五年级奥数.数论.余数的性质(A级).学生版
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三大余数定理:
(1) 余数的加法定理
a 与
b 的和除以
c 的余数,等于a,b 分别除以c 的余数之和,或这个和除以c 的余数。
例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23+16=39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。 例如:23,19除以5的余数分别是3和4,所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2
(2) 余数的减法定理
a 与
b 的差除以
c 的余数,等于a,b 分别除以c 的余数之差。
例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23-16=7除以5的余数等于2,两个余数差3-1=2.
当余数的差不够减时时,补上除数再减。
例如:23,14除以5的余数分别是3和4,23-14=9除以5的余数等于4,两个余数差为3+5-4=4
(3) 余数的乘法定理
a 与
b 的乘积除以
c 的余数,等于a,b 分别除以c 的余数的积,或者这个积除以c 所得的余数。
例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23×
16除以5的余数等于3×1=3。 当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
例如:23,19除以5的余数分别是3和4,所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数,即2.
乘方:如果a 与b 除以m 的余数相同,那么n a 与n b 除以m 的余数也相同.
例题精讲
知识结构
余数的性质
【例1】在1995,1998,2000,2001,2003中,若其中几个数的和被9除余7,则将这几个数归为一组.这样的数组共有______组.
【巩固】号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?
【例2】有一个整数,用它去除70,110,160所得到的3个余数之和是50,那么这个整数是______.
【巩固】用自然数n去除63,91,129得到的三个余数之和为25,那么n=________.
【例3】六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱,一起到新华书店购买《成语大词典》.一看定价才发现有5个人带的钱不够,但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本,丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本.这种《成语大词典》的定价是________元.
【巩固】商店里有六箱货物,分别重15,16,18,19,20,31千克,两个顾客买走了其中的五箱.已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍,那么商店剩下的一箱货物重量是________千克.
【例4】求478296351
⨯⨯除以17的余数.
【巩固】
求4373091993⨯⨯被7除的余数.
【例 5】 求12644319÷的余数
【巩固】 求89143除以7的余数.
【例 6】 20102009
200920092009⨯⨯⨯ 个的个位数字是________.