混合物、空心球密度问题

混合物、空心球密度问题

两种物质混合，有如下的基本关系：混合物的总质量等于原来两种物质质量之和，即：21m m m +=总；混合物的总体积等于原来两种物质体积之和，即：21V V V +=总；混合物的密度等于总质量与总体积之比，即：

2

12

1V V m m V m ++=

=总总ρ。解题时，需要根据具体情况，对上述公式灵活地选用。

【例1】某冶炼厂，用密度为1ρ金属和密度为2ρ的另一种金属以不同的配方（不同的比例搭配）炼成合金材料。若取等体积的这两种金属进行配方，炼出的金属材料密度为ρ；若取等质量的这两种金属进行配方，炼出的金属材料密度为'ρ，请你通过数学运算，说明ρ与'ρ的大小关系。

解析：题目为两种固体的混合。取等体积混合时，设取相等体积为V ，则密度为ρ1金属的质量为ρ1V ，密度为

2ρ的另一种金属的质量为V 2ρ，炼出的金属材料密度为：2

22

121ρρρρρ+=

+==

V V V V m 总总

取等质量混合时，设取相等质量为m ，则密度为1ρ金属的体积为

1

ρm

，密度为2ρ的另一种金属的体积为

2

ρm

，

炼出的金属材料密度为：212

12

122ρρρρρρρ+=+

==

m m m V m 总

总

要比较ρ与'ρ的大小关系，可用比值法或比差法。即因ρ与'ρ均大于零，若ρ/'ρ大于1，则ρ>'ρ；若ρ/'ρ小于1，则ρ<'ρ.或若ρ-'ρ大于0，则ρ>'ρ；若ρ-'ρ小于0，则ρ<'ρ。

答案：取等体积混合时，炼出的金属材料密度为：2

22

121ρρρρρ+=

+==V V V V m 总总

取等质量混合时，炼出的金属材料密度为：21212

122ρρρρρρρ+=+

==

m m m V m 总

总

()21212

221212212

1212

142422'ρρρρρρρρρρρρρρρρρρ+=+=++=

因为212

221ρρρρ>+，所以1'

>ρρ

，'ρρ>

若用比差法，同学们可试着证明。

【例2】有密度分别为ρ1和ρ2的两种液体各ｍ千克，只用这两种液体，最多可配制密度为ρ=1/2（ρ1+ρ2）的溶液多少千克？（已知ρ1>ρ2，不计混合过程中的体积变化）

例3. 盐水选种需要密度为1.1×103kg/m 3的盐水，现已配制0053

.m 的盐水，称得它的质量是60kg ，这样的盐水是否符合要求？如不符合要求，应该加水还是加盐？加多少？ 分析与解答：已经配制的0.05m 3

盐水的密度为 ρ×=

==m V kg m

kg m 600051210333

../ 因为ρ×>11103

3

./kg m ，所以这样的盐水不符合选种要求。需要再加些水。 设需再加水的质量为m 1，体积为V 1，则应用 ρρ标水

=

++=

++m m V V m m

m V 1111

化简：可得m m V kg kg m m kg m kg m

kg 133333

33

160111000511101010150=

--=--=ρρρ××××标标水

./.././

解后反思：这个题目是一个固体和液体混合的溶液配制问题，求解的关键在ρ×标=11

103

3

./kg m 。现有溶液是否符合要求要以它为标准，需要再添加多少水也要以它为依据进行计算。

还需要说明的是要再添加一定量（m 1）的水后，溶液的质量增加了（变为m m +1），体积同时也增加了（变为

V V +

1）。符合要求的盐水应满足ρ

标

=

+

+

m m

V V

1

1

，而不是ρ

标

=

+

m m

V

1，这是应该注意的一点。还有就是V

1

是

一个中间量，可以用水的密度表示出来，即V m

1

1

=

ρ

水

。这样未知量减少了，但运算难度增大了。因此，计算时要

特别细心。

1（固体）：甲、乙两种物质的密度分别为ρ1和ρ2，现将这两种等质量物质混合，求混合后的密度。（设混合前后体积不变）

2（液体）：某工厂生产的酒精要求其含水量不超过10％，已知纯酒的密度是水密度的0．8倍。试求：用密度计检测产品的含水量指标时，该厂生产的酒精密度满足什么条件才符合产品要求？

3（气体）：19世纪末，英国物理学家瑞利在精确测量各种气体密度时，发现从空气中取得的氮的密度为1.2572kg/m3；而从氨中取得的氮的密度为 1.2505kg/m3。从这个细微的差异中，瑞利发现了密度比氮大的气体氩，从而获得了诺贝尔物理学奖。假设气体氩的体积占空气中取得的氮的体积的1/10，请你计算出氩的密度。(此题不作要求)

四、合金类问题：首先要抓住合金体的总质量与总体积分别等于各种物质的质量之和与体积之和这一特征，然后根据具体问题，灵活求解。

例：有一工艺品（实心），由金和铜两种材料制成，其质量为1983.4克，体积为106立方厘米，则此合金中金、铜的质量各多少？（ρ金=19.3g／cm3，ρ铜=8.9g／cm3）分析：此题看似复杂，但只要抓住ρ合＝M合/Ｖ合，且M合＝M金+M铜，Ｖ合=Ｖ金＋Ｖ铜，此类题就容易解决。