初等数学研究 几何部分 第一章 几何证明

§0.2 中学几何的逻辑结构
一、希尔伯特公理体系简介
四、作为变换群下的不变量的几何学
F.克莱因——《爱尔朗根纲领》 ⑴ 导致几何学的合理分类 ⑵ 指出了建立新几何的途径
五、流形上的几何学 六、小结
贯穿几何学发展历程的三种关系 ⑴ 几何与现实； ⑵ 不同几何的和谐性； ⑶ 局部与整体．
二、中学几何的体系（遵循直观原则和循序渐进原则）
.
例1（笛沙格定理） 如图1-2-5所示，设两个三角形 ABC 和ABC彼此对应，使得对应顶点的直线 AA、 BB 、CC共 点，那么对应边的交点共线（ 、L M、 共N线）．
思考 对于ABC三边所在直线上的点 L 、M 、N ，往证
BL LC
CM MA
AN NB
1
.
事实上，OBC与 LBC截线有 BL CC OB 1；
事实上，∵ 1 D 180 （∵ E、G、C 、D 四点共圆）， D A 180 （∵CD // AB ），
∴ 1 A . 又∵ 2 A 180 （∵ A 、B 、G 、E四点共圆）， ∴ 1 2 180 ， ∴ C 、G 、B三点共线.
又∵ DEG （∵P 、E 、N、O四点共圆）， DEG （∵A 、B 、G 、E 四点共圆），
一、4类度量关系
1．线段或角的相等 2．线段（角）的和、差、倍、分的证明 3．线段成比例的证明 4．最值问题的证明
二、证明思路
1．构造全等形 2．利用能产生线段和角相等的定理如，等腰三角 形、中位线、中点、中垂线、圆中的相关定理． 3．借助计算 4．反证法
例1 正方形 ABCD 中，E 是 CD 的中点，F 是 DA 的中点，连结 BE 、CF 它们相交于 P ，如图1-1-1．
证法三（构造全等形Ⅰ） 如图1-1-4， ∵ A 、B 、P、F 共圆， ∴ 1 2 （同弧上圆周角）． ∵ 3 5 ,4 6 ,5 6 , ∴ 3 4 , ∴ AF AG , ∴ ABF≌ APG
∴ AP AB
图1-1-3
证法四（构造全等形Ⅱ）如图1-1-5，以 A 为圆心，AF为 半径，作弧交 BF 于 Q ． ∵ A 、B 、P 、F 共圆， ∴ 1 2 （同弧上圆周角）， 又 ∵5 7 6 ， ∴ 3 APF , ∴ AP AB .
，cos
2 5
， BP
BC
cos
4 5
在ABP 中，由余弦定理，得
AP2 AB2 BP2 2AB BP cos( )
4 16 2 2
4
1
2 4
5
55
故 AP AB
例2 如图1-1-7所示，已知 ABC 中，AB AC ，A 100 ， B 的平分线交 AC 于 D ．
求证 AD BD BC .
② 上述定理中的线段若不是有向线段，则右边的值为 1 ．
③ 梅乃劳斯定理可推广到平面凸四边形、四面体乃至 n 维欧氏
空间．
④ 判别准则的角元形式（不计方向）：设 X 、Y 、Z 分别是 ABC
的三边BC、CA、AB所在直线上的点，则 X 、Y 、Z 共线的充要条件
是
sin BAX sin CBY sin ACZ 1 sin XAC sin YBA sin ZCB
∴ ,进而 O1O2 R .
例4 如图1-1-9所示，正方形 ABCD 中，AE // BD ，BD DE 求证 BFE 为等腰三角形．
证 作 EG BD于 G ，连结 AC ．
∵EG 1 AC 1 BD 1 DE ，
2
2
2
∴EDB 30 ， ∴ DEB DBE 75 ， ∵ ADF ADB EDB 45 30 15 ， ∴ AFD 90 ADF 75 ， ∵ BFE AFD 75 ， ∴ BFE DEB ∴ BFE 为等腰三角形．
例8（莫勒定理，F.Morley，1985）如图1-1-13所示，在中 ABC ，设分别接近于三边BC、CA 、AB 的内角三等分线
相交于D 、E 、F ，则 DEF为正三角形．
分析 60 ，设ABC外接圆半径为 2R，在 ABF
中用正弦定理求 AF，在AEF 中用余弦定理求 EF ．
求证 AP AB ．
证法一（利用中垂线） 如图1-1-2，取 BC 的 中点 G ，连结AG ．易证 AG ∥CF ，又易证 CF ⊥BE , 故 AG ⊥ BE .易证 H 为 BP 中点， 于是 AG 为线段BP 的中垂线，进而 AP AB ．
证法二（利用等腰三角形） 如图1-1-3，∵ A 、B 、P 、F 共圆，∴ 1 3，4 2 ，又∵3 4，∴ 1 2 ， ∴ AP AB ．
证法五（构造全等形Ⅲ）如图1-1-6，取BC 中点M ，连
结MP ，则BM MP ．连结 MA ，有 MA //CF ，
∴MA BP ，
B
M
C
∴ MA 平分 BMP , PE
∴ AP AB .
A
F
D
图 1-1-6
证法六（借助计算，利用余弦定理）
设正方形边长为2，记EBC ，
则
sin
1 5
依题意，DBC
2 (
0
, 90
)，
∴ DBC 30 .
例6 在平面四边形 ABCD中，AB BC CA AD， 求 BDC．
解 依题意，如图1-1-11所示，B、C 、D 三点在 以 A 为圆心， AB 为半径的圆上， ∴ BDC 1 BAC 30 .
2
例7 在 ABC中 ，BD、CE 分别为 ABC与 ACB的角 平分线，且 BD CE . 求证 ABC 为等腰三角形．
证 如图1-1-12所示，过点 D 作线段DF ,使得BE // 连DF 结 EF、 FC，假设 AB AC，不妨设 AB AC， 一方面，4 2 BE CD DF DC 5 6； 另一方面，4 2 4 1 4 7 3 7 5 6（∵EC EF）， ∴ AB AC 是不可能的，∴ AB AC .
4sin sin sin(60 ) ，
同理 AE 4sin sin sin(60 ).
在AEF 中，由余弦定理，得
EF 2 AE2 AF 2 2AE AF cos 16sin2 sin2 [sin2(60 ) sin2(60 ) 2sin(60 )sin(60 ) cos]
证 作 BE BD ， BFD 100 ， 易得 AD DF ，DE DF ，
（∵ DEF 80 ，DFE 80 ） 又 DE EC （∵ C 40 ，EDC 80 40 40） ∴BC BE EC BD AD.
例3 如图1-1-8所示，在梯形 ABCD 中 ，四边形 AFCD
例5 如图1-1-10所示，ABC 为等腰直角三角形，AD // BC， BD BC ，求 DBC．
解 记 AB a ，则 AC a，BD BC 2a，
∵ SABC SDBC （∵ 两三角形同底等高）， ∴ 1 a2 1 ( 2a)2 sin DBC ，
22
∴ sin DBC 1 ，
ZD ZA ZB
定理2（梅乃劳斯定理的逆定理） 如图1-2-4所示，设 在 ABC 的三边（或所在直线）BC、CA、AB上各取一 点 X 、Y、Z，满足关系
BX CY AZ 1 XC YA ZB
则 X 、Y 、Z 共线．
证 设直线 XY与 AB相交于 Z，则由上述定理有
BX CY AZ 1 ．由假设，知 AZ AZ ，所以，即点
XC YA Z B
ZB Z B
Z 与点 Z重合，故得证．
梅氏判别准则 设 X 、Y 、Z 分别ABC是的三边BC 、CA、 AB 所在直线上的点，则 X 、Y 、Z 共线的充要条件是
BX CY AZ 1 XC YA ZB
.
注 ① 定理中的必要条件即为梅乃劳斯定理，充分条件为梅乃
劳斯定理的逆定理．
定理1（梅乃劳斯定理）如图1-2-3所示，设ABC 的三边
（所在直线）BC 、CA、AB 被一直线分别截于 X 、Y、Z ，
则有
BX CY AZ 1 XC YA ZB
其中线段为有向线段．
证 过点 C 作 CD∥ l 交 AB于点 D，由平行线分线段成 比例定理，得左边 BZ DZ AZ 1 ，所以得证．
LC CO BB
OAB 与截线
NAB有
AA AO
OC CC
CM MA
1；
OAC
与截线MAC有
AN NB
BB BO
OA AA
1 ；
三式相乘，得 BL CM AN 1 ，
∴ EF FD DE ，故 DEF为正三角形．
§1.2 位置关系的证明
主要内容： 共线点问题； 共点线问题； 共圆点问题．
一、三点共线问题
1．基本思路 ⑴ 两点在直线异侧(图1-2-1，往证∠1＝∠2或∠2＋∠3＝ 180°)； ⑵ 两点在一直线同侧（如图1-2-2，往证YXA ZXA）； ⑶ 利用梅乃劳斯（Menelans）定理的逆定理； ⑷ XY 与YZ 同平行于一条直线； ⑸ XZ 和某定直线交点就是 Y（同一法）．
三、作为量的科学的几何学（解析几何）
1．解析几何的基本观念 ⑴ 联系点与数的坐标（坐标） ⑵ 沟通二未知数的方程与平面曲线（方程与曲线） 2．笛卡尔创立解析几何的本意 为几何学提供一个通法，以克服几何证法中技巧随题而异、 不便驾驭的难关． 3．欧氏几何是坐标几何的一种模型．
链接 数学中的形象思维的四个层次（徐利治） ① 几何思维；② 类几何思维；③ 数觉；④ 数学观念的直觉
为平行四边形，E 为 AD 上一点，O1 为 CDE 外心，O2 为 ABE 外心，CFB外接圆半径为 R ．
求证 O1O2 R .
分析
由于
sin sin 90
AD O1O2
Hale Waihona Puke ，即O1O2AD2 sin