(完整版)第二节二重积分的计算
第十章第二节_二重积分的计算法
(1,1)
y x
x
y
0
1
dx sin y 2dy
x
1
(1,1)
0 dy 0 sin y dx
2
1
y
y x
(sin y ) x dy
2
1
y
x D : 0 y 1, 0 x y
o
y sin y 2dy
第二节 二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分
二、极坐标系下二重积分的计算 三、小结 思考题
【复习与回顾】
回顾一元函数定积分的应用
平行截面面积为已知的立体的体积的求法
在点x处的平行截面的面积为 A( x ) 体积元素 dV A( x )dx 体积为
V A( x )dx
a b
一、利用直角坐标系计算二重积分
(( xx )0 ) 11
ff (x (x ,0 y,)dy y )dy
b
V A( x )dx
a
2 ( x )
1( x)
f ( x, y )d [
D a
f ( x , y )dy]dx.
公式1
上式称为先对 y后对x的二次积分
注意:
1）上式说明: 二重积分可化为二次定积分计算; 2）积分次序: X-型域 先Y后X; 3）积分限确定法: 后积先定限，域中做穿线； 先过为下限，后过未上线。
f ( x, y )d 的值等于以D 为底，以曲面z
D
f ( x , y ) 为顶的曲顶柱体的体积 ．
【方法】根据二重积分的几何意义以及计算“平 行截面面积为已知的立体求体积”的方法来求.
二重积分的计算法2
D
D
及坐标轴所围成的在第一象限内的区域. 2. ( x 2 y 2 )d 其中 D 是由直线
D
y x , y x a, y a, y 3a(a 0)所围成的区域. 3. R2 x 2 y 2 d ,其中 D 是由圆周
D
x 2 y 2 Rx 所围成的区域. 2 2 2 2 4. , 其中 D : x y 3. x y 2 d
三、设平面薄片所占的闭区域 D 是由螺线 r 2 上一段
弧( 0 )与直线 所围成,它的面密度为 2 2
( x , y ) x 2 y 2 ,求这薄片的质量.
四、 计算以 xOy 面上的圆周 x 2 y 2 ax 围成的闭区域为底， 而以曲面 z x 2 y 2 为顶的曲顶柱体的体积.
D1
(1 x y )
R
D1
(1 r )
r 2 1 (1 R ) 1 d d r 2 1 0 (1 r ) 0
I lim I ( R) lim
R
2 1 (1 R ) R 1
2
, 当 1 1 1 当 1 ,
d e r rdr
2
2 0
a
a x
0
D
2
0
1 r2 a ( e ) 0 d 2
2
0
1 a2 a2 (1 e )d (1 e ). 2
通常当积分区域的边界由圆弧、射线组成且被积函数 y 含有x y ， 等形式时，用极坐标计算较为简单. x
2 2
例 2 计算 ( x 2 y 2 )dxdy，其 D 为由圆 x 2 y 2 2 y ，
第二节 二重积分的计算
a
O
a
a
0
2a
x
原式= dy
a a2 y2 f ( x, y2 2a
2 2
y ) dx
2a 2a y2 f 2a
dy
0
a
2a
a a y
f ( x , y )dx dy
a
( x , y ) dx
19
二重积分的计算法
交换积分次序的步骤
(1) 将已给的二次积分的积分限得出相
计算结果一样. 但可作出适当选择.
a
b
x
11
二重积分的计算法
(4) 若区域如图, 则必须分割.
y
D1
在分割后的三个区域上分别 使用积分公式.
(用积分区域的可加性质)
O
D3
D2
x
D
D
1
D2 D3
D1、D2、D3都是X型区域
12
二重积分的计算法
例 求 ( x 2 y )dxdy , 其中D是抛物线 y x 2和
R
R
dy
R2 y2
R 2 x 2 y 2 dx
8
二重积分的计算法
注 特殊地 D为矩形域: a≤x≤b,c≤y≤d
则
f ( x , y )d dx f ( x , y )dy a c D dy f ( x, y ) d x
d b c a
b
d
如D是上述矩形域, 且f ( x , y ) f1 ( x ) f 2 ( y ) 则
立体的体积.
D
曲顶z R 2 x 2
z
解 V1 f ( x , y ) d
第二节二重积分计算
y1(x) y y2 (x) a x b.
(1)
在[a,b]上取定一点x，过该点作垂直于x轴的平
面截曲顶柱体，截面为一曲边梯形.将这曲边梯形投
影到Oyz坐标面，它是区间[y1 (x),y2 (x)]上，以z=f(x,y) 为曲边的曲边梯形(将x认定为不变)，因此这个截面
的面积可以由对变元y的定积分来表示.
得
x y
2, 1. 2
x轴上的积分区间为[1,2].
D
x2 y2
dxdy
12
x 2 dx 1x
x
1 y2
dy
12
x2
1x
y 1
x
dx
12
x
2
x
1 x
dx
1 4
x4
2x2
2 1
9. 4
解法2 化为先对x积分后对y积分的二次积分. 作平行于x轴的直线与积分区域D相交，可知入 口曲线不唯一，这需要将积分区域分为两个子 区域.
为了便于确定积分区域D的不等式表达式，通常 可以采用下述步骤： (1) 画出积分区域D的图形. (2) 若先对y积分，且平行于y轴的直线与区域D的边界
线的交点不多于两点，那么确定关于y积分限的方 法是： 作平行于y轴的直线与区域D相交，所作出的直线 与区域D先相交的边界曲线y=y1(x)，称之为入口曲线， 作为积分下限.该直线离开区域D的边界线y=y2(x),称 之为出口曲线，作为积分上限.
x2 y2
dxdy
，其中D由不等式
y
x，1
xy
及 x 2所确定.
解法1 化为先对y积分后对x积分的二次积分.
作平行于y轴的直线与区域D相交，沿y轴正方 向看，入口曲线为y 1 ，出口曲线为y=x，
0902二重积分的计算法-1
b ϕ2( x) f ( x , y )dy ; = dx a ϕ1 ( x )
∫
∫∫ f ( x , y )dσ ∫
D
d ϕ2 ( y) f ( x , y )dx . = dy c ϕ1 ( y )
∫
［混合型］ 混合型］ （在积分过程中要正确选择积分次序） 在积分过程中要正确选择积分次序） 积分次序
y
A(x)
a
x
y = ϕ2 ( x)
b
x
D
y = ϕ1( x)
b ϕ ( x) ∴ ∫∫ f ( x , y )dσ =∫a dx ∫ϕ 2( x ) f ( x , y )dy . ……二次积分公式 ? 1 二次积分公式
D
◆如果积分区域为：c ≤ y ≤ d , ϕ1 ( y ) ≤ x ≤ ϕ 2 ( y ). 如果积分区域为：
π
练习1 练习 改变下列积分的积分次 序
∫
1 2 x− x2 2 2− x dx f ( x , y )dy + dx f ( x , y )dy . 0 0 1 0
∫
∫
∫
解 积分区域如图： 积分区域如图：
y = 2− x
原式 = ∫0 dy ∫
1
2− y
2
y = 2x − x2
1− 1− y
f ( x , y )dx.
1
o
1
x
2.设f ( x , y )在D上连续 , 其中 D是由直线 y = x , y = a及x = b (b > a )所围成的闭区域 , 证明 :
(1)∫
b x dx a a
∫ f ( x , y )dy = ∫
b b dy y a
第二节 二重积分的计算
D
α ≤ϕ ≤ β,
ρ = ρ2 (θ )
ρ 1 (ϕ ) ≤ ρ ≤ ρ 2 (ϕ ).
β
o
α
A
∫∫ f ( ρ cos ϕ , ρ sin ϕ ) ρdρdϕ
D
= ∫α dθ ∫ρ12(ϕ ) f ( ρ cos ϕ , ρ sin ϕ ) ρdρ .
β
ρ (ϕ )
二重积分化为二次积分的公式（ 二重积分化为二次积分的公式（２）
π
a cos ϕ
I = ∫ dϕ ∫0
2 π − 2
f ( ρ ,ϕ )dρ
(a ≥ 0).
思考题解答
π π − ≤ϕ ≤ D: 2 2 , 0 ≤ ρ ≤ a cos ϕ
I = ∫0 dρ ∫
a a ρ − arccos a arccos
y
ϕ = arccos
D
ρ
a ρ = a cosϕ
D
例 1 写出积分∫∫ f ( x , y )dxdy的极坐标二次积分形
D
式，其中积分区域
D = {( x, y ) | 1 − x ≤ y ≤ 1 − x 2 , 0 ≤ x ≤ 1}.
x = ρ cos ϕ 解 在极坐标系下 y = ρ sin ϕ 所以圆方程为 ρ = 1, 1 直线方程为 ρ = , sin ϕ + cosϕ
所求面积σ =
∫∫ dxdy = 4∫∫ dxdy
D
D1
= 4 ∫0 dϕ ∫a
6
π
a 2 cos 2ϕ
ρ dρ
π = a ( 3 − ). 3
2
三、小结
二重积分在极坐标下的计算公式
∫∫ f ( ρ cosϕ , ρ sin ϕ ) ρdρdϕ D β ρ (ϕ ) = ∫α dϕ ∫ρ (ϕ ) f ( ρ cosϕ , ρ sinϕ ) ρ dρ .
第二节_二重积分的计算法
作业 P153 1 (4); 2 (3); 4; 6 (2), (3); 11; 12 (1), (3); 13 (4); 18
x 2 + y 2 = 4 y 及直线 x − 3 y = 0, y − 3x = 0 所围成的 平面闭区域. y 4
∫∫ (x
D
2
+ y ) d x d y = ∫π dθ
2
3 6
π
∫
4 sinθ 2 r ⋅rdr 2 sinθ
2
= 15( − 3) 2
π
o
x
内容小结
二重积分化为累次积分的方法 X – 型区域 直角坐标系情形 Y – 型区域 极坐标系情形: 积分区域 极坐标系情形
例7. 计算
其中D : x 2 + y 2 ≤ a 2 .
−a 2
= π (1 − e
)
∫
+∞ − x 2 e 0
dx =
π
2
例8. 求球体
x2 + y 2 = 2 ax 被圆柱面
z
所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
o
2a
y
x
( x 2 + y 2 ) d x d y, 其中D 为由圆 x 2 + y 2 = 2 y, 例9. 计算∫∫ D
第二节 二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分
三、利用极坐标计算二重积分
一、曲顶柱体体积的计算
y = ϕ2 ( x)
设曲顶柱的底为
z
y
ϕ1 ( x) ≤ y ≤ ϕ 2 ( x) D = ( x, y) a≤ x≤b
曲顶柱体体积为
D
o
a x0 b x y = ϕ1 (x) (x
第二节_二重积分的计算法
第二节_二重积分的计算法二重积分：在平面上规定一个有界闭合区域D，对于D上的每一点P(x,y)，都有一个标量函数f(x,y)与之对应。
则二重积分的数值就是由函数f(x,y)在区域D上所有点处的函数值决定的。
二重积分一般可以表示为∬Df(x,y)dA。
计算二重积分的方法主要有以下几种：直角坐标法、极坐标法、换元积分法和累次积分法。
1.直角坐标法：针对矩形、直角三角形、抛物线和折线边界的区域，可以直接使用直角坐标法来计算二重积分。
具体步骤如下：(1)写出二重积分的累加和形式：I=ΣΣf(x,y)ΔA。
(2)将区域D分成若干小矩形，计算每个小矩形的面积ΔA。
(3)在每个小矩形上选择代表点(x,y)，计算f(x,y)的函数值。
(4)将函数值与相应小矩形的面积相乘，加和求和即可得到二重积分的数值。
2.极坐标法：当具有极坐标对称性的区域时，采用极坐标法可以简化计算。
具体步骤如下：(1) 确定极坐标变换：x=r*cosθ，y=r*sinθ。
(2) 根据变换的雅可比矩阵计算面积元素dA的极坐标形式：dA=rdrdθ。
(3) 将二重积分转化为极坐标下的累次积分：I=∫∫Df(x,y)dxdy=∫∫Df(r*cosθ,r*sinθ)rdrdθ。
(4)将极坐标下的积分区域和积分限进行变换，然后按照累次积分进行计算。
3.换元积分法：当二重积分区域D的边界方程比较复杂时，可以使用换元积分法来简化计算。
具体步骤如下：(1)根据边界方程对二重积分区域D进行变换，将原来的二重积分区域映射到一个新的坐标系中的区域G。
(2)根据变换的雅可比矩阵，计算新坐标系下的面积元素dA'。
(3) 将二重积分转化为新坐标系下的累次积分：I=∫∫Df(x,y)dxdy=∫∫Gf(x(u,v),y(u,v))，J(u,v)，dudv，其中J(u,v)为雅可比行列式。
(4)对新坐标系下的累次积分按照直角坐标法或极坐标法进行计算。
4.累次积分法：当二重积分区域D可以通过垂直于坐标轴的直线进行划分时，可以使用累次积分法进行计算。
第二节二重积分的计算方法
D
ϕ 1 (θ ) ≤ r ≤ ϕ 2 (θ ).
o
βα
A
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
= ∫ dθ ∫
α
β
ϕ2 (θ )
ϕ1 (θ )
f (r cosθ , r sinθ )rdr.
区域特征如图
r = ϕ1(θ )
D
α ≤θ ≤ β,
r = ϕ2 (θ )
ϕ 1 (θ ) ≤ r ≤ ϕ 2 (θ ).
第二节 二重积分的计算方法
二重积分的计算可以按照定义来进行， 二重积分的计算可以按照定义来进行， 同定积分按照定义进行计算一样， 同定积分按照定义进行计算一样，能够按照 定义进行计算的二重积分很少， 定义进行计算的二重积分很少，对少数特别 简单的被积函数和积分区域来说是可行的， 简单的被积函数和积分区域来说是可行的， 但对于一般的函数和积分区域却不可行。 但对于一般的函数和积分区域却不可行。 本节介绍一种计算二重积分的方法—— 本节介绍一种计算二重积分的方法 二重积分化为二次单积分（定积分） 把 二重积分化为二次单积分（定积分）来 计算。 计算。
z = f (x, y)
o
a
x
x + dx
b
x
a
o
已知平行截面面积 A ( x ) 的立体的体积
α
y
x
b
x
V = ∫a A(x)dx.
b
y
o
x
a
b
x
∵ 当 f ( x , y ) > 0时 , ∫∫ f ( x , y )dxdy 的值等于以 D 为底，以 为底，
D
为曲顶柱体的体积． 曲面 z = f ( x , y ) 为曲顶柱体的体积．
2二重积分的计算方法
也可记为 :
d
dy
2 ( y) f ( x, y)dx
c D
1 ( y)
第10页
4、运用直系计算二重积分旳环节
（1）画出积分区域旳图形,求出边界曲线交点坐标； （2）根据积分域类型, 拟定积分顺序； （3）拟定积分限，化为二次定积分； （4）计算两次定积分，即可得出成果.
注意：二重积分转化为二次定积分时，核心 在于对的拟定积分限,一定要做到纯熟、精确。
解 由对称性，所求体积 V为第一卦
限部分立体体积的 4倍，（如图
）
V 4 4a2 x2 y2 dxdy
D
D : x2 y2 2ax ( x, y 0)
在极系下 ： D：0 ，0 r 2acos , .
2
第36页
从而V 4 4a2 x2 y2 dxdy
D
2a cos
［Y－型］
Y型区域旳特点：a、穿过区域且平行于x轴旳直
线与区域边界旳交点不多于两个。b、 1( y) 2 ( y).
第5页
2、X-型域下二重积分旳 z
计算:
由几何意义，若 f (x, y) 0
y
z f (x, y)
A( x)
则 f (x, y)dxdy V
D
(曲顶柱体旳体积)
ax
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
a
b
［X－型］
X型区域旳特点：a、平行于y轴且穿过区域旳直线
与区域边界旳交点不多于两个； b、 1(x) 2 (x).
第4页
（2）Y-型域： c y d , 1( y) x 2 ( y).
d
x 1( y) c
D x 2( y)
13 第二节 二重积分的计算
x 1( y)
c
D
x 1( y) x 2( y)
c
D
x 2( y)
x 轴的直线与区域 边界相交不多于两
个交点.
f ( x, y)d
d
[
2( y) f ( x, y)dx ]dy
D
c 1( y)
D
:
1
(
y)
x
2(
y) ,
c y d
D
f ( x, y)d
d
dy
2( y) f ( x, y)dx.
确定表示积分区域D的不等式组, 常采用下述步骤：
step1 画出积分区域D的图形, 结合积分域和被积函数 考虑先对哪个变量积分更方便些.
step2 若先对y积分, 则找出D在x轴上的投影区间[a,b].
过任一点 x[a,b]作平行于y轴的直线与区域D相交,
从下往上看: 该直线进入D的边界曲线 y=1(x) 作为
计算积分 I
1
dy 2
cos x 1 cos2 x dx.
0 arcsin y
被积函数为分段函数的二重积分如何计算?
一般是将积分区域适当分块, 使被积函数在各个子块 上都表示为初等函数形式, 然后分别计算各个子块上 的积分并求和.
例9 计算 | y x2 |dxdy. 其中 D : 1 x 1, 0 y 1.
c
1( y)
先对x, 后对y 的二次积分.
例2 计算 y2 sin xydx dy , D由 y 0, y x , x 1 所围.
D
解
D
:
y 0
x y
1 1
y 1
xydxdy
1
0
dy
第二节 二重积分的计算
若区域即非X-型区域， 又非Y-型区域 如图)， 型区域(如图 若区域即非 型区域， 又非 型区域 如图 ， 型区域 则必须分割，使得每个部分区域是 型区域 则必须分割，使得每个部分区域是X-型区域 型区域. 或Y-型区域 型区域 在分割后的三个区域上分别使用积分公式
∫∫
D
= ∫∫ + ∫∫ + ∫∫ .
y = 2 ( x )
y = 2 ( x )
D
D
y = 1 ( x)
a
b
D
y = 1 ( x )
a
b
上连续. 其中函数 1 ( x ) 、 2 ( x ) 在区间 [a , b] 上连续 X型区域的特点： 穿过区域且平行于 轴的直 型区域的特点 穿过区域且平行于y轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点. 线与区域边界相交不多于两个交点
例5
改变积分
2 x x2
∫0 dx ∫0
1
f ( x , y )dy + ∫1 dx ∫0
2
2 x
f ( x , y )dy 的次序 的次序.
解 积分区域如图
y = 2 x
y = 2x x2
原式 = ∫0 dy ∫1
1
2 y 1 y
2
f ( x , y )dx .
例6
求 ∫∫ x e
D
2 y2
由几何意义知, ∫∫ f ( x , y )dσ 表示以 z = f ( x , y )为顶 , 由几何意义知 如图. 为底的曲顶柱体体积V. 如图 以D为底的曲顶柱体体积 为底的曲顶柱体体积 过点x 作平面x= 过点 0作平面 x0, 截面是平面x= 截面是平面 x0 上的, 上的 以z=f (x0, y) 为曲边的曲边梯形. 为曲边的曲边梯形
第二二重积分的计算法-资料
例1 化二重积分 f (x, y)d为二次积分
D
(写出两种积分次).序
(1)D是由y轴、y 1及y x围成的区域;
(2)D是由x轴、圆x2 y2 2x 0在第一象限及直线
x y 2围成的区域.
解(1： )f(x,y)d
D 11
dx f (x, y)dy
11
1 y2
2y
计算二重积分时，可以先对x积分后对y积分，也
可以先对y积分后对x积分，先对哪个变量积分，要视
积分域D及被积函数f(x,y)的不同情况而定.
2020/2/10
例 3计 x 算 d y,其 D 是 中由 y 1 、 直 x2 及 线 yx
D
所围成 . 的闭区域
解:解法(1)积分区域如图
次序.
1
4x2
2
4x2
(1)dx f (x, y)dy dx f (x, y)dy
0
1x2
1
0
2x
(2)dx f (x, y)dy 11 x
2020/2/10
解:(1)D1{x(,y)|0x1, 1x2y 4x2} D2{x(,y)|1x2， 0y 4x2} 由此可得 D的区 图 ,域 如 形下图
2020/2/10
公(式 1中 ) 积分 X域 型为 域，特D 点 内是 部穿 且 行y于 轴的直 D的 线边 与界相交.不多于两
2020/2/10
公(式 2)中积分 Y域 型为 域，特 穿D 点 过 内是 部且 平行 x轴 于的直 D的 线边 与界相交.不多于
2020/2/10
若积分区域X既型 非域，也Y非型域，可用平 于x轴(或平行y于 轴)的直线将区 D分域成几个小区域， 每个小区域X都型 是域或 Y型域，区D上 域的二重积 分就是这些小区二 域重 上积 的分的 . 和
二重积分的计算
y x2
y2 2 1 2 x y 2 dy 2 y 1
1
y
xy d x
1 22 1
sin x d xd y, 其中D 是直线 例3. 计算 D x 所围成的闭区域. y y x 解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行, D xπ 因此取D 为X - 型域 : π x O 0 y x D: 0 xπ π sin x x sin x d xd y dx d y 0 D x 0 x
二重积分极坐标表达式
【注意】极坐标系下的面积元素为
d d d
直角坐标系下的面积元素为
区别
d dxdy
24
2.二重积分化为二次积分的公式
（1）极点O在区域D的边界曲线之外时 区域特征如图
j1 ( )
j 2 ( )
,
D
j1 ( ) j 2 ( ).
及直线 例2. 计算 D x yd , 其中D 是抛物线 y 所围成的闭区域. 2 y2 x 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, y 则
y2 x y 2 D: 1 y 2
O 1
D
4 x
x yd d y
D
2
y2
2
a
a j1 ( x)
f (x, y)dy]dx .
j1 ( x0 )
j2 ( x0 )
V A(x)dx [
a
b
b j 2 ( x)
a j1 ( x)
f (x, y)dy]dx .
二重积分的计算 设f(x, y)0, D{(x, y)|j1(x)yj2(x), axb}. 对于x0[a, b], 曲顶柱体在xx0的截面面积为
第二节 二重积分的计算
y
1
y=x
y= x
x , y = x所围 .
解 (按先 y后 x积分次序计算 )
I = ∫ dx ∫
0 1
1
x
x
sin y dy y
o
1
x
积不出的积分，无法计算。 积不出的积分，无法计算。
(改变积分次序 , 按先 x后 y积分次序计算 )
sin y 1 sin y I = ∫ dy ∫ 2 dx = ( y − y 2 )dy 0 y ∫0 y y
积分域由两部分组成: 解: 积分域由两部分组成
0 ≤ y ≤ 2x − x2 D1 : , 0≤ x ≤1
0 ≤ y ≤ 2 − x D2 : 1≤ x ≤ 2
y = 2− x
视为 型区域 将D = D + D2 视为Y–型区域 , 则 1
1− 1− y2 ≤ x ≤ 2 − y D: , 0≤ y ≤1
∫∫D
b a d
f (x, y) dx dy
ϕ2 ( x)
1
= ∫ d x ∫ (x) f (x, y) dy ϕ = ∫ d y∫
c
ψ 2 ( y)
ψ 1( y) y)
f (x, y) dx
y y = ϕ (x) 2 d x =ψ2 ( y) x =ψ1( y) D y y = ϕ1(x) c o a x bx
根据二重积分的几何意义, 根据二重积分的几何意义,当
D
时,
为底， ∫∫ f ( x, y )dσ 等于以 D 为底，以曲面 z = f ( x, y ) 为顶的 曲顶柱体的体积． 曲顶柱体的体积．
z 应用计算“ 应用计算“平行截 面面积为已知的立 y = ϕ2 (x) 体求体积”的方法, 体求体积”的方法
第二节二重积分的计算
§2 二重积分的计算【目的要求】1、熟练掌握先x 后y 和先y 后x 的二次积分方法；2、会熟练交换积分次序；会利用积分区域对称与被积函数的奇偶性简化二重积分的求解；3、熟练掌握先r 后θ的二次积分方法；4、会熟练地进行直角坐标系和极坐标系下二重积分的互化． 【重点难点】1、二重积分计算方法的建立；2、二重积分化为二次积分时积分限的配置；3、直角坐标系和极坐标系下二重积分的互化． 【教学内容】根据二重积分的定义来计算二重积分，对于一下特别简单的被积函数和积分区域来说是可行的，但对一般的函数和区域来说，常常是很困难的．因此，需要我们探求新的简便可行的计算方法．本节我们将介绍把二重积分化为累次积分（即两次定积分）的方法．一、利用直角坐标系计算二重积分下面我们将利用二重积分的几何意义讨论(,)d Df x y σ⎰⎰的计算问题，以下假定(,)0f x y ≥．在直角坐标系中，二重积分的面积元素d σ可表示为d d x y ，即(,)d (,)d d DDf x y f x y x y σ=⎰⎰⎰⎰．设积分区域D 可表示为不等式12,()()a x b x y x ϕϕ≤≤≤≤．xx图 7-4如图7-4所示，其中1()x ϕ，2()x ϕ在区间[],a b 上连续．这种区域的特点是：若穿过D 内部的一点与y 轴平行的直线，则该直线与区域的边界相交不超过两点，我们称之为X 型区域．按二重积分的几何意义，(,)d Df x y σ⎰⎰的值等于以D 为底，以曲面(,)z f x y =为顶的曲顶柱体的体积．我们可以应用“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法计算这个曲顶柱体的体积．先计算截面积．为此，在区间[],a b 上任意取定一点0x ，作平行于yOz 面的平面0x x =．这平面截曲顶柱体所得的截面是一个以区间1020[(),()]x x ϕϕ为底、曲线0(,)z f x y =为曲边的曲边梯形（图7-5中阴影部分），所以这截面的面积为2010()00()()(,)d x x A x f x y y ϕϕ=⎰．一般地，过区间[],a b 上任一点x 且平行于yOz 面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为21()()()(,)d x x A x f x y y ϕϕ=⎰．于是，应用计算平行截面面积为已知的立体的体积的方法，得曲顶柱体的体积为21()()()d (,)d d b ax abx V A x x f x y y x ϕϕ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰． 这个体积就是所求的二重积分的值，从而有等式21()()(,)d (,)d d bx a x Df x y f x y y x ϕϕσ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰． (1)x图 7-5上式右端的积分叫做先对y 后对x 的二次积分，即先把x 看作常数，(,)f x y 只看作是y 的函数，并对y 计算从1()x ϕ到2()x ϕ的定积分，然后把计算结果（是关于x 的函数）对x 计算在区间[],a b 上的定积分．这个二次积分也可以记作21()()d (,)d bx ax x f x y y ϕϕ⎰⎰．因此，(1)式也可写成21()()(,)d d (,)d bx ax Df x y x f x y y ϕϕσ=⎰⎰⎰⎰， (2)这就是把二重积分化为先对y 后对x 的二次积分的公式．在上述讨论中，我们假定(,)0f x y ≥，但实际上公式(1)的成立并不受此条件的限制．类似地，如果积分区域D 可表示为不等式c yd ≤≤，12()()y x y ψψ≤≤．如图7-6所示，其中1()y ϕ、2()y ϕ在区间[],c d 上连续，那么就有21()()(,)d (,)d )d d y c y Df x y f x y x y ψψσ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰． (3)(3)式右端的积分叫做先对x 再对y 的二次积分，该积分区域的特点是穿过D 内部的一点作与x 轴平行的直线．则该直线于区域的边界相交不超过两点，我们称之为Y 型区域．这个二次积分也可以记作21()()d (,)d dy cy y f x y x ψψ⎰⎰．因此，(3)式也可写成)(y图 7-6d21()()(,)d d (,)d dy cy Df x y y f x y x ψψσ=⎰⎰⎰⎰． (4)一般地，对于二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰，根据积分区域D 的特点，若既是X 型又是Y 型，则公式(2)、(3)均可用，且这两个不同次序的二次积分相等，因为它们都等于同一个二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰；若既不是X 型又不是Y 型，则我们要利用分割把区域分成几部分，使每个部分或是X 型或是Y 型．在图7-7中，把D 分成三部分，它们都是X 型区域，从而在三部分上的二重积分都可应用公式(2)，再根据二重积分的性质2，它们的和就是在D 上的二重积分．下面我们通过例子来说明．例 1 计算d Dxy σ⎰⎰，其中D 是有直线1y =，2x =及y x =所围成的闭区域． 解 首先画出积分区域D （如图7-8）所示，D 既是X 型又是Y 型，因此既可以利用公式(2)也可以利用公式(4)，即有两种解法，如下：解法一211d d d xDxy x xy y σ=⎰⎰⎰⎰22111()d 2xx y x =⎰ 42211()242x x =-98=． 解法二221d d d yDxy x xy y σ=⎰⎰⎰⎰22211()d 2y x y y =⎰2311(4)d 2y y y =-⎰ 42211(2)24y y =-98=． 例 2 计算d Dxy σ⎰⎰，其中D 是由抛物线2y x =及直线2y x =-所围成的闭d 图 7-7d图 7-8区域．解 首先画出积分区域D 如图7-9所示， D 既是X 型又是Y 型的，因此既可以利用公式(2)也可以利用公式(4)，即有两种解法，如下： 解法一 将它看成X 型区域，则由于在 区间[0,1]及[1,4]上表示1()x ϕ的式子不同，需要分成两个小区域，我们分别记为1D 和2D ，其中{}1(,)|1D x y yx =≤≤≤， {}2(,)|21D x y x y x =-≤≤≤≤．因此，根据二重积分的性质2，有214012d d d d d d d x DDD xy xy xy x x x xy y σσσ-=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰14220111(d (dx 22x y x x y =+⎰⎰458=．解法二 将它看成Y 型区域，则{}2(,)12,2D x y y y x y =-≤≤≤≤+，于是22222221145d d d 28y y y yDx xy y xy x yσ++--===⎰⎰⎰⎰⎰． 由此可见，利用公式(2)来计算比较麻烦．例 3 计算Dσ⎰⎰，其中D 是由直线y x =、1x =-和1y =所围成的闭区域．解 画出积分区域D （如图7-10所示），D 既是X 型的，又是Y 型的．若利用公式(2)，得111d xDx y σ-=⎰⎰⎰⎰x图 7-91）31221211(1)d 3xx y x -=-+-⎰1311(||1)d 3x x -=--⎰ 13021(1)d 32x x =--=⎰．若利用公式(4)，得111dy yDx σ--=⎰⎰⎰⎰， 其中关于x 的积分计算比较麻烦．所以这里用公式(2)计算较为方便．例 4 计算sin d Dyyσ⎰⎰，其中D 是由抛物线2y x =及直线y x =所围成的闭区域．解 首先画出积分区域D （如图7-11所示），D 既是X 型的，又是Y 型的． 若将D 看成X型区域，{(,)01,D x y x x y =≤≤≤≤，则10sin sin d =d d x Dyy x y y y σ⎰⎰⎰． 这个关于y 的积分不易求出原函数，因此计算无法继续下去．如果将它看成Y 型区域，{}2(,)01,D x y y y x y =≤≤≤≤，则211200sin sin sin d d d d ()d y y Dyy y x y y x y y y y y y ==-⎰⎰⎰⎰⎰ 11100cos sin d 1cos1d cos y y y y y y =--=-+⎰⎰111c o s 1(c o s )c o s d 1s i n 1y y y y =-+-=-⎰． 上述几个例子说明，在化二重积分为二次积分时，为了计算方便，需要选择图 7-10图 7-11恰当的二次积分的次序．这时，不仅需要考虑积分区域D 的形状，还要考虑被积函数(,)f x y 的特性．例 5 试证：()()0d ()d ()()d ayab x a b x a y e f x x a x e f x x --=-⎰⎰⎰，其中,a b 均为常数，且0a >．证 分析：等式左边是个先对x 再对y 的 二次积分，等式右边是个关于x 的定积分，而 被积函数是关于x 的函数，所以不妨交换积分次序，即换成先对y 再对x 的二次积分，如图 7-12所示．等式左边=()()0d ()d ()()d a a ab x a b x a xx e f x y a x e f x x --=-⎰⎰⎰．例 6 求两个底圆半径都等于R 的直交圆柱面所围成的立体的体积． 解 设这两个圆柱面的方程分别为222x y R += 及 222x z R +=．利用立体关于坐标平面的对称性，只要计算它在第一卦限部分（图7-13(a)）的体积1V ，然后再乘以8就是所求立体的体积．所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的底为{(,)0,0D x y x R y =≤≤≤≤，图7-13(b)所示．它的顶是柱面z =．于是1DV σ=⎰⎰．图 7-12图 7-13 (a)图 7-13 (b)利用公式(2)，得10d RDV x yσ==⎰⎰⎰223002()d3R Rx R x x R==-=⎰⎰．从而所求立体的体积为311683V V R==．二、利用极坐标计算二重积分有些二重积分，积分区域D的边界曲线用极坐标方程表示比较方便，而且被积函数用极坐标变量r，θ表示比较简单．这时，我们可以考虑利用极坐标来计算二重积分(,)dDf x yσ⎰⎰．我们知道平面上任意一点的极坐标(),rθ与它的直角坐标(),x y之间的变换公式为cosx rθ=，siny rθ=．按二重积分的定义1(,)d lim(,)ni i iiDf x y fλσεησ→==∆∑⎰⎰，下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式．假定从极点O出发且穿过闭区域D内部的射线与D的边界曲线相交不多于两点．我们用以极点为中心的一族同心圆：r=常数以及从极点出发的一族射线：θ=常数，把D分成n个小闭区域（图7-14）．除了包含边界点的一些小闭区域外，小闭区域的面积iσ∆可计算如下：2211()22i i i i i ir r rσθθ∆=+∆⋅∆-⋅∆1(2)2i i i ir r rθ=+∆∆⋅∆()2i i ii ir r rrθ++∆=⋅∆⋅∆图7-14i i i r r θ=⋅∆⋅∆，其中i r 表示相邻两圆弧的半径的平均值．在这小闭区域内取圆周i r r =上的一点(,)i i r θ，该点的直角坐标设为i ξ，i η，则由直角坐标与极坐标之间的关系有cos i i i r ξθ=，sin i i i r ηθ=．于是11lim (,)lim (cos ,sin )nni i i i i i i i i i i i f f r r r r λλξησθθθ→→==∆=⋅∆⋅∆∑∑，即 (,)d (cos ,sin )d d DDf x y f r r r r σθθθ=⎰⎰⎰⎰．这里我们把点(,)r θ看做是在同一平面上的点(,)x y 的极坐标表示，所以上式右端的积分区域仍然记作D .由于在直角坐标系中(,)d Df x y σ⎰⎰也常记作(,)d d Df x y x y⎰⎰，所以上式又可写成 (,)d d (cos ,sin )d d DDf x y x y f r r r r θθθ=⎰⎰⎰⎰． (5)这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式，其中d d r r θ就是极坐标系中的面积元素．公式(5)表明，要把二重积分中的变量从直角坐标变换为极坐标，只要把被积函数中的x ，y 分别换成cos r θ，sin r θ，并把直角坐标系中的面积元素d d x y 换成极坐标系中的面积元素d d r r θ即可．同样，在极坐标系下计算二重积分也要将它化为二次积分，我们根据极点与积分区域的关系分三种情况介绍．(1) 极点O 在区域D 之外，如图7-15所示，这时区域D 在θαθβ==与两条射线之间，这两条射线与区域D 的边界的交点把区域边界分为两部分，1()r r θ=，2()r r θ=．这时区域D 可以表示为{}12(,),()()D r r r r θαθβθθ=≤≤≤≤， 于是o r =图 7-15(cos ,sin )d d Df r r r r θθθ⎰⎰=21()()d (cos ,sin )dr r r f r r r βθαθθθθ⎰⎰．(2) 极点O 在区域D 的边界上，如图7-16所示，这时1()0r θ=，区域D 可以表示为{}(,),0()D r r r θαθβθ=≤≤≤≤， 于是(cos ,sin )d d d (cos ,sin )d Df r r r r f r r r r βαθθθθθθ=⎰⎰⎰．(3) 极点O 在区域D 的内部，如图7-17所示，这时区域D 可表示为{}(,)02,0()D r r r θθπθ=≤≤≤≤， 于是2()(cos ,sin )d d d (cos ,sin )d r df r r r r f r r r r πθθθθθθθ=⎰⎰⎰⎰．例 7 计算二重积分22d d 1Dx y x y++⎰⎰，其中D 是由221x y +≤所确定的圆域． 解 在极坐标中，积分区域D 可以表示为{}(,)02,01D r r θθπ=≤≤≤≤．于是，21222200d d d d d d 111D Dx y r r rr x y r r πθθ==++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 221001ln(1)d 2r πθ=+⎰l n 2π=． xo 图 7-16)(θr r =图 7-17例 8计算二重积分Dσ，其中D 是圆222x y y +=围成的闭区域．解 圆222x y y +=的极坐标方程是2sin r θ=， 如图7-18所示，积分区域D 可以表示为{}(,)0,02sin D r r θθπθ=≤≤≤≤． 于是2sin 220d d d d DDr r r r πθθθθ==⎰⎰⎰⎰320088sin d (1cos )d cos 33ππθθθθ==--⎰⎰ 308132(c o s c o s )339πθθ=--=．例 9 计算二重积分22()d d x y Dex y -+⎰⎰，其中{}222(,)D x y x y R =+≤．解 在极坐标中，积分区域D 可以表示为{}(,)02,0D r r R θθπ=≤≤≤≤．于是222222()0001d d d d 2()(1)2R xy r r RR De x y e r r e e πθππ-+---==⋅-=-⎰⎰⎰⎰．例 10计算二重积分DI σ=⎰⎰，其中D 是直线y x =、2x =及上半圆周y =所围成的闭区域．解 画出积分区域D ，如图7-19所示， 它在极坐标下可表示为2(,)0,2cos 4cos D r r πθθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭．于是24cos 4302cos 0111d d (cos )d 22cos I r r r ππθθθθθθ==--⎰⎰⎰图 7-18图 7-19401(sin ln |sec tan |)2πθθθ=--+1ln 1)]2=-．三、广义二重积分若二元函数的积分区域是无界的，则类似于一元函数，我们可以先在有界区域内积分，然后通过取极限求此积分．这类积分在概率统计中有广泛的应用．例 11 计算定积分 2d x Ie x +∞--∞=⎰．解 本题如果用定积分计算，由于 2x e-的原函数不能用初等函数表示，所以算不出来．我们采用的技巧是先计算二重积分22()d d xy De x y -+⎰⎰，其中区域D 是整个平面．一方面，我们利用直角坐标系计算，可将积分区域D 表示为{}(,)|,D x y x y =-∞<<+∞-∞<<+∞，则22()d d xy De x y -+⎰⎰2222()2d d d d y =I x y x y x ey e xe +∞+∞+∞+∞-+---∞-∞-∞-∞==⎰⎰⎰⎰．另一方面，我们利用极坐标系进行计算，可将积分区域D 表示为{}(,)|02,0D r r θθπ=≤≤≤≤+∞．于是22()d d xy De x y -+⎰⎰22220d d |lim (1)r r R re r r e e πθπππ+∞--+∞-→+∞==-=-=⎰⎰． 综上，我们有2I π=，所以I =。
二重积分的计算
x
上可积, 则其和式极限的存在与区域 D 的分法无关, 也与小 区域 i (i 1, 2,
, n) 的形状无关.
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故在直角坐标系下, 我们常采用平 行于坐标轴的直线网格来划分区域 D(如图8.2.3), 那么此时除了包含边
y
y 2 ( x)
①先投影确定外积分限:
将积分区域向 x 轴投影, 区间若为 [a, b]则外层上、下限分别为 b, a;
oa
y 1 ( x) b
x
D
x
②再穿线确定内积分限: 过 [a, b]内任意一点作 x 轴的垂线 与与积分区域的边界相交, 由上至下交点分别为 2 ( y ), 1 ( x ) 它们就是内层上、下限. 类似地,当积分区域 D为Y-型区域时,
的闭区域为 Y- 型区域, 它是由直线
y c, y d 及曲线 x 1 ( y), x 2 ( y)
( y [c, d ]) 所围成, 如图8.2.2.
y
d
x 1 ( y)
D
x 2 ( y)
c o
图8.2.2
其中 1( y) 和 2 ( y) 在 [c , d ] 上连续．
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正如利用定积分的定义计算定积分非常困难一样, 利用二重
计算二重积分难度更大, 因此需要寻求一些更为有效的计算二 重积分的计算方法. 本节将从二重积分的几何意义出发, 讨论如把二重积分化为 二次积分 (或累次积分), 即计算两次定积分, 从而得出计算 二重积分的实用方法．
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即等于两个定积分的乘积.
例2 求 x2e y2dxdy, 其中D 是以 (0,0),(1,1),(0,1)
D
为顶点的三角形.
解 因 e y2dy 无法用初等函数表示,
所以, 积分时必须考虑次序.
x2e y2dxdy
1
dy
y x 2e y2 dx
0
0
D
e1 y2
y3 dy
1
1 y2e y2dy2 1 1 2
Oa
b x Oa
bx
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy
a
1 ( x)
D
3. 若区域如图, 则必须分割. 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式. (利用积分区域的可加性)
y
D3
D1 D2
O
x
D
D1
D2
D3
例1 求 ( x2 y)dxdy,其中D是抛物线y x2和
0
3
60
6 e
例3 交换积分次序:
1
2 x x2
2
2 x
0 dx0
f ( x, y)dy 1 dx0 f ( x, y)dy
y
解 积分区域:
y2 x
y 2x x2
O
1
2x
原式=
1
dy
2 y
f ( x, y)dx
0
1 1 y2
例4 计算积分 I
1
2 1
dy
1
y
y e x dx
(
x,
y)dx)dy
D
即
f y)dx.
D
c
1( y)
2. 积分区域为: a x b, 1( x) y 2( x). 其中函数1( x)、2( x)在区间 [a,b]上连续.
y y 2(x) D
y
y 2(x)
D
y 1(x)
y 1(x)
1. 极点在区域D 的外面 D : , 1( ) r 2( ).
r 1( )
r 2( )
D
r 1( )
D
θ
O
θ
x
O
f (r cos , r sin )rdrd
D
d
2( ) f (r cos , r sin )rdr
1 ( )
r 2( )
x
2. 极点在区域D 的边界上 (曲边扇形)
D
D: (y) x (y)
cyd
z
c
0
z=f (x,y)
y
x=(y)
d
y
D
x=(y) x
I f ( x, y)dxdy
D
D: (y) x (y)
cyd
z
z f (x, y)
y y
.
z=f (x,y)
Q( y ) =
ψ( y)
f ( x, y)dx
φ( y)
d
I = c Q( y)dy
而且又是能否进行计算的问题.
凡遇如下形式积分:
sin xdx, x
sinx2dx, cosx2dx, ex2dx,
y e x2dx, e xdx,
dx , 等,
ln x
一定要放在后面积分.
例5 求证
a
dx
x
f ( y)dy
a
(a x) f ( x)dx(a 0)
0
0
0
证 对于左边的累次积分, 先交换积分次序.
d 1 (r dr)2 d 1 r 2 d
2
2
r r dr
1 (2r dr)dr d
2
rr
d rdrd
D
极坐标系中的面积元素
O
二重积分在极坐标下的表达式为
d
d
A
f ( x, y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd
D
D
在极坐标系下, 一般化成先对r再对 积分
c
0 Q( y)
x=(y) x
y
x=(y)
D
d
y
I f ( x, y)dxdy
D
D: (y) x (y)
cyd
ψ( y)
Q( y ) = f ( x, y)dx φ( y)
I=
d
c Q( y)dy
d
ψ( y)
dy f ( x, y)dx
c
φ( y)
x
z
0 x=(y)
z=f (x,y)
10.2 二重积分的计算
二重积分的计算方法是: 将二重积分化为二次 积分(累次积分)来计算.
10.2.1 在直角坐标系下计算二重积分
现根椐二重积分的几何意义:
f (x, y)dxdy 的值等于以区域D为底, 曲面
D
z= f ( x, y )为顶的曲顶柱体的体积,考虑二重积分 的计算.
I f ( x, y)dxdy
积分区域: 0 x a, 0 y x
y
可表为: 0 y a, y x a
a
a dx
x
f ( y)dy
a
dy
a
f ( y)dx
0
0
0
y
a
0
f
(
a
y)dyy dx
a
O
(a y) f ( y)dy
0
a
0 (a x) f ( x)dx
•(a,a)
a
x
10.2.2 在极坐标系下计算二重积分
则
f
( x,
y)d
bd
a dxc
f
( x,
y)dy
D
db
c dya f ( x, y)dx
如D是上述矩形域, 且 f ( x, y) f1( x) f2( y)
则
bd
f1( x)
f2(
y)dxdy
(
a
c
f1( x) f2( y)dy )dx
D
b
d
a f1( x)dx c f2( y)dy
y
1
1 dy
y e x dx.
y
y
4
2
2
解 因 e x dx 不能用初等函数表示,
所以, 先交换积分次序. y
y
I
1
1 dx
x
e
x
dy
x2
1
1
2
2
y x y x2
1 1
x(e
e
x
)dx
2
1
4
O
1
1
x
2
3e1 e 82
计算二重积分时,恰当的选取积分次序
十分重要, 它不仅涉及到计算繁简问题,
D : , 0 r ( ).
r ( )
D
O
r ( )
D
xO
x
f (r cos , r sin )rdrd
D
( )
d 0 f (r cos , r sin )rdr
3. 极点在区域D 的内部
D : 0 2 , 0 r ( ).
r ( )
D
x y2 所围平面闭区域.
解 两曲线的交点
y
y
x2
•
x (1,1)
y2
(0,0),(1,1).
O
x
( x2 y)dxdy
D
1
dx
x( x2 y)dy
0
x2
01 x2 y
y2 2
x
dx
x2
1
[
x
2
(
0
x x2 ) 1 ( x x4 )]dx 2
33 140
特殊地, D为矩形域: a≤ x ≤b, c≤ y ≤d.
d
y
二重积分的计算有两种积分顺序
1. 积分区域为: c y d , 1( y) x 2( y)
其中函数1( y)、 2( y) 在区间[c, d]上连续.
y
y
d
d
x 1( y) D
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