模型组合讲解渡河模型
第13讲 小船渡河模型(解析版)
第13讲小船渡河模型1．（2021·辽宁）1935年5月，红军为突破“围剿”决定强渡大渡河。
首支共产党员突击队冒着枪林弹雨依托仅有的一条小木船坚决强突。
若河面宽300m，水流速度3m/s，木船相对静水速度1m/s，则突击队渡河所需的最短时间为（）A．75s B．95s C．100s D．300s【解答】解：当静水速度与河岸垂直时，垂直于河岸方向上的分速度最大，则渡河时间最短，最短时间为：t=dv c=3001s＝300s，故D正确，ABC错误；故选：D。
一.知识回顾1.模型构建（1）常规简单模型：实际运动是匀速直线运动在运动的合成与分解问题中，两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动。
若其中一个分运动的速度大小和方向都不变，另一个分运动的速度大小不变，方向在180°范围内(在速度不变的分运动所在直线的一侧)变化，我们对合运动或分运动的速度、时间、位移等问题进行研究。
这样的运动系统可看成“小船渡河模型”。
（2）较复杂模型：实际运动是曲线运动水速不变，但船在静水中速度变化；或者船在静水中速度不变，但水速大小变化。
2．模型特点(1)船的实际运动是随水流的运动和船相对静水的运动的合运动。
(2)三种速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v合。
3．实际运动是匀速直线运动的两类问题、三种情景渡河时间最短当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间t min＝dv船渡河位移最短如果v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，等于河宽d如果v 船<v 水，当船头方向(即v 船方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，等于d v 水v 船5.解题方法：小船渡河问题有两类：一是求渡河时间，二是求渡河位移。
无论哪类都必须明确以下四点：(1)解决问题的关键：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是船头指向，是分运动。
船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动，一般情况下与船头指向不一致。
小船渡河模型(含答案)
运动的合成与分解实例——小船渡河模型一、基础知识（一）小船渡河问题分析(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．(2)三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的实际速度)．(3)三种情景①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t短＝d v1(d为河宽)．②过河路径最短(v2<v1时)：合速度垂直于河岸时，航程最短，s短＝d.船头指向上游与河岸夹角为α，cos α＝v2v1.③过河路径最短(v2>v1时)：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．确定方法如下：如图所示，以v2矢量末端为圆心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短．由图可知：cos α＝v1v2，最短航程：s短＝dcos α＝v2v1d.（二）求解小船渡河问题的方法求解小船渡河问题有两类：一是求最短渡河时间，二是求最短渡河位移．无论哪类都必须明确以下四点：(1)解决这类问题的关键是：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是船头指向，是分运动．船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动，一般情况下与船头指向不一致．(2)运动分解的基本方法，按实际效果分解，一般用平行四边形定则按水流方向和船头指向分解．(3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关．(4)求最短渡河位移时，根据船速v船与水流速度v水的大小情况用三角形法则求极限的方法处理．二、练习1、一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s.若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，则：(1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？解析(1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向．当船头垂直河岸时，如图所示．合速度为倾斜方向，垂直分速度为v2＝5 m/s.t＝dv2＝1805s＝36 sv＝v21＋v22＝52 5 m/sx＝v t＝90 5 m(2)欲使船渡河的航程最短，应垂直河岸渡河，船头应朝上游与垂直河岸方向成某一夹角α，如图所示．有v2sin α＝v1，得α＝30°所以当船头向上游偏30°时航程最短．x′＝d＝180 m.t′＝dv2cos 30°＝180523s＝24 3 s答案(1)垂直河岸方向36 s90 5 m (2)向上游偏30°24 3 s180 m2、一条船要在最短时间内渡过宽为100 m的河，已知河水的流速v1与船离河岸的距离x变化的关系如图甲所示，船在静水中的速度v2与时间t的关系如图乙所示，则以下判断中正确的是()A．船渡河的最短时间是25 s B．船运动的轨迹可能是直线C ．船在河水中的加速度大小为0.4 m/s 2D ．船在河水中的最大速度是5 m/s 答案 C 解析 船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直时渡河时间最短，即t ＝1005 s ＝20 s ，A 错误；由于水流速度变化，所以合速度变化，船头始终与河岸垂直时，运动的轨迹不可能是直线，B 错误；船在最短时间内渡河t ＝20 s ，则船运动到河的中央时所用时间为10 s ，水的流速在x ＝0到x ＝50 m 之间均匀增加，则a 1＝4－010 m /s 2＝0.4 m/s 2，同理x ＝50 m到x ＝100 m 之间a 2＝0－410 m /s 2＝－0.4 m/s 2，则船在河水中的加速度大小为0.4 m/s 2，C 正确；船在河水中的最大速度为v ＝52＋42 m/s ＝41 m/s ，D 错误．3、如5所示，河水流速与距出发点垂直距离的关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，若要使船以最短时间渡河，则( )A ．船渡河的最短时间是60 sB ．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直C ．船航行的轨迹是一条直线D ．船的最大速度是5 m/s 答案 BD解析 当船头指向垂直于河岸时，船的渡河时间最短，其时间t ＝d v 2＝3003 s ＝100 s ，A错，B 对．因河水流速不均匀，所以船在河水中的航线是一条曲线，当船行驶至河中央时，船速最大，最大速度v ＝42＋32 m /s ＝5 m/s ，C 错，D 对．4、(2011·江苏·3)如图所示，甲、乙两同学从河中O 点出发，分别沿直线游到A 点和B 点后，立即沿原路线返回到O 点，OA 、OB 分别与水流方向平行和垂直，且OA ＝OB .若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间t 甲、t 乙的大小关系为 ( ) A ．t 甲<t 乙 B ．t 甲＝t 乙C ．t 甲>t 乙D ．无法确定 答案 C解析 设两人在静水中游速为v 0，水速为v ，则 t 甲＝x OA v 0＋v ＋x OAv 0－v ＝2v 0x OA v 20－v2 t 乙＝2x OBv 20－v2＝2x OAv 20－v 2<2v 0x OAv 20－v 2 故A 、B 、D 错，C 对．5、甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，河宽为H ，河水流速为v 0，划船速度均为v ，出发时两船相距233H ，甲、乙两船船头均与河岸成60°角，如图所示．已知乙船恰好能垂直到达对岸A 点，则下列判断正确的是( )A ．甲、乙两船到达对岸的时间不同B ．v ＝2v 0C ．两船可能在未到达对岸前相遇D ．甲船也在A 点靠岸 答案 BD解析 渡河时间均为Hv sin 60°，乙能垂直于河岸渡河，对乙船由v cos 60°＝v 0得v ＝2v 0，甲船在该时间内沿水流方向的位移为(v cos 60°＋v 0)H v sin 60°＝233H ，刚好到达A 点，综上所述，A 、C 错误，B 、D 正确．6、一快艇要从岸边某处到达河中离岸100 m 远的浮标处，已知快艇在静水中的速度图象如图甲所示，流水的速度图象如图乙所示，假设行驶中快艇在静水中航行的分速度方向选定后就不再改变，则( )A ．快艇的运动轨迹可能是直线B ．快艇的运动轨迹只能是曲线C ．最快到达浮标处通过的位移为100 mD ．最快到达浮标处所用时间为20 s 解析 快艇的实际速度为快艇在静水中的速度与水速的合速度．由图象可知快艇在静水中为匀加速直线运动，水为匀速直线运动，两速度不在同一条直线上，故快艇必做曲线运动，A 错误，B 正确；当快艇与河岸垂直时，到达浮标处时间最短，而此时快艇做曲线运动，故位移大于100 m ，C 错误；由题图甲可知快艇的加速度为a ＝ΔvΔt ＝0.5 m/s 2，最短位移为x ＝100 m ，对快艇由x ＝12at 2得：t ＝2x a ＝ 2×1000.5s ＝20 s ，即最快到达浮标处所用时间为20 s ，D 正确． 答案 BD。
高中物理模型组合27讲(Word下载)速度分解渡河模型
高中物理模型组合２７讲（Word 下载）速度分解渡河模型【模型概述】在运动的合成与分解中，如何判定物体的合运动和分运动是首要咨询题，判定合运动的有效方法是看见的运动确实是合运动。
合运动的分解从理论上讲能够是任意的，但一样按运动的实际成效进行分解。
小船渡河和斜拉船等咨询题是常见的运动的合成与分解的典型咨询题【模型讲解】一、速度的分解要从实际情形动身例1. 如图1所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度0v 拉水平面上的物体A ，当绳与水平方向成θ角时，求物体A 的速度。
图1解法一〔分解法〕：此题的关键是正确地确定物体A 的两个分运动。
物体A 的运动〔即绳的末端的运动〕可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短。
绳长缩短的速度即等于01v v =；二是随着绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度θ的值。
如此就能够将A v 按图示方向进行分解。
因此1v 及2v 实际上确实是A v 的两个分速度，如图1所示，由此可得θθcos cos 01v v v A ==。
解法二〔微元法〕：要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时刻来求它的平均速率，当这一小段时刻趋于零时，该平均速率就为所求速率。
设船在θ角位置经△t 时刻向左行驶△x 距离，滑轮右侧的绳长缩短△L ，如图2所示，当绳与水平方向的角度变化专门小时，△ABC 可近似看做是一直角三角形，因而有θcos x L ∆=∆，两边同除以△t 得：θcos txt L ∆∆=∆∆ 即收绳速率θcos 0A v v =，因此船的速率为：θcos 0v v A =图2总结：〝微元法〞。
可设想物体发生一个微小位移，分析由此而引起的牵连物体运动的位移是如何样的，得出位移分解的图示，再从中找到对应的速度分解的图示，进而求出牵连物体间速度大小的关系。
解法三〔能量转化法〕：由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功。
人对绳子的拉力为F ，那么对绳子做功的功率为01Fv P =；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F ，那么绳子对物体做功的功率为θcos 2A Fv P =，因为21P P =因此θcos 0v v A =。
关于小船渡河模型分析
2015.1.26 制 1．模型展示：小船在渡河时，同时参与了两个运动：一是随水沿水流方向的运动，二是船本身相对水
的运动．小船实际发生的运动是合运动，而这两个运动是分运动．模型主要讨论船渡河时间最短和位
移最短这两个问题．设一条河宽 d，船在静水中的速度为 v1，水流速度为 v2，下面讨论小船渡河的这
2.如图甲所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车匀速向右运动时，物体 A 的受力情况是 () A．绳的拉力大于 A 的重力 B．绳的拉力等于 A 的重力 C．绳的拉力小于 A 的重力 D．拉力先大于重力，后变为小于重力
平抛运动分析
1.如图所示,从地面上方 D 点沿相同方向水平抛出的三个小球分别击中对面墙上的 A、B、C 三点,图中
两类问题．
2．三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水的流速)、v(船的实际速度)． 3．三种情景
d (1)过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t 短＝v1(d 为河宽)． (2)过河路径最短(v2＜v1 时)：合速度垂直于河岸，航程最短，x 短＝d.
(3)过河路径最短(v2＞v1 时)：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．确定方法如下：如右图所示， 以 v2 矢量末端为圆心，以 v1 矢量的大小为半径画弧，从 v2 矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切 线方向航程最短．
A．v0< v <2v0
C．v=2v0 B．2v0< v <3v0 D．v>3v0
8..一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动
轨迹如图中虚线所示．小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为( )
A．tan θ B．2tan θ
0衡水中学物理最经典-物理建模系列(五) 小船渡河模型分析
物理建模系列(五)小船渡河模型分析1．模型构建在运动的合成与分解问题中，两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动，其中一个速度大小和方向都不变，另一个速度大小不变，方向在180°范围内(在速度不变的分运动所在直线的一侧)变化，我们对合运动或分运动的速度、时间、位移等问题进行研究．这样的运动系统可看作“小船渡河模型”．2．模型展示3．三种速度：v1(水的流速)、v2(船在静水中的速度)、v(船的实际速度)．4．三种情景12求：(1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？【解析】 (1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向当船头垂直河岸时，如图甲所示，合速度为倾斜方向，垂直分速度为v 1＝5 m/s. t ＝d v 1＝1805s ＝36 s v ＝v 21＋v 22＝52 5 m/s x ＝v t ＝90 5 m.(2)欲使船渡河航程最短，合速度应垂直于河岸，船头应朝上游与垂直河岸方向成某一夹角α如图乙所示， 有v 1sin α＝v 2， 得α＝30°所以当船头向上游垂直河岸方向偏30°时航程最短． x ′＝d ＝180 m. t ′＝d v 1cos 30°＝180523 s＝24 3 s.【答案】 (1)垂直河岸方向 36 s 90 5 m (2)向上游垂直河岸方向偏30° 24 3 s 180 m1．解这类问题的关键是：正确区分分运动和合运动． 2．运动分解的基本方法：按实际运动效果分解． (1)确定合速度的方向(就是物体的实际运动方向)； (2)根据合速度产生的的实际运动效果确定分速度的方向；(3)运用平行四边形定则进行分解．3．小船渡河问题的处理(1)小船渡河问题，无论v船＞v水，还是v船＜v水，渡河的最短时间均为t min＝Lv船(L为河宽)．(2)当v船＞v水时，船能垂直于河岸渡河，河宽即是最小位移；当v船＜v水时，船不能垂直于河岸渡河，但此时仍有最小位移渡河，可利用矢量三角形定则求极值的方法处理．[高考真题]1．(2016·课标卷Ⅰ，18)一质点做匀速直线运动，现对其施加一恒力，且原来作用在质点上的力不发生改变，则()A．质点速度的方向总是与该恒力的方向相同B．质点速度的方向不可能总是与该恒力的方向垂直C．质点加速度的方向总是与该恒力的方向相同D．质点单位时间内速率的变化量总是不变【解析】因为质点原来做匀速直线运动，合外力为0，现在施加一恒力，质点的合力就是这个恒力，所以质点可能做匀变速直线运动，也有可能做匀变速曲线运动，这个过程中加速度不变且一定与该恒力的方向相同，但若做匀变速曲线运动，单位时间内速率的变化量是变化的，故C正确，D错误．若做匀变速曲线运动，则质点速度的方向不会总是与该恒力的方向相同，故A错误；不管做匀变速直线运动，还是做匀变速曲线运动，质点速度的方向不可能总是与该恒力的方向垂直，故B正确．【答案】BC2．(2015·广东卷，14)如图所示，帆板在海面上以速度v朝正西方向运动，帆船以速度v朝正北方向航行，以帆板为参照物()A．帆船朝正东方向航行，速度大小为vB．帆船朝正西方向航行，速度大小为vC．帆船朝南偏东45°方向航行，速度大小为2vD．帆船朝北偏东45°方向航行，速度大小为2v【解析】以帆板为参照物，帆船具有朝正东方向的速度v和朝正北方向的速度v，两速度的合速度大小为2v，方向朝北偏东45°，故选项D正确．【答案】 D3．(2014·四川卷，4)有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河．小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直．去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为()A.k vk2－1B．v1－k2C.k v1－k2D．vk2－1【解析】设河岸宽度为d，去程时t1＝dv静，回程时，t2＝dv2静－v2，又t1t2＝k，得v静＝v1－k2，B正确．【答案】 B[名校模拟]4．(2018·山东潍坊高三上学期期中)关于曲线运动，下列说法正确的是()A．曲线运动是变速运动B．变速运动一定是曲线运动C．物体保持速率不变沿曲线运动，其加速度为零D．任何做圆周运动物体的加速度都指向圆心【解析】曲线运动是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动，例如匀变速直线运动，故A对，B错；匀速圆周运动速率不变，但加速度不为零，C错；只有做匀速圆周运动的物体加速度才指向圆心，D错．【答案】 A5．(2018·山东烟台高三上学期期中)一物体从位于一直角坐标系xOy平面上的O点开始运动，前2 s在y轴方向的v-t图象和x轴方向的s-t图象分别如图甲、乙所示，下列说法正确的是()甲乙A．物体做匀变速直线运动B ．物体的初速度为8 m/sC ．2 s 末物体的速度大小为4 m/sD ．前2 s 内物体的位移大小为8 2 m【解析】 由图象可知，y 轴方向为匀加速运动，x 轴方向为匀速直线运动，故合运动为曲线运动，A 错；物体初速度为4 m/s ，B 错；2 s 末速度v ＝42＋(4×2)2 m/s ＝4 5 m/s ，C 错；前2 s 内位移x ＝82＋⎝⎛⎭⎫12×4×222 m ＝82m ，D 对． 【答案】 D6．(2018·山东师大附中高三质检)如图所示，水平面上固定一个与水平面夹角为θ的斜杆A ，另一竖直杆B 以速度v 水平向左做匀速直线运动，则从两杆开始相交到最后分离的过程中，两杆交点P 的速度方向和大小分别为( )A ．水平向左，大小为vB ．竖直向上，大小为v tan θC ．沿A 杆斜向上，大小为v cos θD ．沿A 杆斜向上，大小为v cos θ【解析】 两杆的交点P 参与了两个分运动：与B 杆一起以速度v 水平向左的匀速直线运动和沿B 杆竖直向上的匀速运动，交点P 的实际运动方向沿A 杆斜向上，如图所示，则交点P 的速度大小为v P ＝vcos θ，故C 正确． 【答案】 C课时作业(十) [基础小题练]1．趣味投篮比赛中，运动员站在一个旋转较快的大平台边缘上，相对平台静止，向平台圆心处的球筐内投篮球．则下图各俯视图中篮球可能被投入球筐(图中箭头指向表示投篮方向)的是( )【解析】 当沿圆周切线方向的速度和出手速度的合速度沿球筐方向，球就会被投入球筐．故C 正确，A 、B 、D 错误．【答案】 C2．下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图v 的箭头所示，虚线为小船从河岸M 驶向对岸N 的实际航线．则其中可能正确的是( )【解析】 船头垂直于河岸时，船的实际航向应斜向右上方，A 正确，C 错误；船头斜向上游时，船的实际航向可能垂直于河岸，B 正确；船头斜向下游时，船的实际航向一定斜向下游，D 错误．【答案】 AB3.(2018·衡阳联考)如图所示，当汽车静止时，车内乘客看到窗外雨滴沿竖直方向OE 匀速运动．现从t ＝0时汽车由静止开始做甲、乙两种匀加速启动，甲种状态启动后t 1时刻，乘客看到雨滴从B 处离开车窗，乙种状态启动后t 2时刻，乘客看到雨滴从F 处离开车窗，F 为AB 的中点．则t 1∶t 2为( )A ．2∶1B ．1∶ 2C ．1∶ 3D ．1∶(2－1)【解析】 雨滴在竖直方向的分运动为匀速直线运动，其速度大小与水平方向的运动无关，故t 1∶t 2＝AB v ∶AFv ＝2∶1，选项A 正确．【答案】 A4．有甲、乙两只船，它们在静水中航行速度分别为v 1和v 2，现在两船从同一渡口向河对岸开去，已知甲船想用最短时间渡河，乙船想以最短航程渡河，结果两船抵达对岸的地点恰好相同．则甲、乙两船渡河所用时间之比t 1t 2为( )A.v 22v 1B ．v 1v 2C.v 22v 21 D ．v 21v 22【解析】 当v 1与河岸垂直时，甲船渡河时间最短；乙船船头斜向上游开去，才有可能航程最短，由于甲、乙两只船到达对岸的地点相同(此地点并不在河正对岸)，可见乙船在静水中速度v 2比水的流速v 0要小，要满足题意，则如图所示．由图可得t 1t 2＝v 2v 1·sin θ①cos θ＝v 2v 0②tan θ＝v 0v 1③由②③式得v 2v 1＝sin θ，将此式代入①式得t 1t 2＝v 22v 21.【答案】 C5.自行车转弯时，可近似看成自行车绕某个定点O (图中未画出)做圆周运动，如图所示为自行车转弯时的俯视图，自行车前、后两轮轴A 、B 相距L ，虚线表示两轮转弯的轨迹，前轮所在平面与车身间的夹角θ＝30°，此时轮轴B 的速度大小v 2＝3 m/s ，则轮轴A 的速度v 1大小为( )A.332 m/sB ．2 3 m/s C. 3 m/sD ．3 3 m/s【解析】 将两车轴视为杆的两端，杆两端速度沿杆方向的投影大小相等，有v 1cos 30°＝v 2，解得v 1＝2 3 m/s ，B 正确．【答案】 B6．(2018·山东济南一中上学期期中)如图所示，汽车用跨过定滑轮的轻绳提升物块A .汽车匀速向右运动，在物块A 到达滑轮之前，关于物块A ，下列说法正确的是( )A．将竖直向上做匀速运动B．将处于超重状态C．将处于失重状态D．将竖直向上先加速后减速【解析】v A＝v车·cos θ，v车不变，θ减小，v A增大，由T－m A g＝ma知T>m A g，物块A处于超重状态，B对．【答案】 B[创新导向练]7．生活科技——曲线运动的条件在飞行中孔明灯的应用春节期间人们放飞孔明灯表达对新年的祝福，如图甲所示，孔明灯在竖直Oy方向做匀加速运动，在水平Ox方向做匀速运动，孔明灯的运动轨迹可能为图乙中的()A．直线OA B．曲线OBC．曲线OC D．曲线OD【解析】孔明灯在竖直Oy方向做匀加速运动，则合外力沿Oy方向，在水平Ox方向做匀速运动，此方向上合力为零，所以合运动的加速度方向沿Oy方向，但合速度方向不沿Oy方向，故孔明灯做曲线运动，结合合力指向轨迹内侧可知轨迹可能为曲线OD，故D 正确．【答案】 D8．体育运动——足球运动中的力学问题在足球场上罚任意球时，运动员踢出的足球，在行进中绕过“人墙”转弯进入了球门，守门员“望球莫及”，轨迹如图所示．关于足球在这一飞行过程中的受力方向和速度方向，下列说法中正确的是()A ．合外力的方向与速度方向在一条直线上B ．合外力的方向沿轨迹切线方向，速度方向指向轨迹内侧C ．合外力方向指向轨迹内侧，速度方向沿轨迹切线方向D ．合外力方向指向轨迹外侧，速度方向沿轨迹切线方向【解析】 足球做曲线运动，则其速度方向为轨迹的切线方向，根据物体做曲线运动的条件可知，合外力的方向一定指向轨迹的内侧，故C 正确．【答案】 C9．生活科技——教具中的运动合成与分解的原理如图所示为竖直黑板，下边为黑板的水平槽，现有一三角板ABC ，∠C ＝30°.三角板上A 处固定一大小不计的滑轮．现让三角板竖直紧靠黑板，BC 边与黑板的水平槽重合，将一细线一端固定在黑板上与A 等高的Q 点，另一端系一粉笔头(可视为质点)．粉笔头最初与C 重合，且细线绷紧．现用一水平向左的力推动三角板向左移动，保证粉笔头紧靠黑板的同时，紧靠三角板的AC 边，当三角板向左移动的过程中，粉笔头会在黑板上留下一条印迹．关于此印迹，以下说法正确的是( )A ．若匀速推动三角板，印迹为一条直线B ．若匀加速推动三角板，印迹为一条曲线C ．若变加速推动三角板，印迹为一条曲线D ．无论如何推动三角板，印迹均为直线，且印迹与AC 边成75°角 【解析】在三角板向左移动的过程中，粉笔头沿AC 边向上运动，且相对于黑板水平方向向左运动，由于两个分运动的速度始终相等，故粉笔头的印迹为一条直线，如图中CD 所示，A 正确，B 、C 错误；根据图中的几何关系可得，∠ACD ＝∠ADC ＝180°－30°2＝75°，D 正确．【答案】 AD10．科技前沿——做曲线运动的波音737飞机如图所示，从广州飞往上海的波音737航班上午10点到达上海浦东机场，若飞机在降落过程中的水平分速度为60 m/s ，竖直分速度为6 m/s ，已知飞机在水平方向做加速度大小等于2 m/s 2的匀减速直线运动，在竖直方向做加速度大小等于0.2 m/s 2的匀减速直线运动，则飞机落地之前( )A ．飞机的运动轨迹为曲线B ．经20 s 飞机水平方向的分速度与竖直方向的分速度大小相等C ．在第20 s 内，飞机在水平方向的分位移与竖直方向的分位移大小相等D ．飞机在第20 s 内，水平方向的平均速度为21 m/s【解析】 由于合初速度的方向与合加速度的方向相反，故飞机的运动轨迹为直线，A 错误；由匀减速运动规律可知，飞机在第20 s 末的水平分速度为20 m/s ，竖直方向的分速度为2 m/s ，B 错误；飞机在第20 s 内，水平位移x ＝⎝⎛⎭⎫v 0x t 20＋12a x t 220－⎝⎛⎭⎫v 0x t 19＋12a x t 219＝21 m ，竖直位移y ＝⎝⎛⎭⎫v 0y t 20＋12a y t 220－⎝⎛⎭⎫v 0y t 19＋12a y t 219＝2.1 m ，C 错误．飞机在第20 s 内，水平方向的平均速度为21 m/s ，D 正确．【答案】 D[综合提升练]11．如图甲所示，质量m ＝2.0 kg 的物体在水平外力的作用下在水平面上运动，已知物体沿x 方向和y 方向的x -t 图象和v y -t 图象如图乙、丙所示，t ＝0时刻，物体位于原点O .g 取10 m/s 2.根据以上条件，求：(1)t ＝10 s 时刻物体的位置坐标； (2)t ＝10 s 时刻物体的速度大小．【解析】 (1)由图可知坐标与时间的关系为： 在x 轴方向上：x ＝3.0t m ，在y 轴方向上：y ＝0.2t 2 m 代入时间t ＝10 s ，可得：x ＝3.0×10 m ＝30 m ，y ＝0.2×102 m ＝20 m 即t ＝10 s 时刻物体的位置坐标为(30 m,20 m)．(2)在x轴方向上：v0＝3.0 m/s当t＝10 s时，v y＝at＝0.4×10 m/s＝4.0 m/sv＝v20＋v2y＝ 3.02＋4.02m/s＝5.0 m/s【答案】(1)(30 m,20 m)(2)5.0 m/s12．如图所示，在竖直平面内的xOy坐标系中，Oy竖直向上，Ox水平向右．设平面内存在沿x轴正方向的恒定风力．一小球从坐标原点沿Oy方向竖直向上抛出，初速度为v0＝4 m/s，不计空气阻力，到达最高点的位置如图中M点所示(坐标格为正方形，g＝10 m/s2)求：(1)小球在M点的速度v1；(2)在图中定性画出小球的运动轨迹并标出小球落回x轴时的位置N；(3)小球到达N点的速度v2的大小．【解析】(1)设正方形的边长为x0.竖直方向做竖直上抛运动，有v0＝gt1,2x0＝v0 2t1水平方向做匀加速直线运动，有3x0＝v1 2t1.解得v1＝6 m/s.(2)由竖直方向的对称性可知，小球再经过t1到x轴，水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，所以回到x轴时落到x＝12处，位置N的坐标为(12,0)．(3)到N点时竖直分速度大小为v0＝4 m/s水平分速度v x＝a水平t N＝2v1＝12 m/s，故v2＝v20＋v2x＝410 m/s.【答案】(1)6 m/s(2)见解析图(3)410 m/s。
高中物理必修二：小船渡河问题+平抛运动模型(教师版)-2020.10.14
渡河位移最短
如果 v 船>v 水，当船头方向与上游河岸夹角 θ满足 v 船cos θ＝v 水时，合速度垂直河岸， 渡河位移最短，等于河宽 d
如果 v 船<v 水，当船头方向(即 v 船方向)与合
dv 速度方向垂直时，渡河位移最短，等于
水
v船
例 3 (多选)甲、乙两船在同一河流中同时开始渡河，河水流速为 v0，两船在静水中的速率均为 v， 甲、乙两船船头均与河岸成θ角，如图所示，已知甲船恰能垂直河岸到达河正对岸的 A 点，乙船到 达河对岸的 B 点，A、B 之间的距离为 L，则下列判断正确的是( BD )
跟踪训练 1、从沿水平方向匀速飞行的飞机上自由释放一物体，不计空气阻力，在物体下落过程中，下列说法
正确的是（ C ）
A.从飞机上看，物体静止
B.从飞机上看，物体始终在飞机的后方
C.从地面上看，物体做平抛运动
D.从地面上看，物体做自由落体运动
2、发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响)．速度较大的 球越过球网，速度较小的球没有越过球网．其原因是( C )
D．8 倍
2.如图所示，从倾角 30O 的斜坡顶端沿水平方向以初速度 v0 10m / s 抛出一小球，小球最终落
在斜坡上。斜坡足够长，不计空气阻力。求：
（1）小球抛出后经多长时间与斜坡间的距离最大？ t 3 s 3
（2）小球与斜坡间的最大距离是多少？ y 5 3 m 6
7
`
类型二：对着斜面平抛（这里主要针对垂直打到斜面的情况） 结论：1、掉在斜面上的时间由斜面的倾斜程度和初速度共同决定，有经验公式：t＝ v0 ；
`
第 8 讲 小船渡河模型+绳端模型+平抛运动模型
小船渡河模型分析
类平抛运动
类平抛问题：物体具有一个初速度，并且具有与初速度方向垂直的恒定外力作用，其初状态与受力情 况与平抛运动类似，叫类平抛运动，我们也可以采用平抛运动的分解方法来解决这样一类问题： 16.如图所示，光滑斜面长为 a，宽为 b，倾角为θ.一物块从斜面上方顶点 P 水平射入，而从右下方的 点 Q 离开斜面，求物块入射的初速度.
O 点与 D 点在同一水平线上,知 O、A、B、C 四点在同一竖直线上,且 OA=AB=BC，三
球的水平速度之比 vA∶vB∶vC 为 (
)
. 2∶ 3∶ 6 C. 3∶ 2∶1
B.1∶ 2∶ 3 D. 6∶ 3∶ 2
2.在同一平台上的 O 点抛出的 3 个物体,做平抛运动的轨迹如图 13 所示,则 3 个
9.如右图所示，在竖直放置的半圆形容器的中心 O 点分别以水平初速度 v1、v2 抛出两个小球(可视为质 点)，最终它们分别落在圆弧上的 A 点和 B 点，已知 OA 与 OB 互相垂直，且 OA 与竖直方向成α角，则
两小球初速度之比 v1:v2 为( )
A．tan α
B．cos α
C．tan α tan α
(2)若船在静水中的速度 v2＝1.5 m/s，要使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位 移是多少？
绳拉船模型分析
1．模型展示：船在靠岸的过程中，通过一条跨过定滑轮的绳拉船．研究拉船的绳端速度与船速的关系．在 绳跟滑轮间的支撑点看绳拉船头部位，该部位的实际运动是受水面约束的直线运动，这也是合运动．它 实际上是同时参与了两个分运动：一是沿绳方向的直线运动，二是具有沿垂直绳方向线速度的圆周运 动．此类问题在建筑工地的塔吊工作中也很常见． 2.绳末端速度分解的分析：如右图所示，取船与绳的连结点 A 为研究对象 (此点既是船上的点，又是绳子上的点)．因为船上 A 点的速度即船的实际 运动速度 v，绳子 A 点既有沿绳方向的收缩(或伸长)速度 v1(沿绳方向的直 线运动)，又有沿垂直绳方向的转动速度 v2(以绳轮间支点为中心的圆周运 动)，所以 v 是 v1 和 v2 的合速度．
物理渡河问题归纳总结
物理渡河问题归纳总结在物理学中，渡河问题是一类经典而有趣的问题，涉及到物体如何穿过一条河流或河谷。
渡河问题存在于不同的背景中，包括物理学、工程学和生物学等领域。
本文将对几个经典的物理渡河问题进行归纳总结。
1. 水下通道模型在水下通道模型中，一个物体需要从一边的河岸穿越到另一边。
而水流对物体的运动产生一定的阻力。
这个问题可以用牛顿第二定律来描述。
当物体受到水流的阻力和重力的作用时，物体的运动可由下式表示：ma = mg - F其中，m是物体的质量，a是物体的加速度，g是重力加速度，F是水流对物体的阻力。
根据方程可以解得物体穿越水下通道的时间。
2. 流速改变模型在流速改变模型中，水流的速度不是均匀的，而是按照一定的规律变化。
这个问题可以用微积分中的积分来解决。
假设水流速度由函数v(x)表示，其中x是物体在河谷中的位置。
那么物体通过河谷所需要的时间可以表示为下式的积分：t = ∫(1/v(x)) dx通过对函数v(x)积分，可以求得物体通过河谷的时间。
3. 弹簧板模型弹簧板模型中，物体需要通过一系列由弹簧连接的板块。
每个板块都有一定的初始压缩或伸长量，物体在板块之间来回弹跳，最终穿过整个弹簧板系统。
这个问题可以通过能量守恒来解决。
物体在不同板块之间的来回运动，其总能量保持不变。
通过计算初始能量和最终能量之间的差距，可以确定物体穿越整个弹簧板系统所需的时间。
4. 空气阻力模型空气阻力模型中，水流对物体的阻力是按照空气阻力模型计算的。
根据空气阻力模型，当物体的速度增加时，阻力也会增加。
因此，物体穿越河流的时间将取决于物体的质量以及其表面积。
较大的质量和表面积将导致更长的渡河时间。
总结起来，物理渡河问题是涉及物体如何穿越水流或河谷的一类经典问题。
解决这些问题的方法可以是基于牛顿定律、微积分、能量守恒等物理原理。
通过运用适当的模型和方法，我们可以准确计算出物体穿越河流所需要的时间。
这些问题不仅有助于加深对物理学原理的理解，还有助于培养解决实际问题的能力。
物理建模系列(五) 小船渡河模型分析
物理建模系列(五)小船渡河模型分析1．模型构建在运动的合成与分解问题中，两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动，其中一个速度大小和方向都不变，另一个速度大小不变，方向在180°范围内(在速度不变的分运动所在直线的一侧)变化，我们对合运动或分运动的速度、时间、位移等问题进行研究．这样的运动系统可看作“小船渡河模型”．2．模型展示3．三种速度：v1(水的流速)、v2(船在静水中的速度)、v(船的实际速度)．4．三种情景12求：(1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？【解析】 (1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向当船头垂直河岸时，如图甲所示，合速度为倾斜方向，垂直分速度为v 1＝5 m/s. t ＝d v 1＝1805s ＝36 s v ＝v 21＋v 22＝525 m/s x ＝v t ＝90 5 m.(2)欲使船渡河航程最短，合速度应垂直于河岸，船头应朝上游与垂直河岸方向成某一夹角α如图乙所示， 有v 1sin α＝v 2， 得α＝30°所以当船头向上游垂直河岸方向偏30°时航程最短． x ′＝d ＝180 m. t ′＝d v 1cos 30°＝180523 s＝24 3 s.【答案】 (1)垂直河岸方向 36 s 90 5 m (2)向上游垂直河岸方向偏30° 24 3 s 180 m1．解这类问题的关键是：正确区分分运动和合运动． 2．运动分解的基本方法：按实际运动效果分解． (1)确定合速度的方向(就是物体的实际运动方向)； (2)根据合速度产生的的实际运动效果确定分速度的方向；(3)运用平行四边形定则进行分解．3．小船渡河问题的处理(1)小船渡河问题，无论v船＞v水，还是v船＜v水，渡河的最短时间均为t min＝Lv船(L为河宽)．(2)当v船＞v水时，船能垂直于河岸渡河，河宽即是最小位移；当v船＜v水时，船不能垂直于河岸渡河，但此时仍有最小位移渡河，可利用矢量三角形定则求极值的方法处理．[高考真题]1．(2016·课标卷Ⅰ，18)一质点做匀速直线运动，现对其施加一恒力，且原来作用在质点上的力不发生改变，则()A．质点速度的方向总是与该恒力的方向相同B．质点速度的方向不可能总是与该恒力的方向垂直C．质点加速度的方向总是与该恒力的方向相同D．质点单位时间内速率的变化量总是不变【解析】因为质点原来做匀速直线运动，合外力为0，现在施加一恒力，质点的合力就是这个恒力，所以质点可能做匀变速直线运动，也有可能做匀变速曲线运动，这个过程中加速度不变且一定与该恒力的方向相同，但若做匀变速曲线运动，单位时间内速率的变化量是变化的，故C正确，D错误．若做匀变速曲线运动，则质点速度的方向不会总是与该恒力的方向相同，故A错误；不管做匀变速直线运动，还是做匀变速曲线运动，质点速度的方向不可能总是与该恒力的方向垂直，故B正确．【答案】BC2．(2015·广东卷，14)如图所示，帆板在海面上以速度v朝正西方向运动，帆船以速度v朝正北方向航行，以帆板为参照物()A．帆船朝正东方向航行，速度大小为vB．帆船朝正西方向航行，速度大小为vC．帆船朝南偏东45°方向航行，速度大小为2vD．帆船朝北偏东45°方向航行，速度大小为2v【解析】以帆板为参照物，帆船具有朝正东方向的速度v和朝正北方向的速度v，两速度的合速度大小为2v，方向朝北偏东45°，故选项D正确．【答案】 D3．(2014·四川卷，4)有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河．小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直．去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为()A.k vk2－1B．v1－k2C.k v1－k2D．vk2－1【解析】设河岸宽度为d，去程时t1＝dv静，回程时，t2＝dv2静－v2，又t1t2＝k，得v静＝v1－k2，B正确．【答案】 B[名校模拟]4．(2018·山东潍坊高三上学期期中)关于曲线运动，下列说法正确的是()A．曲线运动是变速运动B．变速运动一定是曲线运动C．物体保持速率不变沿曲线运动，其加速度为零D．任何做圆周运动物体的加速度都指向圆心【解析】曲线运动是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动，例如匀变速直线运动，故A对，B错；匀速圆周运动速率不变，但加速度不为零，C错；只有做匀速圆周运动的物体加速度才指向圆心，D错．【答案】 A5．(2018·山东烟台高三上学期期中)一物体从位于一直角坐标系xOy平面上的O点开始运动，前2 s在y轴方向的v-t图象和x轴方向的s-t图象分别如图甲、乙所示，下列说法正确的是()甲乙A．物体做匀变速直线运动B ．物体的初速度为8 m/sC ．2 s 末物体的速度大小为4 m/sD ．前2 s 内物体的位移大小为8 2 m【解析】 由图象可知，y 轴方向为匀加速运动，x 轴方向为匀速直线运动，故合运动为曲线运动，A 错；物体初速度为4 m/s ，B 错；2 s 末速度v ＝42＋(4×2)2 m/s ＝4 5 m/s ，C 错；前2 s 内位移x ＝82＋⎝⎛⎭⎫12×4×222 m ＝82m ，D 对． 【答案】 D6．(2018·山东师大附中高三质检)如图所示，水平面上固定一个与水平面夹角为θ的斜杆A ，另一竖直杆B 以速度v 水平向左做匀速直线运动，则从两杆开始相交到最后分离的过程中，两杆交点P 的速度方向和大小分别为( )A ．水平向左，大小为vB ．竖直向上，大小为v tan θC ．沿A 杆斜向上，大小为v cos θD ．沿A 杆斜向上，大小为v cos θ【解析】 两杆的交点P 参与了两个分运动：与B 杆一起以速度v 水平向左的匀速直线运动和沿B 杆竖直向上的匀速运动，交点P 的实际运动方向沿A 杆斜向上，如图所示，则交点P 的速度大小为v P ＝vcos θ，故C 正确． 【答案】 C课时作业(十) [基础小题练]1．趣味投篮比赛中，运动员站在一个旋转较快的大平台边缘上，相对平台静止，向平台圆心处的球筐内投篮球．则下图各俯视图中篮球可能被投入球筐(图中箭头指向表示投篮方向)的是( )【解析】 当沿圆周切线方向的速度和出手速度的合速度沿球筐方向，球就会被投入球筐．故C 正确，A 、B 、D 错误．【答案】 C2．下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图v 的箭头所示，虚线为小船从河岸M 驶向对岸N 的实际航线．则其中可能正确的是( )【解析】 船头垂直于河岸时，船的实际航向应斜向右上方，A 正确，C 错误；船头斜向上游时，船的实际航向可能垂直于河岸，B 正确；船头斜向下游时，船的实际航向一定斜向下游，D 错误．【答案】 AB3.(2018·衡阳联考)如图所示，当汽车静止时，车内乘客看到窗外雨滴沿竖直方向OE 匀速运动．现从t ＝0时汽车由静止开始做甲、乙两种匀加速启动，甲种状态启动后t 1时刻，乘客看到雨滴从B 处离开车窗，乙种状态启动后t 2时刻，乘客看到雨滴从F 处离开车窗，F 为AB 的中点．则t 1∶t 2为( )A ．2∶1B ．1∶ 2C ．1∶ 3D ．1∶(2－1)【解析】 雨滴在竖直方向的分运动为匀速直线运动，其速度大小与水平方向的运动无关，故t 1∶t 2＝AB v ∶AFv ＝2∶1，选项A 正确．【答案】 A4．有甲、乙两只船，它们在静水中航行速度分别为v 1和v 2，现在两船从同一渡口向河对岸开去，已知甲船想用最短时间渡河，乙船想以最短航程渡河，结果两船抵达对岸的地点恰好相同．则甲、乙两船渡河所用时间之比t 1t 2为( )A.v 22v 1B ．v 1v 2C.v 22v 21 D ．v 21v 22【解析】 当v 1与河岸垂直时，甲船渡河时间最短；乙船船头斜向上游开去，才有可能航程最短，由于甲、乙两只船到达对岸的地点相同(此地点并不在河正对岸)，可见乙船在静水中速度v 2比水的流速v 0要小，要满足题意，则如图所示．由图可得t 1t 2＝v 2v 1·sin θ①cos θ＝v 2v 0②tan θ＝v 0v 1③由②③式得v 2v 1＝sin θ，将此式代入①式得t 1t 2＝v 22v 21.【答案】 C5.自行车转弯时，可近似看成自行车绕某个定点O (图中未画出)做圆周运动，如图所示为自行车转弯时的俯视图，自行车前、后两轮轴A 、B 相距L ，虚线表示两轮转弯的轨迹，前轮所在平面与车身间的夹角θ＝30°，此时轮轴B 的速度大小v 2＝3 m/s ，则轮轴A 的速度v 1大小为( )A.332 m/sB ．2 3 m/s C. 3 m/sD ．3 3 m/s【解析】 将两车轴视为杆的两端，杆两端速度沿杆方向的投影大小相等，有v 1cos 30°＝v 2，解得v 1＝2 3 m/s ，B 正确．【答案】 B6．(2018·山东济南一中上学期期中)如图所示，汽车用跨过定滑轮的轻绳提升物块A .汽车匀速向右运动，在物块A 到达滑轮之前，关于物块A ，下列说法正确的是( )A．将竖直向上做匀速运动B．将处于超重状态C．将处于失重状态D．将竖直向上先加速后减速【解析】v A＝v车·cos θ，v车不变，θ减小，v A增大，由T－m A g＝ma知T>m A g，物块A处于超重状态，B对．【答案】 B[创新导向练]7．生活科技——曲线运动的条件在飞行中孔明灯的应用春节期间人们放飞孔明灯表达对新年的祝福，如图甲所示，孔明灯在竖直Oy方向做匀加速运动，在水平Ox方向做匀速运动，孔明灯的运动轨迹可能为图乙中的()A．直线OA B．曲线OBC．曲线OC D．曲线OD【解析】孔明灯在竖直Oy方向做匀加速运动，则合外力沿Oy方向，在水平Ox方向做匀速运动，此方向上合力为零，所以合运动的加速度方向沿Oy方向，但合速度方向不沿Oy方向，故孔明灯做曲线运动，结合合力指向轨迹内侧可知轨迹可能为曲线OD，故D正确．【答案】 D8．体育运动——足球运动中的力学问题在足球场上罚任意球时，运动员踢出的足球，在行进中绕过“人墙”转弯进入了球门，守门员“望球莫及”，轨迹如图所示．关于足球在这一飞行过程中的受力方向和速度方向，下列说法中正确的是()A ．合外力的方向与速度方向在一条直线上B ．合外力的方向沿轨迹切线方向，速度方向指向轨迹内侧C ．合外力方向指向轨迹内侧，速度方向沿轨迹切线方向D ．合外力方向指向轨迹外侧，速度方向沿轨迹切线方向【解析】 足球做曲线运动，则其速度方向为轨迹的切线方向，根据物体做曲线运动的条件可知，合外力的方向一定指向轨迹的内侧，故C 正确．【答案】 C9．生活科技——教具中的运动合成与分解的原理如图所示为竖直黑板，下边为黑板的水平槽，现有一三角板ABC ，∠C ＝30°.三角板上A 处固定一大小不计的滑轮．现让三角板竖直紧靠黑板，BC 边与黑板的水平槽重合，将一细线一端固定在黑板上与A 等高的Q 点，另一端系一粉笔头(可视为质点)．粉笔头最初与C 重合，且细线绷紧．现用一水平向左的力推动三角板向左移动，保证粉笔头紧靠黑板的同时，紧靠三角板的AC 边，当三角板向左移动的过程中，粉笔头会在黑板上留下一条印迹．关于此印迹，以下说法正确的是( )A ．若匀速推动三角板，印迹为一条直线B ．若匀加速推动三角板，印迹为一条曲线C ．若变加速推动三角板，印迹为一条曲线D ．无论如何推动三角板，印迹均为直线，且印迹与AC 边成75°角 【解析】在三角板向左移动的过程中，粉笔头沿AC 边向上运动，且相对于黑板水平方向向左运动，由于两个分运动的速度始终相等，故粉笔头的印迹为一条直线，如图中CD 所示，A 正确，B 、C 错误；根据图中的几何关系可得，∠ACD ＝∠ADC ＝180°－30°2＝75°，D 正确．【答案】 AD10．科技前沿——做曲线运动的波音737飞机如图所示，从广州飞往上海的波音737航班上午10点到达上海浦东机场，若飞机在降落过程中的水平分速度为60 m/s ，竖直分速度为6 m/s ，已知飞机在水平方向做加速度大小等于2 m/s 2的匀减速直线运动，在竖直方向做加速度大小等于0.2 m/s 2的匀减速直线运动，则飞机落地之前( )A ．飞机的运动轨迹为曲线B ．经20 s 飞机水平方向的分速度与竖直方向的分速度大小相等C ．在第20 s 内，飞机在水平方向的分位移与竖直方向的分位移大小相等D ．飞机在第20 s 内，水平方向的平均速度为21 m/s【解析】 由于合初速度的方向与合加速度的方向相反，故飞机的运动轨迹为直线，A 错误；由匀减速运动规律可知，飞机在第20 s 末的水平分速度为20 m/s ，竖直方向的分速度为2 m/s ，B 错误；飞机在第20 s 内，水平位移x ＝⎝⎛⎭⎫v 0x t 20＋12a x t 220－⎝⎛⎭⎫v 0x t 19＋12a x t 219＝21 m ，竖直位移y ＝⎝⎛⎭⎫v 0y t 20＋12a y t 220－⎝⎛⎭⎫v 0y t 19＋12a y t 219＝2.1 m ，C 错误．飞机在第20 s 内，水平方向的平均速度为21 m/s ，D 正确．【答案】 D[综合提升练]11．如图甲所示，质量m ＝2.0 kg 的物体在水平外力的作用下在水平面上运动，已知物体沿x 方向和y 方向的x -t 图象和v y -t 图象如图乙、丙所示，t ＝0时刻，物体位于原点O .g 取10 m/s 2.根据以上条件，求：(1)t ＝10 s 时刻物体的位置坐标； (2)t ＝10 s 时刻物体的速度大小．【解析】 (1)由图可知坐标与时间的关系为： 在x 轴方向上：x ＝3.0t m ，在y 轴方向上：y ＝0.2t 2 m 代入时间t ＝10 s ，可得：x ＝3.0×10 m ＝30 m ，y ＝0.2×102 m ＝20 m 即t ＝10 s 时刻物体的位置坐标为(30 m,20 m)．(2)在x 轴方向上：v 0＝3.0 m/s当t ＝10 s 时，v y ＝at ＝0.4×10 m/s ＝4.0 m/sv ＝v 20＋v 2y ＝ 3.02＋4.02m/s ＝5.0 m/s【答案】 (1)(30 m,20 m) (2)5.0 m/s12．如图所示，在竖直平面内的xOy 坐标系中，Oy 竖直向上，Ox 水平向右．设平面内存在沿x 轴正方向的恒定风力．一小球从坐标原点沿Oy 方向竖直向上抛出，初速度为v 0＝4 m/s ，不计空气阻力，到达最高点的位置如图中M 点所示(坐标格为正方形，g ＝10 m/s 2)求：(1)小球在M 点的速度v 1；(2)在图中定性画出小球的运动轨迹并标出小球落回x 轴时的位置N ；(3)小球到达N 点的速度v 2的大小．【解析】 (1)设正方形的边长为x 0.竖直方向做竖直上抛运动，有v 0＝gt 1,2x 0＝v 02t 1 水平方向做匀加速直线运动，有3x 0＝v 12t 1. 解得v 1＝6 m/s.(2)由竖直方向的对称性可知，小球再经过t 1到x 轴，水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，所以回到x 轴时落到x ＝12处，位置N 的坐标为(12,0)．(3)到N 点时竖直分速度大小为v 0＝4 m/s水平分速度v x ＝a 水平t N ＝2v 1＝12 m/s ，故v 2＝v 20＋v 2x ＝410 m/s.【答案】 (1)6 m/s (2)见解析图 (3)410 m/s。
商人渡河模型
商人渡河模型一：问题描述三名商人各带一个仆人乘船渡河，—只小船只能容纳二人，仆人们密约，在河的任一岸，一旦仆人的人数比商人多，就杀人越货．但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中。
商人们怎样才能安全渡河呢？二：问题分析：安全渡河问题可以视为一个多步决策过程（多步决策：决策过程难以一次完成，而要分步优化，最后获取一个全局最优方案的决策方法）。
每一步，即船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶回此岸，都要对船上的人员(商人仆人各几人)作出决策，在保证安全的前提下(两岸的商人数都不比仆人数少)，在有限步内使人员全部过河．用状态(变量)表示某一岸的人员状况，决策(变量)表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变化的规律．问题转化为在状态的允许变化范围内(即安全渡河条件)，确定每一步的决策，达到渡河的目标。
三：模型建立：a)定义允许状态集合记第k次渡河前此岸的商人数为X k，仆人数为Y k，k=1，2，3…..；X k，Y k取值0，1，2，3。
定义二维向量： S k =（X k，Y k）为状态。
定义安全渡河允许状态集合：S = {（X，Y）|X=0，Y=0，1，2，3；X=Y=1，2；X=3，Y=0，1，2，3}b)定义允许决策集合记第k次船上的商人数为U k，仆人数为V k，k=1，2，3…..；定义二维向量：D k =（U k，V k）为决策。
定义允许决策集合：D={（U，V）|1=<U+V<=3,u,v=0,1,2}c)人数变化规律当渡河次数k为奇数时，船从此岸驶向彼岸，k为偶数时，船由彼岸驶向此岸，此时状态S k和D k的变化规律为：S k+1 = S +（-1）K D Kd) 问题转化经过分析，问题可转化为求决策D k，使状态S k按照人数变化规律变化，由初始状态S k=（3，3）经过有限步N到达状态S N+1=（0，0）。
四：模型求解1)图解法：在Oxy 平面坐标系中画出图（1）类型的方格，方格点表示状态s=（x，y），允许的状态集合S用圆点标出。
普高物理学模型组合速度分解渡河模型.doc
模型组合解说——速度分解渡河模型【模型概括】在运动的合成与分解中，如何判断物体的合运动和分运动是首要问题，判断合运动的有效方法是看见的运动就是合运动。
合运动的分解从理论上说能够是随意的， 但一般按运动的实质成效进行分解。
小船渡河和斜拉船等问题是常有的运动的合成与分解的典型问题【模型解说】一、速度的分解要从实质状况出发例 1. 如图 1 所示，人用绳索经过定滑轮以不变的速度 v 0 拉水平面上的物体 A ，当绳与水平方向成 θ 角时，求物体 A 的速度。
图 1解法一（分解法） ：此题的重点是正确地确立物体 A 的两个分运动。
物体 A 的运动（即绳的尾端的运动）可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短。
绳长缩短的速度即等于 v 1v 0 ；二是跟着绳以定滑轮为圆心的摇动，它不改变绳长，只改变角度θ的值。
这样就能够将 v A 按图示方向进行分解。
所以 v 1 及 v 2 实质上就是 v A 的两个分速度， 如 图 1 所示，由此可得v 1 v 0 。
v Acoscos解法二（微元法）：要求船在该地点的速率即为刹时速率， 需从该时辰起取一小段时间来求它的均匀速率，当这一小段时间趋于零时，该均匀速率就为所求速率。
设船在 θ 角地点经△ t 时间向左行驶△ x 距离，滑轮右边的绳长缩短△ L ，如图 2 所示，当绳 与水平方向 的角度变化 很小时，△ ABC 可近似 看做是向来 角三角形， 因此有Lx cos ，两边同除以△ t 得：L xcostt即收绳速率 v 0v A cos ，所以船的速率为：v 0v Acos图 2总结：“微元法”。
可假想物体发生一个细小位移，剖析由此而惹起的牵涉物体运动的位移是如何的，得出位移分解的图示，再从中找到对应的速度分解的图示，从而求出牵涉物体间速度大小的关系。
解法三（能量转变法）：由题意可知：人对绳索做功等于绳索对物体所做的功。
人对绳索的拉力为 F，则对绳索做功的功率为P1Fv 0；绳索对物体的拉力，由定滑轮的特色可知，拉力大小也为 F，则绳索对物体做功的功率为P2Fv A cos ，因为 P1P2所以v Av0。
小船渡河三种模型乐乐课堂
小船渡河三种模型乐乐课堂【原创版】目录1.概述小船渡河问题2.介绍三种模型a.模型一：恒速水流b.模型二：变速水流c.模型三：乐乐课堂模型3.分析三种模型的优缺点4.总结小船渡河问题的实际应用正文一、概述小船渡河问题小船渡河问题是物理学中的一个经典问题，主要研究船只在水流中行驶时的运动规律。
这个问题看似简单，实际上包含了许多复杂的物理原理。
解决小船渡河问题，可以帮助我们更好地理解物理学中的力学原理，同时也对我们的实际生活具有很大的指导意义。
二、介绍三种模型1.模型一：恒速水流在恒速水流模型中，水流的速度是恒定的。
船只在这种水流中行驶时，只需要考虑船的速度和方向，以及水流对船只的影响。
这种模型比较简单，容易理解，适用于水流速度不变的情况。
2.模型二：变速水流在变速水流模型中，水流的速度是变化的。
船只在这种水流中行驶时，除了考虑船的速度和方向外，还需要考虑水流速度的变化。
这种模型比较复杂，需要运用微积分等高级数学知识进行研究。
3.模型三：乐乐课堂模型乐乐课堂模型是一种基于互联网的在线教育模式。
在这种模式下，学生可以在任何地方、任何时间进行学习。
这种模型具有很强的灵活性和适应性，可以满足不同学生的学习需求。
三、分析三种模型的优缺点1.恒速水流模型的优点是简单易懂，缺点是不能适应复杂的水流环境。
2.变速水流模型的优点是更接近实际情况，缺点是研究难度较大。
3.乐乐课堂模型的优点是灵活性和适应性强，缺点是需要良好的网络环境和自律性较强的学生。
四、总结小船渡河问题的实际应用小船渡河问题的研究，不仅可以帮助我们更好地理解物理学中的力学原理，还可以指导我们在实际生活中更好地应对水流环境。
商人渡河数学模型
商人渡河数学模型
1、商人渡河数学模型
商人渡河是一类有趣的动态规划问题，其本质是一类路径规划问题，用数学模型可以描述为：
假设有n种物品，体积大小分别为W1，W2，……，Wn，以及一艘能承重V的船，每次船只能装载一些物品，要求在尽可能少的船次内，将物品搬运到对岸。
令Xij表示第i次船运载物品的状态，其中0≤Xij≤1，Xij=1表示船上装有第j个物品，Xij=0表示船上没有第j个物品，那么商人渡河问题就可以用下面的数学模型表示：
目标函数：
(1) Min Z=X11+X12+ (Xi)
约束条件：
(2) W1X11+W2X12+……+WnXin≤V
(3) X11+X12+……+Xin=1
(4) 0≤Xij≤1
其中，约束条件(2)表示第i次船运的负载不超过容量V，约束条件(3)表示每次船运必须装一些物品，约束条件(4)表示每次船运的物品的数量限制在0与1之间。
人教高中物理必修二小船渡河模型
人教高中物理必修二小船渡河模型一、基础知识〔一〕小船渡河效果剖析(1)船的实践运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．(2)三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的实践速度)．(3)三种情形①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t短＝d v1(d为河宽)．②过河途径最短(v2<v1时)：合速度垂直于河岸时，航程最短，s短＝d.船头指向下游与河岸夹角为α，cos α＝v2v1.③过河途径最短(v2>v1时)：合速度不能够垂直于河岸，无法垂直渡河．确定方法如下：如下图，以v2矢量末端为圆心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，那么合速度沿此切线方向航程最短．由图可知：cos α＝v1v2，最短航程：s短＝dcos α＝v2v1d.〔二〕求解小船渡河效果的方法求解小船渡河效果有两类：一是求最短渡河时间，二是求最短渡河位移．无论哪类都必需明白以下四点：(1)处置这类效果的关键是：正确区分分运动和合运动，船的飞行方向也就是船头指向，是分运动．船的运动方向也就是船的实践运动方向，是合运动，普通状况下与船头指向不分歧．(2)运动分解的基本方法，按实践效果分解，普通用平行四边形定那么按水流方向和船头指向分解．(3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度有关．(4)求最短渡河位移时，依据船速v船与水流速度v水的大小状况用三角形法那么求极限的方法处置．二、练习1、一小船渡河，河宽d ＝180 m ，水流速度v 1＝2.5 m /s.假定船在静水中的速度为v 2＝5 m/s ，那么：(1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ (2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ 解析 (1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向． 当船头垂直河岸时，如下图．合速度为倾斜方向，垂直分速度为v 2＝5 m/s. t ＝d v 2＝1805 s ＝36 s v ＝v 21＋v 22＝525 m/s x ＝v t ＝90 5 m(2)欲使船渡河的航程最短，应垂直河岸渡河，船头应朝下游与垂直 河岸方向成某一夹角α，如下图． 有v 2sin α＝v 1， 得α＝30°所以当船头向下游偏30°时航程最短． x ′＝d ＝180 m.t ′＝d v 2cos 30°＝180523 s ＝24 3 s答案 (1)垂直河岸方向 36 s 90 5 m (2)向下游偏30° 24 3 s 180 m 2、一条船要在最短时间内渡过宽为100 m 的河，河水的流速v 1与船离河岸的距离x 变化的关系如图甲所示，船在静水中的速度v 2与时间t 的关系如图乙所示，那么以下判别中正确的选项是( )A ．船渡河的最短时间是25 sB ．船运动的轨迹能够是直线C ．船在河水中的减速度大小为0.4 m/s 2D ．船在河水中的最大速度是5 m/s 答案 C 解析 船内行驶进程中，船头一直与河岸垂直时渡河时间最短，即t ＝1005 s ＝20 s ，A 错误；由于水流速度变化，所以合速度变化，船头一直与河岸垂直时，运动的轨迹不能够是直线，B 错误；船在最短时间内渡河t ＝20 s ，那么船运动到河的中央时所用时间为10s ，水的流速在x ＝0到x ＝50 m 之间平均添加，那么a 1＝4－010 m /s 2＝0.4 m/s 2，同理x＝50 m 到x ＝100 m 之间a 2＝0－410 m /s 2＝－0.4 m/s 2，那么船在河水中的减速度大小为0.4 m/s 2，C 正确；船在河水中的最大速度为v ＝52＋42 m/s ＝41 m/s ，D 错误．3、如5所示，河水流速与距动身点垂直距离的关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，假定要使船以最短时间渡河，那么( )A ．船渡河的最短时间是60 sB ．船内行驶进程中，船头一直与河岸垂直C ．船飞行的轨迹是一条直线D ．船的最大速度是5 m/s 答案 BD解析 当船头指向垂直于河岸时，船的渡河时间最短，其时间t ＝d v 2＝3003 s ＝100 s ，A错，B 对．因河水流速不平均，所以船在河水中的航线是一条曲线，当船行驶至河中央时，船速最大，最大速度v ＝42＋32 m /s ＝5 m/s ，C 错，D 对．4、(2021·江苏·3)如下图，甲、乙两同窗从河中O 点动身，区分沿直线游到A 点和B 点后，立刻沿原路途前往到O 点，OA 、OB 区分与水流方向平行和垂直，且OA ＝OB .假定水流速度不变，两人在静水中游速相等，那么他们所用时间t 甲、t 乙的大小关系为 ( ) A ．t 甲<t 乙 B ．t 甲＝t 乙C ．t 甲>t 乙D ．无法确定 答案 C解析 设两人在静水中游速为v 0，水速为v ，那么 t 甲＝x OA v 0＋v ＋x OAv 0－v ＝2v 0x OA v 20－v2 t 乙＝2x OBv 20－v 2＝2x OAv 20－v 2<2v 0x OAv 20－v 2 故A 、B 、D 错，C 对．5、甲、乙两船在同一条河流中同时末尾渡河，河宽为H ，河水流速为v 0，划船速度均为v ，动身时两船相距233H ，甲、乙两船船头均与河岸成60°角，如下图．乙船恰恰能垂直抵达对岸A 点，那么以下判别正确的选项是( )A ．甲、乙两船抵达对岸的时间不同B ．v ＝2v 0C ．两船能够在未抵达对岸前相遇D ．甲船也在A 点靠岸 答案 BD解析 渡河时间均为Hv sin 60°，乙能垂直于河岸渡河，对乙船由v cos 60°＝v 0得v ＝2v 0，甲船在该时间内沿水流方向的位移为(v cos 60°＋v 0)H v sin 60°＝233H ，刚好抵达A 点，综上所述，A 、C 错误，B 、D 正确．6、一快艇要从岸边某处抵达河中离岸100 m 远的浮标处，快艇在静水中的速度图象如图甲所示，流水的速度图象如图乙所示，假定行驶中快艇在静水中飞行的分速度方向选定后就不再改动，那么( )A ．快艇的运动轨迹能够是直线B ．快艇的运动轨迹只能是曲线C ．最快抵达浮标处经过的位移为100 mD ．最快抵达浮标处所用时间为20 s 解析 快艇的实践速度为快艇在静水中的速度与水速的合速度．由图象可知快艇在静水中为匀减速直线运动，水为匀速直线运动，两速度不在同一条直线上，故快艇必做曲线运动，A 错误，B 正确；当快艇与河岸垂直时，抵达浮标处时间最短，而此时快艇做曲线运动，故位移大于100 m ，C 错误；由题图甲可知快艇的减速度为a ＝ΔvΔt ＝0.5 m/s 2，最短位移为x ＝100 m ，对快艇由x ＝12at 2得：t ＝2x a＝ 2×1000.5s ＝20 s ，即最快抵达浮标处所用时间为20 s ，D 正确． 答案 BD。
小船过河模型知识点总结
小船过河模型知识点总结1. 基本问题描述小船过河模型的基本问题描述为：有四个人（或其他物品）和一条小船，他们需要过河，但小船只能搭载一两个人。
且有一些限制条件需要满足，比如船的容量，人的行动速度等。
目标是找到一种最短的方案，使得四个人都安全地过河。
2. 图论小船过河模型可以转化为图论问题。
将小船从一个岸边到另一个岸边看作是一条边，两个岸边上的状态看作是图的节点。
在这个图中，我们需要考虑如何在满足各种限制条件的情况下找到一条从初始节点到目标节点的最短路径。
3. 递归与回溯解决小船过河模型的一个常见方法是使用递归与回溯。
我们可以将问题分解为每一步小船搭载一两个人的情况，然后递归地搜索所有可能的组合。
在搜索过程中，我们需要考虑限制条件，比如小船的容量、每个人的行动速度等。
如果某种组合满足了所有条件，我们就可以继续搜索下一步；否则，就需要回溯到上一步，更换其他组合继续尝试。
4. 状态空间搜索我们还可以使用状态空间搜索来解决小船过河模型。
在状态空间搜索中，我们将问题的每个可能状态都看作一个节点，然后使用搜索算法（比如A*算法）来寻找最优路径。
在搜索过程中，我们需要考虑如何表示节点的状态、如何评估节点的代价等问题。
5. 问题变体除了基本的小船过河模型，还有很多与之相关的变体问题，比如增加更多的人或更多的限制条件等。
对于这些变体问题，我们可以根据基本的解题思路进行变换和扩展，来解决更加复杂的情况。
总结：小船过河模型涉及到了图论、递归与回溯、状态空间搜索等多个数学概念。
解决这类问题需要我们充分理解问题的本质，合理地建模和表示问题，并选择合适的解题方法。
希望本文的总结对您的学习和研究有所帮助。
专题12 小船渡河模型-高考物理模型法之实物模型法(解析版)
模型界定本模型是解决以小船渡河为载体的不同参考系中运动转换的问题，具体包括小船渡河、骑马射箭等。
模型破解1.合运动与分运动的关键特征 （i ）等时性合运动与分运动是同时发生的，所用时间相等，可由任一分运动或合运动求解小船运动的时间。
（ii ）等效性合运动的效果与几个分运动叠加后后的共同效果完全相同。
（iii ）独立性一个物体同时参与几个分运动，各个分运动相互独立，任一分运动不受其它分运动的影响。
2.小船渡河问题的处理方法设小船在静止水中的匀速运动的速度是 v 1 ，均匀流动的河水的速度是 v 2 , 河宽为 d 。
又设 v 1 与河岸的夹角为θ( 0≤θ≤1800 ），合速度v 与河岸夹角为ϕ 。
（i ）分解法如图 1 ，沿平行于河岸与垂直于河岸的方向上建立直角坐标系，将 v 1分解为v 1x =v 1cosθ和 v 1y =v 1sinθ ,则v x = v 1x +v 2 =v 1cosθ+ v 2、v y =v 1y = v 1sinθ。
①合速度2122122)sin ()cos (θθv v v v v v y x ++=+=211cos sin tan v v v v v xy +==θθϕ②合位移图1212211)sin ()cos (sin sin θθθϕv v v v dd s ++==③渡河时间θsin 1v d v s t ==（ii ）合成法如图2，通常用于图示中能出现直角三角形的特殊情况下。
3.小船的运动速度与轨迹当小船在静水中航行的速度、水流的速度恒定时，小船的运动速度恒定，运动轨迹是一直线。
当小船相对静水的速度变化时、水流的速度随时间或空间变化时，小船的速度是变化的，任一时刻的速度由该瞬时水流速度与小船相对静水的航速决定，运动轨迹一般为曲线。
4.极值问题 （i ）最短时间 由θsin 1v dt =可以看出，小船渡河的时间取决于河的宽度、小船相对于静水航行的速度大小及方向，与水流的速度大小无关。
速度分解渡河模型22797
模型组合讲解——速度分解渡河模型【模型概述】在运动的合成与分解中，如何判断物体的合运动和分运动是首要问题，判断合运动的有效方法是看见的运动就是合运动。
合运动的分解从理论上说可以是任意的，但一般按运动的实际效果进行分解。
小船渡河和斜拉船等问题是常见的运动的合成与分解的典型问题 【模型讲解】一、速度的分解要从实际情况出发例1.如图1所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度0v 拉水平面上的物体A ，当绳与水平方向成θ角时，求物体A 的速度。
图1解法一（分解法）：本题的关键是正确地确定物体A 的两个分运动。
物体A 的运动（即绳的末端的运动）可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短。
绳长缩短的速度即等于01v v =；二是随着绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度θ的值。
这样就可以将A v 按图示方向进行分解。
所以1v 及2v 实际上就是A v 的两个分速度，如图1所示，由此可得θθcos cos 01v v v A ==。
解法二（微元法）：要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间来求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率。
设船在θ角位置经△t 时间向左行驶△x 距离，滑轮右侧的绳长缩短△L ，如图2所示，当绳与水平方向的角度变化很小时，△ABC 可近似看做是一直角三角形，因而有θcos x L ∆=∆，两边同除以△t 得：θcos txt L ∆∆=∆∆ 即收绳速率θcos 0A v v =，因此船的速率为：θcos 0v v A =图2总结：“微元法”。
可设想物体发生一个微小位移，分析由此而引起的牵连物体运动的位移是怎样的，得出位移分解的图示，再从中找到对应的速度分解的图示，进而求出牵连物体间速度大小的关系。
解法三（能量转化法）：由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功。
人对绳子的拉力为F ，则对绳子做功的功率为01Fv P =；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F ，则绳子对物体做功的功率为θco s2A Fv P =，因为21P P =所以θc o s 0v v A =。
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模型组合讲解一一渡河模型
苟秉屏
【模型概述】
在运动的合成与分解中，如何判断物体的合运动和分运动是首要问题，判断合运动的有 效方法是看见的运动就是合运动。
合运动的分解从理论上说可以是任意的，
但一般按运动的
实际效果进行分解。
小船渡河和斜拉船等问题是常见的运动的合成与分解的典型问题
【模型讲解】
-、速度的分解要从实际情况出发
例1.如图1所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度 v 0拉水平面上的物体 A ，当绳与
水平方向成B 角时，求物体 A 的速度。
解法一（分解法）：本题的关键是正确地确定物体 A 的两个分运动。
物体 A 的运动（即
绳的末端的运动）可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短。
绳长缩短 的速度即等于V i
V 。
；二是随着绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度B 的值。
这样就可以将V A 按图示方向
进行分解。
所以V i 及V 2实际上就是V A 的两个分速度，如 图1所示，由此可得V A —丄 一^。
COS cos
解法二（微元法）：要求船在该位置的速率即为瞬时速率，
需从该时刻起取一小段时间来
求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率。
设船在B 角位置经厶t 时间向左行驶△ x 距离，滑轮右侧的绳长缩短厶 L ,如图2所示,
即收绳速率V 0 V A COS ，因此船的速率为:
cos
当绳 与水平方向 的角度变化 很小时，△ ABC 可近似看做是一直角三角形,
因而有
xcos ，两边同除以△ t 得:
x cos
t
zxzz z z x / / z xz
图1
总结：“微元法”。
可设想物体发生一个微小位移，分析由此而引起的牵连物体运动的位
移是怎样的，得
出位移分解的图示， 再从中找到对应的速度分解的图示， 进而求出牵连物体
间速度大小的关系。
解法三（能量转化法）：由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功。
人对绳子 的拉力为F ，则对绳子做功的功率为 R Fv 0 ;绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知， 拉力大小也为F ,则绳子对物体做功的功率为R 2 Fv A cos ，因为R 1 R 2所以
V O - 。
cos
评点：①在上述问题中，若不对物体
A 的运动认真分析，就很容易得出 v A v 0 cos 的
错误结果；②当物体 A 向左移动，B 将逐渐变大， V A 逐渐变大，虽然人做匀速运动，但物
体A 却在做变速运动。
总结：解题流程：①选取合适的连结点（该点必须能明显地体现出参与了某个分运动） ；
②确定该点合速度方向（物体的实际速度为合速度）且速度方向始终不变；③确定该点合速 度的实际运动效果
从而依据平行四边形定则确定分速度方向； ④作出速度分解的示意图， 寻
找速度关系。
、拉力为变力，求解做功要正确理解
例2.如图3所示，某人通过一根跨过定滑轮的轻绳提升一个质量为 m 的重物，开始时
人在滑轮的正下方，绳下端
A 点离滑轮的距离为 H 。
人由静止拉着绳向右移动，当绳下端
到B 点位置时，人的速度为 v ，绳与水平面夹角为B 。
问在这个过程中，人对重物做了多少 功？
解析：人移动时对绳的拉力不是恒力，重物不是做匀速运动也不是做匀变速运动，故无
V A
图2
法用W Fscos 求对重物做的功，需从动能定理的角度来分析求解。
当绳下端由A 点移到B 点时，重物上升的高度为：
重力做功的数值为:
W G mgH(1 sin ) sin
当绳在B 点实际水平速度为 v 时，v 可以分解为沿绳斜向下的分速度 v 1和绕定滑轮逆时 针转动的分速度V 2，其中沿绳斜向下的分速度 V i 和重物上升速度的大小是一致的，从图中 可看出：
v 1 vcos
以重物为研究对象，根据动能定理得：
1 2
W 人 W G
m^ 0 2
2 2
… mgH (1 sin ) mv cos W 人 sin
2
【实际应用】 小船渡河
两种情况：①船速大于水速；②船速小于水速。
两种极值：①渡河最小位移；②渡河最短时间。
例3. —条宽度为L 的河，水流速度为v 水，已知船在静水中速度为 v 船，那么： （1）怎样渡河时间最短？
（2 ）若v 船 v 水，怎样渡河位移最小？ （3）若v 船 v 水，怎样渡河船漂下的距离最短？
解析：（1）小船过河问题，可以把小船的渡河运动分解为它同时参与的两个运动，一是 小船运动，一是水流的运动，船的实际运动为合运动。
如图
4所示。
设船头斜向上游与河岸
成任意角B 。
这时船速在垂直于河岸方向的速度分量为
v 1 v 船 sin ，渡河所需要的时间
为t — L
，可以看出：L 、v 船一定时，t 随sin B 增大而减小；当 90时，sin 1
W v 船 sin
（最大）。
所以，船头与河岸垂直 t min —。
H
sin
H (1 sin ) sin
(2)
如图5所示，渡河的
最小位移即河的宽度。
为了使渡河位移等于L,必须使船的合
速度V的方向与河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量等于0。
这时船头应指向河的上游，
、V水
并与河岸成一定的角度B,所
以有▼船cos V水，即
arccos——。
v
—
图5
因为0 cos 1，所以只有在V船v水时，船才有可能垂直河岸渡河。
(3 )若V船v水，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？
如图6所示，设船头V船与河岸成B角。
合速度V与河岸成a角。
可以看出：a角越大，船漂下的距离X越短，那么，在什么条件下a角最大呢？以V水的矢尖为圆心，V船为半径画
圆，当V与圆相切时，a角最大，根据cos V船
V水
图6
V船
图4
船头与河岸的夹角应为arcco^—，船沿河漂下的最短距离为:
V水
x min （V 水v船COS ）.
v船Sin
此时渡河的最短位移: L Lv水
s
cos V 船
误区：不分条件，认为船位移最小一定是垂直到达对岸；将渡河时间最短与渡河位移最小对应。
【模型要点】
处理“速度关联类问题”时，必须要明白“分运动”与“合运动”的关系：
（1）独立性：一物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，各自产生效果
（V分、S分）互不干扰。
（2）同时性：合运动与分运动同时开始、同时进行、同时结束。
（3）等效性：合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动同时发生、同时进行、同时结束，经历相等的时间，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代。
功是中学物理中的重要概念，它体现了力对物体的作用在空间上的累积过程，尤其是变力做功中更能体现出其空间积累的过程。
所以在处理变力功可采用动能定律、功能原理、图
象法、平均法等。
【模型演练】
（2005祁东联考）小河宽为d，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成
4v
正比，V水kx, k 竺0，X是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速
d
度为V o，则下列说法中正确的是（）
A.小船渡河的轨迹为曲线
d ；—
B.小船到达离河岸—处，船渡河的速度为.2V0
2
C.小船渡河时的轨迹为直线
D•小船到达离河岸3d/4处，船的渡河速度为1OV o
答案：A。