传热学第四版课件

2sin n
sin cos
cos( x)exp(a 2 )
n
n
n
n
n
;
n
n
Fo a 2
傅里叶准则 无量纲时间
(
x,
)
0
n1
2sin n sin cos
cos( n
x
)e n2Fo
n
n
n
Fo a 2 Bi h x — 无量纲距离
(x, )
x
f (Bi, Fo, )
§3-3 一维非稳态导热问题的分析解
1、加热或冷却过程的分析解法（分离变量法）
厚度 2 的无限大平壁，、a
为已知常数；=0时温度为 t0;
突然把两侧介质温度降低为 t 并保持不变；壁表面与介质之
间的表面传热系数为h。两侧冷
却情况相同、温度分布对称。
中心为原点。
导热微分方程： t a 2t
x2
非正规状况阶段
ln m K(Bi, x )
将上式两边对时间求导
（ln） 1
m 12
a
2
m
2 1
a
2
—— m的物理意义：过余温度对时间 的相对变化率[1/s]；冷却率或加热率
总之： Fo0.2 时，正规状况阶段；各处 m 相同，不 随时间变化；m 数值取决于物体的物性、几何形状与 尺寸以及表面传热系数
(x, )
2sin 1
cos( x )e12Fo
0 sin cos
1
1
1
1
两边取对数：
Bi和位置 x/ 的函数
ln
( 2 1
a
2
)
ln 0
1
2sin 1
sin
1
cos
1
cos( 1
x
)
令: m 2 a
K f (Bi, x )
1
2
ln m K(Bi,
x )
ln m K(Bi, x )
采用分离变量法求解：取 X (x) ( )
2
a
x2
0,
t0-t
0
x 0, x 0
x , - x h x
X (x) ( )
只为 的函数 1 d 1 d 2 X a d X dx2
只为 x 的函数
只能为常数：
1
a
d d
1 X
d2X dx2
2
(
x,
)
0
n1
物体内部导热热阻 物体表面对流换热热阻
无限大平板在冷却时，其 第三类边界条件:
x ,
- t
x
x
h(t
x
t )
- t
t x
t
t x
t
x x
h
Bi
- t
t t t t
x
x
x x
h
Bi
t tg tg
x x
而
tg
t x
t
x'
即： t tg
x x
x' h Bi
点O’距壁面的距离为 /h 或 /Bi
0
1
sin
1
cos
1
1
对于 Fo0.2 时无限大平壁的非稳态导热过程：温度场 可按上式计算；也可用计算线图（诺谟图）
(x,
)
(x,
)
m
(
)
0
m ( )
0
f (Bi, x ) f (Bi, Fo)
当Fo>0.20 (正规状态)
(x, ) m ( )
cos(1
x
)
cos(1
x)
1 1
和时间无关
x (x, )
(Bi, )
m ( )
平均过余温度
(x, ) (x, ) ( )
m ;
0
m ( )
0
f (Bi, x ) f (Bi, Fo)
( )
(Bi, Fo) m
2、Fo准则对温度分布的影响
Fo a 2 傅里叶准则（无量纲时间）
1）、Fo0.2时无量纲温度可以表达(正规状态) ：
及 可用一通式表达Fo>0.20 (正规状态)
0
Aexp( 12F0
) f ( 1 y )
0 Aexp( 12F0 )Bi
无限大平 板
长圆柱体 及球
y x
y xR
Bi h
Bi
hR
F0
az
2
F0 az R2
此处的A，B及函数 见P74表3-2
I. 近似拟合公式
对上述公式中的A，B，μ1，J0 可用下式拟合
—— 可用集总参数法求解
12
(a
b Bi
)1
A a b( 1 ecBi )
B a cBi 1 bBi
J0( x ) a`b` x c` x2 d` x3
式中常数a ,b ,c ,d 见P75表3-3 a`,b`,c`,d`见P75表3-4
II. 海斯勒图法
(x,
)
(x,
)
m
(
)
;
( )
0
m
0
f (Bi, x ) f (Bi, Fo)
Bi h
与时间无关；只取决于第三类边界条
件、平壁的物性与几何尺寸
m2 a
1
2
当平壁及其边界条件给定后，m 为一
个 常数，它与时间 、地点 x/ 无关
表明：Fo0.2时（* 0.22/a）
平壁内所有各点过余温度的对 数都随时间按线性规律变化， 变化曲线的斜率都相等
正规状况阶段：初始温度分布 的影响已消失
和温度无关 正规状况阶段或充分发展阶段
对于无限大平壁的非稳态导热过程： 温度场按前面原始的计算式计算 (3-19 )：
(x, )
0 n1
n
2sin n
sin n cos n
cos( n
x )en2Fo
经过 秒钟、每平方米平壁放出或吸收的热量：
Q
c
(t
0
t)dx
c
(
0
)dx
2
c
0
定向点O’: （ + /Bi ，t）
当Bi0时，意味着物体的热导 率很大、导热热阻 0
（Bi=h/ ）。物体内的温度
分布趋于均匀一致。 定向点O’在无限远处
当0<Bi<时，定向点O’坐标为 （ + /Bi ，t）或（- - /Bi ，t）
t=t0 Bi0 是一个极限情况，工程上把 Bi<0.1看作是接近这种极限的判据。 Bi<0.1时，平壁中心温度与表面温 度的差别5%，接近均匀一致
任何时刻，壁表面温度分布的切线都通过坐标为
（+ /h，t）的O’点 — 第三类边界条件的定向点
x' h Bi
第三类边界条件的定向点O’:
（+ /h，t）或（ + /Bi，t）
当 Bi 时，意味着表面传热
系数 h （Bi=h / ），对流
换热热阻趋于0。平壁的表面温 度几乎从冷却过程一开始，就 立刻降到流体温度 t 。 定向点O’就在平壁表面上
不仅无限大平壁，其他形状的物体温度也具有类似的 变化规律
2）、Fo<0.2时是瞬态温度变化的初始阶段或非正规 状况阶段。各点温度变化速阶段 c) 新的稳态
3、Bi准则对温度分布的影响
Bi h — 毕渥准则
Bi h 1h
0
可以证明：若保持过余温度的定义不变，上述公式 同样适用于加热过程
此处Bn为离散面(特征值),满足下列方程:
tan(n
)
Bi
n
,n
1,2,...
(
x,
)
0
n1
2sin n
sin cos
cos( n
x
)e n2Fo
若Fo0.2(正规状态)n：
n
n
(x, )
2sin 1
cos( x )e12Fo
初始条件：
0, t t0
边(第界三条类件)：x 0,
t
x 0;
x,
- t
x h(t
t )
t 2t a
x2
0, t t0
x 0, t x 0
x , - t x h(t t )
t(x, ) t — 过余温度
2
a
x2
0, t0-t 0
x 0, x 0; x , - x h x
1
n1
2 n
2sin 2 n
sin cos
n
n
n
e n2Fo
J m2
Q Q0
f
(Fo, Bi);
Q0
c0
— 每m2平壁t0
t
Q Q0
f
(Fo, Bi);
Q0
c0
— 每m2平壁t0
t
对于第一类和第二类边界条件下无限大平壁的加热 或冷却过程的分析解与计算线图可参见有关文献
对无限大平板，长圆柱体及球：