弹性力学 薄板弯曲
第九章弹性薄板弯曲问题
§ 9-4
边界条件 扭矩的等效剪力
(u , v) z =0 = 0
§ 9-2
弹性曲面的微分方程
1、取w=w(x,y)为基本未知量。 为基本未知量。 2、用w来表示u,v。 来表示u
∂w u=− z ∂x
∂w v=− z ∂y
3、用w来表示主要应变：ε x , ε y , γ xy 来表示主要应变：
∂ w ∂ w ∂ w ε x = − 2 z, ε y = − 2 z, γ xy = −2 z ∂x ∂y ∂x∂y
§ 9-1
概念和假定
小挠度理论 薄板：1 8 ~ 1 5) > δ b ≥ (1 80 ~ 1 100) 薄板： ( 大挠度理论 薄膜： δ b < (1 80 ~ 1 100) 薄膜：
本章研究小挠度薄板的弯曲问题。 本章研究小挠度薄板的弯曲问题。
厚板： δ 厚板：பைடு நூலகம்
b ≥ (1 8 ~ 1 5)
由平衡方程 得
Eδ 3 D= 12(1 − µ 2 )
D∇ w = q
4
∂ w ∂ w ∂ w ∇ = 4 + 2 2+ 4 ∂x ∂x ∂y ∂y
4 4 4 4
§ 9-3
薄板横截面上的内力
梁的内力是指梁横截面上的内力合力和合力矩。 梁的内力是指梁横截面上的内力合力和合力矩。 板的内力是指单位宽度的横截面( x1)上的内力合力 板的内力是指单位宽度的横截面(δx1)上的内力合力 和合力矩。应力向中面简化合成的主矢量和主矩。 和合力矩。应力向中面简化合成的主矢量和主矩。 弯曲应力 σ x , σ y ,τ xy = τ yx 沿z方向线性分布，合成 方向线性分布，
薄板弯曲问题
物理方程
应变
位移函数
薄板在弯曲变形后，薄板的法线没有伸缩；
w z 0 z
w wx, y
位移函数
薄板的法线，在薄板弯扭以后，保持为薄 板弹性曲面的法线；
xz yz 0
w u 0 x z
w v 0 y z
位移函数
u w z x
利用12个结点位移条件，由广义坐标法可 建立形函数，显然十分麻烦。
位移函数
w( x, y ) 1 2 x 12 xy
3
f x, y
w f x, y x y y
w f x, y y x x
D Dz
薄板弯曲问题的有限元法
结点 位移函数 位移 用插值方法求 内部各点位移
几何方程
结点力
平衡方程
应力
物理方程
应变
内力与应力的关系
薄板内力微元体如图所示。
h/2
- h/2
yx zdxdz
h/2 - h/2
y
h/2
- h/2
x zdydz
h/2
- h/2
x xy zdydz
该转角的确定包含了单元全部结点位移参数，由于非公共 边上结点位移的协调关系不能保证，因此一般
综上所述，本节构造的位移场不能完全满足收敛的协调性 准则，具体为挠度及切向转角跨单元协调，法向转角跨单 元不协调，因此该单元不是完全协调元。
弹性薄板矩形（R12）单元
4) 非完全协调元的收敛性
4 i 1
w N i d i N d
已知支座位移问题时
薄板弯曲问题的有限元法
清华大学弹性力学-薄板弯曲问题
t/2 t/2 y z dz
My
Qy
Mxy
Qx Mx
x
Myx
•扭矩 Mxy, Myx ：
使板截面z＞0上产生正号 剪应力xy， yx时为正。
xy xz
dy
x
z dx
•剪力 Qx, Qy ：
使板截面上产生正号剪 应力xz， yz时为正。
16
Mxy t/2 t/2 y
t 2
x
Mx
z dz z dx
(u v 0 ( z 0) )
10
2.物理方程：
1 x x ( y z ) E 1 y y ( z x ) E 1 z z ( x y ) E
2(1 ) yz yz E 2(1 ) zx zx E 2(1 ) xy xy E
Mx
t 2
z x dz
t 2
Et 3
2
12(1 ) x
(
2w
2
2w y
2
Байду номын сангаас
)
Et 3 2 w M xy z xy dz 12(1 ) xy t
2
17
Qx t/2 t/2 y z dz z dx
x
xy xz
dy
x
由于放弃了相应的物 理方程，需要依靠平 衡方程。
引入假设： z 0, xz 0, yz 0
8
w z 0 z
o
a A
M
z
x
b a’
A’
M’
薄板弯曲问题
第五章薄板弯曲问题机场学院2011/11/21CAUCCAUC两个平行面和垂直于这两个平行面的柱面或棱柱面所围成的物体，称为平板，简称为板。
bhyxzCAUCCAUC垂直于板面——平板弯曲问题byxzCAUCCAUC1、小变形假设：虽然板很薄，但它的挠度远小于板的厚度。
byxz)(0==z u 0)(0==z v 因为：2、板中面各点都没有平行于中面的位移，只发生弯曲变形。
x u x ∂∂=εy v y ∂∂=εyu x v xy ∂∂+∂∂=γ所以：0)(0==z x ε0)(0==z y ε0)(0==z y x γCAUC CAUC3、沿板的厚度方向挤压变形忽略不计。
byxz=∂∂=zw z ε所以：),(y x w w =在薄板中面的任一根法线上，薄板全厚度内的所有各点都具有相同的挠度。
CAUCCAUC保持在挠曲面法线上。
byxz应力分量：zx τzy τzσ远小于其余三个应力分量，其引起的形变忽略不计。
0=zx γ0=zx γ0=∂∂+∂∂xw z u 0=∂∂+∂∂yw z v 即：等价于：这样=∂∂=z w z ε0=zx γ0=zx γ中面法线不伸缩，仍为变形后曲面的法线CAUC CAUCxyxy x y y y x x EEE τµγµσσεµσσε)1(2)(1)(1+=−=−=薄板弯曲与平面应力问题有相同的物理方程。
CAUCCAUC1、几何方程byxz0=∂∂+∂∂x w z u 0=∂∂+∂∂y w z v xw z u ∂∂−=∂∂y w z v ∂∂−=∂∂),(2y x f z yw v +∂∂−=),(1y x f z xwu +∂∂−=0)(0==z u 0)(0==z v 因为：),(),(21==y x f y x fCAUCCAUCzxu ∂−=zyv ∂−=zxwx u x 22∂∂−=∂∂=εzyw y v y 22∂∂−=∂∂=εz yx w y u x v xy∂∂∂−=∂∂+∂∂=22γ221xw x ∂∂−=ρ221ywy ∂∂−=ρyx wxy ∂∂∂−=221ρ令：xx zρε=yy z ρε=xyxyz ργ=得：CAUCCAUCw y x y x xy y x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨=⎭⎬⎫⎩⎨⎧222221111ρρρρ{}w y x y x z xy y x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=222222γεεε写成列阵形式：应变列阵：CAUCCAUCxyxy x y y y x x EEE τµγµσσεµσσε)1(2)(1)(1+=−=−=xyxy x y y y x x EEE γµτµεεµσµεεµσ)1(2)(1)(122+=+−=+−={}w y x y x z xy y x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=222222γεεεyx w Ez x w y w Ez y wx w Ez xy y x ∂∂∂+−=∂∂+∂∂−−=∂∂+∂∂−−=222222222221)(1)(1µτµµσµµσCAUCCAUCyx w Ez xw y w Ez yx xyy x ∂∂∂+−=∂∂+∂∂−−=∂+∂−−=2222222221)(1)(1µτµµσµµσ其它几项应力：w yh z E w xh z E zy zx22222222)4()1(2)4()1(2∇∂∂−−=∇∂∂−−=µτµτw hz h z Eh z 4223)1()21()1(6∇+−−−=µσCAUCCAUC在薄板的上表面有：qh z z −==2)(σ得：q w Eh =∇−423)1(12µ令：)1(1223µ−=Eh D qw D =∇42、微分方程CAUCCAUC xyab边界条件：0)(,0)(0)(,0)(0)(,0)(0)(,0)(220220220220=∂∂==∂∂==∂∂==∂∂=========b y b y y y a x a x x x xww x ww x ww x w w qw D =∇4微分方程：四边简支矩形薄板的重三角级数解答——纳维叶解法CAUCCAUC设重三角级数解为：b yn a x m A w m n mn ππsinsin 11∑∑∞=∞==代入微分方程：qb yn a x m A b n am D m n mn =+∑∑∞=∞=πππsin sin )(1122224b yn a x m C q m n mn ππsinsin 11∑∑∞=∞==将),(y x q q =也展成重三角级数：CAUCCAUC222226)(16bn a m Dmn q A mn +=π（m=1,3,5, m=1,3,5, ………… n=1,3,5, n=1,3,5, …………）∑∑∞=∞=+=...5,3,1,...5,3,12222260)(sin sin 16m n bn a m mn b yn a x m D q w πππ得挠度的表达式：CAUC CAUC荷代替q ，得：dxdyP q =b n a m bn a m abD P dxdy b n a m dxdy P b n a m abD A mn ηπξππηπξππsin sin )(4sin sin )(4222224222224+=+=CAUC CAUC集中载荷作用下的简支矩形板挠度表达式：b y n a x m bn a m b m a m abD P w m n ππηπξππsin sin )(sin sin 411222224∑∑∞=∞=+=M x yxzM y{}[]zDxyyx⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=ρτσσσ1zdzMhhxx∫−=22σ1、弯曲应力zdzMhhyy∫−=22σzdzMhhxyxy∫−=22τCAUC CAUCCAUC CAUC{}zdzM M M M h xy y x ∫−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=22}{σ完成积分：⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=ρρ1][1][12}{3D D hM ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−=21000101)1(12][23µµµµEh DCAUCCAUC2b2ayxzlmn kw θ yθ x（1）节点位移单元任一节点有三个位移分量：{}⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂−∂∂=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=i i i yi xi i i x w y w w w )()(θθδ{}{}Tyk xk k ynxn n ymxm m yl xl li w w w w θθθθθθθθδ={}{}T T kT nT mTli δδδδδ=CAUCCAUC31231131029283726524321xya y x a y a xy a y x a xa y a xy a x a y a x a a w +++++++++++=写成矩阵形式：{}a xy yx yxyyx xy xy xy xw ]1[33322322=或：{}a y x M w )],([=CAUCCAUC{}a xy yx yxy yx xy xy xy xw ]1[33322322={}a xy xyxy xy x yw x ]332020100[2322=∂∂=θ{}a y y x y xy xy x xw y ]302302010[3222−=∂∂−=θCAUC CAUC⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨654310000110000001a a a a y x y x y x y x v u v u n nn n m m m m n n m m {}[]{}a A e=δ[]{}[][]{}a A A A e 11−−=δ{}[]{}eA a δ1−=[]{}[][]{}{}eey x N A y x M a y x M w δδ)],([),(),(1===−A[][]k nm lN N N N y x N =),(形函数CAUCCAUC⎥⎥⎦⎤⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=111,111,21181][2222222222222222a x x b y y a x x x b y y b y y a x x y b y a x b y y a x x b y y a x x N i i i i i i i i ii i i i （i ＝l ，m ，n ，k ）单元刚度阵：ee xy y x B N y x y x w y x y x }]{[}]{[2211112222222222δδρρρρ=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧CAUCCAUC][][k n m l B B B B B =单元内力：eB D M }]{][[}{δ=[][][][]dxdy B D B k Ts ee∫=单元刚度阵：[]{}{}Q K =δ整体方程：。
弹性力学第八章 薄板弯曲
t 2
0
zy z t 2
0
2 t2 2 Ez zx z w 2 2(1 ) 4 x 2 t2 2 Ez zy z w 2 2(1 ) 4 y
另由平衡方程可得
即
y xz yx z x y
z Ez t 2 2 4 z w 2 z 2(1 ) 4
2 3 Ez t z 4 积分得 z w F3 ( x, y ) z 2 2(1 ) 4 3
根据薄板下面内的边界条件： 可求得F3(x,y), 最后得到：
其中：
Et 3 D 12(1 2 )
4 w 2 2 w
§8-3 薄板横截面上的内力
x
z
yx
y
x
z
My
xy
xz
x
M xy
M yx
Mx
Qx
Qy
yz
y
t 2 t 2
y
t Ez 2 w 2w 2 2 M x z x dz z dz t 2 2 2 1 x y 2 2w 2w D 2 2 y x
yx
y b
0
Q
y
y b
0
因为薄板的挠度方程为一四阶偏微分方程，根据偏微 分方程的理论，在每个边界上只能有两个独立的边界 条件，这里的三个边界条件中后两个是有联系。根据 圣维南原理，可将扭矩和剪力用静力等效来代替。
M yx
M yx
M yx dx x
M yx d xd x M yx x
2 2 2 2 w w w 1 w 1 w 2 w 2 2 2 2 2 x y r r r r
第五章薄板弯曲
e
T
p( x, y)dxdy
其中[N]为板弯曲的形状函数矩阵，由式(5.11) 决定。
当横向分布载荷为常值p时（均布载荷）， 对图5-5所示的矩形板单元，M yk
Zl
M xl 1 b 4 12
M yl a 12
Zm 1 4
M xm b 12 a 12
其中V为板的体积域。
将式(5.2)及(5.3)代入上式，并沿厚度方向积 分，可得
1 2 1 1 U D p z dV 2 V
T
1 1 1 D dS 2 S
T
(5.6)
其中S为板中面的面积域，[D]为薄板弯曲的弹性 系数矩阵。 •由上式可见，薄板弯曲变形时，单位面积中面的 弹性应变能为其曲率的二次型。 •板弯曲的曲率是其挠度w的二阶导数，因而薄板弯 曲的弹性应变能为包括w二阶导数的二次泛函数。
N ( x, y) N k
Nl
Nm
Nn
(5.11)
对于图5-4所示的矩形单元，其 任一节点i的形状函数矩阵[Ni}是 一个1X3的行阵，表达如 (5.12)(p80)
单元刚阵
将式(5.10)代入式(5.1)，可得单元的曲率为
2 2 x2 1 e e N [ B] 2 y 2 2 xy
例如：在单元ij边界y=b (常数) 上 有
w( x, b) A0 A1 x A2 x A3 x
2
3
其中四个常数Ak,k=0,1,2,3 可以由四 个条件wi,wj,
yi
w
及 x
i
yj
w
薄板弯曲问题
略不计。取 εz =0
，因而有：
• 因此，板内各点的挠度w 与z 坐标无关，只是x、y 的函数。
• 2. 直线假设
• 在薄板弯曲变形前垂直于板中面的直线，在簿板弯曲变形后仍为直线， 且垂直于弯曲后的中面。这说明在平行于中面的面上没有剪应变，即：
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7.1 薄板的弯曲变形
• 3. 正应力假设 • 中面上的正应力远小于其他应力分量的假设：平行于中面的各层相互
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7.2 矩形薄板单元分析
• 最后两项的选取是使单元在边界上有三次式的形式。按照式（7.20） 可以算出转角，即：
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7.2 矩形薄板单元分析
• 将矩形单元的4 个节点坐标(ξ i , η i ) 分别代入式（7.20），就可以得 到用12 个参数来表示的节点位移分量的联立方程组，求解这12 个方 程，从中解出a1～a12，再代入式（7.21），经归纳并整理后就可以改 写成如下的形式：
• 或者写成标准形式，即：
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7.2 矩形薄板单元分析
• 其中 • 如果把形函数写成通式，即：
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7.2 矩形薄板单元分析
• 于是有：
• 其中，
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第八章 班级气氛的经营与管理
• 知道最好的一切，且将之发挥至极致，才 是成功的生活。
• 未来我们会创造一个更经济、更有效率的 世界，但是让人担心的是，人们却没有现 在过得幸福。
• 为学生营造良好的班级气氛，提供给学生优质的 学习和生活环境，让学生快乐、健康地在班级中 成长是班级管理者的义务和责任。
2022/8/29
24
一、班级气氛的涵义与作用
弹性力学 薄板弯曲
10
zx x yx
z
x y
zy y xy
z
y x
将应力分量用挠度 表示的物理方程代入上式，并化
简得：
zx
z
1
Ez
2
2
x
zy
z
1
Ez
2
2
y
由于挠度 不随z 变化，且薄板在上下面的边界条
件为：
zx z t 0, 2
zy z t 0 2
11
将上列二式对z 进行积分，得：
16
将上节给出的应力分量与挠度 之间关系代入，并积分
得：
Mx
D
2
x 2
ห้องสมุดไป่ตู้
2
y 2
My
D
2
y 2
2
x 2
M xy
M yx
D1 2
xy
Qx
D
2
x
Qy
D
y
2
上式称为薄板弯曲问题中内力与变形之间的弹性方程。
17
利用应力分量与挠度 之间的关系、薄板挠曲微分方 程以及内力与形变之间的弹性方程，消去 ，可以给出各
（1）几何方程
在薄板的中面上取一微
小矩形ABCD如图所示。它的 边长为dx和dy，载荷作用后， 弯成曲面A’B’C’D’。设A点的挠
度为 ，弹性曲面沿x和y方
向的倾角分别为 和 ，则
x y
A
dy A
w
D y
z
y
D
dx
w x
Bx
B
C
C
6
B点的挠度为 dx
x
D点的挠度为 dy
y
由
xz
0和
【弹塑性力学】6 薄板弯曲
c
y
Kx
w x 2
2
Ky
d
K xy
2w xy
• 薄板的应力分量
( x、y、xy）通过平面问题的物理方程由应变求出
( z、zx、zy）则必须由三个平衡微分方程求解给出 应力分量（z、zx、zy）尽管相对面内应力分量（x、y、 xy）很小， 它们对应的应变分量z、zx、zy可略去不计，
u 2w x z 2 x x
v 2w y z 2 y y
2
xy
v u w 2 z x y xy
y＝Kyz xy＝2Kxyz 于是应变全部给出
x=Kxz
z = yz = zx ＝0
e a
z
b 两个曲率和一个扭率
w y 2
代入方程22w=q
mx ny 4 q0 sin sin dxdy 0 0 a b Amn 2 2 m n 4abD( 2 2 )2 a b
a b
积分项为
q0 ab (1 cos m)(1 cos n) 2 mn
ny mx sin sin 16q 0 a b w 6 D m 1,3,5... n 1,3,5... m2 n2 2 mn( 2 2 ) a b
xz
Qx
t zx 2
t 2
t 2
dz
x z
xy yx
yz y
My
t 2
z y dz
M yx
t 2
t 2
y
z yx dz
Qy
t zy 2
t 2
dz
• 剪应力互等定理 xy = yx，
Mxy=Myx
弹性力学(西北工业大学)第9章弹性薄板弯曲问题
西北工业大学 力学与土木建筑学院 卫丰
高等教育出版社
HIGHER EDUCATION PRESS
授课教材
面向21世纪 课程教材
第九章 弹性薄板弯曲问题
薄板是一种常见的工程构件形式 机械、航空和土建工程应用广泛 特殊形式——小挠度薄板
目录 §9.1 薄板的基本概念和基本假设 §9.2 小挠度弯曲问题基本方程 §9.3 薄板边界条件 §9.4 矩形薄板的经典解法
D22w q
边界条件——级数解
经典解法——
矩形、圆形，规则约束条件和载荷作用
广
M
y
D(
2w y 2
2w x 2
)
M
xy
(1
)D
2w xy
义 力
广
x
2w x2
义 应
y
2w y 2
变
xy
2w xy
曲率 扭率
§ 9.2 基本方程3
薄板平衡方程
4w x 4
2
4w x 2 y
2
4w y 4
q D
D22w q
§9.3 薄板边界条件
满足基本方程和给定的边界条件 基本方程 D22w q 为四阶偏微分方程 矩形薄板，每个边界必须给出两个边界条 件。
§ 9.3 边界条件2
薄板弯曲问题的典型边界条件 1． 几何边界条件
在边界上给定边界挠度w和边界切线 方向转角 w 。
t
固定边界
2．混合边界条件
边界同时给出广义 力和广义位移
简支边界
§ 9.3 边界条件2
3． 面力边界条件
在边界给定横向剪力 和弯矩
自由边界
§9.4 矩形薄板经典解法
薄板小挠度弯曲问题基本方程
薄板弯曲问题弹性理论分析及数值计算资料
薄板弯曲问题弹性理论分析及数值计算课程设计指导教师：孙秦学院：航空学院姓名：程云鹤学号： 2011300092班级： 01011105薄板弯曲问题弹性理论分析及数值计算一、一般三维体弹性系统求解微分方程体系总结1、弹性力学中的基本假定（1）连续性，即假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满。
（2）完全弹性，物体在引起形变的外力被除去后可完全恢复原形 （3）均匀性，即假定物体是由同一材料组成的。
（4）各向同性，物体的弹性在所有各个方向都相同。
（5）和小变形假定，即假定位移和形变是微小的。
2、平衡微分方程在一般空间问题中，包含15个未知函数，即6个应力分量、6个形变分量和3个位移分量，它们都是x,y,z 坐标变量的函数。
对于空间问题，在弹性体区域内部，考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立平衡微分方程、几何方程和物理方程；并在给定约束面或面力的边界上，建立位移边界条件或应力边界条件。
然后在边界条件下根据所建立的三套方程求解应力分量、形变分量和位移分量。
在物体内的任一点P ，割取一个微小的平行六面体，如图1-1所示。
根据平衡条件即可建立方程。
(1)分别以连接六面体三对相对面中心的直线为矩轴，列出力矩的平衡方程0=∑M ，可证明切应力的互等性：yx xy xz zx zy yz ττττττ===,,(2)分别以轴轴、轴、z y x 为投影轴，列出投影的平衡方程0=∑x F ，0=∑y F ，0=∑z F ，对方程进行约简和整理后，得到空间问题的平衡微分方程如下⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂000z yzxz z y xyzy y x zx yx x f y x z f x z y f z y x ττσττσττσ (1-1)3、物体内任一点的应力状态现在，假定物体在任一点P 的6个直角坐标面上的应力分量 ,,z y x ，σσσyx xy xz zx zy yz ττττττ===,,为已知，试求经过P 点的任一斜面上的应力。
第14次课第7章弹性薄板弯曲
内力(广义应力):
σx, σy,τxy
为 z 的奇函数，因此它们在薄板全厚度 上的代数和为零，只能在截面上分别形成弯矩Mx, My 及扭矩Mxy。而剪应力τxz，τyz 将分别形成横剪力Qx ， Q y。
Ez x 1 2 Ez y 1 2 2w 2w x 2 y 2
Eh 1 z 6 1 2 h
3
2
z 4 1 w h
现在导出用w 表示的平衡微分方程,在薄板的上面
有边界条件
z z h
q
2
其中q 是薄板每单位面积内的横向荷载，包括横向面力 及横向体力。将σz 的表达式代入上述边界条件可得
下面来推导用w 表示的σz 的表达式，如果体力分量 fz=0
可得下面平衡方程式：
xz yz z z x y
和上面的推导方法相同，利用边界条件 可得
z z h
0
σz 的表达式
2
h2 E h 1 3 h3 4 z z z w 2 2 3 8 2 1 4
2 2 Ez 抖 w w sx= ( + m ) t 2 2 2 1- m 抖 x y 2 2 Ez 抖 w w sy= ( + m ) t 2 2 2 1- m 抖 y x zx 2 E h 2 = ( z ) 2 2(1- m ) 4 x 2 E h 2 = ( z ) 2 2(1- m ) 4 x 2
9.2弹性曲面的基本微分方程
薄板的小挠度弯曲问题是按位移求解的， 即取挠度w(x,y)为基本未知函数。因此，要 用w (x,y)来表示其他物理量，来建立所谓的 弹性曲面微分方程。
有限元4-薄板弯曲问题
有限元4-薄板弯曲问题第4章弹性薄板弯曲问题的有限元法薄板弯曲问题在理论上和应用上都具有重要意义,并有专门著作加以论述（如耀乾《平板理论》）。
象其它弹性力学问题一样，用微分方程、差分法等经典方法所能求解的薄板问题很有限，一般只能解决等厚、小孔口、支承情况较简单的单跨板。
故工程设计中以往多采用简化、近似、图表等方法来解决板的设计问题。
在板的分析中，常取板的中面为xoy 平面(如图)。
平板结构按其厚度t 与短边a 的比值大小而分为:厚板（Thick plate ）和薄板（Thin plate)两种。
当1<<a< p="">t时称为薄板平板上所承受的荷载通常有两种:1. 面拉压荷载。
由面拉压刚度承担, 属平面应力问题。
2. 垂直于板的法向荷载, 弯扭变形为主,具有梁的受力特征, 即常说的弯曲问题。
平板在垂直于板面的荷载作用下产生挠度W 。
当最大挠度w 远小于t 时, 称为小挠度问题(or 刚性板)(stiffness plate) 当最大挠度w 与t 相差不大时,称为大挠度问题(or 柔性板)(flexure plate)(工程定义: 51≤t w 为刚性板；551≤≤tw 为柔性板； 5>tw为绝对柔性板。
) 4.1 基本理论一、基本假定１、略去垂直于中面的法向应力。
（0=z σ），即以中面上沿Z 方向的挠度W 代表板的挠度)２、变形前垂直中面的任意直线，变形后仍保持为垂直中面的直线。
（─法向假定0=zx τ,0=zy τ）３、板弯曲时，中面不产生应力。
(─中面中性层假定)上述假定常称为薄板小挠度问题假定（or 柯克霍夫假定）。
符合上述假定的平板即为刚性板。
二、基本方法以上述假定为基础，板分析中常用挠度w 作为基本未知量,下面介绍以w 为基本未知量所导出的有关方程。
１、几何方程（应变─挠度关系）①弹性曲面沿x, y 方向的倾角从中面取出一微小矩形ABCD ，如图所示，设其边长为dx, dy ，变形后弯曲成曲面A'B'C'D' 设A 点挠度w , 则沿x 方向倾角(绕y 轴)x wy ??=θ (B ’点绕度 dx xw w ??+) 沿y 方向倾角(绕x 轴)y wx ??=θ (D ’点绕度 dy yw w ??+) ② 沿x, y 方向位移作平行于xoz 平面,设中面上点A 到A 1的距离为Z ，变形后,A 点有挠度W, 同时发生弯曲，曲面沿x 方向的倾角为xw, 根据法线假定,则A 1点沿x 方向的位移:x wz u ??-= (负号为方向与x 相反)同理取yoz 平面得： y w z v ??-= (4-1-1)③ Z 平面的应变分量和曲、扭率基本假定，由于0===zy zx zττσ, 故板任意点的应变与平面问题相同:xv y u yv x uxy y x ??+=??==εεε→代入将V U .{}??-??-??-=y x w z y w z x w z xy y x 222222εεεε＝ (4-1-2)此为Z 平面的应变─挠度度几何方程。
弹塑性力学6薄板弯曲
Mxy
Mx
z
My
Myx
Qx
y
Qy
• 内力由挠度表示
将应力的表达式代入积分得到
M
x
D(
2w x 2
v
2w y 2
)
D(K x
vK
y
)
M
y
D(
2w y 2
v
2w x 2
)
D(K
y
vK x
)
M
xy
M
yx
D1 2w
xy
Qx
D 2w x
利用板下面的边界条件 z zt 0 ， f(x,y)=0
2
z
Et 3 6(1 v2 )
1 2
-
z t
2
1
z t
4w
z沿板厚度方向呈三次方变化 最大值发生在板面为q，最小值在板底为0。
• 薄板的平衡微分方程
利用板上面的边界条件 z zt q ，得：
m1,3,5... n1,3,5...
m2 a2
n2 b2
mn(
m2 a2
n2 b2
)2
sin
mx
a
sin
ny
b
M y
16q0 4
m2 a2
2
mn( m m1,3,5... n1,3,5...
n2
b2 n2 )2
sin
mx sin a
ny b
弹性力学第9章—薄板的弯曲
O
a
x
z
y
边界条件
( w) x =0,a ( w) y =0,b ⎛∂ w⎞ =0 ⎜ 2 ⎟ =0 ⎝ ∂x ⎠ x =0,a
2
因为任意的荷载函数q总能展 开成双重三角级数，因此纳维解的 基本形式为
∞
⎛ ∂2w ⎞ =0 ⎜ 2 ⎟ =0 ⎝ ∂y ⎠ y =0,b
mπ x nπ y sin w = ∑ ∑ Amn sin m =1 n =1 a b
9.3 薄板的边界条件
薄板的边界条件可以分为以下三类， （1）位移边界条件，即在边界上给定挠度和转角； （2）静力边界条件：给定边界横向剪力、弯矩； （3）混合边界条件：在边界上同时给定广义力和广义位移。
9.3.1 固定边界
x
y
x
侧视图
( w ) x =0 = 0
⎛ ∂w ⎞ ⎜ ⎟ =0 ⎝ ∂x ⎠ x =0
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
俯视图
9.3 薄板的边界条件
9.3.2 简支边界
x
y
x
侧视图
⎫ ( w ) x =0 = 0 ⎪ ( M x ) x =0 = 0 ⎬ ⎪ ⎭
俯视图
将上式中的弯矩用挠度函数来表示，则有
( w ) x =0 = 0
⎛ ∂2w ⎞ ⎜∂ 2⎟ ⎝ x ⎠ x =0
⎫ ⎪ ⎬ = 0⎪ ⎭
9.3 薄板的边界条件
9.3.3 给定广义力的方案
x
x=a
侧视图 俯视图 以广义力为零的自由边界为例，x=a处的边界条件为
⎪ ⎪ M 0 = ( xy ) x=a ⎬ ⎪ (Qx ) x =a = 0 ⎪ ⎭
( M x ) x =a = 0 ⎫
其中第1式分布弯矩可以根据 M x = D (κ x + vκ y ) 用挠度函数表示
【弹塑性力学】6 薄板弯曲
Qy D
2 w y
• 应力与内力的关系
12 z x 3 M x t
6 t2 yz 3 ( z 2 )Q y t 4
12 z y 3 M y t
xy
12 z 3 M xy t
6 t2 zx 3 ( z 2 )Qx t 4
Et 3 4 wq 2 12(1 ) Et 3 D＝ 12(1 v 2 )
D是板的弯曲刚度，板厚的三次方成正比，与弹模成正比，与 梁的弯曲刚度类似
D4 w q
• 薄板横截面上的内力
x
M x z x dz
M xy
t 2 t 2
t 2 t 2
z xy dz
3w 3w x 3 (2 ) xy 2 ＝0 x a
3w 3w y 3 (2 v) x 2y ＝0 y b
2w 2w y 2 x 2 ＝0 y b
x
z
My Mxy Myx Qy Qx Mx
y
• 内力由挠度表示
将应力的表达式代入积分得到
2w 2w M x D( 2 v 2 ) D( K x vK y ) x y 2w 2w M y D( 2 v 2 ) D( K y vK x ) y x 2w M xy M yx D1 xy
3w 3w V y D 3 (2 v) 2 x y y
O
2w RB 2 D(1 v)( ) xy
C
x
b
A y
a
B
（1）自由边
弯矩和合成剪力为零，因此，
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力和横向体力），板上面的边界条件为:
z z t q 2
将 z的表达式代入该边界条件，得薄板挠曲微分方程:
4 q
D
14
其中
D
12
Et 3
1
2
称为薄板的弯曲刚度。
薄板挠曲微分方程也称为薄板的弹性曲面微分方 程，它是薄板弯曲问题的基本微分方程。
15
第三节 横截面上的内力
D点的挠度为 dy
y
由
xz
0和
yz
0 可知
u z
w x
0,
或写成 u w , z x
v w z y
v w 0 z y
对z进行积分，并利用 uz0 0, vz0 0 ，得
u w z, v w z
将应力分量用挠度 表示的物理方程代入上式，并化
简得：
zx
z
Ez
1 2
2
x
zy Ez 2 z 1 2 y
由于挠度 不随z 变化，且薄板在上下面的边界条
件为：
zx z t 0, 2
zy z t 0 2
12
（1）几何方程
在薄板的中面上取一微
小矩形ABCD如图所示。它的
边长为dx和dy，载荷作用后，
弯成曲面A’B’C’D’。设A点
的挠度 为 ，弹性曲面沿x和
y方向的倾角分别为 和 ， x y
则
A
dy A
w
D y
z
y
D
dx
w x
Bx
B
C
C
7
B点的挠度为 dx
x
则称为薄板。
我们把平分板厚度的平
面称为中面。
o
x
将坐标原点取于中
面内的一点，x 和y 轴
y
z
在中面内，z 垂直轴向
下，如图所示。
3
当薄板受有一般载荷时，总可以把每一个载荷分解 为两个分量，一个是垂直于中面的横向载荷，另一个是 作用于中面之内的纵向载荷。对于纵向载荷，可认为它 沿薄板厚度均匀分布，按平面应力问题进行计算。本章 只讨论由于横向载荷使薄板弯曲所引起的应力、应变和 位移。
2
2w xy
所以应变分量又可写成
x kxz y kyz
xy kxyz
9
（2）物理方程
不计 z 所引起的应变，物理方程为：
x
1 E
x
y
y
1 E
y
x
xy
21
E
xy
把应力分量用应变分量表示，得：
x
将上列二式对z 进行积分，得：
zx
E
2 1 2
z2
t2 4
x
2
zy
E
2 1 2
z2
t2 4
y
2
再由平衡微分方程第三式，得：
z zx zy
z x y
将 zx , zy 用挠度 表达式代入，并化简得：
每单位宽度之值如下：
dx
16
同理
t
M x
2 t
x
xy
E
1
2
xy
z
上式说明，主要的应力分量 x , y , xy 沿板的厚度线 性分布。
（3）弹性曲面微分方程 在不计体力的情况下，由平衡方程的前二式得：
11
zx x yx
z
x y
zy y xy
z
y x
在薄板横截面上取一微分六面体， dy
其三边的长度分别为 dx, dy,t ,如图所
示。在垂直于x 轴的横截面上，作用着
t 2
正应力 x和剪应力 xy, xz。由于 x 和
t 2
x
在板厚上的总和为零，只能分别合
y
成为弯矩
M
和扭矩
x
M
x
y
；而
x
只能合
z
成横向剪力Qx。
显然，在垂直于x 轴的横截面上，
x
y
于是应变分量用 表示为:
x
u x
2w x2
z
y
v y
2w y 2
z
xy
u y
v x
2
2w xy
z
8
小变形下，由于挠度是微小的，弹性曲面在坐标方向的
曲率可近似地用挠度 表示为:
kx
2w x 2
ky
2w y 2
kxy
z
z
E
21 2
t2 4
z2
4
（1）
13
由于挠度 不随z 变化，且薄板有边界条件:
z z t 0 2
将（1）式对z 积分，得:
z
Et3
6 1 2
1
z
2
1
z
4
2 t t
设在薄板顶面上每单位面积作用的载荷q(包括横向面
xz 0,
yz 0
（3）板面为中性层假设
即
uz0 0, vz0 0
由几何方程得
x z0 0, y z0 0, xy z0 0
（4）应力 z 对变形的影响很小，可以略去不计。亦即认为
z 0
6
第二节 基本方程
按位移求解薄板弯曲问题。取薄板挠度 为基本未知 量，把所有其它物理量都用 来表示。
4
第一节 基本假设
薄板小挠度弯曲问题，通常采用如下假设： （1）板厚不变假设
垂直于中面方向的正应变 z 很小，可以忽略不计。
即 z 0
，由几何方程得
z
0 ，从而有：
x, y
即：在垂直于中面的任一条法线上，各点都具有相同的 挠度。
（2）中面法线保持不变假设
5
在变形前垂直于中面的直线，变形后仍为直线，并垂 直于弯曲后的中面。即
E
1 2
x y
y
1
E
2
y x
xy
E
21
xy
10
将应力分量用挠度 表示，得：
x
1
E
2
2
x 2
2
y 2
z
y
E
1 2
2
y 2
2
x 2
z
1
第十二章 薄板弯曲
概述 第一节 基本假设 第二节 基本方程 第三节 横截面上的内力 第四节 薄板的边界条件 第五节 薄板弯曲的直角坐标求解 第六节 圆形薄板的轴对称弯曲 第七节 变分法求薄板的位移
2
概述
薄板区别于厚板。通常情况下，板的厚度t与板面的 最小尺寸b的比值满足如下条件。
1 ~ 1 ＜ t ＜ 1 ~ 1 80 100 b 5 8