[微判断]1.若等差数列{a n }的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ≠0)，则其最大值或最小值一定在n ＝－B2A 取得.(×)提示只有当－B2A 是正整数时才成立.2.若等差数列{a n }的公差d >0，则{a n }的前n 项和一定有最小值.(√)3.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S p ＝S q (p ，q ∈N *)，则S n 在n ＝12(p ＋q )处取得最大值或最小值.(×)提示当12(p ＋q )是正整数，即p ＋q 是偶数时结论才成立. [微训练]1.等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－3n ，则其最小值为________.解析由S n ＝n 2－3n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －322－94，可知当n ＝1或2时，S n 的最小值为－2.答案－22.设a n ＝14－3n ，则数列{a n }的前n 项和S n 有最________(填“大”或“小”)值为________.解析由于a 1＝11>0，d ＝－3<0，所以S n 有最大值.由⎩⎨⎧an ＝14－3n≥0，an ＋1＝14－3（n ＋1）≤0，得n ＝4，则其最大值为S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝11＋8＋5＋2＝26.答案大26[微思考]1.在等差数列{a n}中，若a1＞0，d＞0或a1＜0，d＜0时，S n能否取得最值？提示当a1＞0，d＞0时，S n的最小值为a1，无最大值；当a1＜0，d＜0时，S n的最大值为a1，无最小值.2.若数列{a n}的通项公式为a n＝2n－37，则当n为何值时S n取得最小值？提示∵a n＝2n－37，a n＋1－a n＝2＞0，∴{a n}为递增数列.由a n＝2n－37≥0，得n≥18.5.∴a18＜0，a19＞0，∴S18最小，即当n＝18时，S n取得最小值.题型一等差数列前n项和最值问题的判断【例1】(多选题)在等差数列{a n}中，首项a1>0，公差d≠0，前n项和为S n(n∈N*)，则下列命题正确的是( )A.若S3＝S11，则必有S14＝0B.若S3＝S11，则S7是{S n}中的最大项C.若S7>S8，则必有S8>S9D.若S7>S8，则必有S6>S9解析根据等差数列的性质，若S3＝S11，则S11－S3＝4(a7＋a8)＝0，则a7＋a8＝0，S14＝14（a1＋a14）2＝7(a7＋a8)＝0；根据S n的图象，当S3＝S11时，对称轴是3＋112＝7，且d<0，那么S7是最大值；若S7>S8，则a8<0，且d<0，所以a9<0，所以S9－S8<0，即S8>S9；S9－S6＝a7＋a8＋a9＝3a8<0，即S6>S9，所以ABCD都正确.答案ABCD规律方法一般地，在等差数列{a n}中，若a1>0，且S p＝S q(p≠q)，则①若p＋q为偶数，则当n＝p＋q2时，S n最大；②若p＋q为奇数，则当n＝p＋q－12或n＝p＋q＋12时，S n最大.【训练1】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 15>0，S 16<0，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫Sn an 的前15项中最大的项是( ) A.第1项 B.第8项 C.第9项 D.第15项解析 S 15＝15（a1＋a15）2＝15a 8>0，S 16＝16（a1＋a16）2＝8(a 8＋a 9)<0，故a 8>0，a 9<0，公差d <0，所以数列{a n }是递减数列，所以a 1，…，a 8均为正，a 9，…，a n 均为负，且S 1，…，S 15均为正，S 16，…，S n 均为负，则S1a1>0，S2a2>0，…，S8a8>0，S9a9<0，S10a10<0，…，S15a15<0. 又S 8>S 7>…>S 1>0，a 1>a 2>…>a 8>0，所以S8a8>S7a7>…>S1a1>0，所以最大的项是S8a8，即第8项. 答案 B题型二等差数列前n 项和最值的计算【例2】设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 2＋a 5＝1，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫Sn n 的前n 项和. (1)求S n ；(2)求T n 及T n 的最小值. 解 (1)设数列{a n }的公差为d .依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a1＋d ＋a1＋4d ＝1，15a1＋15×142d ＝75，解得⎩⎨⎧a1＝－2，d ＝1， ∴S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－2n ＋n （n －1）2＝n2－5n2.(2)法一由(1)知S n ＝n2－5n 2，∴Sn n ＝n －52.设b n ＝Sn n ＝n －52，则b n ＋1－b n ＝（n ＋1）－52－n －52＝12，∴数列{b n }是公差为12的等差数列，首项b 1＝S11＝a 1＝－2. 又T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫Sn n 的前n 项和，∴T n ＝－2n ＋n （n －1）2×12＝n2－9n 4＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫n －922－8116. ∴当n ＝4或n ＝5时，(T n )min ＝－5.法二易知b n ＝n －52，由⎩⎨⎧bn≤0，bn ＋1≥0，解得4≤n ≤5.故T n 的最小值为T 4＝T 5＝－5.规律方法求等差数列前n 项和的最值的方法有：(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解；(2)通项公式法，求使a n ≥0(a n ≤0)成立时最大的n 即可.【训练2】已知等差数列{a n }中，a 1＝9，a 4＋a 7＝0. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)当n 为何值时，数列{a n }的前n 项和取得最大值？解 (1)由a 1＝9，a 4＋a 7＝0，得a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝0，解得d ＝－2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝11－2n . (2)法一 ∵a 1＝9，d ＝－2，S n ＝9n ＋n （n －1）2×(－2)＝－n 2＋10n ＝－(n －5)2＋25，∴当n ＝5时，S n 取得最大值.法二由(1)知a 1＝9，d ＝－2<0，∴{a n }是递减数列. 令a n ≥0，则11－2n ≥0，解得n ≤112. ∵n ∈N *，∴n ≤5时，a n >0，n ≥6时，a n <0. ∴当n ＝5时，S n 取得最大值.题型三等差数列求和的实际应用【例3】7月份，有一新款服装投入某市场.7月1日该款服装仅售出3件，以后每天售出的该款服装都比前一天多3件，当日销售量达到最大(只有1天)后，每天售出的该款服装都比前一天少2件，且7月31日当天刚好售出3件.(1)问7月几日该款服装销售最多？最多售出几件？(2)按规律，当该市场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行.问该款服装在社会上流行几天？解 (1)设7月n 日售出的服装件数为a n (n ∈N *，1≤n ≤31)，最多售出a k 件.由题意知⎩⎨⎧ak ＝3＋3（k －1），ak －2（31－k ）＝3，解得⎩⎨⎧k ＝13，ak ＝39，∴7月13日该款服装销售最多，最多售出39件. (2)设S n 是数列{a n }的前n 项和，∵a n ＝⎩⎨⎧3n ，1≤n≤13，65－2n ，14≤n≤31，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧（3＋3n ）n 2，1≤n≤13，273＋（51－n ）（n －13），14≤n≤31. ∵S 13＝273>200，∴当1≤n ≤13时，由S n >200，得12≤n ≤13，当14≤n ≤31时，日销售量连续下降，由a n <20，得23≤n ≤31，∴该款服装在社会上流行11天(从7月12日到7月22日).规律方法应用等差数列解决实际问题的一般思路：【训练3】某地去年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天新感染者人数增加40.从9月11日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到有效控制，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10.(1)分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数； (2)该地区9月份(共30天)流感病毒的新感染者共有多少人？解 (1)由题意，知该地区9月份前10天每天新感染者人数构成一个首项a 1＝40，公差d ＝40的等差数列{a n }，所以9月10日的新感染者人数为a 10＝40＋(10－1)×40＝400.从9月11日起，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10，所以9月11日的新感染者人数为400－10＝390.(2)9月份前10天流感病毒的新感染者人数的和为 S 10＝10×（40＋400）2＝2 200，9月份后20天每天新感染者人数构成一个首项b 1＝390，公差d 1＝－10的等差数列{b n }，又b 20＝390－10×19＝200，所以后20天流感病毒的新感染者人数的和为 T 20＝20×（390＋200）2＝5 900，所以该地区9月份流感病毒的新感染者共有 2 200＋5 900＝8 100(人).一、素养落地1.通过学习等差数列前n 项和最值的求法，提升数学运算素养，通过学习利用等差数列前n 项和解决实际问题，提升数学建模素养.2.求等差数列前n 项和最值的方法：(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N *，结合二次函数图象的对称性来确定n 的值，更加直观. (2)通项法：当a 1>0，d <0，⎩⎪⎨⎪⎧a n≥0，an ＋1≤0时，S n 取得最大值；当a 1<0，d >0，⎩⎪⎨⎪⎧an≤0，an ＋1≥0时，S n 取得最小值.3.解决与等差数列有关的实际应用题时，要抓住其反映等差数列的特征，仔细审题，用心联想.要明确该问题是求a n 还是求S n ？要特别注意弄清项数是多少. 二、素养训练1.设a n ＝2n －9，则当数列{a n }的前n 项和取得最小值时，n 的值为( ) A.4 B.5 C.4或5D.5或6解析由⎩⎨⎧an≤0，an ＋1≥0，解得72≤n ≤92，故n ＝4.答案 A2.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 7＝S 12，则( ) A.S 9最大B.S 10最大C.S 9与S 10相等且最大D.以上都不对解析由于不能明确公差的符号，所以S 9与S 10相等可能是最大值也可能是最小值. 答案 D3.若在数列{a n }中，a n ＝43－3n ，则当S n 取最大值时，n ＝( ) A.13 B.14 C.15D.14或15解析 ∵数列{a n }中，a n ＝43－3n ，∴a 1＝40，∴S n ＝n （40＋43－3n ）2是关于n 的二次函数，函数图象是开口向下的抛物线上的一些横坐标为正整数的点，对称轴为n ＝836，又n 为正整数，与836最接近的一个正整数为14，故S n 取得最大值时，n ＝14.故选B. 答案 B4.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为a n ，则a 1＝( ) A.35 B.32 C.23D.38解析由题意可知，九个儿子的年龄成公差d ＝－3的等差数列，且九项之和为207.故S 9＝9a 1＋9×82d ＝9a 1－108＝207，解得a 1＝35. 答案 A5.某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？解从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a 1，a 2，…，a 25. 由题意可知，此数列为等差数列，且a 1＝24，公差d ＝－13.25辆翻斗车完成的工作量为a 1＋a 2＋…＋a 25＝25×24＋25×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线.基础达标一、选择题1.已知数列{a n }满足a n ＝26－2n ，则使其前n 项和S n 取最大值的n 的值为( ) A.11或12 B.12 C.13D.12或13解析 ∵a n ＝26－2n ，∴a n －a n －1＝－2， ∴数列{a n }为等差数列. 又a 1＝24，d ＝－2，∴S n ＝24n ＋n （n －1）2×(－2)＝－n 2＋25n＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋6254.∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 最大. 答案 D2.若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和最大时，n 的值为( )A.6B.7C.8D.9解析因为a n ＋1－a n ＝－3，所以数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设前k 项和最大，则有⎩⎨⎧ak≥0，ak ＋1≤0，所以⎩⎨⎧22－3k≥0，22－3（k ＋1）≤0，即193≤k ≤223.因为k ∈N *，所以k ＝7.故满足条件的n 的值为7. 答案 B3.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安四百二十里，良马初日行九十七里，日增一十五里；驽马初日行九十二里，日减一里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.问：几日相逢？( ) A.4日 B.3日 C.5日D.6日解析由题意，可知良马第n 日行程记为a n ，则数列{a n }是首项为97，公差为15的等差数列，驽马第n 日行程记为b n ，则数列{b n }是首项为92，公差为－1的等差数列，则a n ＝97＋15(n －1)＝15n ＋82，b n ＝92－(n －1)＝93－n . 因为数列{a n }的前n 项和为n （97＋15n ＋82）2＝n （179＋15n ）2，数列{b n }的前n 项和为n （92＋93－n ）2＝n （185－n ）2，∴n （179＋15n ）2＋n （185－n ）2＝840，整理得14n 2＋364n －1 680＝0，即n 2＋26n －120＝0，解得n ＝4(n ＝－30舍去)，即4日相逢. 答案 A4.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.若S 12>0，S 13<0，则数列{|a n |}的最小项是( ) A.第6项 B.第7项 C.第12项D.第13项解析由题意S 12>0，S 13<0及S 12＝6(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)，S 13＝13a 7，得a 6＋a 7>0，a 7<0，所以a 6>0，a 6>|a 7|，且公差d <0，所以|a 7|最小.答案 B5.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，有下列四个命题：①d <0；②S 11>0；③S 12<0；④数列{S n }中的最大项为S 11，其中正确命题的序号是( )A.②③B.①②C.①③D.①④解析 ∵S 6>S 7，∴a 7<0，∵S 7>S 5，∴a 6＋a 7>0，∴a 6>0，∴d <0，①正确.又S 11＝112(a 1＋a 11)＝11a 6>0，②正确.S 12＝122(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0，③不正确.{S n }中最大项为S 6，④不正确.故正确的是①②.答案 B二、填空题6.已知等差数列{a n }中，|a 5|＝|a 9|，公差d ＞0，则使得前n 项和S n 取得最小值的正整数n 的值是________.解析由|a 5|＝|a 9|且d ＞0得a 5＜0，a 9＞0，且a 5＋a 9＝0，∴2a 1＋12d ＝0，∴a 1＋6d ＝0，即a 7＝0，故S 6＝S 7且最小.答案 6或77.若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，数列{a n }的前n 项和最大.解析 ∵a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，∴a 8>0.∵a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，∴a 8>0，a 9<0.故前8项的和最大.答案 88.已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＝40，则a 3·a 8的最大值为________. 解析 ∵正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＝10（a3＋a8）2＝40，∴⎩⎪⎨⎪⎧a3>0，a8>0，a3＋a8＝40×210＝8，∴a 3·a 8＝a 3(8－a 3)＝－a 23＋8a 3＝－(a 3－4)2＋16≤16.当且仅当a 3＝4时取等号.答案 16三、解答题9.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12＞0，S 13＜0.(1)求公差d 的取值范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由.解 (1)∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d .∵S 12＞0，S 13＜0，∴⎩⎨⎧12a1＋66d ＞0，13a1＋78d ＜0，即⎩⎨⎧24＋7d ＞0，3＋d ＜0，∴－247＜d ＜－3.即d 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－247，－3. (2)∵S 12＞0，S 13＜0，∴⎩⎨⎧a1＋a12＞0，a1＋a13＜0，∴⎩⎨⎧a6＋a7＞0，a7＜0，∴a 6＞0，又由(1)知d ＜0.∴数列前6项为正，从第7项起为负.∴数列前6项和最大.10.某工厂用分期付款的方式购买40套机器设备，共需1150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的第1个月开始算分期付款的第1个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部按期付清后，买这40套机器设备实际花了多少钱？解因为购买设备时已付150万元，所以欠款为1 000万元，依据题意，知其后应分20次付款，则每次付款的数额顺次构成数列{a n }，且a 1＝50＋1 000×1%＝60，a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5，a 3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59，…，a n ＝50＋[1 000－50(n －1)]×1%＝60－0.5(n －1)(1≤n ≤20，n ∈N *)，所以数列{a n }是以60为首项，－0.5为公差的等差数列，所以a 10＝60－9×0.5＝55.5，S 20＝20[60＋（60－19×0.5）]2＝1 105. 所以全部按期付清后，买这40套机器设备实际共花费了1 105＋150＝1 255(万元). 故分期付款的第10个月应付55.5万元，全部按期付清后，买这40套机器设备实际花了1 255万元.能力提升11.《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈.头节高五寸①，头圈一尺三②，逐节多三分③，逐圈少分三④.一蚁往上爬，遇圈则绕圈.爬到竹子顶，行程是多远？”(注释：①第一节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺)问：此民谣提出的问题的答案是( )A.61.395尺B.61.905尺C.72.705尺D.73.995尺解析设从地面往上，每节竹长为a 1，a 2，a 3，…，a 30，∵每节竹节间的长相差0.03尺，∴{a n }是以a 1＝0.5为首项，以d ′＝0.03为公差的等差数列.由题意知竹节上一圈比下一圈细0.013尺，设从地面往上，每圈周长为b 1，b 2，b 3，…，b 30，可得{b n }是以b 1＝1.3为首项，d ＝－0.013为公差的等差数列.∴一蚂蚁往上爬，遇圈则绕圈，爬到竹子顶，行程S 30＝(a 1＋a 2＋…＋a 30)＋(b 1＋b 2＋…＋b 30)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫30×0.5＋30×292×0.03＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤30×1.3＋30×292×（－0.013）＝61.395，故选A. 答案 A12.某电站沿一条公路竖立电线杆，相邻两根电线杆的距离都是50m ，最远一根电线杆距离电站1550 m ，一汽车每次从电站运出3根电线杆供应施工.若该汽车往返运输总行程为17 500m ，共竖立多少根电线杆？第一根电线杆距离电站多少米？解由题意知汽车逐趟(由近及远)往返运输行程组成一个等差数列，记为{a n }，则a n ＝1 550×2＝3 100，d ＝50×3×2＝300，S n ＝17 500.由等差数列的通项公式及前n 项和公式，得⎩⎪⎨⎪⎧a1＋（n －1）×300＝3 100， ①na1＋n （n －1）2×300＝17 500. ② 由①得a 1＝3 400－300n .代入②得n (3 400－300n )＋150n (n －1)－17 500＝0，整理得3n 2－65n ＋350＝0，解得n ＝10或n ＝353(舍去)，所以a 1＝3 400－300×10＝400.故汽车拉了10趟，共拉电线杆3×10＝30(根)，最近的一趟往返行程400 m ，第一根电线杆距离电站12×400－100＝100(m).所以共竖立了30根电线杆，第一根电线杆距离电站100 m.创新猜想13.(多选题)首项为正数，公差不为0的等差数列{a n }，其前n 项和为S n ，现有下列四个命题，其中正确的命题有( )A.若S 10＝0，则S 2＋S 8＝0B.若S 4＝S 12，则使S n >0的n 的最大值为15C.若S 15>0，S 16<0，则{S n }中S 8最大D.若S 7<S 8，则S 8<S 9解析对于A ，若S 10＝0，则S 10＝（a1＋a10）·102＝0，则a 1＋a 10＝0，即2a 1＋9d ＝0，则S 2＋S 8＝(2a 1＋d )＋(8a 1＋28d )＝10a 1＋29d ≠0，A 不正确；对于B ，若S 4＝S 12，则S 12－S 4＝0，即a 5＋a 6＋…＋a 11＋a 12＝4(a 8＋a 9)＝0，由于a 1>0，则a 8>0，a 9<0，则有S 15＝15（a1＋a15）2＝15a 8>0，S 16＝16（a1＋a16）2＝16（a8＋a9）2＝0，故使S n >0的n 的最大值为15，B 正确；对于C ，若S 15>0，S 16<0，则S 15＝15（a1＋a15）2＝15a 8>0， S 16＝16（a1＋a16）2＝8(a 8＋a 9)<0，则有a 8>0，a 9<0，故{S n }中S 8最大，故C 正确；对于D ，若S 7<S 8，即a 8＝S 8－S 7>0，而S 9－S 8＝a 9，不能确定其符号，D 错误. 答案 BC14.(多空题)已知{a n }是等差数列，首项为a 1，其公差d <0，前n 项和为S n ，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫Sn n 的前n 项和为T n .(1)若a 1＝－4d ，则当n ＝________时，T n 有最大值；(2)若当且仅当n ＝6时，T n 有最大值，则a1d 的取值范围是________.解析易知Sn n ＝d 2n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a1－d 2，若a 1＝－4d ，则Sn n ＝d 2n －92d ，由⎩⎪⎨⎪⎧Sn n ≥0，Sn ＋1n ＋1≤0，解得8≤n ≤9. 即n ＝8或9时，T n 有最大值；若当且仅当n ＝6时，T n 有最大值，则⎩⎪⎨⎪⎧S66＝a1＋52d>0，S77＝a1＋3d<0，d<0，解得－3<a1d <－52.答案 8或9 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－52。

等差数列前n项和的最值问题

3．通项法：利用数列的通项公式来解决数列前n项和的最值问题，即：
当，时，n为使成立的最大的自然数时，最大，这是因为：当时，，即递增；已知等差数列{an}，a1＞0，d＜0，Sn存在最大值，
若am使Sn取得最大值，则am满足：成立的最大自然数n时，最大
当时，，即递减。类似地，当，时，若am使Sn取得最小值，则am满足：成立的最大自然数n时，最小。
解：在等差数列{an}中，因为a1＋a12＞0，
所以a6＋a7＞0,又因为a1＜0且a6a7＜0，所以所以当Sn最小时的n为6
例题2：已知等差数列{an}的通项公式an＝3n－20，当n取何值时，Sn取得最小值，并求此最小值.
我们分析数列为：
－17，－14，－11，－8，－5，－2，1，4，…
问题1：从数列中可以发现，数列在第几项时，Sn取得最小值？
问题2：使数列Sn取得最小值的项具备什么特征呢？
结论：若am使Sn取得最小值，则am满足：
解法一：若am使Sn取得最小值，则am满足：
即
解得≤n≤，因为n∈N*，所以n＝6．
所以当n取6时，Sn取得最小值，最小值为－57.
解法二：Sn＝n×（—17）＋×3＝n2－n，
其对称轴为n＝，所以离对称轴最近的整数为6．
所以当n取6时，Sn取得最小值，最小值为－57.
练习：
1、已知等差数列的通项为，则使得最大的的值是？
又，∴ 的前10项或前11项的和最小。
说明：此处虽说是用图像法，但不一定要画出图像，而是利用图像的性质去解题。
练习1：等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。
速解：抛物线对称轴方程为，则可设，
由

等差数列的前n项和Sn的最值问题

等差数列的前n项和S的最值问题数列是一种特殊的函数，因此高考题中常常会出现研究数列的单调性、最值等问题．其例题：设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3＝24，S11＝0.(1)求a n；(2)求数列{a n}的前n项和S n；(3)当n为何值时，S n最大，并求S n的最大值．变式1等差数列{a n}的前n项和为S n，且公差d<0，若S9＝S23，则数列{a n}的前多少项的和最大？变式2等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且公差d<0，若S 10＝S 23，则数列{a n }的前多少项的和最大？串讲1已知数列{a n }的通项公式a n ＝40－5n7，记T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋6，当|T n |取最小值时，n 的值为多少？串讲2已知数列{a n }的通项公式a n ＝40－5n7，记T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋5，当|T n |取最小值时，n 的值为多少？(2018·全国Ⅱ卷改编)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15.求S n ，并求S n 的最小值．(2018·苏州第一学期期初调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n －S n ＝n 2－16n ＋15(n ≥2，n ∈N *)．若对任意的n ∈N *，总有S n ≤S k ，求正整数k 的值．答案：k ＝7.解法1因为a n －S n ＝n 2－16n ＋15(n ≥2，n ∈N *)，所以⎩⎨⎧a 2－S 2＝－13，a 3－S 3＝－24，也即⎩⎨⎧a 1＝13，a 1＋a 2＝24，解得a 1＝13，a 2＝11，所以d ＝a 2－a 1＝－2，故a n ＝－2n ＋15，5分令⎩⎨⎧a n ≥0，a n ＋1<0，得⎩⎨⎧－2n ＋15≥0，－2n ＋13<0，所以132<n ≤152，9分又n ∈N *，所以n ＝7，即数列{a n }的前7项和为S 7最大，所以k ＝7.14分解法2因为a n －S n ＝n 2－16n ＋15(n ≥2，n ∈N *)，所以⎩⎨⎧a 2－S 2＝13，a 3－S 3＝－24，也即⎩⎨⎧a 1＝13，a 1＋a 2＝24，解得a 1＝13，a 2＝11，7分所以d ＝a 2－a 1＝－2，故a n ＝－2n ＋15，9分S n ＝13n ＋n （n －1）2×(－2)＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49，12分所以数列{a n }的前7项和为S 7最大，故k ＝7.14分说明：通过以上两种解法的比较，可以发现“解法1”采用了“邻项变号法”，解题思路、过程比较简洁方便，这是因为这种解法紧紧抓住了等差数列的项a n 对和S n 的影响规律，因而过程相对简洁精炼．例题答案：(1)a n ＝48－8n ；(2)S n ＝－4n 2＋44n ；(3)n ＝5或6时，S n 最大，S n ＝120. 解析：(1)因为a 3＝24，S 11＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝24，11a 1＋11×102d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝40，d ＝－8，所以a n ＝48－8n.(2)由(1)知，a 1＝40，a n ＝48－8n ，所以S n ＝（a 1＋a n ）n 2＝（40＋48－8n ）n 2＝－4n 2＋44n.(3)解法1：由(2)有，S n ＝－4n 2＋44n ＝－4(n －112)2＋121，故当n ＝5或n ＝6时，S n 最大，且S n 的最大值为120.解法2 ：由a n ＝48－8n ，⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧48－8n≥0，48－8（n ＋1）<0，得5<n≤6，又n∈N *，所以n ＝6，即该数列前5项都是正数，第6项为0，所以前5项和、前6项的和同为最大值，最大值为120.说明：等差数列的前n 项和S n 最值问题的研究有两种主要思路：其一，利用S n ＝an 2＋bn 具有的二次函数的性质，结合单调性或抛物线图象来研究；其二，是利用“邻项变号法”研究，即由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1<0，求得S n 取得最大值时n的条件，同样由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1>0，求得S n 取得最小值时n 的条件．变式联想变式1 答案：16. 解析：由S 9＝S 23，得a 10＋a 11＋…＋a 23＝0，即a 16＋a 17＝0，又因为d<0，所以a 16>0，a 17<0，所以，数列{a n }的前16项的和最大．变式2答案：16或17.解析：由S 10＝S 23，得a 11＋a 12＋…＋a 23＝0，即a 17＝0，又因为d<0，所以a 16>0，a 18<0，所以，数列{a n }的前16项或17的和最大．说明：上述两个“变式”题的不同之处在于，“变式1”中不含为0的项，因此前n 项和S n 取得最值时，n 的值只有一解，“变式2”中含有数值为0的项，因此前n 项和S n 取得最值时，n 的值有两解！请同学们仔细体会其中的差别．串讲激活串讲1答案：n ＝5. 解析：由a n ＝40－5n7，知{a n }递减且a 8＝0，又T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋6＝7a n ＋3，考虑到|T n |≥0，且由n ＋3＝8，得n ＝5，即满足|T n |取得最小值的正整数n ＝5.串讲2答案：n ＝5或6.解析：由a n ＝40－5n7，知{a n }递减且a 8＝0，又T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋5，式子右边有6项，结合等差数列的对称性知，当下标n ＋(n ＋5)＝2×8±1，即就是n ＝5或6时，|T n |取得最小值．新题在线答案：－16. 解析：设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15.由a 1＝－7得d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9.所以S n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16.所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.。

等差数列的前n项和性质及应用

3、三种题型
数列{an}为等差数列
题型(一)——等差数列前n项和旳有关计算
知三求二
★注意 a a 旳整体代换
1
n
题型(二)——已知Sn，求通项公式an
an＝SS1n－Sn－1
n＝1， n＞1，n∈N*.
题型(三)——等差数列前n项和Sn旳最值问题
4．求等差数列前n项和旳最值措施 (1)二次函数法：用求二次函数旳最值措施来求其前n项和旳最值，但要注意n∈N*，结合二次函数图象旳对称性来拟定n旳值，愈加直观． (2)通项法：当 a1＞0，d＜0，aann≥＋1≤0 0 时，Sn 取得最大值；当 a1＜0，d＞0，aann≤ ＋1≥0 0 时，Sn 取得最小值．
例3.一种等差数列旳前10项旳和为100, 前100项旳和为10,则它旳前110项旳和为－110 .
例4.两等差数列{an} 、{bn}旳前n项和分
别是Sn和Tn,且 Sn 7n 1
求 a5 和 an . b5 bn
Tn 4n 27
a5 64 an 14n 6 b5 63 bn 8n 23
性质3:若Sm=Sp (m≠p),则 Sp+m= 0
性质4:(1)若项数为偶数2n,则
S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中
间两项), 此时有:S偶－S奇= nd
,
S奇 S偶
an an1
2024年10月9日星期三
性质4:(1)若项数为奇数2n－1,则 S2n-1=(2n－ 1)an (an为中间项),
∴ an=13+(n-1) ×(-2)=－2n+15
由
an 0
an1

4-2-2等差数列的前n项和公式(第二课时)课件(人教版)

bn 2m 1 T2n1
当m=n时，公式变化？反之如何证明？
性质2（. 1）若等差数列的项数为2n，则
S2n n
an an1
， S偶
S奇
nd，
S偶 S奇
an1 . an
（2）若等差数列的项数为2n 1，则
S2n1
2n 1 an1， S偶 S奇 an1，
S偶 n . S奇 n 1
解:
当n=1时，a1
S1
12
1 2
1
3 2
当n≥2时，
an
Sn
Sn1
n2
1 2
n
[(n
1) 2
1 2
(n 1)]
2n
1 2
①
当n=1时也满足①式.
数列{an}的通项公式为an
2n
1 2
,
an an1 2.
由此可知,数列{an}是以
3 2
为首项，公差为2的等差数列.
变式训练
分
已知数列{an}的前n项和为Sn
为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为( )
A． 28
B．29
C．30
D．31
（1）若r=0，则这个数列一定是等差数列. an 2 pn (q p)
（2）若r≠0，则这个数列一定不是等差数列.
an
p q r 2 pn (q
p)
(n 1) (n 1)
Sn
na1
n(n 1) 2
d
d 2
n2
(a1
d )n 2
常数项为0 的关于n的
结论：数列是等差数列等价于 Sn An2 Bn
二次型函数
当A 0即d 0时, Sn是关于n的二次函数式,即Sn An2 Bn的图象是

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求等差数列前n 项和的最值问题的两种常用解法
【必备方法】
1.函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式bn an S n +=2，
通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解，一定注意n 是正整数。

2.邻项变号法：
①0,01<>d a 时，满足⎩⎨⎧≤≥+0
01n n a a 的项数m 使得n S 取得最大值为m S ； ②当0,01><d a 时，满足⎩⎨⎧≥≤+001
n n a a 的项数m 使得n S 取得最小值为m S . 【典例示范】
例1、等差数列}{n a 前n 项和为n S ，已知1131,13S S a ==，当n S 最大时，n 的值是( )
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
解：方法一：由113S S =得01154=+++a a a ，
根据等差数列性质可得087=+a a ，
根据首项等于13可推知这个数列递减，
从而得到0,087<>a a ，故n=7 时，n S 最大.
方法二：由113S S =可得d a d a 55113311+=+，把131=a 代入得2-=d ，故n n n n n S n 14)1(132+-=--=，根据二次函数性质，当n=7时，n S 最大. 方法三：根据131=a ,113S S =，知这个数列的公差不等于零.由于113S S =说明这个数列的和先是单调递增的然后又单调递减.根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，
当113S S =时，只有72
113=+=
n 时，n S 取得最大值. 答案：C
练习：
1.已知在等差数列}{n a 中，311=a ，n S 是它的前n 项的和，2210S S =.
（1）求n S ；
（2）这个数列前多少项的和最大，并求出这个最大值. 解析：（1）∵102110a a a S ++= ，222122a a a S ++= ，又2210S S =， ∴0221211=++a a a ，则031212211=+=+d a a a ，又311=a ，2-=∴d ，∴21322
)1(n n d n n na S n -=-+=。

（2）方法一：由（1）中可知256)16(3222+--=-=n n n S n ，
∴当n ＝16时，n S 有最大值，n S 的最大值是256. 方法二：由1--=n n n S S a ，可得332+-=n a n .
由0332≥+-=n a n a ，得2
33≤
n ；由03121≤+-=+n a n ,得231≥n n ；又n 为正整数，所以当n=16时，n S 有最大值256.
2、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 3=12,S 12>0,S 13<0.
(1)求公差d 的取值范围；
(2)求{a n }前n 项和S n 最大时n 的值.
解析：(1)∵S 12>0,S 13<0,∴111
12a 66d 0,13a 78d 0,a 2d 12.+>⎧⎪+<⎨⎪+=⎩ ∴-247＜d<-3. (2)由()11313713a a S 13a 0,2
+==<知a 7<0, S 12=6(a 1+a 12)=6(a 6+a 7)>0,知a 6>0,
又∵d ＜0,∴n ≤6时，a n >0,n ≥7时，a n <0,
∴S 6最大，即n=6.
3.已知数列{a n }是等差数列，且a 2=-1，a 5=5.
(1)求{a n }的通项a n . (2)求{a n }前n 项和S n 的最小值.
解：(1)设{a n }的公差为d ，由已知条件，11
a d 1,a 4d 5+=-⎧⎨+=⎩，解得a 1=-3，d=2，所以a n =a 1+(n-1)d=2n-5.
(2)S n=
()
()2
2
1
n n1
na d n4n n24
2
-
+=-=--.
所以n=2时，S n取到最小值-4.。