基本图形在几何问题中的运用

基本图形在几何问题中的运用
平面几何主要研究的是平面图形的形状、大小和相互的位置关系.基本图形指的是学习中的重要定义、公理、定理、推论等所对应的图形.每一个重要的基本图形常常具有相应的综合性，对应多个重要的知识点，掌握基本图形有利于添加辅助线构造基本图形，有利于探求思路拓宽条件．
例1 己知：如图，AB⊥AE于点A，∠AED=120°，∠EDC=30°，求证：AB∥CD
解法1：如图(1)延长AE与CD相交于F．
∵AB⊥AE于A，
∴∠BAE=90°
∵∠AED=∠EFD+∠D，∠AED=120°，∠D=30°
∵∠EFD=90°
∴∠A+∠EFD=180°
∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)
解法2：又如图(2)延长BA、DE交于F．
∵AB⊥AE于A
∴∠FAE=90°
∠AED= ∠FAE+ ∠F
又∠AED=120°
∴ ∠ F =30 °
∵∠ D =30°
∴∠D =∠F
∴AB ∥CD (内错角相等，两直线平行)我们还可以这样
来做：
解法 3：
作直线MN ，分别与B 交于A ，与DC 交于N ．
同(1)可证∠MAB =∠END ，
∴AB ∥CD (同位角相等两直线平行)
例2 己知：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，过D 作直线DE 平行于AC ，又过B 作直线BE 平
行于AD ，两直线交于E ，连结EC ．
求证：S △DCE =S △CAB ．
证明：连结 BD 、AE
∵AC ∥DE ，
∴S △DEC =S △DEA ．
∵AD ∥BE ，
∴S △DAE =S △DAB
∵DC ∥AB ，
∴S △DAB =S △CAB ．
∴S △DCE =S △CAB
这个图形的两条直线平行，由于平行线间的距离相等，所以在平行线中等底上所加的三角形的面积，一定是相等的．这个基本图形能帮助我们解决比较难以找到的等积形式．它对我们今后学习解决面积问题有极大的帮助，希望同学们注意．
例3 在△ABC 中，BE 、CF 分别是∠ABC ，∠ACB 的平分线，AG ⊥BE 于G ，AH ⊥ICF 于H ，求证HG ∥BC ．
分析：两条直线的位置关系：两条直线在同一平面内，有相交与平行两种，相交中的特例：当交角是90°时，两直线垂直．不相交则平行．题目中给了两个重要条件，一个是角平分线，一个是垂直．当一个角被平分以后，有一条直线与角平分线垂直，这就形成了一个基本图形，也就是等腰三角形三线合一的基本图形．根据三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半，因此可以得到HG∥MN．也就是
HG∥BC
证明：延长AH、AG分别与BC交于M、N．
∵BE平分∠ABC，AG⊥BE于G
∴△ABG≌△NBG．则AG=GN.
同理，AH=HM．
∴HG是△AMN的中位线．
∴HG∥MN，即HG∥BC．
例4 已知：如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠CAB，BD⊥AD于D交BC于E．求证：AE=2DB．
证明：延长AC、BD交于F．
∵AD平分∠CAB，
∴∠ 1=∠2．
∴AD⊥BD于D，
∴∠FDA=∠BDA=90°．
又AD=AD，
∴△ADF≌△ADB(ASA)．
∴BD=DF，即BF=2BD．
∵∠ACB=90°，∠ADB=90°∠CEA=∠DEB．
∴∠1=∠3．
在△AEC和△BFC中，
∵∠1=∠3，
AC=BD．
∠ACB =∠BDE ，
∴△AEC ≌△BFC (ASA )．
∴AE =BF ．
∴AE =2BD ．
例5 己知：如图，四边形ABCD 中，∠ACB =∠ADB =90°，M 、N 分别是AB 和CD 的中点，求证：MN ⊥CD ．
证明：连结DM ，CM
∵∠ACB =∠ADB =90°，
AM =MB ．
∴DM =AB ，CM =AB ．
∴DM =CM ．
∵ N 是 DC 中点，
∴ MN ⊥DC
例6 己知：如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，D 为BC 中点，使∠EDF =90°，求证：EF 2 =BE 2 +FC 2 ．
分析：这道题目要求证的是EF 2=BE 2+FC 2，只有在直角三角形中，两条直角边的平方和才等于斜边的平方，所以要构造直角三角形．
证明：延长ED 到G ，使ED =DG ，连结FG ．
∵ D 是BC 中点，BD =DC ，
∠BDE =∠CDG ，
∴△BDE ≌△CDG ．
∴ED =DG ，BE =GC ，
∠B =∠DCG ．
∵FD ⊥EG ．
∵∠A=90°，
∴∠B+∠ACB=90°．
∵∠ACB+∠DOG=90°．
在Rt△FGC中，由勾股定理，得
EF2 =CG2 +CF2
EF2 =BE2 +CF2
这道题启发我们，通过添加辅助线可以把相应的边和角转移到另一个地方去，把分散的条件集中起来，把隐含的条件显现出来，把已知和未知连接起来，这就是添加辅助线的重要目的．具体添加辅助线的方法就要根据题目的已知条件，结合所学的知识去分析、去构造．
例7 (1)如图，△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC，求证：△BED是等腰三角形．
证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2．
∵DE∥BC，
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3．
∴BE=DE．
即△BED为等腰△．
(2)如图，△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB，DE∥BC，求证：DE=BD+EC．
证明：∵BI平分∠ABC，
∴∠1=∠2．
∵DE∥BC，
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3，
同理可证：CE=EI．
又∵DE=DI+EI．
∴DE=BD+EC.
(3)如图，BG、CG分别平分∠ABC和∠ACF，DG∥BC，判断线段DB、EC与DE 有怎样的数量关系?并说明理由．
证明：∵BG、CG分别平分∠ABC、∠ACF，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵DG∥BC，
∴∠2=∠5，∠4=∠GGE
∴∠1=∠5，∠3=∠OGE
∴BD=DG，CE=EG．
∵DE=DG-EG=BD-CE，
即DE=BD-CE
例8 已知：如图，E是正方形ABCD对角线AC上
一点，CE=CB，EF上AC于E，交AB于F，求证：
AE=EF=FB．
证法1：连结CF．
∵ABCD是正方形，
∴∠B=90°，∠CAB=45°．
∵EF⊥AC于E，CE=CB，CE=CF，
∴Rt△CEF≌Rt△CBF．
∴EF=FB．
∴∠AFE=45 °．
∴∠CAB=∠AFE
∵AE=EF
∴AE=EF=FB．
证法2：连结BE
∵ABCD是正方形，
∴∠CBA=90°．
∵∠EAB=45°，
又EF⊥AC于E，
∴∠FEC=90°．
即∠CBA=∠FEC．
又CE=CB．
∴∠1=∠2．
∴∠3=∠4 ∴EF=FB．
又∠EAF=∠EFA=45°，∴AE=EF．
∴AE=EF=FB．
例9 已知：如图，正方形ABCD中，延长AD到E，使DE=AD，延长DE到F，使DF=BD．连结BF交CE于G，交CD于Q，试判断DG与QG相等吗?说明理由．
这道题可以通过计算来证明，但是在计算当中要把握住图形的两个特点：
(1)把握等腰三角形顶角和底角之间的关系．三角形底角=1
2
(180°-顶角)；
(2)第二个要把握三角形外角定理．
解：∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠BDC=∠ADB=∠DBC=45°．
∵BD=DF．
∴∠DBF=∠F．
∴∠DBF+∠F=45°，∠DBF=22．5°．
∴∠DQG=∠BDC+∠DBF=67．5°．
∵AD=DE，AD=DC，
∴DC=DE，∠DCE=45°．
∴∠BDF=135°，∠BGC=22．5°，
∴BC=CG
∴DC=CG．
在△DCG中，∠CDG==67．5°，
∴∠CDG=∠BGC．
∴DG=QG．
在计算的过程当中，等腰三角形的性质：底角= ．三角形一个外角等
于不相临的两个内角和．以及正方形对角线平分一组对角，每个小锐角变成45°．在证明当中起到了十分重要的作用．它使我们再一次能挖掘出基本图形，使我们对问题的分析更加深入，使我们的解题过程更加简捷．。