七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十二讲 不定方程

第十二讲 不定方程

趣题引路】

暑假里，《新民晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛，勇士队在第一轮中负了两场，总积分为17分.比赛规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．试求该队在本轮比赛中胜的场次和平的场次．

解析 设胜x 场，平y 场，则有 3x ＋y ＝17， 即3x ＝17－y ． ∵x ，y ∈N ，

∴0≤3x ≤17，∴0≤x ≤5，

可得⎩⎨⎧==170y x ，⎩⎨⎧==141y x ，⎩⎨⎧==112y x ，⎩⎨⎧==83y x ，⎩⎨⎧==54y x ，⎩

⎨⎧==25y x ．

点评：问题中含有两个未知数，但只有一个等量关系得到一个方程，即未知数的个数多于方程的个数，一般会有无数多个解，所以我们把这种方程叫做不定方程，但上面的问题中隐含了条件x ，y ∈N ，我们对其进行分析，得出了x ，y 的有限解，也就说明了不定方程虽然解不确定，但我们可以对其自然数解、整数解进行研究．

知识延伸】

一、不定方程的整数解

求不定方程的整数解、正整数解是竞赛中的热点考题，通常有以下几种思路：利用方程的特点确定未知数的取值范围，再在这个范围中取值求解．

1．构造不等式缩小取值范围求解 例1 求21x ＋15y ＝123的正整数解．

解析 原方程可以化为7x ＋5y ＝41， 7x ＝41－5y ， ∵x ，y ∈N ＋

， ∴7≤7x ≤36， ∴1≤x ≤5．

∵5｜5y ，∴5｜(41－7x )， ∴7x 的个位数必是1或6， ∴⎩

⎨⎧==43y x ．

点评：通常先确定系数较大的未知数的范围，本题求出1≤x ≤5后，本可以使x 分别取1~5五个整数代入求解，但充分利用整除的性质，可使问题简便．

2．利用通解定理求解

定理：如果a 、b 是互质的整数，c 是整数，且方程ax ＋by ＝c 有一组解⎩⎨⎧==00

y y x x ，则此方程的一切整数解可表

示为⎩

⎨⎧-=+=at y y bt

x x 00，(其中t 为整数)

例2 (198年“希望杯”试题)篮球、排球、足球放在一堆共25个，其中篮球个数是足球个数的7倍，那么排球的个数是 ．

解析 设足球x 个，排球y 个，则篮球7x 个． 依题意有 8x ＋y ＝25．

∵x ，y ∈N ＋

，易知⎩⎨⎧==13y x 是方程的解，

∴其通解为⎩⎨⎧-=+=t y t x 813(t ∈N ＋

)

又∵x ≥1，y ≥1，⎩

⎨⎧≥-≥+1811

3t t ，

可解得－2≤t ≤0 当t ＝－2时，⎩⎨⎧==171

y x ；

当t ＝－1时，⎩⎨⎧==92

y x ；

当t ＝0时，⎩

⎨⎧==13

y x ．

所以，排球数为1个、9个或17个．

点评：对于一些系数比较简单的不定式方程，我们可以先观察得出一组特解，再由定理得出通解，然后根据题意求出t 的取值范围，再代入求出未知数的值．

3．分离整系数求解

例3 (2002年新加坡数学竞赛题)正整数m 、n 满足8m ＋9n ＝mn ＋6，则m 的最大值为 ． 解析 8m －mn ＝－9n ＋6；即(8－n )m ＝－9n ＋6． 当n ＝8时，原方程无解； 当n ≠8时，m ＝

869+-+-n n ＝866729+--+-n n ＝9＋8

66

-n ．

当n －8＝1，即n ＝9时，m 有最大值9＋66＝75，满足题意． 所以，m 的最大值为75．

二、不定方程组

一般来说，求一个未知数需要一个关于它的方程，求n 个未知数需要n 个独立的关于它的方程．当未知数的个数大于方程的个数时的方程组称之为不定方程组．

例4 已知x 、y 、z 满足⎩

⎨⎧=++=++143715452z y x z y x ，则x ＋y ＋z ＝ ．

解析 要求出x ＋y ＋z 的值就需要对①、②式通过加减法将它们的系数和(差)变成1︰1︰1． ①×k 得 2kx ＋5ky ＋4kz ＝15k ，③ ③＋②得

(2k ＋7)x ＋(5k ＋1)y ＋(4k ＋3)z ＝15k ＋14，④ 依题意得 2k ＋7＝5k ＋1＝4k ＋3， 解之得 k ＝2． 将k ＝2代人④式得 11x ＋11y ＋11z ＝44， ∴x ＋y ＋z ＝4．

点评：两个未知数三个方程，一般不能求出唯一解，所以所求代数式一定能由两个方程通过变形而来，否则是求不出来的．如本题求x ＋y ＋2z 是求不出来的，因为由2k ＋7＝5k ＋1得出k ＝2，代入2(4k ＋3)不能等于5k ＋1．

例5 已知4330 30 x y z x y z --=⎧⎨--=⎩

①

②

且xyz ≠0，求222

2xy yz

x y z ++-的值.

解析： ①－②得3x －2z ＝0，即x ＝23

z . 将x ＝

23z 代人②得 y ＝19

-z . 再将x ＝23z ，y ＝19-z 代人所求代数式222

222211

()()2()263992111()()39

z z z z

xy yz x y z z z z -+-+==+-+--z 点评：同例4一样，本题也求不出x 、y 、x 的具体值，但方程组和求出的代数式是关于x 、y 、z 的齐次式，所以只要将其中一个未知数看成常数，用它表示另两个未知数即可求出.

三、不定方程组的整数解

不定方程的整数解问题一般利用消元的方法，将其化为不定方程求解.

例6 中国鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？

解析：设鸡翁、鸡母、鸡雏的只数分别为x 、y 、z ，则有 100 53=100 3x y z z

x y ++=⎧⎪

⎨++⎪⎩

①② 消去x 得7x ＋4y ＝100 ③ ①

②