原子物理学 褚圣麟 第二章
《原子物理学》(褚圣麟)第二章 原子的能级和辐射要点
第2章 原子的能级和辐射
一、 黑体辐射 普朗克能量子
第2章 原子的能级和辐射 二、光电效应 爱因斯坦光量子 （1）光电效应的实验规律
早在1887年,德国物理学家赫兹第一个观察到用紫光照射的尖端放电特别容 易发生，这实际上是光电效应导致的。由于当时还没有电子的概念，所以对其机 制不是很清楚。直到1897年汤姆逊发现了电子。人们才注意到一定频率的光照 射在金属表面上时，有大量电子从表面逸出，称之为光电效应。
第2章 原子的能级和辐射
经过近二个月的努力，普朗克在同年12月14日的一次德国物理学会议上提出： 对一定频率的电磁波，物体只能以 h为单位吸收或发射它，即吸收或发射电磁 波只能以“量子”方式进行，每一份能量 叫一能量子。
电子辐射的能量
E nhv (n 1,2,3)
这一概念严重偏离了经典物理；因此，这一假设提出后的5年时间内，没有 引起人的注意，并且在这以后的十多年时间里，普朗克很后悔当时的提法，在 很多场合他还极力的掩饰这种不连续性是“假设量子论”。
难点 • 量子理论的建立
• 空间量子化
第2章 原子的能级和辐射
2.1 玻尔理论的实验基础
1. 黑体辐射 普朗克能量子 2. 光电效应 爱因斯坦光量子 3. 氢原子光谱
第2章 原子的能级和辐射
卢瑟福模型把原子看成由带正电的原子核和围绕核运动的一些电子组成， 这个模型成功地解释了α粒子散射实验中粒子的大角度散射现象，可是当我们 准备进入原子内部作进一步的考察时，却发现已经建立的物理规律无法解释原 子的稳定性，同一性和再生性。
原子物理学习题标准答案（褚圣麟）很详细
1．原子的基本状况1.1解：根据卢瑟福散射公式：20222442K Mvctgb bZeZea qpepe ==得到：2192150152212619079(1.6010) 3.97104(48.8510)(7.681010)Ze ctg ctg bK oqape p ---´´===´´´´´´米式中212K Mv a =是a 粒子的功能。
1.2已知散射角为q 的a 粒子与散射核的最短距离为222121()(1)4sinm Ze r Mvqpe =+，试问上题a 粒子与散射的金原子核之间的最短距离m r 多大？解：将1.1题中各量代入m r 的表达式，得：2min 22121()(1)4sinZe r Mvqpe =+1929619479(1.6010)1910(1)7.6810 1.6010sin 75o --´´´=´´´+´´´143.0210-=´米1.3 若用动能为1兆电子伏特的质子射向金箔。
问质子与金箔。
问质子与金箔原子核可能达到的最解：当入射粒子与靶核对心碰撞时，散射角为180o。
当入射粒子的动能全部转化为两粒子间的势能时，两粒子间的作用距离最小。
根据上面的分析可得：220min 124p ZeMv K r pe ==，故有：2min 04pZe r K pe =19291361979(1.6010)910 1.141010 1.6010---´´=´´=´´´米由上式看出：min r 与入射粒子的质量无关，所以当用相同能量质量和相同电量得到核代替质子时，其与靶核的作用的最小距离仍为131.1410-´米。
1.7能量为3.5兆电子伏特的细a 粒子束射到单位面积上质量为22/1005.1米公斤-´的银箔上，a 粒解：设靶厚度为't 。
原子物理一到三章讲义(褚圣麟编)
2、玻尔理论H原子电子轨道半径：rn
v e F向 m 2 r 4 0 r
两式联立
2
2
2
P mvr n2
2
1 2 E动 mv 2 2 1 1 e 1 V势能 2 4 0 r 2
r
4o 2 rn n ( ) n r 0 2 me
R
汤姆孙模型
m 7300me 电子的影响忽略
2Ze2 r R时，F 2 4 0 r 2Ze r R时，F 2 4 0 R
2
Ze 3 r R时，有效电荷量Q 3 r R
Ze 3 r R时，有效电荷量Q 3 r R 2 2eQ 2Ze r 电荷受力F 2 3 4 0 r 4 0 R
1 2 1 2Ze 2 Mv Mv 2 2 4 0 rm
有心力场中，角动量守恒
2
Mvb Mvrm
2Ze2 1 14 rm (1 ) ~ 10 m 2 4 0 Mv sin 2
5.对a粒子散射实验的说明
（1）散射截面的问题
（2）大角散射和小角散射的问题 （3）核外电子的问题
三、原子光谱的规律
（1）原子光谱是线状分离谱
（2）各谱线的波数有严格的关系(线系) ~ T m T n—— （3）每个波数都可写为： 里兹并合原理 例： H : T n
RH n
2
Li :
T n
R (n )
2
§3 玻尔氢原子理论 1. 玻尔理论的三个基本假说 1) 定态假设： 原子只能处于某些分立的,不连续的能量状态
定比定律： 元素按一定的物质比相互化合。
倍比定律： 若两种元素能生成几种化合物，则 在这些化合物中，与一定质量的甲 元素化合的乙元素的质量，互成简 单整数比。
原子物理学第2章原子的量子态全解
的温度升高时,单色辐射能量密度
最大值向短波方向移动.
0 1 2 3 4 λ(µm) 绝对黑体辐射能量密度按波长分布(实验)曲线
第二章 原子的量子态：玻尔模型
Manufacture: Zhu Qiao Zhong
4
物体辐射总能量按波长分布决定于温度.
800K
1000K
1200K
固体在温度升高时颜色的变化
矛盾二:经典的光强和时间决定光电流大小;而光电效应中只有 在光的频率大于红限时才会发生光电效应.
矛盾三:经典的驰豫时间（or:响应时间）较长 (若光强很小,电 子需较长时间吸收足够能量才能逸出),而光电效应不超过10-9s.
实验表明:光强为1μW/m2的光照射到钠靶上即有光电流产生, 这相当于500W的光源照在6.3km处的钠靶.
第二章 原子的量子态：玻尔模型
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10
“在目前业已基本建成的科学大厦中,物理学家似乎只要 做一些零碎的修补工作就行了;然而在物理学晴朗天空的 远处,还飘着两朵令人不安的愁云.”
——《19世纪笼罩在热和光的动力论上的阴影》 1900年4月27日于不列颠皇家科学院
1）光电流与入射光强度的关系
光电子
单色光
I
e
Is
A
V
遏止电压
光强较强 光强较弱
第二章 原子的量子态：玻尔模型
Ua o
U
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15
第二章 原子的量子态：玻尔模型
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16
2）光电子初动能与入射光频率呈线性关系,而与入射光强度
褚圣麟版 《原子物理》期末复习资料
Plz m l Psz m s P m j jz
l g l l ( l 1) B , g l 1 s g s s ( s 1) B , g s 2 g j ( j 1) B j j
lz m l g l B , g l 1 s ms g s B , g s 2 m g j j j B
0
) (
2
Ze Mv
2 2
)
2
d sin
4 2
d表示入射粒子被靶的一个原子散 射到θ → θ +d θ之间的立体角dΩ内 的散射截面，即每个靶原子对散射 几率的贡献，称为有效散射截面。 设有一薄膜，面积为A，厚度为ｔ，单位体积内的原子数为N， 则被散射到dΩ内的粒子数dn占总入射粒子n的百分比，也 即是粒子被散射到dΩ内的几率：
ps s(s 1 ) 1 2 自旋量子数 s 1 2 1 2 所以 m s
p sz m s
第五章 多电子原子 1、氦原子光谱和能级 掌握氦原子光谱和能级的特点。（p145）
2、两个电子的耦合
（1）电子组态 n1l1n2l2-----L-S耦合： (s1s2…)(l1l2…)=(SL)＝Ｊ
原子态：
2 S 1
Hale Waihona Puke LJj-j耦合： (s1l1)(s2l2) … =（ j1j2… ）＝j
原子态： ( j1 , j2 ) j
跃迁选择定则 （1）宇称变化 偶性态（ li=偶数） （2）总角动量变化规则 L-S耦合跃迁选择定则: j-j耦合跃迁选择定则: 奇性态（ li=奇数）
ΔS 0 ΔL 0 , 1 ΔJ 0 , 1
原子物理学习题标准答案(褚圣麟)很详细
1．原子的基本状况1.1解：根据卢瑟福散射公式：20222442K Mv ctgb b Ze Zeαθπεπε== 得到：2192150152212619079(1.6010) 3.97104(48.8510)(7.681010)Ze ctg ctg b K οθαπεπ---⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯米 式中212K Mvα=是α粒子的功能。
1.2已知散射角为θ的α粒子与散射核的最短距离为2202121()(1)4sin mZe r Mv θπε=+ ，试问上题α粒子与散射的金原子核之间的最短距离m r 多大？ 解：将1.1题中各量代入m r 的表达式，得：2min202121()(1)4sin Ze r Mv θπε=+ 1929619479(1.6010)1910(1)7.6810 1.6010sin 75ο--⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯143.0210-=⨯米 1.3 若用动能为1兆电子伏特的质子射向金箔。
问质子与金箔。
问质子与金箔原子核可能达到的最解：当入射粒子与靶核对心碰撞时，散射角为180ο。
当入射粒子的动能全部转化为两粒子间的势能时，两粒子间的作用距离最小。
根据上面的分析可得：220min124p Ze Mv K r πε==，故有：2min 04p Ze r K πε=19291361979(1.6010)910 1.141010 1.6010---⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯米 由上式看出：min r 与入射粒子的质量无关，所以当用相同能量质量和相同电量得到核代替质子时，其与靶核的作用的最小距离仍为131.1410-⨯米。
1.7能量为3.5兆电子伏特的细α粒子束射到单位面积上质量为22/1005.1米公斤-⨯的银箔上，α粒解：设靶厚度为't 。
非垂直入射时引起α粒子在靶物质中通过的距离不再是靶物质的厚度't ，而是ο60sin /'t t =，如图1-1所示。
因为散射到θ与θθd +之间Ωd 立体角内的粒子数dn 与总入射粒子数n 的比为：dnNtd nσ= (1) 而σd 为：2sin )()41(422220θπεσΩ=d Mvzed （2）把（2）式代入（1）式，得：2sin)()41(422220θπεΩ=d Mv ze Nt n dn ……（3） 式中立体角元0'0'220,3/260sin /,/====Ωθt t t L ds dN 为原子密度。
原子物理和量子力学
原子物理与量子力学习题参考答案目录原子物理学（褚圣麟编） (1)第一章原子的基本状况 (1)7．α粒子散射问题（P21） (1)第二章原子的能级和辐射 (1)5．能量比较（P76） (1)7．电子偶素（P76） (1)8．对应原理（P77） (1)9．类氢体系能级公式应用（P77） (1)11．Stern-Gerlach实验（P77） (2)第三章量子力学初步 (2)3．de Broglie公式（P113） (2)第四章碱金属原子 (2)2．Na原子光谱公式（P143） (2)4．Li原子的能级跃迁（P143） (2)7．Na原子的精细结构（P144） (2)8．精细结构应用（P144） (3)第五章多电子原子 (3)2．角动量合成法则（P168） (3)3．LS耦合（P168） (3)7．Landé间隔定则（P169） (4)第六章磁场中的原子 (4)2．磁场中的跃迁（P197） (4)3．Zeeman效应（P197） (4)7．磁场中的原子能级（P197） (5)8．Stern-Gerlach实验与原子状态（P197） (5)10．顺磁共振（P198） (5)第七章原子的壳层结构 (6)3．原子结构（P218） (6)第八章X射线 (6)2．反射式光栅衍射（P249） (6)3．光栅衍射（P249） (6)量子力学教程（周世勋编） (7)第一章绪论 (7)1.1 黑体辐射（P15） (7)1.4 量子化通则（P16） (7)第二章波函数和Schrödinger方程 (8)2.3 一维无限深势阱（P52） (8)2.6 对称性（P52） (8)2.7 有限深势阱（P52） (9)第三章力学量 (10)3.5 转子的运动（P101） (10)3.7 一维粒子动量的取值分布（P101） (10)3.8 无限深势阱中粒子能量的取值分布（P101） (11)3.12 测不准关系（P102） (11)第四章态和力学量的表象 (12)4.2 力学量的矩阵表示（P130） (12)4.5 久期方程与本征值方程的应用（P130） (13)第五章微扰理论 (16)5.3 非简并定态微扰公式的运用（P172） (16)5.5 含时微扰理论的应用（P173） (16)第七章自旋与全同粒子 (17)7.1 Pauli算符的对易关系（P241） (17)7.2 自旋算符的性质（P241） (17)7.3 自旋算符x、y分量的本征态（P241） (17)7.4 任意方向自旋算符的特点（P241） (17)7.5 任意态中轨道角动量和自旋角动量的取值（P241） (18)7.6 Bose子系的态函数（P241） (19)原子物理与量子力学习题 (20)一、波函数几率解释的应用 (20)二、态叠加原理的应用 (20)三、态叠加原理与力学量的取值 (20)四、对易关系 (21)五、角动量特性 (22)1原子物理学（褚圣麟编）第一章 原子的基本状况7．α粒子散射问题（P21）J 106.1105.3221962-⨯⨯⨯⨯==E M υ232323030m )2/3(109.1071002.61060sin 1060sin 10----⊥-⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=⋅⨯=A N t A N Nt s ρρ C 1060.119-⨯=e ，11120m AsV 1085.8---⨯=ε，61029-⨯=n dn32521017.412.0100.6--⨯=⨯==ΩL dS d ， 20=θ 2.48)4(sin 202422=⋅Ω⋅⋅=Nt d n dn eM Z πευθ第二章 原子的能级和辐射5．能量比较（P76）Li Li Li Li v hcR hcR E E hv E )427()211(32212=-⋅=-==H e H e H e H e hcR hcR E E 4)1/2(0221=⋅=-=++∞ +∞>H e v E E ，可以使He +的电子电离。
原子物理学褚圣麟前三章复习
第一章：原子的基本状况一、原子的质量和大小① 已知原子量求原子质量：0N AM =，原子量A 以g 为单位，N o =6.022×1023/mol ； ② 原子质量的数量级：10-27kg~10-25kg ；③ 1 个电子伏特1 eV 表示1 个带单位电荷e 的粒子在电位差为1 V 的电场中加速所得到的能量，1 eV = 1.602 177 33(49) *10-19 焦耳；④ 质子：m p = 938.272 31(28) MeV/c 2 电子： m e = 0.510 999 06(15) MeV/c 2⑤ 原子的大小：ρπAN r=0334 ,原子大小线度（半径）： 10-10 m （0.1nm ） 二、原子的核式结构(1) 电子电荷e=1.60217733×10-19C ， 电子质量m=9.1093897×10-31kg (2) m p /m e =1836.15 (3) α粒子散射实验：① α粒子：放射性元素发射出的高速带电粒子，其速度约为光速的十分之一，带+2e 的电荷，质量约为4M H ，后来证明为氦核。
② 散射: 一个运动粒子受到另一个粒子的作用而改变原运动方向的现象。
③ 散射角: 粒子受到散射时，出射方向与原入射方向之间的夹角。
④ 实验结果：大多数散射角很小，约1/8000散射大于 90°极个别的散射角等于180°。
⑤ 汤姆逊模型（均匀带电）的困难：核式模型正电荷集中在原子中心很小的区域，所以无限接近核时，作用力会变得很大，而汤姆逊模型在原子中心附近不能提供很强的作用力。
掠入射 ( r=R ) 时, 入射α粒子受力最大。
⑥ 库伦散射公式：，Ee Z Z a a b πεθ4,2cos 2221==b 小,θ大、b 大,θ小；⑦ 卢瑟福散射公式：常数==Ω22224)()41(2sin MvZe Nnt d dn πεθ； α粒子散射实验的意义：(1) 通过实验解决了原子中正、负电荷的分布问题，建立了一个与实验相符的原子结构模型，使人们认识到原子中的正电荷集中在核上，提出了以核为中心的概念，从而将原子分为核外与核内两部分，并且认识到高密度的原子核的存在，在原子物理学中起了重要作用。
原子物理学 褚圣麟 第二章习题解答
第二章 原子的能级和辐射2.1 试计算氢原子的第一玻尔轨道上电子绕核转动的频率、线速度和加速度。
解：电子在第一玻尔轨道上即n=1。
根据量子化条件，πφ2hnmvrp == 1010.52910r a m −==×可得：频率 21211222ma hma nh a v πππν===1516.5610s −=×速度：m/s 61110188.2/2×===ma h a v νπ加速度：221/8.9810w v a ==×2m /s 22.2 试由氢原子的里德伯常数计算基态氢原子的电离电势和第一激发电势。
解：电离能为，把氢原子的能级公式代入，得：1E E E i −=∞2/n Rhc E n −=Rhc hc R E H i =∞−=111(2=13.60eV。
电离电势：60.13==eE V ii V 第一激发能为将电子从n=1的能级激发到n=2的能级上所需要的能量：20.1060.134343)2111(22=×==−=Rhc hc R E H i eV 第一激发电势：20.1011==eE V V 2.3 用能量为12.5电子伏特的电子去激发基态氢原子，问受激发的氢原子向低能基跃迁时，会出现那些波长的光谱线？解：由氢原子能级公式：2/H E hcR n =−得：113.6E eV =−2 3.4E e =−3 1.51E e ，，V V −40.85E eV ，==−可见，具有12.5电子伏特能量的电子只能激发H 原子至3≤n 的能级。
跃迁时可能发出的光谱线的波长为：1221111(5/36656323H H R R A ολλ=−=⇒=222232231113()12151241118()1025.7139H H H H R R R R οAAολλλλ=−=⇒==−=⇒=2.4 试估算一次电离的氦离子、二次电离的锂离子的第一玻尔轨道半径、电离电势、第一激发电势和赖曼系第一条谱线波长分别与氢原子的上述物理量之比值。
新版原子物理褚圣麟课后答案
原子物理学习题解答第一章 原子的基本状况1.1 若卢瑟福散射用的α粒子是放射性物质镭'C 放射的，其动能为67.6810⨯电子伏特。
散射物质是原子序数79Z =的金箔。
试问散射角150οθ=所对应的瞄准距离b 多大？解：根据卢瑟福散射公式：20222442K M vctgb bZ eZ eαθπεπε==得到：2192150152212619079(1.6010) 3.97104(48.8510)(7.681010)Z e ctgctgb K οθαπεπ---⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯米式中212K M v α=是α粒子的功能。
1.2已知散射角为θ的α粒子与散射核的最短距离为222121()(1)4s inm Z e r M vθπε=+，试问上题α粒子与散射的金原子核之间的最短距离m r 多大？解：将1.1题中各量代入m r 的表达式，得：2m in 22121()(1)4sinZ e r M vθπε=+1929619479(1.6010)1910(1)7.6810 1.6010sin 75ο--⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯143.0210-=⨯米1.3 若用动能为1兆电子伏特的质子射向金箔。
问质子与金箔。
问质子与金箔原子核可能达到的最小距离多大？又问如果用同样能量的氘核（氘核带一个e +电荷而质量是质子的两倍，是氢的一种同位素的原子核）代替质子，其与金箔原子核的最小距离多大？解：当入射粒子与靶核对心碰撞时，散射角为180ο。
当入射粒子的动能全部转化为两粒子间的势能时，两粒子间的作用距离最小。
根据上面的分析可得：220m in124pZ eM vKr πε==，故有：2m in 04pZ er Kπε=19291361979(1.6010)910 1.141010 1.6010---⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯米由上式看出：m in r 与入射粒子的质量无关，所以当用相同能量质量和相同电量得到核代替质子时，其与靶核的作用的最小距离仍为131.1410-⨯米。
原子物理学习题标准答案(褚圣麟)很详细
hcRH(12
12)
其中hcRH13.6电子伏特
1
n
E1
13.6
(1
1) 10.2
电子伏特
22
E2
13.6
(1
12) 12.1
电子伏特
3
E3
13.6
(1
12)
12.8
电子伏特
4
其中E1和E2小于12.5电子伏特，E3大于12.5电子伏特。可见，具有
12.5电子伏特能量的
电子不足以把基态氢原子激发到n4的能级上去，所以只能出现n3的能级间的跃迁。
A，漫线系第一条的波长为
8193A，
基线系第一条的波长为
18459A，主线系的系限波长为
2413
A。试求
、
、
、
4F
各
3S
3P
3D
谱项的项值。
解：将上述波长依次记为
p max,d max,f max,p,
即p max5893 A,d max8193 A,f max18459 A,p2413 A
容易看出：
(1.60
10
19)2
1.14 1013
米
106
1.60
10
19
由上式看出：rmin与入射粒子的质量无关，所以当用相同能量质量和相同电量得到核
代替质子时，其与靶核的作用的最小距离仍为
1.14 1013米。
1/14
1.7能量为3.5兆电子伏特的细粒子束射到单位面积上质量为1.05 102公斤/米2的银
箔上，粒
解：设靶厚度为t'。非垂直入射时引起粒子在靶物质中通过的距离不再是靶物质的
厚度t'，而是t
原子物理学 褚圣麟 第二章
~ RZ 2 ( 1 1 ) v 2 2 n n
2
当 Z=1 时即为里德伯方程。试验中 R 的经 验值为
RH 109677.58cm1
比较 R 与 RH ，我们发现两者符合的很好， 但仍存在微小的差别。
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几个问题
#系限之外还有连续变化的谱线
我们已经知道，所有的光谱线分为一系列线 系，每个线系的谱线都从最大波长到最小波 长（系线）；可是试验中观察到在系限之外 还有连续变化的谱线。这是怎么回事呢？ 如果定义距核无穷远处的势能为0，那么位 于r＝∞处的电子势能为0，但可具有任意的 动能 1
back next
hc
目录
结束
#能级与光谱项之间的关系
我们曾经定义光谱项
RH Tn 2 , n
前面已由
波尔理论得出 :
～
1 1 v R 2 '2 n n
'
～ '
T (n) T (n )
'
考虑到
hv En En
En En v hc hc
back next 目录 结束
back next 目录 结束
光谱的观测
光谱发出的光谱线可通过光谱议进行观测和
记录，它既可把λ 射线按不同波长展开分析，
记录不同光谱线的波长（λ ）和强度（I）。
光源：一切能发出电磁辐射的物体。
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目录
结束
四、光谱的分类
不同的光源有不同的光谱，发出机制也不 尽相同，根据波长的变化情况，大致可分为三 类： 线光谱：波长不连续变化，此种为原子光谱； 带光谱：波长在各区域内连续变化，此为分子光谱； 连续谱：固体的高温辐射。
原子物理褚圣麟课后习题答案和解析
原子物理学习题第一章作业教材 20页 3题：若用动能为 1 MeV 的质子射向金箔，问质子和金箔原子核（Z=79）可以达到的最小距离多大？又问如用同样能量的氕核代替质子，最小距离为多大？解：r m =Z 1*Z 2*e 2/4*π*ε0*E = …… = 1.14 ⨯ 10-13 m氕核情况结论相同-----------------------------------------------------------------------------------------------21页 4题：α粒子的速度为 1.597 ⨯ 107 m/s ，正面垂直入射于厚度为 10-7米、密度为1.932 ⨯104 kg/m 3 的金箔。
试求所有散射在 θ ≥ 90︒ 的α粒子占全部入射粒子的百分比。
金的原子量为197。
解：金原子质量 M Au = 197 ⨯ 1.66 ⨯ 10-27 kg = 3.27 ⨯ 10-25 kg箔中金原子密度 N = ρ/M Au = …… = 5.91 ⨯ 1028 个/m 3入射粒子能量 E = 1/2 MV 2 = 1/2 ⨯ 4 ⨯ 1.66 ⨯ 10-27 kg ⨯ (1.597 ⨯ 107 m/s)2 = 8.47 ⨯ 10-13 J若做相对论修正 E = E 0/(1-V 2/C 2)1/2 = 8.50 ⨯ 10-13 J对心碰撞最短距离 a=Z 1⨯Z 2⨯e 2/4⨯π⨯ε0⨯E = …. = 4.28 ⨯ 10-14 m 百分比d n/n(90︒→180︒)=⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒⨯90sin 145sin 14222Nta π= … = 8.50 ⨯ 10-4%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------21页7题：3.5 MeV α粒子细束射到质量厚度为 0.01 kg/m2 的银箔上（图1-1）。
原子物理学习题与答案(褚圣麟)很详细
1．原子的基本状况1.1解：根据卢瑟福散射公式：20222442K Mv ctgb b Ze Zeαθπεπε== 得到：2192150152212619079(1.6010) 3.97104(48.8510)(7.681010)Ze ctg ctg b K οθαπεπ---⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯米式中212K Mv α=是α粒子的功能。
1.2已知散射角为θ的α粒子与散射核的最短距离为2202121()(1)4sin mZe r Mv θπε=+ ， 试问上题α粒子与散射的金原子核之间的最短距离m r 多大？ 解：将1.1题中各量代入m r 的表达式，得：2min202121()(1)4sin Ze r Mv θπε=+ 1929619479(1.6010)1910(1)7.6810 1.6010sin 75ο--⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯143.0210-=⨯米1.3 若用动能为1兆电子伏特的质子射向金箔。
问质子与金箔。
问质子与金箔原子核可能达到的最解：当入射粒子与靶核对心碰撞时，散射角为180ο。
当入射粒子的动能全部转化为两粒子间的势能时，两粒子间的作用距离最小。
根据上面的分析可得：220min124p Ze Mv K r πε==，故有：2min 04p Ze r K πε=19291361979(1.6010)910 1.141010 1.6010---⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯米 由上式看出：min r 与入射粒子的质量无关，所以当用相同能量质量和相同电量得到核代替质子时，其与靶核的作用的最小距离仍为131.1410-⨯米。
1.7能量为3.5兆电子伏特的细α粒子束射到单位面积上质量为22/1005.1米公斤-⨯的银箔上，α粒解：设靶厚度为't 。
非垂直入射时引起α粒子在靶物质中通过的距离不再是靶物质的厚度't ，而是ο60sin /'t t =，如图1-1所示。
因为散射到θ与θθd +之间Ωd 立体角内的粒子数dn 与总入射粒子数n 的比为：dnNtd nσ= (1) 而σd 为：2sin )()41(422220θπεσΩ=d Mvze d （2） 把（2）式代入（1）式，得：2sin)()41(422220θπεΩ=d Mv ze Nt n dn ……（3） 式中立体角元0'0'220,3/260sin /,/====Ωθt t t L ds dN 为原子密度。
《原子物理》(褚圣麟)习题解答
1
3
=RH [
4.试估算一次电离的氦离子 He 、二次电离的锂离子 Li
的第一玻尔轨道半径、电离电
势、第一激发电势和赖曼系第一条谱线波长分别与氢原子的上述物理量之比值。 解： He 、 Li
都是类氢粒子，由玻尔理论可列表如下：
r1 ( A)
H 0.529 0.265 0.176
0
V (V )
4 0 h 2 v2 e2 m 0.529 10 10 （m） ，其中 a1 2 2 a1 4 0 a1 4 me
由此求得电子的线速度： v 2.18核转动的频率： f
v 6.56 1015 ( s 1 ) 。 2a1
电子的加速度： a
v2 8.98 10 22 (ms 2 ) 。 a1
2. 试用氢原子的里德伯常数计算基态氢原子的电离电势和第一激发电势。
第 4 页
~ =RH 〔 解：∵
1 1 ~ =RH 。∴ U hcR H 13.6(V ) 2 〕,电离情况对应于 n=∞，即 2 1 n e 3 RH , 4
4 2 me 4 2n 当 n 1 时， n cR 2 2 = n n 4 0 2 n 3 h 3
第 7 页
9. Li 原子序数 Z=3,其光谱的主线系可用下式表示：
~=
R R 2 (1 0.5951) (n 0.0401) 2
+++ + ++
已知 Li 原子电离成 Li 离子需要 203.44ev 的功。问如果把 Li 离子电离成 Li 离子， 需要多少 ev 的功？ 解：第一步，由已知公式求出 Li Li 所需的功：
原子物理学习题答案(褚圣麟)很详细
1．原子的基本状况1.1解：根据卢瑟福散射公式：20222442K Mv ctgb b Ze Zeαθπεπε== 得到：2192150152212619079(1.6010) 3.97104(48.8510)(7.681010)Ze ctg ctg b K οθαπεπ---⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯米式中212K Mv α=是α粒子的功能。
1.2已知散射角为θ的α粒子与散射核的最短距离为2202121()(1)4sin mZe r Mv θπε=+ ， 试问上题α粒子与散射的金原子核之间的最短距离m r 多大？ 解：将1.1题中各量代入m r 的表达式，得：2min202121()(1)4sin Ze r Mv θπε=+ 1929619479(1.6010)1910(1)7.6810 1.6010sin 75ο--⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯143.0210-=⨯米1.3 若用动能为1兆电子伏特的质子射向金箔。
问质子与金箔。
问质子与金箔原子核可能达到的最解：当入射粒子与靶核对心碰撞时，散射角为180ο。
当入射粒子的动能全部转化为两粒子间的势能时，两粒子间的作用距离最小。
根据上面的分析可得：220min124p Ze Mv K r πε==，故有：2min 04p Ze r K πε=19291361979(1.6010)910 1.141010 1.6010---⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯米 由上式看出：min r 与入射粒子的质量无关，所以当用相同能量质量和相同电量得到核代替质子时，其与靶核的作用的最小距离仍为131.1410-⨯米。
1.7能量为3.5兆电子伏特的细α粒子束射到单位面积上质量为22/1005.1米公斤-⨯的银箔上，α粒解：设靶厚度为't 。
非垂直入射时引起α粒子在靶物质中通过的距离不再是靶物质的厚度't ，而是ο60sin /'t t =，如图1-1所示。
因为散射到θ与θθd +之间Ωd 立体角内的粒子数dn 与总入射粒子数n 的比为：dnNtd nσ= (1) 而σd 为：2sin )()41(422220θπεσΩ=d Mv ze d （2）把（2）式代入（1）式，得：2sin )()41(422220θπεΩ=d Mvze Nt n dn (3)式中立体角元0'0'220,3/260sin /,/====Ωθt t t L ds dN 为原子密度。
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由于轨道半径 r 是量子化，所以相应的能 量也必然是量子化的
me Z 1 Ze En 2 2 2 40 2rn (40 ) 2h n
Z2 hcR( 2 ) n 上式为量子化能级的表达式，当Z=1，n=1时，
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我们注意到：
1.毕克林系中每隔一条谱线和巴尔末系的谱 线差不多重合，但另外还有一些谱线位于巴 尔末系两邻近线之间；
2.毕克林系与巴尔末系差不多重合的那些谱 线，波长稍有差别，起初有人认为毕克林系 是外星球上氢的光谱线。
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然而玻尔从他的理论出发，指出毕克林系 不是氢发出的，而属于类氢离子 He 。玻尔 理论对类氢离子的巴尔末公式为：
n 则量子化的轨道半径为 rn 1 Z nh 相应的轨道速率为 Vn 2nrn
2
hZ e2 Z m1n 40 h n
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当Z=1,n=1 时电子的轨道半径与速率分别为
r1 1 ,称为氢原子的第一玻尔半径;
v1
令 1
e
2
40 h
氢原子在正常状态时，它的能级最小， 电子位于最小的轨道，当原子吸收或放出一 定的能量时，电子就会在不同的能级间跃迁， 多余的能量便以光子的形式向外辐射，从而 形成氢原子光谱。
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由波尔假设的频率条件我们可以可到
hv En En
'
即
～
mZ 2 1 2 1 ( c) 2 '2 , 2 n n
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二、光
谱
α 粒子的大角度散射，肯定了原子核的存 在，但核外电子的分布及运动情况仍然是个 迷，而光谱是原子结构的反映，因此研究原 子光谱是揭示这个迷的必由之路。 电磁波谱
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三、光谱分析
是研究原子内部结构重要手段之一,牛顿早在 1704年说过，若要了解物质内部情况,只要看其光 谱就可以了.光谱是用光谱仪测量的,光谱仪的种 类繁多,基本结构几乎相同,大致由光源、分光器和 记录仪组成.上图是棱镜光谱仪的原理图.
即
比较上面两个式子，我 们得到能级与光谱之间 的关系为
Rhc En hcTn 2 n
对于不同大小的 n 和 △E ，我们可以绘出上 图所示的能级图，在两能级之间用箭头线表示 可能出现的能级跃迁。
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#R的理论与实验值
我们在前面已经用波尔理论对氢光谱作出 了解释，得到了里德伯常量的计算公式
~ RZ 2 ( 1 1 ) v 2 2 n n
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3.轨道角动量量子化条件：电子处于上述定态时, 角动量L=mvr是量子化的.
根据上述三条基本假设，玻尔建立了他的原子 模型，并成功地解释了氢光谱的实验事实。
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二、电子的运动及轨道半径
玻尔假设电子在特定的轨道上绕核作圆周运动, 设核的电量为Ze(当Z=1时,就是氢原子).如果原子 核是固定不动的,电子绕核作匀速圆周运动,那么 由牛顿第二定律,电子所受库仑力恰好提供了它作 圆周运动的向心力:
2 2e4 me R , 2 3 (4 0 ) ch
从而可以算出氢的里德伯常数
R 109737.315cm1
它与实验值 RH=109677.58cm-1 符合的很好， 可是它们之间依然有万分之五的差别，而当 时光谱学的实验精度已达万分之一。
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第四节、类氢离子的光谱 一、类氢离子
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1912年9月，波尔到哥本哈根大学担任编外副教授，主 讲热力学的力学基础。1913年，他发表了著名论文《原子 和分子的结构》.1920年9月，在波尔的不懈努力下，哥本 哈根大学终于建成了理论物理研究所，海森堡、克拉迈尔 斯、狄拉克、泡利、赫韦希、朗道等许多杰出的物理学家 都先后在这里工作过。 1922年，波尔因对研究原子的结构和原子的辐射所做 得重大贡献而获得诺贝尔物理学奖。 1924年6月，波尔被英国剑桥大学和曼彻斯特大学授 予科学博士名誉学位，剑桥哲学学会接受他为正式会员， 12月又被选为俄罗斯科学院的外国通讯院士。 1927年初，海森堡、玻恩、约尔丹、薛定谔、狄拉克 等成功地创立了原子内部过程的全新理论-量子力学，波 尔对量子力学的创立起了巨大的促进作用。1927年9月， 波尔首次提出了“互补原理”，奠定了哥本哈根学派对量 子力学解释的基础，并从此开始了与爱因斯坦持续多年的 关于量子力学意义的论战。 1965年玻尔去世三周年时，哥本哈根大学物理研究所 被命名为尼尔斯· 玻尔研究所。1997年IUPAC正式通过将第 107号元素命名为Bohrium,以纪念玻尔。
2
当 Z=1 时即为里德伯方程。试验中 R 的经 验值为
RH 109677.58cm1
比较 R 与 RH ，我们发现两者符合的很好， 但仍存在微小的差别。
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几个问题
#系限之外还有连续变化的谱线
我们已经知道，所有的光谱线分为一系列线 系，每个线系的谱线都从最大波长到最小波 长（系线）；可是试验中观察到在系限之外 还有连续变化的谱线。这是怎么回事呢？ 如果定义距核无穷远处的势能为0，那么位 于r＝∞处的电子势能为0，但可具有任意的 动能 1
1 1 e2 电子的动能为 Ek me v 2 , 2 2 40 r
若定义离原子核无穷远处为势能零点， 即 E p () 0, 那么离原子核的距离为r 的电子的势能为
Ze 2 E p (r ) 40 r 1
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所以电子的总能量
E (r ) Ek (r ) E p (r )
即
1 Ze v 2 m 40 r r
2
2
1 Ze 2 r 40 mv
2
代入量子化条件 解得
40 n 2 h 2 nh Vn ; rn 2 2 4 mZe 2mr
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L mvr nh / 2#
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40 h 2 0.53 1010 m 我们引入 1 2 2 4 me
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光谱的观测
光谱发出的光谱线可通过光谱议进行观测和
记录，它既可把λ 射线按不同波长展开分析，
记录不同光谱线的波长（λ ）和强度（I）。
光源：一切能发出电磁辐射的物体。
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四、光谱的分类
不同的光源有不同的光谱，发出机制也不 尽相同，根据波长的变化情况，大致可分为三 类： 线光谱：波长不连续变化，此种为原子光谱； 带光谱：波长在各区域内连续变化，此为分子光谱； 连续谱：固体的高温辐射。
• 2、有多个光谱线系 • 3、波长差，强度 短波方向递减，直到光谱连续
• 二、氢原子的巴尔末系
• • • • • 1、光谱 2、经验公式 3、波数表示 4、氢的其他线系 5、氢原子光谱的一般规律
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尼尔斯· 波尔
波尔1885年10月7日出生于丹麦的哥 本哈根。他父亲是一位生理学教授， 思想开明。 • 1903年，进入了哥本哈根大学自然 科学系，二年级时，参加丹麦皇家科 学协会组织的优秀论文竞赛，获得了 卡尔斯堡基金会的一笔助学金，从而 有机会到英国剑桥大学卡文迪许实验 室，跟随当时最有权威的物理学家 J.J﹒汤姆逊进行深造。但波尔和 J.J﹒汤姆逊处得并不融洽，原因是波 尔第一次见面时就指出了J.J.汤姆逊 一篇论文中一些他认为错误的地方。 在1912年春转到了曼彻斯特大学的卢 瑟福实验室工作。在卢瑟福实验室工 作的四个多用里，波尔收获极大，他 对卢瑟福衷心敬重，无论在为人方面 还是在治学方面，卢瑟福都是他的楷 模。
就是基态氢原子的能量 E1 13.6eV 可见各能级之间的关系是
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E p (r ) 2 E n (r ),
Ek (r ) En (r ).
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四、氢原子能级与线系
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五、氢光谱的解释
根据波尔理论，氢原子的光谱可以作如下 的解释:
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玻尔三条基本假设
1.定态原则：电子绕核作圆周运动时，只在某些 特定的轨道上运动，在这些轨道上运动时，虽然有 加速度,但不向外辐射能量，每一个轨道对应一个定 态，而每一个定态都与一定的能量相对应；
2.跃迁规则：电子并不永远处于一个轨道上，当它 吸收或放出能量时，会在不同轨道间发生跃迁，跃迁 前后的能量差满足频率法则：
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玻尔首先提出量子假设，拿出新的模型，并由此 建立了氢原子理论，从他的理论出发，能准确地导 出巴尔末公式，从纯理论的角度求出里德伯常数 ， 并与实验值吻合的很好。
此外，玻尔理论对类氢离子的光谱也能给出很好 的解释。因此，玻尔理论一举成功，很快为人们 接受。
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类氢离子是原子核外只有一个电子的原 子体系，但原子核带有大于一个单元的正电 荷 比如一次电离的氦离子He+， 二次电离的锂离子Li++， 三次电离的铍离子Be+++，都是具有类似 氢原子结构的离子。
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1897年，天文学家毕克林在船舻座ζ 星的 光谱中发现了一个很象巴尔末系的线系。这 两个线系的关系如下图所示，图中以较高的 线表示巴尔末系的谱线：