《等比数列的性质》导学案
等比数列(优秀导学案)
§6.3 等比数列 考试要求 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系． 知识梳理1．等比数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，此时，G 2＝ab .2．等比数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1. 3．等比数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (m ，n ∈N *)．(2)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .(3)若等比数列前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列(m 为偶数且q ＝－1除外)．(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .(5)若⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1，则等比数列{a n }递增． 若⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1，则等比数列{a n }递减． 常用结论1．若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 也是等比数列． 2．等比数列{a n }的通项公式可以写成a n ＝cq n ，这里c ≠0，q ≠0.3．等比数列{a n }的前n 项和S n 可以写成S n ＝Aq n －A (A ≠0，q ≠1,0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)等比数列的公比q 是一个常数，它可以是任意实数．( × )(2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( × )(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a .( × ) (4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( × )教材改编题1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 4＝12，则公比q 等于( ) A ．－12 B ．－2 C ．2 D ．±12答案 D解析 设等比数列的公比为q ，∵{a n }是等比数列，a 2＝2，a 4＝12， ∴a 4＝a 2q 2，∴q 2＝a 4a 2＝14， ∴q ＝±12. 2．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 11＋2a 6a 8＋a 3a 13＝25，则a 6＋a 8＝______. 答案 5解析 ∵{a n }是等比数列，且a 1a 11＋2a 6a 8＋a 3a 13＝25，∴a 26＋2a 6a 8＋a 28＝(a 6＋a 8)2＝25.又∵a n >0，∴a 6＋a 8＝5.3．已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________． 答案 1,3,9或9,3,1解析 设这三个数为a q ，a ，aq ， 则⎩⎨⎧ a ＋a q ＋aq ＝13，a ·a q ·aq ＝27，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，q ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，q ＝3， ∴这三个数为1,3,9或9,3,1.题型一 等比数列基本量的运算例1 (1)(2020·全国Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S n a n等于( )A ．2n －1B ．2－21－n C ．2－2n －1D ．21－n －1 答案 B解析 方法一 设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＝a 6－a 4a 5－a 3＝2412＝2. 由a 5－a 3＝a 1q 4－a 1q 2＝12a 1＝12，得a 1＝1.所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1，S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n －1， 所以S n a n ＝2n －12n －1＝2－21－n . 方法二 设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3q 2－a 3＝12，①a 4q 2－a 4＝24， ② ②①得a 4a 3＝q ＝2.将q ＝2代入①，解得a 3＝4.所以a 1＝a 3q 2＝1，下同方法一． (2)(2019·全国Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝________.答案 1213解析 设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 24＝a 6，所以(a 1q 3)2＝a 1q 5，所以a 1q ＝1，又a 1＝13，所以q ＝3，所以S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝13×(1－35)1－3＝1213.教师备选1．已知数列{a n }为等比数列，a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，则a 4＝________.答案 54或24解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1·q ＝6，6a 1＋a 1·q 2＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝3，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝3，a 4＝a 1·q 3＝2×33＝54或a 4＝3×23＝3×8＝24.2．已知数列{a n }为等比数列，其前n 项和为S n ，若a 2a 6＝－2a 7，S 3＝－6，则a 6等于() A ．－2或32 B ．－2或64C ．2或－32D ．2或－64答案 B解析 ∵数列{a n }为等比数列，a 2a 6＝－2a 7＝a 1a 7，解得a 1＝－2，设数列的公比为q ，S 3＝－6＝－2－2q －2q 2，解得q ＝－2或q ＝1，当q ＝－2时，则a 6＝(－2)6＝64，当q ＝1时，则a 6＝－2.思维升华 (1)等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．(2)等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q. 跟踪训练1 (1)(2020·全国Ⅱ)数列{a n }中，a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，若a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，则k 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 C解析 a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，令m ＝1，则a n ＋1＝a 1a n ＝2a n ，∴{a n }是以a 1＝2为首项，q ＝2为公比的等比数列，∴a n ＝2×2n －1＝2n .又∵a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，∴2k ＋1(1－210)1－2＝215－25， 即2k ＋1(210－1)＝25(210－1)，∴2k ＋1＝25，∴k ＋1＝5，∴k ＝4.(2)(2020·新高考全国Ⅱ)已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8.①求{a n }的通项公式；②求a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1.解 ①设{a n }的公比为q (q >1)．由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32(舍去)． 所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ，n ∈N *.②由于(－1)n －1a n a n ＋1＝(－1)n －1×2n ×2n ＋1 ＝(－1)n －122n ＋1，故a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n －1·22n ＋1＝23[1－(－22)n ]1－(－22)＝85－(－1)n 22n ＋35. 题型二 等比数列的判定与证明例2 已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n ，设b n ＝a n n. (1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由；(3)求{a n }的通项公式．解 (1)由条件可得a n ＋1＝2(n ＋1)na n . 将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4.将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12.从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列，由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a n n，即b n ＋1＝2b n ， 又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得a n n＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1. 教师备选已知各项都为正数的数列{a n }满足a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n .(1)证明：数列{a n ＋a n ＋1}为等比数列；(2)若a 1＝12，a 2＝32，求{a n }的通项公式．(1)证明 a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n ，所以a n ＋2＋a n ＋1＝3(a n ＋1＋a n )，因为{a n }中各项均为正数，所以a n ＋1＋a n >0，所以a n ＋2＋a n ＋1a n ＋1＋a n＝3， 所以数列{a n ＋a n ＋1}是公比为3的等比数列．(2)解 由题意知a n ＋a n ＋1＝(a 1＋a 2)3n －1＝2×3n －1，因为a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n ，所以a n ＋2－3a n ＋1＝－(a n ＋1－3a n )，a 2＝3a 1，所以a 2－3a 1＝0，所以a n ＋1－3a n ＝0，故a n ＋1＝3a n ，所以4a n ＝2×3n －1，a n ＝12×3n －1. 思维升华 等比数列的三种常用判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则{a n }是等比数列． (3)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．跟踪训练2 S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知a 4＝9a 2，S 3＝13，且公比q >0.(1)求a n 及S n ；(2)是否存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)易知q ≠1，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 3＝9a 1q ，a 1(1－q 3)1－q ＝13，q >0，解得a 1＝1，q ＝3，∴a n ＝3n －1，S n ＝1－3n 1－3＝3n －12. (2)假设存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列，∵S 1＋λ＝λ＋1，S 2＋λ＝λ＋4，S 3＋λ＝λ＋13，∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝12， 此时S n ＋12＝12×3n ， 则S n ＋1＋12S n ＋12＝12×3n ＋112×3n ＝3， 故存在常数λ＝12，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是以32为首项，3为公比的等比数列． 题型三 等比数列的性质例3 (1)若等比数列{a n }中的a 5，a 2 019是方程x 2－4x ＋3＝0的两个根，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 2 023等于( )A.2 0243B ．1 011 C.2 0232D ．1 012答案 C解析 由题意得a 5a 2 019＝3，根据等比数列性质知，a 1a 2 023＝a 2a 2 022＝…＝a 1 011a 1 013＝a 1 012a 1 012＝3，于是a 1 012＝123，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 2 023＝log 3(a 1a 2a 3…a 2 023) 11011232023=l 3·og 3.2⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12等于( )A ．40B ．60C ．32D ．50答案 B解析 数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即4,8，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，∴S 12＝4＋8＋16＋32＝60.教师备选1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝__________. 答案 73解析 设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠－1，由等比数列前n 项和的性质可知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，∴S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3， 又由已知得S 6＝3S 3，∴S 9－S 6＝4S 3，∴S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73. 2．已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.答案 2解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80， 解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2. 思维升华 (1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n 项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．跟踪训练3 (1)(2022·安康模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝1，S 30＝7，则S 40等于( )A ．5B ．10C ．15D ．－20答案 C解析 易知等比数列{a n }的前n 项和S n 满足S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30，…成等比数列．设{a n }的公比为q ，则S 20－S 10S 10＝q 10>0，故S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30，…均大于0. 故(S 20－S 10)2＝S 10·(S 30－S 20)，即(S 20－1)2＝1·(7－S 20)⇒S 220－S 20－6＝0.因为S 20>0，所以S 20＝3.又(S 30－S 20)2＝(S 20－S 10)(S 40－S 30)，所以(7－3)2＝(3－1)(S 40－7)，故S 40＝15.(2)在等比数列{a n }中，a n >0，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝4，a 1a 2·…·a 8＝16，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 8的值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16 答案 A解析 ∵a 1a 2…a 8＝16，∴a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝2，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 8＋⎝⎛⎭⎫1a 2＋1a 7＋⎝⎛⎭⎫1a 3＋1a 6＋⎝⎛⎭⎫1a 4＋1a 5 ＝12(a 1＋a 8)＋12(a 2＋a 7)＋12(a 3＋a 6)＋12(a 4＋a 5)＝12(a 1＋a 2＋…＋a 8)＝2. 课时精练1．(2022·合肥市第六中学模拟)若等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝1，a 4＋a 5＝8，则a 7等于( )A.643 B ．－643C.323 D ．－323答案 A解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＋a 5a 1＋a 2＝q 3＝8，所以q ＝2，又a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝1，所以a 1＝13，所以a 7＝a 1×q 6＝13×26＝643.2．已知等比数列{a n }满足a 1＝1，a 3·a 5＝4(a 4－1)，则a 7的值为( )A ．2B ．4 C.92 D ．6答案 B解析 根据等比数列的性质得a 3a 5＝a 24，∴a 24＝4(a 4－1)，即(a 4－2)2＝0，解得a 4＝2.又∵a 1＝1，a 1a 7＝a 24＝4，∴a 7＝4.3．(2022·开封模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝32n －1＋r ，则r 的值为() A.13 B ．－13 C.19 D ．－19答案 B解析 由等比数列前n 项和的性质知，S n ＝32n －1＋r ＝13×9n ＋r ，∴r ＝－13. 4．(2022·天津北辰区模拟)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第四天走的路程为( )A ．6里B ．12里C ．24里D ．48里答案 C解析 由题意可知，该人所走路程形成等比数列{a n }，其中q ＝12， 因为S 6＝a 1⎝⎛⎭⎫1－1261－12＝378， 解得a 1＝192，所以a 4＝a 1·q 3＝192×18＝24. 5．(多选)设等比数列{a n }的公比为q ，则下列结论正确的是( )A ．数列{a n a n ＋1}是公比为q 2的等比数列B ．数列{a n ＋a n ＋1}是公比为q 的等比数列C ．数列{a n －a n ＋1}是公比为q 的等比数列D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列 答案 AD解析 对于A ，由a n a n ＋1a n －1a n＝q 2(n ≥2)知数列{a n a n ＋1}是公比为q 2的等比数列； 对于B ，当q ＝－1时，数列{a n ＋a n ＋1}的项中有0，不是等比数列；对于C ，当q ＝1时，数列{a n －a n ＋1}的项中有0，不是等比数列；对于D ，1a n ＋11a n＝a n a n ＋1＝1q， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列．6．(多选)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝2S n (n ∈N *)，则有( )A ．S n ＝3n －1B ．{S n }为等比数列C ．a n ＝2·3n －1D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －2，n ≥2 答案 ABD解析 由题意，数列{a n }的前n 项和满足a n ＋1＝2S n (n ∈N *)，当n ≥2时，a n ＝2S n －1，两式相减，可得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)＝2a n ，可得a n ＋1＝3a n ，即a n ＋1a n＝3(n ≥2)， 又a 1＝1，则a 2＝2S 1＝2a 1＝2，所以a 2a 1＝2， 所以数列{a n }的通项公式为 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －2，n ≥2. 当n ≥2时，S n ＝a n ＋12＝2·3n －12＝3n －1， 又S 1＝a 1＝1，适合上式，所以数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n －1，又S n ＋1S n ＝3n 3n －1＝3， 所以数列{S n }为首项为1，公比为3的等比数列，综上可得选项ABD 是正确的．7．(2022·嘉兴联考)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则a 1＝________. 答案 1解析 由于S 3＝7，S 6＝63知公比q ≠1，又S 6＝S 3＋q 3S 3，得63＝7＋7q 3.∴q 3＝8，q ＝2.由S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－8)1－2＝7， 得a 1＝1.8．已知{a n }是等比数列，且a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 7＝________；若公比q ＝13，则a 4＝________. 答案 3 81解析 由{a n }是等比数列，得a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243，故a 7＝3，a 4＝a 7q 3＝81. 9．(2022·徐州模拟)已知等差数列{a n }的公差为2，其前n 项和S n ＝pn 2＋2n ，n ∈N *.(1)求实数p 的值及数列{a n }的通项公式；(2)在等比数列{b n }中，b 3＝a 1，b 4＝a 2＋4，若{b n }的前n 项和为T n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n ＋16为等比数列．(1)解 S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝na 1＋n (n －1) ＝n 2＋(a 1－1)n ，又S n ＝pn 2＋2n ，n ∈N *，所以p ＝1，a 1－1＝2，即a 1＝3，所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.(2)证明 因为b 3＝a 1＝3，b 4＝a 2＋4＝9，所以q ＝3，所以b n ＝b 3·q n －3＝3n －2，所以b 1＝13， 所以T n ＝13(1－3n )1－3＝3n －16， 所以T n ＋16＝3n 6， 又T 1＋16＝12，所以T n ＋16T n －1＋16＝3n 63n －16＝3(n ≥2)， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n ＋16是以12为首项，3为公比的等比数列． 10．(2022·威海模拟)记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋1.设b n ＝a n ＋1－2a n .(1)求证：数列{b n }为等比数列；(2)设c n ＝|b n －100|，T n 为数列{c n }的前n 项和．求T 10.(1)证明 由S n ＋1＝4a n ＋1，得S n ＝4a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，两式相减得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)，所以a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)，所以b n b n －1＝a n ＋1－2a n a n －2a n －1＝2(a n －2a n －1)a n －2a n －1 ＝2(n ≥2)，又a 1＝1，S 2＝4a 1＋1，故a 2＝4，a 2－2a 1＝2＝b 1≠0，所以数列{b n }为首项与公比均为2的等比数列．(2)解 由(1)可得b n ＝2·2n －1＝2n ，所以c n ＝|2n －100|＝⎩⎪⎨⎪⎧100－2n ，n ≤6，2n －100，n >6， 所以T 10＝600－(21＋22＋…＋26)＋27＋28＋29＋210－400＝200－2(1－26)1－2＋27＋28＋29＋210 ＝200＋2＋28＋29＋210＝1 994.11．(多选)(2022·滨州模拟)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2a n －2(n ≥3)，则下列结论正确的是( )A ．数列{a n ＋1＋a n }为等比数列B ．数列{a n ＋1－2a n }为等比数列C ．a n ＝2n ＋1＋(－1)n 3D ．S 20＝23(410－1) 答案 ABD解析 因为a n ＝a n －1＋2a n －2(n ≥3)，所以a n ＋a n －1＝2a n －1＋2a n －2＝2(a n －1＋a n －2)，又a 1＋a 2＝2≠0，所以{a n ＋a n ＋1}是等比数列，A 正确；同理a n －2a n －1＝a n －1＋2a n －2－2a n －1＝－a n －1＋2a n －2＝－(a n －1－2a n －2)，而a 2－2a 1＝－1， 所以{a n ＋1－2a n }是等比数列，B 正确；若a n ＝2n ＋1＋(－1)n 3，则a 2＝23＋(－1)23＝3， 但a 2＝1≠3，C 错误；由A 知{a n ＋a n －1}是等比数列，且公比为2，因此数列a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，…仍然是等比数列，公比为4，所以S 20＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＝2(1－410)1－4＝23(410－1)，D 正确． 12．(多选)(2022·黄冈模拟)设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 7·a 8>1，a 7－1a 8－1<0.则下列结论正确的是( ) A ．0<q <1B ．a 7·a 9>1C ．S n 的最大值为S 9D ．T n 的最大值为T 7 答案 AD解析 ∵a 1>1，a 7·a 8>1，a 7－1a 8－1<0， ∴a 7>1,0<a 8<1，∴0<q <1，故A 正确；a 7a 9＝a 28<1，故B 错误；∵a 1>1,0<q <1，∴数列为各项为正的递减数列，∴S n 无最大值，故C 错误；又a 7>1,0<a 8<1，∴T 7是数列{T n }中的最大项，故D 正确．13．(2022·衡阳八中模拟)设T n 为正项等比数列{a n }(公比q ≠1)前n 项的积，若T 2 015＝T 2 021，则log 3a 2 019log 3a 2 021＝________. 答案 15解析 由题意得，T 2 015＝T 2 021＝T 2 015·a 2 016a 2 017a 2 018a 2 019a 2 020a 2 021，所以a 2 016a 2 017a 2 018a 2 019a 2 020a 2 021＝1，根据等比数列的性质，可得a 2 016a 2 021＝a 2 017a 2 020＝a 2 018a 2 019＝1，设等比数列的公比为q ，所以a 2 016a 2 021＝(a 2 021)2q 5＝1⇒a 2 021＝52,q a 2 018a 2 019＝(a 2 019)2q ＝1⇒a 2 019＝12,q 所以log 3a 2 019log 3a 2 021＝123523log 1.5log q q= 14.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，……，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为________．答案 132解析 由题意，得正方形的边长构成以22为首项,22为公比的等比数列，现已知共含有1 023个正方形，则有1＋2＋…＋2n －1＝1 023，所以n ＝10，所以最小正方形的边长为⎝⎛⎭⎫2210＝132.15．(多选)在数列{a n }中，n ∈N *，若a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”，下列关于“等差比数列”的判断正确的是( )A ．k 不可能为0B ．等差数列一定是“等差比数列”C ．等比数列一定是“等差比数列”D ．“等差比数列”中可以有无数项为0答案 AD解析 对于A ，k 不可能为0，正确；对于B ，当a n ＝1时，{a n }为等差数列，但不是“等差比数列”，错误； 对于C ，当等比数列的公比q ＝1时，a n ＋1－a n ＝0，分式无意义，所以{a n }不是“等差比数列”，错误；对于D ，数列0,1,0,1,0,1，…，0,1是“等差比数列”，且有无数项为0，正确．16．已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，数列{a n b n }的前n项和为(2n －1)·3n ＋12. (1)分别求出数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，∀n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值． 解 (1)因为a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，所以2a 2＝a 1＋a 3－8，即2a 1q ＝a 1＋a 1q 2－8，所以q 2－2q －3＝0， 所以q ＝3或q ＝－1，又q >1，所以q ＝3， 所以a n ＝2·3n －1(n ∈N *)．因为a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(2n －1)·3n ＋12， 所以a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝(2n －3)·3n －1＋12(n ≥2)， 两式相减，得a n b n ＝2n ·3n －1(n ≥2)， 因为a n ＝2·3n －1，所以b n ＝n (n ≥2)，当n ＝1时，由a 1b 1＝2及a 1＝2，得b 1＝1(符合上式)，所以b n ＝n (n ∈N *)．(2)因为数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公比为13的等比数列，所以S n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13＝34⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n <34. 因为∀n ∈N *，S n ≤m 恒成立，所以m ≥34，即实数m 的最小值为34.。
新教材人教B版选择性必修三 5.3.1.2 等比数列的性质 学案
第2课时等比数列的性质必备知识·素养奠基1.如果x,G,y是等比数列,那么G为x与y的等比中项,且G2=xy,G=±.2.等比数列的项之间的关系等比数列{a n},m,n,p,q∈N+两项关系a n=a m q n-m三项关系若m+n=2p,则a n·a m=四项关系若m+n=p+q,则a m·a n=a p·a q等比数列两项之间的关系a n=a m q n-m中,当n≤m时成立吗?提示:成立,如a2=a5q2-5=a5q-3=.3.等比数列的单调性a1>0 q>1递增数列a1<0 0<q<1a1>0 0<q<1递减数列a1<0 q>1当q=1,q<0时,分别是什么数列?提示:当q=1时是常数列;当q<0时是摆动数列.1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)等比数列{a n}中a2·a6=. ( )(2)若G是a与b的等比中项,则G=. ( )(3)若a,G,b满足G2=ab,则a,G,b一定是等比数列. ( )提示:(1)×.a 2·a6=.(2)×.G=±.(3)×.如0,0,0满足02=0×0,但不是等比数列.2.若三个正数1,b,16成等比数列,则b=________.【解析】因为三个正数1,b,16成等比数列,所以b==4. 答案:43.在等比数列{a n}中,已知a7·a12=10,则a8·a9·a10·a11=________. 【解析】因为a7·a12=a8·a11=a9·a10=10,所以a8·a9·a10·a11=102=100.答案:100关键能力·素养形成类型一等比中项及其应用【典例】1.若三个实数a,b,c成等比数列,其中a=3-,c=3+,则b= ( )A.2B.-2C.±2D.42.设等差数列{a n}的公差d不为0,a1=9d,若a k是a1与a2k的等比中项,则k等于 ( )A.2B.4C.6D.8【思维·引】1.利用b是a,c的等比中项求值.2.将a k,a2k用d表示出来,再利用等比中项列式求值.【解析】1.选C.三个实数a,b,c成等比数列,则b2=ac=(3-)(3+)=9-5=4,则b=±2.2.选B.因为a n=(n+8)d,又因为=a1·a2k,所以[(k+8)d]2=9d·(2k+8)d,解得k=-2(舍去)或k=4.【内化·悟】等比数列中,a1和a5的等比中项是哪一项?a2和a8呢?提示:a1和a5的等比中项是a3,a2和a8的等比中项是a5.【类题·通】应用等比中项解题的两个关注点(1)如果出现等比数列两项的乘积时,就要注意考虑是否能转化为等比中项表示;(2)等比中项一般不唯一,但是如果在等比数列中,还要关注项的关系,如a4是a2,a6的等比中项,而a4=a2q2,因此a4与a2的符号相同.【习练·破】-1,a,b,c,-25是等比数列,则abc=________.【解析】设该等比数列的公比为q,因为b是a,c的等比中项,也是-1,-25的等比中项,所以b2=-1×(-25)=25,所以b=±5,又因为b=-1×q2<0,所以b=-5,所以abc=b3=-125.答案:-125【加练·固】已知数列-1,a1,a2,-4成等差数列,-1,b1,b2,b3,-4成等比数列,求的值.【解析】因为-1,a1,a2,-4成等差数列,设公差为d,则a2-a1=d=×[(-4)-(-1)]=-1,因为-1,b1,b2,b3,-4成等比数列,所以=(-1)×(-4)=4,所以b 2=±2.若设公比为q,则b2=(-1)q2,所以b2<0.所以b2=-2,所以==.类型二等比数列性质的应用【典例】1.若数列{a n}是递增的等比数列,a2a5=20,a1+a6=9,则a11= ( )A.5B.C.D.2.已知各项都为正数的等比数列{a n}满足:a3a7=2,a3=1,则a2=( )A. B. C. D.2【思维·引】1.利用a2a5=a1a6转化求值.2.利用a3a7=求出q,进而求出a2.【解析】1.选C.因为数列{a n}是递增的等比数列,a2a5=20,a1+a6=9,所以a1a6=a2a5=20,所以a1,a6是一元二次方程x2-9x+20=0的两个根,且a1<a6,解得a1=4,a6=5,所以q5=,a11=a1q10=4×=.2.选B.各项都为正数的等比数列{a n}满足:a 3a7=2,所以=2,所以q=,因为a3=1,所以a2==.【内化·悟】用数列项的哪个要素的关系来确定所用的性质?提示:需要用数列项的下标关系,即项数的关系.【类题·通】1.解答等比数列问题的基本方法——基本量法(1)基本步骤:运用方程思想列出基本量a1和q的方程组,解出a1和q,然后利用通项公式求解.(2)优缺点:适用面广,入手简单,思路清晰,但有时运算稍繁.2.利用等比数列的性质解题(1)基本思路:充分发挥项的“下标”的指导作用,分析等比数列项与项之间的关系,选择恰当的性质解题.(2)优缺点:简便快捷,但是适用面窄,有一定的思维含量.【习练·破】(2020·眉山高二检测)已知数列{a n}为正项的递增等比数列,a1+a6=12,a2a5=20,则= ( )A.5B.10C.25D.510【解析】选C.设等比数列{a n}的公比为q.因为数列{a n}为正项的递增等比数列,a1+a6=12,a2a5=20,所以解得a1=2,q=,所以===q10=25.【加练·固】(2020·惠州高二检测)已知数列{a n}是等比数列,函数y=x2-5x+3的两个零点是a1,a5,则a3= ( )A.1B.-1C.±D.【解析】选D.由根与系数的关系可知a1+a5=5,a1·a5=3,则a1>0,a5>0,从而a 3>0,且=a1·a5=3,所以a3=.类型三等比数列的实际应用【典例】朱载堉(1536-1611),明太祖九世孙,音乐家、数学家、天文历算家,在他多达百万字的著述中以《乐律全书》最为著名,在西方人眼中他是大百科全书式的学者王子.他对文艺的最大贡献是创建了“十二平均律”,此理论被广泛应用在世界各国的键盘乐器上,包括钢琴,故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻祖”.“十二平均律”是指一个八度有13个音,相邻两个音之间的频率之比相等,且最后一个音频率是最初那个音频率的2倍,设第二个音的频率为f2,第八个音的频率为f8,则等于( )A. B. C. D.【思维·引】化归成数列中项、公比的问题求解.【解析】选A.依题意13个音的频率成等比数列,记为{a n},设公比为q,则a13=a1q12,且a13=2a1,所以q=,所以=q6=()6=.【内化·悟】在应用性问题中,判断是否为等比数列模型的关键是什么?提示:关键是看增长(缩减)是否按照同一比例.【类题·通】关于等比数列在应用问题中的应用首先根据题意判断是否是等比数列模型,其次分析等比数列的首项、公比、项数,最后利用等比数列的通项公式计算解题.【习练·破】(2020·延庆高二检测)某企业生产A,B两种型号的产品,每年的产量分别为10万支和40万支,为了扩大再生产,决定对两种产品的生产线进行升级改造,预计改造后的A,B两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%,那么至少经过________年后,A产品的年产量会超过B 产品的年产量(参考数据:lg 2≈0.301 0) ( )A.6B.7C.8D.9【解析】选B.设经过n年后,A产品的年产量会超过B产品的年产量,则10×(1+50%)n>40×(1+20%)n,化为:>4,取对数可得:n>=≈≈6.2.所以至少经过7年后,A产品的年产量会超过B产品的年产量.【加练·固】某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m倍,那么该单位此年的月平均增长率是________.【解析】由题意可知,这一年中的每一个月的产值成等比数列,因为=m,所以月平均增长率为-1.答案:-1类型四等比数列与等差数列的综合应用角度1 灵活设项解题【典例】三个数成等比数列,其积为64,如果第一个数与第三个数各减去1,则这三个数成等差数列,求这三个数.【思维·引】利用等比数列设出前三项,表示出等差数列后求未知数. 【解析】因为三个数成等比数列,设三个数为,a,aq,则×a×aq=a3=64,所以a=4,所以三个数为,4,4q,第一个数与第三个数各减去1为-1,4,4q-1,则-1+4q-1=8,即2q2-5q+2=0,解得q=2或,所以这三个数为2,4,8或8,4,2.【素养·探】在利用等比数列设项解题过程中,常常用到核心素养中的数学运算,通过解方程求公比解题.本例中的条件若改为“其积为512,如果第一个数与第三个数各减去2”,试求这三个数.【解析】设三个数依次为,a,aq,因为·a·aq=512,所以a=8.因为+(aq-2)=2a,所以2q2-5q+2=0,所以q=2或q=,所以这三个数为4,8,16或16,8,4.角度2 等差、等比数列性质【典例】已知{a n}是等差数列,{b n}是正项等比数列,且b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5, b5=a4+2a6,则a2 018+b9= ( )A.2 274B.2 074C.2 226D.2 026【思维·引】分别用等差数列的首项a1、公差d、等比数列的公比q 表示出已知条件,求出a1,d,q后求a2 018+b9.【解析】选A.设等差数列{a n}的公差为d,正项等比数列{b n}的公比为q>0,因为b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6,所以q2=q+2,q3=2a1+6d,q4=3a1+13d,解得q=2,a1=d=1,则a2 018+b9=1+2 017+28=2 274.【类题·通】等比数列项的设法(1)三数成等比数列常设成,a,aq或a,aq,aq2.(2)若四个数成等比数列,可设为,a,aq,aq2.若四个正数成等比数列,可设为,,aq,aq3.【习练·破】设公差不为零的等差数列{a n}满足a3=7,且a1-1,a2-1,a4-1成等比数列,则a10等于________.【解析】设等差数列{a n}的公差为d,则d≠0,则a1=a3-2d=7-2d,a2=a3-d=7-d,a4=a3+d=7+d,由于a1-1,a2-1,a4-1成等比数列,则(a2-1)2=(a1-1)(a4-1),即(6-d)2=(6-2d)(6+d),化简得d2-2d=0,由于d≠0,解得d=2,因此,a10=a3+7d=7+7×2=21.答案:21【加练·固】已知数列{a n}是由实数构成的等比数列,a1=2,且a2-4,a3,a4成等差数列,则{a n}的公比为________.【解析】因为数列{a n}是由实数构成的等比数列,a1=2,且a2-4,a3,a4成等差数列,所以2a3=(a2-4)+a4,即2×2q2=2q-4+2q3,整理,得(q-2)(q2+1)=0,所以{a n}的公比q=2.答案:2课堂检测·素养达标1.对任意等比数列{a n},下列说法一定正确的是( )A.a1,a3,a9成等比数列B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列D.a3,a6,a9成等比数列【解析】选D.设等比数列的公比为q,因为==q 3,即=a3a9,所以a3,a6,a9成等比数列.2.已知数列{a n}是等比数列,若=4,则a5= ( )A.2B.4C.2D.【解析】选B.根据题意,数列{a n}是等比数列,设其公比为q,若=4,则=a3q2=a5=4.3.(2020·全国Ⅰ卷)设{a n}是等比数列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则a6+a7+a8= ( )A.12B.24C.30D.32【解题指南】根据已知条件求得q的值,再由a6+a7+a8=a1q5(1+q+q2)可求得结果.【解析】选D.设等比数列的公比为q,则a 1+a2+a3=a1=1,a 2+a3+a4=a1q+a1q2+a1q3=a1q=q=2,因此,a 6+a7+a8=a1q5+a1q6+a1q7=a1q5=q5=32.4.(2020·景德镇高二检测)在正项等比数列{a n}中,若a3a4a5=3π,则sin(log3a1+ log3a2+…+log3a7)的值为________.【解析】在正项等比数列{a n}中,若a3a4a5=3π=,所以a4=.所以sin(log3a1+log3a2+…+log3a7)=sin[log3(a1a2·…·a7)]=sin(log 3)=sin(log3)=sin=sin=.答案:【新情境·新思维】已知数列{}是等比数列,公比为q,则数列{a n} ( )A.是等差数列,公差为log3qB.是等差数列,公差为3qC.是等比数列,公比为log3qD.既不是等差数列,也不是等比数列【解析】选A.因为数列{}是等比数列, 所以==q,所以a n+1-a n=log3q(常数),所以数列{a n} 是等差数列,公差为log3q.。
等比数列的性质教案及学案.doc
242等比数列性质学案一 .复习引入：问题：已知等比数列｛%｝中，a「a〔= 9 ,求a2-a b和值，从中你有何结论？二.新课：等比数列性质探究类比等差数列的定义和性质，猜想等比数列对应的性质，并证明.性质等差数列（〃/m.p.q eN+>等比数列（n,m, p,q G N+(1)角标性质若沸部p q则有____________________(特别：当2n=p+q时，有 ___________________________________________ /称与是祀附肇中项)若dr材p c\则有___________________(特别：当2n=p+q时，有_____________________________________________ , 称勾为---------------------)(2)通项公式的推广a n -a m =（n-m）d,（d 为公差）即a,i ^a m+（n-m）d%= ___________ （q为公比）a m即«…=--------------1.证明性质（1）在等曲列中｛南｝+ = +w 则p q a n -a m = a p -a q/（n,m,p,q^N+）2.证明性质(2)在等比数列回｝公比为q,则有* = qf,(n,m eN+)例：1.在等比数列｛勾｝中，已知缶=5, a9a w = 100 ,求即8 2.在等比数列｛心｝中，a3 =2,a5 = 8,求给3.在等比数列也,｝中，b3=2,求该数列前五项之积4.在等比数列｛%｝中，％=1,,公比力1,若a m= a2a3,求m值.注意点：等比数列角标性质中要求等号两侧项数相同随堂练习：1.已知等差数列｛a"｝满足a? - a., + a n = 4,数列｛如｝是等比数列，且Z?7 = a7,求姑“值2.已知等比数列｛aJ满足乎=。
4，求a i a53.已知等比数列｛aJ中各项均为正数，且缶但& + ”4“7 = 18，求log3印+log3“i值4.已知各项均为正数的等比数列｛a“｝中，=5,。
等比数列性质教学教案
等比数列性质教学教案一、教学目标：1. 理解等比数列的概念。
2. 掌握等比数列的性质。
3. 学会运用等比数列的性质解决问题。
二、教学内容：1. 等比数列的概念。
2. 等比数列的性质。
3. 等比数列的通项公式。
4. 等比数列的前n项和公式。
5. 等比数列的应用。
三、教学重点：1. 等比数列的概念及性质。
2. 等比数列的通项公式和前n项和公式。
四、教学难点：1. 等比数列的性质的理解和应用。
2. 等比数列的通项公式和前n项和公式的推导。
五、教学方法：1. 讲授法：讲解等比数列的概念、性质、通项公式和前n项和公式。
2. 案例分析法：分析等比数列的应用实例。
3. 练习法：让学生通过练习题巩固所学知识。
六、教学过程：1. 引入：通过生活中的实例，引导学生思考等比数列的概念。
2. 讲解：讲解等比数列的概念、性质、通项公式和前n项和公式。
3. 案例分析：分析等比数列的应用实例，让学生理解等比数列的实际意义。
4. 练习：让学生通过练习题，巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调等比数列的性质和应用。
七、课后作业：1. 等比数列的概念和性质的复习。
2. 等比数列的通项公式和前n项和公式的应用。
八、教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和准确性。
2. 学生对等比数列的概念和性质的理解程度。
3. 学生对等比数列的通项公式和前n项和公式的掌握程度。
九、教学反思：在课后，教师应反思本节课的教学效果，是否达到了教学目标，学生是否掌握了等比数列的概念和性质，以及教学过程中是否存在需要改进的地方。
十、教学拓展：1. 等比数列在实际生活中的应用。
2. 等比数列与其他数列的关系。
3. 等比数列的进一步研究。
六、教学策略：1. 采用互动式教学，鼓励学生积极参与讨论，提高学生的思维能力。
2. 通过数学软件或教具展示等比数列的性质，增强学生的直观理解。
3. 设计具有梯度的练习题，让学生在练习中不断深化对等比数列性质的理解。
七、教学准备：1. 准备等比数列的相关教学素材，如PPT、教学案例、练习题等。
《等比数列的概念》 导学案
《等比数列的概念》导学案一、学习目标1、理解等比数列的定义，能够根据定义判断一个数列是否为等比数列。
2、掌握等比数列的通项公式，并能运用公式解决相关问题。
3、了解等比数列的性质，能灵活运用性质简化运算。
二、学习重难点1、重点（1）等比数列的定义和通项公式。
（2）等比数列性质的应用。
2、难点（1）等比数列通项公式的推导。
（2）灵活运用等比数列的定义、通项公式和性质解决问题。
三、知识回顾1、数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列。
2、数列的通项公式：如果数列\（＼｛a_n\｝＼）的第\（n\）项\（a_n\）与\（n\）之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的通项公式。
四、新课导入观察以下几个数列：（1）＼（1\），＼（2\），＼（4\），＼（8\），＼（16\），＼（＼cdots\）（2）＼（5\），＼（25\），＼（125\），＼（625\），＼（＼cdots\）（3）＼（＼frac{1}｛2}＼），＼（＼frac{1}｛4}＼），＼（＼frac{1}｛8}＼），＼（＼frac{1}｛16}＼），＼（＼cdots\）思考：这些数列有什么共同特点？五、等比数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母\（q\）表示（＼（q\neq 0\））。
数学表达式：＼（＼frac{a_{n+1}｝｛a_n} ＝ q\）（＼（n\in N^＼），＼（q\）为常数）例如，在数列（1）中，＼（＼frac{2}｛1} ＝ 2\），＼（＼frac{4}｛2} ＝ 2\），＼（＼frac{8}｛4} ＝ 2\），＼（＼cdots\），公比\（q ＝ 2\）。
六、等比数列的通项公式若等比数列\（＼｛a_n\｝＼）的首项为\（a_1\），公比为\（q\），则其通项公式为：＼（a_n ＝ a_1q^｛n-1}＼）推导过程：＼＼begin{align}a_2 ＆＝ a_1q\＼a_3 ＆＝ a_2q ＝ a_1q^2\＼a_4 ＆＝ a_3q ＝ a_1q^3\＼＆＼cdots\＼a_n ＆＝ a_{n-1}q ＝ a_1q^｛n-1}＼end{align}＼七、等比数列通项公式的应用例 1：在等比数列\（＼｛a_n\｝＼）中，＼（a_1 ＝ 2\），＼（q ＝3\），求\（a_5\）。
2020版数学人教B版必修5学案：第二章 2.3.1 第2课时 等比数列的性质 Word版含解析
第2课时 等比数列的性质学习目标 1.灵活应用等比数列的通项公式推广形式及变形.2.理解等比数列的有关性质，并能用相关性质简化计算.知识点一 等比数列通项公式的推广和变形 等比数列{a n }的公比为q ，则 a n ＝a 1·q n -1 ① ＝a m ·q n -m ② ＝a 1q·q n ③其中当②中m ＝1时，即化为①.当③中q ＞0且q ≠1时，y ＝a 1q ·q x为指数型函数．知识点二 等比数列常见性质(1)对称性：a 1a n ＝a 2a n －1＝a 3a n －2＝…＝a m ·a n -m +1(n >m 且n ，m ∈N ＋)； (2)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ·a l ＝a m ·a n ； (3)若m ，p ，n 成等差数列，则a m ，a p ，a n 成等比数列；(4)在等比数列{a n }中，连续取相邻k 项的和(或积)构成公比为q k (或2k q )的等比数列；(5)若{a n }是等比数列，公比为q ，则数列{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }都是等比数列，且公比分别是q ，1q，q 2.(6)若{a n }，{b n }是项数相同的等比数列，公比分别是p 和q ，那么{a n b n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 也都是等比数列，公比分别为pq 和pq.1．a n ＝a m q n -m (n ，m ∈N ＋)，当m ＝1时，就是a n ＝a 1q n -1.( √ ) 2．等比数列{a n }中，若公比q <0，则{a n }一定不是单调数列．( √ ) 3．若{a n }，{b n }都是等比数列，则{a n ＋b n }是等比数列．( × )4．若数列{a n }的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，则{a n }是等比数列．( × )题型一 等比数列通项公式的推广应用 例1 已知等比数列{a n }中． (1)若a 4＝2，a 7＝8，求a n ；(2)若{a n }为递增数列，且a 25＝a 10，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，求通项公式a n . 解 (1)∵a 7a 4＝q 7-4＝82，即q 3＝4，∴q ＝34，∴225444333422(2)2n n n n n a a q----=⋅=⋅=⋅= (n ∈N ＋)．(2)由a 25＝a 10＝a 5·q 10-5，且a 5≠0， 得a 5＝q 5，即a 1q 4＝q 5， 又q ≠0，∴a 1＝q .由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1得，2a n (1＋q 2)＝5qa n ， ∵a n ≠0，∴2(1＋q 2)＝5q ， 解得q ＝12或q ＝2.∵a 1＝q ，且{a n }为递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2.∴a n ＝2·2n -1＝2n (n ∈N ＋)．反思感悟 (1)应用a n ＝a m q n －m ，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求a 1.(2)等比数列的单调性由a 1，q 共同确定，但只要单调，必有q >0.跟踪训练1 已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7等于( ) A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 答案 B解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得3(1＋q 2＋q 4)＝21， 解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42，故选B.题型二等比数列的性质及其应用例2已知{a n}为等比数列．(1)若a n>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；(2)若a n>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．解(1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a23＋2a3a5＋a25＝(a3＋a5)2＝25，∵a n>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5.(2)根据等比数列的性质，得a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10.反思感悟抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地解决问题．跟踪训练2设各项均为正数的等比数列{a n}满足a4a8＝3a7，则log3(a1a2…a9)等于() A．38B．39C．9 D．7答案 C解析∵a4·a8＝a5·a7＝3a7且a7≠0，∴a5＝3，∴log3(a1a2…a9)＝log3a95＝log339＝9.题型三由等比数列衍生的新数列例3已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于() A．4 2 B．6 C．7 D．5 2答案 D解析∵{a n}为等比数列，∴a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9也成等比数列，∴(a4a5a6)2＝(a1a2a3)(a7a8a9)＝5×10，又{a n}各项均为正数，∴a4a5a6＝5 2.反思感悟借助新数列与原数列的关系，整体代换可以减少运算量．跟踪训练3等比数列{a n}中，若a12＝4，a18＝8，则a36为()A ．32B ．64C ．128D ．256 答案 B解析 由等比数列的性质可知，a 12，a 18，a 24，a 30，a 36成等比数列，且a 18a 12＝2，故a 36＝4×24＝64.等比数列的实际应用典例 某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值． (1)用一个式子表示n (n ∈N ＋)年后这辆车的价值．(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ 解 (1)n 年后车的价值(万元)依次设为：a 1，a 2，a 3，…，a n ， 由题意，得a 1＝13.5(1－10%)，a 2＝13.5(1－10%)2，…. 由等比数列定义，知数列{a n }是等比数列， ∴n 年后车的价值为a n ＝13.5×(0.9)n 万元． (2)由(1)得a 4＝a 1·q 4＝13.5×0.94≈8.9(万元)， ∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元．[素养评析] (1)等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题．(2)发现和提出问题，建立和求解模型，是数学建模的核心素养的体现.1．在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，则公比q 为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 答案 A解析 由a 5＝a 2q 3，得q 3＝8，所以q ＝2.2．等比数列{a n }中，若a 2a 6＋a 24＝π，则a 3a 5等于( ) A.π4 B.π3 C.π2 D.4π3 答案 C解析 a 2a 6＝a 24＝a 3a 5，∴a 3a 5＝π2.3．已知等比数列{a n }共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是( ) A.32 B. 2 C ．2 D ．2 2 答案 C解析 奇数项之积为2，偶数项之积为64，得a 1a 3a 5a 7a 9＝2，a 2a 4a 6a 8a 10＝64，则a 2a 4a 6a 8a 10a 1a 3a 5a 7a 9＝q 5＝32，则q ＝2，故选C.4．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________． 答案 8解析 设这8个数组成的等比数列为{a n }，则a 1＝1，a 8＝2. 插入的6个数的积为a 2a 3a 4a 5a 6a 7 ＝(a 2a 7)·(a 3a 6)·(a 4a 5) ＝(a 1a 8)3＝23＝8.5．已知a n ＝2n ＋3n ，判断数列{a n }是不是等比数列？ 解 不是等比数列．∵a 1＝21＋31＝5，a 2＝22＋32＝13，a 3＝23＋33＝35， ∴a 1a 3≠a 22，∴数列{a n }不是等比数列．1．解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法．2．所谓通式通法，指应用通项公式，前n 项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量．3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.一、选择题1．在等比数列{a n }中，若a 2 019＝8a 2 016，则公比q 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 答案 A解析 ∵a 2 019＝8a 2 016＝a 2 016·q 3，∴q 3＝8，∴q ＝2.2．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1·a 15的值为( ) A ．100B ．－100C ．10 000D ．－10 000答案 C解析 ∵lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝6，∴a 38＝106，∴a 8＝102＝100.∴a 1a 15＝a 28＝10 000.3．(2018·大连模拟)在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1等于( )A ．2B ．4 C. 2 D ．2 2 答案 B解析 在等比数列{a n }中，a 2a 4＝a 23＝1，又a 2＋a 4＝52，数列{a n }为单调递减数列，所以a 2＝2，a 4＝12，所以q 2＝a 4a 2＝14，所以q ＝12(舍负)，a 1＝a 2q ＝4.4．等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6.则a 8等于( ) A ．64 B ．128 C ．256 D ．512 答案 B解析 a 2＋a 3＝q (a 1＋a 2)＝3q ＝6， ∴q ＝2，∴a 1＋a 2＝a 1＋2a 1＝3a 1＝3， ∴a 1＝1.∴a 8＝27＝128.5．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q 为( )A.13 B ．3 C ．±13 D ．±3 答案 B解析 设等差数列为{a n }，公差为d ，d ≠0. 则a 23＝a 2·a 6，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )， 化简得d 2＝－2a 1d ，∵d ≠0，∴d ＝－2a 1，∴a 2＝－a 1，a 3＝－3a 1，∴q ＝a 3a 2＝3.6．(2018·长春模拟)公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．11 答案 C解析 由题意得，2a 5a 6＝18，a 5a 6＝9，∵a 1a m ＝9，∴a 1a m ＝a 5a 6，∴m ＝10，故选C.7．(2018·济南模拟)在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( )A ．12B ．13C ．14D ．15 答案 C解析 设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12，可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q3n -3＝324，因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14，故选C. 二、填空题8．设数列{a n }为公比q >1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 6＋a 7＝________. 答案 18解析 由题意得a 4＝12，a 5＝32，∴q ＝a 5a 4＝3.∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2＝⎝⎛⎭⎫12＋32×32＝18. 9．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________. 答案 －6解析 由题意知，a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6. ∵a 1，a 3，a 4成等比数列，∴a 23＝a 1a 4， ∴(a 1＋4)2＝(a 1＋6)a 1， 解得a 1＝－8，∴a 2＝－6.10．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9＝________. 答案 8解析 由等比数列的性质，得a 3a 11＝a 27，∴a 27＝4a 7.∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 7＝a 7＝4. 再由等差数列的性质知b 5＋b 9＝2b 7＝8.11．在等比数列{a n }中，若a 1a 2a 3a 4＝1，a 13a 14a 15a 16＝8，则a 41a 42a 43a 44＝________. 答案 1 024解析 设等比数列{a n }的公比为q ， a 1a 2a 3a 4＝a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 41·q 6＝1，① a 13a 14a 15a 16＝a 1q 12·a 1q 13·a 1q 14·a 1q 15＝a 41·q 54＝8，②②÷①得q 48＝8，q 16＝2，∴a 41a 42a 43a 44＝a 1q 40·a 1q 41·a 1q 42·a 1q 43＝a 41·q 166＝a 41·q 6·q 160＝(a 41·q 6)(q 16)10＝210＝1 024. 三、解答题12．已知数列{a n }是等比数列，a 3＋a 7＝20，a 1a 9＝64，求a 11的值． 解 ∵{a n }为等比数列，∴a 1·a 9＝a 3·a 7＝64. 又∵a 3＋a 7＝20，∴a 3＝4，a 7＝16或a 3＝16，a 7＝4.①当a 3＝4，a 7＝16时，a 7a 3＝q 4＝4，此时a 11＝a 3q 8＝4×42＝64.②当a 3＝16，a 7＝4时，a 7a 3＝q 4＝14，此时a 11＝a 3q 8＝16×⎝⎛⎭⎫142＝1. 13．在等比数列{a n }(n ∈N ＋)中，a 1＞1，公比q ＞0.设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0. (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项公式a n ； (3)试比较a n 与S n 的大小． (1)证明 因为b n ＝log 2a n ，所以b n ＋1－b n ＝log 2a n ＋1－log 2a n ＝log 2a n ＋1a n ＝log 2q (q ＞0)为常数，所以数列{b n }为等差数列且公差d ＝log 2q . (2)解 因为b 1＋b 3＋b 5＝6，所以(b 1＋b 5)＋b 3＝2b 3＋b 3＝3b 3＝6，即b 3＝2. 又因为a 1＞1， 所以b 1＝log 2a 1＞0，又因为b 1·b 3·b 5＝0，所以b 5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 3＝2，b 5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋2d ＝2，b 1＋4d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，d ＝－1，因此S n ＝4n ＋n (n －1)2·(－1)＝9n －n 22.又因为d ＝log 2q ＝－1， 所以q ＝12，b 1＝log 2a 1＝4，即a 1＝16，所以a n ＝25－n (n ∈N ＋)．(3)解 由(2)知，a n ＝25－n ＞0，当n ≥9时，S n ＝n (9－n )2≤0，所以当n ≥9时，a n ＞S n .又因为a 1＝16，a 2＝8，a 3＝4，a 4＝2，a 5＝1，a 6＝12，a 7＝14，a 8＝18，S 1＝4，S 2＝7，S 3＝9，S 4＝10，S 5＝10，S 6＝9，S 7＝7，S 8＝4， 所以当n ＝3,4,5,6,7,8时，a n <S n ； 当n ＝1,2或n ≥9，n ∈N ＋时，a n ＞S n .14．已知等比数列{a n }的公比为q (q ≠－1)，记b n ＝a m (n －1)＋1＋a m (n －1)＋2＋…＋a m (n －1)＋m ，c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2·…·a m (n －1)＋m (m ，n ∈N ＋)，则以下结论一定正确的是( ) A ．数列{b n }为等差数列，公差为q m B ．数列{b n }为等比数列，公比为q 2m C ．数列{c n }为等比数列，公比为qm 2 D ．数列{c n }为等比数列，公比为qm m 答案 C解析 b n ＝a m (n －1)＋1·(1＋q ＋q 2＋…＋q m -1)，由q ≠－1易知b n ≠0，b n ＋1b n ＝a mn ＋1a m (n －1)＋1＝q m ，故数列{b n }为等比数列，公比为q m ，选项A ，B 均错误； c n ＝a m m (n －1)＋1·q 1＋2＋…＋(m -1)，c n ＋1c n ＝a m mn ＋1a m m (n －1)＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a mn ＋1a m (n －1)＋1m ＝(q m )m ＝2m q ，故数列{c n }为等比数列，公比为2m q ，D 错误．故选C.15．在等差数列{a n }中，公差d ≠0，a 1，a 2，a 4成等比数列，已知数列a 1，a 3，1k a ，2k a ，…，n k a ，…也成等比数列，求数列{k n }的通项公式．解 由题意得a 22＝a 1a 4，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，得d (d －a 1)＝0， 又d ≠0，∴a 1＝d .又a 1，a 3，1k a ，2k a ，…，n k a ，…成等比数列， ∴该数列的公比q ＝a 3a 1＝3dd＝3，∴n k a ＝a 1·3n +1.又n k a ＝a 1＋(k n －1)d ＝k n a 1，∴数列{k n }的通项公式为k n ＝3n +1(n ∈N ＋)．。
等比数列的性质学案
等比数列（二）——等比数列的性质学习目标：利用等比数列的性质解决相关问题学习重点：等比数列的性质源于等比数列的定义和通项公式 一、知识梳理2．等比数列的项的对称性有穷等比数列中，与首末两项“等距离”相等的两项之积等于首末两项的积（若有中间项，则等于中间项的平方），即12n a a a ⋅=⋅ k a =⋅ 212(,)n a n +=为正奇数(,,n k N *∈ )k n <3．等比数列运算的性质（1）若{}n a 是公比为q 的等比数列，则①{}n c a ⋅（c 是非零常数）是公比为 的等比数列 ②{}n a 是公比为 的等比数列 ③1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比为 的等比数列 ④在{}n a 中，每隔()k k N *∈项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列是公比为的等比数列⑤{}mn a （m 是整数常数）是公比为 的等比数列⑥若数列{}n a 是正项等比数列时，数列{}m n a （m 是整数常数）是公比为 的等比数列⑦若数列{}n a 是正项等比数列时，数列{}lg n a 是公差为 的等差数列 ⑧若,,(,,)m n p m n p N ∈*成等差数列，则,,m n p a a a 成 数列（2）若{}n a 、{}n b 分别是公比为12q q 、的等比数列，则数列{}2n a b ⋅是公比为 的等比数列二、例题分析例1 （1）已知等比数列{}n a 中，26101,a a a = （2）在等比数列{}n a 中，若312a =，98a =，求39a a ⋅ 求567a a a ⋅⋅的值变式练习： 在等比数列{}n a 中，59,a a 是方程271870x x -+=的两个根，试求7a例2 已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数例3 已知等比数列{}n a 中，11a =，公比为q ，且1n n n b a a +=- （1）判断{}n b 是否为等比数列？说明理由（2）求数列的通项公式三、课堂小结四、巩固练习1．已知等比数列{}n a 中，200820141a a ==-，则2011a =（ ） A ．-1 B ．1 C ．1± D ． 以上都不对．2．已知数列{}n a 是公比1q ≠的等比数列，则{}{}{}111,,,n n n n n n n a a a a a na a +++⎧⎫+-⎨⎬⎩⎭这四个数列中，是等比数列的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．已知数列{}n a 是等比数列，且243546350,225,n a a a a a a a a a >++=+的值等于（ ） A ．5 B ．10 C ．15 D ．204．若数列{}n a 是公差为2的等差数列，则数列{2}na 是（ ）A ．公差为4的等差数列B ．公比为2的等比数列C ．公比为4的等比数列D ．不是等差数列也不是等比数列 5．等比数列{}n a 的各项为正，公比q 满足234454,a a q a a +=+则的值为（ ）A ．14B ．2C ．12± D ．126．若,,a b c 成等差数列，有成等比数列，则它们的公比为7．在160与5之间插入四个数，使它们成等比数列，则这四个数分别是 8．在两个数1、25之间插入3个数，使它们成等比数列，则中间的数等于 9．在等比数列{}n a 中，25109,243,a a a ==求10．{}n a 为等比数列，且19371164,20,a a a a a =+=求的值11．已知数列{}n a 满足lg 35n a n =+，试用定义证明{}n a 是等比数列12．设数列{}n a 的前n 项和22n n n s a =- （1）求34,a a（2）证明：{}12n n a a +-是等比数列（3）求{}n a 的通项。
等比数列的性质学案
2.4 等比数列第二课时等比数列的性质（学案）【学习目标】1. 掌握等比数列的等比中项及简单性质.2. 会用等比数列的性质解决实际问题，以及一些综合性较强的问题.3．激情投入，积极参与，每位同学都要有所收获.【重点、难点】重点：等比数列的简单性质.难点：用等比数列的性质解决实际问题，以及一些综合性较强的问题.【学法指导】通过自主学习和小组探究的方式利用等差数列的性质类比出等比数列的性质，并且会利用性质解决后面相应的习题，在学习的过程中体会类比的数学思想.【学习过程】一、课前自主学习1.旧知复习等差数列等比数列定义符合语言通项公式1通项公式22.课前预习及类比探究学习等差数列等比数列定义中项符号表示=+m+pnq=+npm2二、新知识探究1等比中项思考：类比等差中项的概念，你能说出什么是等比中项吗？【典例讲解】例1．三个数成等比数列,它的和为14,它们的积为64,求这三个数.探究：除了这种方法，你还能用其他的方法来解决此题吗？2等比数列的性质①等比数列的性质：若m+n=p+k ，则思考：在等比数列中，若m+n=p+k ，则k p n m a a a a ,,,之间有什么关系呢？②等比数列的性质：若p n m 2=+，则思考：在等比数列中，若p m m 2=+,则p n m a a a ,,之间有什么关系呢？【典例讲解】例2. 已知{n a }是等比数列，且252,0645342=++>a a a a a a a n , 求53a a +．巩固练习1.在等比数列}{n a 中，已知5127=⋅a a ，则=⋅⋅⋅111098a a a a （ ） A.10. B.25. C.50 D.52.在等比数列{}n a 中，已知7125a a = ，求891011a a a a【课后思考】1.已知{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列，则{}n n b a ⋅是等比数列吗？2.｛a n ｝是等比数列，C 是不为0的常数，数列{}n ca 是等比数列吗？3.已知{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 是等比数列吗？【课时小结】1、对等比中项的的正确理解，合理运用在解题时非常重要.2、若),*,,,(N q p n m q p n m ∈+=+则________________， 若k nm =+2)*,,(N k n m ∈，则____________，是使用最频繁的，最重要的两个性质.3、等比数列性质的学习可以通过类比等差数列来进行. 【课后反思】我的收获与疑惑。
等比数列性质教学教案
等比数列性质教学教案第一章：等比数列的定义与性质1.1 等比数列的定义引导学生回顾数列的概念，引入等比数列的定义。
通过示例，让学生理解等比数列的特点，即相邻两项的比值相等。
1.2 等比数列的性质探讨等比数列的通项公式，引导学生理解通项公式的推导过程。
引导学生理解等比数列的求和公式，并通过示例进行解释。
第二章：等比数列的求和2.1 等比数列的前n项和公式引导学生推导等比数列的前n项和公式。
通过示例，让学生理解前n项和公式的应用，并能够熟练运用。
2.2 等比数列的求和性质引导学生探讨等比数列的求和性质，例如：等比数列的求和与项数的关系，等比数列的求和与首项和公比的关系等。
第三章：等比数列的图像与性质3.1 等比数列的图像引导学生绘制等比数列的图像，并理解图像的特点。
引导学生通过图像分析等比数列的性质，例如：增长速度，收敛性等。
3.2 等比数列的性质与应用引导学生探讨等比数列的性质，例如：等比数列的单调性，有界性等。
引导学生运用等比数列的性质解决实际问题，例如：人口增长模型，利息计算等。
第四章：等比数列的扩展4.1 等比数列的推广引导学生思考等比数列的推广，例如：等比数列的变体，广义等比数列等。
引导学生理解广义等比数列的性质与应用。
4.2 等比数列与其他数列的关系引导学生探讨等比数列与其他数列的关系，例如：等差数列与等比数列的关系，斐波那契数列与等比数列的关系等。
第五章：等比数列的综合应用5.1 等比数列在数学中的应用引导学生探讨等比数列在数学中的应用，例如：数论中的等比数列，图论中的等比数列等。
引导学生通过解决数学问题，加深对等比数列的理解。
5.2 等比数列在其他学科中的应用引导学生探讨等比数列在其他学科中的应用，例如：物理学中的等比数列，经济学中的等比数列等。
引导学生通过解决实际问题，理解等比数列的实际意义。
第六章：等比数列的练习题解析6.1 基础练习题解析选取一些基础的等比数列练习题，引导学生运用所学的知识进行解答。
等比数列性质学案
等比数列性质学案教学目标掌握等比数列的简单性质，以及初步了解整体代换思想一通项公式推广等比数列{}n a 中，已知m a ，公比q ，求n a （m ＜n ）练习1已知等比数列{}n a 中，===q a a 则,17,573＿2 已知等比数列{}n a 中，===n a q a 则通项,2,34＿3在p,q 之间插入两个数，使它们组成等比数列，则公比q=二.等比数列性质1.已知等比数列{}n a 中，首项1a ，公比q则=n a a 1=-12n a a=-23n a a……由此你可以得到什么结论？2.若m.,n,,p,q,*∈N ,且m+n=p+q,则n m a a +=3. 已知等比数列{}n a 中，首项1a ，公比q.则=+km k a a=++m k m k a a 2 ， =++mk m k a a 23 由此可知m k m k m k k a a a a 32,,,+++…构成什么数列？已知一个等比数列的首项为1a ，公比为q(1)将数列的前m 项去掉，其余各项组成的数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是什么？（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是什么？（3）取出数列中的所有项数为7的倍数的各项，组成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是什么？(4)数列,,,543432321a a a a a a a a a ++++++…是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是什么？（5）练习456.已知等比数列{}n a7变式. 公比为q 的等比数列,求证；2)1(1321-=n n n n qa a a a a三整体思想的题型8 设公比为2的等比数列{}n a ，如果,97741m a a a a = 那么=99963a a a a （ ）A m 332 B. m 662 C 33m D 66m9 已知数列{}n a 中，1,12111==-a a a n n ，求n a10 22，求数列的通项公式。
《等比数列》导学案
§2.4 《等比数列》导学案【学习目标】〖知识目标〗1.正确认识和理解等比数列的定义，明确等比数列中公比的概念，探索并掌握等比数列的通项公式.2.懂得将生活中的实例抽象为等比数列模型来解决生活中的实际问题.〖能力目标〗1．通过发现几个具体简单的数列的等比关系，类比于之前的等差数列概念的推导过程，归纳出等比数列的概念，探索出等比数列的通项公式.2．培养学生严密的思维习惯，通过对等比数列的研究，采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学，发挥学生的主体作用，并进一步培养学生善于思考、解决问题的能力.〖情感目标〗1．感受等比数列丰富的现实背景，培养学生勇于探索，实事求是的科学态度.2．进一步激发学生主动参与学习，感受数学文化，激发学生的学习欲望．〖教学重点〗等比数列的定义和通项公式．〖教学难点〗等比数列与指数函数的关系．【学习过程】一．探求新知〖探究一〗：阅读教材48、49页的具体实例①～④，并把各自对应的数列补充完整：①1, 2， 4，，…②1，，，，…③1，，，，…④10000×1.0198，，，，观察这几个数列：对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的比都等于；对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的比都等于；对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的比都等于；对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的比都等于。
共同特点：。
1、等比数列定义：一般地，如果一个数列 叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示．等价数学表达式为：思考讨论：1.等比数列中的项能否为零?2.等比数列的公比q 能否为零?3.常数列是否是等比数列？4.既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？如果存在，你能举出例子吗？2、等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使得a, G , b 成 ，那么G 叫做a 与b 的等比中项。
想一想： 1、G 与a 、b,之间的关系 2、a 、b 的符号有什么特点？3、等比数列通项公式：〖探究二〗：类比等差数列通项公式的推导过程，完成等比数列通项公式的推导： （法一）归纳法等差数列：21314123a a da a da a d =+=+=+L L，由此归纳等差数列的通项公式可得．1(1)n a a n d =+-（法二）累加法2132431n n a a d a a d a a d a a d-ì-=ïïïï-=ïïï-=íïïïïïï-=ïîL L 相加得1(1)n a a n d =+-等比数列：21a a q =〖探究三〗：等比数列与指数函数的关系分别在下面的直角坐标系中，画出通项公式为12-=n n a 的数列的图象和函数12y -=x 的图像．通过画图象并观察图象，我们可以发现：等比数列{}n a 的通项公式11-⋅=n n q a a 的图像是分布在)1q 0(1≠>=且q q qa y n 的图像上的一些 。
等比数列性质学案
等比数列的性质导学案班级： 姓名： 学习目标：1）掌握等比数列的性质，能灵活利用性质做题。
2）掌握等比中项，能够应用等比中项的定义解决问题。
学习重点：理解并掌握等比数列的有关性质。
学习难点：熟练运用等比数列的性质解决问题。
一、温故知新：1、 等差中项：1）x ，A ，y 成等数差列，则2) 等差数列相邻三项的关系 2、等差数列的性质：1）单调性： 2）nm a a =+3)等差数列{}n a 中，若m n p q +=+，则特别的：如果m+n=2p,则 4）与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，即：5）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}{},(,n n n a b ka b k b ±+为非零常数）也成 数列6）在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列，构成的新数列（项数n 3）是 数列。
二、合作探究：1、 等比中项：1）若a ，G ，b 成等比数列，则2）等比数列相邻三项的关系 2、等比数列的常用性质: （1）单调性：11n na a q-==1n a q q =ncq 其中1a c q=为一个不为零的常数。
当0q ≠时，xy q=是一个指数函数。
xycq=是一个非零常数与一个指数函数的积。
因此，从图像上看，表示数列{}ncq 的点都在函数xy cq =的图像上。
因此：1a 0时， 1）01q << 时，是 数列； 2）1q > 时，是 数列； 1a 时，1）01q << 时，是 数列 ； 2）1q> 时，是 数列；当q时，是 数列。
（2）等数比列{}n a 中，nm a a =（3）等数比列{}n a 中，若m n p q +=+，则特别的：如果m+n=2p,则 （4）与首末两项等距离的两项之积等于首末两项之积，即：（5）若{}n a 、{}n b 为等比数列，则{}{}1(0),,,n n n n n n a ka k a b a b ⎧⎫⎧⎫≠⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭{}n a {}mn a （m 是整数常数）成 数列。
2.4.2 等比数列的性质
）
C、60 D、72 2 9 1 2、等比数列的首项为 ，末项为 ，公比为 ，这个数列的项数 n＝（ ） 3 8 3 A 、3 B、4 C、5 D、6 3、已知数列 a，a（1－a）， a(1 a)2 ，…是等比数列，则实数 a 的取值范围是（ A、 a≠1 B、 a≠0 且 a≠1 C、 a≠0 D、 a≠0 或 a≠1 2 4、在 an 为等比数列中， an 0 ， a2 a4 2a3a5 a5 16 ，那么 a3 a5 （ ）
8 27 11、在 和 之间插入三个数，使这五个数成等比数列．求插入的三个数的乘积． 3 2
12、已知三个数成等比数列，其和为 28，其积为 512，求这三个数．
【课后小结】
第 3 页 共 3 页
第 2 页 共 3 页
济南市长清中学
1 1 A．－ B．－2 C．2 D. 2 2 2、已知等比数列{an}中，a3＝－4，a6＝54，则 a9 等于( ) A．54 B．－81 C．－729 D．729 3、将公比为 q 的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列 a1a2，a2a3，a3a4，….则此数 列( ) 2 A．是公比为 q 的等比数列 B．是公比为 q 的等比数列 3 C．是公比为 q 的等比数列 D．不一定是等比数列 2012 4、在等比数列{an}中，an＞0，若 a1a2a3…a2012＝2 ，则 a2a2011＝( ) 1005 1006 A．2 B．4 C．2 D．2 5、在等比数列{an}中，a3a4a5＝3，a6a7a8＝24，则 a9a10a11＝( ) A．48 B．72 C．144 D．192 6、 在等比数列{an}中， 首项 a1<0， 要使数列{an}对任意正整数 n 都有 an＋1>an， 则公比 q 应满足( ) 1 A．q>1 B．0<q<1 C. <q<1 D．－1<q<0 2 二、填空题 2 7、已知 a，b，c，d 成等比数列，且曲线 y＝x －2x＋3 的顶点是(b，c)，则 ad＝________. 8、在等比数列{an}中，an>0，若 a1a5＝16，a4＝8，则 a5＝________. a20 9、在等比数列{an}中，a7a11＝6，a4＋a14＝5，则 ＝________. a10 三、解答题 10、已知数列{an}为等比数列． (1)若 a1＋a2＋a3＝21，a1a2a3＝216，求 an； (2)若 a3a5＝18，a4a8＝72，求公比 q.
导学案030等比数列及其前n项和
等比数列及其前n项和考纲要求1. 理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等比数列与指数函数的关系．考情分析1.等比数列的定义、性质、通项公式及前n项和公式是高考的热点．2.客观题突出“小而巧”，考查学生对基础知识的掌握程度，主观题考查较为全面，在考查基本运算、基本概念的基础上，又注重考查函数与方程、等价转化、分类讨论等思想方法．3.题型既有选择题、填空题又有解答题，难度中等偏高.教学过程基础梳理一、等比数列的相关概念二、等比数列的性质1．通项公式的推广：a n＝a m q m n2．对于任意正整数p、q、r、s，只要满足p＋q＝r＋s，则有.3．若{a n}，{b n}(项数相同)是等比数列，则{λa n}，{1a n }，{a2n}，{a n·b n}，{a nb n}(λ≠0)仍是等比数列．4．三个数成等比数列且积一定，通常设为比较方便．双基自测1．在等比数列{an }中，a 2012＝8a 2009，则公比q 的值为 ( )A ．2B ．3C ．4D ．82．(教材习题改编)等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·6a 等于 ( )A ．4B ．8C ．16D ．323．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝ ( )A ．4·⎝⎛⎭⎫32nB ．4·⎝⎛⎭⎫23nC ．4·⎝⎛⎭⎫32n －1 D ．4·⎝⎛⎭⎫23n －14．(2012·广州调研)已知等比数列{an }的公比是2，a 3＝3，则a 5的值是________．5．(2011·北京高考)在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝4，则公比q ＝________；a 1＋a 2＋…＋a n ＝________.典例分析考点一、等比数列的判断与证明例1.(2011·绵阳二模)在正项数列{a n }中，a 1＝2，点(a n ， a n －1)(n ≥2)在直线x －2y ＝0上，则数列{a n }的前n 项和 S n ＝________.变式1.(2012·长安模拟)已知数列{a n }中，a 1＝23，a 2＝89.当n ≥2时，3a n ＋1＝4a n －a n －1(n ∈N *)．(1)证明：{a n ＋1－a n }为等比数列； (2)求数列{a n }的通项．等比数列的判定方法有：1．定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2)，则{a n }是等比数列．2．中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)， 则数列{a n }是等比数列．考点二、等比数列的基本运算[例2] (2011·全国高考)设等比数列{an }的前n 项和为S n ，已知a 2＝6,a 61＋a 3＝30，求a n 和S n变式2.（2012·金华联考)已知正项数列{a n }为等比数列，且5a 2是a 4与3a 3的等差中项，若a 2＝2，则该数列的前5项的和为 ( ) A.3312B ．31 C.314D ．以上都不正确1．等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，an ，Sn ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．2．解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程．3．在使用等比数列的前n 项和公式时，应根据公比q 的 情况进行分类讨论，切不可忽视q 的取值而盲目用求和公式. 考点三、等比数列的性质[例3] (2012·苏北四市联考)已知一个等比数列前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为243，则该数列的项数为________．变式3.(2012·成都模拟)在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为 ( )A.12B.32C ．1D ．－32变式4.(2012·巴中模拟)已知等比数列{an }中，an >0，若a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，则a 4＋a 5等于 ()A ．16B ．27C ．36D ．82等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”，它们的通项公式和性质有许多相似之处，其中等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比．关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握它们，同时也有利于类比思想的推广．对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算，若能关注通项公式an ＝f (n )的下标n 的大小关系，可简化题目的运算．考题范例(本题满分12分)(2011·湖北)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是等比数列．[解答示范] (1)解 设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15， 解得a ＝5.(2分)所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，由(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)．(4分)故{b n }的第3项为5，公比为2， 由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22， 解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54·2n －1＝5·2n －3.(6分)(2)证明 数列{b n }的前n 项和S n ＝541－2n 1－2＝5·2n －2－54S n ＋54n －2.(8分)所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2.(10分) 因此⎩⎨⎧⎭⎫S n ＋54是以52为首项，公比为2的等比数列．(12分)一个推导利用错位相减法推导等比数列的前n 项和：S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，同乘q 得：qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＋…＋a 1q n，两式相减得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n，∴S n ＝a 11－q n 1－q(q ≠1)．两个防范(1)由a n＋1＝qa n，q≠0并不能立即断言{a n}为等比数列，还要验证a1≠0.(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误．三种方法等比数列的判断方法有：(1)定义法：若a n＋1a n＝q(q为非零常数)或a na n－1＝q(q为非零常数且n≥2且n∈N*)，则{a n}是等比数列．(2)中项公式法：在数列{a n}中，a n≠0且a2n＋1＝a n·a n＋2(n∈N*)，则数列{a n}是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n＝c·q n(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{a n}是等比数列．注：前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列．本节检测1.2＋1与2－1两数的等比中项是()A．1B．－1C．±1 D.1 22．(2011·辽宁高考)若等比数列{a n}满足a n a n＋1＝16n，则公比为()A．2 B．4C．8 D．163．已知数列{a n}，则“a n，a n＋1，a n＋2(n∈N*)成等比数列”是“a2n＋1＝a n a n＋2”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．(2012·太原模拟)各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝2，S3n＝14，则S4n等于()A．80 B．30C．26 D．165．等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，且4a1,2a2，a3成等差数列，则S6＝() A．63 B．64C．31 D．326．已知各项不为0的等差数列{a n}，满足2a3－a27＋2a11＝0，数列{b n}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.7．在等比数列{a n}中，若a1＝1，a4＝－8，|a1|＋|a2|＋…＋|a n|＝127，则n＝________.自我反思。
等比数列的定义及性质 导学案
比一比看谁表现最好！拼一拼力争人人过关！
启明中学高效课堂 高二 数学学科导学案
班级： 姓名： 日期: 课题： 等比数列的定义及性质 编号： 小组： 评价：
编制人： 李鹏 审核人： 代成学
学习目标：
1、掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导；
2、通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系。
使用说明：
1、认真研读教材2521P P -内容，完成下面学内容；
2、参照手头资料探讨等比数列的性质，能够灵活运用等比数列的性质。
定向导学*互动展示
12。
高中数学《等比数列的性质》导学案
12
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
课后课时精练
数学 ·必修5
【跟踪训练 1】 在等比数列{an}中，已知 a7·a12＝5， 则 a8·a9·a10·a11 等于( )
A．10 B．25 C．50 D．75 解析 运用等比数列的性质，若 m＋n＝p＋q，则 am·an ＝ap·aq 可得 a8·a11＝a9·a10＝a7·a12＝5，所以 a8·a9·a10·a11＝25. 故选 B.
数学 ·必修5
拓展提升 运用等比数列的性质应注意的问题
运用等比数列的性质 am·an＝ak·al＝a2t (m，n，k，l，t∈ N*)的关键是发现各项的序号之间满足关系 m＋n＝k＋l＝ 2t，它们往往涉及其中的四项或三项，注意不要和等差数列 相应的性质混淆．
13
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
7
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
2．做一做
(1)(教材改编 P53 练习 T4)已知等比数列{an}中，a4＝7，
a6＝21，则 a8 的值( )
A．35 B．63 C．21 3 D．±21 3
(2)等比数列{an}中，a5a7a9＝27，则 a7＝___3_____.
□ ①{can}(c 为任一不为零的常数)是公比为____0____0_7_|_q_| ___的等比数列． □ ③{amn }(m 为常数，m∈N*)是公比为____0_8__q_m___的等比
等比数列第一课时导学案
2.3 等比数列导学案(1)主备人：卢爱侠 审核人：韩世设 编制时间：3月 姓名_________班级___组别____ 学习目标:1 .理解等比数列的定义，能够利用定义判断一个数列是否为等比数列; 2 ..掌握等比数列的通项公式并能简单应用;重点：等比数列和等差中项的概念及等比数列通项公式的推导和应用 难点：等比数列通项公式的推导及应用。
一、温故知新什么叫等差数列？通项公式是什么?什么叫等差中项？ 二、探求新知1、研究下面三个数列并回答问题①1、2、4、8…；②1、-1、1、-1…③1、21-、41、81-…问题1：上面数列都是等差数列吗？问题2：以上数列后项与前项的比有何特点？ 2、等比数列的定义一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的 都等于 常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示。
3、等比数列的通项公式的推导过程：设等比数列{}n a ，的公比为q 方法1：（归纳法）,11a a =12a a = ，123a q a a == ，134a q a a == ，……11a q a a n n ==-方法2：（累乘法）根据等比数列的定义，可以得到=12a a ，=23a a ，=34a a ，…，=-1n n a a .以上共有 等式，把以上 个等式左右两边分别相乘得=∙∙∙∙-1342312n n a a a a a a a a ，即 =1a a n ，即得到等比数列的通项公式。
4、等比数列的通项公式 =n a三、通过预习掌握的知识点1、等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1-n n a a =q （q ≠0）1︒ “从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)，即nn a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0）2︒ 隐含：任一项00≠≠q a n 且 3︒ q= 1时，{a n }为常数。
等比数列的性质导学案
第二章 数列2.4.2等比数列的性质基本知识点：1、等比数列的项与序号的关系以及性质两项关系：(,)n m n m a a q m n N -*=∈多项关系：(,,,)m n p q m n p q N *+=+∈ 则m n p q a a a a ⋅=⋅ 2、等比数列的判定（1）定义法：1n n a q a +=（q 为常数且不为零）⇔{}n a 为等比数列；（2）等比中项法：212n n n a a a ++=⋅（n N *∈且0n a ≠）⇔{}n a 为等比数列；（3）通项公式法：11n na a q -=（10a ≠且0q ≠）⇔{}n a 为等比数列；温故知新：1、等比数列}{n a 中，24a ＝6a -5a ，则公比是( )(A)0 (B)1或2 (C)-1或2 (D)－1或-22、若等比数列的首项为1，末项为512，公比为2，则这个数列的项数为____.3、若22是b -1，b +1的等比中项，则b =________.4、等比数列}{n a 中，已知2a =3,5a =24，求8a 的值.课后检测：1.在等比数列}{n a 中，若a 4＝-8，公比q =2，则a 8＝( )(A)128 (B)-128 (C)64 (D)-642.等差数列}{n a 的公差为1，若a 1，a 2，a 4成等比数列，则a 3＝( )(A)1 (B)2 (C)-3 (D)33.在等比数列}{n a 中，若a 3＝3，a 7=6，则a 11＝______.4.设等比数列}{n a 中，a 3是a 1,a 2的等差中项，则数列的公比为______.5.在83和272之间插入三个数,使这五个数成等比数列,求插入的这三个数的 乘积.能力提高：已知数列}{n a 为等差数列且公差d ≠0，}{n a 的部分项组成下列数列：a 1k ,a 2k ,…,a n k 恰为等比数列,其中k 1=1,k 2=5,k 3=17,求k n .参考答案：2.4.2课后检测：1．B 2．D 3．12 4.12-或1 5. 216 能力提高：由题意有2132k k k a a a =,即25117a a a =,∴(a 1+4d)2=a 1(a 1+16d)⇒ a 1=2d 或d=0(舍去）, ∴a 5=a 1+4d=6d ⇒等比数列的公比21k 5k 1a a q 3a a ===. 由于n k a 是等差数列的第k n 项，又是等比数列的第n 项，故()n 1n 1k 1n k a a k 1d a q -=+-=,⇒n 1n k 231-=⋅-.。
2.4《等比数列的性质》(打印)导学案1
福建美佛儿学校自主型发展大课堂数学导学案班级 姓名 设计者 日期 课题： § 2.4等比数列的性质 课时： 1课时【学习目标】1. 明确等比数列的定义并学会用定义判断一个数列是否为等比数列2. 掌握等比数列的通项公式及推导方法并能在解题中应用3. 学会与等差数列类比并掌握等比数列的相关性质【重难点】重点：理解等比数列的概念及通项公式的含义 难点：等比数列的有关性质及应用 【学习过程】 一、复习回顾1、等比数列的定义如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的 比值 都等于同一常数， 那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 公比 ，通常用q 表示 2、等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使b G a ,,成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项。
即ab G ab G ±==则,23、等比数列的通项公式设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则它的通项公式：11-⋅=n n q a a （0≠q ）二、讲授新课1、等比数列的性质 （1）nm n m qa a -=(m 、n *N ∈)（2）若m+n=p+q(m 、n 、p 、q *N ∈)时，（3）若{}n a 、{}n b 是等比数列，则{}{}2),0(n n a m ma ≠，{}n n b a ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 也是等比数列 2、等比数列{}n a 的判断方法：（1）定义法：q a a nn =+1（常数）⇔{}n a 成等比数列；（2）通项公式法：)0(*∈⋅=N n q c q c a nn 的常数，均为不等于、 ⇔{}n a 成等比数列；（其中首项是： ，公比是： ） （3）等比中项法：221++⋅=n n n a a a ⇔}{n a 成等差数列；三、典型例题分析 例1、在等比数列{}n a 中，⑴已知6521,100,5a a a a 求：=⋅=⑵已知n a a a a a a 求：,36,6463432=+=⋅⋅当堂训练：（1）在等比数列{}n a 中，已知===852,10,4a a a 则（2）在等比数列{}n a 中，各项均为正数，且=+==+848453106,5,71a a a a a a a a 则例2、已知数列的通向公式为：nn a 23⋅=，问：数列{}n a 是否为等比数列？若是，首项与公比分别是多少？当堂训练：已知数列{}n a 是首项为2，公差为-1的等差数列，令n an b )2(=，（1）求证：数列{}n b 是等比数列；（2）求通向公式{}n b四、课堂小结1、掌握等比数列的有关性质及应用2、学会用定义判断一个数列是否为等比数列五、巩固练习1、.等比数列{}n a 的各项为正数，公比q 满足的值为则54432,4a a a a q ++= （ ）A 、41B 、2C 、21± D 、212、已知数列{}n a 是公比1±≠q 的等比数列，则{}{}{}n n n n n n n na a a a a a a ,,,111⎭⎬⎫⎩⎨⎧-++++是 等比数列的有（ ）A.、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个3、 已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若995=a a ，则1032313log log log a a a +++等于（ ）A 、12B 、10C 、8D 、5log 23+4、已知等比数列{}n a 中，有71134a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77a b =，则95b b +=5、在等比数列{}n a 中，=-==+107483q ,512,124a a a a a 为整数，则且公比 六、拓展与提高6、已知数列{}n a 满足12,111+==+n n a a a ，(1)求证：{}1+n a 是等比数列； （2）求数列{}n a 通项公式7、已知数列{}n a 的前n 项和12+=n n a S ，(1)求证：{}n a 是等比数列； （2）求数列{}n a 通项公式8、在公差不为零．．．．．的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，已知3822111,,,1b a b a b a a ====且（1）求数列{}n a 的公差d 和数列{}n b 的公比q（2）是否存在常数a,b 使得对于正整数n ，都有b b a n a n +=log 成立，若存在， 求出a 和b ，；若不存在，说明理由。
高一数学《等比数列的性质及应用》教案设计【8篇】
高一数学《等比数列的性质及应用》教案设计【8篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如计划报告、合同协议、心得体会、演讲致辞、条据文书、策划方案、规章制度、教学资料、作文大全、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!Moreover, our store provides various types of classic sample essays, such as plan reports, contract agreements, insights, speeches, policy documents, planning plans, rules and regulations, teaching materials, complete essays, and other sample essays. If you would like to learn about different sample formats and writing methods, please stay tuned!高一数学《等比数列的性质及应用》教案设计【8篇】等比数列的性质是什么呢？是什么意思？等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，常用G、P表示。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《等比数列的性质》导学案
学习目标：了解等比数列性质的推导过程；掌握等比数列性质及其运用。
自主学习：
知识点一:等比数列两项之间的关系
问题1：已知是等比数列，则=
问题2：等比数列中某两项=
归纳小结：通项公式的推广（）
练习1：在等比数列中，若= 5，，求．
知识点二：等比中项
问题3：如果在a,b中间插入一个数G，使a ，G，b成等比数列，那么a，G，b应该满足什么关系式？反之，是否成立？
归纳小结：如果在a,b中间插入一个数G，使a ，G，b成数列，那么是a与b的等比中项．满足的关系式：．
练习2：
（1）．已知1，，4 成等比数列，则= ．
（2）．等比数列，，，的第四项等于．
知识点三：等比数列多项之间的关系
问题4：已知是等比数列，则判断是否成立?为什么？请说明理由。
问题5：若数列是等比数列，且（），则=是否成立？试试看能不能证明。
练习3：
（1）．已知数列是等比数列，若= 5，= 6，则= ．
（2）．在等比数列中，已知=5 ，求= ．
归纳小结：在等比数列中，若m+n=p+q(m，n，p，q∈N+)，则a m·a n= .
特别地，若m+n=2p(m，n，p∈N+），则a m·a n＝.
练习4：
（1）．在等比数列中，=1，求= ．
（2）．在等比数列中，=20，=64，求
【拓展训练】
1． 在等比数列{a n }中，若的值，求，65432112030a a a a a a +=+=+；
3．在数列{a n }中， = ， =
，且数列 是等比数列，则a n = ． 【课堂小结】
等差数列与等比数列的对比：
我的收获与疑惑
【课后练习】
1．等比数列｛a n ｝中， = 4， = 8，则 =
．
2．在等比数列｛a n ｝中， =
， ，则 与
的等比中项为 ．
3．在等比数列｛a n ｝中，若 = 4，则 = ． 4．在正项等比数列｛a n ｝中， 和 为方程 的两根，则 等于 ( )．
A.16
B.32
C.64
6．在等比数列 中， ，则公比 的值 ．
7．互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，c ，a ，b 成等比数列，且a+3b+c=10，则a= ．
n A ．12 B ．10 C ．8 D ．2+5log 3。