复变函数的基本概念及运算

在 B 内的某点 z ，极限：
lim w lim f (z z) f (z)
z0 z z0
z
存在，且与 z 0 的方向无关，则称函数 w f (z)
在 z 点可导，称该极限为函数 f (z) 在 z 点的导数，记
为 f (z) 或 df 。 dz
复变函数的基本概念及运算
二 复函数可导的必要条件
2
2
5 对数函数
ln z ln z eiArgz ln z iArgz ln i , 多值函数
6 幂函数: z s es ln z , ( s 为复数), 多值函数
复变函数的基本概念及运算
一 基本初等函数的定义
7 三角函数
sin z 1 (eiz eiz ) , cos z 1 (eiz eiz ) , 周
2i
2
期为 2 ，实三角函数的一些重要公式在复三角函数中均
成立，复正弦、余弦函数值的模可以>1。
8 反三角函数 其定义与实反三角函数类似，但实反三角函数是基
本初等函数，而复反三角函数不是基本初等函数，可用 其它基本初等函数表示。
复变函数的基本概念及运算
二 复变函数的定义
若在复数平面上存在点集 E ，对 E 的每个点 z x iy 都有复数 w u iv 与之对应，则称 w 为 z 的函数， z 为 w 的宗量，定义域为 E ，记为：
1 直角坐标系的柯西――黎曼方程 (1) z 沿水平轴 0 的情况， z x 0, (y 0)
li w m li u ( m x x ,y ) i( x v x ,y ) u ( x ,y ) i( x v ,y )
z 0 z x 0
x
lx i 0 u m (x x , y x ) u (x ,y ) iv (x x , y x ) v (x ,y ) u i v
2
有理函数： a0 a1z1 a2 z 2 an z n b0 b1z b2 z 2 bm z m
，m、n∈N+
3 指数函数： e z e xiy e x (cos y i sin y) ，周期 2i
复变函数的基本概念及运算
一 基本初等函数的定义
4 双曲函数
sinh z 1 (e z ez ) , coshz 1 (e z ez ) , 周期
如果函数 f (z) u(x, y) iv(x, y) 在区域 B 中的
z 点可导，则 u,v 在 z 点必须满足以下的柯西—黎曼方
程（Cauchy-Riemann Equation）
u x
v y
v
u
x y
或
u
1 u
1 v
v
复变函数的基本概念及运算
二 复函数可导的必要条件
y z(x,y)或(ρ,φ)
ρ φ
x
复平面
三 复数的四则运算
若 z1 1ei1 和 z2 2ei2 ，则
积： z
z1 z2
ei(12 ) 12
商： z1 e 1 i(12 ) z2 2
采用指数表示可方便乘除运算
复变函数的基本概念及运算
四 乘方、方根
若 z ei ，则
乘方： z n nein
的极限为
w0
，记为
lim
zz0
f
(z)
w0 。
定义
2：如果 lim zz0
f (z)
f (z0 ) ，则称
f (z) 在
z0 点连续。 f (z) 在 z0 连续 u(x, y) 、 v(x, y) 在
(x0 , y0 ) 点连续。
复变函数的基本概念及运算
一 导数的定义
设 w f (z) 是在区域 B 中定义的单值函数。若
y
y
y
单连通区域 x
复连通区域 x
区域的连通性
非连通区域 x
复变函数的基本概念及运算
四 复变函数极限
定义 1：函数 f (z) 在 z0 点及其邻域内有定义，
如果存在复数 w0 ，对任意给定的 0 ，总能找到
0 ， 使 得 ： 当 0 z z0 时 ， 恒 有
f (z0 ) w0 成立，则称当 z 趋近于 z0 时 f (z)
4 区域：区域是一种集合，该集合全部由内 点组成并且这个集合是连通的。所谓“连通”是指 集合中的任意两点都可以用完全属于集合的一条 折线，把它们连接起来。
5 闭区间：区域及其境界线。
复变函数的基本概念及运算
三 区域、闭区间、单连域或复连域
6 单连域与复连域：一个区域 B，如果在其中 任作一简单闭合曲线，曲线内部总属于 B，就称为 单连通区域，反之称为复连通区域。如图所示。
w f (z) u(x, y) iv(x, y) ， z E
定义了一个复变函数实际上定义了二个相关联的实二 元函数，因此复函数将具有独特的性质。
复变函数的基本概念及运算
三 邻域、内点、外点、境界点
1 邻域：以 z 0 为中心，任意小正实数 为半径
的圆内所有点的集合，称为 z 0 点的邻域。 2 内点、外点、境界点：若 z 0 及其邻域均属于点
集 E ，则称 z 0 为 E 的内点；若 z 0 及其邻域均不属于 E ，则称 z 0 为 E 的外点；若 z 0 的每个邻域内，既有 属于 E 的点，也有不属于 E 的点，则称 z 0 为 E 的境
界点（或边界点）。 3 境界线：境界点的集合称为境界线。
复变函数的基本概念及运算
三 区域、闭区间、单连域或复连域
x x
复变函数的基本概念及运算
二 复函数可导的必要条件
1 直角坐标系的柯西――黎曼方程
(2) z 沿竖直轴 0 的的情况, z iy 0, (x 0)
2k
方根： n
z
n
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e n
n
)
，k
0,1,, n 1， n ∈N
五 共轭复数
若 z x iy ei ， 则 z 的 共 轭 复 数 定 义 z* x iy ei 为复数 z 的共轭复数， z 2 zz * 。
复变函数的基本概念及运算
一 基本初等函数的定义
1 多项式： a0 a1z a2 z 2 an z n ，n∈N+
第1章 复变函数
复变函数的基本概念及运算
本章内容提要
1 复数与复数的运算 2 复变函数 3 复数的导数 4 解析函数 5 小结
复变函数的基本概念及运算
一 复变函数积分定义
1 代数式 zxiy
2 三角式 z(co issin )
z e 3 指数式
i
欧拉公式的证明
二 复数的几何意义
复变函数的基本概念及运算