4-02-01-物理建模：“小船渡河”模型
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第四章
曲线运动 万有引力与航天
1.模型特点 2.典例剖析
物理建模： “小船渡河”模型
3.规律方法 4.跟踪训练 5.真题演练
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1.模型特点
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1．船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动． 2．三种速度：v船(船在静水中的速度)、v水(水的流速)、v合(船的
时分运动时间最短， 则船渡河的最短时间 为100 s．由于合运动 的方向在不断变化， 所以船在河水中航行 的轨迹为曲线，由图 象可知船在河水中的 最大速度是5 m/s. 答案 BD 解析显隐
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【跟踪训练】 如图示，一条小船位于 200 m 宽的河正中 A 点处， 从这里向下游 100 3 m 处有一危险区，当时水流速度为 4 m/s.为 了使小船避开危险区沿直线到达对岸， 小船在静水中的速度至少是( ) 小船的速 4 3 8 3 度最小. A. m/s B. m/s 3 3 隐含了小船的 C. 2 m/s D. 4 m/s 运动路径.
解析 为恰好使小船避开危险区，小船应沿直线 AB 100 3 BD 到达对岸，如图所示，则有 tanθ＝ ＝ ＝ ， AD 100 3 3 所以 θ＝30° .当船头与 AB 垂直时， 小船在静水中的速 度最小，最小速度为 v1＝v2sinθ＝2 m/s，故 C 正确． 答案 C
v合 v水
v船
矢量的三角形合成法
船头应朝垂直 河岸方向 应垂直河岸渡河，船头 应朝上游与垂直河岸方 向成某一夹角
建模指导 1．物体的实际运动一定是合运动． 2．求解运动的合成与分解问题，应 抓住合运动和分运动具有等时性、 独立性、等效性的关系. 3．在小船渡河问题中可将小船的运 动分解为沿船头指向的方向和沿 水流方向的两个运动.
转解析
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2. 典例剖析
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【典例】 (2014· 四川卷)有一条两岸平直、河水均匀流动、流速 恒为 v 的大河。小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸 垂直，回程时行驶路线与河岸垂直。去程与回程所用时间的比值 为 k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小 为( ) kv v kv v A. 2 B. C. D. 2 2 2 k －1 1－k 1－k k －1
解析 设河宽为 d，小船在静水中的速度大小为 u，去程时间 t1＝ d d t1 v ；回程时间 t2＝ 2 2；又 ＝k，联立解得 u＝ ，选项 B 2 u t 2 u －v 1－k 正确。 解析显隐 答案 B
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【典例】 一小船渡河，河宽d＝
180 m，水流速度v1＝2.5 m/s.若船 在静水中的速度为v2＝5 m/s，求： (1)欲使船在最短的时间内渡河， 船头应朝什么方向？用多长时间？ 位移是多少？ (2)欲使船渡河的航程最短，船头 应朝什么方向？用多长时间？位
移是多少？
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3.规律方法
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反思总结 解决这类问题的关键 (1) 正确区分分运动和合运动 ， 船的划行方向也就是船头指 向 ， 是分运动。船的运动方向也就是船的实际运动方向 ， 是合运动，一般情况下与船头指向不一致。 (2) 运动分解的基本方法 ， 按实际效果分解 ， 一般用平行四 边形定则按水流方向和船头指向分解。 (3) 渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关 ， 与水流速度 无关。 (4)求最短渡河位移时，根据船速v船与水流速度v水的大小情 况用三角形法则求极值的方法处理。
实际速度)． 3．两个极值
(1)过河时间最短：
d v 船⊥v 水，tmin＝ . v船
(2)过河位移最小:(v 船>v 水)
v船 v船 v 合
v船 v合
v 船 v合 v水 v水
d
v水
v 合⊥v 水，如图示，此时 xmin＝d；
过河位移最小:(v 船<v 水)
v水 v 船⊥v 合，如图示．过河最小位移为 xmin＝ d. v船
第13页
解析显隐
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5.真题演练
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规律方法 小船过河问题分析思路
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4.跟踪训练
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【跟踪训练】(多选)河水的流速与河岸距离的变化关系如图甲所示， 船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，若要使船以最短时间 渡河，则( )． 解析 在运动的合成 A．船渡河的最短时间是60 s B．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直 与分解中合运动与分 运动具有等时性，当 C．船在河水中航行的轨迹是一条直线 D．船在河水中的最大速度是5 m/s 船头始终与河岸垂直
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1.模型特点 2.典例剖析
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1．船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动． 2．三种速度：v船(船在静水中的速度)、v水(水的流速)、v合(船的
时分运动时间最短， 则船渡河的最短时间 为100 s．由于合运动 的方向在不断变化， 所以船在河水中航行 的轨迹为曲线，由图 象可知船在河水中的 最大速度是5 m/s. 答案 BD 解析显隐
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【跟踪训练】 如图示，一条小船位于 200 m 宽的河正中 A 点处， 从这里向下游 100 3 m 处有一危险区，当时水流速度为 4 m/s.为 了使小船避开危险区沿直线到达对岸， 小船在静水中的速度至少是( ) 小船的速 4 3 8 3 度最小. A. m/s B. m/s 3 3 隐含了小船的 C. 2 m/s D. 4 m/s 运动路径.
解析 为恰好使小船避开危险区，小船应沿直线 AB 100 3 BD 到达对岸，如图所示，则有 tanθ＝ ＝ ＝ ， AD 100 3 3 所以 θ＝30° .当船头与 AB 垂直时， 小船在静水中的速 度最小，最小速度为 v1＝v2sinθ＝2 m/s，故 C 正确． 答案 C
v合 v水
v船
矢量的三角形合成法
船头应朝垂直 河岸方向 应垂直河岸渡河，船头 应朝上游与垂直河岸方 向成某一夹角
建模指导 1．物体的实际运动一定是合运动． 2．求解运动的合成与分解问题，应 抓住合运动和分运动具有等时性、 独立性、等效性的关系. 3．在小船渡河问题中可将小船的运 动分解为沿船头指向的方向和沿 水流方向的两个运动.
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2. 典例剖析
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【典例】 (2014· 四川卷)有一条两岸平直、河水均匀流动、流速 恒为 v 的大河。小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸 垂直，回程时行驶路线与河岸垂直。去程与回程所用时间的比值 为 k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小 为( ) kv v kv v A. 2 B. C. D. 2 2 2 k －1 1－k 1－k k －1
解析 设河宽为 d，小船在静水中的速度大小为 u，去程时间 t1＝ d d t1 v ；回程时间 t2＝ 2 2；又 ＝k，联立解得 u＝ ，选项 B 2 u t 2 u －v 1－k 正确。 解析显隐 答案 B
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【典例】 一小船渡河，河宽d＝
180 m，水流速度v1＝2.5 m/s.若船 在静水中的速度为v2＝5 m/s，求： (1)欲使船在最短的时间内渡河， 船头应朝什么方向？用多长时间？ 位移是多少？ (2)欲使船渡河的航程最短，船头 应朝什么方向？用多长时间？位
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3.规律方法
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反思总结 解决这类问题的关键 (1) 正确区分分运动和合运动 ， 船的划行方向也就是船头指 向 ， 是分运动。船的运动方向也就是船的实际运动方向 ， 是合运动，一般情况下与船头指向不一致。 (2) 运动分解的基本方法 ， 按实际效果分解 ， 一般用平行四 边形定则按水流方向和船头指向分解。 (3) 渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关 ， 与水流速度 无关。 (4)求最短渡河位移时，根据船速v船与水流速度v水的大小情 况用三角形法则求极值的方法处理。
实际速度)． 3．两个极值
(1)过河时间最短：
d v 船⊥v 水，tmin＝ . v船
(2)过河位移最小:(v 船>v 水)
v船 v船 v 合
v船 v合
v 船 v合 v水 v水
d
v水
v 合⊥v 水，如图示，此时 xmin＝d；
过河位移最小:(v 船<v 水)
v水 v 船⊥v 合，如图示．过河最小位移为 xmin＝ d. v船
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5.真题演练
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【跟踪训练】(多选)河水的流速与河岸距离的变化关系如图甲所示， 船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，若要使船以最短时间 渡河，则( )． 解析 在运动的合成 A．船渡河的最短时间是60 s B．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直 与分解中合运动与分 运动具有等时性，当 C．船在河水中航行的轨迹是一条直线 D．船在河水中的最大速度是5 m/s 船头始终与河岸垂直