分式方程及应用初二组

(4) x 2 x 4 x 6 x 8 x1 x3 x5 x7
（ 5 ） x 7 x 9 x 10 x 6 x6 x8 x9 x5
x 1 x 8 x 2 x 7 x2 x9 x3 x8
（6）
（7） 1
1
1
…
1
2
x 10 ( x 1)( x 2) ( x 2)( x 3) ( x 9)( x 10 )
四：解含有字母系数的方程
例 1. 已知 x 2y 3 ，试用含 x 的代数式表示 y，并 3y 2
证明 (3x 2)(3y 2) 13。
变式：1、解关于 x 的方程
（1）
x b
a x
c d
(c
d
0)
； 1
a
1 x
2 b
(b 2a)
（3） . 1 a 1 b (a b) a xbx
x2 x x x2
x2 1
例 3、换元法 （1） x 4x 4 4
x 1 x
(2)、 x 3 1 3 x2 2x （4）
（2） 1
x2
1 7x
6
x2 x2
5x 5 5x 6
（3） x
12
x2
x 1 x
2
0
（4） x 2 5 x 1 10 x 1 x2 5 3
（5）
1
、
题型一:关于增根:将分式方程变形为整式方程, 方程两边同时乘以一个含有未知数的整式,并越 去分母,有时可能产生不适合原分式方程的根, 这种根通常称为增根. 例 1、当 m 为何值时,解方程 2 5 m 会产生
x 1 1 x x2 1
增根?
变式练习： 1.若关于 x 的方程 m 2 1 有增根, 则增根是
（2）已知甲工程每天的施工费用为 0.6 万元， 乙工程队每天的施工费用为 0.35 万元，要使该 工程施工费用最低，甲、乙两队各做多少天（同 时施工即为合作）？最低施工费用是多少万元？
例 1、交叉相乘法
(1)
、
（2） x 1 1 2 ； x2 x2
1 5 x 3x 2
（3）
1 x
x
3
2
（4）
5x x5 0 x3 4x
（5） x 1 2x 0 x 1 1 2x
例 2、化归法 （1） x 1 4 1
x 1 x2 1
(3)、 x 1 2x 1
x 1
x
7 3 1 7 x2
分式方程及应用初二组
分式方程及应用
一：分式方程的定义
分母里含有未知数的方程叫分式方程。
1．分式方程的三个重要特征：①是方程；②含
有分母；③分母里含有未知量。
例 1、下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式
方程
x2 x 23
,43 7 xy
, 2x x 1 10 5
, 1 3 x2 x
, , , x(x 1) 1 x
k 1 1 x2 1 x2 x
k5 有增根
x2 x
x 1,求
k
的
值?
6.若关于 x 的方程 x k2 x 不会产生增根，求 k 的 x 1 x2 1 x 1
值。
7.当
a
为何值时，关于
x
的方程
x
2
2
ax x2
4
Βιβλιοθήκη Baidu
x
3
2
会产生增根？
8.若关于 x 的分式方程 2 1 m 有增根，求 m 的值. x3 x3
x2
的分式方程可以是______________.
变式练习： 1、在 x 0, x 1, x 1中，哪个是分式方程 x3 x 0 的解，
x 1
为什么？
2、关于 x 的方程 2ax 3 3 的解为 x=1,则 a=（ ） ax 4
A、1
B、3
C、－1
D、－
3
3、方程 x 3 y 的整数解有（ x 1
3x x 2
, , , , , x 1 2
2x 1 3x 1
x2 2y z
y 0
1
x
x
5
3
x5
x
x y 5
变式练习：
1、方程 x 3 x 2中，x 为未知量，a,b 为已知数， ab
且 a b ，则这个方程是（
）
A ． 分 式 方 程 B ． 一 元 一 次 方 程
x
1 y
1 2
(1)
1
1
1
(2)
y z 3
1
1
1
(3)
z x 4
（6） 3 (x2 3x) 2 x2 3x
例 4、分组通分法解方程： （1） 1 1 1 1
x2 x5 x3 x4
(2) 1 1 1 1 x7 x4 x5 x6
（3） x 5 x 2 x 3 x 4 x7 x4 x5 x6
变式 1、某商店甲种糖果的单价为每千克 20 元， 乙种糖果的单价为每千克 16 元，为了促销，现 将 10 千克的乙种糖果和一包甲种糖果混合后销 售，如果将混合后的糖果单价定为每千克 17.5 元，那么混合销售与分开销售的销售额相同，这 包甲糖果有多少千克？
变式 2、一个批发兼零售的文具店规定：凡一次 购买铅笔 300 枝以上，（不包括 300 枝），可以按 批发价付款，购买 300 枝以下，（包括 300 枝） 只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔，如果 给八年级学生每人购买 1 枝，那么只能按零售价
=售价-进价，
）。
二、工程类应题 例 1、要在规定的时间内完成某项工程，如果甲 队单独做将拖延10天完成，乙队单独做将拖延 6 天完成，已知甲队始终参加工作，而乙队只参加 了12天工作，结果全部工程提前 4 天完工。求原 来规定的天数。
例 2、在某市南沿海公路改建工程中，某段工程 拟在 30 天内（含 30 天）完成。现有甲、乙两个 工程队，从这两个工程队的资源材料可知：若两 队合作 24 天恰好完成；若两队合作 18 天，甲工 程队再单独做 10 天，也恰好完成。请问； （1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需多 少天？
付款，需用 120 元，如果购买 60 枝，那么可以 按批发价付款，同样需要 120 元， （1） 这个八年级的学生总数在什么范围内？ （2） 若按批发价购买 6 枝与按零售价购买 5 枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少 人？
变式 3、某超级市场销售一种计算器，每个售价 48 元．后来，计算器的进价降低了 4%，但售价 未变，从而使超市销售这种计算器的利润提高了 5%．这种计算器原来每个进价是多少元？（利润
（2）
2、已知 M 2xy y2 x y ，则 M＝__________。 x2 y2 x2 y2 x y
五：增根和无解 分式方程的无解与增根的联系与区别 分式方程化为整式方程后： （1） 若整式方程有解，同时满足分式方程，则
这个解为分式方程的解；若是整式方程的解 但不是分式方程的解，则这个解为分式方程 的增根：若整式方程的所有解都是分式方程 的增根，则原分式方程无解。 （2） 分式方程化为整式方程后，整式方程无解， 则原分式方程无解。 （3） 分式方程化为整式方程后，整式方程有无 数个解，则原分式方程有无数个解。
例 3、A、B 两位采购员同去一家饲料公司购买同 一种饲料两次，两次饲料的价格有变化，但两位 采购员的购货方式不同．其中，采购员 A 每次购 买 1000 千克，采购员 B 每次用去 800 元，而不 管购买饲料多少，问选用谁的购货方式合算？
例 4、某商场销售某种商品，一月份销售了若干 件，共获得利润 30000 元;二月份把这种商品的 单价降低了0.4 元，但是销售量比一月份增加了 5000 件，从而获得利润比一月份多 2000 元，调 价前每件商品的利润为多少元？
x2 2x
2. 若 关 于 x 的 方 程 x 4 k 8无 解 , 则 k 的 值 x3 3x
为
.
3.已知关于 x 的方程 4 kx 5 无解，求 k 的值。 x 4 x2 16 x 4
4. 若 关 于 x 的 方 程 x 2 m2 无 解 , 则 m 的 值
x3
x3
为
.
5. 当 k 取 何 值 时 关 于 X 的 方 程 x 2 x 16k 有 x 2 x 2 x2 4
3.小明通常上学时走上坡路，途中平均速度为 m
千米/时，放学回家时，沿原路返回，通常的速
度为 n 千米/时，则小明上学和放学路上的平均
速度为（ ）千米/时
A、 m n 2
B、 mn mn
C、 2mn mn
D、 m n mn
一、营销类问题 例 1、某校办工厂将总价值为 2000 元的甲种原 料与总价值为 4800 元的乙种原料混合后，其平 均价比原甲种原料每千克少 3 元，比乙种原料每 千克多 1 元，问混合后的单价每千克是多少元？
4.当 a 为何值时, x 1 x 2 2x a 的解是负数? x 2 x 1 (x 2)(x 1)
5.若分式方程 2x a 1的解是正数，求 a 的取值范围. x2
6.关于 x 的方程 x m 1的解大于零, 求 m 的取值范 x2
围.
六：分式应用题
1.某厂接到加工 720 件衣服的订单，预计每天做 48 件，正好按时完成，后因客户要求提前 5 天 交货，设每天应多做 x 件，则 x 应满足的方程为 （）
例 1.(2007 黑龙江) 若关于 x 的分式方程 m 1 2的 x 1
解为正数,求m 的取值范围.
变式：
1.若方程 3 2 有负数根,求 k 的取值范围. x3 xk
2.已知关于 x 的方程 x 2 m 解为正数,求 m 的 x3 x3
取值范围.
3.若方程 1 2 的解为正数,求a 的取值范围 x 1 x a
x2 9 x 3 x 3
多少?产生增根的m 值又是多少?
2. 若方程 k 7 x 4 有增根,则增根为
.
x3
3 x
3. 若关于x的方程 2x a 1 x 1有增根，求a的值。 x 1 x2 x x
4. 若方程 2 3 k 有增根,则 k 的值为
.
x 1 x 1 x2 1
5.若分式方程
C．二元一次方程 D．三元一次方程
2、下列方程中是分式方程的是（
Ax
x
(x
0)
B1 x1 y 1 23 5
） Cx xx
32
D x 1 x 1 1 32
二：分式方程解的概念 例 1：请选择一组 a,b的值， 写出一个关于 x 的 形如 a b 的分式方程， 使它的解是 x＝0 这样
例 2、某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市 场，就用 8 万元购进这种衬衫，面市后果然供不 应求，商厦又用 17.6 万元购进了第二批这种衬 衫，所购数量是第一批购进量的 2 倍，但单价贵
了 4 元，商厦销售这种衬衫时每件定价都是 58 元，最后剩下的 150 件按八折销售，很快售完， 在这两笔生意中，商厦共赢利多少元。
成任务，问计划每天加工服装多少套？
在这个问题中，设原计划每天加工 x 套，则根
据题意可以列方程为（ ）
A、 160 400 18 x (1 20%)x C、 160 400 160 18 x 20%x
B、 160 400 160 18 x (1 20%)X D、 400 400 160 18 x (1 20%)x
A、 720 ─ 720 5 48 x 48
B、 720 5 720
48
48 x
C、 720 720 5 48 x
D、 720 720 =5 48 48 x
2.某服装厂准备加工 400 套运动装，在加工完
160 套后，采用新技术，使得工作效
率比原计划提高了 20%，结果共用了 18 天完
解？
6.关于 x 的分式方程 3 2x 2 mx 1有解，则 m = x3 3x
7.当 p 为何值时, 关于 x 的分式方程 2 4 px 有 x x 1 x(x 1)
根?
题型三:解的正负情况:先化为整式方程,求整式
方程的解
①
若
解
为
正
; x 0
去掉增根正的解
②若解为负
x 0 去掉增根负的解
）组
4、若分式方程 2(x a) 2 的解为 x 3 ,则 a =
.
a(x 1) 5
三：解分式方程的一般方法和步骤 (1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公
分母，把原方程化为整式方程。 (2)解这个整式方程。
(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母， 使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最 简公分母等于零的根是原方程的增根。 解分式方程容易犯的错误有： (1)去分母时，原方程的整式部分漏乘． (2)约去分母后，分子是多项式时， 要注意添括 号．(因分数线有括号的作用） (3)增根不舍掉。
9．若关于 x 的方程 1 k 5 k 1 有增根 x 1，求 k 的 x1 x x2 x x2 1
值。
题型二:分式方程无解①转化成整式方程来解, 产生了增根;②转化的整式方程无解.
例 1、 若关于 x 的分式方程 x a 3 1无解，求 a 的值。 x 1 x
变式练习： 1. (2007 荆门)若方程 x 3 m 无解,求m 的值.