图形的相似难题汇编含答案解析

12．如图，四边形 ABCD 和四边形 AEFG 均为正方形，连接 CF，DG，则 DG （ ） CF
A． 2 3
【答案】B 【解析】ຫໍສະໝຸດ Baidu
B． 2 2
C． 3 3
【分析】
连接 AC 和 AF，证明△DAG∽△CAF 可得 DG 的值． CF
【详解】
D． 3 2
连接 AC 和 AF，
则 AD AG 2 ， AC AF 2
A．AF＝ 1 CF 2
B．∠DCF＝∠DFC C．图中与△AEF 相似的三角形共有 5 个
D．tan∠CAD＝ 3 2
【答案】D 【解析】 【分析】
由 AE= 1 AD= 1 BC，又 AD∥BC，所以 AE AF 1 ，故 A 正确，不符合题意；
22
BC FC 2
过 D 作 DM∥BE 交 AC 于 N，得到四边形 BMDE 是平行四边形，求出 BM=DE= 1 BC，得到 2
A．1：2
B．1：5
C．1：100
D．1：10
【答案】C
【解析】
根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，由两个相似正五边形的相似比是 1：10，可
知它们的面积为 1：100．
故选：C．
点睛：此题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．
10．已知的三边长分别为 2 ， 6 ， 2 ， ABC 的两边长分别是1和 3 ，如果 ABC 与 ABC 相似，那么 ABC 的第三边长应该是（ ）
面积相等，△PQB 与△ABP 面积相等，再由 EF 为△BPC 的中位线，利用中位线定理得到 EF
∥BC，EF= 1 BC，得出△PEF 与△PBC 相似，相似比为 1：2，面积之比为 1：4，所以 2
S PBC S CQP S QPB S PDC S ABP = S1 + S2 =8.
故选 C．
△PDC、△PAB 的面积分别为 S、 S1 、 S2 ，若 S=2，则 S1 + S2 =（ ）.
A．4
B．6
C．8
D．不能确定
【答案】C
【解析】
试题分析：过 P 作 PQ∥DC 交 BC 于点 Q，由 DC∥AB，得到 PQ∥AB，可得出四边形 PQCD
与 ABQP 都为平行四边形，所以△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，进而确定出△PDC 与△PCQ
A．
4 y2
4
x2
B．
4 y2
4
x2
C．
8 y2
8
x2
D．
8 y2
8
x2
【答案】A 【解析】 【分析】
由直角三角形斜边上的中线性质得出 CD＝ 1 AB＝AD＝4，由等腰三角形的性质得出∠A＝ 2
∠ACD，得出 tan∠ACD＝ GE ＝tanA＝y，证明△CEG∽△FEC，得出 GE CE ，得出 y＝
AEH MEG EMG MEG 90 ， AEH EMG ， AEH EMG ，
EH AE 1 ． MG EM 3
设 MG x ，则 EH 3x ， DG AH 1 x 在 Rt AEH 中，
AH 2 EH 2 AE2 ，
(1 x)2 (3x)2 32 ，
解得 x 4 或 x 1 （舍去）， 5
∴△EOF∽△ECO，
∴ OE = EF ，即 OE2＝EF•EC． EC OE
设正方形边长为 a，则 OE＝ 1 a，CE＝a． 2
∴EF＝ 1 a． 4
∴ EF ＝ 1 ． EC 4
故选：C．
【点睛】 本题考查切线的性质、切线长定理、相似三角形的判定与性质，其中通过作辅助线构造相 似三角形是解答本题的关键．.
CE
CE FE
2 FE
，求出 y2＝
4 FE 2
，得出
4 y2
＝FE2，再由勾股定理得出
FE2＝CF2﹣CE2＝x2﹣4，即可得
出答案． 【详解】 解：如图所示： ∵在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝8，CD 是 AB 边上的中线，
∴CD＝ 1 AB＝AD＝4， 2
∴∠A＝∠ACD， ∵EF 垂直平分 CD，
2．如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 DC 上，DE：EC=3：1，连接 AE 交 BD 于点 F， 则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为（ ）
A．3：4
B．9：16
C．9：1
D．3：1
【答案】B
【解析】
【分析】
可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．
A． 2
B． 2 2
C． 6 2
D． 3 3
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题中数据先计算出两相似三角形的相似比，则第三边长可求．
【详解】
解：根据题意，易证 ABC∽△ ABC ，且相似比为： 2 :1，
△ ABC 的第三边长应该是 2 2 ． 2
故选： A ．
【点睛】 本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，关键就是要清楚对应边是 谁．
D．△DEF 的面积为△ABC 面积的 1 12
【答案】A 【解析】
【分析】
【详解】
解：△DEF 与△ABC 相比，横向扩大为原来的 4 倍，纵向缩小为原来的 1 ；△DEF 的面积为 3
△ABC 面积的 16 ， 9
故选 A.
8．如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶 部，此时小明与平面镜的水平距离为 2 米，旗杆底部与平面镜的水平距离为 12 米，若小明 的眼晴与地面的距离为 1.5 米，则旗杆的高度为（ ）
∴CE＝ 1 CD＝2，∠CEF＝∠CEG＝90°， 2
∴tan∠ACD＝ GE ＝tanA＝y， CE
∵∠ACD+∠FCE＝∠CFE+∠FCE＝90°， ∴∠ACD＝∠FCE， ∴△CEG∽△FEC，
∴ GE ＝ CE ， CE FE
∴y＝ 2 ， FE
∴y2＝
4 FE2
，
4 ∴ y2 ＝FE2，
EH , BN,CG, EN 的长度，进而可求 FN，再利用勾股定理求出 EF 的长度，最后利用
cos EFC FN 即可求解． EF
【详解】
过点 E 作 HG//AD ，交 AB 于 H，交 CD 于 G，作 EN BC 于 N，则
AHG MGE 90 ，
∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ AD AB 3, ABC C D 90 ， ∴四边形 AHGD,BHEN,ENCG 都是矩形． 由折叠可得， AEM D 90, AE AD 3, DM EM 1，
∴ AB BC ，即 1.5 DE ， DE CE 2 12
∴DE＝9． 即旗杆的高度为 9m． 故选 A．
【点睛】 本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体 的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，用相似三角形对应边的比相等的性 质求物体的高度．
9．如果两个相似正五边形的边长比为 1：10，则它们的面积比为（ ）
11．把 RtABC 三边的长度都扩大为原来的 3 倍，则锐角 A 的余弦值（ ） A．扩大为原来的 3 倍 B．缩小为原来的 1 C．扩大为原来的 9 倍 D．不变
3
【答案】D 【解析】 【分析】 根据相似三角形的性质解答． 【详解】 三边的长度都扩大为原来的 3 倍， 则所得的三角形与原三角形相似， ∴锐角 A 的大小不变， ∴锐角 A 的余弦值不变， 故选：D． 【点睛】 此题考查相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的对应角相等 是解题的关键．
∵FE2＝CF2﹣CE2＝x2﹣4，
4 ∴ y2 ＝x2﹣4，
4 ∴ y2 +4＝x2，
故选：A．
【点睛】 本题考查了解直角三角形、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、相似三角 形的判定与性质等知识；熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
4．如图，在矩形 ABCD 中， AB 1，在 BC 上取一点 E ，沿 AE 将 ABE 向上折叠，使 B 点落在 AD 上的 F 点，若四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，则 AD 的长为( )
7．在平面直角坐标系中，把△ABC 的各顶点的横坐标都除以 1 ，纵坐标都乘 1 ，得到
4
3
△DEF，把△DEF 与△ABC 相比，下列说法中正确的是( )
A．横向扩大为原来的 4 倍，纵向缩小为原来的 1 3
B．横向缩小为原来的 1 ，纵向扩大为原来的 3 倍 4
C．△DEF 的面积为△ABC 面积的 12 倍
∵∠DAG=45°-∠GAC，∠CAF=45°-GAC， ∴∠DAG=∠CAF． ∴△DAG∽△CAF．
∴ DG AD 2 ． CF AC 2
故答案为：B. 【点睛】 本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是构造相似三角 形．
13．如图，点 E 是矩形 ABCD 的边 AD 的中点，且 BE⊥AC 于点 F，则下列结论中错误的是 （）
图形的相似难题汇编含答案解析
一、选择题
1．如图，以正方形 ABCD 的 AB 边为直径作半圆 O，过点 C 作直线切半圆于点 E，交 AD 边
于点 F，则 FE ＝（ ） EC
A． 1 2
B． 1 3
C． 1 4
D． 3 8
【答案】C
【解析】
【分析】
连接 OE、OF、OC，利用切线长定理和切线的性质求出∠OCF＝∠FOE，证明△EOF∽△
A．9
B．12
C．14
D．18
【答案】A
【解析】
【分析】
如图，BC＝2m，CE＝12m，AB＝1.5m，利用题意得∠ACB＝∠DCE，则可判断△ACB∽△
DCE，然后利用相似比计算出 DE 的长．
【详解】
解：如图，BC＝2m，CE＝12m，AB＝1.5m，
由题意得∠ACB＝∠DCE，
∵∠ABC＝∠DEC， ∴△ACB∽△DCE，
DF AB
x 1 1
解得： x1
1 2
5
， x2
1 2
5
（不合题意，舍去）
经检验 x 1 5 ，是原方程的解． 2
∴ AD 1 5 ． 2
故选：D． 【点睛】
本题考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形 EFDC
与矩形 ABCD 相似得到比例式．
5．如图，P 为平行四边形 ABCD 边 AD 上一点，E、F 分别为 PB、PC 的中点，△PEF、
考点：平行四边形的性质；三角形中位线定理．
6．如图，在正方形 ABCD中， AB 3 ，点 M 在 CD 的边上，且 DM 1， AEM 与 ADM 关于 AM 所在直线对称，将 ADM 按顺时针方向绕点 A 旋转 90°得到 ABF ，连 接 EF ，则 cos EFC 的值是 （ ）
A． 17 13 65
ECO，利用相似三角形的性质即可解答．
【详解】
解：连接 OE、OF、OC．
∵AD、CF、CB 都与⊙O 相切，
∴CE＝CB；OE⊥CF； FO 平分∠AFC，CO 平分∠BCF．
∵AF∥BC，
∴∠AFC+∠BCF＝180°，
∴∠OFC+∠OCF＝90°，
∵∠OFC+∠FOE＝90°，
∴∠OCF＝∠FOE，
【答案】A
B． 6 13 65
C． 7 15 25
D． 6 17
【解析】
【分析】
过点 E 作 HG//AD ，交 AB 于 H，交 CD 于 G，作 EN BC 于 N，首先证明
AEH EMG ，则有 EH AE 1 ，设 MG x ，则 EH 3x ，
MG EM 3
DG AH 1 x ， 在 Rt AEH 中利用勾股定理求出 x 的值，进而可求
A．2 【答案】D
B． 3
C． 1 5 2
D． 1 5 2
【解析】
【分析】
可设 AD=x，由四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比
例式，求解即可．
【详解】
解：∵ AB 1，
设 AD=x，则 FD=x-1，FE=1，
∵四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，
∴ EF AD ，即 1 x ，
【详解】
∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC=3：1，
∴DE：DC=3：4，
∴DE：AB=3：4，
∴S△DFE：S△BFA=9：16． 故选 B．
3．如图所示，在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝8，CD 是 AB 边上的中线，作 CD 的中垂线与 CD 交于点 E，与 BC 交于点 F．若 CF＝x，tanA＝y，则 x 与 y 之间满足（ ）
EH BN 12 ， CG CD DG EN 6 ．
5
5
BF DM 1
FN BF BN 17 ． 5
在 Rt△EFN 中，
由勾股定理得， EF EN2 FN2 13 ，
cos EFC FN 17 13 ． EF 65
故选：A． 【点睛】
本题主要考查正方形，矩形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，锐角三角函 数，能够作出辅助线是解题的关键．