线性规划常见题型及解法 均值不等式(含答案)

线性规划常见题型及解法

一．基础知识：

(一)二元一次不等式表示的区域

二元一次不等式0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 某一侧的所有点组成的区域，把直线画成虚线表示不包括边界， 0≥++C By Ax 所表示的区域应包括边界，故边界要画成实线.

由于在直线0=++C By Ax 同一侧的所有点（x,y ）,把它的坐标（x,y ）代入C By Ax ++，所得的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点（0,0y x ），从C By Ax ++00的正负即可判断0≥++C By Ax 表示直线哪一侧的平面区域。通常代特殊点（0，0）。 （二）线性规划

(1)不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z =A x +B y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于z =A x +B y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.

另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.

(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.

(3)那么，满足线性约束条件的解（x ,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（11,y x ）和（22,y x ）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.

线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行

(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：

1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.

2.设z =0，画出直线l 0.

3.观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解.

4.最后求得目标函数的最大值及最小值. (5) 利用线性规划研究实际问题的解题思路：

首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.

然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解. 最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.

线性规划是新教材中新增的内容之一，由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下常见题型。

一、求线性目标函数的取值范围

例1、 若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪

≤⎨⎪+≥⎩

，则z=x+2y 的取值范围是

（ ）

A 、[2,6]

B 、[2,5]

C 、[3,6]

D 、（3,5]

二、求可行域的面积

例2、不等式组

260

30

2

x y

x y

y

+-≥

⎧

⎪

+-≤

⎨

⎪≤

⎩

表示的平面区域的面积为（）

A、4

B、1

C、5

D、无穷大

三、求可行域中整点个数

例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）

A、9个

B、10个

C、13个

D、14个

解：|x|＋|y|≤2等价于

2(0,0)

2(0,0)

2(0,0)

2(0,0) x y x y

x y x y

x y x y

x y x y

+≤≥≥

⎧

⎪-≤≥

⎪

⎨

-+≤≥⎪

⎪--≤

⎩

作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D

四、求线性目标函数中参数的取值范围

例4、已知x、y满足以下约束条件

5

50

3

x y

x y

x

+≥

⎧

⎪

-+≤

⎨

⎪≤

⎩

，使z=x+ay(a>0)

取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）

A、－3

B、3

C、－1

D、1

解：如图，作出可行域，作直线l：x+a y＝0，要使目标函数z=x+a y(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选 D

五、求非线性目标函数的最值

例5、已知x、y满足以下约束条件

220

240

330

x y

x y

x y

+-≥

⎧

⎪

-+≥

⎨

⎪--≤

⎩

，则z=x2+y2的

最大值和最小值分别是（）

A、13，1

B、13，2

C、13，4

5

D

、

5

解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，

故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0

的距离的平方，即为4

5

，选 C

六、求约束条件中参数的取值范围

例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（）

A、（-3,6）

B、（0,6）

C、（0,3）

D、（-3,3）

解：|2x－y＋m|＜3等价于

230

230

x y m

x y m

-++>

⎧

⎨

-+-<

⎩

由右图可知

33

30

m

m

+>

⎧

⎨

-<

⎩

,