第9章 薄板的小挠度弯曲问题及经典解法

FSty

FSy

M yx x
图9-5
角点A、B处的集中剪力（集中反力）为：
FRAB M yx A ， FRBA M yx B
则边界条件（c）变为：
(M ) 0 y yb
，
(FSty ) yb
(FSy

M yx x
)
yb
0
由式（9-10）可知，自由边AB的边界条件为：
2 d

xz
dz
2
将（9-5）式中的第一式代入，对z积分，有：
（c）
FSx


E
2(1 2 )
x
2w
d 2 d 2
(z2

d2
4
)dz

Ed 3 12(1 2 )
x
2w
（2）同样在y为常量的截面上，每单位宽度内的y、yx、yz也分 别合成为如下的弯矩、扭矩和横向剪力：
图9-2
d
d
M x
2 d
(
x 1dz ) z

2 d
z
x dz


2
2
（a）
将（9-4）式中的第一式代入，对z积分，有：
M x

E
1 2

2w x 2


2w y 2

d 2 d 2
z 2dz


Ed
12(1
3

2
)

2w x 2


B
（9-18）
集中剪力或集中反力的正负号决定于角点处的扭矩的正负号， 而不能另行规定。据此，A点和C点处的剪力以沿z轴的正方向为正， 而O点和B点处的剪力以沿 z轴的负向时为正。
2w (
y 2


2w x 2 ) yb

0

3w [ y 3

(2


)
3w x 2y
]
yb

0

4. 自由边，BC边 （x = a）
同样，有总的分布剪力是：
（d） （e）
（9-15）
FStx

FSx

M xy y
（9-16）
角点C、B处的集中剪力（集中反力）为：
3w [
x 3

(2


)
3w y 2x
]
xa

0

（9-17）
在两边相交的点，如B点，总的集中反力是
FRB
FRBA FRBC

M yx

B
M xy
B
2 M xy
B
由式（9-10）第三式，可知：
FRB

2D(1
)
2w xy
x y
（c）
若体力不为零，可把薄板单位面积内的体力及面力归入薄板上面的
面力，并用 q表示。
d
q ( f )z zd
( f z )zd

2 d
f z dz
2
2
2
（d）
由于 zx xz、 zy yz ，将（9-5）式代入（c）式，
z
E
d2
(

z 2 )4 w
（2）一定荷载引起的弯应力和扭应力数值上最大，是主要 的应力；横向剪应力数值较小，是次要的应力；挤压应力数 值更小，是更次要的应力。所以计算薄板内力时，主要计算 弯矩和扭矩，横向剪力无须计算。
（3）应用时可查相关手册，若是双向配筋时，扭矩的影响 也可不考虑。
§9-4 边界条件 扭矩的等效剪力
矩形薄板，OC边简支；OA边固支；AB和BC边自由。
第一节 有关概念及计算假定 第二节 弹性曲面微分方程 第三节 薄板横截面上的内力及应力
第四节 边界条件 扭矩的等效剪力 第五节 简 单 例 题 第六节 四边简支矩形薄板的重三角级数解 第七节 矩形薄板的单三角级数解
§9-1 有关概念及计算假定
1. 名词解释
图9-1
（1）板 两个平行面与垂直于该平面的棱柱面所围成的物体称为 平板，简称板。 （2）中面 平分板厚度d的平面称为中面。 （3）弹性曲面 板弯曲时中面所形成的曲面。

6FS x
d3
(d 2
4
z2)
y

12M y
d3
z
， yz

6FS y
d3
d2
( 4
z2)
xy
yx
12M xy
d3
z ， z

2q( 1 2
z )2 (1 z )
d
d
（9-11）
3. 分析
（1）上述各内力分量均为薄板单位宽度上的内力，弯矩、扭矩 的量纲为LMT-2，横向剪力的量纲是MT-2 。
2)
y
2w
（f）
（3）利用（9-9）式，各个内力的表达式可以简写为：
Mx

D
2w x 2


2w y 2

，
FSx

D
2w x
My

D
2w y 2

2w x 2

， FSy

D
y
2w
M xy

M yx

D(1 ) 2w
一般情况下，很难使应力分量精确满足边界条件，应用圣维南原 理，应使应力组成的内力整体地满足边界条件。
1. 横截面上的内力
取出平行六面体dxdyd 。
（1）在x为常量的截面上，作用有x、 xz、xy 。由于应力分量x和xy都与 z成 正比，全截面上其合力为零，只能合 成为弯矩和扭矩。
1）弯矩（沿y方向取单位宽度）由x合成：
§9-2 弹性曲面微分方程
按位移求解，基本未知量 w w(x, y)。
1. 用w表示形变分量
将假定（1），即式（9-1）对z积分：
v

w y
z

f1 (x,
y)
，
u

w z x

f2 (x, y)
应用假定（3），即式（9-3），有：f1(x, y) 0 ，f2 (x, y) 0 ，即
xy
（9-10）
图9-3
薄板内力的正负方向的规定，是从应力的正负方向的规定得出： 正的应力合成的主矢量为正，正的应力乘以正的矩臂合成的主矩为 正；反之为负。薄板内力的正方向如图9-3所示。
2. 横截面上的应力 由式（9-4）至（9-6）及（9-10）式，有：
x
12M x
d3
z
，
xz
3

2
)
4
w

q
（9-7）
D4w q
其中:
D Ed 3 12(1 2 )
（9-8） （9-9）
称为薄板的弯曲刚度，它的量纲是：L2MT-2
方程（9-8）称为薄板的弹性曲面微分方程。是薄板弯曲问题的基本 微分方程。具体求解时要考虑（板边上）薄板侧面的边界条件。
§9-3 薄板横截面上的内力及应力
v w z ， u w z
y
x
x

u x

2w
x 2
z

y

v y

2w y 2
z

xy

v x

u y

2 2 w xy
z


（a）
2. 用w表示应力分量
（1）由物理方程（9-2）式解得应力分量：
x
E

u z

w x
0
，得
v w ， u w z y z x （2） z 引起的形变可以不计。
（9-1）
由物理方程（7-12），有：
x y

xy
1 E
(
x


y
1 E
(
y


x

2(1 E
)
xy
) )
（9-2）
1 2
( x
y ) ， y
E
1 2
( y
x ) ， xy

E 2(1

)

xy
（b）
（2）用w表示应力分量x、y、xy
将（a）式代入（b）式，有
x

Ez
1 2
2w (
x 2


2w
y
2
)
y


1
Ez

2
2w ( y 2
M y

d 2 d 2
z
y dz

Ed
12(1
3

2
)

2w y 2


2w x 2

（d）
M yx

d
2
d
2
z yz dz

Ed 3 12(1 )
2w xy

M xy
（e）
FSy

d
2 d

2
yz dz

Ed
12(1
3

1. 固支边，OA边（x = 0）
(w) x ( w )
x
0 x0
0 0
（9-13）
2. 简支边，OC边 （y = 0）
（1）无外力作用时：
图9-4
(w) y0 0 (M y ) y0 0 （a）
(w) y0 0
(
2w y 2


2w) x 2
2w y 2

2）扭矩由xy合成：
d
M xy

2 d
z
xy dz
2
（b）
将（9-4）式中的第三式代入，对z积分，有：
M xy
E 2w
1 xy
d 2 d 2
z
2 dz

Ed 3 12(1 )
2w xy
3）横向剪力（由xz合成）
d
FSx

2w x 2
)
xy

Ez
1
( 2w ) xy

（9-4）
（3）用w表示应力分量zx、zy
由空间问题的平衡方程（7-1）式的第一式有（令fx=fy=0）：
zx x yx ，将（9-4）式代入，有：
z
x y
zx Ez (3w 3w ) Ez 2w z 1 2 x3 xy 2 1 2 x
（4）挠度 中面在 z方向上的位移。 （5）薄板 板的厚度d远小于中面的最小尺寸 b。 （3）弹性曲面 板弯曲时中面所形成的曲面。 （如小于b/8至b/5 ）的平板。
2. 荷载的分解
将板受到的一般荷载分解为两种： 作用于中面之内的荷载（平面应力问题）。 垂直于中面的荷载（板的弯曲问题）。
3. 小挠度弯曲理论
Baidu Nhomakorabea
d2
4
)
y
2w
zx

2(1
E

2
)
(
z
2

d2
4
)
x

2
w
zy

E
2(1 2 )
(z2

d2
4
)
y
2 w

（9-5）
（4）用w表示应力分量z
由平衡方程（7-1）式的第三式有（取 fz=0）：
z zx yz
z
y0

0
（b）
若（a）第一条件满足，则w在OC边上处处为零，则x2w2 0 ，故
(w) y0 2w ( y 2 ) y0
0
0
（9-14）
（2）若在OC边上作用有分布力矩M（为x的函数）时，则（b） 式及（9-14）的第二式为：
(w) y0 0
z 2(1 2 ) 4
z

E
d2
(
2(1 2 ) 4
z
z3 3
)
4
w

F3
(
x,
y)
在薄板下面，边界条件
(
z
)d z
（0 面力已等效），可得：
2
F3 (x,
y)


E
d3
(
2(1 2 ) 8

d 3 )4 w
38
回代（e）式，有：
z

2(1
E

2
)
d
[

D(
2w y 2
)
y
0

M

（b’）
3. 自由边，AB边 （y = b）
（1）薄板的弯矩、扭矩和横向剪力都应为零，即：
(M y ) yb 0 ， (M yx ) yb 0 ，(FSy ) yb 0
（c）
（2）薄板边上的扭矩可以变换为等效的横向剪力，即扭矩的等效 剪力。总的分布剪力是：
zx

Ez 2
2(1 2 )
x
2w
F1 (x,
y)
由边界条件( zx ) zd 2

0
，有，
F1
(x,
y)


Ed 2 8(1
2
)
x
2
w
即有：
zx

E
2(1 2 )
(z2

d2
4
)
x
2w
同理，有： zy

E (z2
2(1 2 )
2
4
(z

d
) 2

1 (z3 3

d3
8
)]4w


Ed 3 6(1
2
)
(
1 2

z
d
)
2
(1

z
d
)
4
w
（9-6）
3. 弹性曲面微分方程
（1）在薄板上边界，( z )zd q，q薄板单位面积内的横向荷载， 包括横向面力及体力。 2
（2）将（9-6）式代入上式，有：
Ed
12(1
FRCB M xy C ， FRBC M xy B
（f）
则边界条件可变换为：
(M x )xa
0
， (FStx ) xa

(FSx

M xy y
) xa
0
（g）
由式（9-10）可知，自由边BC的边界条件为：
(2w
x 2
2w y 2
)
xa
0

即薄板小挠度弯曲问题的物理方程和薄板平面应力问题的物理方程相同。
， （3）薄板中面内各点都没有平行于中面的位移
(u) z0 0 (v) z0 0
（9-3）
x

u x
、
y

v y
、
xy

v x

u y
( x ) z0 0 、( y ) z0 0 、( yz ) z0 0 即投影保持形状不变。
板的弯曲刚度较大，板的挠度远小于其厚度。
4. 三个基本假定
（1）形变分量 z 、 zy 、 zx都可以不计。
1）由几何方程， z
w 0，知
z
w
w(x, y)即在垂直于中面的任一法线
上，薄板全厚度内各点的挠度相同。
2）由几何方程， zy

w y
v z
0
， zx