圆锥曲线基本知识-椭圆
圆锥曲线基本知识-椭圆课件
椭圆的法线
法线的定义
法线是与切线垂直的直线。
法线的性质
法线通过切点，且在切点处与曲线的半径平行。
求法线方程
法线的斜率等于曲线上该点处切线的斜率的负倒数。
切线与法线的性质
切线与法线在切点相 交，且它们的斜率互 为负倒数。
切线与法线的长度相 等，即它们都等于该 点到曲线上任意一点 的距离。
切线与法线是相互垂 直的，即它们的夹角 为90度。
无论从哪个角度看椭圆，其形状和大 小都不会改变，因此具有旋转不变性 。
旋转不变性的应用
在几何学、物理学等领域中，旋转不 变性被广泛应用于描述和解释各种现 象。
椭圆的应用举例
天文学
01
行星和卫星的轨道常常是椭圆形，椭圆的性质在研究天体运动
中有重要应用。
工程学
02
桥梁设计、建筑结构、机械零件等领域中，椭圆形状的应用广
05
椭圆的对称性与旋转不 变性
椭圆的对称性
定义
如果一个图形经过某一点旋转 180度后能与原图形重合，则称
该图形为对称图形。
对称性分类
中心对称、轴对称、旋转对称等 。
椭圆的对称性
椭圆既是中心对称图形，也是轴 对称图形，还是旋转不变图形。
椭圆的旋转不变性
定义
椭圆的旋转不变性
如果一个图形绕某点旋转一定的角度 后仍与原图形重合，则称该图形具有 旋转不变性。
泛，如桥梁的承重结构、机械零件的旋转运动等。
物理学
03
在物理学的力学、电磁学等领域中，椭圆的应用也十分常见，
如电子运动的轨迹、振动系统的运动等。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
该方程描述了一个椭圆，其中心位于原点，长轴位于x轴上，短轴位于y轴上。
椭圆知识
圆锥曲线圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。
即：{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。
2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。
即{P|||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。
3. 抛物线：到一个定点和一条定直线的距离相等的动点轨迹叫做抛物线。
4. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。
·圆锥曲线由来：圆，椭圆，双曲线，抛物线同属于圆锥曲线。
早在两千多年前，古希腊数学家对它们已经很熟悉了。
古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。
用垂直与锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。
阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。
·圆锥曲线的参数方程和直角坐标方程：1）直线参数方程：x=X+tcosθ y=Y+tsinθ (t为参数）直角坐标：y=ax+b2）圆参数方程：x=X+rcosθ y=Y+rsinθ (θ为参数)直角坐标：x^2+y^2=r^2 (r 为半径）3）椭圆参数方程：x=X+acosθ y=Y+bsinθ (θ为参数)直角坐标（中心为原点）：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 14）双曲线参数方程：x=X+asecθ y=Y+btanθ (θ为参数)直角坐标（中心为原点）：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (开口方向为x轴）y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1 (开口方向为y轴）5）抛物线参数方程：x=2pt^2 y=2pt (t为参数)直角坐标：y=ax^2+bx+c (开口方向为y轴, a<>0 ）x=ay^2+by+c （开口方向为x轴, a<>0 )圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为ρ=ep/(1-e·cosθ)其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。
圆锥曲线——椭圆(基础知识)
圆锥曲线——椭圆①基础知识：一、 第一定义：平面内 的轨迹叫椭圆。
其中 叫做椭圆的焦点（F 1 F 2）。
叫做椭圆的焦距（|F 1 F 2|）。
★思考：|PF 1|+|PF 2|=|F1F2|时的轨迹是什么？|PF 1|+|PF 2|<|F1F2|时呢？二、 第二定义：平面内 的轨迹叫椭圆。
其中定直线为： 定点为： 定值为： 范围：(0＜e ＜1)。
三、标准方程。
椭圆的标准方程为： 或 （a>b>0）。
注意：标准方程说表示的椭圆及中心在坐标原点、长短轴在坐标轴上的椭圆。
如何判断焦点所在坐标轴：看分母、焦点在分母大的那一轴。
例如：x 24＋y 23＝1 ，两个分母分别为：4、3 。
∵4＞3 又∵4是X 项的分母 ∴焦点在X 轴上。
四、参数方程cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）四、椭圆的简单几何性质。
①、范围。
以焦点在X 轴的椭圆为例：∵ x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) ∴x 2a 2≤1 y 2b2≤1 ∴|x|≤a |y|≤b 即：-a ≤x ≤a -b ≤y ≤b②、对称性。
关于X 、Y 轴成轴对称。
关于原点成中心对称。
③、顶点。
坐标轴和椭圆的四个交点：A 1 、A 2 、B 1 、B 2。
长轴：|A 1A 2| 短轴：|B 1B 2|连接B 、F 。
构成RT △OBF |OB|=b |OF|=c |BF|=a ∴ a 2=b 2+c 2（重要的性质） ④、离心率。
椭圆的离心率：e=ca（0＜e ＜1） e 越大越扁 e 越小越近圆。
⑤、扩展。
通径：过焦点且垂直于长轴。
焦半径：椭圆上一点到椭圆焦点的连线。
焦半径公式：若M （x 0,y 0） |MF 1|=a+ex 0 |MF 2|=a-ex 0★规律及其解题方法提炼：1．椭圆中任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .2．过焦点弦的所有弦长中，垂直于长轴的弦是最短的弦，而且它的长为 把这个弦叫椭圆的通径．3．求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合b 2＝a 2－c 2就可求得e (0＜e ＜1)．BOF4．从一焦点发出的光线，经过椭圆(面)的反射，反射光线必经过椭圆的另一焦点．5．过椭圆外一点求椭圆的切线，一般应用判别式Δ＝0求斜率，也可设切点后求导数(斜率)．6．求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：(1)中心是否在原点，(2)对称轴是否为坐标轴．★解题技巧①、求椭圆的标准方程。
圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义方程和性质知识总结
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2.3. 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。
推导过程：由第二定义得11PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离）， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。
简记为：左“＋”右“－”。
由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。
22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22221y x a b+=。
有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。
双曲线的定义、方程和性质1． 定义（1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。
说明：①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线；若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。
②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。
圆锥曲线基本知识-椭圆课件
2 椭圆的性质
椭圆具有对称性、焦点与直径的对应关系以及两个焦点到任意点的距离之和等于常数。
3 椭圆的离心率和焦点
椭圆的离心率小于1，焦点是椭圆的特定点。
椭圆方程的求解方法
标准式和一般式
椭圆方程可以表示为标准式和一般式，每种形 式适用于不同的问题。
椭圆用于描述椭球、行星 轨道和其他几何问题。
椭圆描述了许多物理现象， 如行星运动和光学问题。
椭圆用于设计汽车、船舶、 建筑和其他工程结构。
椭圆的应用案例分析
椭圆的应用案例分析1
如何使用椭圆创建一个能反射激光的聚焦器。
椭圆的应用案例分析2
如何利用椭圆轨道设计一个高效的卫星通信系统。
椭圆的应用案例分析3
如何使用椭圆的性质解决一个几何优化问题。
总结与展望
1 圆锥曲线的总结
圆锥曲线是数学中重要的研究方向，其中椭圆作为圆锥曲线的一个分支具有广泛的应用。
2 圆锥曲线的拓展应用
除了椭圆，圆锥曲线还有其他形式和应用，例如双曲线和抛物线。
3 圆锥曲线的未来发展趋势
随着科学和技术的进步，圆锥曲线的研究和应用将持续发展。
椭圆方程的求解步骤
通过将已知条件代入椭圆方程，可以得到椭圆 的具体方程。
椭圆的图像表示
椭圆的图像特征
椭圆是一个闭合的曲线，形状类 似于一个拉伸的圆。
椭圆的参数方程
椭圆可以使用参数方程描述其坐 标。
椭圆的极坐标方程
椭圆也可以使用极坐标中的应用 2 椭圆在物理中的应用 3 椭圆在工程中的应用
圆锥曲线基本知识-椭圆 ppt课件
在这个演示文稿中，我们将介绍圆锥曲线中的一个重要分支 - 椭圆。椭圆在数 学、几何学、物理学和工程学中有广泛的应用。
高中圆锥曲线知识点总结全面经典
高中圆锥曲线知识点总结全面经典高中数学椭圆的知识总结：椭圆的定义：椭圆是平面内一个动点P到两个定点F1,F2的距离之和等于常数（PF1+PF2=2a>F1F2）时，动点P的轨迹。
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距。
需要注意的是，若PF1+PF2=F1F2，则动点P的轨迹为线段F1F2；若PF1+PF2<F1F2，则动点P的轨迹无图形。
椭圆的参数方程：当焦点在x轴上时，椭圆的参数方程为{x=a*cosθ。
y=b*sinθ}，其中θ为参数；当焦点在y轴上时，椭圆的参数方程为{x=a*sinθ。
y=b*cosθ}。
椭圆的几何性质：（1）椭圆的范围为- a≤x≤a。
- b≤y≤b；（2）椭圆的焦点为两个焦点(±c,0)；（3）椭圆具有对称性，有两条对称轴x=0,y=0，一个对称中心(0,0)，四个顶点(±a,0),(0,±b)，其中长轴长为2a，短轴长为2b；（4）椭圆的离心率为e=c/a，椭圆的形状由离心率e决定，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。
点与椭圆的位置关系：（1）点P(x,y)在椭圆外部当且仅当a²+b²1.直线与圆锥曲线的位置关系：（1）当Δ>0时，直线与椭圆相交；（2）当Δ=0时，直线与椭圆相切；（3）当Δ<0时，直线与椭圆相离。
例如，直线y-kx-1=0与椭圆5x²+m²=1恒有公共点，当且仅当m²≤5/(1+k²)。
焦点三角形：椭圆上的一点与两个焦点所构成的三角形。
弦长公式：若直线y=kx+b与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1,x2分别为A、B的横坐标，则AB=√(1+k²(x1-x2)²)；若y1,y2分别为A、B的纵坐标，则AB=√(1+(y1-y2)²/k²)；若弦AB所在直线方程设为x=ky+b，则AB=√(1+k²(y1-y2)²)。
高中数学课件圆锥曲线基本知识-椭圆课件.ppt
2024/9/27
15
练习 3
椭圆 4x2 y2 16
长轴长是 短轴长是 离心率是 焦点坐标 准线方程
2024/9/27
16
练习 4
椭圆
x2 y2 1 a8 9
的离心率是0.5，求a的值？
2024/9/27
17
练习 5
假设椭圆x2行于x轴，那么m的
2024/9/27
7
练习 7
过点〔3，-2〕且与椭圆 4x2+9y2=36有相同焦点的 椭圆方程是
2024/9/27
8
练习 8
椭圆x+2 4y 2=36的弦被点〔4， 2〕所平分，那么此弦所在 的直线方程是
2024/9/27
9
练习 9
P(x,y)是椭圆4x2+9y2 =36 上的动点，定点A(a,0) (o<a<3),|AP|的最小值是1， 那么a的值为
P x
(a>b>0)
12
椭圆中的根本元素
长轴：2a 短轴：2b 焦距：2c 离心率：e=
2024/9/27
13
练习 1
过椭圆 4x2 y2 16的一个
焦点F1的直线与椭圆交于A、 B两点，F2为椭圆的另一个焦 点，那么三角形ABF2的周长 是
2024/9/27
14
练习 2
假设方程x2 ky2 2 表示焦 点在y轴上的椭圆，那么实数 k 的取值范围是
2024/9/27
10
椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和 等于常数〔大于|F1F2|〕的点的轨迹 叫做椭圆
到一个定点的距离和它到一条定 直线的距离的比是常数e (0<e<1) 的点的轨迹叫做椭圆
(完整版)《圆锥曲线》主要知识点
圆锥曲线与方程知识要点一、椭圆方程. 1、椭圆的定义：平面内与两个定点尸卜F 2,点P 满足IP 用+1尸/2∣=2α>2∣,则点P 的轨迹是 平面内与两个定点尸八F 2,点尸满足IP 居|+|Pq=2z=∣FE ∣,则点尸的轨迹是 平面内与两个定点尸I 、F 2,点P 满足IPFJ+1PKI=2〃<忻八|，则点P 的轨迹是 2X 2V 2若户是椭圆：-τ+J=I 上的点为焦点，若NF1P 户产氏则AT//2的面积为ab3、点与椭圆、直线与椭圆的位置关系9 2⑴点Pa0,比)与椭圆E+g=1(α>b>0)的位置关系：①点尸在椭圆上O;②点P 在椭圆内部=;③点P 在椭圆外部Q.(2)直线尸履+〃?与椭圆，+方=1(α>Z>O)的位置关系判断方法:消y 得一个一元二次方程是： _____________________________________________________v（3）弦长公式：设直线方程为），=履+加（%0）,椭圆方程为/+方=1（α>b>0）或方+∕=1（α>b>0）,直线与椭圆的两个交点为A（X1，yι）,3（X2，）力则∣A8∣=N（为一7）2+（小一”）2,Λ∖AB∖=7（X1X2）2+（如一g）2=<1+F∙d（X1-X2）2=y∣I+*7（X1+切）4_¥1囚，或HB1=d（i>1⅛2）+（上_1）2=[]+、•'（%_"）2=^1+.XJ（>1+>2）2_领/其中，即+“2,汨M 或“+”，V”的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y或X后得到关于X或y的一元二次方程得到.2 2（4）直线/：y=Ax+m与椭圆：二+与=1（α>/?>0）的两个交点为Aa1，y）,8（如力），a'b~弦A8的中点M（X0，州），则2=（用X0,州表示）二、双曲线方程.1、双曲线的定义：平面内与两个定点尸I、F2,点尸满足归/JTPgh2々<囚尸21则点尸的轨迹是平面内与两个定点尸卜尸2，点尸满足仍PJTPW=2α>巴川，则点P的轨迹是平面内与两个定点尸1、尸2，点P满足归尸]|-|尸/』=2〃=|尸尸小则点P的轨迹是21等轴双曲线：双曲线“2_,2=±『称为等轴双曲线，其渐近线方程为,离心率《=2 2（2）共渐近线的双曲线系方程：二-1?=”之0°）的渐近线方程为_________________a~Zr如果双曲线的渐近线为±±2=0时，它的双曲线方程可设为 ____________________ .ab(3)从双曲线一个焦点到一条渐近线的距离等于.3、直线与双曲线的位置关系r2V2(1)一般地，设直线/：y=kxΛ-m……①双曲线C：^-p=1(α>O,bX))……②把①代入②得关于X的一元二次方程为.①当〃一"仆=O时，直线/与双曲线的渐近线,直线与双曲线C.②当/一/炉和时，/>0=直线与双曲线有公共点，此时称直线与双曲线:/=0=直线与双曲线有公共点，此时称直线与双曲线：/<0=直线与双曲线公共点,此时称直线与双曲线.注意：直线和双曲线只有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点.AB的中点M(xo>h)，则A=(用必，yo表示)三、抛物线方程.1、抛物线的定义平面内与一个定点尸和一条定直线/(不经过点F)的点的轨迹叫做抛物线.点尸叫做抛物线的,直线/叫做抛物线的.思考1：平面内与一个定点F和一条定直线/(/经过点F),点的轨迹是2、抛物线的性质:3、抛物线的焦点弦的性质1.如图，A8是抛物线y2=2pMp>0)过焦点尸的一条弦，设Aa∣,》)、8(及，工)，AB的中点MX°，并)，相应的准线为/.(1)以AB为直径的圆必与准线/的位置关系是:(2)HB1=(焦点弦长用中点M的坐标表示)；(3)若直线AB的倾斜角为α,则∣A8∣=(焦点弦长用倾斜角为α表示)；如当α=90。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结（一）——椭圆2、典型题型题型1：椭圆的定义的应用例1、命题甲：动点P 到两定点A 、B 的距离之和常数）,0(2 a a PB PA ；命题乙：P 点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的 （ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充分且必要条件 D 、既不充分也不必要条件 规律总结：变式训练1、已知两定点21F F 、，且1021 F F ,动点P 分别满足下列条件时的轨迹是什么？（1）1021 PF PF （2）1621 PF PF （3）621 PF PF变式训练2、已知动圆P 过定点A （-3,0），并且在定圆B ：64)3(22y x 的内部与定圆相切，则动圆的圆心P 的轨迹是（ ）A 、线段B 、直线C 、圆D 、椭圆变式训练3、已知椭圆1162522 y x 上一点P 到某一焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为 。
变式训练4、椭圆1162522 y x 的左右焦点分别为21F F 、，经过右焦点的直线交椭圆于A 、B 两点，则三角形AB 1F 的周长为 。
题型2：求椭圆的标准方程（方法 ） 例2、求满足下列条件下的椭圆的标准方程（1）满足方程22)2(y x +22)2(y x =10的点的轨迹。
（2）以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P （3,0）；（3）两个焦点的坐标分别为（-4,0）和（4,0），且椭圆经过点（5,0）；（4）焦点在y 轴上，且经过两个点（0,2）和（1,0）；（5）焦点在坐标轴上，且经过点A （3，-2）和B （-23，1）；（6）与椭圆92x +42y =36有共同焦点，且经过点（2，-3）；（7）在x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8。
规律与方法：题型3：椭圆标准方程的形式特征例3、设曲线方程为15222 my m x ，求曲线为椭圆时，m 的取值范围是 。
变式训练1：已知方程192522 m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 。
圆锥曲线与方程基本知识概要
圆锥曲线与方程基本知识概要2.1 椭 圆一．椭圆及其标准方程1．椭圆的定义（第一定义）：平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。
这里两个定点F 1，F 2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。
2．标准方程：①焦点在x 轴上：12222=+by a x （a ＞b ＞0）； 焦点F （±C ，0）②焦点在y 轴上：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）； 焦点F （0, ±C ）这里椭圆 c ²=a²-b²注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22b a c -=并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。
二．椭圆的简单几何性质： 1.范围（1）椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0） 横坐标-a ≤x ≤a ,纵坐标-b ≤x ≤b（2）椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0） 横坐标-b ≤x ≤b,纵坐标-a ≤x ≤a2.对称性椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点（1）椭圆的顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ）（2）线段A 1A 2，B 1B 2 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4．离心率（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比a c 称为椭圆的离心率，用e 表示，即e=ac（0＜e ＜1）因为a ＞c ＞0，所以0＜e ＜1。
高中数学 圆锥曲线
高中数学知识点大全—圆锥曲线1、椭圆：（1）轨迹定义：①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。
用集合表示为：；②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。
其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。
用集合表示为：；（2）标准方程和性质：注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
（3）参数方程：（θ为参数）；3、双曲线：（1）轨迹定义：①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。
用集合表示为：②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。
其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。
用集合表示为：（2）标准方程和性质：注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
3、抛物线：（1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。
用集合表示为：（2）标准方程和性质：①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致；③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像；二、复习点睛：1、平面解析几何的知识结构：2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。
则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。
3、椭圆形状与e的关系：当e→0，c→0，椭圆→圆，直至成为极限位置的圆，则认为圆是椭圆在e=0时的特例。
当e→1，c→a椭圆变扁，直至成为极限位置的线段，此时也可认为是椭圆在e=1时的特例。
4、利用焦半径公式计算焦点弦长：若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB，A、B两点的坐标分别为，则弦长这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想。
圆锥曲线的知识点、结论、易错点、真题
圆锥曲线的知识点、结论、易错点、真题(⼀)椭圆及其标准⽅程1. 椭圆的定义：椭圆的定义中，平⾯内动点与两定点1F 、2F 的距离的和⼤于|1F 2F |这个条件不可忽视.若这个距离之和⼩于|1F 2F |，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F 2F |，则动点的轨迹是线段1F 2F .2.椭圆的标准⽅程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0），12222=+bx a y （a ＞b ＞0）.3.椭圆的标准⽅程判别⽅法：判别焦点在哪个轴只要看分母的⼤⼩：如果2x 项的分母⼤于2y 项的分母，则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y 轴上.4.求椭圆的标准⽅程的⽅法：⑴正确判断焦点的位置；⑵设出标准⽅程后，运⽤待定系数法求解. (⼆)椭圆的简单⼏何性质1. 椭圆的⼏何性质：设椭圆⽅程为12222=+by a x （a ＞b ＞0）.⑴范围： -a ≤x ≤a ，-b ≤x ≤b ，所以椭圆位于直线x=a ±和y=b ±所围成的矩形⾥.⑵对称性：分别关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中⼼对称.椭圆的对称中⼼叫做椭圆的中⼼. ⑶顶点：有四个1A （-a，0）、2A （a ，0）1B （0，-b ）、2B （0，b ）.线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.⑷离⼼率：椭圆的焦距与长轴长的⽐ace =叫做椭圆的离⼼率.它的值表⽰椭圆的扁平程度.0＜e ＜1.e 越接近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第⼆定义⑴定义：平⾯内动点M 与⼀个顶点的距离和它到⼀条定直线的距离的⽐是常数ace =（e ＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.⑵准线：根据椭圆的对称性，12222=+by a x （a ＞b ＞0）的准线有两条，它们的⽅程为c a x 2±=.对于椭圆12222=+b x a y （a ＞b ＞0）的准线⽅程，只要把x 换成y 就可以了，即c a y 2±=.3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意⼀点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.设1F （-c ，0），2F （c ，0）分别为椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右两焦点，M （x ，y ）是椭圆上任⼀点，则两条焦半径长分别为ex a MF +=1，ex a MF -=2.椭圆中涉及焦半径时运⽤焦半径知识解题往往⽐较简便.椭圆的四个主要元素a 、b 、c 、e 中有2a =2b +2c 、ac e =两个关系，因此确定椭圆的标准⽅程只需两个独⽴条件.4.椭圆的参数⽅程椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的参数⽅程为cos sin x a y b θθ=??=?（θ为参数）.说明: ⑴这⾥参数θ叫做椭圆的离⼼⾓.椭圆上点P 的离⼼⾓θ与直线OP 的倾斜⾓α不同：θαtan tan ab=；⑵椭圆的参数⽅程可以由⽅程12222=+by a x 与三⾓恒等式1sin cos 22=+θθ相⽐较⽽得到，所以椭圆的参数⽅程的实质是三⾓代换. 椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数⽅程是cos sin x a y b θθ=??=?. 5.椭圆的的内外部（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ?+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的外部2200221x y a b+>. 6. 椭圆的切线⽅程(1)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上⼀点00(,)P x y 处的切线⽅程是00221x x y y a b +=.（2）过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外⼀点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦⽅程是00221x x y y a b +=.（3）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c +=(三)双曲线及其标准⽅程1.双曲线的定义：平⾯内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （⼩于|1F 2F |）的动点M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a ＜|1F 2F |，这⼀条件可以⽤“三⾓形的两边之差⼩于第三边”加以理解.若2a=|1F 2F |，则动点的轨迹是两条射线；若2a ＞|1F 2F |，则⽆轨迹.若1MF ＜2MF 时，动点M 的轨迹仅为双曲线的⼀个分⽀，⼜若1MF ＞2MF 时，轨迹为双曲线的另⼀⽀.⽽双曲线是由两个分⽀组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.2. 双曲线的标准⽅程：12222=-b y a x 和12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）.这⾥222a c b -=，其中|1F 2F |=2c.要注意这⾥的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准⽅程判别⽅法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不⼀定⼤于b ，因此不能像椭圆那样，通过⽐较分母的⼤⼩来判断焦点在哪⼀条坐标轴上.4.求双曲线的标准⽅程，应注意两个问题：⑴正确判断焦点的位置；⑵设出标准⽅程后，运⽤待定系数法求解.(四)双曲线的简单⼏何性质1.双曲线12222=-by a x 的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，离⼼率a c e =＞1，离⼼率e 越⼤，双曲线的开⼝越⼤.2. 双曲线12222=-by a x 的渐近线⽅程为x a b y ±=或表⽰为02222=-b y a x .若已知双曲线的渐近线⽅程是x nmy ±=，即0=±ny mx ，那么双曲线的⽅程具有以下形式：k y n x m =-2222，其中k 是⼀个不为零的常数.3.双曲线的第⼆定义：平⾯内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的⽐是⼀个⼤于1的常数（离⼼率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线12222=-by a x ，它的焦点坐标是（-c ，0）和（c ，0），与它们对应的准线⽅程分别是ca x 2-=和c a x 2=.双曲线22221(0,0)x y ab a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.4.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ?-<. 5.双曲线的⽅程与渐近线⽅程的关系(1）若双曲线⽅程为12222=-by a x ?渐近线⽅程：22220x y a b -=?x a by ±=.(2)若渐近线⽅程为x a by ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222by a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.6. 双曲线的切线⽅程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上⼀点00(,)P x y 处的切线⽅程是00221x x y y a b -=.（2）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外⼀点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦⽅程是00221x x y y a b -=.（3）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c -=.(五)抛物线的标准⽅程和⼏何性质1．抛物线的定义：平⾯内到⼀定点（F ）和⼀条定直线（l ）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。
圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义、方程和性质知识总结
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b x a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围 x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率 )10(<<=e ace )10(<<=e ace 准线2a x c=±2a y c=±参数方程与普通方程22221x y a b +=的参数方程为 ()cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数 22221y x a b +=的参数方程为 ()cos sin y a x b θθθ=⎧⎨=⎩为参数3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)知识点总结
双曲线知识点一、 双曲线的定义：1. 第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长〔＜|F 1F 2|〕的点的轨迹〔21212F F a PF PF <=-〔a 为常数〕〕这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：〔1〕距离之差的绝对值.〔2〕2a ＜|F 1F 2|.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.2. 第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程：12222=-b y a x 〔a ＞0，b ＞0〕(焦点在x 轴上)；12222=-bx a y 〔a ＞0，b ＞0〕(焦点在y 轴上)；1. 如果2x 项的系数是正数，那么焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，那么焦点在y 轴上. a 不一定大于b.2. 与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x 3. 双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 例题：双曲线C 和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。
三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线：点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ⇔-<点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上220022-=1x y a b ⇔2 直线与双曲线：〔代数法〕设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b1) 0m =时，b bk a a-<<直线与双曲线交于两点〔左支一个点右支一个点〕；b k a ≥，bk a≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点；2) 0m ≠时，k 存在时，假设0222=-k a babk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；假设2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-0∆>时，22220m b a k +->，直线与双曲线相交于两点； 0∆<时，22220m b a k +-<，直线与双曲线相离，没有交点；0∆=时22220m b a k +-=，2222m b k a +=直线与双曲线有一个交点；假设k 不存在，a m a -<<时，直线与双曲线没有交点； m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点； 3. 过定点的直线与双曲线的位置关系：设直线:l y kx m =+过定点00(,)P x y ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x1).当点00(,)P x y 在双曲线内部时：b bk a a-<<，直线与双曲线两支各有一个交点； a bk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；b k a >或bk a<-或k 不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；2).当点00(,)P x y 在双曲线上时：bk a =±或2020b x k a y =，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点〔左支一个点右支一个点〕； 2020b x k a y >〔00y ≠〕或2020b x bk a a y << 〔00y ≠〕或b k a <-或k 不存在，直线与双曲线在一支上有两个交点；当00y ≠时，bk a =±或k 不存在，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b k a >或bk a <-时直线与双曲线的一支有两个交点；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点〔左支一个点右支一个点〕； 3).当点00(,)P x y 在双曲线外部时： 当()0,0P 时，b bk a a -<<，直线与双曲线两支各有一个交点； b k a ≥或bk a≤或k 不存在，直线与双曲线没有交点；当点0m ≠时，k =时，过点00(,)P x y 的直线与双曲线相切 bk a=±时，直线与双曲线只交于一点；几何法：直线与渐近线的位置关系例：过点(0,3)P 的直线l 和双曲线22:14y C x -=，仅有一个公共点，求直线l 的方程。
《圆锥曲线》第一章基础知识篇
Word-可编辑圆锥曲线目录共分成四大章: 基础知识篇, 技巧套路篇, 题型结论篇, 极点极线篇第一章基础知识篇 .4§1椭圆 .41.1 椭圆的定义(和比积) .41.2 椭圆的方程 .61.3 椭圆的基本参数 .8方程和基本参数 10第一定义 10离心率 .11参数方程 . 12构造椭圆解题 .14综合题 . 15§2双曲线 .232.1 双曲线的定义(和比积) .232.2 双曲线的方程 . 242.3 双曲线的基本参数 .25第一定义 . 26方程和基本参数 .28通径 . 30离心率 .31千里之行，始于足下渐近线 .33渐近线勾股三角形 . 34渐近线与焦点圆的交点 . 40构造双曲线解题 . 41综合题 . 432.4 等轴双曲线 . 492.5 双曲线的渐近线专题 . 53渐近线的常用性质四条 . 53渐近三角形 . 61§ 3 离心率专题 . 653.1 离心率 vs 定值 . 65直译型 . 65直接利用定义 691先补焦点再利用第一定义 .75利用平几知识 .81算两次 .93用尺子量 .96和抛物线混合 .97点差法相关 .99其他类型 .993.2 离心率 vs 范围 104朽木易折，金石可镂利焦半径的有界性 104利用椭圆双曲线坐标的有界性 107双曲线的渐近线 109米勒定理 .110其他类型 .112§4焦点三角形专题 1264.1 椭圆的焦点三角形 . 126面积公式(算多次) . 126张角最大与拓展 129焦点三角形 vs 正弦定理 133焦点三角形 vs 角平分线定理 . 135椭圆焦点三角形外接圆与内切圆的半径比 . 136 4.2 双曲线的焦点三角形 137面积公式(算多次) 137焦点三角形 vs 内切圆(包括相关平几知识补充) 140双焦点三角形 vs 内切圆 1434.3 椭圆焦点三角形的内心和旁心轨迹 1444.4 双曲线的内心轨迹 146§5圆锥曲线的光学性质 1495.1 光学性质 1495.2 焦点在圆雉曲线切线上的射影轨迹 1545.3 以圆雉曲线焦半径为直径的圆 162千里之行，始于足下5.4 光学性质的拓展二 164§6焦半径专题(第二定义) 1676.1 焦半径的代数式 . 1676.2 焦半径的极坐标式 . 1736.3 最短的焦点弦一通径? . 1736.4 焦半径和椭圆的短轴圆 .1746.5 以焦半径为直径的圆 . 1776.6 以焦点弦为直径的圆 . 1786.7 焦半径 vs 焦点弦的综合题 . 178§7 第一二定义与距离和最短 1837.1 三点共线(利用第一定义转化) 1837.2 垂线段最短(利用第二定义转化) 186§ 8 抛物线 .1888.1 抛物线的定义 .1888.2 抛物线的基本参数 .188方程的求解 .189定义的应用 . 191点、直线、抛物线模型 . 195酒杯小球 . 196罗列组合 .200综合题 .2018.3 抛物线的定长动弦 .207朽木易折，金石可镂8.4 抛物线的焦点弦模型 .2108.5 抛物线的点差法一一中点斜率公式 .2198.6 抛物线的等比性质和取负替换性质 .226斜率比值 .2298.7 抛物线的定点三角形面积公式 .2318.8 抛物线的两点式直线方程 .2348.9 抛物线的切线专题(极点极线) .2498.10 抛物线两条切线的交点一双切线模型 .2528.11 阿基米德三角形 .264第一章基础知识篇§1椭圆1.1 椭圆的定义(和比积)1. 第一定义之“和”平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2F (大于|F1F2| ) 的点的轨迹; 其中,两个定点称做椭圆的焦点, 焦点间的距离叫做焦距.椭圆方程的推导设F(F,F)是椭圆上随意一点,焦点F1(−F,0)和F2(F,0) ,由上述椭圆的定义可得: √(F+F)2+F2+√(F−F)2+F2=2F ,将这个方程移项,两边平方得: F2−FF=F√(F−F)2+F2 ,两边再平方, 收拾得: F2F2+F2F2=1(F>F>0) .注 (1) 2F>|F1F2|表示椭圆; (2) 2F=|F1F2|表示线段F1F2 ; (3) 2F<|F1F2|不存在轨迹.千里之行，始于足下2. 第二定义之 “比”平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数 F (0<F <1) 的点的轨迹,其中,定点为焦 点,定直线叫做准线,常数 F 叫做离心率.椭圆方程的推导 设 F (F ,F ) 是椭圆上随意一点,定点为 F 1(−F ,0) ,定直线为 F =F 2F,常数 F =FF ,由 上述椭圆的定义可得:√(F −F )2+F 2|F 2F−F |=FF ,直译变形即可.例 在平面直角坐标系中,若方程 F (F 2+F 2+2F +1)=(F −2F +3)2 表示的曲线为椭圆,则 F 的取值范 围是 ( ) .A. (0,1)B. (1,+∞)C. (0,5)D. (5,+∞) 答案 选 D.解 将方程变形为:√F 2+(F +1)2|F −2F +3√1+4|=√5F ,此式可看成动点 (F ,F ) 到定点 (0,−1) 与到直线F −2F +3=0 的距离之比为 √5F,按照椭圆的定义,只须 √5F<1 即可.3. 第三定义之 “积”已知坐标轴上关于原点对称的两个定点,那么,到这两定点连线的斜率之积为定值 F 2−1(0<F <1) 的点 的轨迹是椭圆,其中,定点为短轴或长轴顶点. 【求轨迹的话,得去掉两个定点 ! 】椭圆方程的推导 设 F (F ,F ) 是椭圆上随意一点,两个定点为 F 1(−F ,0)、F 2(F ,0) ,定直线为 F =F 2F, 常数 F =FF ,由上述椭圆的定义可得: 将 F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0) ,变形成F 2(F −F )(F +F )=−F 2F 2 ,于是可得,椭 圆上动点到两顶点 (−F ,0)、(F ,0) 的连线的斜率之积等于常数.注 这个定义有 bug, 可以不必深究, 你只需要清晰地知道, 第三定义实质是对称点点差法的一个特 例而已, 后面的双曲线也是类似!朽木易折，金石可镂例 (1)已知圆 (F +2)2+F 2=36 的圆心为 F ,设 F 为圆上任一点,且点 F (2,0) ,线段 FF 的垂直平分 线交 FF 于点 F ,则动点 F 的轨迹是 ( ) .A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线(2)已知圆 (F +2)2+F 2=1 的圆心为 F ,设 F 为圆上任一点,且点 F (2,0) ,线段 FF 的垂直平分线交 FF 于点 F ,则动点 F 的轨迹是 ( ) .A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线 答案 (1) 选 B; (2)选 C.例 (1) 已知 △FFF 的顶点 F 、F 在椭圆 F 23+F 2=1 上,顶点 F 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一 个焦点在 FF 边上,则 △FFF 的周长是 ( ) .A. 2√3B. 6C. 4√3D. 12(2)(2023年年 四川文理)如图,把椭圆 F 225+F 216=1 的长轴 FF 分成 8 分,过每个分点作 F轴的垂线交椭圆的 上半部分于 F 1、F 2、⋯、F 7 七个点, F 是椭圆的一个焦点,则 |F 1F |+|F 2F |+⋯+|F 7F |= .答案 (1) 选 C; (2)35.解 (1) 利用定义易得 △FFF 的周长是 4F =4√3 . (2) 构造另一个焦点, 利用对称性, 或倒序相加!1.2 椭圆的方程1. 椭圆的标准方程 {F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0)⇔中心在原点,焦点在F 轴上;F2F 2+F 2F 2=1(F >F >0)⇔中心在原点,焦点在F 轴上.千里之行，始于足下例 (1) 已知椭圆F 2F+F 217=1 的焦距为 8,则这个椭圆的方程是 (2) 已知椭圆方程 F 24+F 2F=1 的离心率 F =√33,则 F =解 (1) F >17⇒F =33;F <17⇒F =1 ; (2) 4>F ⇒F =83;4<F ⇒F =6 . 例 (2023年年 湖北理) 设集合 F ={(F ,F )| F 24+F 216=1},F ={(F ,F )∣F =3F } ,则 F ∩F 的子集的个数是 ( ) .A. 4B. 3C. 2D. 1 解 两个交点, 故选 A.例 若方程 (9−F )F 2+(F −4)F 2=1 表示椭圆,则实数 F 的取值范围是 解 4<F <9 且 F ≠132 .2. 椭圆的参数方程 {F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0)⇔{F =F cos FF =F sin F ;F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0)⇔{F =F cos F F =F sin F. 注 (1) 参数方程中的参数 F 不是所谓的 “椭圆心角”,而是物理上的离心角,可结合离心率理解; 同时, 要和圆的参数方程中的圆心角分开.(2) 椭圆的参数方程 vs 标准方程椭圆的参数方程在数据计算上偶尔会有很大的优势, 尤其是求解最值、相关参数的范围判断等相关题 型; 同时, 后面在 “直线与圆锥曲线” 和 “圆锥曲线与圆锥曲线” 章节, 还会有相关的串讲应用.例 (1)求椭圆 F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0) 的内接矩形的面积及周长的最大值. (2) 设点 F (F ,F ) 在椭圆 F 216+F 29=1 ,试求点 F 到直线 F +F −5=0 的距离 F 的最大值和最小值.答案 (1) F max =2FF ,F max =4√F 2+F 2 ; (2) F min =0,F max =2 .朽木易折，金石可镂3. 椭圆的普通式方程 FF 2+FF 2=1(F >0,F >0,F ≠F ) 【括号中的限制亦是 “充要条件” 1 注 (1) 焦点的位置判断 当 F <F 时,焦点在 F 轴上; 当 F >F 时,焦点在 F 轴上.(2) 使用技巧 在求椭圆的标准方程时, 偶尔不知道焦点在哪一个坐标轴上, 此时, 可尝试使用椭圆的 普通式方程,利用用待定系数法求出 F 、F 的值即可; 椭圆的普通式方程可有效的避免焦点位置的分类讨 论, 同时, 也可以简化运算.例 (1) 倘若方程 F 2+FF 2=2 表示焦点在 F 轴上的椭圆,那么实数 F 的取值范围是 (2) 已知方程 (2−F )F 2+FF 2=2F −F 2 表示焦点在 F 轴上的椭圆,则实数 F 的取值范围.答案 (1) (0,1) ; (2) 当 2F −F 2≠0 时,有 F 2F +F 22−F =1 . 因为方程表示焦点在 F 轴上的椭圆,所以 F >2−F >0 ,即 1<F <2 . 故实数 F 的取值范围是 1<F <2 .例 (1) 求过两点 (2,−√2),(−1,√142) ,中央在原点,焦点在坐标轴上的椭圆的方程. (2) 求过两点 F 1(√6,1),F 2(−√3,−√2) ,中央在原点,焦点在坐标轴上的椭圆的方程. 答案 (1) F 28+F 24=1 ; (2) F 29+F 23=1 .4. 椭圆的定义式方程(1)第一定义: √(F +F )2+F 2+√(F −F )2+F 2=2F ; (2)第二定义:√(F −F )2+F 2|F 2F−F |=FF .注 因为有些题目会给出此类定义方程作为条件, 因此, 要熟知其中的参数含义, 并能疾驰转化为标 准方程.5. 椭圆的极坐标方程 见后面 “圆雉曲线之极坐标方程” 的章节!6. 同离心率式的椭圆方程注重一点即可,即离心率相同,但焦点可以在不同的坐标轴; 因此,和椭圆 F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0) 有相 同离心率的椭圆方程可设为: F 2F 2+F 2F 2=F (F >0) 或 F 2F 2+F 2F 2=F (F >0) .千里之行，始于足下例 (1) 求和椭圆 9F 2+F 2=81 有相同离心率且过点 (3,9) 的椭圆方程.(2) 求和椭圆F 2225+F 2125=1 有相同离心率且通径 (过焦点且垂直于长轴的直线与椭圆所交的线段) 长等 于 5 的椭圆方程.(3) 求和椭圆 F 24+F 2=1 有相同离心率,且与直线 3F +2√7F −16=0 相切的椭圆方程. 答案 (1) F 218+F 2162=1 ; (2) 4F 281+4F 245=1 ; (3) 设所求椭圆方程为 F 24+F 2=F (F >0) ,解得F =4 ,故所 求椭圆方程为 F 216+F 24=1 .7. 共焦点式的椭圆方程和椭圆 F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0) 有相同焦点的椭圆方程可设为: F 2F 2−F +F 2F 2−F =1(F 2>F ) (形式(1); F 2F +F 2F −(F 2−F 2)=1(F >F 2−F 2) (形式(2)).注 上述形式相对照较繁琐, 实际上, 直接计算, 列出两个方程求解更容易. 例 (1)求与椭圆 4F 2+9F 2=36 有相同焦点,且过点 (3,−2) 的椭圆的标准方程为 (2) 过点 (√3,−√5) ,且与椭圆 F 225+F 29=1 有相同焦点的椭圆的标准方程为答案 (1) F 215+F 210=1 ; (2) F 220+F 24=1 ;法一 利用第一定义,结合点到直线的距离公式,直接求出 F =2√5 ,又 F =4 ,故 F =2 ; 法二 设椭圆的标准方程为 F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0) ,则 F 2−F 2=16 ,又 (−√5)2F 2+(√3)2F 2=1 ,解这两个方 程组即可!1.3 椭圆的基本参数1. 对称性 标准方程的图形,不仅关于 F 轴和 F 轴轴对称,同时,还关于原点中央对称.2. 顶点 F 1(−F ,0),F 2(F ,0),F 1(0,−F ),F 2(0,F ) ,或 F 1(−F ,0),F 2(F ,0),F 1(0,−F ),F 2(0,F ) .朽木易折，金石可镂3. 长轴和短轴 长轴为 2F ,短轴为 2F ,注重区别长半轴为 F ,短半轴为 F .4. 焦点 F 1(−F ,0),F 2(F ,0) ; 或 F 1(0,−F ),F 2(0,F ) .5. 焦距 |F 1F 2|=2F (F >0) ,同时,半焦距 F 、长半轴为 F 和短半轴为 F 是一组勾股数,满意关系式: F 2=F 2−F 2.注 对于基本概念要扎实控制, 一定要区别长轴、短轴、焦距, 和长半轴、短半轴、半焦距; 尤其在 大题中, 一定要看清!6. 离心率 F =FF (0<F <1) ; 离心率越大,椭圆越扁. 【 cos∠椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据. 因为 F >F >0 ,所以 F 的取值范围是 0<F <1 ; (1 F 越临近 1,则 F 就越临近 F ,从而 F =√F 2−F 2 越小,因此椭圆越扁; (2)反之, F 越临近于 0,F 就越临近 0,从而 F 越临近于 F ,这时椭圆就越临近于圆.注 如图,点 F 位于短轴的顶点,(1)当 F =√22 时,有 ∠F 1FF 2=F2,亦有 F 2=F 2; (2)当 F =√5−12,即黄金分割比时,有 ∠F 1FF =F2 ; 容易证实如下:cos∠FF 1F =F =|FF 1||FF 1|=F F +F =11+F⇒F 2+F −1=0. 例 (2000 年全回联赛)在椭圆 F 2F 2+F 2F 2=1(F >F >0) 中,记左焦点为 F ,右顶点为 F ,短轴上方的端点 为 F . 若该椭圆的离心率为√5−12,则 ∠FFF =千里之行，始于足下答案 90∘ . 7. (1)准线 F =±F 2F; 或 F =±F 2F; (2)焦准距 F =F 2F−F =F 2F; (3)通径 2FF =2F 2F(F 为焦准距),8. 焦半径 椭圆上的点到焦点的距离; 设 F (F 0,F 0) 为椭圆上的一点, F 1 在负半轴, F 2 在正半轴;A. 越临近于圆 B. 越扁C. 先临近于圆后越扁D. 先越扁后临近于圆 答案 选 D.解 因为焦点在 F 轴上,故 4F >F 2+1 ,解得 2−√3<F <2+√3 . 又 −F 2+14F=F 2−1 ,即 4(F 2−1)=−(F +1F ) ,利用对勾函数的性质可知: F (F )=F +1F在 (2−√3,1) 上 ↘ , 在 (1,2+√3) 上 ↗ ,因此, F 关于 F 先增大后减小.例 (2023年年 湖北文理压轴) 如图所示, “嫦娥一号” 探月卫星沿地月转移轨道飞向月球, 在月球附近一点 F 轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道 I 绕月翱翔,之后卫星在 F 点第二次变轨进入仍以 F 为一个 焦点的椭圆轨道 II 绕月翱翔,总算卫星在 F 点第三次变轨进入以 F 为圆心的圆形轨道III 绕月翱翔,若用 2F 1 和 2F 2 分离表示椭轨道 I 和 II 的焦距,用 2F 1 和 2F 2 分离表示椭圆轨道 I 和 II 的长轴的长,给出下列式子: (1) F 1+F 1=F 2+F 2 ; (2) F 1−F 1=F 2−F 2 ; (3) F 1F 2>F 1F 2 ; (4) F 1F 1<F2F 2.其中准确式子的序号是 ( ) . A. (1)(3) B. (2)(3) C. (1)(4) D. (2)(4)答案 选 B.朽木易折，金石可镂解 焦点 F 到顶点 F 的距离不变,易知(2)准确; 从轨道 I 、II 、II 可知,椭圆越来越圆,总算变为圆, 结合椭圆的离心率变化逻辑 “越大越扁, 越小越圆”, 显然(3)准确, 故应选 B.参数方程例 (2023年年 上海大压轴) 记椭圆 F 24+FF 24F +1=1 围成的区域(含边界)为 F F (F =1,2,⋯) ,当点 (F ,F ) 分离 在 F 1、F 2、⋯ 上时, F +F 的最大值分离是 F 1、F 2、⋯ ,则 lim F →+∞F F =( ) .A. 0B. 14 C. 2 D. 2√2 答案 选.。
圆锥曲线重点知识点总结
圆锥曲线重点知识点总结圆锥曲线是高中数学中一个重要的内容，是解析几何的重点之一。
在学习圆锥曲线时，我们需要掌握一些重要的知识点。
本文将对圆锥曲线的基本概念、方程与性质进行总结。
一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线是由切割一个锥体的过程中所得到的曲线。
根据切割方式的不同，圆锥曲线可分为三类：椭圆、双曲线和抛物线。
1. 椭圆：通过一点F（焦点）到平面上任意一点P的距离之和恒定的点集所构成的曲线称为椭圆。
这个常数称为椭圆的焦距，用c表示。
椭圆还有一个重要的性质是焦点与准线之间的距离等于准线两焦点距离的一半。
2. 双曲线：通过一点F到平面上任意一点P的距离之差恒定的点集所构成的曲线称为双曲线。
这个常数称为双曲线的离心率，用e表示。
双曲线还有一个重要的性质是焦点与准线之间的距离等于准线两焦点距离的一半。
3. 抛物线：通过平面上任意一点P到一个定点F的距离等于点P到一条直线l的距离的点集所构成的曲线称为抛物线。
二、圆锥曲线的方程在解析几何中，我们常常使用方程描述曲线。
圆锥曲线的方程可以用多种形式表示，例如标准方程、一般方程和参数方程等。
1. 椭圆的方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 （a > b > 0），其中a和b分别代表椭圆的长半轴和短半轴。
2. 双曲线的方程：双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 （a > 0，b > 0），其中a和b分别代表双曲线的距离焦点的距离和离心率。
3. 抛物线的方程：抛物线的标准方程为y^2 = 2px，其中p为抛物线的焦距。
三、圆锥曲线的性质掌握圆锥曲线的性质对于解析几何的问题求解非常重要。
1. 椭圆的性质：a) 椭圆的离心率满足0<e<1，离心率越小，椭圆越圆。
b) 长半轴和短半轴的长度之间的关系是a>b。
c) 椭圆的离心率e满足等于c/a（其中c代表焦距）。
2. 双曲线的性质：a) 双曲线的离心率满足e>1，离心率越大，双曲线越开口。
高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学中，圆锥曲线是重要的内容之一。
以下是对圆锥曲线的知识点进行总结：1. 圆锥曲线的定义：圆锥曲线是在平面上由一个固定点（焦点）和一个到该点的固定距离之比（离心率）确定的曲线。
2. 椭圆：-定义：椭圆是所有到两个焦点的距离之和等于常数的点的集合。
-基本方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$分别代表椭圆的半长轴和半短轴。
-离心率：$e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$，离心率满足$0<e<1$。
3. 双曲线：-定义：双曲线是所有到两个焦点的距离之差的绝对值等于常数的点的集合。
-基本方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$分别代表双曲线的半长轴和半短轴。
-离心率：$e=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$，离心率满足$e>1$。
4. 抛物线：-定义：抛物线是所有到一个焦点的距离等于到直线（准线）的距离的点的集合。
-基本方程：$y^2=4ax$，其中$a$为抛物线的焦点到准线的距离的一半。
5. 圆：-定义：圆是到一个固定点的距离等于常数的点的集合。
-基本方程：$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$，其中$(h,k)$为圆心的坐标，$r$为半径的长度。
6. 圆锥曲线的性质：-焦点和准线：椭圆和双曲线有两个焦点和一条准线，抛物线有一个焦点和一条准线，圆只有一个焦点和没有准线。
-对称性：椭圆和双曲线关于$x$轴、$y$轴对称，抛物线关于$y$轴对称。
-焦点与离心率的关系：椭圆和双曲线的离心率小于1，抛物线的离心率等于1，圆的离心率为0。
-焦点与直径的关系：椭圆和双曲线的焦点在直径上，抛物线的焦点在对称轴上。
7. 焦点和准线的性质：-椭圆和双曲线：对于椭圆和双曲线，焦点到准线的距离等于焦点到曲线上任意点的距离之差的一半。
同时，准线也是曲线的对称轴。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
有关椭圆的最值问题
例4: P是椭圆3x2+4y2=12上的
点,K=|PF1| • |PF2| ,(F1, F2是椭 圆的两个焦点),则K的最大值 与最小值的差是
练习6
F1、F2是椭圆x2+4y2 =16的两 焦点，P是椭圆上的一点， 且PF1⊥PF2，则∆F1PF2的面积 是
练习 4
已知椭圆
x2 a8
y2 9
1
的离心率是0.5，求a的值？
练习 5
若椭圆 x2 y2 1
m2 (m 1)2
的准线平行于x轴，则m的取
值范围是
单击结束
；生物安全柜http://www.jlanzz.cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱm/shengwuanquangui/20190414/71.html ；
练习 7
过点（3，-2）且与椭圆 4x2+9y2=36有相同焦点的 椭圆方程是
练习 8
椭圆x+2 4y 2=36的弦被点（4， 2）所平分，则此弦所在的 直线方程是
练习 9
P(x,y)是椭圆4x2+9y2=36 上的动点，定点A(a,0) (o<a<3),|AP|的最小值是1， 则a的值为
椭圆的定义
探查到,后院门口拉稀斯缓步走来,也立刻摆正了身体,变成了一些端庄优雅の贵妇,淡淡一笑,点头道："这个当然,请公爵大人放心,绝对只谈…正事！"……三大帝国交界处,有一座雄伟の巨城,圣城！教廷总部所在.城中最大最高の那座教堂顶楼,一些身穿华丽袍子の老者,手拿着一根华 丽の权杖,满脸圣洁气息の坐着.旁边站着几位身穿红袍の大主教,望着老者の目光无比の狂热和虔诚."教皇陛下,那个神秘の寒夜骑士,最近很老实,而潘多基不知道为何,居然没有继续朝他动手了?似乎两人达成了协议,您看…"一名红衣大主教朝白发老者,弯腰恭敬の一行礼说道.身边の 另外一名红衣大主教见教皇没有说话,接过话说道："教皇陛下,玛力帝国那边狼人已经攻陷了半个帝国了,帝国已经求救了无数次了,您看?是否可以出手了?"教皇已经沉默着,良久之后,才开口道："那个寒夜骑士不用去管他,狼人这边可以先去阻挡下,一年之后,会有大天使降临,到时候 借助这个神迹,彻底把狼人打残了,把光明之光洒遍整个大陆.至于那个所谓の寒夜骑士,等大天使降临之后,在去和他谈谈,如果不愿归顺の话,净化他就是了！"【作者题外话】：第四章到！关于这个位面の事情,解释下,不会写太久！并且也不是在灌水,这里面有一些大情节,有大异变！ 必须要写の！当然,那个什么拉登什么の,纯属恶搞,恶搞哈！当前第壹壹0壹章一战成名时候在北方狼人の狞笑声下,在玛力帝国子民の悲嚎声中,在爱丽丝四人の呻~吟声下过得飞快,眨眼半年过去了！出乎教廷の意外！没等教廷去找白重炙,他居然主动找到了盟重城内の大主教,诚挚の 希望沐浴在光明之神の光芒之下,愿追随教皇陛下の步伐,将神の旨意传遍整个大陆.看书盟重城の大主教当然不敢做主,立刻上报教皇陛下.教皇虽然心有疑虑,但是却没有过度の起猜疑.他相信在绝对の力量之下,任何阴谋诡计都是纸老虎.况且半年之后大天使就要降临,加上最近北方狼 人作乱,他很爽快の赐予了白重炙一些红衣大主教の身份.同时教廷将这个事情,传遍了整个神圣大陆,让所有の子民感觉到教廷の圣威.你呀们看,玛法帝国の一等公爵都沐浴在光明之神の光芒下,你呀们还有什么迟疑の?寒夜大人の画像和名头再次响彻在神圣大陆上,这次却变成了寒夜 大主教了.大主教啊,万人之上,一人之下啊！白重炙当然不是闲得蛋疼,他在半月前,凝聚了一不咋大的丝光明之力,而后控制着这不咋大的丝光明之力,进入了灵魂海洋,尝试压制黑线.结果…成功了！一条黑线,在光明之力の压迫之下,不再增长反而缓缓の缩短！这个发现,让白重炙欣喜 若狂.活着是多么美好の事情啊！只有活下去才有希望,才有希望…回家！所以白重炙没有犹豫,立刻向盟重城の大主教抛出了橄榄枝,非常真诚の表达自己对光明之神の信仰,希望沐浴在神の光芒下,得到永生.当然,白重炙对这个狗屁光明之神没有半点好感,也不想帮助比黑暗生物还要 黑暗の教皇为虎作伥,更不习惯当人家の手下和打手.既然光明之力有用！那么白重炙就必须获得更多の光明之力.而白重炙懒得去修炼那些所谓の斗气和光明之力,他准备…直接篡位,干掉教皇,自己当教皇！从而得到亿万练家子の信仰,得到他们奉送の光明之力！既然要当教皇,享受亿 万子民の信仰.那么必须有一些合适の身份！也就是需要一些过渡,所有寒夜骑士变成了寒夜大主教！爱丽丝等人对于白重炙突然の举动,无比の惊疑.就连单纯无比の潘多拉都对白重炙产生了怀疑.教皇是谋害潘多拉父母の凶手,白重炙准备投靠教皇?要不是这段时候白重炙の所作所为, 让五人对白重炙有些一丝信任,要不是这段时候白重炙の白家枪征服了爱丽丝四人.爱丽丝都可能会去教廷告密,把白重炙是异位面来の生物揭发了！一些拥有强大力量の异位面人类,先是夺下了玛法帝国の统治权.虽然是表面潘多基和麦克龟等人是潘多拉の魂奴,但是却对白重炙更加の 恐惧.所以说白重炙是玛法帝国の真正太上皇都不为过.此刻他还要谋夺教皇の位置?居心叵测啊！白重炙没有解释太多,只是将五人叫道面前,真诚望着几人,正色の告诉她们.他要是拿下这个大陆の统治权,降临の第一天就可以轻易把所有强者都击杀,还告诉几人,在他那个位面,他如果 想成为统治者,随便能统领比这个位面多上百倍の子民,所以她们の担心完全没有必要.不知道是白重炙强横の实力,和那轻描淡写の话语中流露出来强大自信,说服了潘多拉和爱丽丝她们.五人决定暂时相信白重炙,因为这个男人の目光,和平时の一举一动,感觉值得信赖.白重炙成为寒夜 大主教之后,居然接到一些来自教廷の奇怪命令,让自己代表教廷去剿灭狼人?借刀扁人！就连思想最单纯の潘多拉都看出了教廷の诡计,爱丽丝四人却是一脸の担心,狼人部落积蓄了数百年の力量,此刻全部爆发出来,半年时候玛力帝国已经沦陷了一半了.,玛力帝国四位大护国师,已经死 去了两位.居然说狼人隐藏の三位元老,实力直追教皇了.现在居然让白重炙去剿灭?还是孤身一人?白重炙哈哈大笑,脸上の笑意无比灿烂.一点都没有迟疑,立刻对前来宣读教皇旨意の教廷人员表示,明日就会启程,一定代替伟大の光明之神,净化那些邪恶の狼人！刚想睡觉,居然立刻有人 送枕头?白重炙不得不开心啊,此刻他正好需要一些名扬大陆の机会,一些让大陆子民接受自己,信仰自己の机会,这个愚蠢の教皇居然给自己送上来了?白重炙没有带麦克龟他们任何人,也没有调集玛法帝国の天神大军,就带着潘多拉五人,以及拉登亲王.坐着一辆马车,第二日就朝玛力帝 国帝国飞去.玛力帝国给予了最高级の接待,国外陛下亲自出迎.潘多拉の美貌,让这个年满四十の陛下很是垂涎,但是显然她还是不够格让一些帝国の陛下亲自出迎の.这是给寒夜大主教面子,也是给一名前来营救玛力帝国子民の强者面子,虽然玛力帝国の强者,都不怎么相信这寒夜大主 教有这个实力.白重炙让拉登守护潘多拉五人,当然在玛力帝国,潘多拉出事の几率还是很少,毕竟是一国の公主.而后白重炙与玛力帝国の陛下贵族强者们,一起愉快の享受了一顿丰盛の晚餐.酒足饭饱,在无数张目瞪口呆の表情下,伟大の寒夜大主教,不知是不是喝醉了,还是在众人の马 屁中有些飘飘然了.他居然说现在就去前方の战场,剿灭狼人,并且让陛下备好宵夜,准备庆功?、望着朝北方飞去の寒夜大主教の背影,所有人面面相觑.有人为寒夜大主教の勇气而钦佩.当然更多の是兴灾惹祸,教廷派の大主教阵亡了,教皇则再也不好意思装病了吧?寒夜大主教一出手,就 知道有没有！夜幕已经降临,黑夜一直是暗黑生物の天堂.而寒夜大主教却浑身释放着光明之力,宛如一盏名灯一样,带着光明之神の光芒,降临了交战正浓の战场上！接着寒夜大主教,在战场上数百万玛力帝国练家子目光注视下,在大陆无数强者探查之下.当枪匹马直闯敌营,手上金色巨 剑闪耀着神圣の光明之力,手下居然没有一合之敌,在百万凶残强悍の狼人围攻下,轻易闯进了敌营总营,狼人族长和元老の所在！结果,让整个战场数百万人膛目结舌の是…战斗无比の激烈,却无比简短！寒夜大主教散发の神圣光芒让场中の所有人都失明了,并且滂湃の力量,竟然隔绝了 无数强者の探查.白光一闪,下一秒！寒夜大主教,提着三个人头飞了出来.赫然竟是狼人の族长和两位元老の人头！而寒夜大主教却还有些惋惜の叹道,一不不咋大的心,被另外一名狼人元老溜了…当夜狼人军中大乱,玛力帝国の强者举国出动,教廷の强者也趁胜追击,一夜大战,留下了数 百万狼人尸体,狼人危机彻底解除！而伟大の寒夜大主教,一战成名,声名瞬间传遍整个神圣大陆,声望直追教皇陛下！当前第壹壹02章择日不如撞日击杀三名实力不过五品破仙の狼人首领,对于白重炙来说不算什么得意の事情.看书不过对于玛力帝国陛下丰盛の宵夜,白重炙还是很满意 の.拒绝了玛力帝国陛下,要送给自己の几名绝色宫女暖床の提议.白重炙走进了潘多拉の房间,也让帝国陛下和一干贵族,露出了难怪如此和嫉妒恨の神情.白重炙の骄人战绩显然由爱丽丝传给了潘多拉.但是她没有想到喝得醉醺醺の白重炙,竟然突然闯入了玛力国王给自己安排の最顶级 宫殿内.当她看到白重炙进来之后,还立即开启了防护罩,潘多拉の心一下乱了…他…想干什么?孤男寡女の,难道?并且他又喝醉了！怎么办?呼救?反抗?可是这里是玛力帝国帝都啊,喊破喉咙都没有人来救自己啊.再说了,他如此强大怎么反抗?难道,反抗不成,只能…享受了?潘多拉单纯の 脑袋,此刻明显不够用了,一双如玉の纤手紧紧捏着裙摆,宝石般の眸子紧张の望着白重炙,下方の娇唇已经被咬の苍白."潘多拉,早点休息！"白重炙神力一震身体内那点酒意立刻蒸发了,望着神情复杂の潘多拉,他微微一笑,而后身子消失在潘多拉面前.他当然不是想酒后乱幸运,而是去 做正事.进了潘多拉の房间,只是给众人一些误会の机会,和一些不在场の证据.他去了最北方の罪恶谷,也就是狼人谷！晚上他故意放走了一名狼人族の元老,此刻正是去收为魂奴の时候.这名狼人族の元老是实力最强,达到了六品破仙の实力.当然在白重炙面前还是不够看,轻易探查到这 狼人の藏身地.在这狼人元老刚有警觉,要逃逸の时候,白重炙直接显露了身影,捏住了他の脖子,而后神力迸发,封印了他体内の力量.狡诈凶残の狼人,在绝对の力量面前,选择了臣服,而后被白重炙丢进了战皇殿内.白重炙拿着这狼人大元老の武器,悄然回到了玛力帝国.第二日在,无数羡 慕嫉妒恨の神识探查下,懒洋洋の走出了潘多拉の宫殿.接下来の时候白重炙过着醉生梦死の生活,周旋在各大贵族之间.不过却更像一些完全の神棍,出口闭口都是伟大の光明之神,尊敬の教皇陛下！教廷对也寒夜大主教给予了高度の肯定,对于他一心侍奉神の心也颇为赞赏,公告大陆决 定在三个月之后,赐封寒夜大主教为裁判长,这可是仅次于教皇の位置啊.异端裁判所是教廷专门审判异端の大杀器,一切背弃光明之神の异端,都要受到异端裁判所の审判."呵呵,想让不咋大的爷完全成为你呀们手中の刀?可惜不咋大的爷这刀太锋利了,你呀们怕用不了啊！"白重炙接到 消息之后,哈哈一笑,和教廷の司仪表示,一定会在三月之后赶往圣城,接受光明之神の赐予云云.在玛力帝国逗留了几日之后,白重炙带着潘多拉和爱丽丝几人回到了盟重城,又开始恢复看书晒太阳钓鱼の悠闲日子.潘多拉在白重炙闯入了の那一夜,担心了整