不等式的基本性质
不等式的基本性质知识点
不等式的基本性质知识点1 .不等式的定义：a-b>0 a>b, a-b=O a=b, a-b<O L> a<b。
①其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。
它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。
②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。
作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。
如证明y=x3为单增函数，3 3 2 2 2设x1, X2《(-m,+ m), X<X2, f(x i)_f(X 2)=X1 _X2 =(X1_X2)(X1 +X1X2+X2 )=(X1_X2)[(X l+ -)3+ X22]5 3再由(X什- )2+ X22>0, X1-X2<0,可得 f(X l)<f(X2), ••• f(X)为单增。
2.不等式的性质：①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。
不等式基本性质有：(1)a>b三b<a (对称性)(2)a>b, b>c 二a>c (传递性)⑶ a>b = a+c>b+c (c € R)(4) c>0 时，a>b A，ac>bcc<0 时，a>b ac<bc。
运算性质有：(1) a>b, c>d —a+c>b+d。
⑵ a>b>0,c>d>0 ac>bd。
⑶ a>b>0 —a n>b n(n € N, n>1)。
⑷ a>b>0= 川>w (n € N, n>1)。
应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“ ”和“ ”即推出关系和等价关系。
一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。
解不等式就是施行一系列的等价变换。
因此，要正确理解和应用不等式性质。
不等式的基本性质
4
3
2
= 2x (x -1)+(1- x)(1+ x) 3 =(x -1)(2x - x -1) 2 = (x 1)(x 1)(2x 2x 1) 1 1 = (x -1) 2(x + 2) + 2 > 0
2 2
3
∴A>B
1、不等式的基本性质： ①对称性： a b b a
考点突破 利用不等式性质判断命题真假 运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的 条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意 捏造性质．解有关不等式的简单判断和选择题时，
也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵
循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简
单，便于验证计算．
对于实数 a，b，c，下列命题中的真命题 是( ) A．若 a＞b，则 ac2＞bc2 1 1 B．若 a＞b＞0，则a＞b b a C．若 a＜b＜0，则 ＞ a b 1 1 D．若 a＞b，a＞b，则 a＞0，b＜0
本专题知识结构
第一讲 不等式和绝对值不等式
不 等 式 选 讲
第二讲 证明不等式的基本方法 第三讲 柯西不等式与排序不等式 第四讲 数学归纳法证明不等式
第一讲
不等式和绝对值不等式
1.不等式的基本性质
知识回顾
A B a b b>a B b
a>b
A a
a>b a-b>0
解：
2
2
2 2 2
4 2 4
4
,
4
不等式的性质 不等式的基本性质
不等式的性质不等式的基本性质各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢不等式的性质不等式的性质1.不等式的基本性质:性质1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性).性质2:如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).性质3:如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,cd,那么a+c>b+d.性质5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.性质6:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn,且.例1:判断下列命题的真假,并说明理由.若a>b,c=d,则ac2>bd2;(假)若,则a>b;(真)若a>b且abb;(真)若|a|b2;(充要条件)命题A:a命题A:,命题B:0说明:本题要求学生完成一种规范的证明或解题过程,在完善解题规范的过程中完善自身逻辑思维的严密性.a,b∈R且a>b,比较a3-b3与ab2-a2b 的大小.(≥)说明:强调在最后一步中,说明等号取到的情况,为今后基本不等式求最值作思维准备.例4:设a>b,n是偶数且n∈N*,试比较an+bn与an-1b+abn-1的大小.说明:本例条件是a>b,与正值不等式乘方性质相比在于缺少了a,b为正值这一条件,为此我们必须对a,b的取值情况加以分类讨论.因为a>b,可由三种情况(1)a>b≥0;(2)a≥0>b;(3)0>a>b.由此得到总有an+bn>an-1b+abn-1.通过本例可以开始渗透分类讨论的数学思想.练习:1.若a≠0,比较(a2+1)2与a4+a2+1的大小.(>)2.若a>0,b>0且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2的大小.(>)3.判断下列命题的真假,并说明理由.(1)若a>b,则a2>b2;(假) (2)若a>b,则a3>b3;(真)(3)若a>b,则ac2>bc2;(假) (4)若,则a>b;(真)若a>b,c>d,则a-d>b-c.(真).各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢。
不等式的基本性质
(a b)( a b ) ( a b )( a b )2 ab ab 2 1 2 1 a 2 b 2 （定号） 0 ( ) ( ) a b b a
三、例题分析：
a b 例4:已知a 0, b 0，比较 ( ) ( ) b a 与 a b 的大小。
变式练习
已知 3≤a＋b≤4,1≤4a－2b≤2，求 4a
＋2b 的取值范围．
解：方法 1：(方程组思想) 1 1 x＝ a＋ b a＝3x＋6y 令 ，则 y＝ 4a－ 2b b＝2x－ 1y 3 6
.
1 1 2 1 8 1 ∴ 4a＋2b＝4( x＋ y)＋ 2( x－ y)＝ x＋ y， 3 6 3 6 3 3 8 32 3≤ x≤ 4 8≤3x≤ 3 又 ⇒ 1≤ y≤ 2 1≤1y≤2 3 3 3 25 8 1 34 ⇒ ≤ x＋ y≤ ， 3 3 3 3
1 2 2 a, b, , 2ab, a b 从小到大的顺序是 2
1 2 2 a 2ab a b b ______________________ 2 1 3 特殊值法: 取 a , b 4 4
三、例题分析：
2 2 2 x 4 y 1 x y 例2:(2)已知 ，比较
方法 2：(待定系数法)设 f(3)＝λf(1)＋μf(2)， ∴9a－c＝λ(a－c)＋μ(4a－c)． 5 λ ＝－ 3 9＝λ＋4μ ∴ ，解得 －1＝－λ－μ μ＝8. 3 5 8 ∴f(3)＝－ f(1)＋ f(2)．下同方法 1，略． 3 3
• 【方法总结】 本题把所求的问题用已 知不等式表示，然后利用同向不等式性 质解决．本题常用待定系数法解决，设 出方程，求出待定系数即可．
不等式的基本性质
做一做
根据2<3完成下列填空：
2×5_<__3×5； 2× 1 < 3×1 ；2×(-1)_>_3×(-1)；
2
2
2×(-5)_>_3×(-5)；
2×(-
1 2
)__>_3 ×(- 1
2
).
你发现了什么？
不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或 除以）同一个正数，不等号的方向不变.
2
x ≤ 3.
解:（1）x＞3；
（2）x＞-
5 6
； （3）x≤6.
在上节课的问题中，我们猜想，无论绳长l 取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即：
l 2 ＞l 2 . 4 π 16
你相信这个结论吗？你能利用不等式的基本 性质解释这一结论吗？
汇报完毕！谢谢！
不等式的基本性质
填一填
1.若x是正数，则 x＞0 2.若x是负数，则 x＜0 3.若x是非负数，则 x≥0 4.若x是非正数，则 x≤0 5.若x大于y，则 x＞y 6.若x小于y，则 x＜y 7.若x不小于y，则 x≥y 8.若x不大于y，则 x≤y 9.若x不等于y，则 x≠y 10.若xy同号，则 xy＞0或y/x＞0 11.若xy异号，则 xy＜0或y/x＜0
2.已知 x ＞ y ,下列不等式一定成立吗？
（1）x – 6 ＜ y – 6； （2） 3x＜3y； （3）-2x＜-2y ； （4） 2x +1＞2y +1.
不成立 不成立 成立 成立
随堂练习
1.将下列不等式化成 x ＞ a或 x ＜ a的形式：
（1）x –1 ＞2；
不等式的基本性质
D
ab .
A
ab 这个圆的半径为 2 显然，它大于或等于CD，
ab 2
ab
C
a
O
b
B
半径不小于半弦
E
二. 最值定理应用:设 x 0, y 0,由x y 2 xy
x 1.若积 xy P(定值），则和 y有最小值2 P
作业：
P10 Ex 3、10、11、13选做来自Ex 14五、基本不等式
一．常用的重要的不等式和基本不等式
a R, 则a 2 0, a 0（ 当且仅当 a 0时, 取“” 1.若 ）。
2.若 a, b R, 则a b 2ab （当且仅当a=b时取等号）.
2 2
a, b R ，则 a b 2 ab （当且仅当a=b时取等号）. 3.若
不等式的基本性质
一.不等式的三个基本事实：
a b a b 0; a b a b 0; a b a b 0.
比较大小的基本依据。
O
二. 不等式的基本性质(运算性质)
(1)a b b a. 对称性 (2)a b, b c a c. 传递性 (3)a b a c b c. 可加性 (4)a b, c 0 ac bc; 可乘性 a b, c 0 ac bc. (5)a b 0 a b (n N , n 2).
a 2 b2 ab 2 ( ) （当且仅当a=b时取等号）. 4.若a, b R , 则 2 2
1 3：（1）已知0<x< , 求函数y x(1 3x)的最大值。 3
不等式的基本性质
以数学符号表示为：若A>B，则B<A。例如，如果一个人年龄大于另一个人年龄，那么另一个人年龄必然小于第一个人年龄。
详细描述
不等式的对称性是指在不等式两端同时加上或减去同一个数或式子，不等式仍然成立。
以数学符号表示为：若A>B，则A±C>B±C。例如，如果一个人身高大于另一个人身高，那么无论在这两个人身高上加上或减去同一个数值，不等式仍然成立。
04
不等式的应用
数学竞赛中的不等式主要用于解决一些与不等式有关的问题，如最值、不等式证明等。
通过使用不等式性质，可以分析得出一些解决问题的技巧和方法，如放缩法、常数代换法等。
数学竞赛中的应用
不等式在数论中主要用于研究一些与不等式有关的问题，如三角不等式、柯西不等式等。
不等式在数论中还有许多应用，如在研究素数分布、算术级数等问题时都会涉及到不等式的应用。
最优化问题
控制理论
数据科学
经济与金融
THANK YOU.
谢谢您的观看
不等式可以用来描述各种最优化问题，如线性规划、二次规划、非线性规划等。
在经济学和金融学中，不等式被用来描述各种经济和金融模型，如供需模型、最优消费模型等。
在控制理论中，不等式被用来描述系统的稳定性和性能限制。
在数据科学中，不等式被用来进行特征选择和降维，以及建立数据隐私保护的约束条件。
不等式的进一步应用和研究方向
一次不等式
形如ax²+bx+c>0，a、b、c为实数且a≠0的不等式叫做二次不等式。
二次不等式
除一次和二次不等式外，还有指数不等式、对数不等式等其他
VS
不等式的传递性是指如果A和B之间存在不等式关系，且B和C之间也存在不等式关系，那么A和C之间也必然存在同样的不等式关系。
不等式的基本性质
不等式的基本性质
不等式的基本性质
不等式的基本性质有对称性，传递性，加法单调性，即同向不等式可加性;乘
法单调性;同向正值不等式可乘性;正值不等式可乘方;正值不等式可开方;倒数法则。
一、不等式的基本性质
1.如果x>y，那么y<X;如果Yy;(对称性)
2.如果x>y，y>z;那么x>z;(传递性)
3.如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z,即不等式两边同时加或减
去同一个整式，不等号方向不变;
4.如果x>y，z>0，那么xz>yz ,即不等式两边同时乘以(或除以)同一个大于0
的整式，不等号方向不变;
5.如果x>y，z<0，那么xz<YZ, p 即不等式两边同时乘以(或除以)同一个小于0
的整式，不等号方向改变;<>
6.如果x>y，m>n，那么x+m>y+n;
7.如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn;
8.如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂(n为正数)，x的n次幂<Y的N
次幂(N为负数)。
< p>
二、不等式的基本性质的另一种表达方式
1.对称性;
2.传递性;
3.加法单调性，即同向不等式可加性;
4.乘法单调性;
5.同向正值不等式可乘性;
6.正值不等式可乘方;
7.正值不等式可开方;
8.倒数法则。
如果由不等式的基本性质出发，通过逻辑推理，可以论证大量的初等不等式。
不等式的性质
等式基本性质1：
等式的两边都加上（或减去）同一个整 式，等式仍成立 如果a=b,那么a±c=b±c
等式基本性质2： 等式的两边都乘以（或除以）同一个不 为0的数，等式仍成立 a b （c≠0）， 如果a=b,那么ac=bc或 c c
不等式
两边都加（或减去） 同一个数
不等号 的方向
７＞４
－3＜４
根据不等式的性质2，3a<6a
当a<0时,根据不等式的性质3,3a>6a
如果关于x的不等式 (1-a)x>1-a 的解 集为 x<1 ,那么请给出一个符合题意a的值 解：由(1-a)x>1-a ，不等式两边同 时除以 1-a ，得到 x<1
不等号方向改变了，由不等式的 性质3可知 1-a<0,a>1 可以取a=2
(1) x+3>-1
解：根据不等式性质1，得 X>-4
-4 0
(2) 6x<5x-7
解：根据不等式性质1,得 X<-7
(3) 4x>-12
解：根据不等式性质2，得 X>-3
-3 0
-7
0
新情境题
以下不等式中,不等号用对了么? (1)3-a<6-a (2)3a<6a
解：(1)3<6,根据不等式的性质1 将不等式两边同时减a,3-a<6-a (2)3<6,当a>0时,
（２）如果a＞b，那么ac2＞bc2。
（３）如果ac2＞bc2, 那么a＞b。
× ×
例3
利用不等式的性质解下列不等式．
(1) x-７＞26 解：根据不等式性质1，不等式两边加7，不等好的 方向不变。 ∴ x-７+7＞26 +7
不等式的基本性质
结论：
性质一（不等式的传递性）：
如果a>b,且b>c,那么a>c.
性质二（不等式的加法性质）：
如果a>b,那么a+c>b+c.
探究：
性质三（不等式的乘法性质）：
如果a>b,c>0,那么ac>bc; 如果a>b,c<0,那么ac<bc.
Байду номын сангаас
例题解析：
例4：用符号“<”或“>”填空，并说出应用了不等式的哪条性 质。 (1)设a>b，a-3 b-3; (2)设a>b，6a 6b; (3)设a<b,-4a -4b; (4)设a<b,5-2a 5-2b. 解：（1）>; （2） >;
小结：
不等式的三条基本性质内容。
性质一（不等式的传递性）：
如果a>b,且b>c,那么a>c.
性质二（不等式的加法性质）：
如果a>b,那么a+c>b+c.
性质三（不等式的乘法性质）：
如果a>b,c>0,那么ac>bc; 如果a>b,c<0,那么ac<bc.
课后作业：
必作：习题2.1 A组1—2题； 选作：习题2.1 B组
看一看：
想一想：
问题一：
有A、B、C三个人玩跷跷板游戏，如果A比B重，B 比C重，A与B玩后，B下来换上C与A比较，跷跷板 的方向会不会改变？
问题二：
有A、B二人玩跷跷板游戏，如果A比B重，现在在跷 跷板两端添加相同重量的物体后，跷跷板的倾斜方 向会不会改变？
做一做：
请用天平验证你的结论。
不等式的基本性质
3.1 不等式的基本性质 目标：不等式的基本性质一.不等式的性质不等式的证明和不等式的求解都离不开对不等式的性质的灵活运用，在不等式这一章中，不等式的性质有着极其重要的地位，不等式的性质归纳起来，主要有下面八条性质和三条推论： 性质1.（对称性）a b b a <⇐⇒>；性质2.（传递性）若b a >，c b >⇒c a >；性质3.（移项法则）若b a >⇐⇒c b c a +>+；性质4. 若b a >，0>c ⇒bc ac >；若b a >，0<c ⇒bc ac <；性质5.（同向不等式可以相加）若b a >，d c >⇒d b c a +>+；性质6.（正的同向不等式可以相乘）若0>>b a ，0>>d c ⇒bd ac >；性质7. 若0>>b a ⇒nn b a >， )2,(*≥∈n N n ；性质8. 若0>>b a ⇒n n b a >，)2,(*≥∈n N n ；二.典型例题1.若c b a >>，且0=++c b a ，则 （ ） A.ac ab > B.bc ac > C.bc ab > D.不同于A,B,C 的结论2.已知0<a ，01<<-b ，则 （ ）A.2ab ab a >>B.a ab ab >>2C.2ab a ab >>D.a ab ab >>23.若0<<b a ，则下列不等式中不能成立的是 （ ） A.ba 11> B.ab a 11>- C.||||b a > D.b a )21()21(>4.给出下列命题：①如果b a >，那么c b c a ->- ②如果b a >，那么cbc a > ③如果bc ac <，那么b a < ④如果22bc ac >，那么b a >其中真命题的个数是 （ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个5.设n m y x ,,,是互不相等的正数，且n m y x +=+，n m y x -<-<0，则以下结论正确的是 （ ） A.mn xy >且y n m x >>> B.mn xy >且n y x m >>> C.mn xy <且y n m x >>> D.mn xy <且n y x m >>>6.判断下列命题正确与否.①若b a >，则22bc ac > . ②若22cb c a >，则b a > . ③若b a >，0≠ab ，则ba 11< . ④若b a >，dc >，则bd ac >.⑤若b a >，d c >，则d b c a ->- ⑥bc ac >，则b a >⑦若0<<b a ，则1<b a . ⑧若0<<b a ，则ba 11<.7. 若βα,满足22πβαπ<<<-，则βα-的取值范围是 （ ）A.πβαπ<-<-B.0<-<-βαπC.22πβαπ<-<-D.02<-<-βαπ8.已知0>>>y x c ，求证 yc y x c x ->- .9.设1≥x ，比较3x 与12+-x x 的大小.10.已知 0>a ，0222=+-c ab a ，2a bc >，试比较a 、b 、c 的大小.12.已知 6012<<a ，3615<<b ，求b a -及ba的取值范围.13.已知二次函数)(x f y =的图象经过原点且 2)1(1≤-≤f ， 4)1(3≤≤f ，求)2(-f 的取值范围 .。
不等式的基本性质
例3 已知
- ,求 ， - 的取值范围。
2
2
22
- 6 a 8,2 b 3,分别求a - b, a 的取值范围 b
1.在(1)若a b,则 1 1 , ab
(2)若ac2 bc2 ,则a b, (3)若a b 0, c d 0,则ac bd, (4)若a b,则 b b x
（ （12） ）若 若ca>>ab>, b1>0，1 则，c则-aaa>0，cb-b<b0。（（对对））
ab
课堂小结与作业
1.不等式的概念: 同向不等式；异向不等式；同解不等
2.比较两个实数大小的主要方法:
式．
(1)作差比较法：作差——变形——定号——下结论；
3.不等式的基本性质. （6条） 课外作业： 1.记忆并默写不等式的基本性质 2.p9第2题、第3题（写在作业本上)
(同向正数不等式相乘)
(ⅳ) 如果a ＞ b，ab ＞0则 1 ＜ 1 ab
（同号两数，大的倒数较小，小的倒数较大。）
例3实已数知的a大 b小与0,c它们d 的0,差求的证关da系
b c
证明:c d 0,cd 0,c - d 0, 1 0, 1 - 1 c - d 0
cd
d c cd
用数学式子表示为: a b a - b 0 a b a-b 0
表示“等价于”a b a - b 0
基本理论
a b a-b 0； a b a-b 0； aba-b0.
上式中的左边部分反映的是实数的大小顺序，而右 边部分则是实数的运算性质，合起来就成为实数的 大小顺序与运算性质之间的关系. 这一性质不仅可以 用来比较两个实数的大小，而且是推导不等式的性 质、不等式的证明、解不等式的主要依据.
不等式及其性质与解法
（1）一元一次不等式：只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式。
（2）一元一次不等式的解法：求接方法与解一元一次方程类似，根据不等式性质将不等式变形，从而等到解集.（3）一般步骤：一、去分母；二、去括号；三、移项；四、合并，化成b ax >或b ax <的形式（其中0≠a ）；五、两边都除以未知数的系数，得到不等式的解集。
热身练习1、判断下列各题是否正确？正确的打“√”，错误的打“×”。
（1） 不等式两边同时乘以一个整数，不等号方向不变.（ × ） （2） 如果a ＞b ，那么3－2a ＞3－2b.（ × ） （3） 如果a ＜b ，那么a 2＜b 2.（ × ） （4） 如果a 为有理数，则a ＞－a.（ × ） （5） 如果a ＞b ，那么ac 2＞bc 2.（ × ） （6） 如果－x ＞８，那么x ＞－8.（ × ） （7） 若a ＜b ，则a ＋c ＜b ＋c.（ √ ）2、若x ＞ｙ，则ax ＞ay ，那么a 一定为（ A ）。
[来源A 、a ＞０B 、ａ＜０C 、ａ≥0D 、a ≤03、有理数b 满足︱b ︱＜3，并且有理数a 使得a ＜b 恒成立，则a 得取值范围是（ C ）。
A 、小于或等于3的有理数 B 、小于3的有理数 C 、小于或等于－3的有理数 D 、小于－3的有理数4、若b a <，则下列各式中一定成立的是（ B ） A 、0>-b a B 、0<-b a C 、0>ab D 、0<ab5、如果t>0,那么a+t 与a 的大小关系是 ( A ).A 、a+t>aB 、a+t<aC 、a+t ≥aD 、不能确定 6、同时满足不等式2124xx -<-和3316-≥-x x 的整数x 是 （ B ）． A 、1，2，3 B 、0，1，2，3 C 、1，2，3，4 D 、0，1，2，3，47、若三个连续正奇数的和不大于27，则这样的奇数组有（ B ）A ．3组B ．4组C ．5组D ．6组 8、若a ＜0，则－2b a +__<__－2b[来源:学.科.网] 11．设a ＜b ，用“＞”或“＜”填空：[来源:Z*xx*ka －1__<__b －1， a ＋3__<__b ＋3， －2a__>__－2b ，3a __<__3b12．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，用“＞”或“＜”填空：a －b__<__0， a ＋b__<__0，ab __>__0，a 2__>__b 2，a 1__>__b1，︱a ︱__>__︱b ︱ 13．若a ＜b ＜0，则21（b －a ）_>___0 14、不等式2(x + 1) - 12732-≤-x x 的解集为_____1314≥x ________。
不等式的基本性质
知2－练
3
有一道这样的题：“由★x则题中★表示的是( D )
A．非正数
B．正数
C．非负数
D．负数
知2－练
4 已知实数a，b满足a＋1>b＋1，则下列选项错
误的为D( ) A．a>b
B．a＋2>b＋2
C．－a<－b
D．2a>3b
知2－练
5 实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下
2×(－1)___＞____3×(－1);
2×(－5)___＞____3×(－5)；
2 ( 1 ) ___＞___3 ( 1 )；
2
2
你发现了什么？请再举几例试一试，还有类似的结
论吗？与同伴交流.
（来自《教材》）
归纳
知3－导
不等式的基本性质3 不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等
号的方向改变.
3 若a＜ 7 －2＜b，且a，b是两
个连续整数，则a＋b的值是( A )
A．1
B．2
C．3
D．4
知1－练
知识点 2 不等式的基本性质2
知2－导
做一做 完成下列填空：
2 3；
2 5 _＜__ 3 5；
2 1 _＜__ 3 1 ；
2
2
（来自《教材》）
归纳
知2－导
不等式的基本性质2 不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等
列式子中正确的是( B )
A．a－c>b－c C．ac>bc
B．a＋c<b＋c D. a ＜ c
bb
1 知识小结
通过这节课的学习，你有哪些收获？
（来自《教材》）
知3－讲
不等式的基本性质
如果a+b＞c，则a与c-b？
推论1：如果a＋b＞c，则a＞c－b．
证明 ：因为 所以 即 a＋b＞c， a＋b＋(－b)＞c＋(－b)， a＞c－b．
综合法：指从已知条件出发，借助其性质和有 关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到特征结论 或需求问题的方法。其特点和思路是：由因到果。
小试牛刀
(1)在－6＜2 (2)在4＞－3 的两边都加上9，得 的两边都减去6，得 3<11 ；
(3)如果 a＜b，那么 a－3 (4)如果 x＞3，那么 x＋2
-2>-9 ； < b－3；
> 5； (5)如果 x＋7＞9，那么两边都 减去7，得 x＞2．
把不等式60＞36的两边同时乘以任意一个
不为0的数，你发现什么规律了吗？
如果不等式两边都乘同一个正数，则不等
号的方向不变，如果都乘同一个负数，则不等
趣味探索不等式
10年后爷爷和爸爸他们各自多少 岁呢？爷爷的年龄还比爸爸的年 龄大吗？10年前呢？X年后呢？
10年后，60+10>36+10 10年前，60-10>36-10 x年后，60+x>36+x
不等式的两边都加上(或减去)同一个数，不等号的方向不变。
趣味探索不等式
a>b
b
c b b+c b+c c
号的方向改变。
趣味探索不等式
3.不等式性质3(乘法法则) ：如果 a＞b，c＞0，则ac＞bc； 如果 a＞b，c＜0，则ac＜bc． 证明：因为 ac－bc＝(a－b)c， 又由 a＞b，即 a－b＞0， 所以 当c＞0时，(a－b)c＞0，即 ac＞bc； 所以 当c＜0时，(a－b)c＜0，即 ac＜bc．
简述不等式的4个基本性质
简述不等式的4个基本性质
不等式的基本性质：1、在一个区间上可导，在另一个区间上也可导；2、对于任何实数，都存在至少一个解析式；3、当不等式两边同时乘以或除以一个常数时，所得结果仍然是不等式。
4、如果有增根，那么它们互为相反数。
不等式的解题思路：首先要弄清楚该不等式左右两边到底是什么关系，因此必须从函数的角度考虑问题，即把不等式转化成一般形式，然后再利用各种方法进行求解。
由于不等号两边的关系较复杂，建议大家通过举例来理解和掌握。
在做题过程中，应注意分类讨论的作用，多联想一些与之有关的知识点，能起到事半功倍的效果。
不等式的基本性质
题型一
题型二
题型三
题型四
反思对于考查不等式的基本性质的选择题,解答时,一是利用不等
式的相关性质,其中,特别要注意不等号变号的影响因素,如数乘、
取倒数、开方、平方等;二是对所含字母取特殊值,结合排除法去
选正确的选项,这种方法一般要注意选取的值应具有某个方面的代
表性,如选取0、正数、负数等.
题型一
题型二
谢谢！
≤ .
2 2 2 2
2
2
2
题型一
题型二
题型三
题型四
π+ππ≤ 和− ≤2
2
2
2
-
π
π
≤ 的错误,导致该种错误的原因是忽视了 , 不能同时取到
2
2
2 2
4
π
和 − 以及忽视了α,β 的大小关系.
4
错因分析:在解答本题的过程中易出现 − ≤
题型一
题型二
正解: ∵
题型三
题型四
π
π
− 2≤α<β≤2,
π π -
π
即
的取值范围为 - ,
,
的取值范围为 - ,0 .
2
2 2 2
2
题型一
题型二
题型三
题型四
反思求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面,严
格依据不等式的性质和运算法则进行运算,是解答此类问题的基础.
在使用不等式的性质时,如果是由两个变量的取值范围求其差的取
值范围,一定不能直接作差,而要先转化为同向不等式后再求和.
第一讲 不等式
和绝对值不等式
一 不等式
1.不等式的基本
性质
学习目标：
不等式的基本性质知识点总结
4.2 实例分析 以一道具体的不等式问题为例，详细分析其 解题过程和思路，展示如何运用不等式的性 质进行解题。通过实例分析，加深对不等式 基本性质的理解和掌握
不等式的常见题型与解题技巧
如何激发对不等式学习的兴趣
A
学习不等式 需要耐心和
毅力
B
当我们遇到困 难时，不要轻 易放弃，而是 要坚持下去， 相信自己能够
解决问题
C
通过不断练习 和反思，我们 可以逐渐提高 自己的解决问
题的能力
总结与展望未来
12.1 总结
01
本文总结了不等式的基本性质、解法与变形、常见题型 与解题技巧等方面的知识点，并探讨了如何进一步提高 不等式问题的解决能力以及学习不等式的重要性和意义。 同时，也提出了一些激发对不等式学习兴趣的方法
不等式在实际生 活中的应用
7.1 经济学中的应用：在经济学中，不等式常被用来描述和解决资 源分配、市场供需、成本与收益等问题。例如，通过比较不同投资 方案的收益与成本，利用不等式来选择最优的投资方案
7.2 物理学中的应用：在物理学中，不等式被广泛应用于力学、 热学、电磁学等领域。例如，牛顿第二定律中的力与加速度的 关系就可以用不等式来描述
10.4 提高综合素质
学习不等式不仅可以提高我 们的数学能力，还可以培养 我们的耐心、毅力和创新精 神
通过解决复杂的问题，我们 可以锻炼自己的意志品质， 提高自己的综合素质
如何激发对不等式学习的兴趣
了解不等式在实际生活中的应用，可以激发我们对不等式学 习的兴趣。当我们知道所学知识能够解决实际问题时，自然 会产生学习的动力 参加数学竞赛和活动，可以让我们更好地了解数学的魅力， 提高解决数学问题的能力。在竞赛和活动中，我们可以结交 志同道合的朋友，共同探讨数学问题，分享解决问题的乐趣 寻找合适的学习资源，如教材、网络课程、学习 app 等， 可以帮助我们更好地学习不等式。同时，也可以通过参加学 习小组或找老师请教等方式，获取更多的学习帮助和支持
不等式的基本性质
(
（ （ ( (
)
） ） ) )
1、已知 a < - 1 ,则下列不等式中错误的是 （ B ） A、4a < - 4 B、- 4a < 4 C、a + 2 < 1 D、2 – a > 3
2、已知x < y，下列哪些不等式成立？ （1） x – 3 < y – 3 （2）- 5 x < - 5 y
（3） - 3 x +2 < - 3 y + 2
a b c c
）
不等式性质3
不等式两边都乘(或除
以)同一个负数,则不等号的方向改变.
如果a>b，c＜0,那么ac＜bc （或
a b c c
）
针对练习
1、若m>n，判断下列不等式是否正确：
（1）m-7<n-7
（2）3m<3n （3）-5m>-5n m n （4） 9 9 （5） m+5≥n+5
4x5＜6x5 10x2＞8x2 18x（-3）＞30x（-3）
4/2＜6/2 10/2＞8/2
不变 不变
18/（-3）＞30/（-3） 改变
15＞10
。。。。
15x（-5）＜10x（-5）
15/（-5）＜10/（-5） 改变
不等式性质2
不等式两边都乘(或除
以)同一个正数,则不等号的方向不变;
如果a>b，c>0,那么ac>bc （或
不等式的基本性质
a
b
a
10
b 10
a＞b
a
1010
a+10＞b+10
b 1010
a
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课 题：2.1-不等式的基本性质(2课时)教学目标：1. 掌握作差比较大小的方法，并能证明一些不等式。
2. 掌握不等式的性质，掌握它们的证明方法及其功能，能简单运用。
3. 提高逻辑推理和分类讨论的能力；培养条理思维的习惯和认真严谨的学习态度。
教学重点：作差比较大小的方法；不等式的性质。
教学难点：不等式的性质的运用教学过程：第1课时：问题情境：现有A 、B 、C 、D 四个长方体容器，A 、B 容器的底面积为a 2，高分别为a 、b ，C 、D 容器的底面积为b 2，高分别为a 、b ，其中a ≠b 。
甲先从四个容器中取两个容器盛水，乙用剩下的两个容器盛水。
问如果你是甲，是否一定能保证两个容器所盛水比乙的多？ 分析：依题意可知：A 、B 、C 、D 四个容器的容积分别为a 3、a 2b 、ab 2、b 3，甲有6种取法。
问题可以转化为比较容器两两和的大小。
研究比较大小的依据：我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的。
在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大。
在右图中，点A 表示实数a ，点B 表示实数b ，点A 在点B 右边，那么a ＞b 。
而a －b 表示a 减去b 所得的差，由于a ＞b ，则差是一个正数，即a －b ＞0。
命题：“若a ＞b ，则a －b ＞0”成立；逆命题“若a －b ＞0，则a ＞b ”也正确。
类似地：若a ＜b ，则a －b ＜0；若a ＝b ，则a －b ＝0。
逆命题也都正确。
结论：(1)“a ＞b ”⇔“a －b ＞0”(2)“a ＝b ”⇔“a －b ＝0”(3)“a ＜b ”⇔“a －b ＜0”——以上三条即为比较大小的依据：“作差比较法”。
正负数运算性质：(1) 正数加正数是正数；(2) 正数乘正数是正数；(3) 正数乘负数是负数；(4) 负数乘负数是正数。
研究不等式的性质：性质1：若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c (不等式的传递性)证明：∵a ＞b ∴a －b ＞0∵b ＞c ∴b －c ＞0∴(a －b)＋(b －c)＝a －c ＞0 (正负数运算性质)则a ＞c反思：证明要求步步有据。
x性质2：若a＞b，则a＋c＞b＋c (不等式的加法性质)证明：∵a＞b ∴a－b＞0∵(a＋c)－(b＋c)＝a－b＞0 ∴a＋c＞b＋c反思：作差比较法的第一次运用，虽然简单，也要让学生好好体会体会。
思考：逆命题“若a＋c＞b＋c，则a＞b”成立吗？——两边加“－c”即可证明。
[例1] 求证：若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d (同向不等式相加性质)证明1：∵a＞b ∴a＋c＞b＋c (性质2)∵c＞d ∴b＋c＞b＋d (性质2)则a＋c＞b＋d (性质1)证明2：∵a＞b ∴a－b＞0∵c＞d ∴c－d＞0∴(a－b)＋(c－d)＞0 即(a＋c)－(b＋d)＞0 (作差比较法)则a＋c＞b＋d反思：你更喜欢哪种方法？为什么？(精彩回答：我都喜欢，如同自己的一对双胞胎。
)练习：求证：若a＞b，c＜d，则a－c＞b－d (异向不等式相减性质) ——作业证明1：∵c＜d ∴c－d＜0得d－c＞0 即－c＞－d (正数得相反数为负数)亦可由c＜d两边同加－(c＋d)，直接推出－c＞－d (性质2)∵a＞b ∴a＋(－c)＞b＋(－d) (同向不等式相加性质)则a－c＞b－d (加减法运算法则)证明2：∵a＞b ∴a－b＞0∵c＜d ∴d－c＞0∴(a－c)－(b－d)＝(a－b)＋(d－c)＞0 (作差比较法)则a－c＞b－d性质3：若a＞b，c＞0，则ac＞bc若a＞b，c＜0，则ac＜bc (不等式的乘法性质)证明：ac－bc＝(a－b)c (作差比较法)∵a＞b ∴a－b＞0(1)当c＞0时，(a－b)c＞0，得ac＞bc (正负数运算性质)(2)当c＜0时，(a－b)c＜0，得ac＜bc (正负数运算性质)反思：等式两边同乘一个数，等式永远成立。
但不等式的情况完全不同！——强调！思考：(1)“若a＞b，则ac2＞bc2”成立吗？——不成立！反例：c＝0时不成立。
(2)“若ac2＞bc2，则a＞b”成立吗？——成立！隐含c2＞0。
练习：(1)《教材》P.30-练习2.1(1)-1 (学生口答，教师点评)(2)《教材》P.30-练习2.1(1)-2、3 (学生板书，教师点评)2、求证：若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd (同向不等式相乘性质)证明：∵a＞b，c＞0 ∴ac＞bc (性质3)∵c＞d，b＞0 ∴bc＞bd (性质3)则ac＞bd (性质1)特例：当a＝c且b＝d时，有“若a＞b＞0，则a2＞b2”推而广之：若a＞b＞0，则a n＞b n (n∈N*) (不等式的乘方性质)推而广之：若a＞b＞0(n∈N*，n＞1) (不等式的开方性质) ——可用反证法进行证明。
3、求证：若a＞b＞0，则0＜1a＜1b(不等式的倒数性质)——作业证明：∵a＞b＞0 ∴1a＞0，1b＞0，a－b＞0∴1b－1a＝a bab－＞0 (正负数运算性质) 则0＜1a＜1b[例2]比较(a＋1)2与a2－a＋1的值的大小。
解：(a＋1)2－(a2－a＋1)＝3a(1)当a＜0时，(a＋1)2＜a2－a＋1(2)当a＝0时，(a＋1)2＝a2－a＋1(3)当a＞0时，(a＋1)2＞a2－a＋1反思：(1)比较大小时，等与不等一定要分开讨论！——强调！(2)分类讨论时，要做到“不遗漏，不重复”！——强调！[例3]解关于x的不等式m(x＋2)＞x＋m。
解：(m－1) x＞－m(1)当m＝1时，x∈R(2)当m＜1时，x＜－mm1－；(3)当m＞1时，x＞－m m1－反思：(1) 引起讨论的原因是什么？——m－1值的不确定性(2) 如何进行讨论？——不等式性质课堂小结：(1) 数学知识：8条不等式性质(教材P.31)(2) 数学方法：作差比较法(3) 数学思想：分类讨论第1课时作业：《练习册》P.13-习题2.1-A、B组(做在练习册上)第2课时：讲评作业或者做《教材》P.30-练习2.1(2)-1 (学生口答，教师点评) [例1] 解关于x的不等式：(m2－4)x＜m＋2。
解：(1) m2－4＝0即m＝－2或m＝2①当m＝－2时，x∈∅②当m＝2时，x∈R(2) m2－4＞0即m＜－2或m＞2时，x＜1 m2－(3) m2－4＜0即－2＜m＜2时，x＞1 m2－反思：(1) 引起讨论的原因是什么？——m2－4值的不确定性(2) 如何进行讨论？——不等式性质[例2] 若m＞0，y＞x＞0，试比较x my m＋＋与xy的大小。
解：x my m＋＋－xy＝(x m)y(y m)x(y m)y＋－＋＋＝m(y x)(y m)y－＋∵y＞x ∴y－x＞0∵y＞0，m＞0 ∴y＋m＞0又∵y＞0，m＞0 ∴m(y x)(y m)y－＋＞0 则x my m＋＋＞xy引申：若a、b、c、d均为正数，且ab＜cd，求证：ab＜a cb d＋＋＜cd证明1：(作差比较法) a cb d＋＋－ab＝bc ad(b d)b－＋∵ab＜cd，b＞0，d＞0 ∴bc＞ad 得bc ad(b d)b－＋＞0 则a cb d＋＋＞ab同理可证：a cb d＋＋＜cd证明2：(变更论证法) ∵b＞0，b＋d＞0 ∴ab＜a cb d＋＋⇔a(b＋d)＜b(a＋c)a(b＋d)－b(a＋c)＝ad－bc∵ab＜cd，b＞0，d＞0 ∴ad＜bc 得a(b＋d)＜b(a＋c)则ab＜a cb d＋＋同理可证：a cb d＋＋＜cd[例3] 若x＞0分析：直接作差显然不可取。
可考虑去根号，利用不等式的乘方、开方性质。
解：2＝2x＋3＋2＝2x＋3＋∴2x＋3＋2x＋3＋得2＜2反思：“分析法”是寻找解题思路的常用方法。
[例4] 甲、乙两人连续两天去市场买青菜。
甲每次买青菜的数量不变，乙每次买青菜的费用不变。
问甲、乙两人谁购买的方法比较合算？分析：何为合算？——平均单价便宜。
解：设第一天青菜单价a元/斤，第一天青菜单价b元/斤。
设甲每次买青菜x斤，乙每次买青菜花费y元，∴甲平均单价为ax bx2x＋＝a b2＋，乙平均单价为2yy ya b＋＝2aba b＋∵a b2＋－2aba b＋＝2(a b)2(a b)－＋∴(1) a＝b时，a b2＋＝2aba b＋；(2) a≠b时，a b2＋＞2aba b＋由(1)(2)可知：乙购买的方法比较合算。
[例5] (第1课时的引例) 现有A、B、C、D四个长方体容器，A、B容器的底面积为a2，高分别为a、b，C、D容器的底面积为b2，高分别为a、b，其中a≠b。
甲先从四个容器中取两个容器盛水，乙用剩下的两个容器盛水。
问如果你是甲，是否一定能保证两个容器所盛水比乙的多？分析：依题意可知：A、B、C、D四个容器的容积分别为a3、a2b、ab2、b3，甲有6种取法。
问题可以转化为比较容器两两和的大小。
解：(1)取A、B：(a3＋a2b)－(ab2＋b3)＝(a＋b)2(a－b) 无法确定大小(2)取A、C：(a3＋ab2)－(a2b＋b3)＝(a2＋b2) (a－b) 无法确定大小(3)取A、D：(a3＋b3)－(ab2＋a2b)＝(a＋b) (a－b)2由于a≠b，则(a＋b) (a－b)2＞0，即a3＋b3＞ab2＋a2b ——先取A、D则必胜！能否推广？——观察a3＋b3＞ab2＋a2b的特征，进行猜测。
a4＋b4＞ab3＋a3b，a4＋b4＞a2b2＋a2b2a5＋b5＞ab4＋a4b，a5＋b5＞a2b3＋a3b2……更为一般性的结论：a、b∈R，m、n∈N*，则a m+n＋b m+n≥a m b n＋a n b m 证明：(a m＋n＋b m＋n)－(a m b n＋a n b m)＝(a m－b m)(a n－b n)≥0课堂小结：(1) 数学知识：8条不等式性质(教材P.31)(2) 数学方法：作差比较法、分析法、变更论证(3) 数学思想：分类讨论、类比猜想证明作业：《一课一练》P.35-1～10、P.36-1～6、9、10 (做在书上)选做：《一课一练》P.35-11(1)、P.36-11 (做在书上)。