高中数学复习全套

高中数学复习全套 Written by Peter at 2021 in January

集合一定义

集合是高中数学中最原始的不定义的概念，只给出描述性的说明。某些确定的且不同的对象集在一起就成为集合。组成集合的对象叫做元素。

二集合的抽象表示形式

用大写字母A，B，C……表示集合；用小写字母a，b，c……表示元素。

三元素与集合的关系

有属于，不属于关系两种。元素a属于集合A，记作a A

∈；元素a不属于集合A，记作a A

∉。

四几种集合的命名

有限集：含有有限个元素的集合；

无限集：含有无限个元素的集合；

空集：不包含任何元素的集合叫做空集，用∅表示；

；整数集：Z；

自然数集：N；正整数集：N*或N

+

有理数集：Q；实数集：R。

五集合的表示方法

(一) 列举法：把元素一一列举在大括号内的表示方法，

例如：{a,b,c}。

注意：凡是以列举法形式出现的集合，往往考察元素的互异性。

(二) 描述法：有以下两种描述方式

1．代号描述：

【例】方程2x3x+2=0

-的所有解组成的集合，可表示为{x|x2-

3x+2=0}。x是集合中元素的代号，竖线也可以写成冒号或者分号，竖线后面的式子的作用是描述集合中的元素符合的条件。

2．文字描述：将说明元素性质的一句话写在大括号内。

【例】{大于2小于5的整数}；描述法表示的集合一旦出现，首先需要分析元素的意义，也就说要判断元素到底是什么。

(三) 韦恩图法：用图形表示集合定义了两个集合

之间的所有关系。

1．子集：如果属于A的所有元素都属于B，那么A就叫做B的子集，记作：A B

⊆，如图1-1所示。图1-1

子集有两种极限情况：(1)当A成为空集时，A仍为B的子集；

(2)当A和B相等时，A仍为B的子集。

真子集：如果所有属于A的元素都属于B，而且Ｂ中至少有一个元素不属于A，那么A叫做B的真子集，记作A B或A B

⊂。

真子集也是子集，和子集的区别之处在于A B

≠。对于同一个集合，其真子集的个数比子集少一个。

(1)求子集或真子集的个数，由n各元素组成的集合，

有2n个子集，有2n -1个真子集；

(2)空集的考查：凡是提到一个集合是另一个集合的子集，作为子集

的集合首先可以是空集，A B ⊆的等价形式主要有：

B B A A B A == ，。

2．交集：由两个集合的公共元素组成的集合，叫做这两个集合的交

集，记作B A ，读作A 交B ，如图

1-2所示。

图1-2 图1-3 图1-4

3．并集：由两个集合所有元素组成的集合，叫做这两个集合的并

集，记作B A ，读作A 并B ，如图1-3所示。

4．补集：由所有不属于Ａ的元素组成的集合，叫做Ａ在全集Ｕ中的

补集，记作U C A ，读作A 补，如图1-4所示。

德摩根公式 ：

();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.

(四) 区间表示法：数轴上的一段数组成的集合可以用区间表示，区

间分为开区间和闭区间，开区间用小括号表示，是大于或小于的意思；

闭区间用中括号表示，是大于等于或小于等于的意思；【例】(2，3)，

[2,3]，(2,3]，[2，3]．．．

第二章 函数

一 映射与函数的基本概念

(一) 映 射

A 集合中的每个元素按照某种对应法则在

B 集合中都能找到唯一的元

素和它对应，这种对应关系叫做从A 集合到B 集合的映射。A 中的元素叫

做原象，B 中的相应元素叫做象。

在A 到B 的映射中，从A 中元素到B 中元素的对应，可以多对一，不

可以一对多。

图2-1是映射 图2-2是一一映射 图2-3不是映射

(Ⅰ)求映射(或一一映射)的个数，m 个元素的集合到n 个元素的集合

的映射的个数是n m 。

(Ⅱ)判断是映射或不是映射：可以多对一，不可以一对多。

(二) 函数的概念

定义域到值域的映射叫做函数。如图2-4。高中阶段，函数用f(x)

来表示：即x 按照对应法则f 对应的函数值为f(x)．函数有解析式和图

像两种具体的表示形式。偶尔也用表格表示函数。

函数三要素：定义域A ：x 取值范围组成的集合。值域B ：y 取值范

围组成的集合。对应法则f ：y 与x 的对应关系。有解析式和图像和映射

三种表示形式

函数与普通映射的区别在于：

(1)两个集合必须是数集；

(2)不能有剩余的象，即每个函数值y

都能找到相应的自变量x 与其对应。

图2- 4

二 定义域题型 (一) 具体函数：即有明确解析式的函数，定义域的考查有两种形式 直接考查：主要考解不等式。利用：在()f x 中()0f x ≥；在

()()g x f x 中，()0f x ≠；在log ()a f x 中，()0f x >；在tan ()f x 中，()2f x k ππ≠+

；在0()f x 中， ()0f x ≠；在 x a 与log a x 中0a >且1a ≠，列不等式求解。

(二)抽象函数：只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全

相同。

三 值域题型

(一) 常规函数求值域：画图像，定区间，截段。

常规函数有：一次函数，二次函数，反比例函数，指数对数函数，

三角函数，对号函数。

(二) 非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域。

解题步骤：(1)换元变形；

(2)求变形完的常规函数的自变量取值范围；

(3)画图像，定区间，截段。

(三) 分式函数求值域 ：四种题型

(1)cx d y ax b +=

+(0)a ≠ ：则c y a ≠且y R ∈。 (2)(2)cx d y x ax b

+=≥+：利用反表示法求值域。先反表示，再利用x 的范围解不等式求y 的范围。