高中数学椭圆及其参数方程

提示：可以用直尺AB和横槽所成的角为参数，求出点M的轨迹的参数方程。
M B
A
y
M
0B
x
A
A，B，M三点固定，设
设M(x,y)则x=acos ,y=bsin ,
|AM|=a，|BM|=b，MBx 。 所以M点的轨迹为椭圆。
13
14
3.椭圆参数与圆的参数方程中参数的几何意义不同。
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探究：P28
椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示。在一个十字型的
金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块A，B它们可以分 别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M处用套管装上铅笔，使直尺转动一 周就画出一个椭圆。
你能说明它的构造原理吗？
x 3
cos
如参y 何数 s削呢in去？
(
x 3
)2
2 ( y )
cos2
2
sin2
,
2
2
1
则
x 3
2
y 2
2
1
2
问题2:你能仿此推导出椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的参数方程吗？
x2
a2
y2 b2
1
x
2
y
2
1
a b
令
x
a
y
b
cos sin
x
y
焦点在X
轴 xy
a b
cos, sin .
焦点在Y轴xy
b cos, a sin .
6
MO已X 知 3M,为椭求圆点M1的x62 坐 y标92 。 1
上一点，且
y
M
x
o3
7
如图，在椭圆 x2 y2 1上求一点M，
94
使M到直线 l：x+2y-10=0的距离最小.
y
分析1
OP
x
平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求.
a cos b sin
(为参数)
这就是椭圆的参数方程
3
类比
标准方程
椭圆 x2 y2 1 a2 b2
圆
x2+y2=r2
参数方程:
x bacos
y
basin
(为参数)
x r cos
y
r
sin
(为参数)
4
椭圆
知识归纳
椭圆的标准方程: x2 y2 1 a2Байду номын сангаасb2
椭圆的参数方程:
x a cos y bsin
(为参数)
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:
是∠AOX=,不是∠MOX= .
圆的标准方程: x2+y2=r2
圆的参数方程:
x r cos y r sin
(为参数)
θ的几何意义是 ∠AOP=θ
y
B O
Aφ
M
Nx
y P
θ
O
A x
5
另外, 称为离心角,规定参数 的取值范围是 [0, 2 )
8. 5
因此，当点M 位于（9 ，8）时， 55
点M与直线x+2y-10=0的距离最小值 5.
9
已知A,B分别是椭圆 x2 + y2 = 1 上的右顶点
36 9
和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的
重心G的轨迹方程
y
B
A
o x
C
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练习1:已知椭圆
x 4 cos y 5 sin
，（
为参数)上相邻
两顶点A,C，又B,D为椭圆上两个动点，且分
别在直线AC的两侧，求四边形ABCD面积的
最大值
A yB
O
C
x
D
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1.椭圆参数方程
焦点在X
轴 xy
a cos, b sin .
焦点在Y轴xy
b cos, a sin .
本节课我们得到了椭圆的参数方程，进一步体会了参数方程
的特点（用一个变量来描述曲线运动变化规律） 2.通过本节课的学习使我们知道凡是椭圆上的任一点只要用 一个变量就能写出其坐标。
行星
音
轨迹
乐1
一、巩固知新
问题1.将普通方程与参数方程进行互化
(1)(x-3)2 ( y 2)2 4 三角恒等式sin cos 令xy3如将2x何2,2y引cs联oins入系一,起则个来参xy呢2数？3222csoins2 1
(2)
x y
3cos 2 sin
(为参数) 三角恒等式sin cos 令
8
分析2 设M（3cos,2sin）
则d
| 3cos 4sin 10|
5
| 5(cos • 3 sin • 4) 10|
5
5
5
| 5cos( 0 ) 10|
5
其中0满足 cos0
3 5
,
sin
0
4. 5
当 0 =0时，dmin 5.
此时3cos =3 cos 0
9 5
, 2sin
2sin 0