求等差数列前n项和的最值问题的两种常用解法

求等差数列前n 项和的最值问题的两种常用解法

【必备方法】

1.函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式bn an S n +=2，

通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解，一定注意n 是正整数。

2.邻项变号法：

①0,01<>d a 时，满足⎩⎨⎧≤≥+0

01n n a a 的项数m 使得n S 取得最大值为m S ； ②当0,01>

n n a a 的项数m 使得n S 取得最小值为m S . 【典例示范】

例1、等差数列}{n a 前n 项和为n S ，已知1131,13S S a ==，当n S 最大时，n 的值是( )

(A)5 (B)6 (C)7 (D)8

解：方法一：由113S S =得01154=+++a a a ，

根据等差数列性质可得087=+a a ，

根据首项等于13可推知这个数列递减，

从而得到0,087<>a a ，故n=7 时，n S 最大.

方法二：由113S S =可得d a d a 55113311+=+，把131=a 代入得2-=d ，故n n n n n S n 14)1(132+-=--=，根据二次函数性质，当n=7时，n S 最大. 方法三：根据131=a ,113S S =，知这个数列的公差不等于零.由于113S S =说明这个数列的和先是单调递增的然后又单调递减.根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，

当113S S =时，只有72

113=+=

n 时，n S 取得最大值. 答案：C

练习：

1.已知在等差数列}{n a 中，311=a ，n S 是它的前n 项的和，2210S S =.

（1）求n S ；

（2）这个数列前多少项的和最大，并求出这个最大值. 解析：（1）∵102110a a a S ++= ，222122a a a S ++= ，又2210S S =， ∴0221211=++a a a ，则031212211=+=+d a a a ，又311=a ，2-=∴d ，∴21322

)1(n n d n n na S n -=-+=。 （2）方法一：由（1）中可知256)16(3222+--=-=n n n S n ，

∴当n ＝16时，n S 有最大值，n S 的最大值是256. 方法二：由1--=n n n S S a ，可得332+-=n a n .

由0332≥+-=n a n a ，得2

33≤

n ； 由03121≤+-=+n a n ,得231≥n n ； 又n 为正整数，所以当n=16时，n S 有最大值256.

2、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 3=12,S 12>0,S 13<0.

(1)求公差d 的取值范围；

(2)求{a n }前n 项和S n 最大时n 的值.

解析：(1)∵S 12>0,S 13<0,∴111

12a 66d 0,13a 78d 0,a 2d 12.+>⎧⎪+<⎨⎪+=⎩ ∴-247＜d<-3. (2)由()11313713a a S 13a 0,2

+==<知a 7<0, S 12=6(a 1+a 12)=6(a 6+a 7)>0,知a 6>0,

又∵d ＜0,∴n ≤6时，a n >0,n ≥7时，a n <0,

∴S 6最大，即n=6.

3.已知数列{a n }是等差数列，且a 2=-1，a 5=5.

(1)求{a n }的通项a n . (2)求{a n }前n 项和S n 的最小值.

解：(1)设{a n }的公差为d ，由已知条件，11

a d 1,a 4d 5+=-⎧⎨+=⎩，解得a 1=-3，d=2，所以a n =a 1+(n-1)d=2n-5.

(2)S n=

()

()2

2

1

n n1

na d n4n n24

2

-

+=-=--.

所以n=2时，S n取到最小值-4.