几何分布的定义以及期望与方差的证明

几何分布的定义以及期望与方差

几何分布（Geometric distribution）是离散型概率分布。其中一种定义为：在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率。详细的说，是：前k-1次皆失败，第k次成功的概率。

公式：

它分两种情况：

1. 得到1次成功而进行，n次伯努利实验，n的概率分布，取值范围为『1，2，3，...』;

2. m = n-1次失败，第n次成功，m的概率分布，取值范围为『0，1，2，3，...』.

由两种不同情况而得出的期望和方差如下：

,

;

,

。

概率为p的事件A，以X记A首次发生所进行的试验次数，则X的分布列：

，

具有这种分布列的随机变量X，称为服从参数p的几何分布，记为X~Geo(p)。

几何分布的期望

，方差

。

高中数学教科书新版第三册（选修II）比原来的修订本新增加随机

变量的几何分布，但书中只给出了结论：（1）E p

ξ=

1，（2）D p p ξ=-12，而未加以证明。本文给出证明，并用于解题。

（1）由P k q p k ()ξ==-1，知 E p pq q p kq p q q kq p k k ξ=++++=+++++--231232121 ()

下面用倍差法（也称为错位相减法）求上式括号内的值。记

S q q kq k k =++++-12321

qS q q k q kq k k k =+++-+-2121 ()

两式相减，得

()1121-=++++--q S q q q kq k k k

S q q kq q

k k k

=----1112() 由01<

=0，故 1231112122+++++==-=-→∞

p q kq S q p k k k lim () 从而E p

ξ=1 也可用无穷等比数列各项和公式S a q

q =-<111(||)（见教科书91页阅读

材料），推导如下：

记S q q kq k =+++++-12321

qS q q k q k =+++-+-2121 ()

相减，

()111121-=+++++=

--q S q q q q k 则S q p =-=11122

() 还可用导数公式()'x nx n n =-1，推导如下：

12321+++++-x x kx k

=+++++=+++++x x x x x x x x k k '()'()'()'()'

2323

=-=----=-()'()()()()x x x x x x 111112

2 上式中令x q =，则得

1231112122+++++=

-=-q q kq q p k () （2）为简化运算，利用性质D E E ξξξ=-22()来推导（该性质的证明，

可见本刊6页）。可见关键是求E ξ2。

E p qp q p k q p k ξ22222123=+++++-

=+++++-p q q k q k ()12322221

对于上式括号中的式子，利用导数，关于q 求导：k q kq k k 21-=()'，并用倍差法求和，有

12322221+++++-q q k q k

=+++++()'q q q kq k 2323

=-=-+--=--=+-=-[()]'()()()()()q q q q q q q q q q p p 1121111112224

2433 则E p p p p p ξ23222=-=-()，因此D E E p p p p p ξξξ=-=--=-22222211()() 利用上述两个结论，可以简化几何分布一类的计算问题。

例1. 一个口袋内装有5个白球和2个黑球，现从中每次摸取一个球，取出黑球就放回，取出白球则停止摸球。求取球次数ξ的数学期望E ξ与方差D ξ。 解：每次从袋内取出白球的概率p =57，取出黑球的概率q =27

。ξ的取值为1，2，3，……，有无穷多个。我们用ξ=k 表示前k －1次均取到

黑球，而第k 次取到白球，因此

P k q p k k k ()()()(,,,)ξ====--112757

123 。可见ξ服从几何分布。所以 E p ξ==175 D p p ξ=-=-

=115

757142522

()

例 2. 某射击运动员每次射击击中目标的概率为p （0

解：射手射击次数的可能取值为1，2，…，9，10。

若ξ==k k (,,,)129 ，则表明他前k -1次均没击中目标，而第k 次击中目标；若k ＝10，则表明他前9次都没击中目标，而第10次可能击中也

可能没击中目标。因此ξ的分布列为P k ()ξ==-=-=⎧⎨⎪⎩⎪-()(,,,)()()

112911019p p k p k k E p p p p p p p ξ=⨯-+⨯-++⨯-+⨯-112191101089()()()()

=+-++-+⨯-[()()]()1219110189p p p p

用倍差法，可求得

121918+-++-()()p p

=--------=----111191111191929

929()[()]

()()()()p p p p p p p p 所以E p p

p p p p p p ξ=----+-=--[()()]()()119110111929910

说明：本例的试验是有限次的，并且P p ()()ξ==-1019，不符合几何分布的概率特征，因而随机变量ξ不服从几何分布，也就不能套用几何分布的相关公式。但求解过程可参照相关公式的推导方法。