图形变换与二次函数.doc

函数与几何变换结合的综合题

题型1:结合轴对称变换的函数综合题

例1如图1,已知抛物线I i：y=x2-4的图像与x轴交于A,C两点.（1）若抛物线A与/i关于x轴对称, 求A的解析式；（2）若点B是抛物线/1上的一动点（B不与A,C重合），以AC为对角线,A,B,C三点为顶点的平行四边形的第4个顶点定为D,求证:点D在A上；（3）探索:当点B分别位于/］在x轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值?若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积;若不存在,请说明理由.

例2己知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y = kx-Ak的图象与x轴交于点A,抛物线y = ax2 +弘+ c•经过0、A两点。

（1）试用含a的代数式表示b；

（2）设抛物线的顶点为D,以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣孤和优孤两部分。若将劣孤沿x轴翻折，翻折后的劣孤落在。D内，它所在的圆恰与OD相切，求。D半径的长及抛物线的解析式；

（3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得ZPOA = ZOBA ?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

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例3已知抛物线C|:y=-x2+2mx+n(m,n为常数，且m*0,n>0)的顶点为A,与y轴交于点C,抛物线C? 与抛物线Ci关于y轴对称，其顶点为B,连接AC,BC,AB.

(1)请在横线上直接写出抛物线C2的解析式；

(2)当m=l时，判定ZiABC的形状，并说明理由；

(3)抛物线C】上是否存在点P,使得四边形ABCP为菱形?如果存在,请求出m的值；如果不存在，请说明理由.

题型2：与旋转变换结合的函数综合题：

例4如图，已知抛物线G与坐标轴的交点依次是A(.4,0),B(.2,0),

E(0,8).(l)求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式；(2)设抛物线0的顶点为M,抛物线C2与x轴分别交于CD两点(点C在点D的左侧),顶点为N,四边形MDNA的面积为S.若点A,D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；此时，点M,N同时以每秒2个单位的速度沿竖直方向分别向下、向上运动,直到点A与点D重合为止.求出四边形MDNA的面积S与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t的取值范围;(3)当t为何值时,四边形MDNA的面积S有最大值,并求出此最大值;(4)在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形?若能，求出此时t的值;若不能，请说明理由.

例5如图，在等腰梯形ABCD中，ADIBC. BA=CD, AD的长为4. S悌形ABCD=9。已知A、B

的坐标分别为(1, 0)和(0,3),点C在第二象限。

(1)求点c的坐标;

⑵取点E(0,l),连结DE井延长变AB于F。试猜想DF与AB之问的位置关系，并证明你结论;

(3)将梯形ABCD绕点A旋转180。后形成梯形AB'C'D',求对称轴为直线x=3,且过A、B，两点

的抛物线的顶点P的坐标;

题型3：函数与平移变换结合的综合题：

例6如图，在直角坐标系中,0为原点.点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴

±,tanZ0AB=2.二次函数y=x2+mx+2的图像经过点A、B,顶点为D.

⑴求这个二次函数的解析式;

(2)将ZXOAB绕点A顺时针旋转90。后，点B落到点C的位置.将上述二次函数的图像沿y轴向上

或向下平移后经过点C.请直接写出点C的坐标和平移后所得图像的函数解析式;

(3)设(2)中平移后所得二次函数的图像与y轴的交点为B],顶点为D|.点P在平移后的二次函数的

图像上，且满足APBR]的面积是APDDI面积的2倍.求点P的坐标.

三、小结

函数与几何变换结合的综合题主要有两类：一类是函数图像自身进行了几何变换；另一类是其他图形进行了几何变换。

通过以上几例，我们不难发现新课程下中考压轴题的一个新走势：以直角坐标系和函数为载体, 融代数、儿何为一体，在儿何图形的操作变换过程中感悟数学知识，体验数学规律，突出对考生的发散

思维能力、探究能力、创新能力、综合运用能力等方面的考察。