对数的基本概念及运算
高中数学对数的运算
对数函数专题对数及对数运算【要点梳理】要点一、对数概念 1．对数的概念如果()01b a N a a =>≠，且，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作:log a N=b ．其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．要点诠释：对数式log a N=b 中各字母的取值范围是：a>0 且a ≠1， N>0， b ∈R ． 2．对数()log 0a N a >≠，且a 1具有下列性质：（1）0和负数没有对数，即0N >； （2）1的对数为0，即log 10a =； （3）底的对数等于1，即log 1a a =．3．两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，N N lg log 10简记作．以e （e 是一个无理数， 2.7182e =⋅⋅⋅）为底的对数叫做自然对数， log ln e N N 简记作． 4．对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示．由此可见a ，b ，N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化． 要点二、对数的运算法则 已知()log log 010a a M N a a M N >≠>，且，、 （1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； ()log log log a a a MN M N =+ 推广：()()121212log log log log 0a k a a a k k N N N N N N N N N =+++>、、、（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；log log log a a a M M N N=-（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； log log a a M M αα=要点诠释：（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立．如：log 2（-3）（-5）=log 2（-3）+log 2（-5）是不成立的，因为虽然log 2（-3）（-5）是存在的，但log 2（-3）与log 2（-5）是不存在的．（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：log a （M ±N ）=log a M ±log a N ， log a （M ·N ）=log a M ·log a N ，log a N M N M a a log log =． 要点三、对数公式 1．对数恒等式：log log a b Na a N a N Nb ⎫=⇒=⎬=⎭2．换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a ≠1， M>0的前提下有:（1）)(log log R n M M n a a n ∈=令 log a M=b ， 则有a b =M ， （a b ）n =M n ，即n b n M a =)(， 即n a M b n log =，即:n a a M M n log log =．（2）)1,0(log log log ≠>=c c aMM c c a ，令log a M=b ， 则有a b =M ， 则有)1,0(log log ≠>=c c M a c b c即M a b c c log log =⋅， 即a M b c c log log =，即)1,0(log log log ≠>=c c aMM c c a 当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论:)1,0,1,0(log 1log ≠>≠>=b b a a ab b a ．【典型例题】类型一、对数的概念例1．求下列各式中x 的取值范围： （1）2log (5)x -；（2）(1)log (2)x x -+；（3）2(1)log (1)x x +-． 【答案】（1）5x >；（2）1,2x x >≠且；（3）1x >-且0,1x x ≠≠ 【解析】（1）由题意50x ->，5x ∴>，即为所求．（2）由题意20,10,11,x x x +>⎧⎨->-≠⎩且即2,1,2,x x x >-⎧⎨>≠⎩且1,2x x ∴>≠且． （3）由题意2(1)0,10,11,x x x ⎧->⎨+>+≠⎩且解得1x >-且0,1x x ≠≠．【总结升华】在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1．举一反三：【变式1】函数21log (2)x y x -=+的定义域为 ．【答案】1|12x x x ⎧⎫>≠⎨⎬⎩⎭且类型二、指数式与对数式互化及其应用 例2．将下列指数式与对数式互化： （1）2log 164=；（2）13log 273=-；（3）3x =；（4）35125=；（5）1122-=；（6）2193-⎛⎫= ⎪⎝⎭．【解析】运用对数的定义进行互化．（1）4216=；（2）31273-⎛⎫= ⎪⎝⎭；（33x =；（4）5log 1253=；（5）21log 12=-；（6）13log 92=-．【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段．举一反三：【变式1】求下列各式中x 的值：（1）161log 2x =- （2）log 86x = （3）lg1000=x （4）2-2ln e x =【答案】（1）14；（2；（3）3；（4）-4．【解析】将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x ．（1）1112()212221(16)(4)444x --⋅--=====；（2）111166366628()(8)(2)2x x x ======，所以 （3）10x =1000=103，于是x=3；（4）由22222ln ln 42x x e x e e e x --=-===-，得，即所以．例3．（2014 广东湛江期中）不用计算器计算：7log 203log lg25lg47(9.8)+++- 【答案】132【解析】原式323log 3lg(254)21=+⨯++23lg1032=++3132322=++=【总结升华】对数恒等式log a N a N =中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数．举一反三：【变式1】求log log log a b c b c N a ⋅⋅的值（a ，b ，c ∈R +，且不等于1，N>0） 【答案】N【解析】将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算．log log log log log log log log log ()()c a b c a b b c c Nb c N b cc N N a a b c N ⋅⋅⎡⎤====⎣⎦类型四、积、商、幂的对数例4． z y x a a a log ,log ,log 用表示下列各式35(1)log ;(2)log ();(3)log a a a a xy x y z 【解析】（1）log log log log aa a a xyx y z z=+-； （2）3535log ()log log 3log 5log a a a a a x y x y x y =+=+；（3）1log log log ()log log log 2a a a a a a yz x y z yz ==--；（4）log a211log ()log 2log log log 23a a a a a x y x y z -=+-．(有错误） 【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算．举一反三： 【变式1】求值（1）1log 864log 325log 21025-+ （2）lg2·lg50+（lg5）2 （3）lg25+lg2·lg50+（lg2）2【答案】（1）22；（2）1；（3）2． 【解析】（1）1log 864log 325log 21025-+.220184082log 35log 26225=-+=⨯-+⋅=（2）原式=lg2（1+lg5）+（lg5）2=lg2+lg2lg5+（lg5）2=lg2+lg5（lg2+lg5）=lg2+lg5=1（3）原式=2lg5+lg2（1+lg5）+（lg2）2=2lg5+lg2+lg2lg5+（lg2）2=1+lg5+lg2（lg5+lg2）=1+lg5+lg2=2． 类型五、换底公式的运用例5．已知18log 9,185b a ==，求36log 45．【答案】2a ba+- 【解析】解法一：18log 9,185b a ==，18log 5b ∴=，于是181818183618181818log 45log (95)log 9log 5log 4518log 36log (182)1log 221log 9a b a ba ⨯+++=====⨯+-+． 【总结升华】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质．（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式．（3）解决这类问题要注意隐含条件“log 1a a =”的灵活运用． 【变式1】求值：（1）)2log 2)(log 3log 3(log 9384++；【解析】（1）)2log 2)(log 3log 3(log 9384++452log 233log 65)22log 2)(log 33log 23log ()9log 2log 2)(log 8log 3log 4log 3log (3233223332222=⋅⋅=++=++=类型六、对数运算法则的应用例6．求值（1）91log 81log 251log 32log 53264⋅⋅⋅（2）7lg142lg lg 7lg183-+-【解析】（1）原式=103log 2log 5log 2log 253322526-=---（2）原式=2lg(27)2(lg 7lg 3)lg 7lg(32)⨯--+-⨯ =lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20+-++--=举一反三：【变式1】计算下列各式的值 （1）()222lg5lg8lg5lg 20lg 23+++【解析】（1）原式=()22lg52lg 2lg5(2lg 2lg5)lg 2++++=22lg10(lg 5lg 2)++=2+1=3；【巩固练习】一、选择题1. 有以下四个结论：①lg （lg10）=0；②ln （lne ）=0；③若10=lg x ，则x =10；④若e =ln x ，则x =e 2，其中正确的是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④ 【答案】C【解析】由log 1,log 10a a a ==知①②正确．2. 下列等式成立的有（ ）①1lg 2100=-；②33log 2=；③2log 525=；④ln 1e e =；⑤lg 333=；A ．①②B ．①②③C ．②③④D ．①②③④⑤ 【答案】B【解析】21lg lg102100-==-；3. 对数式2log (5)a a b --=中，实数a 的取值范围是（ ）A ．(),5-∞B ． ()2,5C ．()()2,33,5D ．()2,+∞【答案】C【解析】由对数的定义可知50,20,21,a a a ->⎧⎪->⎨⎪-≠⎩所以25a <<且3a ≠，故选C ．4. 若0,1a a >≠，则下列说法正确的是（ ）①若M N =，则log log a a M N =；②log log a a M N =，则M N =； ③22log log a a M N =，则M N =；④若M N =，则22log log a a M N =． A ．①③ B ．②④ C ．② D ．①②③④ 【答案】C【解析】注意使log log a a M N =成立的条件是M 、N 必须为正数，所以①③④不正确，而②是正确的，故选C ．5. 若56789log 6log 7log 8log 9log 10y =⋅⋅⋅⋅，则（ ）A ．(0,1)y ∈B ．(1,2)y ∈C ．(2,3)y ∈D ．(3,4)y ∈ 【答案】B 【解析】55lg 6lg 7lg8lg9lg10log 101log 2lg5lg 6lg 7lg8lg9y =⨯⨯⨯⨯==+，因为50log 21<<，所以12y <<，故选B ．6. （2014江西三县月考）计算662log 3log 4+的结果是（）A ．6log 2B ． 2C ． 6log 3D ． 3【答案】B【解析】666662log 3log 4log 9log 4log 362+=+==．故选：B ． 二、填空题1. 若312log 19x-=，则x = ．【答案】-13【解析】 由指数式与对数式互化，可得1239x-=，解得13x =-． 2. 若2log 2,log 3,m n a a m n a +=== ；【答案】12【解析】 2log 2log 3log 4log 34312a a a a a a a +=⋅=⨯=．3. 若2510a b ==，则11a b+= ．【答案】1【解析】因为210,a =所以21log 10lg 2a ==，又因为510,b =所以51log 10lg 5b ==，所以原式=lg 2lg51+=．。
4.4对数概念及其运算
练习：书本 练习：书本P10
小结
a>0,a≠1,M,N>0 (1)logaM+logaN=loga(M×N) × (2)loga(M÷N)=logaM-logaN ÷ (3)logaMn=nlogaM
解1.08x=2
思考题
21000是几位数
log 2 x = p; log a y = q; log a z = r , 把a 2 p + q −3r 用x, y , z表示
log 7 2 = k
试用k表示
log8 14
小结
介绍什么是换底公式? 利用换底公式将不同底的对数处理成同底的 形式
回家作业
Page 2练习部分 习题4.4A组7,8,9 B组5,6
(lg 2) 2 ⋅ lg 250 + (lg 5) 2 ⋅ lg 40
log18 9 = a,18 = 5, 用a, b表示 log 36 45
4.4 对数的概念及 其运算
2 对数运算法则
任取两组M、N完成下表
从中请找出同底的对数有哪些运算性质？并证明其中其中一个性质。 从中请找出同底的对数有哪些运算性质？并证明其中其中一个性质。 同底的对数有哪些运算性质 并注意每个性质要满足什么条件才能成立
M
N
M+N
M-N
M×N ×
M÷N ÷
lgM
lgN
= log b a
例题2：求值 例题 ： lg 2 lg 5 （1） log 4 3 ⋅ log 9 32 （2） log 10 + log 10 ） ） 50 5
3x = 4 y = 6 z 例3：设x,y,z都是正数，且 ： 都是正数， 都是正数
，
数学高一知识点对数
数学高一知识点对数数学高一知识点：对数一、引言对数是数学中非常重要的一个概念，它在许多数学领域和实际应用中都有重要的作用。
在高中数学中，对数是基础知识点之一，理解和掌握对数的概念、性质和运算规律对于学好数学课程具有重要意义。
本文将介绍对数的基本概念、对数的运算以及对数的实际应用。
二、对数的基本概念1. 对数的定义在数学中，对数是指以某一固定正数为底数，将另一个正数表示为指数的幂的运算。
设a为正数且a≠1，b为正实数，则以a为底b的对数写作logₐ b。
2. 对数的性质对数具有以下基本性质：(1) logₐ a = 1，即底数与真数相等时，对数等于1；(2) logₐ (mn) = logₐ m + logₐ n，即对数的底数相同，对应真数的乘法等于对数的加法；(3) logₐ (m/n) = logₐ m - logₐ n，即对数的底数相同，对应真数的除法等于对数的减法；(4) logₐ (a^m) = m，即以a为底，底数与对数相等时，对数等于指数。
三、对数的运算规律1. 对数的乘法规律logₐ (mn) = logₐ m + logₐ n2. 对数的除法规律logₐ (m/n) = logₐ m - logₐ n3. 对数的幂运算规律logₐ (a^m) = m4. 对数的换底公式若a、b、c为正数且a≠1，b≠1，c≠1，则有：logₐ b = logc b / logc a四、对数的实际应用对数在许多实际问题中具有重要应用，以下是一些常见的实际应用场景：1. 音量的测量在声学中，音量是以分贝（dB）表示的。
分贝是用对数来描述的，它可以比较不同声音的强度，从而更好地理解和分析声音的变化。
2. pH值的测量在化学中，pH值是用于测量溶液的酸碱性的指标。
pH值是通过对数计算得出的，根据不同物质的酸碱性，可以对其进行分类和判断。
3. 经济增长的分析对数还可以用于分析经济增长。
在经济学中，人均收入和GDP 增长率通常使用对数来进行测算和比较，以更好地衡量和分析国家经济的发展情况。
对数与对数运算法则
对数与对数运算法则对数是数学中一个重要的概念，在很多领域中都有广泛的应用，比如数学、物理、工程等。
它能够简化大数值的运算和计算复杂问题，也有助于解决各种类型的方程和不等式。
本文将探讨对数的含义，以及对数运算的法则。
1.对数的含义：对数最基本的定义是，对于一个正数a，如果b是一个正数且满足a 的b次方等于另一个正数x，那么b就是以a为底x的对数，记为log_a(x)。
其中a被称为对数的底数，x被称为真数，b被称为对数。
用数学语言描述对数，可以写作a^b=x，等价于log_a(x)=b。
2.对数运算的法则：对数运算有一系列的基本法则，可以简化对数的运算和推导。
2.1对数的互换性：如果a>0且a≠1，且m、n是正数，那么log_a(m×n)=log_a(m)+log_a(n)。
这条法则允许我们将乘法变成加法。
2.2对数的逆运算性：如果a>0且a≠1，那么对于正数m和任意正数b，有：a^(log_a(m))=m。
换句话说，当对数与指数运算发生时，可以互相抵消。
2.3对数的对换性：如果a>0且a≠1，且m、n是正数，那么log_a(m/n)=log_a(m)-log_a(n)。
这条法则允许我们将除法变成减法。
2.4对数的幂次性：如果a>0且a≠1，那么对任意正数m和正数b，有：log_a(m^b)=b×log_a(m)。
换句话说，可以通过幂次运算将对数与指数运算进行交换。
2.5对数的换底公式：对于任意正数a、b和c，有：log_a(b)=log_c(b)/log_c(a)。
这条法则允许我们将对数底数的换成任意值，并以其他常见的底数来计算。
3.对数运算的应用：3.1科学计数法：对数可以简化大数值的表示。
通过对数运算，我们可以将一个很大或很小的数字表示为以10为底的对数形式。
例如，1,000,000可以写成log_10(1,000,000)=63.2方程的求解：对数可以帮助解决一些涉及指数和幂函数的方程。
对数的运算法则及公式是什么
对数的运算法则及公式是什么在数学中，对数是指一个数以另一个数为底的指数。
对数的运算法则和公式是数学中对数运算的基本准则和表达方式。
本文将重点介绍对数的运算法则及公式。
一、对数的定义和符号对数是指数的逆运算，主要用于求指数运算的未知数。
以底数为a，对数为n的运算表达为：a^n = x，其中n为指数，a为底数，x为真数。
对数的符号为log。
例如，对于底数为2的对数运算：2^3 = 8，可以表示为log2(8)=3。
其中，2为底数，3为指数，8为真数。
二、对数运算法则1. 对数的基本运算法则(1) 乘法法则：loga(M*N) = loga(M) + loga(N)。
(2) 除法法则：loga(M/N) = loga(M) - loga(N)。
(3) 幂运算法则：loga(M^k) = k*loga(M)。
(4) 开方法则：loga√M = 1/2 * loga(M)。
2. 对数换底公式对数换底公式是指当底数不同时，如何在不同底数之间进行换算。
常用的对数换底公式有以下两种形式：(1) loga(M) = logc(M) / logc(a)，其中c为任意常数。
(2) loga(M) = ln(M) / ln(a)，其中ln表示自然对数。
三、对数公式1. 对数幂的对数公式对数幂的对数公式是指对数运算中底数为幂的情况，常用的对数幂的对数公式有以下两种形式：(1) loga(a^k) = k，其中k为任意常数。
(2) loga(1) = 0。
2. 对数的乘法公式对数的乘法公式是指对数运算中底数相同，真数相乘的情况。
常用的对数的乘法公式有以下两种形式：(1) loga(M*N) = loga(M) + loga(N)。
(2) loga(a) = 1。
3. 对数的除法公式对数的除法公式是指对数运算中底数相同，真数相除的情况。
常用的对数的除法公式有以下两种形式：(1) loga(M/N) = loga(M) - loga(N)。
对数的运算法则及公式是什么
对数的运算法则及公式是什么对数是数学中的一个重要概念，它在科学计算、数据处理和各个领域中都具有广泛的应用。
对数的运算法则及公式是用来简化对数运算的规则和公式，使得计算更加简便和高效。
本文将介绍对数的运算法则及常用的公式，并附上相应的解释和例子。
一、对数的基本概念在开始介绍对数的运算法则及公式前，首先需要了解对数的基本概念。
对数是指数运算的逆运算，可以将指数问题转化为对数问题。
具体来说，对于给定的正数a和正数b，如果满足以下等式：b = a^x那么x就是以a为底，b为值的对数，记作x = loga b。
其中，a被称为对数的底数，b被称为对数的真数，x被称为对数的指数。
二、对数的运算法则1. 对数相乘法则loga (b * c) = loga b + loga c对数相乘法则表明，两个数的乘积的对数等于这两个数分别取对数后相加。
例如，log2 (4 * 8) = log2 4 + log2 8 = 2 + 3 = 5。
2. 对数相除法则loga (b / c) = loga b - loga c对数相除法则表明，两个数的商的对数等于这两个数分别取对数后相减。
例如，log10 (100 / 10) = log10 100 - log10 10 = 2 - 1 = 1。
3. 对数的幂法则loga (b^c) = c * loga b对数的幂法则表明，一个数的指数的对数等于这个数取对数后再乘以指数。
例如，log3 (2^4) = 4 * log3 2 = 4 * 0.63 = 2.52。
三、对数的公式1. 换底公式对于任意的正数a、b和c，换底公式可以表示为：loga b = logc b / logc a换底公式可以用来将任意底数的对数转换为以其他底数的对数。
例如，log3 9 = log10 9 / log10 3 = 0.95。
2. 对数的积公式loga (b * c) = loga b + loga c对数的积公式是对数相乘法则的另一种形式，它表示对数值相乘等于对数分别相加。
对数及其运算性质
关系式：
6=2+4即log264= log24+ log216 2=6-4即log24 = log264 -log216
4=6-2即log216 = log264 -log24 6=3×2即log264 =3 log24
4=2×2即log216= 2log24
loga(MN) =logaM+logaN的证明：
= logaM+ logaN
=logaM+logaN
式子 名称
运算 性质
指数与对数对比表
aX=N
logaN=X
a---幂的底数 a---对数的底
x---幂的指数 X---以a为底的N的对数
N---幂值 N---真数
am×an=am+n am÷an=am-n (am)n=amn
loga(MN)= logaM+logaN
loga1=0 logaa=1 logaab =b alogaN =N 3.对数的运算性质:
loga(MN)=loga M+loga N
loga(M N-1)=logaM-logaN loga(Mn )=nlogaM(n R)
换底公式及推论:
1.换底公式: 2.推论:
loga
b=
logc logc
对数与对数运算(一)
一、对数的定义： 一般地，如果 ax=N （a＞0，a≠1）， 那么数x叫做以a为底N的对数，记作
x=logaN 其中a叫做对数的底数，N叫做真数。 注意:(1)对数的底数a的限制: a＞0且a≠1
(2)对数的真数限制: N>0 负数和零没有对数。
在 2x=8 中 X 就是以2为底8的对数， 记成 x=log28
对数知识点总结
对数知识点总结一、对数的基本概念定义：对数是指数函数的逆运算。
给定正实数a（a≠1）和正实数x，如果等式a^y=x成立，那么数y就是以a为底，x的对数，记作y=log_a(x)。
其中，a被称为对数的底，x被称为真数，y被称为对数。
对数的底和真数：对数的底必须为正实数且不等于1，真数必须为正实数。
对数的值：对数的值可以是实数，也可以是复数。
二、对数的性质对数函数为单调增函数。
常用的对数：以10为底的对数称为常用对数，记作lgN；以无理数e（e=2.71828…）为底的对数称为自然对数，记作lnN。
三、对数的运算规则对数的乘法规则：log_a(MN) = log_a(M) + log_a(N)，其中M、N 为正实数，a为正实数且a≠1。
对数的除法规则：log_a(M/N) =log_a(M) - log_a(N)，其中M、N为正实数，a为正实数且a≠1。
对数的幂次规则：log_a(M^p) = p * log_a(M)，其中M为正实数，a为正实数且a≠1，p为任意实数。
对数的换底公式：log_b(M) /log_b(a) = log_a(M)，其中M为正实数，a、b为正实数且a≠1，b≠1。
四、对数的应用对数在各个领域都有广泛的应用，包括统计学、金融、化学反应、数据压缩、声学和地震学、科学计量、货币贬值、人口增长、生物学、天文学、网络和社交媒体以及电路分析等。
对数可以帮助处理广泛的数据范围、计算复利、描述化学反应速率与反应物浓度的关系、压缩数据、表示声音的强度等。
以上是对数的基本知识点总结，涵盖了定义、性质、运算规则以及应用等方面。
希望这些信息能够帮助你更好地理解和掌握对数知识。
对数的含义与运算
对数含义与运算一、 知识综述1．对数定义：一般地，如果a （10≠>a a 且）的b 次幂等于N , 就是N a b =，那么数 b 叫做a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的 ，N 叫做 。
即ba N =， log a Nb =aNb指数式N a b = 底数 幂 指数 对数式b N a =log对数的底数真数对数例如：对数式与指数式的互换2416= 210100= 1242= 2100.01-=2．基本性质：若0a >且1a ≠，0N >，则（1）log 10a =，log 1a a =；（2）log a Na N =.3．介绍两种特殊的对数： ①常用对数：以10作底 10log N 写成lg N ②自然对数：以e 作底为无理数，e = 2.71828…… ， log e N 写成ln N ．4.对数的运算性质：如果 a > 0 ， a ≠ 1， M > 0 ，N > 0， 那么（1）log ()log log a a a MN M N =+；（2）log log -log aa a M M N N=；（3）log log ()na a M n M n R =∈． 5.换底公式：log log log m a m NN a=( a > 0 , a ≠ 1 ；0,1m m >≠)说明：两个较为常用的推论：（1）log log 1a b b a ⨯= ； （2）log log m na a nb b m= （a 、0b >且均不为1）． 二、例题讲解例一：（1）计算： 9log 27， 345log 625．（2）求 x 的值：①33log 4x =-； ②()2221log 3211x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-+-=．（3）求底数：①3log 35x =-， ②7log 28x =．例二： 例5．求下列各式的值：（1）()752log 42⨯； （2）5lg 100 ．例三： 计算： （1）lg14-21g 18lg 7lg 37-+； （2）9lg 243lg ； （3）2.1lg 10lg 38lg 27lg -+．三、课堂练习 一、填空题1.计算：log2.56.25＋lg1001＋ln e ＋3log 122+= . 2．若10x=3,10y=4，则102x-y=__________；为表示、用7512log y x ．3．（log 43+log 83）（log 32+log 92）－log 421329log 255+=__________ ．4．若log (21)1x +=-, 则x = ． 5．已知()xf e x =，则f(5)等于 ． 6．如果732log [log (log )]0x =，那么12x -等于________________.7.25)a (log 5-（a ≠0）化简得结果是_____________________．8.已知 ab=M (a>0, b>0, M ≠1), 且logM b=x ，则logM a=________________．9.设(){}1,,lg A y xy =, {}0,,B x y =,且A =B ，则x = ；y =10. 计算：()()5log 22323-+二、选择题11．3log 9log 28的值是 （ ）A ．32 B ．1 C ．23 D ．212．若log 2)](log [log log )](log [log log )](log [log 55153313221z y x ===0，则x 、y 、z 的大小关系是（ ）A ．z ＜x ＜yB ．x ＜y ＜zC ．y ＜z ＜xD ．z ＜y ＜x 13．已知x =2+1,则lo g 4(x 3－x －6)等于（ ）A.23 B.45 C.0D.21 14．已知lg2=a ，lg3=b ，则15lg 12lg 等于（ ）A ．ba ba +++12B ．ba ba +++12C ．ba ba +-+12D ．ba ba +-+1215．已知2 lg(x －2y )=lg x ＋lg y ，则yx 的值为（ ）A ．1B ．4C ．1或4D ．4 或-116．若log a b ·log 3a=5，则b 等于（ ）A ．a 3B ．a 5C ．35D ．5317． 已知ab>0，下面四个等式中，正确命题的个数为 （ ） ①lg （ab ）=lga+lgb ②lgb a =lga －lgb ③bab a lg )lg(212= ④lg （ab ）=10log 1abA ．0B ．1C ．2D ．318．若f （ln x ）=3x +4，则f （x ）的表达式为 （ ）A 3ln xB 3ln x +4C 3e x +4D 3e x三、解答题19. （1）已知32a=，用a 表示33log 4log 6-；（2）已知3log 2a =，35b=，用a 、b 表示 30log 3．20.已知：lg （x －1）+lg （x －2）=lg2，求x 的值21. 已知18log 9,185,ba ==用a,b 表示 36log 4522. 15．（14分）已知函数2()(lg 2)lg f x x a x b =+++满足(1)2f -=-，且对一切实数x ，都有f (x)≥2x 成立，求实数a 、b 的值.课后练习1．下列指数式与对数式互化中错误的一组是 A ． 01e =与ln10= B ．13182-=与811log 23=- C ． 3log 92=与1293= D ．7log 71=与177=2．若b ≠1，则 loga b 等于（ ）。
对数的运算
对数的运算对数运算是高等数学中的一个重要概念，在数学和科学领域起到了广泛的应用。
它是指一个数以另一个数为底的幂，可以用来解决各种实际问题，帮助我们处理和分析复杂的数学关系。
本文将详细介绍对数运算的基本概念、性质以及在实际问题中的应用。
一、对数基本概念1.1 对数的定义对数的定义如下：如果aⁿ⁽˟⁾=b，那么称n为以a为底b的对数，记作n=logₐb，其中a称为底数，b称为真数，n称为对数。
1.2 对数的特性与性质对数有以下几个重要的性质：（1）logₐa=1，即以a为底a的对数为1；（2）logₐ1=0，即以a为底1的对数为0；（3）logₐ(mn)=logₐm+logₐn，即对数的乘法公式；（4）logₐ(m/n)=logₐm-logₐn，即对数的除法公式；（5）logₐ(mᵏ)=klogₐm，即对数的幂运算公式。
二、对数的应用2.1 对数在数学领域的应用对数在数学领域的应用非常广泛，它可以被应用于各个数学分支中。
其中，对数在代数学、微积分学、概率论、数论以及数值计算等方面起到了重要的作用。
在代数学中，对数可以简化复杂的指数运算，使得问题更易于处理和分析。
在微积分学中，对数可以被应用于解决各种复杂的微分方程问题，提供更为便捷的求解方法。
在概率论中，对数可以计算概率的对数，从而简化计算并降低计算量。
在数论中，对数可以帮助研究数与数之间的关系，解决各种数论问题。
2.2 对数在科学领域的应用对数在科学研究中也有重要应用。
例如，在天文学领域，对数可以帮助测定恒星的亮度和距离；在物理学领域，对数可以处理物体的变化趋势和相关性；在化学领域，对数可以计算溶液的浓度和酸碱度。
此外，对数还被广泛应用于数据处理、信号处理、图像处理等领域。
在这些领域中，对数运算可以提高数据的处理效率，并简化复杂性的计算。
2.3 对数在经济领域的应用在经济领域，对数运算也有着重要的应用。
例如，在经济增长模型中，对数可以被应用于计算经济增长速率和预测经济发展趋势。
对数的概念及运算法则
对数的概念及运算法则对数是数学中的一个概念，它表示一个数相对于一些给定的底数的幂。
在日常生活中，对数经常被用来解释指数增长或减少的情况。
首先，对数的定义是：对于给定的正数a（a ≠ 1），将正数x表达为底数a的幂的等式，即x = a^m (m为任意实数)，称m为x的以a为底的对数，记作m =log[底数a](x)，即m = loga(x)。
对数有以下几个重要特点：1.底数必须是一个正数，并且不能等于12.对数函数中x的取值范围为正实数，因为负数和0的对数不存在。
3.对数的结果m可以是任意实数，包括正数、负数和零。
对数具有一些重要的性质和运算法则，下面介绍其中的一些：1.换底公式：对于任意给定的x和任意的正数a、b（a、b≠1），有以下等式成立：loga(x) = logb(x) / logb(a)换底公式可以将一个对数用另一个底数的对数表示，这样在计算和比较对数时更加方便。
2.加减法法则：对于任意给定的正数a、b和任意的正数x、y，有以下等式成立：loga(x * y) = loga(x) + loga(y)loga(x / y) = loga(x) - loga(y)加减法法则可以将对数的乘法和除法分解为对数的加法和减法，简化对数运算。
3.乘方法则：对于任意给定的正数a和任意的正数x和正整数n，有以下等式成立：loga(x^n) = n * loga(x)乘方法则可以将对数中的指数化简为对数本身的乘法。
4.对数的乘法和除法法则：对于任意给定的正数a、b和任意的正数x，有以下等式成立：loga(x^b) = b * loga(x)loga(b^x) = x * loga(b)乘法和除法法则可以将指数中的对数化简为对数本身的乘法或除法。
5.对数的幂次法则：对于任意给定的正数a、b和任意的正数x，有以下等式成立：a^(loga(x)) = x如果a ≠ 1，则loga(a^x) = x幂次法则可以将对数中的幂次化简为原指数。
对数的运算法则及公式
对数的运算法则及公式对数是数学中的一个重要概念，它在科学计算、工程技术、经济金融等领域中都有广泛的应用。
对数的运算法则能够帮助我们简化计算并解决一些复杂的问题。
在本文中，我们将讨论对数的运算法则及公式，包括基本法则和常用公式。
一、对数的基本法则1.对数的定义对任意正数a和正数b，以a为底，b为真数的对数记作loga b，其中a被称为底数，b被称为真数。
公式的意义是以a为底，对数值得到b。
例如，如果2^3 = 8，那么log2 8 = 32.对数的换底公式对数的换底公式是loga b = logc b / logc a，其中a、b、c为正数，且a、b不等于1、这个公式可以用来将对数的底数从一个常用的底数转换为另一个常用的底数。
例如，要计算log2 16，可以使用换底公式将其转换为log10 16 / log10 23.对数的乘法法则对数的乘法法则是loga (b * c) = loga b + loga c，其中a、b、c为正数，且a、b不等于1、这个法则说明，对数中的乘法可以转换为对数的加法。
4.对数的除法法则对数的除法法则是loga (b / c) = loga b - loga c，其中a、b、c为正数，且a、b不等于1、这个法则说明，对数中的除法可以转换为对数的减法。
5.对数的幂法法则对数的幂法法则是loga (bn) = n * loga b，其中a、b为正数，且a、b不等于1，n为任意实数。
这个法则说明，对数中的幂运算可以转换为对数的乘法。
6.对数的倒数法则对数的倒数法则是loga (1/b) = -loga b，其中a、b为正数，且a、b不等于1、这个法则说明，对数中的倒数可以转换为对数的相反数。
7.对数的幂运算法则对数的幂运算法则是a^loga x = x，其中a、x为正数，且a不等于1、这个法则说明，一个数的对数值乘以底数的指数幂等于这个数本身。
二、常用的对数公式1.常用对数公式常用对数公式是以10为底的对数函数，记作lg x。
对数的基本性质和运算公式
对数的基本性质和运算公式对数是数学中非常重要和常用的概念，它在许多领域都有广泛的应用。
对数的基本性质和运算公式包括对数的定义、对数的性质、对数的运算规则以及一些常用的对数公式等。
本文将详细介绍这些基本性质和运算公式。
一、对数的定义：对数是指数运算的逆运算。
设a为一个正实数，b为一个正实数且不等于1，若满足b^x = a，其中x为实数，则称x为以b为底a的对数，记作x = log_b a。
其中，a称为真数，b称为底数，x称为对数。
在对数的定义中，底数和真数的位置可以互换，即x = log_b a等价于 a = b^x。
二、对数的性质：1.对数的定义保证了对数的唯一性，即对于给定的底数和真数，对数是唯一的。
2.对于不同的底数，同一个真数的对数是不同的。
3.当底数为1时，对数不存在，因为1的任何次幂都等于14. 当真数为1时，对数等于0，即log_b 1 = 0。
5.当底数为0时，对数不存在，因为0无法作为一个数的底数。
6.当0<b<1时，对数是负数；当b>1时，对数是正数；当b=1时，对数等于0。
三、对数的运算规则：1.对数的乘法法则：log_b (a * c) = log_b a + log_b c2.对数的除法法则：log_b (a / c) = log_b a - log_b c3.对数的幂法法则：log_b (a^p) = p * log_b a，其中p是任意实数。
这些运算规则可以用来简化对数运算或者将对数转化成乘法和除法的形式。
四、常用的对数公式：1.自然对数和常用对数之间的换底公式：log_b a = log_c a / log_c b，其中b和c是底数。
2.e为底的自然对数：自然对数是以e (自然常数)为底的对数，记作ln(x)。
3.常用对数：常用对数是以10为底的对数，记作log(x)。
4.对数性质的推广：log_b a^n = n * log_b alog_b √(a) = 1/2 * log_b a这些对数公式在计算和解决问题时都有常用的作用。
初中数学知识归纳对数的运算与性质
初中数学知识归纳对数的运算与性质对数是数学中常见的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
在初中数学中，对数的运算与性质是我们必须要掌握的知识点之一。
本文将对初中数学中对数的运算与性质进行详细的归纳总结。
一、对数的定义与基本概念对数的定义：对数是指数运算的逆运算。
设a为正实数，b为正实数且不等于1，若满足b=a^x（a的x次方等于b），则称x为以a为底，以b为真数的对数。
对数的表示：我们用log_a^b表示以a为底，以b为真数的对数，其中a称为底数，b称为真数。
二、对数的运算性质1. 对数运算的特点：（1）对数是单调递增函数，即底数相同时，对数越大，真数也越大。
（2）对数运算的结果为实数，且有无限个解。
2. 对数的运算法则：（1）指数与对数互为逆运算。
即log_a(a^x)=x，a^log_a(x)=x。
（2）对数的乘法法则：log_a(mn) = log_a(m) + log_a(n)（3）对数的除法法则：log_a(m/n) = log_a(m) - log_a(n)（4）对数的幂法法则：log_a(m^p) = p * log_a(m)三、对数的常见性质1. 对数与指数的关系：若a^x=b，则log_a(b)=x，即指数与对数互为逆运算。
2. 对数的底数变换：若log_a(b)=x，则log_c(b)=log_c(a) * x，即对数的底数变化只影响对数的值。
3. 对数与指数的运算：（1）log_a(a)=1，即以a为底的对数a的对数值为1。
（2）log_a(1)=0，即以a为底的对数1的对数值为0。
（3）log_a(a^x)=x，即以a为底，指数为x的幂的对数为x。
四、对数的应用对数在实际生活和各个学科中都有广泛的应用，以下列举一些常见的应用场景：1. 对数在计算机科学中的应用：对数可用于衡量计算机算法的时间复杂度和空间复杂度。
2. 对数在经济学中的应用：对数可用于描述经济指标的增长速度和变化趋势。
知识讲解_对数及对数运算_基础
对数及对数运算要点一、对数概念 1.对数的概念如果()01ba N a a =>≠，且，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作:log a N=b.其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数. 对数式log a N=b 中各字母的取值范围是：a>0 且a ≠1， N>0， b ∈R.2.对数()log 0a N a >≠，且a 1具有下列性质： (1)0和负数没有对数，即0N >； (2)1的对数为0，即log 10a =； (3)底的对数等于1，即log 1a a =.3．两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，N N lg log 10简记作.以e （e 是一个无理数， 2.7182e =⋅⋅⋅）为底的对数叫做自然对数， log ln e N N 简记作.4．对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.由此可见a ，b ，N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化. 要点二、对数的运算法则已知()log log 010a a M N a a M N >≠>，且，、 (1) 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；()log log log a a a MN M N =+推广：()()121212log log log log 0a k a a a k k N N N N N N N N N =+++> 、、、 (2) 两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数；log log log aa a MM N N=- (3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；log log a a M M αα=要点三、对数公式 1．对数恒等式：log log a b Na a Na N Nb ⎫=⇒=⎬=⎭2．换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a ≠1， M>0的前提下有: (1) )(log log R n MM na a n ∈=令 log a M=b ， 则有a b=M ， (a b )n=M n，即nb n M a =)(， 即n a M b n log =，即:na a M M n log log =.(2) )1,0(log log log ≠>=c c aM M c c a ，令log a M=b ， 则有a b =M ， 则有 )1,0(log log ≠>=c c M a c bc即M a b c c log log =⋅， 即a M b c c log log =，即)1,0(log log log ≠>=c c aMM c c a 结论:)1,0,1,0(log 1log ≠>≠>=b b a a ab b a .【典型例题】类型一、对数的概念例1.求下列各式中x 的取值范围：（1）2log (5)x -；（2）(1)log (2)x x -+；（3）2(1)log (1)x x +-． 举一反三：【变式1】函数21log (2)x y x -=+的定义域为 ．类型二、指数式与对数式互化及其应用 例2.将下列指数式与对数式互化： (1)2log 164=；(2)13log 273=-；(3)3x =；(4)35125=；(5)1122-=；(6)2193-⎛⎫= ⎪⎝⎭.举一反三：【变式1】求下列各式中x 的值： (1)161log 2x =- (2)log 86x = (3)lg1000=x (4)2-2ln e x =【变式2】计算：222log 4;log 8;log 32并比较．类型三、利用对数恒等式化简求值 例3．求值： 71log 57+举一反三：【变式1】求log log log a b c b c Na ⋅⋅的值(a ，b ，c ∈R +，且不等于1，N>0)类型四、积、商、幂的对数例4. z y x a a a log ,log ,log 用表示下列各式35(1)log ;(2)log ();(3)log a a a a xy x y z举一反三：【变式1】求值(1)1log 864log 325log 21025-+ (2)lg2·lg50+(lg5)2(3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2类型五、换底公式的运用例5.已知18log 9,185ba ==，求36log 45．举一反三：【变式1】求值：(1))2log 2)(log 3log 3(log 9384++；(2)32log 9log 278⋅；(3)31log 529-.类型六、对数运算法则的应用 例6.求值 (1) 91log 81log 251log 32log 53264⋅⋅⋅(2) 7lg142lg lg 7lg183-+-(3))36log 43log 32(log log 42122++(4)()248125255log 125log 25log 5(log 8log 4log 2)++++举一反三：【变式1】计算下列各式的值 （1）()222lg5lg8lg5lg 20lg 23+++ ；（2）33(lg 2)3lg 2lg5(lg5)++．【变式2】求值：107lg 2lg )21(7⋅。
对数的运算法则及公式
对数的运算法则及公式一、对数的基本概念在数学中，对数是数学运算中的一个重要概念。
对数是指一个数在某个给定的底数下的指数。
换句话说，对数是指数运算的逆运算。
对数通常表示为log，其中log表示对数，底数表示为a，指数表示为x，因此，用数学符号表示为loga x。
对数的底数必须大于0且不等于1，而对数的结果是指数的值。
对数的运算法则和公式是在数学中使用对数进行计算时的基本规则。
二、对数的运算法则1.对数的乘法法则在对数的乘法法则中，当两个对数具有相同的底数时，它们的乘积等于它们的指数之和。
具体地说，如果loga x和loga y是以相同底数a为对数的两个数，那么它们的乘积可以表示为loga (xy)，即loga x + loga y。
例如，如果log₂4和log₂8是以底数2为对数的两个数，那么它们的乘积可以表示为log₂ (4 × 8)，即log₂ 32。
根据对数的乘法法则，log₂ 32可以被写为log₂ 4 + log₂ 8，即2 + 3，结果为5。
2.对数的除法法则在对数的除法法则中，当两个对数具有相同的底数时，它们的商等于它们的指数之差。
具体地说，如果loga x和loga y是以相同底数a为对数的两个数，那么它们的商可以表示为loga (x/y)，即loga x - loga y。
例如，如果log₅25和log₅5是以底数5为对数的两个数，那么它们的商可以表示为log₅ (25/5)，即log₅ 5。
根据对数的除法法则，log₅ 5可以被写为log₅ 25 - log₅ 5，即2 - 1，结果为1。
3.对数的幂法则在对数的幂法则中，一个对数的幂等于它的指数乘以另一个数的对数。
具体地说，如果loga x是以底数a为对数的数，并且b是任意正数，则它们的幂可以表示为loga x^b，即bloga x。
例如，如果log₃2是以底数3为对数的数，并且4是任意正数，那么它们的幂可以表示为log₃2^4，即4log₃2。
对数的基本概念及其运算
4.2.1 对数与对数的运算知识点一、对数的定义如果N a x =0(>a 且)1≠a ，那么数x 叫做______________________，记作___________，其中a 叫做________，N 叫做________．（1）通常将以10为底的对数叫做常用对数，log 10N 可简记为_________． （2）以无理数e )71828.2(⋅⋅⋅为底的对数称为自然对数，log e N 简记为________．知识点二、基本性质（1）真数N 为 (负数和零无对数)；（2）1的对数为 ，即 ；（3）底数的对数为_________，即 ；知识点三、对数恒等式 （1） ；（2）xa a log ＝ 0(>a 且)1≠a ．知识点四、对数的运算法则（1）()MN a log ＝______________； （2）N Malog ＝________________；（3）na M log ＝ (n ∈R)；（4）换底公式：Na log ＝ 0(>a ，1≠a ，0>m ，1≠m ，)0>N ．知识点五、两个常用的推论（1）1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a ；（2）b mnb a na m log log =(a ，0>b 且均不为)1．01log =a 1log =a a N a Na =log一、对数的概念例1、求下列各式中的x 的值． （1）32log 8-=x （2）91log 27=x（3）1)12(log -=-x（4）1)(lg log 3=x （5）0)lg(ln =x （6）4123log =x【举一反三】1、已知m a =2log ，n a =3log ，则=+n m a 2 ．2、计算：=-)5log 9(log 21224 ；=+51log 5log 33)3(3．3、下列各式：（1）0)10lg(lg =；（2）0)lg(ln =e ；（3）若x lg 10=，则10=x ；（5）若21log 25=x ，则5±=x ；其中正确的是 ．例2、在)5(log )2(a b a -=-中，实数a 的取值范围是（ ） A ．25<>a a 或B ．52<<aC ．5332<<<<a a 或D ．43<<a【举一反三】对数式)6(log 2)2(2++---x x x x 中x 的取值范围是 ．二、对数的运算性质及其应用 例3、计算下列各式的值 （1）)381(log 3（2）)lg(lg 2)lg(lg 2100a a +（3）27log 313log 2121log 666+- （4）4log ]18log 2log )3log 1[(66626÷⋅+-（5）)347(log )91(1023)32(14log 3lg 33log 46log 1323--++-+-++【举一反三】1、如果c b a x lg 5lg 3lg lg -+=，那么（ ） A ．c b a x 53-+=B ．cabx 53=C ．53cab x =D ．53c b a x -+=2、已知)2lg(2lg lg b a b a -=+，则ba4log 的值为 ．3、计算=⋅+2lg 50lg )5(lg 2 ；=+⋅+25lg 50lg 2lg )2(lg 2 ．4、计算下列各题 （1）41log 85log 25log 222+- （2）8.1lg 10lg 3lg 2lg -+（3）12lg )2(lg 5lg 2lg )2(lg 222+-+⋅+（4）142log 2112log 487log 222--+（5）)11(log )122(log 21222--++-+x x x x三、 换底公式及其应用例4、求值：)3log 3)(log 2log 2(log 8493++．【举一反三】计算： （1）4log 5log 6log 5677⋅⋅（2）32log 3log 9log 6428⋅例5、已知a =7log 14，b =5log 14，用a ，b 表示28log 35．【举一反三】已知a =9log 18，518=b ，用a ，b 表示45log 36．例6、已知)1(213log 3log >>=+b a a b b a ，求224b a b a ++的值．例7、设),0(,,+∞∈z y x 且z y x 643==，求证： zy x 1211=+．例8、已知λ====n a a a b b b nlog log log 2121，求证：λ=)(log 2121n a a a b b b n．【课后巩固】 一、选择题1．如果log 7［log 3（log 2x ）］＝0，那么21-x 等于（ ）A ．31B ．321C ．221D ．3312．化简)0(525)(log ≠-a a 化简得结果是（ ）A ．－aB ．a 2C ．｜a ｜D ．a3．已知 ab=M (a>0, b>0, M ≠1), 且log M b=x ，则log M a=（ ）A ．1－xB ．1＋xC ．1xD ．x －14．计算=++5lg 2lg 35lg 2lg 33（ ）A ．1B ．3C ．2D ．05．已知23834xy ==，l o g ，则x y +2的值为（ ） A ．3 B ．8 C ．4D ．log 486．设方程(lgx)2－lgx 2－3＝0的两实根是a 和b ，则log a b ＋log b a 等于（ ）A ．1B ．－2C ．－103D ．－47．已知函数f(x)＝2x 2＋lg(x ＋x 2＋1)，且f(－1)≈1.62，则f(1)≈（ ）A ．2.62B ．2.38C ．1.62D ．0.388．已知)(x f 满足：当4≥x 时，x x f )21()(=；当4<x 时，)1()(+=x f x f ．则=+)3log 2(2f （ ）A ．241 B ．121 C ．81D ．839．设0>a ，若对于任意的a x [∈，]2a ，都有a y [∈，]2a ，且3log log =+y x a a ，则（ ）A ．21≤<aB ．2≥aC ．32≤≤a2{，}310．设1x 满足522=+x x ，2x 满足5)1(log 222=-+x x ，则=+21x x （ ）A ．25B ．3C ．27 D ．4二、填空题11．计算log 2.56.25＋lg1001＋ln e ＋3log 122+的值是 ． 12．若10010≤≤x ，则｜3－lg x ｜－4)x lg(x lg 42+-= ． 13．已知)0(9432>=a a ，则=a 32log ． 14．计算=+--22529)25.0(lg log )12(lg log 53．15．若函数)2(log )(22a x x x f a ++=是奇函数，则a 的值是 ． 三、解答题16．已知z y x 643==， （1）求y x 2的值；（2）求证：xz y 1121-=．17．已知m a =18log ，n a =24log ，求5.1log a 的值．18．（1）设正数a ，b ，c 满足222c b a =+，求证：1)1(log )1(log 22=-++++bca a cb ． （2）设024log 21=-⋅-y y y ，1log 5log 5-=⋅x x x ，试问：是否存在一个正整数p ，使得y xP -=1。
数学对数运算
数学对数运算数学对数运算是数学中的一种重要运算方法，它在各个领域都有广泛的应用。
对数运算可以简化复杂的数学问题，使得计算更加方便和高效。
本文将介绍数学对数运算的基本概念、性质以及应用。
一、对数的定义与性质对数是指数运算的逆运算。
设a和b是正数，且a≠1，那么如果满足等式b=a^x，其中x是一个实数，那么x就是以a为底b的对数，记作x=loga(b)。
其中，a称为对数的底数，b称为真数。
对数运算有以下几个基本性质：1. loga(1)=0，即任何数以自身为底的对数都为0；2. loga(a)=1，即任何数以自身为底的对数结果为1；3. loga(a^m)=m，即底数和结果的幂相等时，对数结果等于幂；4. loga(mn)=loga(m)+loga(n)，即底数相同的两个数相乘，对数结果等于各自对数的和；5. loga(m/n)=loga(m)-loga(n)，即底数相同的两个数相除，对数结果等于各自对数的差；6. loga(m^p)=ploga(m)，即对数的幂等于幂的系数乘以对数。
二、常用对数和自然对数常用对数是以10为底的对数，记作log10(x)或者简写为log(x)。
自然对数是以常数e≈2.71828为底的对数，记作ln(x)。
常用对数和自然对数在数学和工程领域中有广泛的应用。
常用对数和自然对数的关系可以用换底公式表示：loga(b)=logc(b)/logc(a)。
其中，a、b、c都是正数，且a≠1，b≠1，c≠1。
三、对数运算的应用1. 对数在数学领域中的应用对数运算在数学中有广泛的应用，例如在指数运算、函数图像、数列等方面。
对数可以简化复杂的指数运算，方便计算和推导。
在函数图像中，对数函数具有特殊的性质，可以描述一些特殊的曲线。
而在数列中，对数可以帮助我们研究数列的增长规律和性质。
2. 对数在科学和工程领域中的应用对数运算在科学和工程领域中有广泛的应用，例如在测量和估算、数据处理和分析、信号处理等方面。
对数的概念及运算法则
对数的概念及运算法则一、对数的概念对数是数学中的一个重要概念，用于描述幂运算的逆运算。
我们知道，幂运算指的是将一个数称为底数，对这个数进行n次连乘，所得的结果称为指数，用表示为a^n。
那么对数就是为了解决这样一个问题：已知指数n和指数运算的结果a^n，如何求得底数a呢？以10为底的对数叫做常用对数，常用对数的符号一般表示为log。
以e（欧拉常数）为底的对数叫做自然对数，自然对数的符号一般表示为ln。
数学定理：当且仅当a＞0且a≠1时，a^x=b就是严格单调函数。
二、对数的含义对数的定义表明，对数是乘法运算的逆运算。
例如，3^2=9可以表示为log_3(9)=2，意味着以3为底，9的对数是2、这个式子表示的意思是：指数2是将3乘以自身后得到9的结果。
因此，通过对数，我们可以将指数问题转化为乘法问题，更容易解决。
三、对数的运算法则对数有一些运算法则，这些法则可用于简化对数的计算。
1. 乘法法则：log_a(m*n) = log_a(m) + log_a(n)这个法则表示，当求两个数的乘积的对数时，可以将这两个数的对数相加。
例如，log_2(8*4) = log_2(8) + log_2(4) = 3 + 2 = 52. 除法法则：log_a(m/n) = log_a(m) - log_a(n)这个法则表示，当求两个数的商的对数时，可以将这两个数的对数相减。
例如，log_10(100/10) = log_10(100) - log_10(10) = 2 - 1 = 13. 幂法则：log_a(m^p) = p * log_a(m)这个法则表示，当求一个数的指数的对数时，可以将指数与对数相乘。
例如，log_3(9^2) = 2 * log_3(9) = 2 * 2 = 44. 换底公式：log_a(n) = log_b(n) / log_b(a)这个法则表示，当求一个数的底为a的对数时，可以将其换算为以任意底b为底的对数。
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第十讲 对数的基本概念及运算 一：问题思考
问题1：一尺之棰，日取其半，万世不竭。
（1）取5次，还有多长？ （2）取多少次，还有0.125尺?
(1)为同学们熟悉的指数函数的模型,易得
(2)可设取x 次,则有
二:新知引入
1. 对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对
数，记作：
，其中叫做对数的底数，
叫做真数。
注意：①是否是所有的实数都有对数呢？
负数和零没有对数
②底数的限制:a>0且a ≠1。
思考：为什么对数的定义中要求底数a>0且a ≠1？
对数的书写格式
2、对数式与指数式的互化
N x N a a x log =⇔=
幂底数 ← a → 对数底数
指数（指数函数的自变量） ← b → 对数 幂（指数函数的函数值） ← N → 真数
3、对数的形式
①常用对数：以10为底的对数
,简记为: lgN
②自然对数：以无理数e=2.71828…为底的对数的对数
简记为: lnN . (在科学技术中,常常使用以e 为底的对数) ③一般对数：（含有常用对数和自然对数）
注意：对数的书写 课堂练习
1 将下列指数式写成对数式： （1）
（2）
（3）
（4）
2 将下列对数式写成指数式： （1） （2）
（3）
3 求下列各式的值： （1）
（2）
2. 对数运算 （1） 基本性质
①0和负数没有对数，即N>0
②1的对数是0，即01log =a ③底数的对数等于1，即1log =a a ④对数恒等式：N a N
a =log
（2） 运算法则
如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 1）N M MN a a a log log )(log +=；
2）N M N
M
a a a
log log log -=； 3
）
∈
=n M n M a n a (log log R ）。
（例题p111，例
4
，计
算:7log 35log )13(3log )9
71(551lg 4321
-+--+-
）
对数计算练习题
一、选择题
1、以下四式中正确的是（ ）
A 、log 22=4
B 、log 21=1
C 、log 216=4
D 、log 2=
2、下列各式值为0的是（ ） A 、1 B 、log 33 C 、（2－）° D 、log 2∣－1∣
3、2
5
1log 2
的值是（ ）
A 、－5
B 、5
C 、
D 、－
二、填空题
1、用对数形式表示下列各式中的x
10x =25：＿＿＿＿； 2x ＝12：＿＿＿＿；4x
=：＿＿＿＿
2、lg1+lg0.1+lg0.01=_____________
3、2log 510＋log 50.25＝_____________
三、解答题
1、求下列各式的值
⑴2log 28 ⑵3log 39 ⑶2
52
log 1 ⑷3
73
log 1
⑴lg10－
5 ⑵lg0.01 ⑶log 2
(8)51
lg12.5lg
lg 82
-+； (2)2lg 2lg 3
111lg 0.36lg 823
+++；
三、对数换底公式：
a
N
N m m a log log log =
（0,1,0,1,0>≠>≠>N m m a a ）
四、两个常用推论
（1）
1
log *log *log log 1log 1log *log ==⇔=a c b a b a b c b a b a b a
（2）b m
n
b a n
a m log log =
上节两道 （a ，b 大于0且均不为1） 【同步练习】 计算题 (1)52log 101
5-= ；
1)
log (3+= ； 765log 6log 5log 4
7= .
(2)已知log 2,log 3a a m n ==，求2m n
a +.
（3）已知632236a
b c ==，求证：123
a b c
+=.
(4)1681log 27log 32； (5)3928(log 2log 2)(log 3log 3)++.
(6)已知3484log 4log 8log log 16m =，求m .
（7）已知lg 2,lg 3a b ==，则lg12
lg15
= . (8)lg 2,lg7a b ==,则8log 9.8= .。