对数的基本概念及运算

第十讲 对数的基本概念及运算 一：问题思考

问题1：一尺之棰，日取其半，万世不竭。 （1）取5次，还有多长？ （2）取多少次，还有0.125尺?

(1)为同学们熟悉的指数函数的模型,易得

(2)可设取x 次,则有

二:新知引入

1. 对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对

数，记作：

，其中叫做对数的底数，

叫做真数。

注意：①是否是所有的实数都有对数呢？

负数和零没有对数

②底数的限制:a>0且a ≠1。

思考：为什么对数的定义中要求底数a>0且a ≠1？

对数的书写格式

2、对数式与指数式的互化

N x N a a x log =⇔=

幂底数 ← a → 对数底数

指数（指数函数的自变量） ← b → 对数 幂（指数函数的函数值） ← N → 真数

3、对数的形式

①常用对数：以10为底的对数

,简记为: lgN

②自然对数：以无理数e=2.71828…为底的对数的对数

简记为: lnN . (在科学技术中,常常使用以e 为底的对数) ③一般对数：（含有常用对数和自然对数）

注意：对数的书写 课堂练习

1 将下列指数式写成对数式： （1）

（2）

（3）

（4）

2 将下列对数式写成指数式： （1） （2）

（3）

3 求下列各式的值： （1）

（2）

2. 对数运算 （1） 基本性质

①0和负数没有对数，即N>0

②1的对数是0，即01log =a ③底数的对数等于1，即1log =a a ④对数恒等式：N a N

a =log

（2） 运算法则

如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 1）N M MN a a a log log )(log +=；

2）N M N

M

a a a

log log log -=； 3

）

∈

=n M n M a n a (log log R ）。（例题p111，例

4

，计

算:7log 35log )13(3log )9

71(551lg 4321

-+--+-

）

对数计算练习题

一、选择题

1、以下四式中正确的是（ ）

A 、log 22=4

B 、log 21=1

C 、log 216=4

D 、log 2=

2、下列各式值为0的是（ ） A 、1 B 、log 33 C 、（2－）° D 、log 2∣－1∣

3、2

5

1log 2

的值是（ ）

A 、－5

B 、5

C 、

D 、－

二、填空题

1、用对数形式表示下列各式中的x

10x =25：＿＿＿＿； 2x ＝12：＿＿＿＿；4x

=：＿＿＿＿

2、lg1+lg0.1+lg0.01=_____________

3、2log 510＋log 50.25＝_____________

三、解答题

1、求下列各式的值

⑴2log 28 ⑵3log 39 ⑶2

52

log 1 ⑷3

73

log 1

⑴lg10－

5 ⑵lg0.01 ⑶log 2

(8)51

lg12.5lg

lg 82

-+； (2)2lg 2lg 3

111lg 0.36lg 823

+++；

三、对数换底公式：

a

N

N m m a log log log =

（0,1,0,1,0>≠>≠>N m m a a ）

四、两个常用推论

（1）

1

log *log *log log 1log 1log *log ==⇔=a c b a b a b c b a b a b a

（2）b m

n

b a n

a m log log =

上节两道 （a ，b 大于0且均不为1） 【同步练习】 计算题 (1)52log 101

5-= ；

1)

log (3+= ； 765log 6log 5log 4

7= .

(2)已知log 2,log 3a a m n ==，求2m n

a +.

（3）已知632236a

b c ==，求证：123

a b c

+=.

(4)1681log 27log 32； (5)3928(log 2log 2)(log 3log 3)++.

(6)已知3484log 4log 8log log 16m =，求m .

（7）已知lg 2,lg 3a b ==，则lg12

lg15

= . (8)lg 2,lg7a b ==,则8log 9.8= .