初中数学人教版《相似三角形》完美版PPT
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相似三角形完整版PPT课件
相似三角形在几何变换中的应用 在平移、旋转、轴对称等几何变换中，相似三角形可以保持其形状不变，因此具有一些重要的应用。例 如，在建筑设计、地图制作等领域中，常常需要利用相似三角形进行比例缩放和形状保持。
谢谢您的聆听
THANKS
相似三角形的判定
两角分别相等的两个三角 形相似；两边成比例且夹 角相等的两个三角形相似； 三边成比例的两个三角形
相似。
易错点提示与纠正
忽视相似三角形的定义中对应角 相等和对应边成比例两个条件， 只满足其中一个条件不能判定两
个三角形相似。
在应用相似三角形的性质时，要 注意找准对应边和对应角，避免
出现错误。
利用相似三角形研究电磁学问题
在电磁学中，利用相似三角形原理研究电场、磁场和电磁波的传播规律，如电磁感应、电磁 波辐射等。
06
总结回顾与拓展延伸
知识点总结回顾
相似三角形的定义
对应角相等，对应边成比 例的两个三角形相似。
相似三角形的性质
相似三角形的对应角相等， 对应边成比例，面积比等
于相似比的平方。
04
相似三角形在代数中的应用
比例性质在方程求解中应用
利用相似三角形的比例性质，可以建立方 程求解未知数。
通过已知两边比例关系，可以推导出第三 边的长度，进而求解方程。
在复杂几何图形中，利用相似三角形的比 例关系可以简化计算过程。
比例中项在数列求和中应用
比例中项的概念可以 应用于等比数列的求 和问题。
利用比例中项的性质， 可以简化等比数列的 求和过程，提高计算 效率。
通过相似三角形的比 例中项，可以推导出 等比数列的求和公式。
黄金分割点及其性质应用
黄金分割点是指将一条线段分割为两部分，使得较长部分与较短部分之比等于整条 线段与较长部分之比，其比值为黄金比。
谢谢您的聆听
THANKS
相似三角形的判定
两角分别相等的两个三角 形相似；两边成比例且夹 角相等的两个三角形相似； 三边成比例的两个三角形
相似。
易错点提示与纠正
忽视相似三角形的定义中对应角 相等和对应边成比例两个条件， 只满足其中一个条件不能判定两
个三角形相似。
在应用相似三角形的性质时，要 注意找准对应边和对应角，避免
出现错误。
利用相似三角形研究电磁学问题
在电磁学中，利用相似三角形原理研究电场、磁场和电磁波的传播规律，如电磁感应、电磁 波辐射等。
06
总结回顾与拓展延伸
知识点总结回顾
相似三角形的定义
对应角相等，对应边成比 例的两个三角形相似。
相似三角形的性质
相似三角形的对应角相等， 对应边成比例，面积比等
于相似比的平方。
04
相似三角形在代数中的应用
比例性质在方程求解中应用
利用相似三角形的比例性质，可以建立方 程求解未知数。
通过已知两边比例关系，可以推导出第三 边的长度，进而求解方程。
在复杂几何图形中，利用相似三角形的比 例关系可以简化计算过程。
比例中项在数列求和中应用
比例中项的概念可以 应用于等比数列的求 和问题。
利用比例中项的性质， 可以简化等比数列的 求和过程，提高计算 效率。
通过相似三角形的比 例中项，可以推导出 等比数列的求和公式。
黄金分割点及其性质应用
黄金分割点是指将一条线段分割为两部分，使得较长部分与较短部分之比等于整条 线段与较长部分之比，其比值为黄金比。
人教版初中数学三年级下册《相似三角形的性质》图文课件
A
边成比例的两个三角形叫作相似三角形。
C B D
相似比：相似三角形对应边的比k叫做相似比 (求相似三角形的相似比要注意顺序性)
F
如右图所示:△ABC相似于△DEF就可表示为： E “△ABC∽△DEF”读作“△ABC相似于△DEF” 对应顶点一定要写在对应位置，这样可以准 确地找出相似三角形的对应角和对应边。
探 索2:
A
三组对应边成比例
A’
B C
B’
C’
A' B' B' C' A' C' ＝ ＝ AB BC AC
是否有△ABC∽△A’B’C’？
动手：
1、请同学们在所发的方格纸上任意画一个△ABC, 使点A、B、C三点均在格点上。
2、作△A‘B’C‘，使A‘、B’、C‘各点也在格 点上。且A'B'=kAB,B'C'=kBC,A'C'=kAC.(k取一个大于0 且便于画图的数）
(三边对应成比例的两个三角形相似)
练习1: 已知△ABC和 △DEF,根据下列 条件判断它们是否相似. 否 (1) AB=3，
BC=4， AC＝6 DE＝6， EF＝8， DF＝9
是 (2) AB=4，
BC=8， AC＝10 DE＝20， EF＝16， DF＝8
否 (3) AB=12，
BC=15， AC＝24 DE＝16， EF＝20， DF＝30
相似三角形的性质
蓦然回首
1、什么叫做全等三角形？ 能够完全重合的两个三角形叫做全等三 角形。（如右图△ABC≌△DEF）
B
A D C E F
2、全等三角形的对应边、对应角之 间各有什么关系？
九年级数学下册272《相似三角形》PPT课件
3. 解等式求出三角形的面积。
注意事项：在解题过程中，要确保已知的三边长度是准 确的，避免因为数据不准确而导致错误。同时，要注意 选择合适的公式或方法进行计算。
典型例题四：综合应用举例
• 解题思路：综合运用相似三角形的性质和判定方法，解决 复杂的实际问题。
典型例题四：综合应用举例
解题步骤 1. 分析问题，确定需要使用的相似三角形的性质和判定方法；
利用相似三角形的面积比等于相似比的平 方性质，求解面积问题 通过已知三角形的面积和相似比，计算另 一个三角形的面积 结合图形变换和面积公式，利用相似三角 形解决复杂面积问题
利用相似三角形解决综合问题
综合运用相似三角形 的性质，解决涉及线 段、角度和面积的复 杂问题
结合多种数学方法， 如代数运算、方程求 解等，提高解决问题 的效率
通过分析问题的条件 ，选择合适的相似三 角形性质和定理进行 求解
04
典型例题分析与解题思路展示
典型例题一：已知两边求第三边长度
解题思路：利用相似三角形的性质， 即对应边成比例，可以通过已知的两
边长度求出第三边的长度。
解题步骤
2. 利用相似三角形的性质列出比例式 ；
3. 解比例式求出第三边的长度。
1. 确定已知的两边和夹角；
注意事项：在解题过程中，要确保已 知的两边和夹角是对应的，避免因为 数据不对应而导致错误。
典型例题二：已知两角求第三角大小
01
解题思路：根据三角形内角和为180°的性质，可以通过 已知的两角求出第三角的大小。
04
2. 利用三角形内角和为180°的性质列出等式；
02
解题步骤
对应角相等，对应边成比例的两 个三角形叫做相似三角形。
人教版相似三角形性质PPT教学课件
１. 请你描述实验一、二、三。
2. 本实验的结论是什么？
植物吸收二氧化碳，产生氧气； 植物利用二氧化碳制造氧气； 植物的光合作用吸收二氧化碳，产生氧气； 二氧化碳和阳光是影响植物生长的因素。
实 验 一
植物光合作用产生氧气，吸收二氧化碳。
实 验 二
蜡烛燃烧产生的二氧化碳是光合作用 的条件。植物利用二氧化碳制造氧气。
真实的，那就是用心去看这个世界。”
下面请同学们自渎“阅读链接”中的内 容。
海伦·凯勒
世上除了用 眼睛看世界，还 有一种内在的视 觉,那可能是更真 实的，那就是 用 心去看这个世界。
课下延伸 1. 从文中找出自己喜欢的语句或段落，抄写下 来。 2.课下阅读《假如给我三天光明》，写读后感 想。
苏教版六年级上册科学
∴BG •CG=GH •GF
F
B
G
C
5.如图,直角梯形ABCD中, AD∥BC, ∠BCD=900, 对角线AC与BD交于点O,OE⊥CD于点E, 求证:∠1=∠2
A
D
O
1
2
E
B
C
人教新课标小学语文 四年级下册第五组
学习提示
• 1、安静靠什么捉住蝴蝶？你从哪些词句看 出来的？
• 2、作者对安静捉住蝴蝶的感觉是什么？从 哪句话看出来的？
• 品评人物,深化认识 说说通过仔细阅读,你对盲女孩安静有
了怎样的认识,或者说一说你觉得她是个怎 样的孩子?
安静有生活的权利,安静可以创 造一个属于自己的缤纷世界。
我有生活的权利，我可以创造一 个属于自己的缤纷世界。
你有生活的权利，你可以创造一 个属于自己的缤纷世界。
理解句子含义的方法： 1、联系上下文。 2、抓重点词语。 3、结合课文插图。
2. 本实验的结论是什么？
植物吸收二氧化碳，产生氧气； 植物利用二氧化碳制造氧气； 植物的光合作用吸收二氧化碳，产生氧气； 二氧化碳和阳光是影响植物生长的因素。
实 验 一
植物光合作用产生氧气，吸收二氧化碳。
实 验 二
蜡烛燃烧产生的二氧化碳是光合作用 的条件。植物利用二氧化碳制造氧气。
真实的，那就是用心去看这个世界。”
下面请同学们自渎“阅读链接”中的内 容。
海伦·凯勒
世上除了用 眼睛看世界，还 有一种内在的视 觉,那可能是更真 实的，那就是 用 心去看这个世界。
课下延伸 1. 从文中找出自己喜欢的语句或段落，抄写下 来。 2.课下阅读《假如给我三天光明》，写读后感 想。
苏教版六年级上册科学
∴BG •CG=GH •GF
F
B
G
C
5.如图,直角梯形ABCD中, AD∥BC, ∠BCD=900, 对角线AC与BD交于点O,OE⊥CD于点E, 求证:∠1=∠2
A
D
O
1
2
E
B
C
人教新课标小学语文 四年级下册第五组
学习提示
• 1、安静靠什么捉住蝴蝶？你从哪些词句看 出来的？
• 2、作者对安静捉住蝴蝶的感觉是什么？从 哪句话看出来的？
• 品评人物,深化认识 说说通过仔细阅读,你对盲女孩安静有
了怎样的认识,或者说一说你觉得她是个怎 样的孩子?
安静有生活的权利,安静可以创 造一个属于自己的缤纷世界。
我有生活的权利，我可以创造一 个属于自己的缤纷世界。
你有生活的权利，你可以创造一 个属于自己的缤纷世界。
理解句子含义的方法： 1、联系上下文。 2、抓重点词语。 3、结合课文插图。
初中数学人教版九年级下册 27.2.1相似三角形的判定(课时1) 课件(共32张PPT)
1 k
B′
A C
A′ C′
探究新知
如图，任意画两条直线 l1，l2，再画三条与 l1，l2，都相交的平 行线 l3，l4，l5. 分别度量在 l1 上截得的两条线段 AB，BC 和在 l2 上截得的两条线段 DE，EF 的长度
（1）AB 与 DE 相等吗？
BC EF
l1 A
（2）任意平移
l5，BACB
归纳总结
把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现下面
两种情况.
l1A D
l2 l3
E l4
l1
l2
E D l3
A
l4
B
C l5
B
C l5
平行线分线段成比例定理推论：平行于三角形一边的直线截其他 两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
探究新知
思考：如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE分别交AB，AC于点
A E C
要想利用前面学到的结论来证明三角形相似，需将DE平移
到BC边上去，使BF=DE，再证明
AE AC
BF BC
就可以了.
探究新知
证明：先证明两个三角形的角分别相等 在 △ADE与 △ABC中，∠A =∠A.
平行于三角形一边的 直线截其他两边(或两 边的延长线)，所得的
对应线段成比例
∵ DE∥BC，∴ ∠ADE =∠B，∠AED =∠C.
∴. DE AD 2 1 BC AB 2 4 3
故选：C.
练习 6 如图, DC//EF//AB ,若 EG 1 , DC 6 ,则 GF 的长为 AB 2
( B)
A.2
B.3
C.4
D.1.5
解析：∵ EF//AB , ∴△DEG∽△DAB , ∴ DG EG 1 ,即点 G 为 DB 的中点,
人教版初中数学《相似三角形》_优质课件
归纳
知2－讲
(1)一组平行线两两平行，被截直线不一定平行； (2)所有的成比例线段是指被截直线上的线段，与这组 平行线上的线段无关； (3)当上比下的值为1时，说明这组平行线间的距离相 等．
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行线所截，所得的对应线段成比例．
数学表达式：如图，∵l3∥l4∥l5，
A B=D E,A B=D E,B C=E F. B CE FA CD FA CD F
可简记为：
上 下=上 下， 全 上=全 上， 全 下=全 下.
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知1－讲
总结
(1)对应性：表示两三角形相似时，要注意对应性， 即要把对应顶点写在对应位置上． (2)顺序性：求两相似三角形的相似比，要注意顺序 性．若当△ABC∽△A′B′C′时，
AB=BC AC=k,则△A′B′C′∽△ABC时， AB BC AC
AB=BC AC=1. AB BC AC k
知1－练
所以
A 1A 2B 1B 2,A 1A 2B 1B 2， A 2A 3B 2B 3. A 2A 3 B 2B 3 A 1A 3 B 1B 3 A 1A 3 B 1B 3
于是有，平行线分线段成比例定理
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比
例.
归纳
知2－讲
平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平
第二十七章 相似
27.2 相似三角形
第1课时 相似三角形及平行线 分线段成比例
人教版初中数学《相似三角形》_PPT
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思考
如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A 刚落到l3上，如图2所得的对应线段的比 会相等吗？依据是什么？
l1
A
B
l2
D
l3
E
l4
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B
A
A1
要把表示对应角顶点的 字母写在对应的位置上.
C 注意 B1
C1
当∠A =∠A1，∠B =∠B1，∠C =∠C1， AB : A1B1 = BC : B1C1 = CD : C1D1 = k 时， 则△ABC 与△A1B1C1 相似， 记作△ABC ∽ △A1B1C1.
l2
D
l3
E
l4
E
D
A
B
C
C
F
l5
图1
图2（2）
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推论
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两
边的延长线)所得的对应线段成比例.
l l
l
l
A
l1
解∵AC=4，EC=1，∴AE=3. ∵ DE∥BC， ∴ AD AE .
AB AC
∴AD=2.25，
∴BD=0.75.
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思考
如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A 刚落到l3上，如图2所得的对应线段的比 会相等吗？依据是什么？
l1
A
B
l2
D
l3
E
l4
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B
A
A1
要把表示对应角顶点的 字母写在对应的位置上.
C 注意 B1
C1
当∠A =∠A1，∠B =∠B1，∠C =∠C1， AB : A1B1 = BC : B1C1 = CD : C1D1 = k 时， 则△ABC 与△A1B1C1 相似， 记作△ABC ∽ △A1B1C1.
l2
D
l3
E
l4
E
D
A
B
C
C
F
l5
图1
图2（2）
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推论
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两
边的延长线)所得的对应线段成比例.
l l
l
l
A
l1
解∵AC=4，EC=1，∴AE=3. ∵ DE∥BC， ∴ AD AE .
AB AC
∴AD=2.25，
∴BD=0.75.
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人教版初中数学《相似三角形的判定》_完美课件
A
A'
B
C
B'
C'
已知：等腰△ABC AB = AC 和等腰△A'B'C' ，A'B'=A'C' 且有∠B=∠B',
求证:△ABC∽△A'B'C'
证明：∵等腰三角形 AB=AC ∴∠B=∠C ∵等腰三角形 A'B'=A'C' ∴∠B'=∠C'
∵∠B=∠B', ∴∠C=∠C'
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探究
作△ABC和△A'B'C'，使得∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，这
时它们的第三个角满足∠C＝∠C'吗？分别度量这两个三 角形的边长，计算 AB、BC、CA ，你有什么现？
A'B' B'C' C'A'
A' A
B
C
B'
C'
满足：∠C = ∠C'
AB BC CA A'B' B'C ' C ' A'
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证明：在△ABC的边AB（或延长线）上，截取AD=A'B'，过点D 作DE//BC，交AC于点E，则有△ADE∽△ABC
∵∠ADE=∠B, ∠B=∠B'
A
∴∠ADE=∠B'
A'
又∵∠A=∠A',AD=A'B'
相似三角形的判定-完整版PPT课件
课程讲授
1 三边成比例的两个三角形相似
A′ A
B
C
B′
C′
AB A'B'
=
BC B'C'
= CA C'A'
△ABC∽△A'B'C'
课程讲授
1 三边成比例的两个三角形相似
问题2：运用所学知识，证明你的结论.
已知：如图，△ABC和△A'B'C'中，AB = BC = CA A'B' B'C' C'A'
BD BC DC 3 A
∴ △ABD∽△BDC， ∴∠ABD=∠BDC，
∴AB∥DC.
14 B
D
31.5 21
42
C
课堂小结
判定定理1
三边成比例的两个三角形相似．
相似三角形 的判定
判定定理2
两边成比例且夹角相等的两个三 角形相似．
练一练：如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，
要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（ C ）
A. AC AB
AD AE
B. AC BC
AD DE
C. AC AB
AD DE
D. AC BC
AD AE
随堂练习
1.已知△ABC的三边长分别为6 cm,7.5 cm,9 cm，△DEF的一 边长为4 cm，当另两边的长是下列哪一组时，这两个三角形
=
AB AD
=
BC DE
，
∴△ABC∽△ADE.
随堂练习
5.如图，已知AD·AC=AB·AE. （1）求证：△ADE∽△ABC;
证明：∵AD·AC=AB·AE，
人教版《相似三角形的性质》PPT优质课件初中数学ppt
DF＋EF ( GH
)2＝96kk
)2＝94
【素养提升】 16．(16分)如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且CA＝CD， ∠ACB的平分线交AD于点F，E是AB的中点． (1)求证：EF∥BD； (2)若∠ACB＝60°，AC＝8，BC＝12，求四边形BDFE的面积．
解：
(1)证明：∵CA＝CD，CF平分∠ACB，∴CF是 AD边的中线，∵E是AB的中点，∴EF是△ ABD 的中位线，∴EF∥BD
解：可以求出电线杆的高度．过点A作AN⊥EF于点N，交BC于点
M，∵BC∥EF，∴AM⊥BC于点M，△ABC∽△AEF，∴BECF ＝
AM AN
.又∵AM＝0.6
m，AN＝30
m，BC＝0.18
m，∴EF＝BCA·MAN
＝0.108.×630 ＝9 (m).故电线杆的高度为9 m
15．(14分)如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB，AC上，点F在DE 上，G，H两点在BC上，且DE∥BC，FG∥AB，FH∥AC，若 BG∶GH∶HC＝4∶6∶5，求△ADE与△FGH的面积之比．
9．(4分)如图，在△ABC中，EF∥BC，AB＝3AE，若S四边形BCFE＝16，则S△ABC＝____． 2．(4分)如图，在△ABC中，DE∥BC，AH是△ABC的角平分线，交DE于点G，DE∶BC＝2∶3，那么AG∶GH等于______________． 16．(16分)如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且CA＝CD，∠ACB的平分线交AD于点F，E是AB的中点． (2)△ABC的面积． 6．(4分)已知两个相似三角形的最短边的长分别为5和3，且它们周长的差为12，则较大三角形的周长为__________． A．3∶4 B．9∶16 C．4∶9 D．1∶3 三、解答题(共42分) 10．(9分)(教材P38例3变式)已知△ABC∽△A′B′C′，AB边上的中线CD＝4 cm，A′B′边上的中线C′D′＝8 cm，△ABC的周长为20 cm， △A′B′C′的面积是64 cm2，求： (1)求证：EF∥BD；
2024版相似三角形ppt初中数学PPT课件
相似三角形ppt初中数学PPT课件目录CONTENCT •相似三角形基本概念与性质•相似三角形在几何图形中应用•相似三角形在解决实际问题中应用•相似三角形证明方法探讨•典型例题解析与练习•课堂小结与拓展延伸01相似三角形基本概念与性质01020304定义AAA 相似SAS 相似SSS 相似定义及判定方法如果两个三角形有两组对应边成比例且夹角相等，则这两个三角形相似。
如果两个三角形的三组对应角分别相等，则这两个三角形相似。
两个三角形如果它们的对应角相等，则称这两个三角形相似。
如果两个三角形的三组对应边成比例，则这两个三角形相似。
相似比与对应角关系相似比两个相似三角形的对应边之间的比值称为相似比。
相等角两个相似三角形的对应角相等。
补角两个相似三角形的非对应角互为补角。
两个相似三角形的对应边之间的比值相等。
对应边成比例两个相似三角形的对应高、中线、角平分线之间的比值也相等，且等于相似比。
对应高、中线、角平分线成比例两个相似三角形的面积之比等于相似比的平方。
面积比等于相似比的平方两个相似三角形的周长之比等于相似比。
周长比等于相似比性质总结02相似三角形在几何图形中应用平行线间距离问题利用相似三角形性质求解平行线间距离通过构造相似三角形，利用对应边成比例的性质，可以求解平行线间的距离。
平行线间距离与相似三角形关系平行线间距离与相似三角形的对应高成比例，因此可以通过相似三角形性质求解平行线间距离。
角度平分线问题利用相似三角形性质求解角度平分线问题通过构造相似三角形，利用对应角相等的性质，可以求解角度平分线问题。
角度平分线与相似三角形关系角度平分线将相邻两边按照相同比例分割，因此可以通过相似三角形性质求解角度平分线问题。
直角三角形中特殊应用利用相似三角形性质求解直角三角形中特殊应用在直角三角形中，通过构造相似三角形，利用对应边成比例的性质，可以求解一些特殊问题，如勾股定理、射影定理等。
直角三角形中特殊应用与相似三角形关系在直角三角形中，一些特殊应用可以通过构造相似三角形进行求解，这些应用与相似三角形的性质密切相关。
人教版《相似三角形》PPT
RJ版九年级下
第二十七章 相 似
27.2 相似三角形 第1课时 相似三角形及平行线分线段
成比例
习题链接
提示：点击 进入习题
1C 2B
3C 4 10
5A
答案显示
6 4 (1)6 (2)4
7
8 3
8A
习题链接
提示：点击 进入习题
9 见习题 10 见习题 11 见习题 12 见习题
答案显示
夯实基础
1．如图，△ABC∽△AED，∠ADE＝80°，∠A ＝60°，则∠C等于( C ) A．40° B．60° C．80° D．70°
与
△ADB
的
对
应
边
成
比
例
的
比
例
【2020·无锡】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD
式，并求出相似比． ，相交于点O，连接AO，则△ABO的面积的最大值为________．
∴∠ABD＝∠AEB＝110°，∠D＝∠ABE.
夯实基础 【2020·无锡】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD
，相交于点O，连接AO，则△ABO的面积的最大值为________． ∵∠AEB＝110°，∠A＝40°，∴∠ABE＝30°. 提示：点击 进入习题
探究培优 【2020·无锡】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD
，相交于点O，连接AO，则△ABO的面积的最大值为________．
第二十七章 相 似
27.2 相似三角形 第1课时 相似三角形及平行线分线段
成比例
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1C 2B
3C 4 10
5A
答案显示
6 4 (1)6 (2)4
7
8 3
8A
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9 见习题 10 见习题 11 见习题 12 见习题
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夯实基础
1．如图，△ABC∽△AED，∠ADE＝80°，∠A ＝60°，则∠C等于( C ) A．40° B．60° C．80° D．70°
与
△ADB
的
对
应
边
成
比
例
的
比
例
【2020·无锡】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD
式，并求出相似比． ，相交于点O，连接AO，则△ABO的面积的最大值为________．
∴∠ABD＝∠AEB＝110°，∠D＝∠ABE.
夯实基础 【2020·无锡】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD
，相交于点O，连接AO，则△ABO的面积的最大值为________． ∵∠AEB＝110°，∠A＝40°，∴∠ABE＝30°. 提示：点击 进入习题
探究培优 【2020·无锡】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD
，相交于点O，连接AO，则△ABO的面积的最大值为________．
相似三角形ppt教学课件完整版
在摄影测量学中，通过拍摄地面的照片，并利用射影几何的原理进行解析，可以精确地测量 出地面点的三维坐标，为地图制作和地形分析提供重要数据。
计算机视觉中的应用
在计算机视觉领域，射影几何被广泛应用于图像匹配、三维重建、摄像机标定等方面。通过 对图像进行射影变换和处理，可以实现图像的自动识别和场景的三维重建。
典型例题解析
解析
根据全等三角形的定义，两个三 角形如果三边分别相等，则这两 个三角形全等。因此，可以直接
得出△ABC≌△DEF。
2. 例2
已知两个相似三角形ABC和DEF， 其中
AB/DE=BC/EF=CA/FD=2/3， 求∠A和∠D的度数关系。
解析
根据相似三角形的性质，对应角 相等。因此，∠A=∠D。同时， 由于对应边成比例，可以得出两 个三角形的形状相同但大小不同。
对应角相等 面积相等
周长相等
相似与全等关系辨析
相似之处
都有对应边的关系
相似与全等关系辨析
不同之处
全等三角形可以完全重合，而相似三角形 不一定能完全重合
全等要求三边三角完全相等，相似只要求 对应边成比例、对应角相等
相似三角形可以有不同的形状和大小，只 要满足相似条件即可
水利工程中的水流分析
利用相似三角形的原理，可以模拟和分析水流在不同条件下的流速、 流量和水压等参数，为水利工程的设计和施工提供重要依据。
相似三角形与全等三角形关
04
系探讨
全等三角形定义及性质回顾
全等三角形的定义：两个三角形如果 三边及三角分别相等，则称这两个三
角形全等。
全等三角形的性质
对应边相等
相似三角形ppt教学 课件完整版
目录
• 相似三角形基本概念与性质 • 相似三角形在几何证明中的应用 • 相似三角形在解决实际问题中的应
计算机视觉中的应用
在计算机视觉领域，射影几何被广泛应用于图像匹配、三维重建、摄像机标定等方面。通过 对图像进行射影变换和处理，可以实现图像的自动识别和场景的三维重建。
典型例题解析
解析
根据全等三角形的定义，两个三 角形如果三边分别相等，则这两 个三角形全等。因此，可以直接
得出△ABC≌△DEF。
2. 例2
已知两个相似三角形ABC和DEF， 其中
AB/DE=BC/EF=CA/FD=2/3， 求∠A和∠D的度数关系。
解析
根据相似三角形的性质，对应角 相等。因此，∠A=∠D。同时， 由于对应边成比例，可以得出两 个三角形的形状相同但大小不同。
对应角相等 面积相等
周长相等
相似与全等关系辨析
相似之处
都有对应边的关系
相似与全等关系辨析
不同之处
全等三角形可以完全重合，而相似三角形 不一定能完全重合
全等要求三边三角完全相等，相似只要求 对应边成比例、对应角相等
相似三角形可以有不同的形状和大小，只 要满足相似条件即可
水利工程中的水流分析
利用相似三角形的原理，可以模拟和分析水流在不同条件下的流速、 流量和水压等参数，为水利工程的设计和施工提供重要依据。
相似三角形与全等三角形关
04
系探讨
全等三角形定义及性质回顾
全等三角形的定义：两个三角形如果 三边及三角分别相等，则称这两个三
角形全等。
全等三角形的性质
对应边相等
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• 相似三角形基本概念与性质 • 相似三角形在几何证明中的应用 • 相似三角形在解决实际问题中的应
人教版《相似三角形》优秀课件初中数学ppt
∵如点图E，是ABBC∥的C中D，点点，E∴在BEA＝B上C，E，点∴F在CD上，A. C，BD，EF相交于点O，则图中相似三角形共有( )
5证对明：∵ABC.＝BC，∴∠A＝∠B.
C【D思＝路B提C 示】需分△D.CAE∽△PBE与△CAE∽△EBP两种情况进行讨论.
5(1对)若AB＝B1. 0，求DF的长；
方CD法＝专B题C 3 相似三D角.形中的基本模型
A∠DAE·ADB＝＝∠ABE·AC
B.
解7对：∵D，DE. 分别是AC，BCD，E分别在边AB，AC上，下列条件中，不能确定△ADE∽△ACB的是( )
如∵△图B，DAEB∽⊥△BCDE，F，ED∴⊥BD，. C是线段BD的中点，AC⊥CE，ED＝1，BD＝4，则AB＝________.
【思路提示】需分△CAE∽△PBE与△CAE∽△EBP两种情况进行讨论.
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15.如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)， 满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在AB，AC上. (1)求证：△BDE∽△CEF； 证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠DEC＝∠B＋∠BDE ＝∠DEF＋∠CEF，∠DEF＝∠B，∴∠BDE＝∠CEF. ∴△BDE∽△CEF.
解：∵∠ADE＝∠ACB，∴180°－∠ADE＝180°－∠ACB，即∠BDF＝∠ECF.
C.CD＝BC ∴△BDE∽△CEF.
AD·AB＝AE·AC
D.BC·CD＝AC·OA
2对 C.
证明：∵AC＝BC，∴∠A＝∠B.
∴△BDE∽△CEF.
5对 B.
(1)若AB＝10，求DF的长；
又∵∠BFD＝∠EFC，∴△BDF∽△ECF，∴
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题型三 相似三角形的性质 典例 [2018·荆门]如图 Z7－5，四边形 ABCD 为平行四边形，E，F 为 CD 边的两个 三等分点，连接 AF，BE 交于点 G，则 S△EFG∶S△ABG＝( C )
A．1∶3 C．1∶9
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变式跟进 1.如图 Z7－2，在△ABC 中，AB＝6，DE∥AC，将△BDE 绕点 B 顺时针 旋转得到△BD′E′，点 D 的对应点落在边 BC 上，已知 BE′＝5，D′C＝4，则 BC 的 长为__2_＋___3_4_____．
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7．如图 Z7－10，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐 标分别为 A(2，－4)，B(3，－2)，C(6，－3)． (1)画出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1； (2)以点 M(1，2)为位似中心，在网格中画出△A1B1C1 的位似图 形△A2B2C2 且与△A1B1C1 同侧，使△A2B2C2 与△A1B1C1 的相似 比为 2∶1； (3)求出 A2，B2，C2 三点的坐标．
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综上所述，当 AE＝53或152时，以 A，D，E 为顶点的三角形与△ABC 相似．
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变式跟进 2 答图
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3．如图 Z7－4，将一个 Rt△BPE 与正方形 ABCD 叠放在一起，并使
其直角顶点 P 落在线段 CD 上(不与 C，D 两点重合)，斜边的一部分与
线段 AB 重合．
Rt△ EPB，
(1)图中与 Rt△BCP 相似的三角形共有___3___个，分别是____________
Rt△ PDF， Rt△ EAF
_____________________；
(2)请选择第(1)问答案中的任意一个三角形，完成该三角形与△BCP 相
AC 于点 F，G.
(1)求 CD 的长； (2)若点 M 是线段 AD 的中点，求DEFF的值．
图Z7－12
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解：(1)∵AD 平分∠BAC，∠BAC＝60°， ∴∠DAC＝12∠BAC＝30°， 在 Rt△ADC 中，CD＝AC·tan30°＝2 3； (2)易得 BC＝6 3，BD＝4 3， 由 DE∥AC，得∠EDA＝∠DAC，∠DFM＝∠AGM， ∵AM＝DM，∴△DFM≌△AGM，∴DF＝AG， 由 DE∥AC，得△BFE∽△BGA，∴AEGF＝BAEB＝BBDC， ∴DEFF＝AEGF＝BBDC＝46 33＝23.
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变式跟进 4.[2018·连云港]如图 Z7－6，在△ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 上，
1∶ 9
DE∥BC，AD∶DB＝1∶2，则△ADE 与△ABC 的面积的比为_________．
图 Z7－6 【解析】 ∵DE∥BC，AD∶BD＝1∶2， ∴AADB＝13，△ADE∽△ABC，∴SS△△AADBCE＝19.
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变式跟进 8.[2019·衢州节选]如图 Z7－12，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，
AC＝6，∠BAC＝60°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，过点 D 作 DE∥AC
交 AB 于点 E，点 M 是线段 AD 上的动点，连结 BM 并延长分别交 DE，
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5．如图 Z7－7，有一块三角形的余料 ABC，要把它加工成矩形的零件，已知：BC ＝8 cm，高 AD＝12 cm，矩形 EFGH 的边 EF 在 BC 边上，G，H 分别在 AC，AB 上，设 HE 的长为 y cm、EF 的长为 x cm. (1)写出 y 与 x 的函数解析式； (2)当 x 取多少时，四边形 EFGH 是正方形？
似的证明．
图Z7－4
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解：(2)以△BCP∽△EPB 为例： ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ABP＋∠PBC＝∠C＝90°. ∵∠PBC＋∠BPC＝90°， ∴∠ABP＝∠BPC， 又∵∠BPE＝∠C＝90°， ∴Rt△BCP∽Rt△EPB.
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∵∠EGA＝∠AMF＝90°， ∴∠AEG＋∠EAG＝∠EAG＋∠AFM， ∴∠AFM＝∠AEG， ∵∠FAD＝∠EGA＝90°，∴△FAD∽△EGA， ∴DAEF＝AADG＝AACB＝34.
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图 Z7－5 B．3∶1 D．9∶1
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【解析】 ∵E，F 为 CD 边的两个三等分点， ∴EF＝13CD， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴CD＝AB，CD∥AB， ∴EF＝13AB，△EFG∽△BAG， ∴S△EFG∶S△ABG＝EBFA2＝19.故选 C. 【点悟】 (1)相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；(2)相似三 角形对应高、中线、角平分线的比等于相似比．
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题型二 相似三角形的判定 典例 已知：如图 Z7－3，∠1＝∠2，AB·AC＝AD·AE.求证：∠C＝∠E.
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图 Z7－3
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证明：在△ABE 和△ADC 中， ∵AB·AC＝AD·AE，∴AADB＝AAEC， 又∵∠1＝∠2，∴△ABE∽△ADC，∴∠C＝∠E.
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变式跟进 6.[2019·古冶区一模]如图 Z7－9，已知△ABC，任取一点 O，连接 AO，
BO，CO，并取它们的中点 D，E，F，得△DEF，则下列说法正确的个数是( C ) ①△ABC 与△DEF 是位似图形；
②△ABC 与△DEF 是相似图形；
图Z7－10
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解：(1)如答图； (2)如答图； (3)A2(3，6)，B2(5，2)，C2(11，4)．
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变式跟进 7 答图
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题型五 相似三角形的综合
典例 [2018·湖州]已知在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB≥AC，D，E 分别为 AC，
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变式跟进 2.在△ABC 中，AB＝6，AC＝5，点 D 在边 AB 上，且 AD＝2，点 E 在 边 AC 上，当 AE＝__53_或__15_2____时，以 A，D，E 为顶点的三角形与△ABC 相似． 【解析】 ∵∠A＝∠A，分两种情况：如答图①， 当AADE＝AABC时，△ADE∽△ABC， 即A2E＝65，∴AE＝53； 如答图②，当AADE＝AACB时，△ADE∽△ACB， 即A2E＝56，∴AE＝152.
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图 Z7－7
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解：(1)由题意知 AK＝AD－y＝12－y，HG＝EF＝x， ∵HG∥BC，∴△AHG∽△ABC， ∴AADK＝HBCG，即121－2 y＝x8，∴y＝12－32x； (2)由(1)可知 y 与 x 的函数解析式为 y＝12－32x， ∵四边形 EFGH 是正方形， ∴HE＝EF，即 x＝y， ∴x＝12－32x，解得 x＝254. ∴当 x＝254时，四边形 EFGH 是正方形．
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题型四 位似图形及其画法
典例 如图 Z7－8，在平面直角坐标系中有△ABC，以点 O 为位似中心，相似比为 2，
将△ABC 放大，则它顶点的对应点的坐标为( C ) A.2，32，32，12，12，1
B．(8，6)，(6，2)，(2，4)
③△ABC 与△DEF 的周长比为 1∶2；
④△ABC 与△DEF 的面积比为 4∶1.
A．7－9
【解析】 ∵将△ABC 的三边缩小到原来的12，∴△ABC 与△DEF 的周长比为 2∶1，
故③选项错误．①②④选项正确，故选 C.
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C．(8，6)，(6，2)，(2，4)或(－8，－6)，(－6，－2)，(－2，
－4)
D．(8，－6)，(6，－2)，(2，－4)或(－8，6)，(－6，2)， (－2，4)
图Z7－8
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【解析】 由坐标系可知，点 A，B，C 的坐标分别为(4，3)，(3，1)，(1，2)，则放大 后，它们的对应点的坐标为(4×2，3×2)，(3×2，1×2)，(1×2，2×2)或(－4×2， －3×2)，(－3×2，－1×2)，(－1×2，－2×2)，即(8，6)，(6，2)，(2，4)或(－8， －6)，(－6，－2)，(－2，－4)．故选 C. 【点悟】 如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形与原图形 对应点的坐标比等于 k 或－k.
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题型三 相似三角形的性质 典例 [2018·荆门]如图 Z7－5，四边形 ABCD 为平行四边形，E，F 为 CD 边的两个 三等分点，连接 AF，BE 交于点 G，则 S△EFG∶S△ABG＝( C )
A．1∶3 C．1∶9
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变式跟进 1.如图 Z7－2，在△ABC 中，AB＝6，DE∥AC，将△BDE 绕点 B 顺时针 旋转得到△BD′E′，点 D 的对应点落在边 BC 上，已知 BE′＝5，D′C＝4，则 BC 的 长为__2_＋___3_4_____．
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7．如图 Z7－10，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐 标分别为 A(2，－4)，B(3，－2)，C(6，－3)． (1)画出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1； (2)以点 M(1，2)为位似中心，在网格中画出△A1B1C1 的位似图 形△A2B2C2 且与△A1B1C1 同侧，使△A2B2C2 与△A1B1C1 的相似 比为 2∶1； (3)求出 A2，B2，C2 三点的坐标．
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综上所述，当 AE＝53或152时，以 A，D，E 为顶点的三角形与△ABC 相似．
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变式跟进 2 答图
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3．如图 Z7－4，将一个 Rt△BPE 与正方形 ABCD 叠放在一起，并使
其直角顶点 P 落在线段 CD 上(不与 C，D 两点重合)，斜边的一部分与
线段 AB 重合．
Rt△ EPB，
(1)图中与 Rt△BCP 相似的三角形共有___3___个，分别是____________
Rt△ PDF， Rt△ EAF
_____________________；
(2)请选择第(1)问答案中的任意一个三角形，完成该三角形与△BCP 相
AC 于点 F，G.
(1)求 CD 的长； (2)若点 M 是线段 AD 的中点，求DEFF的值．
图Z7－12
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解：(1)∵AD 平分∠BAC，∠BAC＝60°， ∴∠DAC＝12∠BAC＝30°， 在 Rt△ADC 中，CD＝AC·tan30°＝2 3； (2)易得 BC＝6 3，BD＝4 3， 由 DE∥AC，得∠EDA＝∠DAC，∠DFM＝∠AGM， ∵AM＝DM，∴△DFM≌△AGM，∴DF＝AG， 由 DE∥AC，得△BFE∽△BGA，∴AEGF＝BAEB＝BBDC， ∴DEFF＝AEGF＝BBDC＝46 33＝23.
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变式跟进 4.[2018·连云港]如图 Z7－6，在△ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 上，
1∶ 9
DE∥BC，AD∶DB＝1∶2，则△ADE 与△ABC 的面积的比为_________．
图 Z7－6 【解析】 ∵DE∥BC，AD∶BD＝1∶2， ∴AADB＝13，△ADE∽△ABC，∴SS△△AADBCE＝19.
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变式跟进 8.[2019·衢州节选]如图 Z7－12，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，
AC＝6，∠BAC＝60°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，过点 D 作 DE∥AC
交 AB 于点 E，点 M 是线段 AD 上的动点，连结 BM 并延长分别交 DE，
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5．如图 Z7－7，有一块三角形的余料 ABC，要把它加工成矩形的零件，已知：BC ＝8 cm，高 AD＝12 cm，矩形 EFGH 的边 EF 在 BC 边上，G，H 分别在 AC，AB 上，设 HE 的长为 y cm、EF 的长为 x cm. (1)写出 y 与 x 的函数解析式； (2)当 x 取多少时，四边形 EFGH 是正方形？
似的证明．
图Z7－4
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解：(2)以△BCP∽△EPB 为例： ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ABP＋∠PBC＝∠C＝90°. ∵∠PBC＋∠BPC＝90°， ∴∠ABP＝∠BPC， 又∵∠BPE＝∠C＝90°， ∴Rt△BCP∽Rt△EPB.
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∵∠EGA＝∠AMF＝90°， ∴∠AEG＋∠EAG＝∠EAG＋∠AFM， ∴∠AFM＝∠AEG， ∵∠FAD＝∠EGA＝90°，∴△FAD∽△EGA， ∴DAEF＝AADG＝AACB＝34.
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图 Z7－5 B．3∶1 D．9∶1
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【解析】 ∵E，F 为 CD 边的两个三等分点， ∴EF＝13CD， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴CD＝AB，CD∥AB， ∴EF＝13AB，△EFG∽△BAG， ∴S△EFG∶S△ABG＝EBFA2＝19.故选 C. 【点悟】 (1)相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；(2)相似三 角形对应高、中线、角平分线的比等于相似比．
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题型二 相似三角形的判定 典例 已知：如图 Z7－3，∠1＝∠2，AB·AC＝AD·AE.求证：∠C＝∠E.
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图 Z7－3
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证明：在△ABE 和△ADC 中， ∵AB·AC＝AD·AE，∴AADB＝AAEC， 又∵∠1＝∠2，∴△ABE∽△ADC，∴∠C＝∠E.
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变式跟进 6.[2019·古冶区一模]如图 Z7－9，已知△ABC，任取一点 O，连接 AO，
BO，CO，并取它们的中点 D，E，F，得△DEF，则下列说法正确的个数是( C ) ①△ABC 与△DEF 是位似图形；
②△ABC 与△DEF 是相似图形；
图Z7－10
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解：(1)如答图； (2)如答图； (3)A2(3，6)，B2(5，2)，C2(11，4)．
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变式跟进 7 答图
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题型五 相似三角形的综合
典例 [2018·湖州]已知在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB≥AC，D，E 分别为 AC，
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变式跟进 2.在△ABC 中，AB＝6，AC＝5，点 D 在边 AB 上，且 AD＝2，点 E 在 边 AC 上，当 AE＝__53_或__15_2____时，以 A，D，E 为顶点的三角形与△ABC 相似． 【解析】 ∵∠A＝∠A，分两种情况：如答图①， 当AADE＝AABC时，△ADE∽△ABC， 即A2E＝65，∴AE＝53； 如答图②，当AADE＝AACB时，△ADE∽△ACB， 即A2E＝56，∴AE＝152.
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图 Z7－7
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解：(1)由题意知 AK＝AD－y＝12－y，HG＝EF＝x， ∵HG∥BC，∴△AHG∽△ABC， ∴AADK＝HBCG，即121－2 y＝x8，∴y＝12－32x； (2)由(1)可知 y 与 x 的函数解析式为 y＝12－32x， ∵四边形 EFGH 是正方形， ∴HE＝EF，即 x＝y， ∴x＝12－32x，解得 x＝254. ∴当 x＝254时，四边形 EFGH 是正方形．
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题型四 位似图形及其画法
典例 如图 Z7－8，在平面直角坐标系中有△ABC，以点 O 为位似中心，相似比为 2，
将△ABC 放大，则它顶点的对应点的坐标为( C ) A.2，32，32，12，12，1
B．(8，6)，(6，2)，(2，4)
③△ABC 与△DEF 的周长比为 1∶2；
④△ABC 与△DEF 的面积比为 4∶1.
A．7－9
【解析】 ∵将△ABC 的三边缩小到原来的12，∴△ABC 与△DEF 的周长比为 2∶1，
故③选项错误．①②④选项正确，故选 C.
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C．(8，6)，(6，2)，(2，4)或(－8，－6)，(－6，－2)，(－2，
－4)
D．(8，－6)，(6，－2)，(2，－4)或(－8，6)，(－6，2)， (－2，4)
图Z7－8
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【解析】 由坐标系可知，点 A，B，C 的坐标分别为(4，3)，(3，1)，(1，2)，则放大 后，它们的对应点的坐标为(4×2，3×2)，(3×2，1×2)，(1×2，2×2)或(－4×2， －3×2)，(－3×2，－1×2)，(－1×2，－2×2)，即(8，6)，(6，2)，(2，4)或(－8， －6)，(－6，－2)，(－2，－4)．故选 C. 【点悟】 如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形与原图形 对应点的坐标比等于 k 或－k.
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