导数中证明不等式技巧——构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转,唯手熟尔!

导数中的不等式证明

导数中不等式的证明是历年的高考中是一个永恒的话题，由于不等式证明的灵活性，多样性，该考点也备受命题者的青睐。本文通过四个方面系统介绍了一些常规的不等式证明的手段

命题角度1 构造函数 命题角度2 放缩法 命题角度3 切线法

命题角度4 二元或多元不等式的证明思路 命题角度5 函数凹凸性的应用

命题角度1 构造函数

【典例1】（赣州市2018届高三摸底考试）已知函数()ln 1

1,()x x ae f x g x bx x e x

=-

=+-，若曲线()y f x =与曲线()y g x =的一个公共点是()1,1A ，且在点A 处的切线互相垂直． （1）求,a b 的值；

（2）证明：当1x ≥时，()2()f x g x x

+≥

． 【解析】（1）1a b ==-； （2）1()x e g x x e x =-

++，()2ln 1

()10x x e f x g x x x x e x

+≥⇔---+≥， 令()()()2

()1h x f x g x x x

=+-

≥，则 ()ln 1

1x x e h x x x e x

=---+， ()2

221ln 1ln 11x x x e x e

h x x e x x e

-'=-

+++=++， 因为1x ≥，所以()2ln 10x

x e

h x x e '=

++>， 所以()h x 在[)1.+∞单调递增，()()10h x h ≥=，即ln 1

10x x e x x e x

---+≥， 所以当1x ≥时，()2

()f x g x x

+≥

． 【审题点津】待证不等式的两边都含有同一个变量，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，应用导数研究其单调性，借助于所构造函数的单调性加以证明.

命题角度2 放缩法

【典例2】（石家庄市2018届高三下学期4月一模考试）已知函数()()()x f x x b e a =+-(0)b >，在

(1,(1))f --处的切线方程为(1)10e x ey e -++-=.

（1）求,a b ；

（2）若0m ≤，证明：2()f x mx x ≥+. 【解析】（1）1a =，1b =；

（2）由（1）可知()(1)(1)x f x x e =+-，()(0)0,10f f =-=， 由0m ≤，可得2x mx x ≥+， 令()()()11x g x x e x =+--，则()()22x g x x e '=+-， 当2x ≤-时，()()2220x g x x e '=+-<-<，

当2x >-时，设()()()22x h x g x x e '==+-，则()()30x h x x e '=+>， 故函数()g x '在()2,-+∞上单调递增，

又(0)0g '=，所以当(),0x ∈-∞时，()0g x '<，当()0,x ∈+∞时，()0g x '>， 所以函数()g x 在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增， 故()(0)0g x g ≥=，即()()211x x e x mx x +-≥≥+. 故2()f x mx x ≥+.

【方法归纳】函数解析式中含有已知范围的参数，可以考虑借助于常识或已知的范围减少变量，对参数适当放缩达到证明的目标.

【典例3】（成都市2018届高中毕业班二诊理科）已知函数()ln 1,f x x x ax a R =++∈. （1）当0x >时，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （2）当*n N ∈时，证明：

222

3

1ln 2ln ln 242

1

n n n

n n n +<+++<++ 【解析】（1）[)1,-+∞；

（2）设数列{}{},n n a b 的前n 项的和分别为,241

n n n n S T n n ==++，则 由于()()111,

2,n n

n S n a S S n -=⎧⎪=⎨

-≥⎪⎩，解得()()112n a n n =++；

同理，()

1

1n b n n =

+，

所以只需证明()()

()

2

1

11

ln 121n n n a b n n n n n +=

<<=

+++.

由（1）知1a =-时，有ln 1x x x ≥-，即1

ln x x x

-≥. 令11n x n +=

>，则11

ln 1

n n n +>+， 所以()

()()2

2

11111

ln 12121n n n n n n n +>>=-+++++， 所以222

3

111ln 2ln ln 2

2224

n n

n n n ++++>-=++； 再证明

()211ln 1n n n n +<+，亦即1ln n n +，

因为1ln

n

n +==，

所以只需证， 现证明()1

2ln 1x x x x

<-

>. 令()()12ln 1h x x x x x =-+>，则()()2

22

121

10x h x x x x -'=--=-<，

所以函数()h x 在()1,+∞上单调递减，()()10h x h <=， 所以当1x >时，1

2ln x x x

<-恒成立，

令1x =

，则， 综上，()()

()2111

ln 121n n n n n n +<<

+++， 所以对数列{}{}21,ln ,n n n a b n +⎧⎫

⎨⎬⎩

⎭分别求前n 项的和，得

222

3

1ln 2ln ln 242

1

n n n

n n n +<+++<++. 【思路总结】待证数列不等式的一端是n 项之和（或积）的结构，另一端含有变量n 时，可以将它们分别视为两个数列的前n 项的和（或积），从而将不等式的证明转化为两个数列的对应项之间的大小关系的证明.

【典例4】（安徽省安庆市2018届重点中学联考）已知函数()2ln 2

x

x f x e +=

. （1）求函数()f x 的单调区间；

（2）证明：当0x >时，都有()()222ln 1x x f x x e e

+'+<+. 【解析】（1）()()

21ln x

x x x f x xe --'=

，

令()1ln g x x x x =--，则()10g =，