2018-2019学年北京四中八年级(上)期中数学试卷-含详细解析

2018-2019学年北京四中八年级（上）期中数学试卷副标题题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共11小题，共34.0分）1.计算5−2的结果是()A. −10B. −25C. 125D. −1252.图中全等的三角形是()A. Ⅰ和ⅡB. Ⅱ和ⅣC. Ⅱ和ⅢD. Ⅰ和Ⅲ3.下列各式变形中，是因式分解的是()A. a2−2ab+b2−1=(a−b)2−1B. 2x2+2x=2x2(1+1x)C. (x+2)(x−2)=x2−4D. x4−1=(x2+1)(x+1)(x−1)4.如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是()A. CB=CDB. ∠BCA=∠DCAC. ∠BAC=∠DACD. ∠B=∠D=90°5.下列分式中，最简分式是()A. x2−1x2+1B. x+1x2−1C.x2−2xy+y2 x2−xy D. x2−362x+126.如图，已知钝角△ABC，老师按如下步骤尺规作图：步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①，点D．步骤3：连接AD，交BC延长线于点H．小明说：图中的BH⊥AD且平分AD．小丽说：图中AC平分∠BAD．小强说：图中的C为BH的中点认为()A. 小明说得对B. 小丽说的对C. 小强说的对D. 他们都不对7.学完分式运算后，老师出了一道题：“化简：x+3x+2+2−xx2−4”小明的做法是：原式=(x+3)(x−2)x2−4−x−2x2−4=x2+x−6−x−2x2−4=x2−8x2−4；小亮的做法是：原式=(x+3)(x−2)+(2−x)=x2+x−6+2−x=x2−4；小芳的做法是：原式=x+3x+2−x−2(x+2)(x−2)=x+3x+2−1x+2=x+3−1x+2=1．其中正确的是()A. 小明B. 小亮C. 小芳D. 没有正确的8.如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，在格点F、G、H、I中选出一个点与点D、点E构成的三角形与△ABC全等，则符合条件的点共有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9.若a2−2a−3=0，代数式1a(a−2)的值是()A. −13B. 13C. −3D. 310.关于x的分式方程2x−mx+1=3的解是负数，则字母m的取值范围是()A. m<3B. m<3且m≠211.如图，已知△ABD≌△ACE，且∠ABC=∠ACB，则图中一共有多少对全等三角形？()A. 3对B. 4对C. 5对D.6对二、填空题（本大题共7小题，共16.0分）12.当分式x−22x+1有意义的时候，x的取值范围是______．13.研究表明，H1N1流感球形病毒细胞的直径约为0.00000156m，用科学记数法表示这个数为______．14.如果m3=n2≠0，那么代数式3m−n4m2−n2⋅(2m+n)的值是______．15.3−2xx−1=______+1x−1．16.如图，△ABC≌△ADE且BC、DE交于点O，连接BD、CE，则下列四个结论①BC=DE；②∠ABC=∠ADE；③∠BAD=∠CAE；④BD=CE，其中一定成立的有______．17.已知a n=1(n+1)(n=1,2，3，……)，b1=2(1−a1)，b2=2(1−a1)(1−a2)…，b n= 2(1−a1)(1−a2)…(1−a n)则通过计算推测出b n表达式为b n=______(用含n的代数式表示)18.已知x2−2x−3是多项式3x3+ax2+bx−3的因式(a、b为整数)则a=______，b=______．三、计算题（本大题共3小题，共18.0分）19.计算(1)12a5b3+(−14a3b)⋅(−3a)2；(2)3−m2m−4÷(m+2−5m−2)20.先化简1−x2−1x2+2x+1÷x−1x，再任取一个你喜欢的x的值，代入求值．21.解方程：xx−2−1=2x2−4．四、解答题（本大题共9小题，共52.0分）22.因式分解(1)2a2b−8b(2)xy3−10xy2+25xy23.已知：如图，点A、B、C、D在同一直线上，且AB=CD，AE//BF，AE=BF．求证：∠E=∠F．24.如图，BE、CF分别是钝角△ABC(∠A>90°)的高，在BE上截取BP=AC，在CF的延长线截取CQ=AB，连结AP、AQ，请推测AP与AQ的数量和位置关系，并加以证明．25.根据《中国铁路中长期发展规划》，预计到2020年底，我国建设城际轨道交通的公里数是客运专线的2倍．其中建设城际轨道交通约投入8000亿元，客运专线约投入3500亿元．据了解，建设每公里城际轨道交通与客运专线共需1.5亿元．预计到2020年底，我国将建设城际轨道交通和客运专线分别约多少公里？26.将两个全等的△ABC和△DBE按图1方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于F．(1)求证：AF+EF=DE；(2)若将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转角a，且60°<α<180°，其他条件不变，如图2，请直接写出此时线段AF、EF与DE之间的数量关系．27.如下表，方程1、方程2、方程3.是按照一定规律排列的一列方程(1)猜想方程1的解，并将它们的解，填在图中的空白处．序号方程方程的解(x1<x2)16x−1x−2=1x1=______ ，x2=______28x−1x−3=1x1=4，x2=6310x−1x−4=1x1=5，x2=8………………(2)若方程ax −1x−b=1(a>b)的解是x1=6，x2=10，猜想a、b的值．(3)请写出这列方程中的第n个方程和它的解．28.阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在△ABC中，AB=9，AC=5，BC边上的中线AD的取值范围．(1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法(如图1)：①延长AD到Q使得BQ=AD；②再连接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中；③利用三角形的三边关系可得4<AQ<14，则AD的取值范围是______．感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中(2)请写出图1中AC与BQ的位置关系并证明；90°，试探究线段AD 与EF 的数量和位置关系，并加以证明．29. 如果一个正整数能写成a 2+3b 2的形式(其中a 、b 均为自然数)，则称之为婆罗摩笈多数，比如7和31均是婆罗摩笈多数，因为7=22+3×12，31=22+3×32． (1)请证明：28和217都是婆罗摩笈多数；(2)请证明：任何两个婆罗摩笈多数的乘积依旧是婆罗摩笈多数．30. 请阅读下述材料：下述形式的繁分数叫做有限连分数，其中n 是自然数，a 0是整数，a 1，a 2，a 3…，a n 是正整数：a 0+1a 1+1a 2+1a 3+1 (1)n其中a 0，a 1，a 2，a 3，…a n 称为部分商．按照以下方式，可将任意一个分数转化为连分数的形式：a =4913，则a =3+1013；考虑1013的倒数，有1310=1+310，从而a =3+11+310，再考虑310的倒数，有103=3+13，于是得到a 的连分数展开式，是他有4个剖分商：3，1，3，3； a =49=3+11．可利用连分数来求二元一次不定方程的特殊解，以49x −13y =1为例，首先将4913写成连分数的形式，如上所示；其次，数部分商的个数，本例是偶数个部分商(奇数情况见下例)；最后计算倒数第二个渐进分数3+11+13=154从而x 0=4，y 0=15是一个特解考虑不定方程49x −34y =1，先将4913写成连分数的形式：4934=1+12+13+11+13意到此联分数有奇数个部分商：将之改写为偶数个部分商的形式：4934=1+12+13+11+12+11计算倒数第二个渐进分数：1+12+13+11+12=3625，所以x 0=25，y 0=36，是49x −34y =1的一个特解对于分式，有类似的连分式的概念，利用将分数展开为连分数的方法，可以将分式展开为连分式，例如x 4+2x 2+2x+1x 2+x+1的连分式展开式如下，它有3个部分商：x 2−x +2，x +2，13x −13； x 2−x +2+1x+2+113x−13，再例如x 3+x+1x −x +2x =1+1x+1x−1+1x ，他有4个部分商：1，x ，x −1，x请阅读上述材枓，利用所讲述的方法，解决下述两个问题(1)找出两个关于x 的多项式p 和q ，使得(x 2+x +1)p −(x 2+1)q =1 (2)找出两个关于x 的多项式u 和v ，使得(x 3+2x 2+x +1)u −(x 2+x +1)v =1答案和解析1.【答案】C【解析】解：5−2=152=125．故选：C．直接利用负指数幂的性质分析得出答案．此题主要考查了负指数幂的性质，正确把握负指数幂的性质是解题关键．2.【答案】D【解析】【分析】仔细观察图形，验证各选项给出的条件是否符合全等的判定方法，符合的是全等的不符合的则不全等，题目中D选项的两个三角形符合SAS，是全等的三角形，其它的都不能得到三角形全等．本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理．做题时要根据已知条件结合图形利用全等的判定方法逐个寻找．【解答】解：A选项中条件不满足SAS，不能判定两三角形全等；B选项中条件对应边不相等，不能判定两三角形全等；C选项中条件不满足SAS，不能判定两三角形全等；D选项中条件满足SAS，能判定两三角形全等．故选：D．3.【答案】D【解析】解：A a2−2ab+b2−1=(a−b)2−1中不是把多项式转化成几个整式积的形式，故A错误；B2x2+2x=2x2(1+1x )中1x不是整式，故B错误；C(x+2)(x−2)=x2−4是整式乘法，故C错误；Dx4−1=(x2+1)(x2−1)=(x2+1)(x+1)(x−1)，故D正确．根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意B不是整式的积，A、C不是积的形式．4.【答案】B【解析】解：在△ABC和△ADC中，∵AB=AD，AC=AC，∴当CB=CD时，满足SSS，可证明△ABC≌△ACD，故A可以；当∠BCA=∠DCA时，满足SSA，不能证明△ABC≌△ACD，故B不可以；当∠BAC=∠DAC时，满足SAS，可证明△ABC≌△ACD，故C可以；当∠B=∠D=90°时，满足HL，可证明△ABC≌△ACD，故D可以；故选：B．由图形可知AC=AC，结合全等三角形的判定方法逐项判断即可．本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．5.【答案】A【解析】【分析】此题考查了最简分式，最简分式为分式的分子分母没有公因式，即不能约分的分式．利用最简分式的定义判断即可．【解答】解：A、原式为最简分式，符合题意；B、原式=x+1(x+1)(x−1)=1x−1，不合题意；C、原式=(x−y)2x(x−y)=x−yx，不合题意；D、原式=(x+6)(x−6)2(x+6)=x−62，不合题意，故选A．6.【答案】A【解析】解：连接CD，BD．由作图可知：CA=CD，BD=BA，∴直线BC是线段AD的垂直平分线，∴BH⊥AD且平分AD，故小明的说法正确，故选：A．根据线段的垂直平分线的判定定理即可解决问题．本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7.【答案】C【解析】解：x+3x+2+2−xx2−4=x+3x+2−x−2(x+2)(x−2)=x+3x+2−1x+2=x+3−1x+2=x+2x+2=1．所以正确的应是小芳．故选C．小明的做法在通分后分子(x−2)的符号没有变换；小亮的做法把分母忘记写了；小芳的做法是正确的．本题考查了分式的计算和化简．解决这类题目关键是把握好通分与约分．分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分．同时注意在进行运算前要尽量保证每个分式最简．化简2−x x2−4=−1x+2时，学生容易出错．同时学生也容易混淆计算与解方程的区别，而误选B．8.【答案】B【解析】解：由图形可知AB=√5，AC=3，BC=√2，GD=√5，DE=√2，GE=3，DI=3，EI=√5，所以G，I两点与点D、点E构成的三角形与△ABC全等，故选：B．根据全等三角形的判定解答即可．此题考查全等三角形的判定，关键是根据SSS证明全等三角形．9.【答案】B【解析】解：移项，得a2−2a=3．1a(a−2)=1a2−2a=13，故选：B．根据整体代入，可得答案．本题考查了分式的值，利用整体代入是解题关键．10.【答案】D【解析】解：2x−mx+1=3，方程两边同时乘以x+1得：2x−m=3(x+1)，解得：x=−m−3，∵x+1≠0，∴x≠−1即−m −3≠−1，解得：m ≠−2，又∵方程的解是负数，∴−m −3<0，解不等式得：m >−3，综上可知：m >−3且m ≠−2，故选：D ．解分式方程，得到含有m 得方程的解，根据“方程的解是负数”，结合分式方程的分母不等于零，得到两个关于m 得不等式，解之即可．本题考查了分式方程的解和解一元一次不等式，正确掌握解分式方程和解一元一次不等式是解题的关键．11.【答案】B【解析】解：∵△ABD≌△ACE ，∴AE =AD ，CE =BD ，∠ABD =∠ACE ，∴BE =CD ，在△BFE 与△CFD 中，{∠EBF =∠DCF∠BFE =∠CFD BE =CD，∴△BFE≌△CFD(AAS)，在△BCD 与△CBE 中{BE =CDCE =BD BC =BC，∴△BCD≌△CBE(SSS)，∴BD =CE ，在△BDE 与△CED 中，{BE =CDDE =DE BD =CE，∴△BDE≌△CED(SSS)，∴共有4对全等三角形．故选：B ．根据全等三角形的性质得到AE =AD ，CE =BD ，∠ABD =∠ACE ，推出△BFE≌△CFD ，△BCD≌△CBE ，△BDE≌△CED 于是得到结论．此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．12.【答案】x≠−12【解析】解：依题意得：2x+1≠0，解得：x≠−12．故答案是：x≠−12．分式有意义的条件是分母不等于零．此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．13.【答案】1.56×10−6【解析】【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．由此可得，此题的a=1.56，10的指数为−6．【解答】解：0.00000156=1.56×10−6．故答案为1.56×10−6．14.【答案】74【解析】解：原式=3m−n(2m+n)(2m−n)⋅(2m+n)=3m−n2m−n，设m3=n2=k，则m=3k、n=2k，所以原式=9k−2k6k−2k =7k4k=74，故答案为：74．先化简该分式，再设m3=n2=k，则m=3k、n=2k，代入化简后的分式计算可得．本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是熟练掌握分式的乘除运算顺序和法则． 15.【答案】−2【解析】解：3−2x x−1−1x−1=3−2x−1x−1=−2(x−1)x−1=−2．故答案为：−2根据题意列出算式，计算即可求出值．此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 16.【答案】①②③【解析】解：∵△ABC≌△ADE∴AB =AD ，BC =DE ，∠ABC =∠ADE ，∠BAC =∠DAE∴∠BAC −∠DAC =∠DAE −∠DAC∴∠BAD =∠CAE故答案为：①②③由全等三角形的性质依次判断即可求解．本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质是本题的关键． 17.【答案】2n+1【解析】解：由题意可得，a 1=12，a 2=13，a 3=14，…，a n =1(n+1)， 则b 1=2×(1−12)=2×12=22，b 2=23，b 3=24，b 4=25，…，b n =2n+1，故答案为：2n+1．根据题意可以写出a n 的前几项和b n 的前几项，从而可以得到b n 表达式，本题得以解决． 本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出b n 的表达式． 18.【答案】−5 −11【解析】解：设另一个因式是：mx +n ，则(x 2−2x −3)(mx +n)=mx 3+(n −2m)x 2+(−3m −2n)x −3n =3x 3+ax 2+bx −3则：{m =3n −2m =a −3m −2n =b−3n =−3 解得：{m =3n =1a =−5b =−11故答案是：−5，−11．设另一个因式是：mx +n ，计算(x 2−2x −3)(mx +n)，展开以后与多项式3x 3+ax 2+bx −3对应项的系数相同，即可列方程组求a 、b 的值．本题主要考查了分解因式的定义，分解因式与整式的乘法互为逆运算．19.【答案】解：(1)12a 5b 3+(−14a 3b)⋅(−3a)2=12a 5b 3+(−14a 3b)⋅9a 2 =12a 5b 3−94a 5b ； (2)3−m 2m −4÷(m +2−5m −2) =3−m 2(m −2)÷(m +2)(m −2)−5m −2 =3−m 2(m −2)⋅m −2m 2−9 =3−m 2(m −2)⋅m −2(m +3)(m −3) =−12(m+3)．【解析】(1)根据积的乘方和同底数幂的乘方可以解答本题；(2)根据分式的减法和除法可以解答本题．本题考查分式的混合运算、幂的乘方与积的乘方、单项式乘单项式，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．20.【答案】解：1−x 2−1x 2+2x+1÷x−1x =1−(x +1)(x −1)(x +1)2⋅x x −1 =1−x x +1 =x +1−x x +1=1x+1，当x=2时，原式=12+1=13．【解析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后选一个使得原分式有意义的x的值代入化简后的式子即可解答本题．本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．21.【答案】解：去分母，得x(x+2)−(x2−4)=2，去括号，得x2+2x−x2+4=2，整理，得2x=−2，解得x=−1，检验：将x=−1代入(x+2)(x−2)=−3≠0，∴x=−1是原方程的解．【解析】本题考查解分式方程的方程，因为x2−4=(x+2)(x−2)，所以可确定原方程的最简公分母为(x+2)(x−2)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，注意一定要检验．解分式方程的关键是两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，易错点是忽视检验．22.【答案】解：(1)2a2b−8b=2b(a2−4)=2b(a−2)(a+2)；(2)xy3−10xy2+25xy=xy(y2−10xy+25)=xy(y−5)2．【解析】(1)直接提取公因式2b，进而利用平方差分解因式即可；(2)直接提取公因式xy，进而利用完全平方公式分解因式即可．此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．23.【答案】证明：∵AB=CD，AE//BF，∴AC=BD，∠A=∠FBD，∵AE=BF，∴△EAC≌△FBD，∴∠E=∠F．【解析】根据题意可以推出AC=BD，∠A=∠FBD，即可推出△EAC≌△FBD，所以∠E=∠F．本题主要考查全等三角形的判定和性质，解题的关键在于求证△EAC≌△FBD即可．24.【答案】解：AP=AQ，AP⊥AQ，理由如下：∵CF⊥AB，BE⊥AC，∴∠AEB=∠AFC=90°，∴∠ABE=∠ACQ=90°−∠BAC．∵BP=AC，CQ=AB，在△APB和△QAC中，{BP=AC∠ABE=∠ACQ CQ=AB，∴△APB≌△QAC(SAS)．∴∠BAP=∠CQA，AP=AQ，∵∠CQA+∠QAF=90°，∴∠BAP+∠QAF=90°．即AP⊥AQ【解析】先证明△APB≌△QAC，得∠BAP=∠CQA，通过等量代换得∠BAP+∠QAF= 90°即可得AP⊥AQ．本题考查了全等三角形的性质和判定，垂直定义，三角形内角和定理的应用，解此题的关键是推出△APB≌△QAC，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．25.【答案】解：设我国将建设城际轨道交通专线x公里，可得：80002x +3500x=1.5，解得：x=5000，2x=10000经检验x=5000是原方程的解，答：我国将建设城际轨道交通和客运专线分别约5000，10000公里．【解析】设我国将建设城际轨道交通专线x公里，根据题意列出方程解答即可．此题考查了分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的等量关系，列出方程，解分式方程时要注意检验．26.【答案】证明：(1)连接BF，∵△ABC≌△DBE∴BC=BE，DE=AC，AB=BD，∵BE=BC，BF=BF∴Rt△BCF≌Rt△BEF(HL)∴EF=CF∴DE=AC=AF+CF=AF+EF(2)连接BF，∵△ABC≌△DBE∴BC=BE，DE=AC，AB=BD，∵BE=BC，BF=BF∴Rt△BCF≌Rt△BEF(HL)∴EF=CF∴AF=AC+CF=DE+EF【解析】(1)由全等三角形的性质可得BC=BE，DE=AC，AB=BD，由“HL”可证Rt△BCF≌Rt△BEF，可得EF=CF，由线段之间关系可求解；(2)由全等三角形的性质可得BC=BE，DE=AC，AB=BD，由“HL”可证Rt△BCF≌Rt△BEF，可得EF=CF，由线段之间关系可求解．本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．27.【答案】解：(1)3，4；(2)12，5；(3)2n+4x −1x−(n+1)=1，x1=n+2，x2=2n+2．【解析】【分析】此题考查了分式方程的解，以及规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．(1)根据表格中方程解的特征判断出所求即可；(2)根据表格中的规律确定出a与b的值即可；(3)归纳总结得到一般性规律，写出即可．【解答】解：(1)填写如下：故答案为3，4；(2)若方程ax −1x−b=1(a>b)的解是x1=6，x2=10，则有a=12，b=5；(3)归纳得：第n个方程为2n+4x −1x−(n+1)=1，它的解为x1=n+2，x2=2n+2．28.【答案】2<AD<7【解析】解：(1)延长AD到Q使得BQ=AD，连接BQ，∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，在△QDB和△ADC中，{BD=CD∠BDQ=∠CDA DQ=AD，∴△QDB≌△ADC(SAS)，∴BQ=AC=5，在△ABQ中，AB−BQ<AQ<AB+BQ，∴4<AQ<14，∴2<AD<7，故答案为：2<AD<7；(2)AC//BQ，理由：由(1)知，△QDB≌△ADC，∴∠BQD=∠CAD，∴AC//BQ；(3)EF=2AD，AD⊥EF，理由：如图2，延长AD到Q使得BQ=AD，连接BQ，由(1)知，△BDQ≌△CDA(SAS)，∴∠DBQ=∠ACD，BQ=AC，∵AC=AF，∴BQ=AF，在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠BAC+∠ABC+∠DBQ=180°，∴∠BAC+ABQ=180°，∵∠BAE=∠FAC=90°，∴∠BAC+∠EAF=180°，∴∠ABQ=∠EAF，在△ABQ和△EAF中，{AB=EA∠ABQ=∠EAF BQ=AF，∴△ABQ≌△EAF，∴AQ=EF，∠BAQ=∠AEF，延长DA交EF于P，∵∠BAE=90°，∴∠BAQ+∠EAP=90°，∴∠AEF+∠EAP=90°，∴∠APE=90°，∴AD⊥EF，∵AD=DQ，∴AQ=2AD，∵AQ=EF，∴EF=2AD，即：EF=2AD，AD⊥EF．(1)先判断出BD=CD，进而得出△QDB≌△ADC(SAS)，得出BQ=AC=5，最后用三角形三边关系即可得出结论；(2)由(1)知，△QDB≌△ADC(SAS)，得出∠BQD=∠CAD，即可得出结论；(3)同(1)的方法得出△BDQ≌△CDA(SAS)，∴∠DBQ=∠ACD，BQ=AC，进而判断出∠ABQ=∠EAF，进而判断出△ABQ≌△EAF，得出AQ=EF，∠BAQ=∠AEF，即可得出结论．此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形是解本题的关键．29.【答案】证明：(1)∵28=12+3×32=28，217=132+3×42=217，∴28和217都是婆罗摩笈多数．(2)设一个婆罗摩笈多数为x=a2+3b2，另一个婆罗摩笈多数为y=c2+3d2，xy=(a2+3b2)⋅(c2+3d2)=a2c2+3a2d2+3b2c2+9b2d2=(ac)2+(3bd)2+6abcd−6abcd+3a2d2+3b2c2=(ac+bd)2+3(ad−bc)2因此，任何两个婆罗摩笈多数的乘积依旧是婆罗摩笈多数．【解析】(1)根据一个正整数能写成a2+3b2的形式，28=12+3×32=28，217= 132+3×42=217；(2)设一个婆罗摩笈多数为x=a2+3b2，另一个婆罗摩笈多数为y=c2+3d2，所以xy=(a2+3b2)⋅(c2+3d2)，然后根据乘法公式化简，最后分解因式即可．本题考查了整式乘法运算以及分解因式，正确运用整式乘法运算律、熟练掌握提取公因式分解因式和公式法分解因式是解题的关键．30.【答案】解：(1)x2+x+1x2+1=1+1x+1x，计算倒数第二个渐进分数：1+1x =x+1x，∴p=x，q=x+1，(2)x3+2x2+x+1x2+x+1=x+1−1(x+1)+1x，计算倒数第二个渐进分数：x+1−1x+1=x2+2xx+1，∴u=x+1，v=x2+2x，【解析】(1)根据题意可以将题目中的式子分式展开为连分式；然后按要求求出计算倒数第二个渐进分式，即可得到所求关于x的多项式p和q；(2)根据题意可以将题目中的式子分式展开为连分式；然后按要求求出计算倒数第二个渐进分式即可两个关于x的多项式u和v..本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答问题．。