圆形薄板

应力分别为：
Ε d2 ω ν d ω z + σρ = 2 2 1 ν d ρ ρ dρ z Ε 1 dω d2 ω σ = +ν 2 2 1 ν ρ d ρ dρ
τ ρ = τ ρ = 0
在弹性曲面微分方程解答中的ω1是任意一 个特解，可以根据载荷的分布按照弹性曲面微 分方程的要求来选择；A、B、C、K任意常数， 由边界条件来决定。 对于均布载荷q，取特解ω1=N ρ 4 代入微分 方程，可解得N=q/64D。 得特解 ω1=q ρ 4/64D 所以轴对称载荷的圆板弯曲的一般解为： （解题思路→A、B、C、K）
可记为 其中
D 4 w = q Et 2 D= 12(1 ν 2 )
截面上的内力：弯矩 My 由 可得
M x = ∫ zσ x dz
t Ez 2 w 2w 2 2 Mx = 2 + ν 2 ∫ t z dz 2 y 2 1 ν x
t 2 t 2
Mx
2w 2w Et 3 = 2 +ν 2 2 12(1 ν ) x y
Ez 2 t2 2 τ zx = z w 2 2(1 ν ) 4 x Ez 2 t2 2 τ zy = z w 2 2(1 ν ) 4 y
另由平衡方程可得
σ y τ xz τ yx = z x y
即 积分得ห้องสมุดไป่ตู้
Ez σ z t2 = z 2 4 w 2 2(1 ν ) 4 z Ez z3 4 t2 σz = z w + F3 ( x, y ) 2 2(1 ν ) 4 3
ω ω sin = cos x ρ ρ ω ω cos = sin + y ρ ρ
ω ω
2ω 1 ω 1 2ω 2ω = + + 2 2 2 ρ ρ ρ ρ
则弹性曲面的微分方程可以变换为：
2 1 1 2 2ω 1 ω 1 2ω D 2 + ρ ρ ρ + ρ 2 r 2 + ρ ρ + ρ 2 2 = q
如果用截面内力表示截面上的应力，可得
σx σy τ xy τ xz
12 M x z = 3 t 12 M y = z 3 t 12 M xy = z 3 t 6Q x t 2 2 = 3 z t 4
6Q y t 2 2 τ yz = 3 z t 4
σ z = 2 q 1 +
圆形薄板轴对称 弯曲问题
主要内容：
一、有关概念及假定 二、弹性曲面的基本公式 三、圆形薄板轴对称弯曲问题的求解 四、Mathcad解题应用
一、基本概念及假设
1、基本概念 ——中面 平分板厚度t的平 面简称为中面。 ——薄板 板的厚度t远小于 中面的最小尺寸b， 这样的板称为薄板。
2、假设 薄板的小挠度弯曲理论，是以三个计 算假设为基础的。 （1）、垂直于中面方向的正应变可以不计。 即
(ω )
y =0
= 0,
(M )
y y =0
=0
后者可表示为
2w 2w 2 + ν 2 ＝0 y x
由于沿边界的挠度为常 值0，故沿x后的导数恒 为零，边界条件又可表 示为 2w y 2 ＝0
情况三：假设薄板具有简支边界。边界上具 情况三 有力矩载荷M。这时，边界处的挠度等于零，而 弯矩等于力矩载荷。即：
这个常微分方程的解答是：
ω = Aρ + Bρ lnρ + Clnρ + K +ω1
2 2
此时，从板中取出一单元体，则单元 体单位长度上的弯矩和扭矩以及板中应力 分别为：
d2 ω ν d ω M ρ = D d ρ2 + ρ d ρ 1 dω d2 ω M = D ρ d ρ +ν d ρ 2 M ρ = M ρ = 0
M yx dx x
除此之外，在A和B 还有未被抵消的集中剪力（也 就是有集中反力）M ) M yx (
yx A
(
)
B
(M )
yx B
(M )
yx A
M yx dx x
2、板弯曲的解题思路
曲面微分方程 边界条件 挠度ω 应力分量方程
应力分量方程
Εz ω ω σx = 2 +ν 2 2 y 1 ν x
D为板的抗弯刚度
Eh D= 2 12(1 ν )
3
2、如果圆形薄板的边界是绕z轴对称的， 它所受的横向载荷也是绕z轴对称的，q只是ρ的 函数，则该薄板的弹性曲面也是绕z轴对称的， 即ω只是ρ的函数，这时，弹性曲面的微分方程 将简化为：
d2 1 d d2 ω 1 dω D 2 + d ρ ρ d ρ d ρ 2 + ρ d ρ = q
二、弹性曲面的基本公式
1、弹性曲面的微分方程。 薄板的小挠度问题是按位移求解的，其基 本未知函数是薄板的挠度ω。因此把其它 所有物理量都用ω来表示，即可得弹性曲 面的微分方程。
Et 3 4ω = q 12 (1 ν 2 )
其中
2ω 2ω ω = + 2 x y 2
2
下面对弹性曲面的微分方程进行推导。 由假设 可得 即 积分得
（3）、薄板中面内的各点都没有 平行于中面的位移，即：
(u )
z =0
= 0,
(ν )
z =0
=0
所以由几何方程可以得出：
(ε )
(ε ) (γ )
x z =0 y z =0 xy z = 0
= 0, =0
= 0,
也就是说，中面的任意一部分，虽然弯曲成 弹性曲面的一部分，但它在xy面上投影的形 状却保持不变。
另由平衡方程可得
τ zx σ x τ yx = z x y τ zy σ y τ xyx = z y x
即
τ zx Ez = z 1 ν 2 τ zy Ez = z 1 ν 2
3w 3w Ez 2 w = 3 + 2 2 x x y 1 ν x 3w 3w Ez 2 w 3 + = 2 2 y y x 1 ν y
根据薄板下面内的边界条件：
(σ )
z z=
可求得F3(x,y), 最后得到： 2 2 Et 1 z σz = 1 + 2 6(1 ν ) 2 t
t 2
=0
z 4 w t
根据薄板上面内的边界条件：
(σ )
代入
2
z z =
t 2
=q
2
Et z 4 1 z σz = 1 + w 2 6(1 ν ) 2 t t Et 2 4 w = q 最后得到： 12(1 ν 2 )
M yx
M yx M yx + dx x
M yx
M yx M yx + dx x
M yx
M yx M yx + dx x
M yx
M yx M yx + dx x
(M )
(M )
M yx dx x
yx A
yx A
边界上的分布扭矩就变换为等效的分布剪力 边界上的总的分布剪力为
M yx Vy = Q y + dx x
同样可得Qy, 记 可得
Et 2 D= 12(1 ν 2 )
2w 2w M x = D 2 + ν 2 x y 2w 2w M y = D 2 + ν 2 y x 2w M xy = D(1 ν ) xy 2 Qx = D w x Q y = D 2 w y
Et w = 12(1 + ν ) xy
3 2
截面上的内力：剪力 由
Ez 2 t2 2 τ zx = z w 2 2(1 ν ) 4 x
τ xz
Qx
t Ez 2 2 2 t 2 可得 Qx = w ∫ t z dz 2 1 ν x 4 2
Et 3 2 = w 12(1 + ν ) x
(ω )
y =0
= 0,
(M )
y y =0
=M
情况四：假设薄板具有自由边界。边界上 情况四 具有力矩载荷Mx或My、Mxy及分布剪力Qx或Qy。 这时，弯矩等于边界力矩载荷, 扭矩Mxy应转换 为等效剪力与原有分布剪力Qx或Qy 合并为一 个条件，分析如下。
M yx d xd x M yx + x
γ zx = 0, γ yz = 0
这里与梁的弯曲 相同之处，也有不同 之处，梁的弯曲我们 只考虑横截面，板的 弯曲有两个方向，要 考虑两个横截面上的 应力。
结合第一假设，可见中面的法线在薄板 弯曲时保持不伸缩，并且成为弹性曲面的法 线。 由于不计σ z 所引起的形变，所以其物 理方程与薄板平面问题中的物理方程是相同 的。
= 0,
(ν )
z =0
=0
f1 ( x , y ) = 0
f 2 ( x, y ) = 0
w u= z x w v= z y
由几何方程可得 u 2w εx = = 2 z
x x u 2w = 2 z εy = y y u v 2w γ xy = + = 2 z y x x y
由物理方程可得
Ez 2 w 2w σx = 2 +ν 2 2 1 ν x y Ez 2 w 2w σy = 2 +ν 2 2 1 ν y x Ez 2 w τ xy = 1 + ν xy
qρ ω = Aρ + Bρ lnρ + Clnρ + K + 64D
4 2 2
3、典型问题的边界分析 对于无孔圆板受均布载荷的问题 ※ 由于薄板中心无孔，所以B和C应当等于零。 否则板中心（R=0）处内力及挠度将无限大（参 考前内力公式）。而A、K 则由边界条件求解。
2 2
Εz ω ω σy = 2 +ν 2 2 1 ν y x
2 2
Εz ω τ xy = 1 + ν xy
2
三、圆形薄板弯曲问题
1求解圆形薄板弯曲问题时，用极坐标比较 方便。把挠度和横向载荷都看作是极坐标ρ 和φ的函数。即： ω=ω(ρ, φ)，q=q(ρ, φ) φ) q=q(ρ, 进行坐标变换可得： φ ρ
γ zx = 0
γ
γ yz = 0
u w w v + =0 + =0 z x y z u w v w = =0 = z x z y w u= z + f1 ( x , y ) x w v= z + f 2 ( x, y ) y
根据薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移即：
(u )
可得
z =0
积分得
Ez 2 2 w + F1 ( x, y ) τ zx = 2 2(1 ν ) x Ez 2 2 w + F2 ( x,y) τ zy = 2 2(1 ν ) y
根据薄板上下面内的边界条件：
(τ )
zx z = ±
t 2
=0
(τ )
zy z = ± t 2
=0
可求得F1(x,y), F2(x,y) , 最后得到：
1 2
z t
2
z t
截面上的最大应力，正应力发生在板的上下 面上，切应力发生在板的中面上，其值为
(σ x ) (σ y )
z= t 2
6M x = 2 t 6M y = 2 t 6 M xy = 2 t 3Q x = 2t 3Q y = 2t = q
z=
t 2
(τ xy ) z =0 (τ xz ) z =0 (τ yz ) z =0 (σ z )
z= t 2
3、边界条件 边界上的应力边界条件，一般难于精确满足， 一般只要求满足边界内力条件。 情况一： 情况一：以矩形薄板为例，说明各种边界处 的边界条件。假设OA边是固支边界， 则边界处的 挠度和曲面的法向斜率等于零。即
(ω )
x=0
= 0,
ω =0 x x =0
情况二：OC具有简支边界。则边界处的挠度 情况二 和弯矩等于零。即：
εz = 0
由几何方程可得
ω = 0, ω = ω ( x , y ) z
也就是说，在中面的任意一根法线上，薄板全厚 度内所有各点都具有相同的位移，其值等于挠度。 与梁的弯曲相似，在梁的任意一横截面上，所有 各点都具有相同的位移，其值等于轴线的挠度。
（2）、应力分量 τ zx , τ zy 和 σ z 远小于其余 三个应力分量，因而是次要的，它们所引起的 形变可以不计。但它们本身是维持平衡所必需 的，不能不计。所以有：
同样可得
2w 2w Et 3 My = 2 +ν 2 2 x 12(1 ν ) y
截面上的内力：扭矩
由
Ez 2 w τ xy = 1 + ν xy
M xy = ∫ zτ xy dz
t 2 t 2
M xy
τ xy
可得
t Ez 2 w 2 2 M xy = ∫ 2t z dz 1 + ν xy