第9章 薄板的小挠度弯曲问题及经典解法

D(
2w y 2
)
y
0

M

（b’）
3. 自由边，AB边 （y = b）
（1）薄板的弯矩、扭矩和横向剪力都应为零，即：
(M y ) yb 0 ， (M yx ) yb 0 ，(FSy ) yb 0
（c）
（2）薄板边上的扭矩可以变换为等效的横向剪力，即扭矩的等效 剪力。总的分布剪力是：
（2）一定荷载引起的弯应力和扭应力数值上最大，是主要 的应力；横向剪应力数值较小，是次要的应力；挤压应力数 值更小，是更次要的应力。所以计算薄板内力时，主要计算 弯矩和扭矩，横向剪力无须计算。
（3）应用时可查相关手册，若是双向配筋时，扭矩的影响 也可不考虑。
§9-4 边界条件 扭矩的等效剪力
矩形薄板，OC边简支；OA边固支；AB和BC边自由。
x y
（c）
若体力不为零，可把薄板单位面积内的体力及面力归入薄板上面的
面力，并用 q表示。
d
q ( f )z zd
( f z )zd

2 d
f z dz
2
2
2
（d）
由于 zx xz、 zy yz ，将（9-5）式代入（c）式，
z
E
d2
(

z 2 )4 w
2
4
(z

d
) 2

1 (z3 3

d3
8
)]4w


Ed 3 6(1
2
)
(
1 2

z
d
)
2
(1

z
d
)
4
w
（9-6）
3. 弹性曲面微分方程
（1）在薄板上边界，( z )zd q，q薄板单位面积内的横向荷载， 包括横向面力及体力。 2
（2）将（9-6）式代入上式，有：
Ed
12(1
3

2
)
4
w

q
（9-7）
D4w q
其中:
D Ed 3 12(1 2 )
（9-8） （9-9）
称为薄板的弯曲刚度，它的量纲是：L2MT-2
方程（9-8）称为薄板的弹性曲面微分方程。是薄板弯曲问题的基本 微分方程。具体求解时要考虑（板边上）薄板侧面的边界条件。
§9-3 薄板横截面上的内力及应力
z 2(1 2 ) 4
z

E
d2
(
2(1 2 ) 4
z
z3 3
)
4
w

F3
(
x,
y)
在薄板下面，边界条件
(
z
)d z
（0 面力已
y)


E
d3
(
2(1 2 ) 8

d 3 )4 w
38
回代（e）式，有：
z

2(1
E

2
)
d
[
B
（9-18）
集中剪力或集中反力的正负号决定于角点处的扭矩的正负号， 而不能另行规定。据此，A点和C点处的剪力以沿z轴的正方向为正， 而O点和B点处的剪力以沿 z轴的负向时为正。
M y

d 2 d 2
z
y dz

Ed
12(1
3

2
)

2w y 2


2w x 2

（d）
M yx

d
2
d
2
z yz dz

Ed 3 12(1 )
2w xy

M xy
（e）
FSy

d
2 d

2
yz dz

Ed
12(1
3


2w x 2
)
xy

Ez
1
( 2w ) xy

（9-4）
（3）用w表示应力分量zx、zy
由空间问题的平衡方程（7-1）式的第一式有（令fx=fy=0）：
zx x yx ，将（9-4）式代入，有：
z
x y
zx Ez (3w 3w ) Ez 2w z 1 2 x3 xy 2 1 2 x
1 2
( x
y ) ， y
E
1 2
( y
x ) ， xy

E 2(1

)

xy
（b）
（2）用w表示应力分量x、y、xy
将（a）式代入（b）式，有
x

Ez
1 2
2w (
x 2


2w
y
2
)
y


1
Ez

2
2w ( y 2
xy
（9-10）
图9-3
薄板内力的正负方向的规定，是从应力的正负方向的规定得出： 正的应力合成的主矢量为正，正的应力乘以正的矩臂合成的主矩为 正；反之为负。薄板内力的正方向如图9-3所示。
2. 横截面上的应力 由式（9-4）至（9-6）及（9-10）式，有：
x
12M x
d3
z
，
xz
y0

0
（b）
若（a）第一条件满足，则w在OC边上处处为零，则x2w2 0 ，故
(w) y0 2w ( y 2 ) y0
0
0
（9-14）
（2）若在OC边上作用有分布力矩M（为x的函数）时，则（b） 式及（9-14）的第二式为：
(w) y0 0
1. 固支边，OA边（x = 0）
(w) x ( w )
x
0 x0
0 0
（9-13）
2. 简支边，OC边 （y = 0）
（1）无外力作用时：
图9-4
(w) y0 0 (M y ) y0 0 （a）
(w) y0 0
(
2w y 2


2w) x 2
2w y 2

2）扭矩由xy合成：
d
M xy

2 d
z
xy dz
2
（b）
将（9-4）式中的第三式代入，对z积分，有：
M xy
E 2w
1 xy
d 2 d 2
z
2 dz

Ed 3 12(1 )
2w xy
3）横向剪力（由xz合成）
d
FSx
FRCB M xy C ， FRBC M xy B
（f）
则边界条件可变换为：
(M x )xa
0
， (FStx ) xa

(FSx

M xy y
) xa
0
（g）
由式（9-10）可知，自由边BC的边界条件为：
(2w
x 2
2w y 2
)
xa
0

（4）挠度 中面在 z方向上的位移。 （5）薄板 板的厚度d远小于中面的最小尺寸 b。 （3）弹性曲面 板弯曲时中面所形成的曲面。 （如小于b/8至b/5 ）的平板。
2. 荷载的分解
将板受到的一般荷载分解为两种： 作用于中面之内的荷载（平面应力问题）。 垂直于中面的荷载（板的弯曲问题）。
3. 小挠度弯曲理论
板的弯曲刚度较大，板的挠度远小于其厚度。
4. 三个基本假定
（1）形变分量 z 、 zy 、 zx都可以不计。
1）由几何方程， z
w 0，知
z
w
w(x, y)即在垂直于中面的任一法线
上，薄板全厚度内各点的挠度相同。
2）由几何方程， zy

w y
v z
0
， zx
§9-2 弹性曲面微分方程
按位移求解，基本未知量 w w(x, y)。
1. 用w表示形变分量
将假定（1），即式（9-1）对z积分：
v

w y
z

f1 (x,
y)
，
u

w z x

f2 (x, y)
应用假定（3），即式（9-3），有：f1(x, y) 0 ，f2 (x, y) 0 ，即

u z

w x
0
，得
v w ， u w z y z x （2） z 引起的形变可以不计。
（9-1）
由物理方程（7-12），有：
x y

xy
1 E
(
x


y
1 E
(
y


x

2(1 E
)
xy
) )
（9-2）
图9-2
d
d
M x
2 d
(
x 1dz ) z

2 d
z
x dz


2
2
（a）
将（9-4）式中的第一式代入，对z积分，有：
M x

E
1 2

2w x 2


2w y 2

d 2 d 2
z 2dz


Ed
12(1
3

2
)

2w x 2



d2
4
)
y
2w
zx

2(1
E

2
)