第五章弹性薄板小挠度弯曲问题的变分原理(16K)

第五章 弹性薄板小挠度弯曲问题的变分原理

平分板厚度的平面称为板的中面，一般地，当板的厚度t 不大于板中面最小尺寸的5/1时的板称为薄板，薄板的中面是一个平面。薄板在垂直于中面的载荷作用下发生弯曲时，中面变形所形成的曲面称为弹性曲面或挠度面，中面内各点在未变形中面垂直方向的位移称为板的挠度。薄板弯曲的精确理论应是满足弹性力学的全部基本方程，但这在数学上将会遇到很大的困难。1850年，G .R.Kirchhoff 除采用弹性力学的基本假设外，还提出了一些补充的假设，从而建立起了薄板小挠度弯曲的近似理论。这些假设是：第一，变形前垂直于板中面的直线，在板变形后仍为直线，并垂直于变形后的中面，而且不经受伸缩；第二，与中面平行的各面上的正应力z σ与应力x σ,y σ和xy τ相比属于小量；第三，在横向载荷作用下板发生弯曲时，板的中面并不伸长，这也就是说，薄板中面内各点都没有平行于中面的位移分量。

用变分法可以导出薄板弯曲问题的平衡微分方程和边界条件。当板的形状和边界条件较复杂时，直接求解偏微分方程时比较困难的，以变分法为基础的各种近似解是求解这类问题的一个重要途径。

本章讨论了用于薄板小挠度弯曲问题的一些基础变分原理，这包括虚功原理、最小位能原理、最小余能原理、两类自变量广义变分原理并推广到三类自变量广义变分原理。

§5.1 基本方程与边界条件回顾

取坐标平面oxy 与中面重合，z 轴垂直于中面，x ,y 和z 轴构成一个右手直角笛卡儿坐标系。变形后的板内各点沿x ,y 和z 轴方向的位移分别用u ,v 和w 表示。由Kirchhoff 假设，可以得到

x

w

z

z y x u ∂∂-=),,(，y w z z y x v ∂∂-=),,(，),(),,(y x w z y x w = （5-1）

并利用弹性力学中位移与应变之间的关系式，可以得到薄板中任意点的应变分量为

22x w z x ∂∂-=ε，22y

w

z y ∂∂-=ε，y x w z xy ∂∂∂-=γ22 （5-2）

其余3个应变分量z ε,xz γ和yz γ根据假设都等于零，即

0=εz ，0=γxz ，0=γyz （5-3）

由薄板的平衡关系，可以确定板的横向分布载荷),(y x q 与剪力x Q ,y Q 以及弯矩

x M ,y M 和扭矩xy M （x M ,y M ,xy M 统称为内力矩）与x Q ,y Q 之间的关系式。这里要注

意，x M ,y M ,xy M 是单位中面宽度内的内力矩，它们的因次是千克力，x Q ,y Q 是单位中

面宽度内的内力，它们的因次是千克力/米。弯矩、扭矩和剪力的正方向如图5-1所示。

平衡方程为

⎪⎪⎪

⎭

⎪

⎪⎪⎬⎫-=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂),(y x q y Q x Q Q y M x M Q y M x M y x y y xy x xy

x （5-4） 在薄板弯曲理论中，剪力x Q ,y Q 不产生应变，因而也不作功，因此可以从（5-4）式中消去x Q ,y Q ，得到

0),(2222

2=+∂∂+∂∂+∂∂y x q y

M y x M x M y xy x

（5-5） 以后凡提到薄板弯曲平衡方程，都是指（5-5）式而言。而内力x Q ,y Q 不再作为独立的量看待。上面两组方程仅仅是力的平衡方程，它们未涉及到板的材料性质。

与内力矩相对应的广义应变是挠度面的曲率xy y x k k k ,,，在小挠度弯曲理论中，它们与挠度w 的关系为

22x w k x ∂∂-=，22y

w

k y ∂∂-=，y x w k xy ∂∂∂-=2 （5-6）

内力矩与曲率的关系可以通过应变能密度U ~表示出来，若将U ~

表示为xy y x k k k ,,的函

数，则有

x

x k U

M ∂∂=

~

，y y k U M ∂∂=~，xy xy k U M ∂∂=~21 （5-7） 这种关系式对于线性或非线性材料都成立。对于线性的弹性体，U ~

是xy y x k k k ,,的正定的

图5-1 弯矩、扭矩和剪力的正方向

二次齐次函数。在各向同性的情况下，U ~

的算式为

)])(1(2)[(2

1~22xy y x y x k k k k k D U -μ--+= （5-8）

将（5-8）式代入（5-7）式，然后再将（5-6）式代入，得到内力矩与挠度的关系式为

⎪⎪

⎪

⎭

⎪

⎪⎪

⎬⎫

∂∂∂μ--=∂∂μ+∂∂-=∂∂μ+∂∂-=y x w D

M x w y w D M y w x w D M xy y x 222222222)1()()( （5-9）

以上各式中)

1(122

3

μ-=Et D 称为板的弯曲刚度，其中t 为板的厚度，μ为材料的泊松系数。 如果我们定义}{κ为广义应变，{}M 为广义应力，即

⎪⎪⎪⎭

⎪

⎪⎪⎬⎫

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎪

⎭

⎪

⎪⎪

⎬

⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂∂-∂∂-∂∂-=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=κxy y x xy y x M M M M y x w y w x w k k k }{22}{22222

（5-10）

则有

}]{[}{κ=D M （5-11）

式中的][D 为弯曲刚度矩阵。（5-8）式可以写为

}]{[}{2

1

~κκ=D U T （5-12）

余应变能密度*

~U 看作是内力矩x M ,y M ,xy M 的函数，其值定义为

U k M k M k M U xy xy y y x x ~

2~*-++= （5-13）

并且有

x x M U k ∂∂=

*

~

，y y M U k ∂∂=*~，xy

xy M U k ∂∂=*~2 （5-14） 同样，对于线性的弹性体，*

~U 是x M ,y M ,xy M 的正定的二次齐次函数。

如果以广义应力}{M 表示余应变能密度，则有

}]{[}{2

1~

*M C M U T = （5-15）

式中1

][][-=D C 。