《格点与面积》教案
小学五年级奥数思维拓展提升志愿导学教案:4.格点与面积
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4.格点与面积2023.11.12教学目标:1.了解格点的分类及其特征。
了解毕克定理。
2.学会对一些不规则的图形可以借助割补法等相关方法来解题。
3.培养学生自主思考,解题的能力。
感受到数学思维的逻辑性,唯美性。
教学重点:了解毕克定理。
教学难点:对一些不规则的图形可以借助割补法等相关方法来解题。
教学准备:课件教学过程:一、导入1.揭示课题。
(1)在格点中的图形有些是学过的图形,如长方形,正方形,三角形,平行四边形,梯形等。
如果是不规则的多边形,一般可以借助割补法,分割法及相关的公式来解题。
(2)毕克定理提供给我们一种全新的方法。
2.这一讲我们专门讨论与格点与面积。
二、新授1.例1书第18,自学,思考:这些图形的面积是怎样求出来的?什么是格点多边形?一张由水平线和垂直线组成的方格纸,我们把水平线和垂直线的交点称为“格点”。
水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”。
格点多边形:多边形的边必须是线段,顶点要在格点上。
2.例2在图中正方形格点中,这个宝塔图形的面积是多少?(单位厘米)(1)这座宝塔图形是一个不规则多边形,不能直接求出它的面积。
(2)我们可以将它分割成我们学过的图形,可以这样来分。
一个三角形一个正方形和一个长方形。
(3)还可以这样算,先把宝塔图形补成一个长方形。
再用长方形的面积减去填补的面积,所得的结果就是宝塔的面积。
3.例3观察下面四个多边形,计算下列各多边形的面积。
并统计每个多边形边界上的格点数和图形内的格点数。
(1)如果用s表示面积,表示图形类的格点数,l表示图形边界上的格点数。
列表统计。
(2)各个图形内的格点数和图形边界上的格点数之间有什么联系?(3)发现任何一个正方形格点多边形的面积都等于图形内部的格点数加上图形边界上的格点数除以2的和再减1。
(4)S=n+l/2-1(5)上面的公式称之为毕克定理,利用它可以直接求出多边形的面积。
4.例4下图中是一个四角形,每个小正方形的面积均为1c㎡。
【格点与面积】教学课件
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五年级学生用书博易新思维数学——全国中小学数学培训课程领军品牌以点概面——格点与面积图(1)图(2)图(1)中画着纵横两组平行线,相邻平行线之间的距离是相等的。
方格纸上两组直线的交点,我们称它为格点。
有时将格点图中的纵横两组平行线隐去,只留下了格点,如图(2)。
如果一个多边形它所有的顶点都在格点上,这样的多边形就叫做格点多边形或格点图形。
如图(3)、图(4)。
小学数学培训教材图(3)图(4)例1:观察下列几个格点多边形,图中横行和竖列相邻两点间的距离是相等的,都是1厘米,你能求出下列各图的面积吗?五年级学生用书在钉板上围出如图所示的几个中间没有点的格点图,验证:面积=一周格点数÷2-1。
小学数学培训教材五年级学生用书例2:朋朋和优优好像找到了数点求格点多边形面积的新方法,但是他们用“面积=一周格点数÷2-1”计算下列四个图形面积时出了问题。
第三个图形的面积是4平方厘米,而用格点求面积的方法求出是3;第四个图形面积是5,怎么用格点求面积的方法求出是4?你知道其中的原因吗?五年级学生用书用数点求面积的方法求下列图形的面积。
小学数学培训教材①②五年级学生用书例4:验证:(1)中间有2个点的图形,用数点求面积方法是:一周格点数÷2+1。
(2)中间有3个点的图形,用数点求面积方法是:一周格点数÷2+2。
(1)(2)用数点求面积的方法求下列图形的面积。
(1)(2)例5:猜想中间有4个点的格点图形面积怎样计算?5个点呢?你能用一个完整的公式表示中间有任意个点(n个点)的格点多边形的面积吗?五年级学生用书图中横行和竖列相邻两点之间的距离是相等的,都是1,验证数点求面积方法的正确性。
小学数学培训教材例6:下图中每个小正方形的面积都是4平方厘米,求图中阴影部分的面积。
五年级学生用书下图中每个小正方形的面积都是2平方厘米,求图中阴影部分的面积。
例7:在下图中画出一个格点梯形,使它的面积等于9,说明理由。
数学实践活动教案10数格点算面积
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初中数学实践课教案10 课题数格点算面积一、活动目标(1)通过画图、列表、分析数据、寻找规律;(2) 获得一些研究问题的方法和经验,发展思维能力,加深理解相关的数学知识(3)通过获得成功的体验和克服困难的经历,增强应用数学的自信心二、活动重点:经历实践活动的过程,学会寻找思考问题的着眼点,掌握研究问题的方法,领悟数学思想。
三、活动难点:格点多边形的面积与图形内部及它边上的格点数之间关系的探究。
四、活动过程:本活动分为三个阶段第一阶段:课前活动一.概念认识格点多边形:方格网中的每个交点叫做格点(如左图中的点A、B、C、D、E…).显然,每一个小方格(如图中带阴影的小方格)就是一个面积单位.如果一个多边形的顶点都在格点上,那么这个多边形叫做格点多边形(如图中的多边形ABCDE)凸多边形与凹多边形:如下图a,把多边形的任何一边向两方延长,如果其他各边都在延长所得直线的同一旁,这样的多边形叫做凸多边形.而图b中的多边形不具备这种性质,称为凹多边形.二.自主探究12.我们设格点多边形的面积为S,多边形内部的格点数为N,它的边上的格点数ab为L ,写出下图中格点多边形的N 、L3.仿照2中的图在网格纸上画出符合条件的不同..格点多边形 1)画2个满足条件N=0的格点多边形,求出它们的面积S2) 画2个满足条件N=1的格点多边形,求出它们的面积S3) 画2个满足条件N=2的格点多边形,求出它们的面积S第二阶段 课内活动一.对第一阶段活动的再认识1.认识格点多边形2.识别凹、凸多边形3.归纳格点多边形面积的求法4.会数格点多边形边上及内部的格点数二.探究格点多边形的面积与边上、内部格点数的关系活动一 探究N=0的格点多边形中S 与L 之间的关系(展示所画不同类型图形)满足N=0来吗?活动二 探究N=1满足N=1活动三 探究N=2的格点多边形中S 与L 之间的关系(展示所画不同类型图形)观察上表,你又有了什么发现?活动四 自主探究N=3时S 与L 之间的关系1.示范引领:画N=3的格点多边形2.合作交流:四人一组,画图研究N=3时S 与L 之间的关系活动五 猜想N=4、5、…、10、…的格点多边形中S 与L 之间的关系活动六 归纳分析S 、N 、L 三者关系121-+=N L S三.规律的应用求下列多边形的面积四.共同交流课内活动体会。
小学四年级格点与面积讲义
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第十三讲格点与面积二、正方形格点多边形例1、如下图,计算下列各个格点多边形的面积.例2、如下图(a),计算这个格点多边形的面积.例3、如右图,计算这个格点多边形的面积.例4、如下页图,计算图(A)与图(B)的面积.图形面积(S) 周界上格点(L)图形内格点(N) AB例5、如下图,计算下列各格点多边形的面积,统计每个图形周界上的格点数与图形内包含的格点数.图形周界上的格点数L 图形内的格点数N 面积SABCDE填写下表,再进一步分析:图形S N L L/2 L/2+N-SABCDE总结:毕克定理:正方形格点多边形面积公式:S=N+L/2-1这个公式表示:格点多边形的面积等于图形内的格点数加上周界上的格点数的一半减1.S N L L/2 L/2+N-S例7、本讲开始提到的多边形如右图面积是多少?用上述公式很快就可以求出了。
1、三角形格点多边形面积毕克定理:三角形格点多边形面积公式:S=2×N+L-2,这公式表示:三角形格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2.例8、如下页图(a),有21个点,每相邻三个点成“∵”或“∴”,所形成的三角形都是等边三角形.计算三角.形ABC的面积.例9、如右图,每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,计算△ABC的面积.例10 、如右图,每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的正三角形,计算四边形ABCD的面积.练习题1.求下列各个格点多边形的面积.2.求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形).作业:1.甲、乙仓库有大米若干袋,甲仓库是乙仓库的2倍,如果从甲仓库运出20袋大米放到乙仓库中,那么甲、乙仓库里面的大米袋数相等。
问;甲乙仓库原来各有大米多少袋?2.小华比爷爷小57岁,爷爷的年龄是小华的6倍少3岁,那么小华和爷爷各多少岁?3.超市有数量相等的红、白围巾,如果红围巾卖出12条,白围巾进货18条,则白围巾的条数就是红围巾的4倍。
奥数格点与面积
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.. .......... 名师点拨 --- -------- --- 学科:学科:奥数** 教学内容:第六讲格点与面积开始学习生活中我们常借助一些工具来迅速简便的解决一些问题,如为了能捕到鱼,人们制作了鱼钩和网。
同样在数学的学习中,为了更好的解决问题聪明的人类也创造了一些“工具”。
这一讲我们主要介绍利用格点求几何图形的面积。
先来介绍什么是“格点”。
见下图:这是一张由水平线和垂直线组成的方格纸,我们把水平线和垂直线的交点称为“格点”,水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”。
图中带阴影的小方格就是一个面积单位。
借助格点图,我们可以很快的比较或计算图形的面积大小。
利用格点求图形的面积通常有两种思路,一是直接将图形分成若干个面积单位,然后通过计算有多少个面积单位来求图形面积;二是将某些图形转化成长方形的面积来求。
当然还可以将这两种方法结合起来,求出某些较复杂图形的面积。
例1 计算下图中各图形的面积:分析:先仔细观察图中的每个图形,选择方法。
显然第一、三、六图可以直接数出包含多少个面积单位即可。
而二、四、五图显然不适合用数单位面积的方法来求面积,可以采用虚线把这些图形扩展或割补成长方形,通过求长方形面积来求这些图形面积。
解答:(1)图中长方形包括3X2=6 (个)面积单位,所以它的面积为6。
(2)将图中平行四边形割补成一个长方形,长方形的面积为3X2=6,而平行四边形的面积等于长方形面积,所以平行四边形的面积为3X2=6。
(3)将图中三角形用虚线分成3块,它包含有1个面积单位和2个面积单位的一半,合起来有2个面积单位,所以它的面积为2。
(4)图中将三角形扩展成一个长方形,长方形的面积为3X2=6,而三角形面积为长方形面积的一半,则三角形面积为3。
(5)将图中梯形的互相平行的一组对边延长,补出一个和原来梯形方向颠倒,但面积一样的梯形,形成一个大的长方形。
长方形的面积为2+4)X3=18,而梯形的面积为长方形的面积的一半。
上海奥数精讲 第7讲讲义 格点与面积(教师版)
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教具准备1、课件:PPT、“例3”、“例3拓展”、“例3拓展”flash动画。
2、板书。
教学难点正方形格点多边形面积的计算;三角形格点多边形面积的计算。
教学重点正方形格点多边形面积的计算;三角形格点多边形面积的计算。
教学目标1.认识格点的概念;2.会用毕格定理计算格点多边形的面积;3.培养学生借助格点图,很快地比较和计算图形的面积大小。
第7讲格点与面积内容概述1.什么是格点?平常我们用的方格纸的方格(每个小方格都是一个小正方形)都是由横、纵两组平行线垂直相交构成的,其中相邻两条平行线的距离都是相等的(通常规定是1个单位),在这样的方格纸上,横、纵两组平行线垂直相交的交点称为格点.以格点为顶点画出的多边形称为格点多边形.三角形格点多边形是指:每相邻三点成“∵”或“∴”,所形成的三角形都是等边三角形.规定它的面积为1,以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形.2.正方形格点多边形的面积公式(毕格定理):S=L÷2+N -1(S为面积;其中L为周界上的格点数;N为图形内包含的格点数)3. 三角形格点多边形的面积计算公式:如果用S表示面积,N表示图形内包含的格点数,L表示图形周界上的格点数,那么:S=2×(L÷2+N -1)。
引入教学过程教学目标:激发学生对格点产生浓厚的学习兴趣。
如下图,相邻四点连成的小正方形面积为1平方厘米,分别连结各点,组成下面12个图形,你发现有什么排列的规律?算出各图形的面积,你发现有什么排列的规律?算出各图形的面积。
找出图形外面一周的点数,中间的点数与面积三者之间的关系。
(1)(2)(3)上节课回顾所谓操作问题,实际上是对某个事物按一定要求进行的一种变换,这种变换可以具体执行。
操作问题往往是求连续进行这种操作后可能得到的结果。
本节课主要介绍:⑴ 与数字相关的操作问题; ⑵ 染色相关的操作问题; ⑶ 计数方面的操作问题。
环节一:引入【讲解过程】1、学生分小组讨论,分别派代表回答教师问题。
《格点与面积》教案
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教 学 内 容 格点与面积重 点 难 点 图形的特点教 学 目 标 初步认识图形的特点针对性授课格点与面积 在一张方格图中,每个方格都是一个小正方形,并且大小都相等,我们称为一个面积单位。
例如:右图中带阴影的小方格就是一个面积单位。
借助格点图,我们可以很快的比较或计算图形面积大小。
例题与方法 下图是用皮筋在钉板上分别围成的正方形、长方形、平行四边形和三角形。
它们的面积分别是多少?求下图中各图形的面积。
求下左图中图形的面积。
求右图中图形的面积。
练习与思考求下图中各图形的面积。
求下图中各图形的面积。
求下图中各图形的面积。
求下图中图形的面积第3讲:火柴棒游戏[知识要点]用火柴棒可以拼搭成各种有趣的图形,这些图形随着火柴棒的移动、增减,会发出意想不到的变化,这类游戏非常有趣、益智,你也来试试看。
[例题精讲一:摆图形]例题1:用三根火柴棒可以摆出一个三角形,如图,加两根,摆出两个三角形。
练习1:1、摆一个正方形要4根火柴棒,如图:,你能用7根火柴棒摆出两个正方形吗?2、摆一个三角形要用3根火柴棒,摆3个三角形至少需要多少根火柴棒?3、把两根火柴棒添在那里,可以摆出5个正方形?例题2:用16根火柴棒摆成的四个相等的正方形(如图)。
减少1根,还可以拼成四个正方形,你会吗?如果减少2根呢?练习2:1、用12根火柴棒,摆成四个大小一样的正方形,怎么摆?2、图中有几个正方形?最少要添上几根火柴棒就能得到8个正方形?例题3:下图是由5根火柴棒摆成的图形,请你移动其中的3根成这样的图形:移动3根练习3:1、第一排有1根火柴棒,第二排有2根,第三排有3根,请你移动2根,变为第一排3根,第二排2根,第三排1根。
2、如下图,由火柴棒摆了两只倒扣的杯子,请移动4根火柴棒,把杯口正过来。
3、下面的3个三角形是用9根火柴棒搭成的,你能用9根火柴棒搭出5个三角形吗?例题4:用12根火柴摆成一个田字形:(1)拿去两根火柴棒,变成两个正方形;(2)移动三根火柴棒,变成三个正方形。
数格点算面积(教案)
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课题:数格点算面积活动目标:1、通过这次活动,让学生经历画图、列表、分析数据、寻找规律,发现并验证皮克定理;2、让学生在“活动”中学,通过实际操作获得亲自体验,积累直接经验.强化学生在数学学习过程中的主体地位,发挥学生的积极性、主动性和创造性,自主地投入活动;3、通过动手操作、观察类比、分析归纳、合作交流等一系列探究活动,理解解决问题的过程和方法:让学生经历从特殊到一般,体验“在解决多变量问题中采用变量控制法”的思维方法.活动准备:网格纸若干张.活动内容:一、概念介绍网格纸上画着纵、横两组平行线,相邻的平行线之间的距离相等.这样两组平行线的交点称为格点.水平线和垂直线围成的每个小正方形的边长称为“一个单位长度”,图中每个小方格就是一个面积单位.假如一个多边形的顶点都在格点上,则这种多边形叫做格点多边形.活动:计算右图中格点五边形ABCDE的面积S并说说你的计算方法.还有其他简捷的方法计算格点五边形ABCDE的面积吗?假设格点多边形的面积为S,点数为L,试用N、L的代数式表示S.三:探究活动活动一:(1)如图①②③都是满足N=0的格点多边形,请你在图④中再画出一个N=0的格点多边形.(2)思考:N=0时,S与L有什么关系?活动二、三、四:分三大组分别完成探究S、L、N的关系. 活动二:研究N=1的格点多边形,探究S、L、N的关系.请你在图④中再画出一个N=1的格点多边形.活动三:研究N=2的格点多边形,探究S、L、N的关系.请你在图④中再画出一个N=2的格点多边形.活动四:研究N=3的格点多边形,探究S、L、N的关系.请你在图④中再画出一个N=3的格点多边形.四、总结规律五、公式应用:计算以下格点多边形的面积.(看谁算得快)备用网格六、小结与质疑今天我学到了. 我还有疑问.。
格点面积教案初中
![格点面积教案初中](https://img.taocdn.com/s3/m/1518688ed4bbfd0a79563c1ec5da50e2534dd17d.png)
格点面积教案初中教学目标:1. 理解格点面积的概念,掌握格点面积的计算方法。
2. 能够运用毕克定理解决与格点面积相关的问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点:1. 格点面积的概念和计算方法。
2. 运用毕克定理解决格点面积问题。
教学难点:1. 理解并运用毕克定理。
2. 解决实际问题中的格点面积问题。
教学准备:1. 方格纸。
2. 计算器。
教学过程:一、导入(5分钟)1. 向学生介绍方格纸和格点。
2. 引导学生观察方格纸上的点,并提出问题:如何计算这些点构成的图形的面积?二、新课(20分钟)1. 介绍格点面积的概念:在方格纸上,每个小方格的顶点称为格点,格点构成的图形的面积就是格点面积。
2. 讲解格点面积的计算方法:对于一个由格点构成的图形,可以将其分解为多个小三角形、矩形等基本图形,计算出每个基本图形的面积,再将它们相加得到整个图形的格点面积。
3. 介绍毕克定理:格点面积内部格点数与周界上格点数之差的两倍等于格点面积。
4. 示例讲解:通过实际例子,讲解如何运用毕克定理计算格点面积。
三、练习与讨论(15分钟)1. 学生分组进行练习,计算给定的格点图形的面积。
2. 学生相互交流解题思路和方法,讨论遇到的问题和解决办法。
四、拓展与应用(10分钟)1. 引导学生思考实际问题中的格点面积问题,如在平面设计、建筑等领域中的应用。
2. 学生尝试解决实际问题,如计算一个平面图形的格点面积,或估算一个不规则图形的面积。
五、总结与反思(5分钟)1. 学生总结本节课所学的内容,回顾自己的学习过程。
2. 教师对学生的学习情况进行评价,给予鼓励和指导。
教学延伸:1. 引导学生进一步研究格点面积的性质和规律。
2. 探索其他图形的格点面积计算方法。
教学反思:本节课通过方格纸和格点的引入,让学生了解格点面积的概念和计算方法,培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
在教学过程中,要注意引导学生运用毕克定理解决实际问题,提高学生的应用能力。
小学数学四年级 格点与面积教案 例题+练习+作业+答案
![小学数学四年级 格点与面积教案 例题+练习+作业+答案](https://img.taocdn.com/s3/m/3f5eb68d26fff705cc170add.png)
格点与面积知识点总结1:正方形格点多边形面积公式2:三角形格点多边形面积公式3:割补法求不规则多边形面积【例题精讲】例1在下面的正方形网格中,每个小正方形的面积都是1平方厘米。
请据此计算下面两个图形的面积。
【答案】13平方厘米和15平方厘米。
正方形格点多边形的面积=边界格点数÷2+内部格点数-1(1)边界格点数:20个,内部格点数:4个,面积:20÷2+4-113(平方厘米)(2)边界格点数:14个,内部格点数:9个,面积:14÷2+9-1=15(平方厘米)【例题小结】对比已学割补法与格点面积的优势,引导学生掌握更高效的方法。
练1在下面的正方形网格中,每个小正方形的面积都是1平方厘米。
网格中多边形的面积是多少平方厘米?【答案】36平方厘米【解析】边界格点数是34个,内部格点数是20个,因此面积是34÷2+20-1=36平方厘米。
例2在下图中,每个小方格的面积都是2平方厘米,那么格点多边形的面积是多少平方厘米?【答案】13平方厘米正方形格点多边形的面积=边界格点数÷2+内部格点数-1边界格点数:7 个,内部格点数:4 个面积:(7÷2+4-1)×2=13(平方厘米)【例题小结】单位小正方形面积是几,利用格点公式求出的面积也要扩大几倍。
练2小新将某市的地图轮廓绘制到了网格上,且每相邻的四个点围成的正方形的面积都是1平方厘米。
请帮小新计算出该市在地图上的面积。
【答案】20平方厘米【解析】边界格点数是14个,内部格点数是14个,因此面积是14÷2+14−1=20(平方厘米)。
例3在下图中,每个小方格的边长都是1厘米,那么阴影部分的面积是多少平方厘米?【答案】22平方厘米。
割补方法:整体-空白整体:6×6=36(平方厘米)空白:正方形格点多边形的面积=边界格点数÷2+内部格点数-112÷2+9-1=14(平方厘米)阴影:36-14=22(平方厘米)【例题小结】阴影部分面积=整体-空白练3在下图中,每个小正方形的边长都是1厘米,那么阴影部分的面积是多少平方厘米?【答案】14平方厘米【解析】可以将阴影部分面积和十字形的空白部分看做一个整体,面积是:8÷2+21-1=24(平方厘米),十字形的空白部分的面积是12÷2+5-1=10(平方厘米),因此阴影部分面积是24-10=14(平方厘米)。
初中数学精品教案 :格点多边形的面积计算教案
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格点多边形的面积计算——三学稿(教案)教学目标:(1)了解格点多边形的概念(顶点在格点上的多边形),会通过(割补)的方法计算格点多边形的面积. (2)经历探索格点多边形的面积计算方法的过程,初步体验“在解决多变量问题中采用变量控制法”,并通过二次实验、列表、画图、猜想,发现并验证皮克定理一一(1-+=nb ma s (其中m 、n 为常数) );(3)逐步领悟数形结合、类比归纳和数学建模的数学思想和掌握建模、图像、待定系数法等数学方法. 教学重点:经历探索格点多边形的面积计算方法并验证的过程,掌握蕴含其中的数学思想和方法. 设计说明:在助学中设计学生体验自主探索、合作学习的过程,教师引导分析来突出重点. 教学难点:格点多边形的面积与形内及边界上的格点数之间关系的探究.设计说明:采用变量控制法,降低难度,学生自主探索,层层递进,合作交流来类比归纳出皮克公式来突破难点. 【引学】了解格点多边形的概念,会算格点多边形的面积.1. 如图1,网格纸上画着纵、横两组平行线,相邻平行线之间的距离相等, 这两组平行线的交点称为格点(如图中的点A 、B 、C 等).若阴影部分的小 正方形面积是单位1,问1请直接写出以下三角形的面积:S △HBC = 21 ;S △IDE = 1 S △JAE = 23 ;S △KAB = 2设计意图:学生掌握格点中规则三角形的求法,为格点多边形面积的求法奠定基础.2. 如图2,若多边形的各顶点都在格点上............,这 样的多边形称为格点多边形.如图中的格点五 边形ABCDE ,问2求出格点多边形的面积,你 有几种方法?解:1“割”102231521=++++=s2“补”102-23-1-21-53=⨯=s设计意图:开放性设计,让学生探索出割补的方法,也为后续学习中s 的求法铺设,也为验证埋下伏笔.3.不妨设s 表示格点多边形的面积,a 表示格点多边形内的格点数,b 表示边界上的格点数, 问3,如图3,格点五边形中s = 10 ,a = 7 ,b = 8 .那么s 、a 、b 三者之间有什么关系呢?奥地利数学家皮克研究成果: 1-+=nb ma s (其中m 、n 为常数), 下面我们通过待定系数法去求出m 、n 的值.设计意图:熟悉形内格点和边界上格点,提出问题,激发学生求知兴趣. 【助学】探究格点多边形的面积与形内及边界上的格点数之间的关系. 活动一、探究a =0的格点多边形中s 与b 之间的关系 根据左图,填写右表:(学生自主探索后交流)满足a =0的格点多边形中的s 、b 之间存在一个什么样的关系,你能表示出来吗?121-=b s ,可知21=n图1图2(2)图2(1)图3¢Ù¢Ú设计意图:若有2个变量时,可采用变量控制法,先固定1变量,降低难度,再层层递进,突破难点. 活动二、探究a =4的格点多边形中s 与b 之间的关系 根据左图,填写右表,并画出s 关于b 的函数图像. s s(学生先自主探索后合作交流,1同学板演)(学生先自主探索后合作交流,请1同学板演) 满足a =4的格点多边形中的s 、b 之间存在一个 什么样的关系,你能表示出来吗?321+=b s 类比1-+=nb ma s ,求出m 、n 的值.314=-m ,1=m 设计意图:通过自主探索后合作学习,突出建模的数学思想方法,丰富学生问题解决的活动经验. 活动三、类比归纳s 、a 、b 三者关系:121-+=b a s (皮克定理)注:凹多边形同样适用. 活动四、用皮克公式去验证引学3中的格点五边形面积.设计意图:通过验证,承上启下,提高学生获得知识,并感受到探索的乐趣. 【拓学】1.求下列各个格点多边形的面积.a = ,b = , S= a = , b = , S= 2.在下图中画1个格点多边形,并让同伴求出其面积. 板书设计 1-+=nb ma s学生板演区图形序号 sab① 5.5 4 5 ②6 4 6 ③ 6.5 47 ④748图①AB CDE图②ABCDE图③A B C D EF 图④AB C D EF sb121-+=b a s3.作业:归纳今天所学到的数学思想和方法,并在百度搜索奥地利数学家皮克.设计意图:及时应用巩固,让学生设计图形,在提高学生兴趣同时,既巩固格点多边形的概念,又应用了皮克公式.作业设计说明:今天的学习主要在于过程,故对知识不需要深化,作业以提高能力和兴趣为主.。
四年级第18讲-格点与面积(一)-教师版
![四年级第18讲-格点与面积(一)-教师版](https://img.taocdn.com/s3/m/c303e4fb5ff7ba0d4a7302768e9951e79b8969f5.png)
格点与面积例1 知识纵横1、概念在一张纸上,先画出一些水平直线和一些竖直直线,并使任意两条相邻的平行线的距离都相等,这样在纸上就形成了一个方格网,其中的每个交点就叫做一个格点。
一个多边形的顶点如果全在格点上,那么这个多边形就叫做格点多边形。
格点多边形分为正方形格点多边形和三角形格点多边形。
2、毕克定理(正方形格点公式):格点多边形单位面积的数量=边上点数÷2+内部点数-1,S=L ÷2+N-1(用“S”表示格点多边形单位面积的数量,用“N”表示格点多边形内部的格点数,用“L”表示格点多边形边上的格点数)3、毕克定理(三角形格点公式):格点多边形单位面积的数量=(边上点数÷2+内部点数-1)×2,S=(L÷2+N-1)×2判断下列图形中,哪些图形是格点多边形?是的,请在括号里打“√”。
【答案】见解析。
【解析】判断下列几个图形中,哪些图形是格点多边形,请在序号上打“√”。
【答案】见解析。
【解析】判断下列几个图形,哪些图形是正方形格点多边形?哪些图形是三角形格点多边形?(请在横线上填序号)正方形格点多边形:;三角形格点多边形:。
【答案】见解析。
【解析】试一试1例2试一试2请选择正确的格点图任意画出一个正方形格点多边形和一个三角形格点多边形。
【答案】答案不唯一。
【解析】例3下面4幅图中,相邻四点围成的正方形的面积为1。
观察,然后填空。
(用“S”表示格点多边形单位面积的数量,用“L”表示格点多边形边上的格点数,用“N”表示格点多边形内部的格点数。
)【答案】见解析。
【解析】试一试3下图中每个小正方形的面积均为2平方厘米,“乡村小屋”的面积是多少平方厘米?【答案】36平方厘米。
【解析】方法一:方法二:下面4幅图中,相邻三点围成的等边三角形的面积为1。
观察然后填空。
【答案】见解析。
【解析】例4试一试4在下图中,每相邻三点构成一个面积为2平方厘米的等边三角形,下图中格点多边形的面积是多少平方厘米?【答案】见解析。
上海奥数精讲 第7讲讲义 格点与面积(教师版)
![上海奥数精讲 第7讲讲义 格点与面积(教师版)](https://img.taocdn.com/s3/m/5f49076148d7c1c708a14531.png)
教具准备1、课件:PPT、“例3”、“例3拓展”、“例3拓展”flash动画。
2、板书。
教学难点正方形格点多边形面积的计算;三角形格点多边形面积的计算。
教学重点正方形格点多边形面积的计算;三角形格点多边形面积的计算。
教学目标1.认识格点的概念;2.会用毕格定理计算格点多边形的面积;3.培养学生借助格点图,很快地比较和计算图形的面积大小。
第7讲格点与面积内容概述1.什么是格点?平常我们用的方格纸的方格(每个小方格都是一个小正方形)都是由横、纵两组平行线垂直相交构成的,其中相邻两条平行线的距离都是相等的(通常规定是1个单位),在这样的方格纸上,横、纵两组平行线垂直相交的交点称为格点.以格点为顶点画出的多边形称为格点多边形.三角形格点多边形是指:每相邻三点成“∵”或“∴”,所形成的三角形都是等边三角形.规定它的面积为1,以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形.2.正方形格点多边形的面积公式(毕格定理):S=L÷2+N -1(S为面积;其中L为周界上的格点数;N为图形内包含的格点数)3. 三角形格点多边形的面积计算公式:如果用S表示面积,N表示图形内包含的格点数,L表示图形周界上的格点数,那么:S=2×(L÷2+N -1)。
引入教学过程教学目标:激发学生对格点产生浓厚的学习兴趣。
如下图,相邻四点连成的小正方形面积为1平方厘米,分别连结各点,组成下面12个图形,你发现有什么排列的规律?算出各图形的面积,你发现有什么排列的规律?算出各图形的面积。
找出图形外面一周的点数,中间的点数与面积三者之间的关系。
(1)(2)(3)上节课回顾所谓操作问题,实际上是对某个事物按一定要求进行的一种变换,这种变换可以具体执行。
操作问题往往是求连续进行这种操作后可能得到的结果。
本节课主要介绍:⑴ 与数字相关的操作问题; ⑵ 染色相关的操作问题; ⑶ 计数方面的操作问题。
环节一:引入【讲解过程】1、 学生分小组讨论,分别派代表回答教师问题。
初中数学数格点算面积综合实践教案
![初中数学数格点算面积综合实践教案](https://img.taocdn.com/s3/m/e0031ccc49649b6648d747a7.png)
初中数学综合实践活动教案课题:数格点算面积一、活动目标(1)通过画图、列表、分析数据、寻找规律,发现并验证皮克定理;(2)让学生在“做”中学,通过实际操作获得亲身体验,积累直接经验。
强化学生在数学学习过程中的主体地位,发挥学生的积极性、主动性和创造性,自主地投入活动;(3)通过动手操作、观察类比、分析归纳、合作交流等一系列探究活动,了解解决问题的过程和方法;经历从特殊到一般的过程,体验“在解决多变量问题中采用变量控制法”的科学思维方法。
二、活动重点:经历实践活动的过程,学会寻找思考问题的着眼点,掌握研究问题的方法,领悟数学思想。
三、活动难点:格点多边形的面积与图形内部及它边上的格点数之间关系的探究。
四、活动过程:本活动分为两个阶段第一阶段:课内活动一.概念认识如图,网格纸上画着纵、横两组平行线,相邻平行线之间的距离相等,这两组平行线的交点称为格点(如图中的点A、B、C等).如果一个多边形的顶点都在格点上,那么这个多边形叫做格点多边形(如图中的多边形ABCDE)二.设疑:你会求图中格点多边形的面积吗?介绍割补两种方法:2.不妨S---格点多边形的面积,N--多边形内部的格点数,L--它的边上的格点数,那么S N、L三者之间有什么关系呢?三、探究格点多边形的面积与边上、内部格点数的关系活动一探究N=0的格点多边形中S与L之间的关系满足N=0的格点多边形中的S、L之间存在一个什么样的关系,你能表示出来吗?活动二探究N=1的格点多边形中S与L之间的关系满足N=1的格点多边形中的S、L之间存在一个什么样的关系?活动三探究N=2的格点多边形中S与L之间的关系观察上表,你又有了什么发现?活动四探究N=3的格点多边形中S与L之间的关系自主探究N=3时S与L之间的关系1.示范引领:画N=3的格点多边形2.合作交流:四人一组,画图研究N=3时S与L之间的关系活动五猜想N=4、5、…、10、…的格点多边形中S与L之间的关系活动六归纳分析S、N、L三者关系121-+=N L S 介绍皮克定理四、应用皮克定理求格点多边形的面积下面的方格纸中,画出了一个“小鸟”的图案,已知每个小正方形的边长为1.你能求出“小鸟”所占的面积为多少吗?五、共同交流课内活动体会第二阶段:课外活动数学综合实践活动评价报告。
八年级数学下册《格点多边形的面积计算》教案、教学设计
![八年级数学下册《格点多边形的面积计算》教案、教学设计](https://img.taocdn.com/s3/m/2bb56005302b3169a45177232f60ddccda38e6ef.png)
一、教学目标
(一)知识与技能
1.理解格点的概念,掌握格点构成的线段、三角形、四边形等基本图形的特点;
2.学会利用格点计算多边形面积的方法,特别是不规则多边形的面积计算;
3.能够运用三角剖分、拼凑等方法将复杂多边形转化为简单多边形,从而求解其面积;
4.掌握计算多边形面积的公式,如海伦公式、向量叉乘等,并能够灵活运用;
教学活动:使用多媒体动画演示格点多边形的形成过程,结合实物模型,让学生直观地理解多边形的构成。
3.设想三:采用分组讨论、合作探究的方式,引导学生发现并总结多边形面积计算的方法。
教学活动:设计具有挑战性的问题,让学生分组讨论、合作探究,鼓励学生发表自己的观点,培养学生的团队协作能力。
4.设想四:设计丰富的例题和练习,巩固提高作业:选取一道生活中的实际问题,如测量不规则地块的面积,运用所学知识进行计算,并撰写解题报告。报告内容包括问题背景、解决方法、计算过程和结果。
3.创新作业:鼓励学生尝试编写一个程序(如使用Scratch、Python等编程语言),实现格点多边形面积的计算。此作业旨在培养学生的编程兴趣和跨学科综合运用能力。
(二)讲授新知
1.教学活动一:讲解格点的概念及基本性质
从定义入手,详细讲解格点的概念,并通过示例说明格点构成的线段、三角形、四边形等基本图形的特点。
2.教学活动二:介绍多边形面积计算方法
以具体的图形为例,讲解如何利用格点计算多边形面积,特别是不规则多边形的面积计算方法,如三角剖分、拼凑等。
3.教学活动三:推导面积计算公式
3.教学活动三:小组代表展示讨论成果
每个小组选派一名代表,展示他们的讨论成果,分享解题思路和经验。
第十二讲 格点与面积(教师版)
![第十二讲 格点与面积(教师版)](https://img.taocdn.com/s3/m/2f34a5d46f1aff00bed51e30.png)
第十二讲格点与面积(教师版)1、求下列各个格点多边形的面积。
①∵L=12;N=10,∴S=N+L/2-1=10+6-1=15(面积单位)②∵L=10;N=16,∴S=N+L/2-1=16+5-1=20(面积单位)③∵L=6,N=12,∴=S=N+L/2-1=12+3-1=14(面积单位)④∵L=10;N=13∴S=N+L/2-1=13+5-1=17(面积单位)2、求下列格点多边形的面积(每相邻三个点或成面积为1的等边三角形)①L=7;N=7,S=2×N+L-2=2×7+7-2=19(面积单位)②L=5;N=8,S=2×N+L-2=2×8+5-2=19(面积单位)③L=6;N=8,S=2×N+L-2=2×8+6-2=20(面积单位)④L=7;N=8;S=2×N+L-2=2×8+7-2=21(面积单位)3、下面每个图中有49个点,其中所有形如“::”的相邻四点所形成的四边形都是面积为1的正方形,试计算ABC和四边形DEFG的面积(1)S=N+L÷2-1=13+6÷2-1=15(2)S=N+L÷2-1=16+6÷-1=184、下面每个图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,试计算ΔABC和四边形DEFG的面积。
(1)N=2N+L-Z=2×4+4-2=10(2)N=2N+L-2=2×5+4-2=125、如图中的每个小正方形的面积都是1,那么图中这只狗所占图形的面积是多少?思路分析:本题可采用数格点的方法进行简便计算。
计算公式:图形面积=图形内容的格点数+(图行四周围上的格点数-2)÷2解:本题图形内部的格点数为59,图形四周围的格点数为27。
狗占图形的面积=59+(27-2)÷2=59+25÷2=59+12.5=71.5答:狗占图形的面积为71.5。
538 格点与面积(讲师版)
![538 格点与面积(讲师版)](https://img.taocdn.com/s3/m/00bfaa62941ea76e58fa04e5.png)
学科培优数学“格点与面积”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲知识点比较简单,首次引入面积这个概念,主要是培养学生对图形面积的感觉与认识。
【授课批注】在开始讲解面积这个概念之前可适当复习有关图形周长的概念,帮助学生区分周长和面积。
知识梳理格点图形的概念在一张纸上,先画出一些水平直线和一些竖直直线,并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位),这样在纸上就形成了一个方格网,其中的每个交点就叫做一个格点.在方格网中,以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形。
a)正方形格点正方形格点问题就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形b)三角形格点所谓三角形格点多边形是指:每相邻三点成“∵”或“∴”,所形成的三角形都是等边三角形.规定它的面积为1,以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形.【授课批注】讲解格点图形概念的时候最好能借助诸如钉子板之类的道具,提高教学的形象性,更容易让学生理解,加深印象。
【重点难点解析】1.方形格点与三角形格点面积的特点2.格点图形的分割与拼补【竞赛考点挖掘】1.两种格点图形的基本面积计算2.格点图形面积的等量变形例题精讲【试题来源】【题目】判断下列图形哪些是格点多边形?【答案】(1)【解析】根据格点多边形的定义可知,图形的边必须是直线,顶点要在格点上!所以只有(1)是格点多边形。
【知识点】格点与面积【适用场合】当堂例题【难度系数】1【试题来源】【题目】如右图,计算各个格点多边形的面积.【答案】见解析【解析】本题所给的图形都是规则图形,它们的面积运用公式直接可求,只要判断出相应的有关数据就行了.法一:第(1)图是正方形,边长是4,所以面积是4×4=16(面积单位);第(2)图是矩形,长是5,宽是3,所以面积是5×3=15(面积单位);第(3)图是三角形,底是5,高是4,所以面积是5×4÷2=10(面积单位);第(4)图是平行四边形,底是5,高是3,所以面积是5×3=15(面积单位);第(5)图是直角梯形,上底是3,下底是5,高是3,所以面积是(3+5)×3÷2=12(面积单位);第(6)图是梯形,上底是3,下底是6,高是4,所以面积是(3+6)×4÷2=18(面积单位).注:如果两格点之间的距离是2,你能利用刚计算的结果说出相应面积么?分析:面积数值均扩大4倍。
苏教版五年级课后拓展第3讲格点与面积
![苏教版五年级课后拓展第3讲格点与面积](https://img.taocdn.com/s3/m/69506e74ce84b9d528ea81c758f5f61fb73628d9.png)
第3讲 格点与面积【名师指点】在格点中的图形有些是学过的图形,如:长方形、正方形、三角形等,如果不规则的图形一般可以借助割补法、分割法及相关的公式来解题。
【例1】观察右面四个多边形,计算右面各多边形的面积,并统计每个多边形四周的格点数和图形内的格点数。
【思路点睛】 如果用S 表示面积,N 表示图形内的格点数,L 表示四周的格点数,列表统计如右: 我对表内的数据进行分析发现:“任何一个正方形格点多边形的面积”都等于“图形内部的格点数加上四周的格点数除以2的和,再减1,即S =N +L/2-1。
解:图①:已知N =1,L =4所以S =N +L/2-1=1+2-1=2。
图②:已知N=2,L=6,所以S =N +L/2-1=2+3-1=4。
图③:已知N =5,L =6,所以S =N +L/2-1=5+3-1=7。
图④:已知N=6,L=8,所以S =N +L/2-1=6+4-1=9。
【例2】下图中是一个四角形,每个小正方形的面积为1平方厘米。
求阴影部分的面积。
【思路点睛】 可以把图形分割成四个相同的等腰三角形和中间一个正方形。
这道题既可以用分割的方法求出面积,也可以用例1的方法求出面积。
解:用分割法:(1)每个三角形的面积:2×2÷2=2(平方厘米);(2)中间正方形的面积:2×2=4(平方厘米);(3)四角形的面积:2×4+4=12(平方厘米)。
公式法:(1)内部格点数9个;(2)周界上的格点数:8个;(3)四角形的面积:(9+8÷2-1)×1=12(平方厘米)。
【例3】下面是一个正三角形格点图,共有21个点,其中每相邻3个点“∴”和“∵”构成的都是面积为1的等边三角形。
请你计算图中三角形的面积。
【思路点睛】用“图形内的格点数+四周的格点数÷2-1”来计算图形的面积。
又因为这里每个平行四边形的面积为2,则可按下面的公式计算:(图形内的格点数+四周的格点数数÷2-1)×2。
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3.4+1<7。
4.(1)2+3=5;(2)19+10+9=38。
5.19×7=133。
6.86-63=23。
7.93-91<32,93-31<92,93+31>32,33+31<92,53+31<92。
课后
作业
签字
教研组长:教学主任:学生:教务老师:家长:
老师
Байду номын сангаас课后
评价
下节课的计划:
学生的状况、接受情况和配合程度:
给家长的建议:
[例题精讲一:摆图形]
例题1:用三根火柴棒可以摆出一个三角形,如图,加两根,摆出两个三角形。
练习1:
1、摆一个正方形要4根火柴棒,如图:,你能用7根火柴棒摆出两个正方形吗?
2、摆一个三角形要用3根火柴棒,摆3个三角形至少需要多少根火柴棒?
3、把两根火柴棒添在那里,可以摆出5个正方形?
例题2:用16根火柴棒摆成的四个相等的正方形(如图)。减少1根,还可以拼成四个正方形,你会吗?如果减少2根呢?
3.移动2根火柴棍,使下面的不等式反向:
4.在下列各式中移动2根火柴,使它们成立:
5.移动3根火柴棍,使下式成立:
6.在下面的等式中,移动3根火柴棍,使其成为一个新的等式:
7.下面是一个不正确的不等式,请移动其中1根火柴,使不等式成立。请找出尽量多的不同移法。
1.(1)12-2=10;(2)14+1=15。
[课后延伸]
1.“”移动图中的三根火柴棒,使图形从“品”字变成“井”字。
2、下图是由12根火柴组成的三个正方形,你能移动3根火柴棒使图中出现7个正方形吗?
3、用10根火柴棍摆成向上飞的蝙蝠图,请你移动3根火柴,使它变成向下飞的蝙蝠图形?
4、下图是用15根火柴棍摆成的房子,请你移动2根火柴,使房子向右,应该怎样移动?
[例题精讲二:摆等式]
在下列各式中只移动1根火柴棍,使错误的式子变成正确的算式:
下面是一个不正确的不等式,请移动其中1根火柴,使不等式成立。要求找到尽可能多的不同的移动方法。
针对练习
1.在下面各式中去掉或添加1根火柴棍,使各式变成正确的算式:
2.在下面各式中,只移动1根火柴棍,使各式变为正确的算式:
2、如下图,由火柴棒摆了两只倒扣的杯子,请移动4根火柴棒,把杯口正过来。
3、下面的3个三角形是用9根火柴棒搭成的,你能用9根火柴棒搭出5个三角形吗?
例题4:用12根火柴摆成一个田字形:
(1)拿去两根火柴棒,变成两个正方形;
(2)移动三根火柴棒,变成三个正方形。
例题5:下图是用8根火柴棒摆成的一条鱼,请你移动3根火柴,使鱼头向右,应该怎样移动?
教学
内容
格点与面积
重点
难点
图形的特点
教学
目标
初步认识图形的特点
针
对
性
授
课
格点与面积
在一张方格图中,每个方格都是一个小正方形,并且大小都相等,我们称为一个面积单位。例如:右图中带阴影的小方格就是一个面积单位。
借助格点图,我们可以很快的比较或计算图形面积大小。
例题与方法
下图是用皮筋在钉板上分别围成的正方形、长方形、平行四边形和三角形。它们的面积分别是多少?
练习2:
1、用12根火柴棒,摆成四个大小一样的正方形,怎么摆?
2、图中有几个正方形?最少要添上几根火柴棒就能得到8个正方形?
例题3:下图是由5根火柴棒摆成的图形,请你移动其中的3根成这样的图形:
移动3根
练习3:
1、第一排有1根火柴棒,第二排有2根,第三排有3根,请你移动2根,变为第一排3根,第二排2根,第三排1根。
求下图中各图形的面积。
求下左图中图形的面积。
求右图中图形的面积。
练习与思考
求下图中各图形的面积。
求下图中各图形的面积。
求下图中各图形的面积。
求下图中图形的面积
第3讲:火柴棒游戏
[知识要点]
用火柴棒可以拼搭成各种有趣的图形,这些图形随着火柴棒的移动、增减,会发出意想不到的变化,这类游戏非常有趣、益智,你也来试试看。