2017年广东省深圳市高考数学一模试卷(文科)

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广东省深圳市2017届高三上学期第一次三校联考数学(文)试题 Word版含答案

广东省深圳市2017届高三上学期第一次三校联考数学(文)试题 Word版含答案

绝密★启封并使用完毕前深圳市2017届高三年级第一次三校联考数学(文科)试卷考试时长:120分钟 卷面总分:150分注意事项:答案写在答题卡指定的位置上,写在试题卷上无效.选择题作答必须用2B 铅笔,修改时用橡皮擦干净.解答题作答必须用黑色墨迹签字笔或钢笔填写,答题不得超出答题框.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{|}{|0}1xM x x x N x x ===≥-,,则M N = ( ) A. ∅ B. {0} C. {1} D. {01}, 2. 0x <“”是ln(1)0x +<“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 复数212ii +-的共轭复数为( ) A .35i - B .35i C .i - D .i4. 对于函数3()tan f x a x bx cx =++(R a b c ∈、、),选取a b c 、、的一组值计算(1)f 、(1)f -,所得出的正确结果可能是( )A .2和1B .2和0C .2和1-D .2和2-5. 执行如图所示的程序框图,则输出的结果是( )A .16B .56C .17D .676. 将函数2sin(2)6y x π=+的图象向左平移14个周期后,所得图象对应的函数为( )A .22sin(2)3y x π=+B .52sin(2)12y x π=+C .2sin(2)3y x π=-D .2sin(2)12y x π=-7. 已知当1x <时,()(2)1f x a x =-+;当1x ≥时,()x f x a =(0a >且1)a ≠.若对任意12x x ≠,都有1212()()0f x f x x x ->-成立,则a 的取值范围是( )A. (1 2),B.C. D. (0 1)(2)+∞ ,,8. 已知αcos 2α=( ) A. 53-B. 53±C. D. 54±9.()f x 在定义域上的最小值为( )A.B.C.D. 10. 若x y ,满足约束条件 1 233y x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≥⎩,,,则34z x y =+的最小值为( ) A. 3 B. 72C. 4D. 21511.则a b c ,,满足 ( ) A .a b c >> B .a c b >> C .b a c >> D .b c a >>12. 若()f x 是定义在(0 )+∞,上的单调函数,且对任意2(0)[()log ]3x f f x x ∈+∞-=,,,则方程()()2f x f x '-=的解所在区间是( )A BC .(1 2),D .(2 3),第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答.二、 填空题:本大题共4小题,每小题5分.13. 已知平面向量(1,2),(2,),a b m ==-且a b ⊥ ,则||______a b += .14. 曲线sin e x y x =+(其中e 为自然对数的底数)在点(0 1),处的切线方程是_________. 15. 设当α=x 时,函数x x x f cos sin 3)(+=取得最大值,则tan 2______α=. 16. 若定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+<且(0)3f =,则不等式2()1ex f x >+(其中e 为自然对数的底数)的解集为_________.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分)在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若21s i n s i n c o s co s =-C B C B . (Ⅰ) 求A ;(Ⅱ) 若4,32=+=c b a ,求ABC ∆的面积.18. (本小题满分12分)已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ,且c n S n +=2(N n *∈). (Ⅰ) 求c ,n a ; (Ⅱ) 若2nn na b =,求数列{}n b 前n 项和n T .19. (本小题满分12分)某气象站观测点记录的连续4天里,AQI 指数M 与当天的空气水平可见度y (单位km )的情况如下表1:哈尔滨市某月(以30天计)的AQI 指数频数分布如下表2:(Ⅰ) 设100Mx =,根据表1的数据,求出y 关于x 的回归方程; (参考公式: ,y bxa =+ 其中1221ˆ=,ni ii nii x ynx y b ay bx xnx==-=--∑∑ )(Ⅱ) 小张开了一家洗衣店,经统计,当M 不高于200时,洗衣店平均每天亏损约2000元,当M 在200至400时,洗衣店平均每天收入约4000元,当M 大于400时,洗衣店平均每天收入约7000元,根据表2估计小张的洗衣店该月份平均每天的收入.20. (本小题满分12分)已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足2()23(0)f x x x x =-->.(Ⅰ) 若函数()()g x f x a =-有4个零点,求实数a 的取值范围;(Ⅱ) 求(1)4f x +≤的解集.21. (本小题满分12分)已知函数2()ln (R)f x x ax a =-∈. (Ⅰ) 讨论)(x f 的单调性;(Ⅱ) 若对于),0(+∞∈x ,1)(-≤a x f 恒成立,求实数a 的取值范围.请考生在22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号. 22. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,AB 是圆O 的直径,弦BD ,CA 的延长线相交于点E ,EF 垂直BA 的延长线于点F .(Ⅰ) 求证:DEA DFA ∠=∠;(Ⅱ) 若30EBA ∠= ,EF =2EA AC =.求AF 的长.23. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系. 设曲线⎩⎨⎧==ααsin cos 3y x C :(α为参数);直线4)sin (cos =+θθρ:l .(Ⅰ) 写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程; (Ⅱ) 求曲线C 上的点到直线l 的最大距离.24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设函数212)(--+=x x x f . (Ⅰ) 求不等式2)(>x f 的解集;(Ⅱ) 若R x ∀∈,t t x f 211)(2-≥恒成立,求实数t 的取值范围. 2017届高三年级第一次三校联考数学(文科)试卷参考答案与评分标准一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13. 10. 14. 21y x =+ . 15. 43-. 16. )0,(-∞.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)解:(1)21sin sin cos cos =-C B C B ,21)cos(=+∴C B ………………2分 又π<+<C B 0 ,3π=+∴C B…………………4分π=++C B A ,32π=∴A . …………………6分 (2)由余弦定理A bc c b a cos 2222⋅-+=得32cos22)()32(22π⋅--+=bc bc c b即:)21(221612-⋅--=bc bc ,4=∴bc …………………10分323421sin 21=⋅⋅=⋅=∴∆A bc S ABC…………………12分18.(本小题满分12分) 解:(1)∵2n S n c =+∴ 111a S c ==+,221(4)(1)3a S S c c =-=+-+=,3325a S S =-= …………2分又∵{}n a 等差数列,∴66c +=,0c =; …………3分312d =-=;1111a S c ==+=, ……4分∴12(1)21n a n n =+-=-……………………5分(2)212n nn b -=……………………6分 231135232122222n n n n n T ---=+++++ …………① ……………………7分234111352321222222n n n n n T +--=+++++ ……② ……………………8分①-②得 2341111111212()2222222n n n n T +-=+++++-……………………9分112212211])21(1[2122121+-----⨯+=n n n n T ……………………10分11323222n n n T ++=-……………………11分 2332n nn T +=- ……………………12分19.(本小题满分12分) 解:(1)97310.5 3.5 6.59.55,544x y ++++++==== …………………2分4190.5+7 3.5+3 6.5+19.5=58i ii x y==⨯⨯⨯⨯∑;42222219+7+3+1=140ii x==∑258455212141ˆˆ,551404520204b a -⨯⨯⎛⎫==-=--⨯= ⎪-⨯⎝⎭ …………………6分 所以y 关于x 的回归方程是2141ˆ204yx =-+ ………………………7分 (2)根据表2知:30天中有3天每天亏损约2000元,有6天每天收入约4000元,有21天每天收入约7000元,故该月份平均每天的收入约为()12000340006700021550030-⨯+⨯+⨯=(元)……………12分20.(本小题满分12分)解:(1)因为)(x f 是定义在R 上的奇函数,且2()23(0)f x x x x =-->,则2223,(0)()0,(0)23,(0)x x x f x x x x x ⎧-->⎪==⎨⎪--+<⎩. ………2分从而可得函数()y f x =与()y f x =的图象分别如下图所示. ………4分因为函数()()g x f x a =-有4个零点,则题设可等价转化为函数()y f x =与函数y a =的图象有4个交点. ……………5分由右上图可知,4a =或03a <≤, ………6分 即:当4a =或03a <≤时,函数()()g x f x a =-有4个零点. …………7分(2)令()4f x =得,1x =或1-, …………8分因为)(x f 是定义在R 上的奇函数,当()4f x =-时,解得1x =-或1 …………9分结合左上图可知,(1)4111f x x +≤⇔-≤+≤, …………10分即:2x -≤≤……………11分所以所求解集为[-. ……………12分21.(本小题满分12分)解:(1) 函数)(x f 的定义域为),0(+∞.因为2112'()2ax f x ax x x-=-=, …………1分所以:(i )当0≤a 时,'()0f x >对),0(+∞∈∀x 恒成立,所以)(x f 在),0(+∞上单调递增; …………2分(ii )当0>a 时,令'()0f x x =⇒=x =. …………3分 当ax 210<<时,'()0f x >;当ax 21>时,'()0f x <. 所以)(x f 在)21,0(a 上单调递增;)(x f 在),21(+∞a上单调递减. ……4分 (2)令)0(1ln 1)()(2>+--=+-=x a ax x a x f x g则依题意,01ln )(2≤+--=a ax x x g 对),0(+∞∈∀x 恒成立. …………5分由于212'()'()ax g x f x x-==,所以由(1)可知:当0≤a 时,)(x g 在),0(+∞上单调递增;当0>a 时,)(x g 在)21,0(a 上单调递增;在),21(+∞a上单调递减.此时,)(x g 在 ax 21=处取得最大值. …………6分 若0≤a ,因为012)1(>+-=a g ,显然与题设相矛盾; …………7分若0>a ,则题设等价于02121ln )21(max )(≤+-==a a a g x g (*),……8分 不妨设at 21=,则221,0t a t =>.所以(*)式等价转化为02121ln 2≤+-t t (0>t ). …………9分 记)0(2121ln )(2>+-=t tt t F ,则0)1(=F . 因为311'()0F t t t =+>,所以)(t F 在),0(+∞上单调递增. …………10分 所以100)(≤<⇔≤t t F , …………11分即:1210≤<a,解得,21≥a .所以所求的实数a 的取值范围为),21[+∞. …………12分 请考生在第22~24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲解:(1)证明:连接AD ,BC . ………………………1分 因为AB 是圆O 的直径.所以090ADB ACB EFA ∠=∠=∠=,故A ,D ,E ,F 四点共圆,所以DEA DFA ∠=∠. …………………4分 (2)在Rt EFA ∆和Rt BCA ∆中,EAF BAC ∠=∠, 所以EFA ∆∽BCA ∆,故EA AFAB AC=. ……………6分 在Rt EFA ∆中,222AF EF AE +=.设AF a =,又EF 030EBA ∠=, 所以3BF =,则3AB a =-, 所以21(3)(3)2a a a ⋅-=+,解得1a =.所以AF 的长为1. ………………………10分23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程解: (1)将C 转化普通方程为:1322=+y x ………………………2分 将l 转化为直角坐标方程为:04=-+y x ………………………4分- 11 - (2)在1322=+y x 上任取一点A ()ααsin cos 3,,则点A 到直线的距离为d =………………………8分因为]1,1[60sin(-∈︒+)α 所以当d 时,1)60sin(-=︒+α的最大值为. ………………………10分24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式证明选讲 解:(1)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+<≤---<--=.2,3221,1321,3)(x x x x x x x f ,,………………………2分 当5,5,23,21-<∴-<>---<x x x x 当21,1,213,221<<∴>>-<≤-x x x x 当2,1,23,2≥∴->>+≥x x x x综上所述 {}51|-<>x x x 或 .………………………6分 (2)易得25)(min -=x f ,若R x ∈∀,t t x f 211)(2-≥恒成立, 则只需t t x f 211)(2min -≥………………………8分5210511221125)(22min ≤≤⇒≤+-⇒-≥-=t t t t t x f , 综上所述521≤≤t .………………………10分。

2016-2017学年广东省深圳市宝安区高三(上)摸底数学试卷(文科)(解析版)

2016-2017学年广东省深圳市宝安区高三(上)摸底数学试卷(文科)(解析版)
2016-2017 学年广东省深圳市宝安区高三 (上) 摸底数学试卷 (文 科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1. (5 分)已知 A={1,2,4,8,16},B={y|y=log2x,x∈A},则 A∩B=( A.{1,2} B.{2,4,8} C.{1,2,4} ) D. ) )
A.2
B.﹣3
C.
D.Leabharlann 10. (5 分)某几何体的三视图如右图,其正视图中的曲线部分为半个圆弧,则该几何体的 表面积为( )
A.19+πcm C.10+6
2
B.22+4πcm
2
2 2
+4πcm
D.13+6
+4πcm
11. (5 分)已知三棱锥 S﹣ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形,AB=2,SA=SB =SC=2,则三棱锥的外接球的球心到平面 ABC 的距离是( A. B.1 C.
2
C.8
D.2+log35 )
7. (5 分)命题“∀x∈[1,2],x ﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( A.a≥4 B.a≤4 C.a≥5
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D.a≤5
8. (5 分)已知
,则 z=2
2x+y
的最小值是(

A.1
B.16
C.8 )
D.4
9. (5 分)执行如图的程序框图,则输出 S 的值为(
D.{1,2,4,8}
2. (5 分)若复数 z 满足(1+2i)z=(1﹣i) ,则|z|=( A. B. C.
3. (5 分)函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则(

2017年广东省深圳市第一次调研数学文科

2017年广东省深圳市第一次调研数学文科

绝密★启用前 试卷类型:A2011年深圳市高三年级第一次调研考试数学(文科) 2011.3本试卷共6页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.参考结论:若锥体的底面积为S ,高为h ,则锥体的体积为13V Sh =.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0 1 2A =,,,集合{}2B x x =>,则AB =A .{}2B .{}0 1 2,,C .{}2x x >D .∅2.复数34i i +()(其中i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限3.双曲线2214y x -=的渐近线方程为A .1x =±B .2y =±C .2y x =±D .2x y =±4.已知:p 直线1:10l x y --=与直线2:20l x ay +-=平行,:1q a =-,则p 是q 的A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件5.设数列{}1n -()的前n 项和为n S ,则对任意正整数n ,n S =A .112n n ⎡⎤--⎣⎦()B .1112n --+()C .112n -+()D .112n --()6.如图所示的方格纸中有定点 O P Q E F G H ,,,,,,,则OP OQ += A .OH B .OG C .FO D .EO7.在同一平面直角坐标系中,画出三个函数2sin 24f x x π=+()(),sin 23g x x π=+()(),cos 6h x x π=-()()的部分图象(如图),则 A .a 为f x (),b 为g x (),c 为h x ()F EPGOQH频率组距月收入(元)0.00050.00040.00030.00020.00014000350030002500200015001000B .a 为h x (),b 为f x (),c 为g x () C .a 为g x (),b 为f x (),c 为h x () D .a 为h x (),b 为g x (),c 为f x ()8.已知圆面2221C x a y a -+≤-:()的面积为S ,平面区域24D x y +≤:与圆面C 的公共区域的面积大于12S ,则实数a 的取值范围是 A .() 2-∞, B .(] 2-∞, C .()() 1 1 2-∞-,,D .()(] 1 1 2-∞-,, 9.如图所示程序框图,其作用是输入空间直角坐标平面中一点 P a b c (),,,输出相应的点 Q a b c (),,.若P 的坐标为2 3 1(),,,则 P Q ,间的距离为 (注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=” )A .0B .2C .6D .2210.若实数t 满足f t t =-(),则称t 是函数f x ()的一个次不动点.设函数ln f x x=()与函数e x g x =()(其中e 为自然对数的底数)的所有次不动点之和为m ,则 A .0m < B .0m = C .01m << D .1m >二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.本大题分为必做题和选做题两部分.(一)必做题:第11、12、13题为必做题,每道试题考生都必须作答. 11.某机构就当地居民的月收入调查了1万人,并根据所得数据画出了样本频率分布直方图(如图).为了深入调查,要从这1万人中按月收入用分层抽样方法抽出100人,则月收入在2500 3000[,)(元)段应抽出 人.12.已知正三棱柱(侧棱与底面垂直,底面是正三角形)的高与底面边长均为2,其直观图和正(主)视图如下,则它的左(侧)视图的面积是 .1 1是 否_ 结束开始 输入P (a ,b ,c )a>b ? a>c ?b>c ?输出Q (a ,b ,c )是 是 否否e=aa=b b=e e=a a=c c=e e=b b=c c=e13.已知y 与100x x ≤()之间的部分对应关系如下表:x11 12 13 14 15 … y297 148 295 147 293…则x 和y 可能满足的一个关系式是 .(二)选做题:第14、15题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算第一题的得分. 14.(坐标系与参数方程)在极坐标系中, P Q ,是曲线C :4sin ρθ=上任意两点,则线段PQ 长度的最大值为 .15.(几何证明选讲)如图,AB 是半圆O 的直径,C 是半圆O 上异于 A B ,的点,CD AB ⊥,垂足为D ,已知2AD =,43CB =,则CD = .三、解答题:本大题6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分14分)已知向量 1 sin 2a α=-(,)与向量4 2cos 52b α=(,)垂直,其中α为第二象限角.(1)求tan α的值;(2)在ABC ∆中,a b c ,,分别为A B ∠∠,,C ∠所对的边,若2222b c a bc +-=,求tan A α+()的值.17.(本小题满分12分)如图,在四棱锥S ABCD -中,AB AD ⊥,//AB CD ,3CD AB =,平面SAD ⊥平面ABCD ,M 是线段AD 上一点,AM AB =,DM DC =,SM AD ⊥.(1)证明:BM ⊥平面SMC ;(2)设三棱锥C SBM -与四棱锥S ABCD -的体积分别为1V 与V ,求1V V的值.18.(本小题满分14分)已知函数313f x x ax b =-+(),其中实数 a b ,是常数. (1)已知{}0 1 2a ∈,,,{}0 1 2b ∈,,,求事件A “10f ≥()”发生的概率;(2)若f x ()是R 上的奇函数,g a ()是f x ()在区间[]11-,上的最小值,求当1a ≥时g a ()的解析式.C DOEMSDCBA A BCD O19.(本题满分12分)如图,有一正方形钢板ABCD 缺损一角(图中的阴影部分),边缘线OC 是以直线AD 为对称轴,以线段AD 的中点O 为顶点的抛物线的一部分.工人师傅要将缺损一角切割下来,使剩余的部分成为一个直角梯形.若正方形的边长为2米,问如何画切割线EF ,可使剩余的直角梯形的面积最大?并求其最大值.20.(本题满分14分)已知椭圆222210x y C a b a b +=>>:()的左焦点F 及点0 A b (,),原点O 到直线FA 的距离为22b . (1)求椭圆C 的离心率e ;(2)若点F 关于直线20l x y +=:的对称点P 在圆224O x y +=:上,求椭圆C 的方程及点P 的坐标.21.(本小题满分14分)设数列{}n a 是公差为d 的等差数列,其前n 项和为n S .(1)已知11a =,2d =,(ⅰ)求当n ∈N *时,64n S n +的最小值; (ⅱ)当n ∈N *时,求证:132********n n n S S S S S S +++++<; (2)是否存在实数1a ,使得对任意正整数n ,关于m 的不等式m a n ≥的最小正整数解为32n -?若存在,则求1a 的取值范围;若不存在,则说明理由.2011年深圳市高三年级第一次调研考试数学(文科)答案及评分标准说明:一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数. 一、选择题:本大题每小题5分,满分50分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 DBCADCBCCB5. 数列{}(1)n-是首项与公比均为1-的等比数列.6. ,a OP OQ =+利用平行四边形法则做出向量OP OQ +,再平移即发现. .a FO =7.从振幅、最小正周期的大小入手:b 的振幅最大,故b 为()f x ;a 的最小正周期最大,故a 为(),h x 从而c 为()g x .8. 圆面222:()1C x a y a -+≤-的圆心(,0)a 在平面区域:24x y +<内,23则210(,1)(1,2).204a a a ⎧->⇔∈-∞-⎨+<⎩9. 程序框图的作用是将三个实数按从小到大的顺序排列,若(2,3,1)P ,则(1,2,3)Q . 10.画图即知:函数ln y x =的图象与直线y x =-有唯一公共点(,),t t -e ln().x x x x x t =-⇔=-⇔=- 故两个函数的所有次不动点之和()0.m t t =+-=或利用函数ln y x =的图象与函数e x y =的图象关于直线y x =对称即得出答案.二、填空题:本大题每小题5分;第14、15两小题中选做一题,如果两题都做,以第14题的得分为最后得分),满分20分. 11.25. 12.. 23 13.(108)2y x -=. 14.4. 15.23. 第13题写或不写100x ≤都可以,写成如2108y x=-等均可.11. 画出左(侧)视图如图,其面积为2 3. 12.每个个体被抽入样的概率均为100110000100=,在)3000,2500[内的频率为 0.0005×(3000-2500)=0.25,频数为10 000×0.25=2 500人,则该范围内应当抽取的人数为2 500×1001=25人. 13. 将各11 ,12,13,14,15对应的函数值分别写成297,296,295,294,293, 分母成等差数列,可知分母11(11)(1)9711108.n a a n n n =+--=-+=- 14. 最长线段PQ 即圆22(2)4x y +-=的直径. 15. 根据射影定理得222(43)(2)6,12.CB BD BA BD BD BD CD AD BD =⨯⇔=+⇔==⨯=三、解答题:本大题6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分14分)已知向量 1 sin 2a α=-(,)与向量4 2cos 52b α=(,)垂直,其中α为第二象限角.(1)求tan α的值;(2)在ABC ∆中,a b c ,,分别为A B ∠∠,,C ∠所对的边,若2222b c a bc +-=,求tan A α+()的值.【命题意图】本题主要考查向量的数量积、二倍角公式、同角间三角函数关系、余弦定理、两角和的正切公式等基础知识,以及运算求解能力.解: (1)(1,sin)2a α=-,4(,2cos ),52b α=a b ⊥ 42s i nc o s 0,522a b αα∴⋅=-+=即4sin .5α=……………………3分α为第二象限角,23sin 4cos 1sin ,tan .5cos 3ααααα∴=--=-==- ………………………6分(2) 在ABC ∆中,2222,b c a bc +-=2222cos .22b c a A bc +-∴== …………………………………………9分(0,π)A ∈, π,tan 1,4A A ∴== ……………………11分 tan tan 1tan().1tan tan 7A A A ααα+∴+==-- ……………………14分17.(本小题满分12分)如图,在四棱锥S ABCD -中,AB AD ⊥,//AB CD ,3CD AB =,平面SAD ⊥平面ABCD ,M 是线段AD 上一点,AM AB =,DM DC =,SM AD ⊥.(1)证明:BM ⊥平面SMC ;别为1V 与V ,(2)设三棱锥C SBM -与四棱锥S ABCD -的体积分求1V V的值.【命题意图】本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识,考查数空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.(1) 证明: 平面SAD ⊥平面ABCD ,平面SAD 平面ABCD AD =,SM ⊂平面SAD ,SM AD ⊥SM ∴⊥平面ABCD ,…………………1分 BM ⊂平面,ABCD.SM BM ∴⊥ …………………2分四边形ABCD 是直角梯形,AB //CD ,,AM AB =,DM DC =,MAB MDC ∴∆∆都是等腰直角三角形,45,90,.AMB CMF BMC BM CM ∴∠=∠=︒∠=︒⊥………………4分 SM ⊂平面SMC ,CM ⊂平面SMC ,SMCM M =,MSDC BABM ∴⊥平面SMC …………………………………………6分(2) 解: 三棱锥C SBM -与三棱锥S CBM -的体积相等,由( 1 ) 知SM ⊥平面ABCD , 得1113211()32SM BM CMV V SM AB CD AD ⨯⨯=⨯+⨯,……………………………………………9分设,AB a =由3CD AB =,,AM AB =,DM DC = 得3,2,32,4,CD a BM a CM a AD a ====从而12323.(3)48V a a V a a a ⨯==+⨯ ……………………………12分18.(本小题满分14分)已知函数313f x x ax b =-+(),其中实数 a b ,是常数. (1)已知{}0 1 2a ∈,,,{}0 1 2b ∈,,,求事件A “10f ≥()”发生的概率;(2)若f x ()是R 上的奇函数,g a ()是f x ()在区间[]1 1-,上的最小值,求当1a ≥时g a ()的解析式.【命题意图】本小题主要考查古典概型、函数的奇偶性与零点、导数、解不等式等知识, 考查化归与转化、分类列举等数学思想方法,以及运算求解能力.解:(1) 当{}{}0,1,2,0,1,2a b ∈∈时,等可能发生的基本事件(,)a b 共有9个:(00)(01)(02),(10)(11)(12)(20)(21)(22).,,,,,,,,,,,,,,,,…………………………4分其中事件A “1(1)03f a b =-+≥”,包含6个基本事件: (00)(01)(02)(11)(12)(22).,,,,,,,,,,, …………………………4分故62()93P A ==.…………………………6分 答:事件“(1)0f ≥”发生的概率23.………………7分(2) 31(),3f x x a x b =-+是R 上的奇函数,得(0)0,0.f b ==………………8分 ∴31(),3f x x ax =- 2()f x x a '=-, ………………………9分① 当1a ≥时,因为11x -≤≤,所以()0f x '≤,()f x 在区间[]1,1-上单调递减, 从而1()(1)3g a f a ==-;……………………11分 ② 当1a ≤-时,因为11x -≤≤,所以()0f x '>,()f x 在区间[]1,1-上单调递增,从而1()(1)3g a f a =-=-+. ……………………13分 综上,知1,13().1,13a a g a a a ⎧-≤-⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩……………………14分 19.(本题满分12分)如图,有一正方形钢板ABCD 缺损一角(图中的阴影部分),边缘线OC 是以直线AD 为对称轴,以线段AD 的中点O 为顶点的抛物线的一部分.工人师傅要将缺损一角切割下来,使剩余的部分成为一个直角梯形.若正方形的边长为2米,问如何画切割线EF ,可使剩余的直角梯形的面积最大?并求其最大值.【命题意图】本小题主要考查二次函数的切线、最值等知识,考查坐标思想、数形结合、化归与转化等数学思想方法,以及将实际问题转化为数学问题的能力.解法一:以O 为原点,直线AD 为y 轴,建立如图所示的直角坐标系,依题意可设抛物线弧OC 的方程为2(02)y ax x =≤≤ ∵点C 的坐标为(2,1),∴221a =,14a =故边缘线OC 的方程为21(02)4y x x =≤≤. ……4分 要使梯形ABEF 的面积最大,则EF 所在的直线必与抛物线弧OC 相切,设切点坐标为21(,)(02)4P t t t <<,∵12y x '=,∴直线EF 的的方程可表示为211()42y t t x t -=-,即21124y tx t =-,…………6分 由此可求得21(2,)4E t t -,21(0,)4F t -.∴2211|||(1)|144AF t t =---=-,2211|||()(1)|144BE t t t t =---=-++,…8分设梯形ABEF 的面积为()S t ,则[]1()||||||2S t AB AF BE =⋅+2211(1)(1)44t t t =-+-++2122t t =-++ A B C D O FEABCDOF Exy P2155(1)222t =--+≤. ……………………………………………………………10分∴当1t =时,5().2S t =,故()S t 的最大值为2.5. 此时||0.75,|| 1.75AF BE ==.………11分答:当0.75m, 1.75m AF BE ==时,可使剩余的直角梯形的面积最大,其最大值为22.5m . ………………………………………………………………………12分解法二:以A 为原点,直线AD 为y 轴,建立如图所示的直角坐标系,依题意可设抛物线弧OC 的方程为21(02)y a x x =+≤≤ ∵点C 的坐标为(2,2), ∴2212a +=,14a = 故边缘线OC 的方程 为211(02)4y x x =+≤≤. ………4分 要使梯形ABEF 的面积最大,则EF 所在的直线必与抛物线弧OC 相切,设切点坐标为21(,1)(02)4P t t t +<<,∵12y x '=,∴直线EF 的的方程可表示为2111()42y t t x t --=-,即211124y tx t =-+,…6分 由此可求得21(2,1)4E t t -+,21(0,1)4F t -+.∴21||14AF t =-,21||14BE t t =-++,……………7分设梯形ABEF 的面积为()S t ,则[]1()||||||2S t AB AF BE =⋅+2211(1)(1)44t t t =-+-++2122t t =-++ 2155(1)222t =--+≤. ……………………………………………………………10分∴当1t =时,5().2S t =,故()S t 的最大值为2.5. 此时||0.75,|| 1.75AF BE ==.………11分答:当0.75m, 1.75m AF BE ==时,可使剩余的直角梯形的面积最大,其最大值为22.5m . ………………………………………………………………………12分20.(本题满分14分)已知椭圆222210x y C a b a b+=>>:()的左焦点F 及点0 A b (,),原点O 到直线FA 的距离为22b . (1)求椭圆C 的离心率e ;(2)若点F 关于直线20l x y +=:的对称点P 在圆224O x y +=:上,求椭圆C 的方程及点P 的坐标.【命题意图】本小题主要考查椭圆的标准方程与简单几何性质、点关于直线对称等知识,考查数形结合、方程等数学思想方法,以及运算求解能力.解:(1)由点(,0)F ae -,点(0,)A b 及21b e a =-得直线FA 的方程为211x y ae e a+=--,即22110e x ey ae e --+-=,…………………2分 ∵原点O 到直线FA 的距离为22122e b a-=, ∴2222112,.221ae e e a e e e--==-+………………………………………5分故椭圆C 的离心率22e =. …………………………………7分(2) 解法一:设椭圆C 的左焦点F 2(,0)2a -关于直线:20l x y +=的对称点为00(,)P x y ,则有00001,2222220.22y x a x a y ⎧=⎪⎪+⎪⎨⎪-⎪⋅+=⎪⎩ …………………………………………10分 解之,得003242,1010x a y a ==.P 在圆224x y +=上∴223242()()41010a a +=, ∴22228,(1) 4.a b e a ==-=……………………………………13分故椭圆C 的方程为22184x y +=, 点P 的坐标为68(,).55………………………………………14分解法二:因为F 2(,0)2a -关于直线l 的对称点P 在圆O 上,又直线:20l x y +=经过 圆22:4O x y +=的圆心(0,0)O ,所以F 2(,0)2a -也在圆O 上, ………9分从而222()042a -+=,22228,(1) 4.ab e a ==-= ………………………10分 故椭圆C 的方程为22184x y +=. ………………………………………11分 (2,0)F -与00(,)P x y 关于直线l 的对称,00001,22220.22y x x y ⎧=⎪+⎪∴⎨-⎪⋅+=⎪⎩ …………………………………………12分 解之,得0068,55x y ==.…………………………………………13分 故点P 的坐标为68(,).55………………………………………14分21.(本小题满分14分)设数列{}n a 是公差为d 的等差数列,其前n 项和为n S .(1)已知11a =,2d =,(ⅰ)求当n ∈N *时,64n S n+的最小值; (ⅱ)当n ∈N *时,求证:132********n n n S S S S S S +++++<; (2)是否存在实数1a ,使得对任意正整数n ,关于m 的不等式m a n ≥的最小正整数解为32n -?若存在,则求1a 的取值范围;若不存在,则说明理由.【命题意图】本小题主要考查等差数列通项、求和与不等式等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、运算求解能力.(1) (ⅰ) 解: 11,2,a d == 21(1),2n n n d S na n -∴=+=646464216,n S n n n n n+=+≥⨯= 当且仅当64,n n =即8n =时,上式取等号. 故64n S n+的最大值是16.……………………………………………………4分 (ⅱ) 证明: 由(ⅰ)知2n S n =,当n ∈N *时,2222211111(2)4(2)n n n n S S n n n n +⎡⎤++==-⎢⎥++⎣⎦,……6分222222132422311111111114134244(2)n n n S S S S S S n n +⎡⎤+⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 2222222111111111412435(1)(2)n n n ⎡⎤⎛⎫=+++-++++ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦222211111,412(1)(2)n n ⎡⎤=+--⎢⎥++⎣⎦……………………………………8分 22110,(1)(2)n n +>++ 22132422311115().41216n n n S S S S S S ++∴+++<+<……………………………………9分 (2)对n ∀∈N *,关于m 的不等式1(1)m a a m d n =+-≥的最小正整数解为32n c n =-, 当1n =时,111(1)1a c d a +-=≥;……………………10分当2n ≥时,恒有11(1)(2)n n a c d n a c d n +-≥⎧⎨+-<⎩,即11(31)(3)0(31)(4)0d n a d d n a d -+-≥⎧⎨-+-<⎩, 从而111310(31)2(3)014,1.31033(31)2(4)0d d a d d a d d a d -≥⎧⎪-⨯+-≥⎪⇔=≤<⎨-≤⎪⎪-⨯+-<⎩……………………12分 当114,133d a =≤<时,对n ∀∈N *,且2n ≥时, 当正整数n m c <时, 有1111.33n c m a a n --+<+<……………………13分 所以存在这样的实数1a ,且1a 的取值范围是41,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.……………………14分。

2017年广东省深圳市三校联考高三文科一模数学试卷

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2017年广东省深圳市三校联考高三文科一模数学试卷一、选择题(共12小题;共60分)1. 已知集合,,则A. B. C. D.2. “”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 复数的共轭复数是A. B. C. D.4. 对于函数,选取,,的一组值计算,,所得出的正确结果可能是A. 和B. 和C. 和D. 和5. 执行如图所示的程序框图,则输出的结果是A. B. C. D.6. 将函数的图象向左平移个周期后,所得图象对应的函数为A. B.C. D.7. 已知当时,;当时,且.若对任意,都有成立,则的取值范围是A. B.C. D.8. 已知是第一象限角,满足,则A. B. C. D.9. 已知,则在定义域上的最小值为A. B. C. D.10. 若,满足约束条件则的最小值为A. B. C. D.11. 设函数的图象如图,则,,满足A. B. C. D.12. 已知是定义在上的单调函数,且对任意的,都有,则方程的解所在的区间是A. B. C. D.二、填空题(共4小题;共20分)13. 已知向量,,若,则 ______.14. 曲线在点处的切线方程是______.15. 设当时,函数取得最大值,则 ______.16. 若定义在上的函数满足且,则不等式(其中为自然对数的底数)的解集为______.三、解答题(共8小题;共104分)17. 在中,,,分别为的边,,所对的角,若.(1)求;(2)若,,求的面积.18. 已知等差数列前项和为,且.(1)求,;(2)若,求数列前项和.19. 某气象站观测点记录的连续天里,AQI 指数与当天的空气水平可见度(单位)的情况如下表 1:表 1哈尔滨市某月 AQI 指数频数分布如下表 2:频数表 2(参考公式:;其中,)(1)设,根据表 1 的数据,求出关于的回归方程;(2)小张开了一家洗车店,经统计,当不高于时,洗车店平均每天亏损约元;当在至时,洗车店平均每天收入约元;当大于时,洗车店平均每天收入约元;根据表 2 估计小张的洗车店该月份平均每天的收入.20. 已知定义在上的奇函数满足.(1)若函数有个零点,求实数的取值范围;(2)求的解集.21. 已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若对于,恒成立,求实数的取值范围.22. 如图是的直径,弦,的延长线相交于点,垂直的延长线于点.(1)求证:;(2)若,,,求的长.23. 在直角坐标系中,以原点为极点,轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系.设曲线:(为参数);直线.(1)写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;(2)求曲线上的点到直线的最大距离.24. 求函数.(1)求不等式的解集;(2),使,求实数的取值范围.答案第一部分1. B2. B3. C4. D5. D6. A7. C8. C9. B 10. C11. D 12. C第二部分13.14.15.16.第三部分17. (1)中,,所以,又因为,所以,又,所以.(2)由余弦定理,得,把代入得:,解得,则的面积为.18. (1)因为,所以,,.又因为等差数列,所以,;;,所以.(2),得,,,.19. (1),,则,,故.(2)由表 2 知 AQI 指数不高于的频率为,AQI 指数在至的频率为,AQI 指数大于的频率为.设每月的收入为,则的分布列为<br>\(\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hlineX & - 2000 & 4000 & 7000 \\ \hlineP & 0.1 & 0.2 & 0.7 \\ \hline\end{array}\]\)<br>则的数学期望为,即小张的洗车店该月份平均每天的收入为元.20. (1)因为是定义在上的奇函数,且,则.从而可得函数与的图象分别如下图所示.有个零点,则题设可等价转化为函数与函数的图象有个交点.由右上图可知,或,即:当或时,函数有个零点.(2)令得,或,因为是定义在上的奇函数,当时,解得或,结合右上图可知,,即:.所以所求解集为.21. (1)函数的定义域为.因为,所以:()当时,对恒成立,所以在上单调递增;(2)当时,令或(舍).当时,;当时,.所以在上单调递增;在上单调递减.(2)令,则依题意,对恒成立.由于,所以由(1)可知:当时,在上单调递增;当时,在上单调递增;在上单调递减.此时,在处取得最大值.若,因为,显然与题设相矛盾;若,则题设等价于不妨设,则,.所以式等价转化为.记,则.因为,所以在上单调递增.所以,即:,解得,.所以所求的实数的取值范围为.22. (1)连接,.是的直径,所以,故,,,四点共圆,所以;(2)在直角和直角中,,所以,所以,所以,设,则,所以,所以,解得,所以的长为.23. (1)根据将转化普通方程为:,利用,,将转化为直角坐标方程为:.(2)在上任取一点,则点到直线的距离为,它的最大值为.24. (1),当,,,所以,当,,,所以,当,,,所以,综上所述或.(2)由(1)得,若,恒成立,则只需,综上所述.。

【高三数学试题试卷】数学文卷·2017届广东省深圳市高三上学期第一次三校联考

【高三数学试题试卷】数学文卷·2017届广东省深圳市高三上学期第一次三校联考

第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合,则( )A. B.C. D.2.是的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 复数的共轭复数为( )A .B .C .D .4. 对于函数(),选取的一组值计算、,所得出的正确结果可能是( )A .和B .和C .和D .和5. 执行如图所示的程序框图,则输出的结果是( )A .B .C .D .6. 将函数的图象向左平移个周期后,所得图象对应的函数为( )A .B .C.D.7. 已知当时,;当时,且.若对任意,都有成立,则的取值范围是( )A. B. C. D.8. 已知是第一象限角,满足,则( )A. B. C. D.9. 已知,则在定义域上的最小值为( )A. B. C. D.10. 若满足约束条件则的最小值为( )A. B. C. D.11. 设函数的图象如右图,则满足( )A.B.C.D.12. 若是定义在上的单调函数,且对任意,则方程的解所在区间是( )A.B.C.D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13. 已知平面向量且,则.14. 曲线(其中为自然对数的底数)在点处的切线方程是_________.15. 设当时,函数取得最大值,则.16. 若定义在上的函数满足且,则不等式(其中为自然对数的底数)的解集为_________.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17. (本小题满分12分)在中,角、、所对的边分别为、、,若.(Ⅰ) 求;(Ⅱ) 若,求的面积.18. (本小题满分12分)已知等差数列前项和为,且().(Ⅰ) 求,;(Ⅱ) 若,求数列前项和.19. (本小题满分12分)某气象站观测点记录的连续天里,指数与当天的空气水平可见度(单位)的情况如下表:哈尔滨市某月(以天计)的指数频数分布如下表:(Ⅰ) 设,根据表的数据,求出关于的回归方程;(参考公式:其中)(Ⅱ) 小张开了一家洗衣店,经统计,当不高于时,洗衣店平均每天亏损约元,当在至时,洗衣店平均每天收入约元,当大于时,洗衣店平均每天收入约元,根据表估计小张的洗衣店该月份平均每天的收入.20. (本小题满分12分)已知定义在上的奇函数满足.(Ⅰ) 若函数有个零点,求实数的取值范围;(Ⅱ) 求的解集.21. (本小题满分12分)已知函数.(Ⅰ) 讨论的单调性;(Ⅱ) 若对于,恒成立,求实数的取值范围.请考生在22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号.22. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,是圆的直径,弦,的延长线相交于点,垂直的延长线于点.(Ⅰ) 求证:;(Ⅱ) 若,,.求的长.23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.设曲线(为参数);直线.(Ⅰ) 写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;(Ⅱ) 求曲线上的点到直线的最大距离.24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设函数.(Ⅰ) 求不等式的解集;(Ⅱ) 若,恒成立,求实数的取值范围.2017届高三年级第一次三校联考数学(文科)试卷参考答案与评分标准一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13. . 14. . 15. . 16. .三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)………………2分解:(1),又,…………………4分,.…………………6分(2)由余弦定理得即:,…………………10分…………………12分18.(本小题满分12分)解:(1)∵∴,,…………2分又∵等差数列,∴,;…………3分;,……4分∴……………………5分(2)……………………6分…………①……………………7分……②……………………8分①-②得……………………9分……………………10分……………………11分……………………12分19.(本小题满分12分)解:(1)…………………2分;…………………6分所以关于的回归方程是 ………………………7分(2)根据表知:天中有天每天亏损约元,有天每天收入约元,有天每天收入约元,故该月份平均每天的收入约为(元)……………12分20.(本小题满分12分) 解:(1)因为是定义在上的奇函数,且,则. ………2分从而可得函数与的图象分别如下图所示. ………4分因为函数有个零点,则题设可等价转化为函数与函数的图象有个交点. (5)分由右上图可知,或, ………6分即:当或时,函数有个零点. (7)分 (2)令得,或, …………8分因为是定义在上的奇函数,当时,解得或 …………9分结合左上图可知,, …………10分即:. ……………11分所以所求解集为. ……………12分21.(本小题满分12分)解:(1) 函数的定义域为.因为,…………1分所以:(i)当时,对恒成立,所以在上单调递增;…………2分(ii)当时,令或(舍). …………3分当时,;当时,.所以在上单调递增;在上单调递减. ……4分(2)令则依题意,对恒成立. …………5分由于,所以由(1)可知:当时,在上单调递增;当时,在上单调递增;在上单调递减.此时,在处取得最大值. …………6分若,因为,显然与题设相矛盾;…………7分若,则题设等价于(),……8分不妨设,则.所以()式等价转化为(). …………9分记,则.因为,所以在上单调递增. …………10分所以, …………11分即:,解得,.所以所求的实数的取值范围为. …………12分请考生在第22~24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲解:(1)证明:连接,. ………………………1分因为是圆的直径.所以,故,,,四点共圆,所以. …………………4分(2)在和中,,所以∽,故. ……………6分在中,.设,又,,所以,则,所以,解得.所以的长为. ………………………10分23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程解: (1)将转化普通方程为:………………………2分将转化为直角坐标方程为:………………………4分(2)在上任取一点,则点到直线的距离为=………………………8分因为所以当的最大值为. ………………………10分24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式证明选讲解:(1)………………………2分当当当综上所述.………………………6分(2)易得,若,恒成立,则只需………………………8分,综上所述.………………………10分。

深圳市2017年高考数学模拟考试试卷及答案网页版_中学试卷

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深圳市2017年高考模拟数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅰ卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.为虚数单位,复数=
A.B.C.D.
2.等边三角形的边长为,如果那么等于
A.B.C.D.
3.已知集合,,记为集合A的元素
个数,则下列说法不正确的是
A.B.C.D.
4.一个体积为12
5.过抛物线的焦点作直线交抛物线于点两点,若,则PQ中点M到抛物线准线的距离为A.5 B.4 C.3 D.2
6.下列说法正确的是
A.互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件
B.互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件
C.事件A、B中至少有一个发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率大
D.事件A、B同时发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率小
7.如图是秦九韶算法的一个程序框图,则输出的为
A.的值
B.的值
C.的值
D.的值
8.若(9x-的展开式的第3项的二项式系数为36,则其展开式中的常数项为
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数学(文科)2017年深圳市高三年级第一次调研考试试题答案

数学(文科)2017年深圳市高三年级第一次调研考试试题答案

得面积为
2 . 3
3 2 3 2
( 12 )简解: f ( x) (sin x) a(sin x) a , 令 t sin x , t (0,1] ,则 f (t ) t at a ,
t (0,1] , f '(t ) 3t 2 2at ,令 f ( 't ) 0
BDE ,所以点 F 到平面 BDE 的距离为 FG 3
1 SBDE 2 3 3 2 1 三棱锥 F BDE 的体积为 3 3 3 . ………………………………………………………12 分 3 解法二:∵ EF // GC , EF 2GC ,点 F 到平面 BDE 的距离为点 C 到平面 BDE 的距离的两倍.
x2 y 2 3 ,过点 P (0, 2) 的动直线 l 与椭圆 C 相交于 A 、 B 2 1 (a b 0) 的离心率为 2 a b 3
两点.椭圆的右顶点与上顶点的距离为 5 .
2017 年深圳市高三年级第一次调研考试文科数学参考答案(第 4 页)
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 M 是 AB 中点,且 Q 点的坐标为 ( ,0) ,当 QM AB 时,求直线 l 的方程.
b 的值;
0.0030
0.0010 0.0005
O 100 200 300 400 500 600
月用电量/度
2017 年深圳市高三年级第一次调研考试文科数学参考答案(第 3 页)
(Ⅲ)在满足(Ⅱ)的条件下,估计 1 月份该市居民用户平均用电费用(同一组中的数据用该组区间的 中点值作代表).
【解析】 (Ⅰ)当 0 x 200 时, y 0.5 x ;………………………………………………………………1 分 当 200 x 400 时, y 0.5 200 0.8 ( x 200) 0.8 x 60 ………………………………………2 分 当 x 400 时, y 0.5 200 0.8 200 1.0 ( x 400) x 140 , ……………………………3 分

2017年广东省深圳市三校联考高考数学一模试卷(文科)

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2017年广东省深圳市三校联考高考数学一模试卷(文科)、选择题:本大题共 12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.(5 分)已知集合 M ={x|x 2 =x}, N ={x| --0},则 M 「]N=() x _11 1 (5 分)“ x :::0 ”是 “ In (x 1) :::0 ”(1 )、f (卜,所得出的正确结果可能是((5分)执行如图所示的程序框图,则输出的结果是1. A ..一B . {0}C . {1}D . {0 , 1}2. A .充分不必要条件B •必要不充分条件 3. 4.C .充分必要2 +i(5分)复数 ---- 的共轭复数是( 1 -2i A . -3i5 3(5分)对于函数 f(x)二atanx • bx cx(a 、 D .既不充分也不必要条件 C . -ib 、c • R ),选取b 、c 的一组值计算f2和-1D . 2 和-26. ( 5分)将函数y=2sin (2x;)的图象向左平移丄7 1丄个周期后, 4所得图象对应的函数为7 . 9 .A. y =2si n(2x 兰)3B . y=2si n(2x 乞)12C. y =2sin(2 x D . y=2sin(2 x _—)12(5 分)已知当x d 时,f (x) =(2 _a)x • 1 ;当x-1 时,f(x)=a x(a.O 且a=1).若对任意X! =X2,都有f(x1)—f(x2)o成立,则a的取值范围是()X i -X2A . (1,2)3B .(1,R C.(5分)已知A. -35(5分)已知A. 58510. (5 分) .:j是第一象限角,满sin:- —cos tB . _35C.[|,2),贝U cos2:=( 545(0 , 1)- (2,:-)x2+33 f(x) 一一(x・N ),贝U f(x)在定义域上的最小值为(B . 23 C. 33 D. 2 33y满足约束条件y..・Xx y--1 则z =3x • 4y的最小值为(2x 3y・・3C.215b , c满足(C.12 .( 5分)x (0,;),都有f [f (x) -log 2 x] =3,则方程f(x)-f(x)=2的解所在的区间是(1 A. (O’?1B.(2,1)C. (1,2) D . (2,3)11. (5 分)设函数A. a b cB. a cb Xf(x)=家的图象如图,则二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(5 分)已知平面向量 a =(1,2) , £ =(2, _m),且 a _b ,则 |a - b.x14. _________________________________________________ (5分)曲线y 二sinx e 在点(0,1)处的切线方程为 ___________________________________________ . 15. ____________________________________________________________________ (5分)设当x =:•时,函数f(x) =3si nx cosx 取得最大值,则 tan2 :• = _____________________. 216 . (5分)若定义在R 上的函数f(x)满足f (x) f (x) :::1且f(0)=3,则不等式f(x) x 1e(其中e 为自然对数的底数)的解集为 ________ . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤117 . (12 分)在:ABC 中,A , B , C 为的 a 、b 、c 所对的角,若 cosBcosC -sin Bsin C 2(1 )求 A ; (2)若 a =2..3, b=4,求 ABC 的面积.2 *{a n }前 n 项和为 S ,且 S n = n c(n • N ).(I)求 c , a n;a(n) 若b nn,求数列{b n }前n 项和T n .219. ( 12分)某气象站观测点记录的连续 4天里,AQI 指数M 与当天的空气水平可见度 y (单)设喘,根据表的数据,求出y 关于x 的回归方程;n乞XiW - nxy y=bx a ;其中 i?==- 2 2j X i 〜nxi =1(2)小张开了一家洗车店, 经统计,当M 不高于200时,洗车店平均每天亏损约 18. (12分)已知等差数列(参考公a - t?x)2000 元;4000元;当M大于400时,洗车店平均当M在200至400时,洗车店平均每天收入约每天收入约7000元;根据表2估计小张的洗车店该月份平均每天的收入.2第5页(共18页)220. (12分)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=x —2x_3(x . 0).(I)若函数g(x)#f(x)|』有4个零点,求实数a的取值范围;(n)求| f(x 1)|, 4的解集.221. (12 分)已知函数f(x) =1 nx-ax(a・ R)(I) 讨论f (x)的单调性;(n) 若对于x・(0, ;) , f(x), a -1恒成立,求实数a的取值范围.[选修4-1:几何证明选讲]22. (10分)选修4 _1 :平面几何如图AB是L O的直径,弦BD , CA的延长线相交于点E , EF垂直BA的延长线于点F .(I)求证:.DEA=/DFA ;(II )若.EBA =30 , EF = 3 , EA =2AC,求AF 的长.[选修4-4 :坐标系与参数方程]23. 在直角坐标系中,以原点O为极点,x轴为正半轴为极轴,建立极坐标系.设曲线C :《x —仪为参数);直线丨:p(c°s B +sin日)=4 .y 二sin •.<(1)写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;(n)求曲线C上的点到直线l的最大距离.[选修4-5:不等式选讲]24. 设函数f (x) =|2x • 1| _|x _2| .(1 )求不等式f(x) .2的解集;(2)-x・R,使f(x)-t2 -^t,求实数t的取值范围.第5页(共18页)2017年广东省深圳市三校联考高考数学一模试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. (5 分)已知集合M ={x|x?二x}, N ={x|—--0},贝U M D N=()x _1 ||A . .一B . {0} C. {1} D. {0 , 1}【解答】解:•.•集合M ={x|x? =x}, N ={x|—-0},x —1.M ={0 , 1} , N ={x|x, 0 或x 1},M p|N 二{0}.故选:B .2. (5 分)“ x :::0 ”是“ ln(x 1):::0 ”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C •充分必要条件D •既不充分也不必要条件【解答】解:;x:::0,. x・1:::1,当x 1 0 时,In (x・1):::0 ;Tin(x 1)::0 , 0 ::: x 1 ::1 , - 1 :: x :: 0 , x :: 0 ,“ x ::: 0 ”是In (x 1):: 0的必要不充分条件.故选:B .3. (5分)复数务的共轭复数是(A . -3i【解答】解:复数B.3i52 - i (2 i)(1 2i)C. -i1_2i (1_2i)(1 2i),它的共轭复数为: _,i .故选:C .34. ( 5 分)对于函数f(x) =atanx bx cx(a、 c • R),选取a、b、c的一组值计算f(1 )、f (卜,所得出的正确结果可能是(C. 2 和-1 D . 2 和-2第5页(共18页)第5页(共18页)于原点对称,【解答】解:根据题意,对于函数3f (X )二atanx bx cx ,其定义域为 {x|x=k二石},第9页(共18页)3又由 f(「x)=Jatanx 亠bx 亠cx) = _f(x),故函数f(x)为奇函数, 必有—f (1) = f(_1),即f (1 )、f& 的值互为相反数; 分析选项可得:只有 D 的2个数互为相反数; 故选:D .5. ( 5分)执行如图所示的程序框图,则输出的结果是C .【解答】 解:模拟执行程序框图,可得程序框图的功能是计算并输出由于S =丄1X2故选: 丄的值. 6 71 1 1—"T -———2 2 3第8页(共18页)2 — y =2sin(2 x )3ny=2s "(2^3)【解答】解:函数y =2sin(2 x )的周期T,6 2分)将函数y =2sin(2x)的图象向左平移 6-个周期后,所得图象对应的函数为(4y 二 2sin(2 x —)12 厂2s in(2xpx第11页(共18页)3 .2sin 「cos 二5.sin -::「cos : = (sin 二、cos -:i )2 = 1 2sin -i cos : =2 10, 5 22I i2(10 -贝 U cos2 : -cos ■- -sin : - (cos :£ 亠 sin 、:)L(cos : - sin 、:)10、 4)= 5 5故选:C .x 2 +33 一 *9. ( 5分)已知f(x)(x ・N ),贝U f(x)在定义域上的最小值为(将函数y =2si n(2x)的图象向左平移1个周期,即向左平移 二个单位,64 4.平移后所得图象对应的函数为 y =2sin[2( x 匸)•三]=2sin(2 x —).4 63故选:A .7.( 5 分)已知当 x <1 时,f (x^(2 -a)x 1 ;当 xT 时,f(x)=a x (a.O 且 a").若对任意X i =X 2,都有f(xi)一仏)o 成立,则a 的取值范围是()X i —X 233A . (1,2)B . (1q]C . [-,2)D . (0, 1)- (2,::)【解答】解:对任意為-x 2,都有f (x1)- f(x 2)0成立,X 1 — X 2即为f (x)在R 上单调递增,由当 x ::;1 时,f(x) =(2 _a)x 1,可得 解得a :::2 ;① 又当 x--1 时,f(x)二 a x (a 0 且 a 厂1),又f(x)在R 上单调递增,可得32 —a +1, a ,解得a …?③3由①②③可得-,a <2 ,2故选:C .2 -a 0 ,& ( 5分)已知:丄是第一象限角,满sin : - cos 、;C .105 4,则 cos2 -(【解答】解: •是第一象限角,-10 510.1 —2sin 一::cos 二25第8页(共18页):x^N* 0 ,x■ 33…2、4J 33 =2・、33,当且仅当x 二33时取等号•但x. N*,故x =5或x =6 ,当 x =5 时,f (x):5当 x =6 时,f (x)二23故选:B ."•••X10. (5分)若x , y 满足约束条件 x y--1 则z =3x 4y 的最小值为()2x 3厂3C . 4【解答】解:先根据约束条件 x y--1 画出可行域, 2x 3y ・・・323C . .33D . 2、33【解答】解:由f (x )=—次竺,xx故得f (x )在定义域上的最小值为 23221 ~5设z =3x 4y ,将最大值转化为y轴上的截距,(x::;'y =1 当直线z =3x 4y经过点B时,z最大,由丫可得B(0,0)|2x 3y =3最大值是:3 0 ^ 4 1=4 .故选:C .x第13页(共18页)。

广东省深圳市2017届高三下学期第一次调研考试数学(文)试题及答案

广东省深圳市2017届高三下学期第一次调研考试数学(文)试题及答案

2 3 ,则实数 a 的
取值范围是

16. 若实数 x, y 满足不等式组
x y4 0 2x 3y 8 0 ,目标函数 z kx y 的最大值为 12,最小值为 0,则
x1
实数 k

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .
17. 设 Sn 为数列 an 的前 n 项和,且 Sn 2 an n 1 n N * ,bn an 1 .
1
A.
4
1
1
2
B.
C.
D.
3
2
3
4. 设 a 0.23, b log 0.3 0.2,c log3 0.2 ,则 a,b, c 大小关系正确的是(

A. a b c B . b a c C. b c a D . c b a
5. ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 cosC 1 , a 1,c 2 ,则 ABC 的面积为 4

A.
3 0,
B

3 0,
C.
3 ,
2
2
2
D . 0,
第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上
13. 已知向量 p 1,2 , q x,3 ,若 p q ,则 p q


14. 已知 是锐角,且 cos

3
15. 直线 ax
y
3
0 与圆 x
2
2
2
y a 4 相交于 M 、N 两点,若 MN
()
15
A.
4
15
B.
C.
8
1

(完整版)2017年广东省高考数学试卷(文科)(全国新课标ⅰ)

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2017年广东省高考数学试卷(文科)(全国新课标Ⅰ)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.(5分)已知集合A={x |x <2},B={x |3﹣2x >0},则( )A .A ∩B={x |x <32}B .A ∩B=∅C .A ∪B={x |x <32} D .A ∪B=R2.(5分)为评估一种农作物的种植效果,选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量(单位:kg )分别是x 1,x 2,…,x n ,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )A .x 1,x 2,…,x n 的平均数B .x 1,x 2,…,x n 的标准差C .x 1,x 2,…,x n 的最大值D .x 1,x 2,…,x n 的中位数 3.(5分)下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A .i (1+i )2B .i 2(1﹣i )C .(1+i )2D .i (1+i )4.(5分)如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )A .14B .π8C .12D .π45.(5分)已知F 是双曲线C :x 2﹣y 23=1的右焦点,P 是C 上一点,且PF 与x 轴垂直,点A 的坐标是(1,3),则△APF 的面积为( )A .13B .12C .23D .326.(5分)如图,在下列四个正方体中,A ,B 为正方体的两个顶点,M ,N ,Q 为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )A .B .C .D .7.(5分)设x ,y 满足约束条件{x +3y ≤3x −y ≥1y ≥0,则z=x +y 的最大值为( )A .0B .1C .2D .38.(5分)函数y=sin2x1−cosx的部分图象大致为( )A .B .C .D .9.(5分)已知函数f (x )=lnx +ln (2﹣x ),则( ) A .f (x )在(0,2)单调递增 B .f (x )在(0,2)单调递减 C .y=f (x )的图象关于直线x=1对称 D .y=f (x )的图象关于点(1,0)对称10.(5分)如图程序框图是为了求出满足3n ﹣2n >1000的最小偶数n ,那么在和两个空白框中,可以分别填入( )A .A >1000和n=n +1B .A >1000和n=n +2C .A ≤1000和n=n +1D .A ≤1000和n=n +211.(5分)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sinB +sinA (sinC ﹣cosC )=0,a=2,c=√2,则C=( )A .π12B .π6C .π4D .π312.(5分)设A ,B 是椭圆C :x 23+y 2m=1长轴的两个端点,若C 上存在点M 满足∠AMB=120°,则m 的取值范围是( ) A .(0,1]∪[9,+∞) B .(0,√3]∪[9,+∞) C .(0,1]∪[4,+∞)D .(0,√3]∪[4,+∞)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

(完整word版)2017年高三深一模数学试卷(理科)(带完美解析)

(完整word版)2017年高三深一模数学试卷(理科)(带完美解析)

2017年广东省深圳市高考数学一模试卷(理科)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={2,4,6,8},B={x|x2﹣9x+18≤0},则A∩B=()A.{2,4}B.{4,6}C.{6,8}D.{2,8}2.若复数(a∈R)为纯虚数,其中i为虚数单位,则a=()A.2 B.3 C.﹣2 D.﹣33.袋中装有大小相同的四个球,四个球上分别标有数字“2”,“3”,“4”,“6”,现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是()A.B.C.D.4.等比数列{a n}的前n项和为S n=a•3n﹣1+b,则=()A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.35.直线l:kx+y+4=0(k∈R)是圆C:x2+y2+4x﹣4y+6=0的一条对称轴,过点A(0,k)作斜率为1的直线m,则直线m被圆C所截得的弦长为()A.B.C.D.26.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家,他在实践的基础上提出了体积计算的原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是,如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等,那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时,需要构造一个满足条件的几何体,已知该几何体三视图如图所示,用一个与该几何体的下底面平行相距为h(0<h<2)的平面截该几何体,则截面面积为()A.4πB.πh2C.π(2﹣h)2D.π(4﹣h)27.函数f(x)=•cosx的图象大致是()8.已知a>b>0,c<0,下列不等关系中正确的是()A.ac>bc B.a c>b cC.log a(a﹣c)>log b(b﹣c)D.>9.执行如图所示的程序框图,若输入p=2017,则输出i的值为()A.335 B.336 C.337 D.33810.已知F 是双曲线E :﹣=1(a >0,b >0)的右焦点,过点F 作E 的一条渐近线的垂线,垂足为P ,线段PF 与E 相交于点Q ,记点Q 到E 的两条渐近线的距离之积为d 2,若|FP |=2d ,则该双曲线的离心率是( )A .B .2C .3D .411.已知棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1,球O 与该正方体的各个面相切,则平面ACB 1截此球所得的截面的面积为( )A .B .C .D .12.已知函数f (x )=,x ≠0,e 为自然对数的底数,关于x 的方程+﹣λ=0有四个相异实根,则实数λ的取值范围是( )A .(0,)B .(2,+∞) C .(e +,+∞) D .(+,+∞)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分,将答案填在答题纸上13.已知向量=(1,2),=(x ,3),若⊥,则|+|= .14.(﹣)5的二项展开式中,含x 的一次项的系数为 (用数字作答).15.若实数x ,y 满足不等式组,目标函数z=kx ﹣y 的最大值为12,最小值为0,则实数k= .16.已知数列{a n }满足na n +2﹣(n +2)a n =λ(n 2+2n ),其中a 1=1,a 2=2,若a n <a n +1对∀n ∈N *恒成立,则实数λ的取值范围是 .三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12分) △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知2a=csinA ﹣acosC . (1)求C ;(2)若c=,求△ABC 的面积S 的最大值.18.(12分) 如图,四边形ABCD为菱形,四边形ACEF为平行四边形,设BD与AC相交于点G,AB=BD=2,AE=,∠EAD=∠EAB.(1)证明:平面ACEF⊥平面ABCD;(2)若AE与平面ABCD所成角为60°,求二面角B﹣EF﹣D的余弦值.19.某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量划分为三档,月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费,超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费,超过400度的部分按1.0元/度收费.(1)求某户居民用电费用y(单位:元)关于月用电量x(单位:度)的函数解析式;(2)为了了解居民的用电情况,通过抽样,获得了今年1月份100户居民每户的用电量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图,若这100户居民中,今年1月份用电费用不超过260元的点80%,求a,b的值;(3)在满足(2)的条件下,若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率,且同组中的数据用该组区间的中点值代替,记Y为该居民用户1月份的用电费用,求Y的分布列和数学期望.20.(12分) 已成椭圆C: +=1(a>b>0)的左右顶点分别为A1、A2,上下顶点分别为B2/B1,左右焦点分别为F1、F2,其中长轴长为4,且圆O:x2+y2=为菱形A1B1A2B2的内切圆.(1)求椭圆C的方程;(2)点N(n,0)为x轴正半轴上一点,过点N作椭圆C的切线l,记右焦点F2在l上的射影为H,若△F1HN的面积不小于n2,求n的取值范围.21.(12分) 已知函数f(x)=xlnx,e为自然对数的底数.(1)求曲线y=f(x)在x=e﹣2处的切线方程;(2)关于x的不等式f(x)≥λ(x﹣1)在(0,+∞)上恒成立,求实数λ的值;(3)关于x的方程f(x)=a有两个实根x1,x2,求证:|x1﹣x2|<2a+1+e﹣2.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在直角坐标系中xOy中,已知曲线E经过点P(1,),其参数方程为(α为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线E的极坐标方程;(2)若直线l交E于点A、B,且OA⊥OB,求证: +为定值,并求出这个定值.[选修4-5:不等式选讲]23.已知f(x)=|x+a|,g(x)=|x+3|﹣x,记关于x的不等式f(x)<g(x)的解集为M.(1)若a﹣3∈M,求实数a的取值范围;(2)若[﹣1,1]⊆M,求实数a的取值范围.2017年广东省深圳市高考数学一模试卷(理科)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={2,4,6,8},B={x|x2﹣9x+18≤0},则A∩B=()A.{2,4}B.{4,6}C.{6,8}D.{2,8}【考点】交集及其运算.【分析】求出B中不等式的解集确定出B,找出A与B的交集即可.【解答】解:∵A={2,4,6,8},B={x|x2﹣9x+18≤0}={x|(x﹣3)(x﹣6)≤0}={x|3≤x ≤6},∴A∩B={4,6},故选:B.2.若复数(a∈R)为纯虚数,其中i为虚数单位,则a=()A.2 B.3 C.﹣2 D.﹣3【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数,根据已知条件列出方程组,求解即可得答案.【解答】解:==,∵复数(a∈R)为纯虚数,∴,解得:a=﹣2.故选:C.3.袋中装有大小相同的四个球,四个球上分别标有数字“2”,“3”,“4”,“6”,现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是()A.B.C.D.【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.【分析】现从中随机选取三个球,基本事件总数n==4,所选的三个球上的数字能构成等差数列包含的基本事件的个数,由此能求出所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率.【解答】解:袋中装有大小相同的四个球,四个球上分别标有数字“2”,“3”,“4”,“6”,现从中随机选取三个球,基本事件总数n==4,所选的三个球上的数字能构成等差数列包含的基本事件有:(2,3,4),(2,4,6),共有2个,∴所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是p==.故选:B.4.等比数列{a n}的前n项和为S n=a•3n﹣1+b,则=()A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.3【考点】等比数列的通项公式.【分析】由等比数列{a n}的前n项和求出前3项,由此能求出利用等比数列{a n}中,,能求出.【解答】解:∵等比数列{a n}的前n项和为S n=a•3n﹣1+b,∴a1=S1=a+b,a2=S2﹣S1=3a+b﹣a﹣b=2a,a3=S3﹣S2=9a+b﹣3a﹣b=6a,∵等比数列{a n}中,,∴(2a)2=(a+b)×6a,解得=﹣3.故选:A.5.直线l:kx+y+4=0(k∈R)是圆C:x2+y2+4x﹣4y+6=0的一条对称轴,过点A(0,k)作斜率为1的直线m,则直线m被圆C所截得的弦长为()A.B.C.D.2【考点】直线与圆的位置关系.【分析】求出圆的标准方程可得圆心和半径,由直线l:kx+y+4=0经过圆C的圆心(﹣2,2),求得k的值,可得点A的坐标,求出圆心到直线的距离,即可得出结论.【解答】解:∵圆C:x2+y2+4x﹣4y+6=0,即(x+2)2+(y﹣2)2 =2,表示以C(﹣2,2)为圆心、半径等于的圆.由题意可得,直线l:kx+y+4=0经过圆C的圆心(﹣2,2),故有﹣2k+2+4=0,∴k=3,点A(0,3).直线m:y=x+3,圆心到直线的距离d==,∴直线m被圆C所截得的弦长为2=.故选:C.6.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家,他在实践的基础上提出了体积计算的原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是,如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等,那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时,需要构造一个满足条件的几何体,已知该几何体三视图如图所示,用一个与该几何体的下底面平行相距为h(0<h<2)的平面截该几何体,则截面面积为()A.4πB.πh2C.π(2﹣h)2D.π(4﹣h)2【考点】由三视图求面积、体积.【分析】由题意,首先得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥,得到截面为圆,明确其半径求面积.【解答】解:由已知得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥,底面半径为2高为2,设截面的圆半径为r,则,得到r=h,所以截面圆的面积为πh2;故选B.7.函数f(x)=•cosx的图象大致是()A.B.C.D.【考点】函数的图象.【分析】先判断函数的奇偶性,再判断函数值,问题得以解决.【解答】解:f(﹣x)=•cos(﹣x)=•cosx=﹣f(x),∴f(x)为奇函数,∴函数f(x)的图象关于原点对称,当x∈(0,)时,cosx>0,>0,∴f(x)>0在(0,)上恒成立,故选:C8.已知a>b>0,c<0,下列不等关系中正确的是()A.ac>bc B.a c>b cC.log a(a﹣c)>log b(b﹣c)D.>【考点】不等式的基本性质.【分析】根据不等式的性质求出a(b﹣c)>b(a﹣c)以及a﹣c>b﹣c>0,从而求出答案.【解答】解:∵a>b>0,c<0,﹣c>0,∴a﹣c>b﹣c>0,ac<bc,故a(b﹣c)>b(a﹣c),故>,故选:D.9.执行如图所示的程序框图,若输入p=2017,则输出i的值为()A.335 B.336 C.337 D.338【考点】程序框图.【分析】根据题意,模拟程序框图的运行过程,即可得出输出i的值.【解答】解:模拟程序的运行,可得程序框图的功能是统计1到2017这些数中能同时被2和3整除的数的个数i,由于:2017=336×6+1,故程序框图输出的i的值为336.故选:B.10.已知F是双曲线E:﹣=1(a>0,b>0)的右焦点,过点F作E的一条渐近线的垂线,垂足为P,线段PF与E相交于点Q,记点Q到E的两条渐近线的距离之积为d2,若|FP|=2d,则该双曲线的离心率是()A.B.2 C.3 D.4【考点】双曲线的简单性质.【分析】E上任意一点Q(x,y)到两条渐近线的距离之积为d1d2===d2,F(c,0)到渐近线bx﹣ay=0的距离为=b=2d,求出可求双曲线的离心率.【解答】解:E上任意一点Q(x,y)到两条渐近线的距离之积为d1d2===d2,F(c,0)到渐近线bx﹣ay=0的距离为=b=2d,∴,∴e==2,故选B.11.已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1,球O与该正方体的各个面相切,则平面ACB1截此球所得的截面的面积为()A. B. C. D.【考点】球的体积和表面积.【分析】求出平面ACB1截此球所得的截面的圆的半径,即可求出平面ACB1截此球所得的截面的面积.【解答】解:由题意,球心与B的距离为=,B到平面ACB1的距离为=,球的半径为1,球心到平面ACB1的距离为﹣=,∴平面ACB1截此球所得的截面的圆的半径为=,∴平面ACB1截此球所得的截面的面积为=,故选A.12.已知函数f(x)=,x≠0,e为自然对数的底数,关于x的方程+﹣λ=0有四个相异实根,则实数λ的取值范围是()A.(0,)B.(2,+∞)C.(e+,+∞)D.(+,+∞)【考点】根的存在性及根的个数判断.【分析】求导数,确定函数的单调性,可得x=2时,函数取得极大值,关于x的方程+﹣λ=0有四个相异实根,则t+﹣λ=0的一根在(0,),另一根在(,+∞)之间,即可得出结论.【解答】解:由题意,f′(x)=,∴x<0或x>2时,f′(x)<0,函数单调递减,0<x<2时,f′(x)>0,函数单调递增,∴x=2时,函数取得极大值,关于x的方程+﹣λ=0有四个相异实根,则t+﹣λ=0的一根在(0,),另一根在(,+∞)之间,∴,∴λ>e+,故选:C.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分,将答案填在答题纸上13.已知向量=(1,2),=(x,3),若⊥,则|+|=5.【考点】平面向量的坐标运算.【分析】⊥,可得=0,解得x.再利用向量模的计算公式即可得出.【解答】解:∵⊥,∴=x+6=0,解得x=﹣6.∴=(﹣5,5).∴|+|==5.故答案为:5.14.(﹣)5的二项展开式中,含x的一次项的系数为﹣5(用数字作答).【考点】二项式系数的性质.【分析】写出二项展开式的通项,由x的指数等于1求得r值,则答案可求.【解答】解:(﹣)5的二项展开式中,通项公式为:T r=••=(﹣1)r••,+1令=1,得r=1;∴二项式(﹣)5的展开式中含x的一次项系数为:﹣1•=﹣5.故答案为:﹣5.15.若实数x,y满足不等式组,目标函数z=kx﹣y的最大值为12,最小值为0,则实数k=3.【考点】简单线性规划.【分析】先画出可行域,得到角点坐标.利用k与0的大小,分类讨论,结合目标函数的最值求解即可.【解答】解:实数x,y满足不等式组的可行域如图:得:A(1,3),B(1,﹣2),C(4,0).①当k=0时,目标函数z=kx﹣y的最大值为12,最小值为0,不满足题意.②当k>0时,目标函数z=kx﹣y的最大值为12,最小值为0,当直线z=kx﹣y过C(4,0)时,Z取得最大值12.当直线z=kx﹣y过A(3,1)时,Z取得最小值0.可得k=3,满足题意.③当k<0时,目标函数z=kx﹣y的最大值为12,最小值为0,当直线z=kx﹣y过C(4,0)时,Z取得最大值12.可得k=﹣3,当直线z=kx﹣y过,B(1,﹣2)时,Z取得最小值0.可得k=﹣2,无解.综上k=3故答案为:3.16.已知数列{a n}满足na n﹣(n+2)a n=λ(n2+2n),其中a1=1,a2=2,若a n<a n+1对∀n∈+2N*恒成立,则实数λ的取值范围是[0,+∞).【考点】数列递推式.【分析】把已知递推式变形,可得数列{}的奇数项与偶数项均是以λ为公差的等差数列,,分离参数λ求解.分类求其通项公式,代入a n<a n+1﹣(n+2)a n=λ(n2+2n)=λn(n+2),【解答】解:由na n+2得,∴数列{}的奇数项与偶数项均是以λ为公差的等差数列,∵a1=1,a2=2,∴当n为奇数时,,∴;当n为偶数时,,∴.当n为奇数时,由a n<a n,得<,+1即λ(n﹣1)>﹣2.若n=1,λ∈R,若n>1则λ>,∴λ≥0;,得<,当n为偶数时,由a n<a n+1即3nλ>﹣2,∴λ>,即λ≥0.综上,λ的取值范围为[0,+∞).故答案为:[0,+∞).三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知2a=csinA﹣acosC.(1)求C;(2)若c=,求△ABC的面积S的最大值.【考点】正弦定理;余弦定理.【分析】(1)由正弦定理,三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin(C﹣)=1,结合C的范围,可得C的值.(2)由余弦定理,基本不等式可求ab≤1,进而利用三角形面积公式可求△ABC面积的最大值.【解答】(本题满分为12分)解:(1)∵2a=csinA﹣acosC,∴由正弦定理可得:2sinA=sinCsinA﹣sinAcosC,…2分∵sinA≠0,∴可得:2=sinC﹣cosC,解得:sin(C﹣)=1,∵C∈(0,π),可得:C﹣∈(﹣,),∴C﹣=,可得:C=.…6分(2)∵由(1)可得:cosC=﹣,∴由余弦定理,基本不等式可得:3=b2+a2+ab≥3ab,即:ab≤1,(当且仅当b=a时取等号) (8)分=absinC=ab≤,可得△ABC面积的最大值为.…12分∴S△ABC18.如图,四边形ABCD为菱形,四边形ACEF为平行四边形,设BD与AC相交于点G,AB=BD=2,AE=,∠EAD=∠EAB.(1)证明:平面ACEF⊥平面ABCD;(2)若AE与平面ABCD所成角为60°,求二面角B﹣EF﹣D的余弦值.【考点】二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判定.【分析】(1)连接EG,由四边形ABCD为菱形,可得AD=AB,BD⊥AC,DG=GB,可证△EAD ≌△EAB,进一步证明BD⊥平面ACEF,则平面ACEF⊥平面ABCD;(2)法一、过G作EF的垂线,垂足为M,连接MB,MG,MD,可得∠EAC为AE与面ABCD 所成的角,得到EF⊥平面BDM,可得∠DMB为二面角B﹣EF﹣D的平面角,在△DMB中,由余弦定理求得∠BMD的余弦值,进一步得到二面角B﹣EF﹣D的余弦值;法二、在平面ABCD内,过G作AC的垂线,交EF于M点,由(1)可知,平面ACEF⊥平面ABCD,得MG⊥平面ABCD,则直线GM、GA、GB两两互相垂直,分别以GA、GB、GM 为x、y、z轴建立空间直角坐标系G﹣xyz,分别求出平面BEF与平面DEF的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角B﹣EF﹣D的余弦值.【解答】(1)证明:连接EG ,∵四边形ABCD 为菱形,∴AD=AB ,BD ⊥AC ,DG=GB , 在△EAD 和△EAB 中,AD=AB ,AE=AE ,∠EAD=∠EAB , ∴△EAD ≌△EAB , ∴ED=EB ,则BD ⊥EG ,又AC ∩EG=G ,∴BD ⊥平面ACEF , ∵BD ⊂平面ABCD , ∴平面ACEF ⊥平面ABCD ;(2)解法一:过G 作EF 的垂线,垂足为M ,连接MB ,MG ,MD , 易得∠EAC 为AE 与面ABCD 所成的角, ∴∠EAC=60°, ∵EF ⊥GM ,EF ⊥BD , ∴EF ⊥平面BDM ,∴∠DMB 为二面角B ﹣EF ﹣D 的平面角,可求得MG=,DM=BM=,在△DMB 中,由余弦定理可得:cos ∠BMD=,∴二面角B ﹣EF ﹣D 的余弦值为;解法二:如图,在平面ABCD 内,过G 作AC 的垂线,交EF 于M 点, 由(1)可知,平面ACEF ⊥平面ABCD , ∵MG ⊥平面ABCD ,∴直线GM 、GA 、GB 两两互相垂直,分别以GA 、GB 、GM 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系G ﹣xyz , 可得∠EAC 为AE 与平面ABCD 所成的角,∴∠EAC=60°,则D (0,﹣1,0),B (0,1,0),E (),F (),,,设平面BEF 的一个法向量为,则,取z=2,可得平面BEF的一个法向量为,同理可求得平面DEF的一个法向量为,∴cos<>==,∴二面角B﹣EF﹣D的余弦值为.19.某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量划分为三档,月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费,超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费,超过400度的部分按1.0元/度收费.(1)求某户居民用电费用y(单位:元)关于月用电量x(单位:度)的函数解析式;(2)为了了解居民的用电情况,通过抽样,获得了今年1月份100户居民每户的用电量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图,若这100户居民中,今年1月份用电费用不超过260元的点80%,求a,b的值;(3)在满足(2)的条件下,若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率,且同组中的数据用该组区间的中点值代替,记Y为该居民用户1月份的用电费用,求Y的分布列和数学期望.【考点】离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;离散型随机变量及其分布列.【分析】(1)利用分段函数的性质即可得出.(2)利用(1),结合频率分布直方图的性质即可得出.(3)由题意可知X可取50,150,250,350,450,550.结合频率分布直方图的性质即可得出.【解答】解:(1)当0≤x≤200时,y=0.5x;当200<x≤400时,y=0.5×200+0.8×(x﹣200)=0.8x﹣60,当x>400时,y=0.5×200+0.8×200+1.0×(x﹣400)=x﹣140,所以y与x之间的函数解析式为:y=.(2)由(1)可知:当y=260时,x=400,则P(x≤400)=0.80,结合频率分布直方图可知:0.1+2×100b+0.3=0.8,100a+0.05=0.2,∴a=0.0015,b=0.0020.(3)由题意可知X可取50,150,250,350,450,550.当x=50时,y=0.5×50=25,∴P(y=25)=0.1,当x=150时,y=0.5×150=75,∴P(y=75)=0.2,当x=250时,y=0.5×200+0.8×50=140,∴P(y=140)=0.3,当x=350时,y=0.5×200+0.8×150=220,∴P(y=220)=0.2,当x=450时,y=0.5×200+0.8×200+1.0×50=310,∴P(y=310)=0.15,当x=550时,y=0.5×200×0.8×200+1.0×150=410,∴P(y=410)=0.05.故Y的概率分布列为:所以随机变量Y的数学期望EY=25×0.1+75×0.2+140×0.3+220×0.2+310×0.15+410×0.05=170.5.20.已成椭圆C: +=1(a>b>0)的左右顶点分别为A1、A2,上下顶点分别为B2/B1,左右焦点分别为F1、F2,其中长轴长为4,且圆O:x2+y2=为菱形A1B1A2B2的内切圆.(1)求椭圆C的方程;(2)点N(n,0)为x轴正半轴上一点,过点N作椭圆C的切线l,记右焦点F2在l上的射影为H,若△F1HN的面积不小于n2,求n的取值范围.【考点】椭圆的简单性质.【分析】(1)由题意求得a,直线A2B2的方程为,利用点到直线的距离公式,即可求得b的值,求得椭圆C的方程;(2)设直线方程,代入椭圆方程,由△=0,求得m和n的关系,利用三角形的面积公式,求得m的取值范围,代入即可求得n的取值范围.【解答】解:(1)由题意知2a=4,所以a=2,所以A1(﹣2,0),A2(2,0),B1(0,﹣b),B2(0,b),则直线A2B2的方程为,即bx+2y﹣2b=0,所以=,解得b2=3,故椭圆C的方程为;(2)由题意,可设直线l的方程为x=my+n,m≠0,联立,消去x得(3m2+4)y2+6mny+3(n2﹣4)=0,(*)由直线l与椭圆C相切,得△=(6mn)2﹣4×3×(3m2+4)(n2﹣4)=0,化简得3m2﹣n2+4=0,设点H(mt+n,t),由(1)知F1(﹣1,0),F2(1,0),则•=﹣1,解得:t=﹣,所以△F1HN的面积=(n+1)丨﹣丨=,代入3m2﹣n2+4=0,消去n化简得=丨m丨,所以丨m丨≥n2=(3m2+4),解得≤丨m丨≤2,即≤m2≤4,从而≤≤4,又n>0,所以≤n≤4,故n的取值范围为[,4].21.已知函数f(x)=xlnx,e为自然对数的底数.(1)求曲线y=f(x)在x=e﹣2处的切线方程;(2)关于x的不等式f(x)≥λ(x﹣1)在(0,+∞)上恒成立,求实数λ的值;(3)关于x的方程f(x)=a有两个实根x1,x2,求证:|x1﹣x2|<2a+1+e﹣2.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】(1)求出函数的导数,计算f′(e﹣2)和f(e﹣2)的值,求出切线方程即可;(2)求出函数g(x)的导数,得到函数的单调区间,求出函数的极小值,从而求出λ的值即可;(3)记h(x)=f(x)﹣(﹣x﹣e﹣2)=xlnx+x+e﹣2,求出h(x)的最小值,得到a=﹣1=f(x2)≥x2﹣1,得到|x1﹣x2|=x2﹣x1≤﹣,从而证出结论.【解答】解(1)对函数f(x)求导得f′(x)=lnx+1,∴f′(e﹣2)=lne﹣2+1=﹣1,又f(e﹣2)=e﹣2lne﹣2=﹣2e﹣2,∴曲线y=f(x)在x=e﹣2处的切线方程为y﹣(﹣2e﹣2)=﹣(x﹣e﹣2),即y=﹣x﹣e﹣2;(2)记g(x)=f(x)﹣λ(x﹣1)=xlnx﹣λ(x﹣1),其中x>0,由题意知g(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,下面求函数g(x)的最小值,对g(x)求导得g′(x)=lnx+1﹣λ,令g′(x)=0,得x=eλ﹣1,当x变化时,g′(x),g(x)变化情况列表如下:∴g(x)min=g(x)极小值=g(eλ﹣1)=(λ﹣1)eλ﹣1﹣λ(eλ﹣1﹣1)=λ﹣eλ﹣1,∴λ﹣eλ﹣1≥0,记G(λ)=λ﹣eλ﹣1,则G′(λ)=1﹣eλ﹣1,令G′(λ)=0,得λ=1,当λ变化时,G′(λ),G(λ)变化情况列表如下:∴G(λ)max=G(λ)极大值=G(1)=0,故λ﹣eλ﹣1≤0当且仅当λ=1时取等号,又λ﹣eλ﹣1≥0,从而得到λ=1;(3)先证f(x)≥﹣x﹣e﹣2,记h(x)=f(x)﹣(﹣x﹣e﹣2)=xlnx+x+e﹣2,则h′(x)=lnx+2,令h′(x)=0,得x=e﹣2,当x变化时,h′(x),h(x)变化情况列表如下:∴h(x)min=h(x)极小值=h(e﹣2)=e﹣2lne﹣2+e﹣2+e﹣2=0,h(x)≥0恒成立,即f(x)≥﹣x﹣e﹣2,记直线y=﹣x﹣e﹣2,y=x﹣1分别与y=a交于(,a),(,a),不妨设x1<x2,则a=﹣﹣e﹣2=f(x1)≥﹣x1﹣e﹣2,从而<x1,当且仅当a=﹣2e﹣2时取等号,由(2)知,f(x)≥x﹣1,则a=﹣1=f(x2)≥x2﹣1,从而x2≤,当且仅当a=0时取等号,故|x1﹣x2|=x2﹣x1≤﹣=(a+1)﹣(﹣a﹣e﹣2)=2a+1+e﹣2,因等号成立的条件不能同时满足,故|x1﹣x2|<2a+1+e﹣2.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在直角坐标系中xOy中,已知曲线E经过点P(1,),其参数方程为(α为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线E的极坐标方程;(2)若直线l交E于点A、B,且OA⊥OB,求证: +为定值,并求出这个定值.【考点】参数方程化成普通方程.【分析】(1)将点P(1,),代入曲线E的方程,求出a2=3,可得曲线E的普通方程,即可求曲线E的极坐标方程;(2)利用点的极坐标,代入极坐标方程,化简,即可证明结论.【解答】解:(1)将点P(1,),代入曲线E的方程:,解得a2=3,所以曲线E的普通方程为=1,极坐标方程为=1;(2)不妨设点A,B的极坐标分别为A(ρ1,θ),B(ρ2,),则代入曲线E的极坐标方程,可得+==,即+为定值.[选修4-5:不等式选讲]23.已知f(x)=|x+a|,g(x)=|x+3|﹣x,记关于x的不等式f(x)<g(x)的解集为M.(1)若a﹣3∈M,求实数a的取值范围;(2)若[﹣1,1]⊆M,求实数a的取值范围.【考点】绝对值不等式的解法.【分析】(1)将x=a﹣3代入不等式,解关于a的不等式即可;(2)得到|x+a|<3恒成立,即﹣3﹣x<a<3﹣x,当x∈[﹣1,1]时恒成立,求出a的范围即可.【解答】解:(1)依题意有:|2a﹣3|<|a|﹣(a﹣3),若a≥,则2a﹣3<3,∴≤a<3,若0≤a<,则3﹣2a<3,∴0<a<,若a≤0,则3﹣2a<﹣a﹣(a﹣3),无解,综上所述,a的取值范围为(0,3);(2)由题意可知,当x∈[﹣1,1]时,f(x)<g(x)恒成立,∴|x+a|<3恒成立,即﹣3﹣x<a<3﹣x,当x∈[﹣1,1]时恒成立,∴﹣2<a<2.。

2017广东省深圳市1模(文科)

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深圳市2017年高三年级第一次调研考试数学(文科)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}{}22,4,,6,8,B |9180A x x x ==-+≤,则AB =( )A . {}2,4B .{}4,6C .{}6,8D .{}2,82.若复数()12a ia R i+∈+为纯虚数,其中i 为虚数单位,则a = ( ) A . -3 B . -2 C .2 D .33. 袋中装有大小相同的四个球,四个球上分别标有数字“2”,“3”,“4”,“6”.现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是( ) A .14 B . 13 C . 12 D . 234.设30.330.2,log 0.2,log 0.2a b c ===,则,,a b c 大小关系正确的是( ) A .a b c >> B .b a c >> C. b c a >> D .c b a >> 5. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知1cos ,1,24C a c ===,则ABC ∆的面积为( )A B 1514 D .186.5)A 5C. 2 D 5 7.将函数sin 64y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的3倍,再向右平移8π个单位,得到的函数的一个对称中心是( ) A .,02π⎛⎫⎪⎝⎭ B .,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. ,09π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D .,016π⎛⎫ ⎪⎝⎭8. 函数()21cos 21x xf x x +=-的图象大致是( )9.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家,他在实践的基础上提出了体积计算的原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是,如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等,那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时,需要构造一个满足条件的几何体,已知该几何体三视图如图所示,用一个与该几何体的下底面平行相距为()02h h <<的平面截该几何体,则截面面积为 ( )A .4πB .2h π C. ()22h π- D .()24h π-10. 执行如图所示的程序框图,若输入2017p =,则输出i 的值为( )A . 335B .336 C. 337 D .33811. 已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -,球O 与该正方体的各个面相切,则平面1ACB 截此球所得的截面的面积为( ) A .83π B .53π C. 43π D .23π 12. 若()32sin cos f x x a x =+在()0,π上存在最小值,则实数a 的取值范围是( ) A .30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B .30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D .()0,+∞ 第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分,将答案填在答题纸上13.已知向量()()1,2,,3p q x ==,若p q ⊥,则p q += . 14. 已知α是锐角,且cos 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 15.直线30ax y -+=与圆()()2224x y a -+-=相交于M N 、两点,若MN ≥则实数a 的取值范围是 .16.若实数,x y 满足不等式组4023801x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩,目标函数z kx y =-的最大值为12,最小值为0,则实数k = .三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设n S 为数列{}n a 的前n 项和,且()*21,1n n n n S a n n N b a =-+∈=+. (1)求数列{}n b 的通项公式; (2)求数列{}n nb 的前n 项和n T .18. 如图,四边形ABCD 为菱形,四边形ACEF 为平行四边形,设BD 与AC 相交于点G ,2,3,AB BD AE EAD EAB ===∠=∠.(1)证明:平面ACEF ⊥平面ABCD ;(2)若060EAG ∠=,求三棱锥F BDE -的体积.19.某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量划分为三档,月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费,超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费,超过400度的部分按1.0元/度收费.(1)求某户居民用电费用y (单位:元)关于月用电量x (单位:度)的函数解析式; (2)为了了解居民的用电情况,通过抽样,获得了今年1月份100户居民每户的用电量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图,若这100户居民中,今年1月份用电费用不超过260元的点80%,求,a b 的值;(3)在满足(2)的条件下,估计1月份该市居民用户平均用电费用(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).20.已成椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>3,过点()0,2P 的直线l 与椭圆C 相交于A B 、两点. (1)求椭圆C 的方程;(2)设M 是AB 中点,且Q 点的坐标为2,05⎛⎫⎪⎝⎭,当QM AB ⊥时,求直线l 的方程. 21.已知函数()()()1ln 3,,f x ax x ax a R g x =+-+∈是()f x 的导函数,e 为自然对数的底数.(1)讨论()g x 的单调性;(2)当a e >时,证明:()0a g e ->;(3)当a e >时,判断函数()f x 零点的个数,并说明理由.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系中xOy 中,曲线E 的参数方程为2cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数),以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)写出曲线E 的普通方程和极坐标方程;(2)若直线l 与曲线E 相交于点A B 、两点,且OA OB ⊥,求证:2211OAOB+为定值,并求出这个定值. 23.选修4-5:不等式选讲已知()(),3f x x a g x x x =+=+-. (1)当1a =,解不等式()()f x g x <;(2)对任意[]()()1,1,x f x g x ∈-<恒成立,求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: BBCBA 6-10: DACDC 11、12:DD二、填空题13. 224,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 16. 3 三、解答题17.解:(1)当1n =时,11112112a S a a ==-+=,易得110,1a b ==; 当2n ≥时,()1121211n n n n n a S S a n a n --=-=-+---+⎡⎤⎣⎦, 整理得121n n a a -=+,∴()111212n n n n b a a b --=+=+=,∴数列{}n b 构成以首项为11b =,公比为2等比数列, ∴数列{}n b 的通项公式()12*n n b n N -=∈; (2)由(1)知12n n b -=,则12n n nb n -=,则01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯,① ∴12321222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯,②由①-②得:0121121212122n n n T n --=⨯+⨯+⨯++⨯-⨯12221212nn n n n n -=-⨯=--⨯-, ∴()121n n T n =-+.18.解:(1)证明: 连接EG ,∵四边形ABCD 为菱形,∵,,AD AB BD AC DG GB =⊥=, 在EAD ∆和EAB ∆中,,AD AB AE AE ==,EAD EAB ∠=∠,∴EAD EAB ∆≅∆, ∴ED EB =, ∴BD EG ⊥, ∵ACEG G =,∴BD ⊥平面ACFE , ∵BD ⊂平面ABCD , ∴平面ACFE ⊥平面ABCD ;(2)解法一:连接,EG FG ,∵BD ⊥面,ACFE FG ⊂平面ACFE ,∴FG BD ⊥, 在平行四边形ACFE 中,易知060,30EGA FGC ∠=∠=,∴090EGF ∠=,即FG EG ⊥,又因为,EG BD 为平面BDE 内的两条相交直线,所以FG ⊥平面BDE ,所以点F 到平面BDE 的距离为3FG =,∵12332BDE S ∆== ∴三棱锥F BDE -的体积为13333=.解法二:∵//,EF 2GC EF GC =,∴点F 到平面BDE 的距离为点C 到平面BDE 的距离的两倍,所以2F BDE C BDE V V --=,作EH AC ⊥,∵平面ACFE ⊥平面,ABCD EH ⊥平面ABCD ,∴113323322C BDE E BCD V V --==⨯⨯=, ∴三棱锥F BDE -319.解析:(1)当0200x ≤≤时,0.5y x =;当200400x <≤时,()0.52000.82000.860y x x =⨯+⨯-=-, 当400x >时,()0.52000.8200 1.0400140y x x =⨯+⨯+⨯-=-,所以y 与x 之间的函数解析式为:0.5,02000.860,200400140,400x x y x x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩;(2)由(1)可知:当260y =时,400x =,则()4000.80P x ≤=,结合频率分布直方图可知:0.121000.30.81000.050.2b a +⨯+=⎧⎨+=⎩,∴0.0015,0.0020a b ==; (3)由题意可知:当50x =时,0.55025y =⨯=,∴()250.1P y ==, 当150x =时,0.515075y =⨯=,∴()750.2P y ==,当250x =时,0.52000.850140y =⨯+⨯=,∴()1400.3P y ==, 当350x =时,0.52000.8150220y =⨯+⨯=,∴()2200.2P y ==,当450x =时,0.52000.8200 1.050310y =⨯+⨯+⨯=,∴()3100.15P y ==, 当550x =时,0.52000.8200 1.0150410y =⨯+⨯+⨯=,∴()4100.05P y ==, 故250.1750.21400.32200.23100.154100.05170.5y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.20.解:(1)由题意可知:225a b +=,又2223c e a b c a ===+,∴a b ==,所以椭圆C 的方程为22:132x y C +=; (2)①若直线l 的斜率不存在,此时M 为原点,满足QM AB ⊥,所以,方程为0x =, ②若直线l 的斜率存在,设其方程为()()11222,,,,y y kx A x y B x =+, 将直线方程与椭圆方程联立可得222132y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,即()22231260k x kx +++=,可得1222122372480k x x k k -⎧+=⎪+⎨⎪∆=->⎩,设()00,M x y ,则00222664,2232323k k x y k k k k --==+=+++, 由QM AB ⊥可知00125y k x =--,化简得23520k k ++=, 解得1k =-或23k =-,将结果代入272480k ∆=->验证,舍掉23k =-, 此时,直线l 的方程为20x y +-=,综上所述,直线l 的方程为0x =或20x y +-=. 21.解(1)对函数()f x 求导得()()1ln g x f x a x x'==+, ()2211a ax g x x x x-'=-=, ①当0a ≤时,()0g x '<,故()g x 在()0,+∞上为减函数; ②当0a >时,解()0g x '>可得1x a >,故()g x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭; (2) ()2a a g e a e -=-+,设()2x h x e x =-,则()2x h x e x '=-, 易知当x e >时,()0h x '>,()220x e h x e x e e =->->;(3)由(1)可知,当a e >时,()g x 是先减再增的函数, 其最小值为111ln ln 10g a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=+=+<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 而此时()1110,0aa a g e e g e --⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭,且11a a e e a -<<,故()g x 恰有两个零点12,x x ,∵当()10,x x ∈时,()()0f x g x '=>;当()12,x x x ∈时,()()0f x g x '=<;当()2,x x ∈+∞时, ()()0f x g x '=>,∴()f x 在12,x x 两点分别取到极大值和极小值,且110,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 由()1111ln 0g x a x x =+=知111ln a x x =-, ∴()()11111111ln 3ln 2ln f x ax x ax x x =+-+=++, ∵1ln 0x <,∴111ln 2ln x x +≤-,但当111ln 2ln x x +=-时,11x e =,则a e =,不合题意,所以()10f x <,故函数()f x 的图象与x 轴不可能有两个交点. ∴函数()f x 只有一个零点.22.解:(1)曲线E 的普通方程为22143x y +=, 极坐标方程为22211cos sin 143ρθθ⎛⎫+=⎪⎝⎭,∴所求的极坐标方程为22223cos 4sin 12ρθρθ+=;(2)不妨设设点,A B 的极坐标分别为()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+⎪⎝⎭, 则()()2211222211cos sin 14311cos sin 14232ρθρθππρθρθ⎧+=⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩,即22212222111cos sin 43111sin cos 43θθρθθρ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩, ∴221211712ρρ+=,即2211712OA OB+=(定值). 23.解:(1)当1a =,()1f x x =+,由()()f x g x <可得13x x x +<+-,即310x x x +-+->,当3x ≤-时,原不等式等价于20x -->,即2x <-,∴3x ≤-,当31x -<<-时,原不等式等价于40x +>,即4x >-,∴31x -<<-, 当1x ≥-时,原不等式等价于20x -+>,即2x <,∴12x -≤<, 综上所述,不等式的解集为(),2-∞;(2)当[]1,1x ∈-时,()3g x =,∴3x a +<恒成立,∴33a x -<+<,即33x a x --<<-,当[]1,1x ∈-时恒成立, ∴a 的取值范围22a -<<.。

广东省深圳市2017年高考数学一模试卷文科 含解析 精品

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2017年广东省深圳市高考数学一模试卷(文科)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={2,4,6,8},B={x|x2﹣9x+18≤0},则A∩B=()A.{2,4}B.{4,6}C.{6,8}D.{2,8}2.若复数(a∈R)为纯虚数,其中i为虚数单位,则a=()A.﹣3 B.﹣2 C.2 D.33.袋中装有大小相同的四个球,四个球上分别标有数字“2”,“3”,“4”,“6”.现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是()A.B.C.D.4.设a=0.23,b=log0.30.2,c=log30.2,则a,b,c大小关系正确的是()A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>b>a5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosC=,a=1,c=2,则△ABC的面积为()A.B.C.D.6.若双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的,则该双曲线的离心率为()A.B.C.2 D.7.将函数y=sin(6x+)的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,再向右平移个单位,得到的函数的一个对称中心()A.B.C.()D.()8.函数f(x)=•cosx的图象大致是()A.B.C.D.9.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家,他在实践的基础上提出了体积计算的原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是,如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等,那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时,需要构造一个满足条件的几何体,已知该几何体三视图如图所示,用一个与该几何体的下底面平行相距为h(0<h<2)的平面截该几何体,则截面面积为()A.4πB.πh2C.π(2﹣h)2D.π(4﹣h)210.执行如图所示的程序框图,若输入p=2017,则输出i的值为()A.335 B.336 C.337 D.33811.已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1,球O与该正方体的各个面相切,则平面ACB1截此球所得的截面的面积为()A. B. C. D.12.若f(x)=sin3x+acos2x在(0,π)上存在最小值,则实数a的取值范围是()A.(0,)B.(0,]C.[,+∞)D.(0,+∞)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分,将答案填在答题纸上13.已知向量=(1,2),=(x,3),若⊥,则|+|=.14.已知α是锐角,且cos(α+)=,则cos(α﹣)=.15.直线ax﹣y+3=0与圆(x﹣2)2+(y﹣a)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2,则实数a的取值范围是.16.若实数x,y满足不等式组,目标函数z=kx﹣y的最大值为12,最小值为0,则实数k=.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12分)设S n为数列{a n}的前n项和,且S n=2a n﹣n+1(n∈N*),b n=a n+1.(1)求数列{b n}的通项公式;(2)求数列{nb n}的前n项和T n.18.(12分)如图,四边形ABCD为菱形,四边形ACEF为平行四边形,设BD与AC相交于点G,AB=BD=2,AE=,∠EAD=∠EAB.(1)证明:平面ACEF⊥平面ABCD;(2)若∠EAG=60°,求三棱锥F﹣BDE的体积.19.(12分)某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量划分为三档,月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费,超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费,超过400度的部分按1.0元/度收费.(1)求某户居民用电费用y(单位:元)关于月用电量x(单位:度)的函数解析式;(2)为了了解居民的用电情况,通过抽样,获得了今年1月份100户居民每户的用电量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图,若这100户居民中,今年1月份用电费用不超过260元的点80%,求a,b的值;(3)在满足(2)的条件下,若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率,且同组中的数据用该组区间的中点值代替,记Y为该居民用户1月份的用电费用,求Y的分布列和数学期望.20.(12分)已成椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为.其右顶点与上顶点的距离为,过点P(0,2)的直线l与椭圆C相交于A、B两点.(1)求椭圆C的方程;(2)设M是AB中点,且Q点的坐标为(,0),当QM⊥AB时,求直线l 的方程.21.(12分)已知函数f(x)=(ax+1)lnx﹣ax+3,a∈R,g(x)是f(x)的导函数,e为自然对数的底数.(1)讨论g(x)的单调性;(2)当a>e时,证明:g(e﹣a)>0;(3)当a>e时,判断函数f(x)零点的个数,并说明理由.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系中xOy中,曲线E的参数方程为(α为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)写出曲线E的普通方程和极坐标方程;(2)若直线l与曲线E相交于点A、B两点,且OA⊥OB,求证: +为定值,并求出这个定值.[选修4-5:不等式选讲]23.已知f(x)=|x+a|,g(x)=|x+3|﹣x.(1)当a=1,解不等式f(x)<g(x);(2)对任意x∈[﹣1,1],f(x)<g(x)恒成立,求a的取值范围.2017年广东省深圳市高考数学一模试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={2,4,6,8},B={x|x2﹣9x+18≤0},则A∩B=()A.{2,4}B.{4,6}C.{6,8}D.{2,8}【考点】交集及其运算.【分析】求出B中不等式的解集确定出B,找出A与B的交集即可.【解答】解:∵A={2,4,6,8},B={x|x2﹣9x+18≤0}={x|(x﹣3)(x﹣6)≤0}={x|3≤x≤6},∴A∩B={4,6},故选:B.【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.2.若复数(a∈R)为纯虚数,其中i为虚数单位,则a=()A.﹣3 B.﹣2 C.2 D.3【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数,又根据复数(a∈R)为纯虚数,列出方程组,求解即可得答案.【解答】解:==,∵复数(a∈R)为纯虚数,∴,解得:a=﹣2.故选:B.【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.3.袋中装有大小相同的四个球,四个球上分别标有数字“2”,“3”,“4”,“6”.现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是()A.B.C.D.【考点】古典概型及其概率计算公式.【分析】现从中随机选取三个球,基本事件总数n==4,所选的三个球上的数字能构成等差数列包含的基本事件的个数,由此能求出所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率.【解答】解:袋中装有大小相同的四个球,四个球上分别标有数字“2”,“3”,“4”,“6”,现从中随机选取三个球,基本事件总数n==4,所选的三个球上的数字能构成等差数列包含的基本事件有:(2,3,4),(2,4,6),共有2个,∴所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是p==.故选:C.【点评】本题考查概率的求法及应用,是基础题,解题时要认真审题,注意等可能事件概率计算公式的合理运用.4.设a=0.23,b=log0.30.2,c=log30.2,则a,b,c大小关系正确的是()A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>b>a【考点】对数值大小的比较.【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出.【解答】解:a=0.23=0.008,b=log0.30.2>log0.30.3=1,c=log30.2<1,∴b>a>c,故选:B.【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosC=,a=1,c=2,则△ABC的面积为()A.B.C.D.【考点】正弦定理.【分析】由题意cosC=,a=1,c=2,余弦定理求解b,正弦定理在求解sinB,那么△ABC的面积即可.【解答】解:由题意cosC=,a=1,c=2,那么:sinC=,cosC==,解得b=2.由,可得sinB=,那么△ABC的面积=故选A【点评】本题主要考查了余弦定理,正弦定理的运用,属于基础题.6.若双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的,则该双曲线的离心率为()A.B.C.2 D.【考点】双曲线的简单性质.【分析】利用双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的,列出关系式求解离心率即可.【解答】解:设双曲线方程:,可得渐近线方程为:bx﹣ay=0,焦点坐标(c,0),双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的,可得:,整理得:5b2=4c2,即c2=5a2,解得e=.故选:D.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,考查计算能力.7.将函数y=sin(6x+)的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,再向右平移个单位,得到的函数的一个对称中心()A.B.C.()D.()【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;正弦函数的对称性.【分析】先根据三角函数图象变换规律写出所得函数的解析式,再根据三角函数的性质进行验证:若f(a)=0,则(a,0)为一个对称中心,确定选项.【解答】解:函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到图象的解析式为再向右平移个单位得到图象的解析式为=sin2x当x=时,y=sinπ=0,所以是函数y=sin2x的一个对称中心.故选A.【点评】本题考查了三角函数图象变换规律,三角函数图象、性质.是三角函数中的重点知识,在试题中出现的频率相当高.8.函数f(x)=•cosx的图象大致是()A.B.C.D.【考点】函数的图象.【分析】先判断函数的奇偶性,再判断函数值,问题得以解决.【解答】解:f(﹣x)=•cos(﹣x)=•cosx=﹣f(x),∴f(x)为奇函数,∴函数f(x)的图象关于原点对称,当x∈(0,)时,cosx>0,>0,∴f(x)>0在(0,)上恒成立,故选:C【点评】本题考查了函数图象的识别,关键是掌握函数的奇偶性和函数值,属于基础题9.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家,他在实践的基础上提出了体积计算的原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是,如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等,那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时,需要构造一个满足条件的几何体,已知该几何体三视图如图所示,用一个与该几何体的下底面平行相距为h(0<h<2)的平面截该几何体,则截面面积为()A.4πB.πh2C.π(2﹣h)2D.π(4﹣h)2【考点】由三视图求面积、体积.【分析】由题意,首先得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥,得到截面为圆环,明确其半径求面积.【解答】解:由已知得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥,底面半径为2高为2,设截面的圆环,小圆半径为r,则为\frac{h}{2}=\frac{r}{2}$,得到r=h,所以截面圆的面积为πh2;故选B.【点评】本题考查了几何体得到三视图以及截面面积的求法;关键是明确几何体形状,然后得到截面的性质以及相关的数据求面积.10.执行如图所示的程序框图,若输入p=2017,则输出i的值为()A.335 B.336 C.337 D.338【考点】程序框图.【分析】根据题意,模拟程序框图的运行过程,即可得出输出i的值.【解答】解:模拟程序的运行,可得程序框图的功能是统计1到2017这些数中能同时被2和3整除的数的个数i,由于:2017=336×6+1,故程序框图输出的i的值为337.故选:C.【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时模拟程序框图的运行过程,正确得出程序框图的功能是解题的关键,属于基础题.11.已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1,球O与该正方体的各个面相切,则平面ACB1截此球所得的截面的面积为()A. B. C. D.【考点】球的体积和表面积.【分析】求出平面ACB1截此球所得的截面的圆的半径,即可求出平面ACB1截此球所得的截面的面积.【解答】解:由题意,球心与B的距离为=,B到平面ACB1的距离为=,球的半径为1,球心到平面ACB1的距离为﹣=,∴平面ACB1截此球所得的截面的圆的半径为=,∴平面ACB1截此球所得的截面的面积为=,故选D.【点评】本题考查平面ACB1截此球所得的截面的面积,考查学生的计算能力,属于中档题.12.若f(x)=sin3x+acos2x在(0,π)上存在最小值,则实数a的取值范围是()A.(0,)B.(0,]C.[,+∞)D.(0,+∞)【考点】三角函数的最值.【分析】设t=sinx,由x∈(0,π)和正弦函数的性质求出t的范围,将t代入f (x)后求出函数的导数,求出临界点,根据条件判断出函数的单调性,由导数与函数单调性的关系列出不等式,求出实数a的取值范围.【解答】解:设t=sinx,由x∈(0,π)得t∈(0,1],∵f(x)=sin3x+acos2x=sin3x+a(1﹣sin2x),∴f(x)变为:y=t3﹣at2+a,则y′=3t2﹣2at=t(3t﹣2a),由y′=0得,t=0或t=,∵f(x)=sin3x+acos2x在(0,π)上存在最小值,∴函数y=t3﹣at2+a在(0,1]上递减或先减后增,即>0,得a>0,∴实数a的取值范围是(0,+∞),故选:D.【点评】本题考查正弦函数的性质,导数与函数单调性的关系,以及构造法、换元法的应用,考查化简、变形能力.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分,将答案填在答题纸上13.已知向量=(1,2),=(x,3),若⊥,则|+|=5.【考点】平面向量的坐标运算.【分析】⊥,可得=0,解得x.再利用向量模的计算公式即可得出.【解答】解:∵⊥,∴=x+6=0,解得x=﹣6.∴=(﹣5,5).∴|+|==5.故答案为:5.【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量模的计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.14.已知α是锐角,且cos(α+)=,则cos(α﹣)=.【考点】两角和与差的余弦函数.【分析】由已知利用诱导公式可求sin(α﹣)=,结合角的范围,利用同角三角函数基本关系式计算可解.【解答】解:∵cos(α+)=sin[﹣(α+)]=sin(α﹣)=,∵α是锐角,α﹣∈(﹣,),∴cos(α﹣)===.故答案为:.【点评】本题主要考查了诱导公式,同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用,考查了转化思想,属于基础题.15.直线ax﹣y+3=0与圆(x﹣2)2+(y﹣a)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2,则实数a的取值范围是a≤﹣.【考点】直线与圆相交的性质.【分析】由圆的方程找出圆心坐标与半径r,利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d,利用|MN|≥2,建立不等式,即可得到a的范围.【解答】解:由圆的方程得:圆心(2,a),半径r=2,∵圆心到直线ax﹣y+3=0的距离d=,|MN|≥2,∴,解得:a≤﹣,故答案为:a≤﹣.【点评】此题考查了直线与圆相交的性质,涉及的知识有:圆的标准方程,点到直线的距离公式,垂径定理,勾股定理,熟练掌握公式及定理是解本题的关键.16.若实数x,y满足不等式组,目标函数z=kx﹣y的最大值为12,最小值为0,则实数k=3.【考点】简单线性规划.【分析】先画出可行域,得到角点坐标.利用k与0的大小,分类讨论,结合目标函数的最值求解即可.【解答】解:实数x,y满足不等式组的可行域如图:得:A(1,3),B(1,﹣2),C(4,0).①当k=0时,目标函数z=kx﹣y的最大值为12,最小值为0,不满足题意.②当k>0时,目标函数z=kx﹣y的最大值为12,最小值为0,当直线z=kx﹣y过C(4,0)时,Z取得最大值12.当直线z=kx﹣y过A(3,1)时,Z取得最小值0.可得k=3,满足题意.③当k<0时,目标函数z=kx﹣y的最大值为12,最小值为0,当直线z=kx﹣y过C(4,0)时,Z取得最大值12.可得k=﹣3,当直线z=kx﹣y过,B(1,﹣2)时,Z取得最小值0.可得k=﹣2,无解.综上k=3故答案为:3.【点评】本题主要考查简单线性规划以及分类讨论思想.解决本题计算量较大.属于中档题.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12分)(2017•深圳一模)设S n为数列{a n}的前n项和,且S n=2a n﹣n+1(n∈N*),b n=a n+1.(1)求数列{b n}的通项公式;(2)求数列{nb n}的前n项和T n.【考点】数列的求和;数列递推式.【分析】(1)求出数列的首项,利用通项与和的关系,推出数列b n的等比数列,求解通项公式.(2)利用错位相减法求解数列的和即可.【解答】解:(1)当n=1时,a1=S1=2a1﹣1+1,易得a1=0,b1=1;当n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣n+1﹣[2a n﹣1﹣n+1+1],整理得a n=2a n﹣1+1,∴b n=a n+1=2(a n﹣1+1)=2b n﹣1,∴数列{b n}构成以首项为b1=1,公比为2等比数列,∴数列{b n}的通项公式b n=2n﹣1,n∈N•;(2)由(1)知b n=2n﹣1,则nb n=n•2n﹣1,则T n=1×20+2×21+3×22+…+n•2n﹣1,①∴2T n=1×2+2×22+3×23+…+n×2n,②由①﹣②得:﹣T n=20+21+22+23+…+2n﹣1﹣n•2n==2n﹣1﹣n•2n,∴T n=(n﹣1)2n+1.【点评】本题考查数列的递推关系式的应用,数列求和,考查计算能力.18.(12分)(2017•深圳一模)如图,四边形ABCD为菱形,四边形ACEF为平行四边形,设BD与AC相交于点G,AB=BD=2,AE=,∠EAD=∠EAB.(1)证明:平面ACEF⊥平面ABCD;(2)若∠EAG=60°,求三棱锥F﹣BDE的体积.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定.【分析】(1)连接EG,说明BD⊥AC,证明BD⊥ED,推出BD⊥平面ACFE,然后证明平面ACEF⊥平面ABCD;=2V C (2)说明点F到平面BDE的距离为点C到平面BDE的距离的两倍,利用V F﹣BDE,转化求解三棱锥F﹣BDE的体积即可.﹣BDE【解答】解:(1)证明:连接EG ,∵四边形ABCD 为菱形, ∵AD=AB ,BD ⊥AC ,DG=GB , 在△EAD 和△EAB 中,AD=AB ,AE=AE ,∠EAD=∠EAB , ∴△EAD ≌△EAB , ∴ED=EB , ∴BD ⊥ED , ∵AC ∩EG=G , ∴BD ⊥平面ACFE , ∵BD ⊂平面ABCD , ∴平面ACEF ⊥平面ABCD ;(2)∵EF ∥GC ,EF=2GC ,∴点F 到平面BDE 的距离为点C 到平面BDE 的距离的两倍,所以V F ﹣BDE =2V C ﹣BDE ,作EH ⊥AC ,∵平面ACEF ⊥平面ABCD ,EH ⊥平面ABCD ,∴V C ﹣BDE =V E ﹣BCD ==,∴三棱锥F ﹣BDE 的体积为.【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用,几何体的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力.19.(12分)(2017•深圳一模)某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量划分为三档,月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费,超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费,超过400度的部分按1.0元/度收费.(1)求某户居民用电费用y(单位:元)关于月用电量x(单位:度)的函数解析式;(2)为了了解居民的用电情况,通过抽样,获得了今年1月份100户居民每户的用电量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图,若这100户居民中,今年1月份用电费用不超过260元的点80%,求a,b的值;(3)在满足(2)的条件下,若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率,且同组中的数据用该组区间的中点值代替,记Y为该居民用户1月份的用电费用,求Y的分布列和数学期望.【考点】离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;离散型随机变量及其分布列.【分析】(1)利用分段函数的性质即可得出.(2)利用(1),结合频率分布直方图的性质即可得出.(3)由题意可知X可取50,150,250,350,450,550.结合频率分布直方图的性质即可得出.【解答】解:(1)当0≤x≤200时,y=0.5x;当200<x≤400时,y=0.5×200+0.8×(x﹣200)=0.8x﹣60,当x>400时,y=0.5×200+0.8×200+1.0×(x﹣400)=x﹣140,所以y与x之间的函数解析式为:y=.(2)由(1)可知:当y=260时,x=400,则P(x≤400)=0.80,结合频率分布直方图可知:0.1+2×100b+0.3=0.8,100a+0.05=0.2,∴a=0.0015,b=0.0020.(3)由题意可知X 可取50,150,250,350,450,550.当x=50时,y=0.5×50=25,∴P (y=25)=0.1,当x=150时,y=0.5×150=75,∴P (y=75)=0.2,当x=250时,y=0.5×200+0.8×50=140,∴P (y=140)=0.3,当x=350时,y=0.5×200+0.8×150=220,∴P (y=220)=0.2,当x=450时,y=0.5×200+0.8×200+1.0×50=310,∴P (y=310)=0.15, 当x=550时,y=0.5×200×0.8×200+1.0×150=410,∴P (y=410)=0.05. 故Y 的概率分布列为:所以随机变量Y 的数学期望EY=25×0.1+75×0.2+140×0.3+220×0.2+310×0.15+410×0.05=170.5.【点评】本题考查了分段函数的性质、频率分布直方图的性质、随机变量的分布列及其数学期望,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.20.(12分)(2017•深圳一模)已成椭圆C :+=1(a >b >0)的离心率为.其右顶点与上顶点的距离为,过点P (0,2)的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点.(1)求椭圆C 的方程;(2)设M 是AB 中点,且Q 点的坐标为(,0),当QM ⊥AB 时,求直线l 的方程.【考点】直线与椭圆的位置关系;椭圆的标准方程.【分析】(1)椭圆的离心率为.其右顶点与上顶点的距离为,列出方程组,求出a=,b=,由此能求出椭圆C 的方程.(2)若直线l 的斜率不存在,直线方程为x=0;若直线l 的斜率存在,设其方程为y=kx+2,与椭圆方程联立,得(2+3k2)x2+12kx+6=0,由此利用根的判别式、韦达定理、直线垂直,结合已知条件能求出直线l的方程.【解答】解:(1)∵椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为.其右顶点与上顶点的距离为,∴由题意知:,解得a=,b=,∴椭圆C的方程为:.(2)①若直线l的斜率不存在,此时M为原点,满足QM⊥AB,∴方程为x=0;②若直线l的斜率存在,设其方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程与椭圆方程联立,得(2+3k2)x2+12kx+6=0,△=72k2﹣48>0,,设M(x0,y0),则,,由QM⊥AB,知,化简得3k2+5k+2=0,解得k=﹣1或k=﹣,将结果代入△=72k2﹣48>0验证,舍掉k=﹣,此时,直线l的方程为x+y﹣2=0,综上所述,直线l的方程为x=0或x+y﹣2=0.【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查直线方程的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意根的判别式、韦达定理、直线垂直、椭圆等知识点的合理运用.21.(12分)(2017•深圳一模)已知函数f(x)=(ax+1)lnx﹣ax+3,a∈R,g (x)是f(x)的导函数,e为自然对数的底数.(1)讨论g(x)的单调性;(2)当a>e时,证明:g(e﹣a)>0;(3)当a>e时,判断函数f(x)零点的个数,并说明理由.【考点】利用导数研究函数的单调性;根的存在性及根的个数判断.【分析】(1)求导,由导数与函数单调性的关系,即可求得g(x)的单调区间;(2)由g(e﹣a)=﹣a2+e a,构造函数h(x)=﹣x2+e x,求导,当x>e时,h′(x)>0,函数单调递增,即可求得h(x)=﹣x2+e x>﹣e2+e e>0,(3)由(1)可知,函数最小值为g()=0,故g(x)恰有两个零点x1,x2,则可判断x1,x2是函数的极大值和极小值,由函数零点的存在定理,求得函数f (x)只有一个零点.【解答】解:(1)对函数f(x),求导得g(x)=f′(x)=alnx+,g′(x)=﹣=,①当a≤0时,g′(x)<0,故g(x)在(0,+∞)上为减函数;②当a>0时,′(x)>0,可得x>,故g(x)的减区间为(0,),增区间为(,+∞);(2)证明:g(e﹣a)=﹣a2+e a,设h(x)=﹣x2+e x,则h′(x)=e x﹣2x,易知当x>e时,h′(x)>0,函数h(x)单调递增,h(x)=﹣x2+e x>﹣e2+e e>0,∴g(e﹣a)>0;(3)由(1)可知,当a>e时,g(x)是先减再增的函数,其最小值为g()=aln+a=a(ln+1)<0,而此时g()=1+,g(e﹣a)>0,且e﹣a<<,故g(x)恰有两个零点x1,x2,∵当x∈(0,x1)时,f′(x)=g(x)>0;当x∈(x1,x2)时,f′(x)=g(x)<0;当x∈(x2,+∞)时,f′(x)=g(x)>0,∴f(x)在x1,x2两点分别取到极大值和极小值,且x1∈(0,),由g(x1)=alnx1+=0,知a=﹣,∴f(x1)=(ax1+1)lnx1﹣ax1+3=lnx1++2,∵lnx1<0,∴lnx1+≤﹣2,但当lnx1+=﹣2时,lnx1=,则a=e,不合题意,所以f(x1)<0,故函数f(x)的图象与x轴不可能有两个交点.∴函数f(x)只有一个零点.【点评】本题考查导数的综合应用,考查导数与函数的单调性及及的关系,考查函数零点的判断,考查计算能力,属于中档题.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.(10分)(2017•深圳一模)在直角坐标系中xOy中,曲线E的参数方程为(α为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)写出曲线E的普通方程和极坐标方程;(2)若直线l与曲线E相交于点A、B两点,且OA⊥OB,求证: +为定值,并求出这个定值.【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.【分析】(1)曲线E的参数方程消去参数,能求出曲线E的普通方程,进而能求出曲线E的极坐标方程.(2)不妨设设点A,B的极坐标分别为A(ρ1,θ),B(),从而得到,由此能证明(定值).【解答】解:(1)∵曲线E的参数方程为(α为参数),∴消去参数得曲线E的普通方程为,∴曲线E的极坐标方程为,∴所求的极坐标方程为3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=12.(2)证明:不妨设设点A,B的极坐标分别为A(ρ1,θ),B(),则,即,∴=,即(定值).【点评】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化,考查代数式和为定值的证明,是中档题,解题时要认真审题,注意普通方程、极坐标方程的互化公式的合理运用.[选修4-5:不等式选讲]23.(2017•深圳一模)已知f(x)=|x+a|,g(x)=|x+3|﹣x.(1)当a=1,解不等式f(x)<g(x);(2)对任意x∈[﹣1,1],f(x)<g(x)恒成立,求a的取值范围.【考点】绝对值不等式的解法;函数恒成立问题.【分析】(1)把a=1代入f(x)后化简f(x)<g(x),对x分类讨论,分别去掉绝对值求出x的范围,最后再求并集可得答案;(2)由条件求出g(x),由绝对值不等式的解法化简|x+a|<3,求出a的表达式,由x的范围和恒成立求出a的取值范围.【解答】解:(1)当a=1,f(x)=|x+1|,由f(x)<g(x)可得|x+1|<|x+3|﹣x,即|x+3|﹣|x+1|﹣x>0,当x≤﹣3时,原不等式等价于﹣x﹣2>0,即x<﹣2,∴x≤﹣3,当﹣3<x<﹣1时,原不等式等价于x+4>0,即x>﹣4,∴﹣3<x<﹣1,当x≥﹣1时,原不等式等价于﹣x+2>0,即x<2,∴﹣1≤x<2,综上所述,不等式的解集为(﹣∞,2);(2)当x∈[﹣1,1]时,g(x)=|x+3|﹣x=3,∵对任意x∈[﹣1,1],f(x)<g(x)恒成立,∴对任意x∈[﹣1,1],|x+a|<3恒成立,∴﹣3<x+a<3,即﹣3﹣x<a<3﹣x,当x∈[﹣1,1]时恒成立,∴a的取值范围﹣2<a<2.【点评】本题考查绝对值不等式的解法,恒成立问题转化为求最值问题,以及分类讨论思想,考查化简、变形能力.。

2017年广东省深圳市第一次调研数学文科

2017年广东省深圳市第一次调研数学文科

CD AB ,垂足为 D ,已知 AD 2 , CB 4 3 ,则 CD

A
DO
B
三、解答题:本大题 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程
和演算步骤 .
16.(本小题满分 14 分)
已知向量 a ( 1,sin ) 与向量 b ( 4,2cos ) 垂直,其中
2
5
2
为第二象限角.
g( x) sin( 2 x ) , h( x) cos( x ) 的部分图象(如图) ,则
P
3
6
A. a 为 f ( x) , b 为 g( x) , c 为 h( x)
1
Q
H cb
a
B. a 为 h( x) , b 为 f( x) , c 为 g( x) C. a 为 g( x) , b 为 f( x) , c 为 h( x) D. a 为 h( x), b 为 g( x) , c 为 f ( x) 8.已知圆面 C : ( x a) 2 y2 a2 1 的面积为 S ,平面区域 D : 2 x y 4 与圆面 C 的公共区域的面积大于
1 S ,则实数 a 的取值范围是 2
A. ,2
B. ,2
C. , 1 1,2
D. , 1 1,2
9.如图所示程序框图,其作用是输入空间直角坐标平面中一点
P( a,b,c) ,输出相
应的点 Q( a,b,c) .若 P 的坐标为 ( 2,3,1),则 P,Q 间的距离为
(注:框图中的赋值符号“ =”也可以写成“←”或“: =” )
x2
20 .(本题满分 2
14 分)已知椭圆 C: a2
y2 b2
1( a b 0) 的左焦点 F 及点 A( 0,b) ,原点 O 到直线 FA 的距

2017-2019高考数学(文科)试卷及答案

2017-2019高考数学(文科)试卷及答案

22.(10 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为
方程为
,(t 为参数).
(1)若 a=﹣1,求 C 与 l 的交点坐标;
,(θ 为参数),直线 l 的参数
(2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 ,求 a.
[选修 4-5:不等式选讲](10 分) 23.已知函数 f(x)=﹣x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x﹣1|. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥g(x)的解集; (2)若不等式 f(x)≥g(x)的解集包含[﹣1,1],求 a 的取值范围.
b5
8A Uni--20--20 学年第一学期工作计划 9864
21.(12 分)已知函数 f(x)=ex(ex﹣a)﹣a2x. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)若 f(x)≥0,求 a 的取值范围.
(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题 计分。[选修 4-4:坐标系与参数方程选讲](10 分)
点,则在这四个正方体中,直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是( )
A.
B.
C.
D.
7.(5 分)设 x,y 满足约束条件
,则 z=x+y 的最大值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
8.(5 分)函数 y=
的部分图象大致为( )
A.
B.
C.
D. 9.(5 分)已知函数 f(x)=lnx+ln(2﹣x),则( ) A.f(x)在(0,2)单调递增
b11
∵ <A<π,
8A Uni--20--20 学年第一学期工作计划 9864
∴A= ,

广东省深圳市高考数学一模试卷(理科)(解析版)

广东省深圳市高考数学一模试卷(理科)(解析版)

2017 年广东省深圳市高考数学一模试卷(理科)一、选择题:本大题共 12 个小题,每题 5 分,共 60 分 .在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项切合题目要求的 .1.若会合 A={2 , 4, 6, 8} ,B={x|x 2﹣ 9x+18 ≤ 0} ,则 A ∩B= ()A.{2, 4} B.{4, 6} C.{6,8} D.{2 ,8}2.若复数( a∈ R)为纯虚数,此中i 为虚数单位,则 a=()A . 2B . 3 C.﹣ 2 D.﹣33.袋中装有大小同样的四个球,四个球上分别标有数字“ 2,”“ 3,”“ 4,”“ 6,”现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数字能组成等差数列的概率是()A .B .C. D .n n=a?3n﹣1=()4.等比数列 {a } 的前 n 项和为S +b ,则A.﹣ 3 B.﹣ 1 C. 1 D .32 2的一条对称轴,过点 A (0, k)5.直线 l: kx+y+4=0 ( k∈ R)是圆 C: x +y +4x ﹣4y+6=0作斜率为 1 的直线 m,则直线 m 被圆 C 所截得的弦长为()A .B .C. D .26.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家,他在实践的基础上提出了体积计算的原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是,假如两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等,那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时,需要构造一个知足条件的几何体,已知该几何体三视图以下图,用一个与该几何体的下底面平行相距为 h(0< h< 2)的平面截该几何体,则截面面积为()A . 4π2 2 2B .πh C.π( 2﹣ h) D .π( 4﹣ h)7.函数 f( x)=?cosx 的图象大概是()A.B.C.D.8.已知 a>b> 0 , c<0,以下不等关系中正确的选项是()c> b cA . ac> bcB . aC. log a(a﹣ c)> log b( b﹣ c)D.>9.履行以下图的程序框图,若输入p=2017 ,则输出i 的值为()A . 335B . 336C. 337 D .33810.已知 F 是双曲线E:﹣=1( a> 0,b> 0)的右焦点,过点 F 作 E 的一条渐近线的垂线,垂足为P,线段 PF 与 E 订交于点Q,记点 Q 到 E 的两条渐近线的距离之积为d2,若|FP|=2d,则该双曲线的离心率是()A.B.2C.3D.411.已知棱长为2的正方体ABCD ﹣ A 1B1C1D1,球 O 与该正方体的各个面相切,则平面ACB 1 截此球所得的截面的面积为()A.B.C.D.12.已知函数f(x)=,x≠ 0,e为自然对数的底数,对于x的方程+﹣λ =0 有四个相异实根,则实数λ的取值范围是()A .( 0,)B .(2,+∞)C.( e+,+∞) D .(+,+∞)二、填空题:本大题共 4 小题,每题 5 分,满分20 分,将答案填在答题纸上13.已知向量=( 1, 2),=( x, 3),若⊥,则|+|= .14.(﹣) 5 的二项睁开式中,含x 的一次项的系数为(用数字作答).15.若实数x, y 知足不等式组,目标函数z=kx ﹣ y 的最大值为12,最小值为 0,则实数 k= .﹣( n+2) a 2 < a 对 ? n∈=λn16.已知数列 {a n} 知足 na n+2 +2n),此中 a1=1 ,a2=2,若 a n n+1n(*恒成立,则实数λ.N 的取值范围是三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.△ ABC 的内角 A 、 B、 C 的对边分别为a、 b、 c,已知 2a=csinA ﹣ acosC.(1)求 C;(2)若 c= ,求△ ABC 的面积 S 的最大值.18.如图,四边形ABCD 为菱形,四边形ACEFAB=BD=2 , AE=,∠ EAD=∠EAB.为平行四边形,设BD 与AC 订交于点G,(1)证明:平面 ACEF ⊥平面 ABCD ;(2)若 AE 与平面 ABCD 所成角为 60°,求二面角 B ﹣EF﹣ D 的余弦值.19.某市为了鼓舞市民节俭用电,推行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量区分为三档,月用电量不超出200 度的部分按0.5 元 /度收费,超出200 度但不超出400 度的部分按0.8 元 /度收费,超出400 度的部分按 1.0 元 /度收费.(1)求某户居民用电花费y(单位:元)对于月用电量x(单位:度)的函数分析式;(2)为了认识居民的用电状况,经过抽样,获取了今年 1 月份100 户居民每户的用电量,统计剖析后获取以下图的频次散布直方图,若这100 户居民中,今年 1 月份用电花费不超过 260 元的点80% ,求a, b 的值;(3)在知足( 2)的条件下,若以这100 户居民用电量的频次取代该月全市居民用户用电量的概率,且同组中的数据用该组区间的中点值取代,记Y 为该居民用户 1 月份的用电花费,求 Y 的散布列和数学希望.20.已成椭圆C:+=1( a> b> 0)的左右极点分别为A 1、A 2,上下极点分别为 B 2/B 1,左右焦点分别为 F1、 F2,此中长轴长为4,且圆 O: x2+y 2= 为菱形 A 1B 1A 2B2的内切圆.(1 )求椭圆 C 的方程;(2 )点 N( n, 0)为 x 轴正半轴上一点,过点N 作椭圆 C 的切线 l,记右焦点 F2在 l 上的射影为 H,若△ F1HN 的面积不小于n2,求 n 的取值范围.21.已知函数 f ( x) =xlnx , e 为自然对数的底数.(1 )求曲线 y=f ( x)在 x=e﹣2处的切线方程;(2 )对于 x 的不等式 f (x)≥λ( x﹣ 1)在( 0 ,+∞)上恒成立,务实数λ的值;(3 )对于 x 的方程 f ( x) =a 有两个实根 x1, x2,求证: |x1﹣ x2|< 2a+1+e﹣2.[ 选修 4-4:坐标系与参数方程]22.在直角坐标系中xOy 中,已知曲线 E 经过点P( 1,),其参数方程为(α为参数),以原点O 为极点, x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系.(1)求曲线 E 的极坐标方程;(2)若直线 l 交 E 于点 A 、B,且 OA ⊥OB ,求证:+为定值,并求出这个定值.[ 选修 4-5:不等式选讲]23.已知 f ( x) =|x+a|, g(x) =|x+3| ﹣x,记对于x 的不等式f( x)< g(x)的解集为M .(1)若 a﹣3∈ M ,务实数 a 的取值范围;(2)若 [ ﹣ 1, 1] ? M ,务实数 a 的取值范围.2017 年广东省深圳市高考数学一模试卷(理科)参照答案与试题分析一、选择题:本大题共12 个小题,每题 5 分,共60 分 .在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项切合题目要求的.1.若会合A={2 , 4, 6, 8} ,B={x|x 2﹣9x+18≤0},则A∩B=()A.{2, 4}B.{4, 6} 【考点】交集及其运算.【剖析】求出 B 中不等式的解集确立出C.{6,8}B ,找出 A 与 B 的交集即可.D.{2 ,8}【解答】解:∵A={2 , 4, 6, 8} , B={x|x 2﹣9x+18≤0}={x| ( x﹣ 3)( x﹣ 6)≤ 0}={x|3 ≤ x ≤6} ,∴A ∩B={4 ,6},应选: B.2.若复数( a∈R)为纯虚数,此中i 为虚数单位,则a=()A.2B.3 C.﹣ 2 D.﹣3【考点】复数代数形式的乘除运算.【剖析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数,依据已知条件列出方程组,求解即可得答案.【解答】解:= = ,∵复数( a∈ R)为纯虚数,∴,解得: a=﹣ 2.应选: C.3.袋中装有大小同样的四个球,四个球上分别标有数字“ 2,”“ 3,”“ 4,”“ 6,”现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数字能组成等差数列的概率是()A.B.C.D.【考点】列举法计算基本领件数及事件发生的概率.【剖析】现从中随机选用三个球,基本领件总数n==4 ,所选的三个球上的数字能组成等差数列包括的基本领件的个数,由此能求出所选的三个球上的数字能组成等差数列的概率.【解答】解:袋中装有大小同样的四个球,四个球上分别标有数字“2,”“3”,“4”,“6,”现从中随机选用三个球,基本领件总数n==4,所选的三个球上的数字能组成等差数列包括的基本领件有:(2, 3, 4),( 2, 4, 6),共有 2 个,∴所选的三个球上的数字能组成等差数列的概率是p= =.应选: B.4.等比数列 {a n} 的前 n 项和为 S n=a?3n﹣1+b ,则=()A.﹣ 3 B.﹣ 1 C. 1 D .3【考点】等比数列的通项公式.【剖析】由等比数列{a n} 的前 n 项和求出前 3 项,由此能求出利用等比数列{a n} 中,,能求出.【解答】解:∵等比数列 {a n} 的前 n 项和为 S n=a?3n﹣1 +b,∴a1=S1=a+b,a2=S2﹣S1=3a+b﹣ a﹣ b=2a,a3=S3﹣S2=9a+b﹣ 3a﹣b=6a,∵等比数列 {a n} 中,,∴( 2a)2=( a+b)× 6a,解得=﹣ 3.应选: A.5.直线 l: kx+y+4=0 ( k∈ R)是圆 C: x2+y 2+4x ﹣4y+6=0 的一条对称轴,过点A (0, k)作斜率为 1 的直线 m,则直线 m 被圆 C 所截得的弦长为()A .B .C. D .2【考点】直线与圆的地点关系.【剖析】求出圆的标准方程可得圆心和半径,由直线l: kx+y+4=0 经过圆 C 的圆心(﹣ 2,2),求得 k 的值,可得点 A 的坐标,求出圆心到直线的距离,即可得出结论.2 2 2 2【解答】解:∵圆 C: x +y +4x ﹣4y+6=0 ,即( x+2) +( y﹣ 2)=2 ,表示以 C(﹣ 2, 2)为圆心、半径等于的圆.由题意可得,直线 l: kx+y+4=0 经过圆 C 的圆心(﹣ 2,2),故有﹣ 2k+2+4=0 ,∴ k=3 ,点 A (0,3).直线 m: y=x+3 ,圆心到直线的距离d= = ,∴直线 m 被圆 C 所截得的弦长为 2 = .应选: C.6.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家,他在实践的基础上提出了体积计算的原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是,假如两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等,那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时,需要构造一个知足条件的几何体,已知该几何体三视图以下图,用一个与该几何体的下底面平行相距为h(0< h< 2)的平面截该几何体,则截面面积为()A . 4π2C.π( 2﹣ h)2D .π( 4﹣ h)2 B .πh【考点】由三视图求面积、体积.【剖析】由题意,第一获取几何体为一个圆柱挖去一个圆锥,获取截面为圆,明确其半径求面积.【解答】解:由已知获取几何体为一个圆柱挖去一个圆锥,底面半径为 2 高为 2,设截面的圆半径为 r,则,获取 r=h,因此截面圆的面积为2 πh;应选 B.7.函数 f( x)=?cosx 的图象大概是()A.B.C.D.【考点】函数的图象.【剖析】先判断函数的奇偶性,再判断函数值,问题得以解决.【解答】解: f (﹣ x) =?cos(﹣ x) =?cosx=﹣ f( x),∴f (x)为奇函数,∴函数 f( x)的图象对于原点对称,当 x∈( 0,)时,cosx>0,>0,∴f (x)> 0 在( 0,)上恒成立,应选: C8.已知 a>b> 0, c<0,以下不等关系中正确的选项是()A . ac> bcB . a c> b cC. log a(a﹣ c)> log b( b﹣ c)D.>【考点】不等式的基天性质.【剖析】依据不等式的性质求出a( b﹣ c)> b( a﹣c)以及 a﹣ c> b﹣c> 0,从而求出答案.【解答】解:∵a> b> 0, c< 0,﹣ c> 0,∴a﹣ c> b﹣c>0, ac< bc,故 a( b﹣ c)> b( a﹣ c),故>,应选: D.9.履行以下图的程序框图,若输入p=2017 ,则输出i 的值为()A.335 B.336 C. 337 D .338【考点】程序框图.【剖析】依据题意,模拟程序框图的运转过程,即可得出输出i 的值.【解答】解:模拟程序的运转,可得程序框图的功能是统计 1 到 2017 这些数中能同时被 2 和 3 整除的数的个数i ,因为: 2017=336× 6+1,故程序框图输出的i 的值为 336.应选: B.10.已知 F 是双曲线E:﹣=1( a> 0,b> 0)的右焦点,过点 F 作E 的一条渐近线的垂线,垂足为 P,线段 PF 与 E 订交于点若|FP|=2d,则该双曲线的离心率是(A. B.2Q,记点)C. 3Q 到E 的两条渐近线的距离之积为D .4d2,【考点】双曲线的简单性质.【剖析】 E 上随意一点Q( x,y)到两条渐近线的距离之积为d1d2===d 2,F( c, 0)到渐近线bx﹣ ay=0 的距离为=b=2d,求出可求双曲线的离心率.【解答】解:E 上随意一点Q( x,y)到两条渐近线的距离之积为d1d2===d2,F( c, 0)到渐近线bx﹣ ay=0 的距离为=b=2d,∴,∴e= =2,应选 B.11.已知棱长为2的正方体ABCD ﹣ A 1B1C1D1,球 O 与该正方体的各个面相切,则平面ACB 1 截此球所得的截面的面积为()A.B.C.D.【考点】球的体积和表面积.【剖析】求出平面ACB 1截此球所得的截面的圆的半径,即可求出平面ACB 1截此球所得的截面的面积.【解答】解:由题意,球心与 B 的距离为=,B到平面ACB1的距离为=,球的半径为1,球心到平面ACB 1的距离为﹣=,∴平面ACB 1截此球所得的截面的圆的半径为=,∴平面 ACB 1截此球所得的截面的面积为=,应选 A.12.已知函数f(x)=,x≠ 0,e为自然对数的底数,对于x的方程+﹣λ =0有四个相异实根,则实数λ的取值范围是()A.(0,) B .(2 , +∞)C.( e+ , +∞) D .(+,+∞)【考点】根的存在性及根的个数判断.【剖析】求导数,确立函数的单一性,可得 x=2 时,函数获得极大值,对于 x 的方程+ ﹣λ =0有四个相异实根,则t+ ﹣λ =0的一根在( 0,),另一根在(,+∞)之间,即可得出结论.【解答】解:由题意, f ′( x) = ,∴x< 0 或 x> 2 时, f ′( x)< 0,函数单一递减,0< x<2 时, f ′( x)> 0,函数单一递加,∴x=2 时,函数获得极大值,对于 x 的方程+ ﹣λ=0有四个相异实根,则t+ ﹣λ=0的一根在( 0,),另一根在(, +∞)之间,∴λ e+,,∴ >应选: C.二、填空题:本大题共 4 小题,每题 5 分,满分20 分,将答案填在答题纸上13.已知向量=( 1, 2), =( x, 3),若⊥,则| +|= 5.【考点】平面向量的坐标运算.【剖析】⊥,可得=0 ,解得x.再利用向量模的计算公式即可得出.【解答】解:∵⊥,∴=x+6=0 ,解得x=﹣ 6.∴=(﹣ 5, 5).∴|+|= =5 .故答案为: 5.14.(﹣)5的二项睁开式中,含x 的一次项的系数为﹣5(用数字作答).【考点】二项式系数的性质.【剖析】写出二项睁开式的通项,由x 的指数等于 1 求得 r 值,则答案可求.【解答】解:(﹣)5的二项睁开式中,通项公式为:T r+1 =??=(﹣ 1)r? ?,令=1,得 r=1 ;∴二项式(﹣)5的睁开式中含x 的一次项系数为:﹣1? =﹣ 5.故答案为:﹣ 5.15.若实数x, y 知足不等式组,目标函数z=kx ﹣ y 的最大值为12,最小值为 0,则实数k= 3.【考点】简单线性规划.【剖析】先画出可行域,获取角点坐标.利用k 与0 的大小,分类议论,联合目标函数的最值求解即可.【解答】解:实数x,y 知足不等式组的可行域如图:得: A ( 1,3), B( 1,﹣2), C( 4, 0).①当 k=0 时,目标函数z=kx ﹣ y 的最大值为12,最小值为0,不知足题意.②当 k> 0 时,目标函数 z=kx ﹣ y 的最大值为 12,最小值为 0,当直线 z=kx ﹣ y 过 C(4, 0)时,Z 获得最大值 12.当直线 z=kx ﹣y 过 A ( 3,1)时, Z 获得最小值0.可得 k=3 ,知足题意.③当 k< 0 时,目标函数 z=kx ﹣ y 的最大值为 12,最小值为 0,当直线 z=kx ﹣ y 过 C(4, 0)时,Z 获得最大值 12.可得 k= ﹣ 3,当直线 z=kx ﹣y 过, B( 1,﹣ 2)时, Z 获得最小值0.可得 k=﹣ 2,无解.综上 k=3故答案为: 3.16.已知数列 {a n} 知足 na n+2﹣( n+2) a n=λ( n2 +2n),此中 a1=1,a2=2,若 a n< a n+1对 ? n∈ N*恒成立,则实数λ的取值范围是 [0, +∞).【考点】数列递推式.【剖析】把已知递推式变形,可得数列{} 的奇数项与偶数项均是以λ为公差的等差数列,分类求其通项公式,代入a n< a n+1,分别参数λ求解.【解答】解:由na n+2﹣( n+2) a n=λ(n2+2n) =λn( n+2 ),得,∴数列 {} 的奇数项与偶数项均是以λ为公差的等差数列,∵a1=1, a2=2,∴当 n 为奇数时,,∴;当 n 为偶数时,,∴.当 n 为奇数时,由a n< a n+1,得<,即λ( n﹣1)>﹣ 2.若 n=1 ,λ∈ R,若 n> 1 则λ>,∴ λ≥ 0;当 n 为偶数时,由a n< a n+1,得<,即 3nλ>﹣ 2,∴λ>,即λ≥ 0.综上,λ的取值范围为 [0, +∞).故答案为: [0,+∞).三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.△ ABC 的内角 A 、 B、 C 的对边分别为a、 b、 c,已知2a= csinA ﹣ acosC.(1)求 C;(2)若 c=,求△ ABC的面积S的最大值.【考点】正弦定理;余弦定理.【剖析】( 1)由正弦定理,三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin( C﹣)=1,联合 C 的范围,可得 C 的值.(2)由余弦定理,基本不等式可求ab≤ 1,从而利用三角形面积公式可求△ABC 面积的最大值.【解答】(此题满分为12 分)解:( 1)∵ 2a=csinA ﹣ acosC,∴由正弦定理可得:2sinA=sinCsinA ﹣ sinAcosC , 2分∵s inA ≠ 0,∴可得:2= sinC﹣ cosC,解得:sin( C﹣) =1,∵C∈( 0,π),可得:C﹣∈(﹣,),∴C﹣=,可得:C= . 6分(2)∵由( 1)可得: cosC=﹣,∴由余弦定理,基本不等式可得: 3=b 2+a2+ab≥ 3ab,即:ab≤ 1,(当且仅当b=a 时取等号) 8 分∴S△ABC = absinC=ab≤,可得△ ABC面积的最大值为. 12分18.如图,四边形ABCD 为菱形,四边形ACEF 为平行四边形,设BD 与AC 订交于点G,AB=BD=2 , AE= ,∠ EAD= ∠EAB .(1)证明:平面 ACEF ⊥平面 ABCD ;(2)若 AE 与平面 ABCD 所成角为 60°,求二面角 B ﹣EF﹣ D 的余弦值.【考点】二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判断.【剖析】( 1)连结 EG,由四边形 ABCD 为菱形,可得 AD=AB ,BD ⊥ AC ,DG=GB ,可证△EAD ≌△ EAB ,进一步证明 BD ⊥平面 ACEF ,则平面 ACEF ⊥平面 ABCD ;(2)法一、过 G 作 EF 的垂线,垂足为M ,连结 MB , MG , MD ,可得∠ EAC 为 AE 与面ABCD 所成的角,获取EF⊥平面 BDM ,可得∠ DMB 为二面角 B﹣ EF﹣ D 的平面角,在△ DMB 中,由余弦定理求得∠ BMD 的余弦值,进一步获取二面角 B ﹣EF﹣D 的余弦值;法二、在平面 ABCD 内,过 G 作 AC 的垂线,交 EF 于 M 点,由( 1)可知,平面 ACEF ⊥平面 ABCD ,得 MG ⊥平面 ABCD ,则直线 GM 、GA 、GB 两两相互垂直,分别以 GA 、GB 、GM 为 x、y、z 轴成立空间直角坐标系G﹣ xyz,分别求出平面 BEF 与平面 DEF 的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角B﹣ EF﹣D 的余弦值.【解答】( 1)证明:连结EG,∵四边形 ABCD 为菱形,∴ AD=AB ,BD ⊥ AC , DG=GB ,在△ EAD 和△ EAB 中,AD=AB , AE=AE ,∠ EAD= ∠EAB ,∴△ EAD ≌△ EAB ,∴E D=EB ,则 BD ⊥EG,又 AC ∩ EG=G ,∴ BD ⊥平面ACEF ,∵BD ? 平面 ABCD ,∴平面 ACEF ⊥平面 ABCD ;(2)解法一:过G 作 EF 的垂线,垂足为M ,连结 MB , MG , MD ,易得∠ EAC 为 AE 与面 ABCD 所成的角,∴∠ EAC=60°,∵E F⊥GM , EF⊥ BD ,∴EF ⊥平面 BDM ,∴∠ DMB 为二面角 B﹣ EF﹣ D 的平面角,可求得MG= , DM=BM= ,在△ DMB 中,由余弦定理可得:cos∠BMD= ,∴二面角B﹣EF﹣ D 的余弦值为;解法二:如图,在平面ABCD 内,过G 作AC 的垂线,交EF 于M 点,由( 1)可知,平面ACEF ⊥平面 ABCD ,∵MG ⊥平面 ABCD ,∴直线 GM 、 GA 、GB 两两相互垂直,分别以 GA 、GB、 GM 为 x、 y、 z 轴成立空间直角坐标系G﹣ xyz,可得∠ EAC 为 AE 与平面 ABCD 所成的角,∴∠EAC=60°,则 D ( 0,﹣ 1, 0), B( 0, 1, 0), E(),F(),,,设平面BEF 的一个法向量为,则,取 z=2,可得平面同理可求得平面BEF 的一个法向量为DEF 的一个法向量为,,∴cos<>==,∴二面角 B ﹣ EF﹣ D 的余弦值为.19.某市为了鼓舞市民节俭用电,推行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量区分为三档,月用电量不超出200 度的部分按0.5 元 /度收费,超出200 度但不超出400 度的部分按0.8 元 /度收费,超出400 度的部分按 1.0 元 /度收费.(1)求某户居民用电花费y(单位:元)对于月用电量x(单位:度)的函数分析式;(2)为了认识居民的用电状况,经过抽样,获取了今年 1 月份100 户居民每户的用电量,统计剖析后获取以下图的频次散布直方图,若这100 户居民中,今年 1 月份用电花费不超过 260 元的点80% ,求a, b 的值;(3)在知足( 2)的条件下,若以这100 户居民用电量的频次取代该月全市居民用户用电量的概率,且同组中的数据用该组区间的中点值取代,记Y 为该居民用户 1 月份的用电花费,求 Y 的散布列和数学希望.【考点】失散型随机变量的希望与方差;频次散布直方图;失散型随机变量及其散布列.【剖析】( 1)利用分段函数的性质即可得出.(2)利用( 1),联合频次散布直方图的性质即可得出.(3)由题意可知 X 可取 50, 150, 250, 350,450, 550.联合频次散布直方图的性质即可得出.【解答】解:( 1)当 0≤ x≤ 200 时, y=0.5x ;当 200< x≤ 400 时,××( x﹣ 200)=0.8x ﹣ 60,当 x> 400 时,×××( x﹣ 400) =x ﹣ 140,因此 y 与 x 之间的函数分析式为:y=.(2)由( 1)可知:当y=260 时, x=400,则 P(x≤ 400)=0.80 ,联合频次散布直方图可知:0.1+2× 100b+0.3=0.8 ,100a+0.05=0.2 ,∴a=0.0015 ,.(3)由题意可知 X 可取 50, 150,250, 350, 450,550.当x=50 时, y=0.5 × 50=25,∴ P( y=25),当 x=150 时, y=0.5 ×150=75 ,∴ P( y=75),当 x=250 时, y=0.5 ×200+0.8 ×50=140 ,∴ P( y=140 ),当x=350 时, y=0.5 ×200+0.8 ×150=220,∴ P( y=220 ),当 x=450 时, y=0.5 ×200+0.8 ×× 50=310,∴ P( y=310),当 x=550 时,y=0.5 ×200××× 150=410 ,∴ P(y=410 ).故 Y 的概率散布列为:Y 25 75 140 220 310410P因此随机变量Y 的数学希望EY=25 × 0.1+75× 0.2+140× 0.3+220× 0.2+310× 0.15+410× 0.05=170.5 .20.已成椭圆C:+=1( a> b> 0)的左右极点分别为A 1、A 2,上下极点分别为 B 2/B 1,左右焦点分别为F1、 F2,此中长轴长为2 2为菱形 A 1B 1A 2B2的内切圆.4,且圆 O: x +y =(1)求椭圆 C 的方程;(2)点 N( n, 0)为 x 轴正半轴上一点,过点N 作椭圆 C 的切线 l,记右焦点F2在 l 上的射影为 H ,若△ F 1HN 的面积不小于 n 2,求 n 的取值范围.【考点】椭圆的简单性质.【剖析】( 1)由题意求得 a ,直线 A 2B 2 的方程为 ,利用点到直线的距离公式,即可求得 b 的值,求得椭圆C 的方程;(2)设直线方程,代入椭圆方程,由△=0 ,求得 m 和 n 的关系,利用三角形的面积公式,求得 m 的取值范围,代入即可求得n 的取值范围.【解答】解:( 1)由题意知 2a=4,因此 a=2,因此 A 1(﹣ 2, 0),A 2( 2, 0), B 1(0,﹣ b ), B 2( 0,b ),则 直线 A 2B 2 的方程为,即 bx+2y ﹣ 2b=0,因此=,解得 b 2=3 ,故椭圆 C 的方程为;(2)由题意,可设直线l 的方程为 x=my+n , m ≠ 0,联立,消去 x 得( 3m 222+4) y +6mny+3 ( n ﹣ 4)=0,(* )由直线 l 与椭圆 C 相切,得△ =(6mn ) 2﹣ 4× 3×( 3m 2+4 )( n 2﹣ 4)=0,化简得 3m 2﹣ n 2+4=0 ,设点 H (mt+n ,t ),由( 1)知 F 1(﹣ 1,0 ), F 2(1, 0),则 ? =﹣ 1,解得: t=﹣,因此△ F 1HN 的面积 = ( n+1)丨﹣ 丨 =,代入 3m 2﹣ n 2+4=0 ,消去 n 化简得= 丨 m 丨,因此 丨 m 丨≥ n 2= ( 3m 2+4 ),解得 ≤丨 m 丨≤ 2,即 ≤ m 2≤ 4 ,从而 ≤≤ 4,又 n > 0,因此≤ n ≤4,故 n 的取值范围为 [,4].21.已知函数 f ( x ) =xlnx , e 为自然对数的底数.﹣2(2)对于 x 的不等式 f (x )≥ λ( x ﹣ 1)在( 0,+∞)上恒成立,务实数λ的值;( 3)对于 x 的方程 f ( x ) =a 有两个实根 x 1, x 2,求证: |x 1﹣ x 2|< 2a+1+e ﹣2.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.【剖析】( 1)求出函数的导数,计算 f ′( e ﹣ 2)和 f ( e ﹣2)的值,求出切线方程即可;(2 )求出函数 g ( x )的导数,获取函数的单一区间,求出函数的极小值,从而求出 λ的值即可;(3 )记 h ( x )=f ( x )﹣(﹣ x ﹣e ﹣ 2)=xlnx+x+e ﹣ 2,求出 h ( x )的最小值,获取 a=﹣1=f ( x 2)≥ x 2﹣ 1,获取 |x 1﹣ x 2|=x 2﹣ x 1≤ ﹣,从而证出结论.【解答】解( 1)对函数 f ( x )求导得 f (′ x ) =lnx+1 ,﹣2) =lne ﹣ 21,∴f ′( e +1=﹣﹣ 2﹣ 2﹣ 2﹣ 2,又 f (e ) =e lne=﹣ 2e∴曲线 y=f (x )在 x=e ﹣2 处的切线方程为 y ﹣(﹣ 2e ﹣ 2) =﹣( x ﹣ e ﹣ 2),即 y= ﹣ x ﹣e ﹣2;( 2)记 g ( x ) =f ( x )﹣ λ( x ﹣1) =xlnx ﹣ λ( x ﹣ 1),此中 x > 0,由题意知 g ( x )≥ 0 在( 0,+∞)上恒成立,下边求函数 g ( x )的最小值,对 g ( x )求导得 g ′( x ) =lnx+1 ﹣λ,令 g ′( x ) =0 ,得 x=e λ﹣1,当 x 变化时, g ′( x ), g (x )变化状况列表以下:x( 0,e λ﹣ 1)e λ﹣ 1( e λ﹣1,+∞)g ′( x )﹣ 0 +g ( x )递减极小值递加∴ g ( x ) min =g ( x ) 极小值 =g (e λ﹣ 1) =(λ﹣ 1) e λ﹣ 1﹣ λ( e λ﹣ 1﹣1) =λ﹣e λ﹣1, ∴ λ﹣ e λ﹣ 1≥ 0,记 G ( λ) =λ﹣ e λ﹣1 ,则 G ′( λ) =1﹣ e λ﹣1,令 G ′( λ) =0,得 λ=1,当 λ变化时, G ′(λ), G ( λ)变化状况列表以下:λ 0 1 )1 1 + ∞)( , ( , G ′( λ) +﹣ G (λ)递加 极大值递减∴G ( λ) max =G ( λ)极大值 =G ( 1) =0,故 λ﹣ e λ﹣1≤ 0 当且仅当 λ=1时取等号,又 λ﹣ e λ﹣1≥ 0,从而获取λ=1;(3)先证 f (x )≥﹣ x ﹣e ﹣2 ,记 h ( x )=f ( x )﹣(﹣ x ﹣ e ﹣2) =xlnx+x+e ﹣2,则 h ′( x )=lnx+2 ,令 h ′( x ) =0 ,得 x=e ﹣2,当 x 变化时, h ′( x ), h (x )变化状况列表以下:x﹣2)﹣ 2﹣ 2( 0, e e ( e , +∞)h ′ x ) ﹣ 0+ (h ( x )递减极小值递加﹣ 2) =e ﹣ 2﹣2 ﹣2﹣2∴h ( x ) min =h ( x ) 极小值 =h (e lne +e +e =0,﹣2h ( x )≥ 0 恒成立,即 f ( x )≥﹣ x ﹣ e ,记直线 y=﹣ x ﹣ e ﹣2 ,y=x ﹣ 1 分别与 y=a 交于(, a ),(, a ),不如设 x 1< x 2,则 a=﹣﹣ 2﹣ 2,﹣e =f ( x 1)≥﹣ x 1﹣ e 从而< x 1,当且仅当 a=﹣ 2e ﹣2 时取等号,由( 2)知, f (x )≥ x ﹣1,则 a= ﹣ 1=f ( x 2)≥ x 2 ﹣1,从而 x 2≤,当且仅当 a=0 时取等号,故|x 1﹣ x 2 |=x 2 ﹣x 1 ≤﹣=(a+1)﹣(﹣ a ﹣ e ﹣2) =2a+1+e ﹣2,因等号成立的条件不可以同时知足,故 |x 1﹣ x 2|< 2a+1+e ﹣2 .[ 选修 4-4:坐标系与参数方程 ]22.在直角坐标系中 xOy 中,已知曲线 E 经过点 P ( 1,),其参数方程为(α为参数),以原点O 为极点, x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系.(1)求曲线 E 的极坐标方程;(2)若直线 l 交 E 于点 A 、B,且 OA ⊥OB ,求证:+为定值,并求出这个定值.【考点】参数方程化成一般方程.【剖析】( 1)将点P(1,),代入曲线 E 的方程,求出a2=3,可得曲线 E 的一般方程,即可求曲线 E 的极坐标方程;(2)利用点的极坐标,代入极坐标方程,化简,即可证明结论.【解答】解:( 1)将点 P( 1,),代入曲线 E 的方程:,解得 a2=3,因此曲线 E 的一般方程为=1 ,极坐标方程为=1;(2)不如设点 A , B 的极坐标分别为 A (ρ,θ), B(ρ,),1 2则代入曲线 E 的极坐标方程,可得+ = =,即+ 为定值.[ 选修 4-5:不等式选讲]23.已知 f ( x) =|x+a|, g(x) =|x+3| ﹣x,记对于x 的不等式f( x)< g(x)的解集为M .(1)若 a﹣3∈ M ,务实数 a 的取值范围;(2)若 [ ﹣ 1, 1] ? M ,务实数 a 的取值范围.【考点】绝对值不等式的解法.【剖析】( 1)将 x=a﹣ 3 代入不等式,解对于a 的不等式即可;( 2)获取 |x+a|< 3 恒成立,即﹣ 3﹣ x<a< 3﹣ x,当x∈ [ ﹣ 1, 1] 时恒成立,求出 a 的范围即可.【解答】解:( 1)依题意有:|2a﹣ 3|< |a|﹣( a﹣ 3),若 a≥,则 2a﹣3< 3,∴≤a< 3,若 0≤ a<,则 3﹣ 2a< 3,∴ 0< a<,若a≤ 0,则 3﹣ 2a<﹣ a﹣( a﹣ 3),无解,综上所述, a 的取值范围为( 0, 3);(2)由题意可知,当x∈ [ ﹣ 1, 1]时, f( x)< g( x)恒成立,∴|x+a|< 3 恒成立,即﹣ 3﹣ x<a< 3﹣ x,当 x∈ [ ﹣ 1, 1] 时恒成立,∴﹣ 2< a<2.2017年 3月 19日。

2017年广东省深圳市高考数学一模试卷(理科)(解析版)

2017年广东省深圳市高考数学一模试卷(理科)(解析版)

2017年广东省深圳市高考数学一模试卷(理科)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={2,4,6,8},B={x|x2﹣9x+18≤0},则A∩B=()A.{2,4} B.{4,6} C.{6,8} D.{2,8}2.若复数(a∈R)为纯虚数,其中i为虚数单位,则a=()A.2 B.3 C.﹣2 D.﹣33.袋中装有大小相同的四个球,四个球上分别标有数字“2”,“3”,“4”,“6”,现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是()A.B.C.D.4.等比数列{an}的前n项和为Sn=a•3n﹣1+b,则=()A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.35.直线l:kx+y+4=0(k∈R)是圆C:x2+y2+4x﹣4y+6=0的一条对称轴,过点A(0,k)作斜率为1的直线m,则直线m被圆C所截得的弦长为()A.B.C.D.26.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家,他在实践的基础上提出了体积计算的原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是,如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等,那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时,需要构造一个满足条件的几何体,已知该几何体三视图如图所示,用一个与该几何体的下底面平行相距为h(0<h<2)的平面截该几何体,则截面面积为()A.4πB.πh2C.π(2﹣h)2 D.π(4﹣h)27.函数f(x)=•cosx的图象大致是()A.B.C.D.8.已知a>b>0,c<0,下列不等关系中正确的是()A.ac>bc B.ac>bcC.loga(a﹣c)>logb(b﹣c)D.>9.执行如图所示的程序框图,若输入p=2017,则输出i的值为()A.335 B.336 C.337 D.33810.已知F是双曲线E:﹣=1(a>0,b>0)的右焦点,过点F作E的一条渐近线的垂线,垂足为P,线段PF与E相交于点Q,记点Q到E的两条渐近线的距离之积为d2,若|FP|=2d,则该双曲线的离心率是()A.B.2 C.3 D.411.已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1,球O与该正方体的各个面相切,则平面ACB1截此球所得的截面的面积为()A. B. C. D.12.已知函数f(x)=,x≠0,e为自然对数的底数,关于x的方程+﹣λ=0有四个相异实根,则实数λ的取值范围是()A.(0,) B.(2,+∞) C.(e+,+∞) D.(+,+∞)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分,将答案填在答题纸上13.已知向量=(1,2),=(x,3),若⊥,则|+|=.14.(﹣)5的二项展开式中,含x的一次项的系数为(用数字作答).15.若实数x,y满足不等式组,目标函数z=kx﹣y的最大值为12,最小值为0,则实数k=.16.已知数列{an}满足nan+2﹣(n+2)an=λ(n2+2n),其中a1=1,a2=2,若an<an+1对∀n∈N*恒成立,则实数λ的取值范围是.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知2a=csinA﹣acosC.(1)求C;(2)若c=,求△ABC的面积S的最大值.18.如图,四边形ABCD为菱形,四边形ACEF为平行四边形,设BD与AC相交于点G,AB=BD=2,AE=,∠EAD=∠EAB.(1)证明:平面ACEF⊥平面ABCD;(2)若AE与平面ABCD所成角为60°,求二面角B﹣EF﹣D的余弦值.19.某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量划分为三档,月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费,超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费,超过400度的部分按1.0元/度收费.(1)求某户居民用电费用y(单位:元)关于月用电量x(单位:度)的函数解析式;(2)为了了解居民的用电情况,通过抽样,获得了今年1月份100户居民每户的用电量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图,若这100户居民中,今年1月份用电费用不超过260元的点80%,求a,b的值;(3)在满足(2)的条件下,若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率,且同组中的数据用该组区间的中点值代替,记Y为该居民用户1月份的用电费用,求Y的分布列和数学期望.20.已成椭圆C:+=1(a>b>0)的左右顶点分别为A1、A2,上下顶点分别为B2/B1,左右焦点分别为F1、F2,其中长轴长为4,且圆O:x2+y2=为菱形A1B1A2B2的内切圆.(1)求椭圆C的方程;(2)点N(n,0)为x轴正半轴上一点,过点N作椭圆C的切线l,记右焦点F2在l上的射影为H,若△F1HN的面积不小于n2,求n的取值范围.21.已知函数f(x)=xlnx,e为自然对数的底数.(1)求曲线y=f(x)在x=e﹣2处的切线方程;(2)关于x的不等式f(x)≥λ(x﹣1)在(0,+∞)上恒成立,求实数λ的值;(3)关于x的方程f(x)=a有两个实根x1,x2,求证:|x1﹣x2|<2a+1+e﹣2.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在直角坐标系中xOy中,已知曲线E经过点P(1,),其参数方程为(α为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线E的极坐标方程;(2)若直线l交E于点A、B,且OA⊥OB,求证:+为定值,并求出这个定值.[选修4-5:不等式选讲]23.已知f(x)=|x+a|,g(x)=|x+3|﹣x,记关于x的不等式f(x)<g(x)的解集为M.(1)若a﹣3∈M,求实数a的取值范围;(2)若[﹣1,1]⊆M,求实数a的取值范围.2017年广东省深圳市高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={2,4,6,8},B={x|x2﹣9x+18≤0},则A∩B=()A.{2,4} B.{4,6} C.{6,8} D.{2,8}【考点】交集及其运算.【分析】求出B中不等式的解集确定出B,找出A与B的交集即可.【解答】解:∵A={2,4,6,8},B={x|x2﹣9x+18≤0}={x|(x﹣3)(x﹣6)≤0}={x|3≤x≤6},∴A∩B={4,6},故选:B.2.若复数(a∈R)为纯虚数,其中i为虚数单位,则a=()A.2 B.3 C.﹣2 D.﹣3【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数,根据已知条件列出方程组,求解即可得答案.【解答】解:==,∵复数(a∈R)为纯虚数,∴,解得:a=﹣2.故选:C.3.袋中装有大小相同的四个球,四个球上分别标有数字“2”,“3”,“4”,“6”,现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是()A.B.C.D.【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.【分析】现从中随机选取三个球,基本事件总数n==4,所选的三个球上的数字能构成等差数列包含的基本事件的个数,由此能求出所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率.【解答】解:袋中装有大小相同的四个球,四个球上分别标有数字“2”,“3”,“4”,“6”,现从中随机选取三个球,基本事件总数n==4,所选的三个球上的数字能构成等差数列包含的基本事件有:(2,3,4),(2,4,6),共有2个,∴所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是p==.故选:B.4.等比数列{an}的前n项和为Sn=a•3n﹣1+b,则=()A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.3【考点】等比数列的通项公式.【分析】由等比数列{an}的前n项和求出前3项,由此能求出利用等比数列{an}中,,能求出.【解答】解:∵等比数列{an}的前n项和为Sn=a•3n﹣1+b,∴a1=S1=a+b,a2=S2﹣S1=3a+b﹣a﹣b=2a,a3=S3﹣S2=9a+b﹣3a﹣b=6a,∵等比数列{an}中,,∴(2a)2=(a+b)×6a,解得=﹣3.故选:A.5.直线l:kx+y+4=0(k∈R)是圆C:x2+y2+4x﹣4y+6=0的一条对称轴,过点A(0,k)作斜率为1的直线m,则直线m被圆C所截得的弦长为()A.B.C.D.2【考点】直线与圆的位置关系.【分析】求出圆的标准方程可得圆心和半径,由直线l:kx+y+4=0经过圆C的圆心(﹣2,2),求得k的值,可得点A的坐标,求出圆心到直线的距离,即可得出结论.【解答】解:∵圆C:x2+y2+4x﹣4y+6=0,即(x+2)2+(y﹣2)2 =2,表示以C(﹣2,2)为圆心、半径等于的圆.由题意可得,直线l:kx+y+4=0经过圆C的圆心(﹣2,2),故有﹣2k+2+4=0,∴k=3,点A(0,3).直线m:y=x+3,圆心到直线的距离d==,∴直线m被圆C所截得的弦长为2=.故选:C.6.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家,他在实践的基础上提出了体积计算的原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是,如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等,那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时,需要构造一个满足条件的几何体,已知该几何体三视图如图所示,用一个与该几何体的下底面平行相距为h(0<h<2)的平面截该几何体,则截面面积为()A.4πB.πh2C.π(2﹣h)2 D.π(4﹣h)2【考点】由三视图求面积、体积.【分析】由题意,首先得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥,得到截面为圆,明确其半径求面积.【解答】解:由已知得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥,底面半径为2高为2,设截面的圆半径为r,则,得到r=h,所以截面圆的面积为πh2;故选B.7.函数f(x)=•cosx的图象大致是()A.B.C.D.【考点】函数的图象.【分析】先判断函数的奇偶性,再判断函数值,问题得以解决.【解答】解:f(﹣x)=•cos(﹣x)=•cosx=﹣f(x),∴f(x)为奇函数,∴函数f(x)的图象关于原点对称,当x∈(0,)时,cosx>0,>0,∴f(x)>0在(0,)上恒成立,故选:C8.已知a>b>0,c<0,下列不等关系中正确的是()A.ac>bc B.ac>bcC.loga(a﹣c)>logb(b﹣c)D.>【考点】不等式的基本性质.【分析】根据不等式的性质求出a(b﹣c)>b(a﹣c)以及a﹣c>b﹣c>0,从而求出答案.【解答】解:∵a>b>0,c<0,﹣c>0,∴a﹣c>b﹣c>0,ac<bc,故a(b﹣c)>b(a﹣c),故>,故选:D.9.执行如图所示的程序框图,若输入p=2017,则输出i的值为()A.335 B.336 C.337 D.338【考点】程序框图.【分析】根据题意,模拟程序框图的运行过程,即可得出输出i的值.【解答】解:模拟程序的运行,可得程序框图的功能是统计1到2017这些数中能同时被2和3整除的数的个数i,由于:2017=336×6+1,故程序框图输出的i的值为336.故选:B.10.已知F是双曲线E:﹣=1(a>0,b>0)的右焦点,过点F作E的一条渐近线的垂线,垂足为P,线段PF与E相交于点Q,记点Q到E的两条渐近线的距离之积为d2,若|FP|=2d,则该双曲线的离心率是()A.B.2 C.3 D.4【考点】双曲线的简单性质.【分析】E上任意一点Q(x,y)到两条渐近线的距离之积为d1d2===d2,F (c,0)到渐近线bx﹣ay=0的距离为=b=2d,求出可求双曲线的离心率.【解答】解:E上任意一点Q(x,y)到两条渐近线的距离之积为d1d2===d2,F(c,0)到渐近线bx﹣ay=0的距离为=b=2d,∴,∴e==2,故选B.11.已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1,球O与该正方体的各个面相切,则平面ACB1截此球所得的截面的面积为()A. B. C. D.【考点】球的体积和表面积.【分析】求出平面ACB1截此球所得的截面的圆的半径,即可求出平面ACB1截此球所得的截面的面积.【解答】解:由题意,球心与B的距离为=,B到平面ACB1的距离为=,球的半径为1,球心到平面ACB1的距离为﹣=,∴平面ACB1截此球所得的截面的圆的半径为=,∴平面ACB1截此球所得的截面的面积为=,故选A.12.已知函数f(x)=,x≠0,e为自然对数的底数,关于x的方程+﹣λ=0有四个相异实根,则实数λ的取值范围是()A.(0,) B.(2,+∞) C.(e+,+∞) D.(+,+∞)【考点】根的存在性及根的个数判断.【分析】求导数,确定函数的单调性,可得x=2时,函数取得极大值,关于x的方程+﹣λ=0有四个相异实根,则t+﹣λ=0的一根在(0,),另一根在(,+∞)之间,即可得出结论.【解答】解:由题意,f′(x)=,∴x<0或x>2时,f′(x)<0,函数单调递减,0<x<2时,f′(x)>0,函数单调递增,∴x=2时,函数取得极大值,关于x的方程+﹣λ=0有四个相异实根,则t+﹣λ=0的一根在(0,),另一根在(,+∞)之间,∴,∴λ>e+,故选:C.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分,将答案填在答题纸上13.已知向量=(1,2),=(x,3),若⊥,则|+|=5.【考点】平面向量的坐标运算.【分析】⊥,可得=0,解得x.再利用向量模的计算公式即可得出.【解答】解:∵⊥,∴=x+6=0,解得x=﹣6.∴=(﹣5,5).∴|+|==5.故答案为:5.14.(﹣)5的二项展开式中,含x的一次项的系数为﹣5(用数字作答).【考点】二项式系数的性质.【分析】写出二项展开式的通项,由x的指数等于1求得r值,则答案可求.【解答】解:(﹣)5的二项展开式中,通项公式为:Tr+1=••=(﹣1)r••,令=1,得r=1;∴二项式(﹣)5的展开式中含x的一次项系数为:﹣1•=﹣5.故答案为:﹣5.15.若实数x,y满足不等式组,目标函数z=kx﹣y的最大值为12,最小值为0,则实数k=3.【考点】简单线性规划.【分析】先画出可行域,得到角点坐标.利用k与0的大小,分类讨论,结合目标函数的最值求解即可.【解答】解:实数x,y满足不等式组的可行域如图:得:A(1,3),B(1,﹣2),C(4,0).①当k=0时,目标函数z=kx﹣y的最大值为12,最小值为0,不满足题意.②当k>0时,目标函数z=kx﹣y的最大值为12,最小值为0,当直线z=kx﹣y过C(4,0)时,Z取得最大值12.当直线z=kx﹣y过A(3,1)时,Z取得最小值0.可得k=3,满足题意.③当k<0时,目标函数z=kx﹣y的最大值为12,最小值为0,当直线z=kx﹣y过C(4,0)时,Z取得最大值12.可得k=﹣3,当直线z=kx﹣y过,B(1,﹣2)时,Z取得最小值0.可得k=﹣2,无解.综上k=3故答案为:3.16.已知数列{an}满足nan+2﹣(n+2)an=λ(n2+2n),其中a1=1,a2=2,若an<an+1对∀n∈N*恒成立,则实数λ的取值范围是[0,+∞).【考点】数列递推式.【分析】把已知递推式变形,可得数列{}的奇数项与偶数项均是以λ为公差的等差数列,分类求其通项公式,代入an<an+1,分离参数λ求解.【解答】解:由nan+2﹣(n+2)an=λ(n2+2n)=λn(n+2),得,∴数列{}的奇数项与偶数项均是以λ为公差的等差数列,∵a1=1,a2=2,∴当n为奇数时,,∴;当n为偶数时,,∴.当n为奇数时,由an<an+1,得<,即λ(n﹣1)>﹣2.若n=1,λ∈R,若n>1则λ>,∴λ≥0;当n为偶数时,由an<an+1,得<,即3nλ>﹣2,∴λ>,即λ≥0.综上,λ的取值范围为[0,+∞).故答案为:[0,+∞).三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知2a=csinA﹣acosC.(1)求C;(2)若c=,求△ABC的面积S的最大值.【考点】正弦定理;余弦定理.【分析】(1)由正弦定理,三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin(C﹣)=1,结合C 的范围,可得C的值.(2)由余弦定理,基本不等式可求ab≤1,进而利用三角形面积公式可求△ABC面积的最大值.【解答】(本题满分为12分)解:(1)∵2a=csinA﹣acosC,∴由正弦定理可得:2sinA=sinCsinA﹣sinAcosC,…2分∵sinA≠0,∴可得:2=sinC﹣cosC,解得:sin(C﹣)=1,∵C∈(0,π),可得:C﹣∈(﹣,),∴C﹣=,可得:C=.…6分(2)∵由(1)可得:cosC=﹣,∴由余弦定理,基本不等式可得:3=b2+a2+ab≥3ab,即:ab≤1,(当且仅当b=a时取等号) (8)分∴S△ABC=absinC=ab≤,可得△ABC面积的最大值为.…12分18.如图,四边形ABCD为菱形,四边形ACEF为平行四边形,设BD与AC相交于点G,AB=BD=2,AE=,∠EAD=∠EAB.(1)证明:平面ACEF⊥平面ABCD;(2)若AE与平面ABCD所成角为60°,求二面角B﹣EF﹣D的余弦值.【考点】二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判定.【分析】(1)连接EG,由四边形ABCD为菱形,可得AD=AB,BD⊥AC,DG=GB,可证△EAD ≌△EAB,进一步证明BD⊥平面ACEF,则平面ACEF⊥平面ABCD;(2)法一、过G作EF的垂线,垂足为M,连接MB,MG,MD,可得∠EAC为AE与面ABCD 所成的角,得到EF⊥平面BDM,可得∠DMB为二面角B﹣EF﹣D的平面角,在△DMB中,由余弦定理求得∠BMD的余弦值,进一步得到二面角B﹣EF﹣D的余弦值;法二、在平面ABCD内,过G作AC的垂线,交EF于M点,由(1)可知,平面ACEF⊥平面ABCD,得MG⊥平面ABCD,则直线GM、GA、GB两两互相垂直,分别以GA、GB、GM为x、y、z轴建立空间直角坐标系G﹣xyz,分别求出平面BEF与平面DEF的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角B﹣EF﹣D的余弦值.【解答】(1)证明:连接EG,∵四边形ABCD为菱形,∴AD=AB,BD⊥AC,DG=GB,在△EAD和△EAB中,AD=AB,AE=AE,∠EAD=∠EAB,∴△EAD≌△EAB,∴ED=EB,则BD⊥EG,又AC∩EG=G,∴BD⊥平面ACEF,∵BD⊂平面ABCD,∴平面ACEF⊥平面ABCD;(2)解法一:过G作EF的垂线,垂足为M,连接MB,MG,MD,易得∠EAC为AE与面ABCD所成的角,∴∠EAC=60°,∵EF⊥GM,EF⊥BD,∴EF⊥平面BDM,∴∠DMB为二面角B﹣EF﹣D的平面角,可求得MG=,DM=BM=,在△DMB中,由余弦定理可得:cos∠BMD=,∴二面角B﹣EF﹣D的余弦值为;解法二:如图,在平面ABCD内,过G作AC的垂线,交EF于M点,由(1)可知,平面ACEF⊥平面ABCD,∵MG⊥平面ABCD,∴直线GM、GA、GB两两互相垂直,分别以GA、GB、GM为x、y、z轴建立空间直角坐标系G﹣xyz,可得∠EAC为AE与平面ABCD所成的角,∴∠EAC=60°,则D(0,﹣1,0),B(0,1,0),E(),F(),,,设平面BEF的一个法向量为,则,取z=2,可得平面BEF的一个法向量为,同理可求得平面DEF的一个法向量为,∴cos<>==,∴二面角B﹣EF﹣D的余弦值为.19.某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量划分为三档,月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费,超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费,超过400度的部分按1.0元/度收费.(1)求某户居民用电费用y(单位:元)关于月用电量x(单位:度)的函数解析式;(2)为了了解居民的用电情况,通过抽样,获得了今年1月份100户居民每户的用电量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图,若这100户居民中,今年1月份用电费用不超过260元的点80%,求a,b的值;(3)在满足(2)的条件下,若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率,且同组中的数据用该组区间的中点值代替,记Y为该居民用户1月份的用电费用,求Y的分布列和数学期望.【考点】离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;离散型随机变量及其分布列.【分析】(1)利用分段函数的性质即可得出.(2)利用(1),结合频率分布直方图的性质即可得出.(3)由题意可知X可取50,150,250,350,450,550.结合频率分布直方图的性质即可得出.【解答】解:(1)当0≤x≤200时,y=0.5x;当200<x≤×200+×(x﹣200)=0.8x﹣60,当x>×200+×200+×(x﹣400)=x﹣140,所以y与x之间的函数解析式为:y=.(2)由(1)可知:当y=260时,x=400,则P(x≤400)=0.80,+2×100b+0.3=0.8,100a+0.05=0.2,∴a=0.0015,b=0.0020.(3)由题意可知X可取50,150,250,350,450,550.×50=25,∴P(y=25)=0.1,×150=75,∴P(y=75)=0.2,×200+×50=140,∴P(y=140)=0.3,×200+×150=220,∴P(y=220)=0.2,×200+×200+×50=310,∴P(y=310)=0.15,×200××200+×150=410,∴P(y=410)=0.05.故Y的概率分布列为:Y 25 75 140 220 310 410P所以随机变量Y的数学期望EY=25×+75×+140×+220×+310×+410×0.05=170.5.20.已成椭圆C:+=1(a>b>0)的左右顶点分别为A1、A2,上下顶点分别为B2/B1,左右焦点分别为F1、F2,其中长轴长为4,且圆O:x2+y2=为菱形A1B1A2B2的内切圆.(1)求椭圆C的方程;(2)点N(n,0)为x轴正半轴上一点,过点N作椭圆C的切线l,记右焦点F2在l上的射影为H,若△F1HN的面积不小于n2,求n的取值范围.【考点】椭圆的简单性质.【分析】(1)由题意求得a,直线A2B2的方程为,利用点到直线的距离公式,即可求得b的值,求得椭圆C的方程;(2)设直线方程,代入椭圆方程,由△=0,求得m和n的关系,利用三角形的面积公式,求得m的取值范围,代入即可求得n的取值范围.【解答】解:(1)由题意知2a=4,所以a=2,所以A1(﹣2,0),A2(2,0),B1(0,﹣b),B2(0,b),则直线A2B2的方程为,即bx+2y﹣2b=0,所以=,解得b2=3,故椭圆C的方程为;(2)由题意,可设直线l的方程为x=my+n,m≠0,联立,消去x得(3m2+4)y2+6mny+3(n2﹣4)=0,(*)由直线l与椭圆C相切,得△=(6mn)2﹣4×3×(3m2+4)(n2﹣4)=0,化简得3m2﹣n2+4=0,设点H(mt+n,t),由(1)知F1(﹣1,0),F2(1,0),则•=﹣1,解得:t=﹣,所以△F1HN的面积=(n+1)丨﹣丨=,代入3m2﹣n2+4=0,消去n化简得=丨m丨,所以丨m丨≥n2=(3m2+4),解得≤丨m丨≤2,即≤m2≤4,从而≤≤4,又n>0,所以≤n≤4,故n的取值范围为[,4].21.已知函数f(x)=xlnx,e为自然对数的底数.(1)求曲线y=f(x)在x=e﹣2处的切线方程;(2)关于x的不等式f(x)≥λ(x﹣1)在(0,+∞)上恒成立,求实数λ的值;(3)关于x的方程f(x)=a有两个实根x1,x2,求证:|x1﹣x2|<2a+1+e﹣2.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】(1)求出函数的导数,计算f′(e﹣2)和f(e﹣2)的值,求出切线方程即可;(2)求出函数g(x)的导数,得到函数的单调区间,求出函数的极小值,从而求出λ的值即可;(3)记h(x)=f(x)﹣(﹣x﹣e﹣2)=xlnx+x+e﹣2,求出h(x)的最小值,得到a=﹣1=f(x2)≥x2﹣1,得到|x1﹣x2|=x2﹣x1≤﹣,从而证出结论.【解答】解(1)对函数f(x)求导得f′(x)=lnx+1,∴f′(e﹣2)=lne﹣2+1=﹣1,又f(e﹣2)=e﹣2lne﹣2=﹣2e﹣2,∴曲线y=f(x)在x=e﹣2处的切线方程为y﹣(﹣2e﹣2)=﹣(x﹣e﹣2),即y=﹣x﹣e﹣2;(2)记g(x)=f(x)﹣λ(x﹣1)=xlnx﹣λ(x﹣1),其中x>0,由题意知g(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,下面求函数g(x)的最小值,对g(x)求导得g′(x)=lnx+1﹣λ,令g′(x)=0,得x=eλ﹣1,当x变化时,g′(x),g(x)变化情况列表如下:x (0,eλ﹣1)eλ﹣1 (eλ﹣1,+∞)g′(x)﹣0 +g(x)递减极小值递增∴g(x)min=g(x)极小值=g(eλ﹣1)=(λ﹣1)eλ﹣1﹣λ(eλ﹣1﹣1)=λ﹣eλ﹣1,∴λ﹣eλ﹣1≥0,记G(λ)=λ﹣eλ﹣1,则G′(λ)=1﹣eλ﹣1,令G′(λ)=0,得λ=1,当λ变化时,G′(λ),G(λ)变化情况列表如下:λ(0,1) 1 (1,+∞)G′(λ)+ 0 ﹣G(λ)递增极大值递减∴G(λ)max=G(λ)极大值=G(1)=0,故λ﹣eλ﹣1≤0当且仅当λ=1时取等号,又λ﹣eλ﹣1≥0,从而得到λ=1;(3)先证f(x)≥﹣x﹣e﹣2,记h(x)=f(x)﹣(﹣x﹣e﹣2)=xlnx+x+e﹣2,则h′(x)=lnx+2,令h′(x)=0,得x=e﹣2,当x变化时,h′(x),h(x)变化情况列表如下:x (0,e﹣2)e﹣2 (e﹣2,+∞)h′(x)﹣0 +h(x)递减极小值递增∴h(x)min=h(x)极小值=h(e﹣2)=e﹣2lne﹣2+e﹣2+e﹣2=0,h(x)≥0恒成立,即f(x)≥﹣x﹣e﹣2,记直线y=﹣x﹣e﹣2,y=x﹣1分别与y=a交于(,a),(,a),不妨设x1<x2,则a=﹣﹣e﹣2=f(x1)≥﹣x1﹣e﹣2,从而<x1,当且仅当a=﹣2e﹣2时取等号,由(2)知,f(x)≥x﹣1,则a=﹣1=f(x2)≥x2﹣1,从而x2≤,当且仅当a=0时取等号,故|x1﹣x2|=x2﹣x1≤﹣=(a+1)﹣(﹣a﹣e﹣2)=2a+1+e﹣2,因等号成立的条件不能同时满足,故|x1﹣x2|<2a+1+e﹣2.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在直角坐标系中xOy中,已知曲线E经过点P(1,),其参数方程为(α为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线E的极坐标方程;(2)若直线l交E于点A、B,且OA⊥OB,求证:+为定值,并求出这个定值.【考点】参数方程化成普通方程.【分析】(1)将点P(1,),代入曲线E的方程,求出a2=3,可得曲线E的普通方程,即可求曲线E的极坐标方程;(2)利用点的极坐标,代入极坐标方程,化简,即可证明结论.【解答】解:(1)将点P(1,),代入曲线E的方程:,解得a2=3,所以曲线E的普通方程为=1,极坐标方程为=1;(2)不妨设点A,B的极坐标分别为A(ρ1,θ),B(ρ2,),则代入曲线E的极坐标方程,可得+==,即+为定值.[选修4-5:不等式选讲]23.已知f(x)=|x+a|,g(x)=|x+3|﹣x,记关于x的不等式f(x)<g(x)的解集为M.(1)若a﹣3∈M,求实数a的取值范围;(2)若[﹣1,1]⊆M,求实数a的取值范围.【考点】绝对值不等式的解法.【分析】(1)将x=a﹣3代入不等式,解关于a的不等式即可;(2)得到|x+a|<3恒成立,即﹣3﹣x<a<3﹣x,当x∈[﹣1,1]时恒成立,求出a的范围即可.【解答】解:(1)依题意有:|2a﹣3|<|a|﹣(a﹣3),若a≥,则2a﹣3<3,∴≤a<3,若0≤a<,则3﹣2a<3,∴0<a<,若a≤0,则3﹣2a<﹣a﹣(a﹣3),无解,综上所述,a的取值范围为(0,3);(2)由题意可知,当x∈[﹣1,1]时,f(x)<g(x)恒成立,∴|x+a|<3恒成立,即﹣3﹣x<a<3﹣x,当x∈[﹣1,1]时恒成立,∴﹣2<a<2.WORD完整版----可编辑----教育资料分享----完整版学习资料分享----。

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2017年广东省深圳市高考数学一模试卷(文科)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)若集合A={2,4,6,8},B={x|x2﹣9x+18≤0},则A∩B=()A.{2,4}B.{4,6}C.{6,8}D.{2,8}2.(5分)若复数(a∈R)为纯虚数,其中i为虚数单位,则a=()A.﹣3 B.﹣2 C.2 D.33.(5分)袋中装有大小相同的四个球,四个球上分别标有数字“2”,“3”,“4”,“6”.现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是()A.B.C.D.4.(5分)设a=0.23,b=log0.30.2,c=log30.2,则a,b,c大小关系正确的是()A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>b>a5.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosC=,a=1,c=2,则△ABC的面积为()A.B.C.D.6.(5分)若双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的,则该双曲线的离心率为()A.B.C.2 D.7.(5分)将函数y=sin(6x+)的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,再向右平移个单位,得到的函数的一个对称中心()A.B.C.()D.()8.(5分)函数f(x)=•cosx的图象大致是()A.B.C.D.9.(5分)祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家,他在实践的基础上提出了体积计算的原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是,如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等,那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时,需要构造一个满足条件的几何体,已知该几何体三视图如图所示,用一个与该几何体的下底面平行相距为h(0<h<2)的平面截该几何体,则截面面积为()A.4πB.πh2C.π(2﹣h)2D.π(4﹣h2)10.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入p=2017,则输出i的值为()A.335 B.336 C.337 D.33811.(5分)已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1,球O与该正方体的各个面相切,则平面ACB1截此球所得的截面的面积为()A. B. C. D.12.(5分)若f(x)=sin3x+acos2x在(0,π)上存在最小值,则实数a的取值范围是()A.(0,)B.(0,]C.[,+∞)D.(0,+∞)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分,将答案填在答题纸上13.(5分)已知向量=(1,2),=(x,3),若⊥,则|+|=.14.(5分)已知α是锐角,且cos(α+)=,则cos(α﹣)=.15.(5分)直线ax﹣y+3=0与圆(x﹣2)2+(y﹣a)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2,则实数a的取值范围是.16.(5分)若实数x,y满足不等式组,目标函数z=kx﹣y的最大值为12,最小值为0,则实数k=.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12分)设S n为数列{a n}的前n项和,且S n=2a n﹣n+1(n∈N*),b n=a n+1.(1)求数列{b n}的通项公式;(2)求数列{nb n}的前n项和T n.18.(12分)如图,四边形ABCD为菱形,四边形ACEF为平行四边形,设BD与AC相交于点G,AB=BD=2,AE=,∠EAD=∠EAB.(1)证明:平面ACEF⊥平面ABCD;(2)若∠EAG=60°,求三棱锥F﹣BDE的体积.19.(12分)某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量划分为三档,月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费,超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费,超过400度的部分按1.0元/度收费.(1)求某户居民用电费用y(单位:元)关于月用电量x(单位:度)的函数解析式;(2)为了了解居民的用电情况,通过抽样,获得了今年1月份100户居民每户的用电量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图,若这100户居民中,今年1月份用电费用不超过260元的点80%,求a,b的值;(3)在满足(2)的条件下,若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率,且同组中的数据用该组区间的中点值代替,记Y为该居民用户1月份的用电费用,求Y的分布列和数学期望.20.(12分)已成椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为.其右顶点与上顶点的距离为,过点P(0,2)的直线l与椭圆C相交于A、B两点.(1)求椭圆C的方程;(2)设M是AB中点,且Q点的坐标为(,0),当QM⊥AB时,求直线l的方程.21.(12分)已知函数f(x)=(ax+1)lnx﹣ax+3,a∈R,g(x)是f(x)的导函数,e为自然对数的底数.(1)讨论g(x)的单调性;(2)当a>e时,证明:g(e﹣a)>0;(3)当a>e时,判断函数f(x)零点的个数,并说明理由.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系中xOy中,曲线E的参数方程为(α为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)写出曲线E的普通方程和极坐标方程;(2)若直线l与曲线E相交于点A、B两点,且OA⊥OB,求证:+为定值,并求出这个定值.[选修4-5:不等式选讲]23.已知f(x)=|x+a|,g(x)=|x+3|﹣x.(1)当a=1,解不等式f(x)<g(x);(2)对任意x∈[﹣1,1],f(x)<g(x)恒成立,求a的取值范围.2017年广东省深圳市高考数学一模试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)若集合A={2,4,6,8},B={x|x2﹣9x+18≤0},则A∩B=()A.{2,4}B.{4,6}C.{6,8}D.{2,8}【分析】求出B中不等式的解集确定出B,找出A与B的交集即可.【解答】解:∵A={2,4,6,8},B={x|x2﹣9x+18≤0}={x|(x﹣3)(x﹣6)≤0}={x|3≤x≤6},∴A∩B={4,6},故选:B.【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.2.(5分)若复数(a∈R)为纯虚数,其中i为虚数单位,则a=()A.﹣3 B.﹣2 C.2 D.3【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数,又根据复数(a∈R)为纯虚数,列出方程组,求解即可得答案.【解答】解:==,∵复数(a∈R)为纯虚数,∴,解得:a=﹣2.故选:B.【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.3.(5分)袋中装有大小相同的四个球,四个球上分别标有数字“2”,“3”,“4”,“6”.现从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是()A.B.C.D.【分析】现从中随机选取三个球,基本事件总数n==4,所选的三个球上的数字能构成等差数列包含的基本事件的个数,由此能求出所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率.【解答】解:袋中装有大小相同的四个球,四个球上分别标有数字“2”,“3”,“4”,“6”,现从中随机选取三个球,基本事件总数n==4,所选的三个球上的数字能构成等差数列包含的基本事件有:(2,3,4),(2,4,6),共有2个,∴所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是p==.故选:C.【点评】本题考查概率的求法及应用,是基础题,解题时要认真审题,注意等可能事件概率计算公式的合理运用.4.(5分)设a=0.23,b=log0.30.2,c=log30.2,则a,b,c大小关系正确的是()A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>b>a【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出.【解答】解:a=0.23=0.008,b=log0.30.2>log0.30.3=1,c=log30.2<1,∴b>a>c,故选:B.【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.5.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosC=,a=1,c=2,则△ABC的面积为()A.B.C.D.【分析】由题意cosC=,a=1,c=2,余弦定理求解b,正弦定理在求解sinB,那么△ABC的面积即可.【解答】解:由题意cosC=,a=1,c=2,那么:sinC=,cosC==,解得b=2.那么△ABC的面积S==.或者:由,可得sinB=,那么△ABC的面积=故选:A.【点评】本题主要考查了余弦定理,正弦定理的运用,属于基础题.6.(5分)若双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的,则该双曲线的离心率为()A.B.C.2 D.【分析】利用双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的,列出关系式求解离心率即可.【解答】解:设双曲线方程:,可得渐近线方程为:bx﹣ay=0,焦点坐标(c,0),双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的,可得:,整理得:5b2=4c2,即c2=5a2,解得e=.故选:D.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,考查计算能力.7.(5分)将函数y=sin(6x+)的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,再向右平移个单位,得到的函数的一个对称中心()A.B.C.()D.()【分析】先根据三角函数图象变换规律写出所得函数的解析式,再根据三角函数的性质进行验证:若f(a)=0,则(a,0)为一个对称中心,确定选项.【解答】解:函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到图象的解析式为再向右平移个单位得到图象的解析式为=sin2x当x=时,y=sinπ=0,所以是函数y=sin2x的一个对称中心.故选:A.【点评】本题考查了三角函数图象变换规律,三角函数图象、性质.是三角函数中的重点知识,在试题中出现的频率相当高.8.(5分)函数f(x)=•cosx的图象大致是()A.B.C.D.【分析】先判断函数的奇偶性,再判断函数值,问题得以解决.【解答】解:f(﹣x)=•cos(﹣x)=•cosx=﹣f(x),∴f(x)为奇函数,∴函数f(x)的图象关于原点对称,当x∈(0,)时,cosx>0,>0,∴f(x)>0在(0,)上恒成立,故选:C.【点评】本题考查了函数图象的识别,关键是掌握函数的奇偶性和函数值,属于基础题9.(5分)祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家,他在实践的基础上提出了体积计算的原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是,如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等,那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时,需要构造一个满足条件的几何体,已知该几何体三视图如图所示,用一个与该几何体的下底面平行相距为h(0<h<2)的平面截该几何体,则截面面积为()A.4πB.πh2C.π(2﹣h)2D.π(4﹣h2)【分析】由题意,首先得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥,得到截面为圆环,明确其半径求面积.【解答】解:由已知得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥,底面半径为2高为2,截面为圆环,小圆半径为r,大圆半径为2,设小圆半径为r,则,得到r=h,所以截面圆环的面积为4π﹣πh2=π(4﹣h2);故选:D.【点评】本题考查了几何体得到三视图以及截面面积的求法;关键是明确几何体形状,然后得到截面的性质以及相关的数据求面积.10.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入p=2017,则输出i的值为()A.335 B.336 C.337 D.338【分析】根据题意,模拟程序框图的运行过程,即可得出输出i的值.【解答】解:模拟程序的运行,可得程序框图的功能是统计1到2017这些数中能同时被2和3整除的数的个数i,由于:2017=336×6+1,故程序框图输出的i的值为337.故选:C.【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时模拟程序框图的运行过程,正确得出程序框图的功能是解题的关键,属于基础题.11.(5分)已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1,球O与该正方体的各个面相切,则平面ACB1截此球所得的截面的面积为()A. B. C. D.【分析】求出平面ACB1截此球所得的截面的圆的半径,即可求出平面ACB1截此球所得的截面的面积.【解答】解:由题意,球心与B的距离为=,B到平面ACB1的距离为=,球的半径为1,球心到平面ACB1的距离为﹣=,∴平面ACB1截此球所得的截面的圆的半径为=,∴平面ACB1截此球所得的截面的面积为=,故选:D.【点评】本题考查平面ACB1截此球所得的截面的面积,考查学生的计算能力,属于中档题.12.(5分)若f(x)=sin3x+acos2x在(0,π)上存在最小值,则实数a的取值范围是()A.(0,)B.(0,]C.[,+∞)D.(0,+∞)【分析】设t=sinx,由x∈(0,π)和正弦函数的性质求出t的范围,将t代入f (x)后求出函数的导数,求出临界点,根据条件判断出函数的单调性,由导数与函数单调性的关系列出不等式,求出实数a的取值范围.【解答】解:设t=sinx,由x∈(0,π)得t∈(0,1],∵f(x)=sin3x+acos2x=sin3x+a(1﹣sin2x),∴f(x)变为:y=t3﹣at2+a,则y′=3t2﹣2at=t(3t﹣2a),由y′=0得,t=0或t=,∵f(x)=sin3x+acos2x在(0,π)上存在最小值,∴函数y=t3﹣at2+a在(0,1]上递减或先减后增,即>0,得a>0,∴实数a的取值范围是(0,+∞),故选:D.【点评】本题考查正弦函数的性质,导数与函数单调性的关系,以及构造法、换元法的应用,考查化简、变形能力.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分,将答案填在答题纸上13.(5分)已知向量=(1,2),=(x,3),若⊥,则|+|=5.【分析】⊥,可得=0,解得x.再利用向量模的计算公式即可得出.【解答】解:∵⊥,∴=x+6=0,解得x=﹣6.∴=(﹣5,5).∴|+|==5.故答案为:5.【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量模的计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.14.(5分)已知α是锐角,且cos(α+)=,则cos(α﹣)=.【分析】由已知利用诱导公式可求sin(α﹣)=,结合角的范围,利用同角三角函数基本关系式计算可解.【解答】解:∵cos(α+)=sin[﹣(α+)]═sin(﹣α)=﹣sin(α﹣)=﹣,∵α是锐角,α﹣∈(﹣,),∴cos(α﹣)===.故答案为:.【点评】本题主要考查了诱导公式,同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用,考查了转化思想,属于基础题.15.(5分)直线ax﹣y+3=0与圆(x﹣2)2+(y﹣a)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2,则实数a的取值范围是a≤﹣.【分析】由圆的方程找出圆心坐标与半径r,利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d,利用|MN|≥2,建立不等式,即可得到a的范围.【解答】解:由圆的方程得:圆心(2,a),半径r=2,∵圆心到直线ax﹣y+3=0的距离d=,|MN|≥2,∴,解得:a≤﹣,故答案为:a≤﹣.【点评】此题考查了直线与圆相交的性质,涉及的知识有:圆的标准方程,点到直线的距离公式,垂径定理,勾股定理,熟练掌握公式及定理是解本题的关键.16.(5分)若实数x,y满足不等式组,目标函数z=kx﹣y的最大值为12,最小值为0,则实数k=3.【分析】先画出可行域,得到角点坐标.利用k与0的大小,分类讨论,结合目标函数的最值求解即可.【解答】解:实数x,y满足不等式组的可行域如图:得:A(1,3),B(1,﹣2),C(4,0).①当k=0时,目标函数z=kx﹣y的最大值为12,最小值为0,不满足题意.②当k>0时,目标函数z=kx﹣y的最大值为12,最小值为0,当直线z=kx﹣y过C(4,0)时,Z取得最大值12.当直线z=kx﹣y过A(1,3)时,Z取得最小值0.可得k=3,满足题意.③当k<0时,目标函数z=kx﹣y的最大值为12,最小值为0,当直线z=kx﹣y过C(4,0)时,Z取得最大值12.可得k=﹣3,当直线z=kx﹣y过,B(1,﹣2)时,Z取得最小值0.可得k=﹣2,无解.综上k=3故答案为:3.【点评】本题主要考查简单线性规划以及分类讨论思想.解决本题计算量较大.属于中档题.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12分)设S n为数列{a n}的前n项和,且S n=2a n﹣n+1(n∈N*),b n=a n+1.(1)求数列{b n}的通项公式;(2)求数列{nb n}的前n项和T n.【分析】(1)求出数列的首项,利用通项与和的关系,推出数列b n的等比数列,求解通项公式.(2)利用错位相减法求解数列的和即可.【解答】解:(1)当n=1时,a1=S1=2a1﹣1+1,易得a1=0,b1=1;当n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣n+1﹣[2a n﹣1﹣n+1+1],整理得a n=2a n﹣1+1,∴b n=a n+1=2(a n﹣1+1)=2b n﹣1,∴数列{b n}构成以首项为b1=1,公比为2等比数列,∴数列{b n}的通项公式b n=2n﹣1,n∈N•;(2)由(1)知b n=2n﹣1,则nb n=n•2n﹣1,则T n=1×20+2×21+3×22+…+n•2n﹣1,①∴2T n=1×2+2×22+3×23+…+n×2n,②由①﹣②得:﹣T n=20+21+22+23+…+2n﹣1﹣n•2n==2n﹣1﹣n•2n,∴T n=(n﹣1)2n+1.【点评】本题考查数列的递推关系式的应用,数列求和,考查计算能力.18.(12分)如图,四边形ABCD为菱形,四边形ACEF为平行四边形,设BD与AC相交于点G,AB=BD=2,AE=,∠EAD=∠EAB.(1)证明:平面ACEF⊥平面ABCD;(2)若∠EAG=60°,求三棱锥F﹣BDE的体积.【分析】(1)连接EG,说明BD⊥AC,证明BD⊥EG,推出BD⊥平面ACFE,然后证明平面ACEF⊥平面ABCD;(2)说明点F到平面BDE的距离为点C到平面BDE的距离的两倍,利用V F=2V C﹣BDE,转化求解三棱锥F﹣BDE的体积即可.﹣BDE【解答】解:(1)证明:连接EG,∵四边形ABCD为菱形,∵AD=AB,BD⊥AC,DG=GB,在△EAD和△EAB中,AD=AB,AE=AE,∠EAD=∠EAB,∴△EAD≌△EAB,∴ED=EB,∴BD⊥EG,∵AC∩EG=G,∴BD⊥平面ACFE,∵BD⊂平面ABCD,∴平面ACEF⊥平面ABCD;(2)∵EF∥GC,EF=2GC,∴点F到平面BDE的距离为点C到平面BDE的距离的两倍,所以V F=2V C﹣BDE,﹣BDE作EH⊥AC,∵平面ACEF⊥平面ABCD,EH⊥平面ABCD,∴V C=V E﹣BCD==,﹣BDE∴三棱锥F﹣BDE的体积为.【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用,几何体的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力.19.(12分)某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量划分为三档,月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费,超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费,超过400度的部分按1.0元/度收费.(1)求某户居民用电费用y(单位:元)关于月用电量x(单位:度)的函数解析式;(2)为了了解居民的用电情况,通过抽样,获得了今年1月份100户居民每户的用电量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图,若这100户居民中,今年1月份用电费用不超过260元的点80%,求a,b的值;(3)在满足(2)的条件下,若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率,且同组中的数据用该组区间的中点值代替,记Y为该居民用户1月份的用电费用,求Y的分布列和数学期望.【分析】(1)利用分段函数的性质即可得出.(2)利用(1),结合频率分布直方图的性质即可得出.(3)由题意可知X可取50,150,250,350,450,550.结合频率分布直方图的性质即可得出.【解答】解:(1)当0≤x≤200时,y=0.5x;当200<x≤400时,y=0.5×200+0.8×(x﹣200)=0.8x﹣60,当x>400时,y=0.5×200+0.8×200+1.0×(x﹣400)=x﹣140,所以y与x之间的函数解析式为:y=.(2)由(1)可知:当y=260时,x=400,则P(x≤400)=0.80,结合频率分布直方图可知:0.1+2×100b+0.3=0.8,100a+0.05=0.2,∴a=0.0015,b=0.0020.(3)由题意可知X可取50,150,250,350,450,550.当x=50时,y=0.5×50=25,∴P(y=25)=0.1,当x=150时,y=0.5×150=75,∴P(y=75)=0.2,当x=250时,y=0.5×200+0.8×50=140,∴P(y=140)=0.3,当x=350时,y=0.5×200+0.8×150=220,∴P(y=220)=0.2,当x=450时,y=0.5×200+0.8×200+1.0×50=310,∴P(y=310)=0.15,当x=550时,y=0.5×200×0.8×200+1.0×150=410,∴P(y=410)=0.05.故Y的概率分布列为:所以随机变量Y的数学期望EY=25×0.1+75×0.2+140×0.3+220×0.2+310×0.15+410×0.05=170.5.【点评】本题考查了分段函数的性质、频率分布直方图的性质、随机变量的分布列及其数学期望,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.20.(12分)已成椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为.其右顶点与上顶点的距离为,过点P(0,2)的直线l与椭圆C相交于A、B两点.(1)求椭圆C的方程;(2)设M是AB中点,且Q点的坐标为(,0),当QM⊥AB时,求直线l的方程.【分析】(1)椭圆的离心率为.其右顶点与上顶点的距离为,列出方程组,求出a=,b=,由此能求出椭圆C的方程.(2)若直线l的斜率不存在,直线方程为x=0;若直线l的斜率存在,设其方程为y=kx+2,与椭圆方程联立,得(2+3k2)x2+12kx+6=0,由此利用根的判别式、韦达定理、直线垂直,结合已知条件能求出直线l的方程.【解答】解:(1)∵椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为.其右顶点与上顶点的距离为,∴由题意知:,解得a=,b=,∴椭圆C的方程为:.(2)①若直线l的斜率不存在,此时M为原点,满足QM⊥AB,∴方程为x=0;②若直线l的斜率存在,设其方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程与椭圆方程联立,得(2+3k2)x2+12kx+6=0,△=72k2﹣48>0,,设M(x0,y0),则,,由QM⊥AB,知,化简得3k2+5k+2=0,解得k=﹣1或k=﹣,将结果代入△=72k2﹣48>0验证,舍掉k=﹣,此时,直线l的方程为x+y﹣2=0,综上所述,直线l的方程为x=0或x+y﹣2=0.【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查直线方程的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意根的判别式、韦达定理、直线垂直、椭圆等知识点的合理运用.21.(12分)已知函数f(x)=(ax+1)lnx﹣ax+3,a∈R,g(x)是f(x)的导函数,e为自然对数的底数.(1)讨论g(x)的单调性;(2)当a>e时,证明:g(e﹣a)>0;(3)当a>e时,判断函数f(x)零点的个数,并说明理由.【分析】(1)求导,由导数与函数单调性的关系,即可求得g(x)的单调区间;(2)由g(e﹣a)=﹣a2+e a,构造函数h(x)=﹣x2+e x,求导,当x>e时,h′(x)>0,函数单调递增,即可求得h(x)=﹣x2+e x>﹣e2+e e>0,(3)由(1)可知,函数最小值为g()=0,故g(x)恰有两个零点x1,x2,则可判断x1,x2是函数的极大值和极小值,由函数零点的存在定理,求得函数f (x)只有一个零点.【解答】解:(1)对函数f(x),求导得g(x)=f′(x)=alnx+,g′(x)=﹣=,①当a≤0时,g′(x)<0,故g(x)在(0,+∞)上为减函数;②当a>0时,′(x)>0,可得x>,故g(x)的减区间为(0,),增区间为(,+∞);(2)证明:g(e﹣a)=﹣a2+e a,设h(x)=﹣x2+e x,则h′(x)=e x﹣2x,易知当x>e时,h′(x)>0,函数h(x)单调递增,h(x)=﹣x2+e x>﹣e2+e e>0,∴g(e﹣a)>0;(3)由(1)可知,当a>e时,g(x)是先减再增的函数,其最小值为g()=aln+a=a(ln+1)<0,而此时g()=1+,g(e﹣a)>0,且e﹣a<<,故g(x)恰有两个零点x1,x2,∵当x∈(0,x1)时,f′(x)=g(x)>0;当x∈(x1,x2)时,f′(x)=g(x)<0;当x∈(x2,+∞)时,f′(x)=g(x)>0,∴f(x)在x1,x2两点分别取到极大值和极小值,且x1∈(0,),由g(x1)=alnx1+=0,知a=﹣,∴f(x1)=(ax1+1)lnx1﹣ax1+3=lnx1++2,∵lnx1<0,∴lnx1+≤﹣2,但当lnx1+=﹣2时,lnx1=,则a=e,不合题意,所以f(x1)<0,故函数f(x)的图象与x轴不可能有两个交点.∴函数f(x)只有一个零点.【点评】本题考查导数的综合应用,考查导数与函数的单调性及及的关系,考查函数零点的判断,考查计算能力,属于中档题.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系中xOy中,曲线E的参数方程为(α为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)写出曲线E的普通方程和极坐标方程;(2)若直线l与曲线E相交于点A、B两点,且OA⊥OB,求证:+为定值,并求出这个定值.【分析】(1)曲线E的参数方程消去参数,能求出曲线E的普通方程,进而能求出曲线E的极坐标方程.(2)不妨设设点A,B的极坐标分别为A(ρ1,θ),B(),从而得到,由此能证明(定值).【解答】解:(1)∵曲线E的参数方程为(α为参数),∴消去参数得曲线E的普通方程为,∴曲线E的极坐标方程为,∴所求的极坐标方程为3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=12.(2)证明:不妨设设点A,B的极坐标分别为A(ρ1,θ),B(),则,即,∴=,即(定值).【点评】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化,考查代数式和为定值的证明,是中档题,解题时要认真审题,注意普通方程、极坐标方程的互化公式的合理运用.[选修4-5:不等式选讲]23.已知f(x)=|x+a|,g(x)=|x+3|﹣x.(1)当a=1,解不等式f(x)<g(x);(2)对任意x∈[﹣1,1],f(x)<g(x)恒成立,求a的取值范围.【分析】(1)把a=1代入f(x)后化简f(x)<g(x),对x分类讨论,分别去掉绝对值求出x的范围,最后再求并集可得答案;(2)由条件求出g(x),由绝对值不等式的解法化简|x+a|<3,求出a的表达式,由x的范围和恒成立求出a的取值范围.【解答】解:(1)当a=1,f(x)=|x+1|,由f(x)<g(x)可得|x+1|<|x+3|﹣x,即|x+3|﹣|x+1|﹣x>0,当x≤﹣3时,原不等式等价于﹣x﹣2>0,即x<﹣2,∴x≤﹣3,当﹣3<x<﹣1时,原不等式等价于x+4>0,即x>﹣4,∴﹣3<x<﹣1,当x≥﹣1时,原不等式等价于﹣x+2>0,即x<2,∴﹣1≤x<2,综上所述,不等式的解集为(﹣∞,2);(2)当x∈[﹣1,1]时,g(x)=|x+3|﹣x=3,∵对任意x∈[﹣1,1],f(x)<g(x)恒成立,∴对任意x∈[﹣1,1],|x+a|<3恒成立,∴﹣3<x+a<3,即﹣3﹣x<a<3﹣x,当x∈[﹣1,1]时恒成立,∴a的取值范围﹣2<a<2.【点评】本题考查绝对值不等式的解法,恒成立问题转化为求最值问题,以及分类讨论思想,考查化简、变形能力.。

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