线性代数补充习题与参考答案
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线性代数补充习题与参考答案ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
线性代数补充习题 第一章 行列式 一、填空题 1．若 01 0100 =---a b ba ，则 b a ,满足的条件是________ ． 2．排列 36715284 的逆序数为________ ． 3．行列式 =c bf e da0 002101030________ ． 4．行列式=-0 000100 200 1 00 n
=a a a a a a a a a ，则=+-+-+-33 3132 31312321222121 13 11121111322 13221 3221a a a a a a a a a a a a a a a （ ）． （A ）-2 （B ） -1 （C ）2 3 （D ）2 4．设 033 32 31 232221 13 1211 ≠=a a a a a a a a a D ，ij A 是 D 元素 ij a 的代数余子式 （3,2,1,=j i ），若 0333223113≠++j j j A a A a A a ， 则（ ）． （A ）1=j （B ）2=j （C ）3=j （D ）1=j 或 3=j 5．若方程组???????=+=++=-=+020020
必线性相关．（ ） 4．设 n ααα,,,21 为 n 个 m 维向量，且 m n >，则该向量组 必定线性相关．（ ） 5．设 321,,ααα是线性无关向量组， 则向量组 32121105,3,2ααααα+-也线性无关．（ ） 6．设向量组 r ααα,,,21 与 s βββ,,,21 等价，则 r α αα,,,21 的任一极大无关组与 s βββ,,,21 的任一极大无 关组可互相线性表示．（ ） 第四章 线性方程组 一、填空题 1．若方程组??? ??=++=++=++2 3213213211 k kx x x k x kx x x x kx 无解，则=k ． 2．设方程组??? ??-=-+=+-=-+1 554212321321321x x x x x x x x x λλ有唯一解，则≠λ ． 3．齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ有非零解，则=λ ． 二、选择题 1．设 n 元齐次线性方程组 0=Ax 的系数矩阵 A 的秩为 r ，则
（A ）BA （B ）AB （C ）T BA )( （D ）T T BA 5．若 A 是（ ），则必有 A A T =． （A ）可逆矩阵 （B ）三角矩阵 （C ）初等矩阵 （D ）对称 矩阵 6．设???? ??????=43503362a A ，且矩阵 A 的秩()2=A R ，则=a（ ）．（A ） 9 （B ）18 （C ） 0 （D ）任何数 7．矩阵 A 经初等行变换 化为行阶梯形矩阵后（ ）． （A ） 秩变大 （B ）秩变小 （C ）秩不变 （D ）化为单位方 阵 8．设 A 是 2 阶可逆矩阵，λ为实数，如果 A A 4=λ，则 （ ）． （A ）2±=λ （B ）1±=λ （C ）2±=λ （D ）4= λ 9．设 A 是 n 阶方阵，k 为非零实数，则=-kA （ ）． （A ）()A k n n 1- （A ）A k n （C ）A k - （D ）A k 10．设 B A ,均为 n 阶矩阵，则必有（ ）． （A ）B A B A +=+ （B ）BA AB = （C ）BA AB = （D ）() 111 ---+=+B A B A
1．=? ? ? ? ??++++c b b a z y y x （ ）． （A ）??????+++???? ??++c b b z y y c b a z y x （B ）? ? ? ???+++??????++c b z y b a y x （C ）??????+??????c b z y b a y x （D ）?? ????+++??????++c b a z y x b b a y y x 2．下列矩阵中，（ ）不是初等矩阵． （A ）??????????001010100 （B ）????? ?????010100001 （C ）???? ??????1000210001 （D ）???? ??????10 02121000 1 3．设 C B A ,,均为 n 阶方阵，且 0||≠A ，则必有（ ）．（A ） C B CA AB =?= （B ）C B AC AB =?= （C ）O C O BC =?= （D ） E B C AB =?= 4．已知矩阵 )(,n m B A m n n m ≠??，则下列运算结果不为 n 阶方阵的是（ ）．
0101000011110100011001110011111000101 111 000 100 01d c b a d c b a +++=． （ ） 第二章 矩阵 一、填空题 1．设??????????=??????????=101010101,10010101B x A ，且 B A =，则=x ________ ． 2．设???? ??????=??????????=000220001,100120301B A ，则()()=-+B A B A ． 3．设? ? ?? ??=101a A ，则=n A ． 4．设()?? ? ? ??=--=1231,12A x x x f ，则()=A f ． 5．设? ? ????=4321A ，则 A 的伴随矩阵=*
0=Ax 有非零解的充分必要条件是（ ）． (A) n r = (B) n r < (C) n r ≥ (D) n r > 2．设 n 元齐次线性方程组 0=Ax ，若 n r A R <=)(，则该方程 组的基础解系（ ）． （A ）唯一存在 （B ）共有 r n -个 （C ） 含有 r n -个解向量 （D ）含有无穷多个解向量 3．已知 321,,ααα是线性方程组 0=Ax 的一个基础解系，则必 有（ ）． （A ）321,,ααα线性相关 （B ）321,,ααα线 性无关 （C ）133221,,αααααα+++线性相关 （D ）133221,,αα αααα+++不是 0=Ax 基础解系 4．方程组? ??=-+-=+-04620 23321321x x x x x x 的一组基础解系是由（ ）个解向量组成 的． （A ）2 （B ）1 （C ）3 （D ）0 5．设 s ααα,,,21 是 n 元 齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系，则（ ）．（A ）s ααα,,,21 线性相关 （B ）0=Ax 的任意 1+s 个解向量线性相关 （C ）n A R s =-)( （D ）0=Ax 的任意 1-s 个解向量线性相 关 6．若 321,,ααα是齐次线性方程组 0=Ax 的一个基础解系， 则（ ）． （A ）133221,,αααααα+++也是 0=Ax 的一个基础解系 （B ）基础解系具有唯一性 （C ）133221,,αααααα+++
A ． 6．设)0(≠-? ? ?? ??=cb ad d c b a A ，则 A -1 = ． 7．若???? ? ???? ? ? ?=n a a a A 2 1（n i a i ,,2,1,0 =≠），则=-1A ． 8．设 2=A ，且 A 为三阶方阵，则 =A 3 ． 9．已知??????=101121A ，???? ? ?????=111121B ，则 =AB ． 10．? ? ? ???-=???? ??12643252X ，则=X ． 二、选择题
性为线性 ． 4．设()()()T T T 3,0,1,0,4,1,0,0,2,0,0,1321=== α α α ， 则 该 向 量 组 的 秩 为 ()=321,,αααR ． 5．若向量组()()() T T T t t 1,0,0,0,2,1,0,1,12 321+==+=ααα的秩为 2，则=t ． 6．若向量组()()()T T T k k k 0,1,,2,2,,7,1,6321==+=ααα的秩为 3，则≠k ． 7．若 n 维向量组 s ααα,,,21 是 n R 的一组基，则=s ． 二、选择题 1．向量组 n ααα,,,21 线性无关的充要条件是（ ）． (A) n ααα,,,21 均不为零向量 (B) n ααα,,,21 中任意两个向量的对应分量不成比例 (C) n
三、判断题 1．设 B A ,都是 n m ?矩阵，则 A B B A +=+．（ ） 2．两个 n 阶可逆矩阵之和一定是可逆矩阵．（ ） 3．如果 A 与 B 可交换，且 A 可逆，则 1 -A 与 B 可交换．（ ） 4．n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是 0=A ．（ ） 5．设 C B A ,,都是 n 阶方阵，且 0≠A ，若 AC AB =，则 C B =．（ ） 6．设 B A ,都是 n 阶方阵，若 0=AB ，则 0=B ．（ ） 7．若 A 与 B 为 n 阶方阵，则 BA AB =．（ ） 8．设 A 与 B 为 n 阶方阵，且 A 为对称矩阵，则 AB B T 也是对称矩阵．（ ） 9．设 A 与 B 为 n 阶方阵，则 B A AB =．（ ） 10．若 A 和 B 皆为 n 阶方阵，则必有 B A B A +=+．（ ） 第三章 向量组的线性相关性 一、填空题 1．设()()T T 2,3,1,1,1,221-=-=αα，若()T 5,,13λα=可由 21,αα线性表示，则=λ ． 2．设 2132122113,,2ααβααβααβ+-=+=-=，则 321,,β ββ的线性相关性为线性 ． 3．设 4321,,,αααα是 n 维向量组，144433322211,,,ααβ ααβααβααβ+=+=+=+=，则 4321,,,ββββ的线性相关
ααα,,,21 中有一个部分向量线性无关 (D) n ααα,,,21 中任意一个向量都不能由其余 1-n 个向量线性 表示 2．设向量组 321,,ααα线性无关，则与 321,,ααα等价的向 量组为（ ）． (A) 3221,αααα++ (B) 2121214,3,,ααα ααα-+ (C) 31312121,,,αααααααα-+-+ (D) 3221,αααα-+ 3．设向量组γβα,,线性无关，δβα,,线性相关，则（ ）． (A) α必可由δγβ,,线性表示 (B) β必不可由δγα,,线性表示 (C) δ必可由γβα,,线性表示 (D) δ必不可由γβα,,线性 表示 4．设 A 为 n m ?矩阵，齐次线性方程组 0=Ax 仅有零解的 充分条件是（ ）． (A) A 的列向量组线性无关 (B) A 的列向 量组线性相关 (C) A 的行向量组线性无关 (D) A 的行向量组线 性相关 三、判断题 1．设向量组 r ααα,,,21 与 s βββ,,,21 都线性相关，且 可以互相线性表示，则必有 s r =．（ ）2．n 维向量组)1(,,,21>s s ααα 线性相关的充要条件是其中有一个向量可由其余向量 线性表示．（ ） 3．设 n 维向量组 r ααα,,,21 中每一个向 量均可由 s βββ,,,21 线性表示，且 s r >，则 r ααα,,,21
n ________ ． 5．设行列式 9 63302 21a 中，余子式 321=M ，则=a ________ ． 二、选择题 1．下列行列式中值为 0 的是（ ）． （A ）行列式中有两行对应元素之和为 0 （B ）行列式中对角 线上元素全为 0 （C ）行列式中有两行含有相同的公因子 （D ）行列式中有一 行与另一列对应元素成比例 2．在函数 x x x x x f ----=2 3 111 2)(中，3x 的系数是（ ）． （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3．设 133 32 31 232221 131211
433214 131x x x x ax x x ax x 仅有零解，则≠a （ ）． （A ）21- （B ）21 （C ）4 1- （D ）41 三、判断题 1．交换行列式的两行（列），行列式的值不变．（ ） 2．n 阶行列式中，若有 n n -2 个以上元素为 0，则行列式的值为 0．（ ） 3．333 33 3222 22 211111 1d c c b b a d c c b b a d c c b b a +++++++++33 3222111c b a c b a c b a =3 3 3 222 1 11d c b d c b d c b +．（ ） 4．元素 ij a 的代数余子式 ij A 与 ij a 所在有行、列有关，而与 ij a 的值无关．（ ） 5．
线性代数补充习题 第一章 行列式 一、填空题 1．若 01 0100 =---a b ba ，则 b a ,满足的条件是________ ． 2．排列 36715284 的逆序数为________ ． 3．行列式 =c bf e da0 002101030________ ． 4．行列式=-0 000100 200 1 00 n
=a a a a a a a a a ，则=+-+-+-33 3132 31312321222121 13 11121111322 13221 3221a a a a a a a a a a a a a a a （ ）． （A ）-2 （B ） -1 （C ）2 3 （D ）2 4．设 033 32 31 232221 13 1211 ≠=a a a a a a a a a D ，ij A 是 D 元素 ij a 的代数余子式 （3,2,1,=j i ），若 0333223113≠++j j j A a A a A a ， 则（ ）． （A ）1=j （B ）2=j （C ）3=j （D ）1=j 或 3=j 5．若方程组???????=+=++=-=+020020
必线性相关．（ ） 4．设 n ααα,,,21 为 n 个 m 维向量，且 m n >，则该向量组 必定线性相关．（ ） 5．设 321,,ααα是线性无关向量组， 则向量组 32121105,3,2ααααα+-也线性无关．（ ） 6．设向量组 r ααα,,,21 与 s βββ,,,21 等价，则 r α αα,,,21 的任一极大无关组与 s βββ,,,21 的任一极大无 关组可互相线性表示．（ ） 第四章 线性方程组 一、填空题 1．若方程组??? ??=++=++=++2 3213213211 k kx x x k x kx x x x kx 无解，则=k ． 2．设方程组??? ??-=-+=+-=-+1 554212321321321x x x x x x x x x λλ有唯一解，则≠λ ． 3．齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ有非零解，则=λ ． 二、选择题 1．设 n 元齐次线性方程组 0=Ax 的系数矩阵 A 的秩为 r ，则
（A ）BA （B ）AB （C ）T BA )( （D ）T T BA 5．若 A 是（ ），则必有 A A T =． （A ）可逆矩阵 （B ）三角矩阵 （C ）初等矩阵 （D ）对称 矩阵 6．设???? ??????=43503362a A ，且矩阵 A 的秩()2=A R ，则=a（ ）．（A ） 9 （B ）18 （C ） 0 （D ）任何数 7．矩阵 A 经初等行变换 化为行阶梯形矩阵后（ ）． （A ） 秩变大 （B ）秩变小 （C ）秩不变 （D ）化为单位方 阵 8．设 A 是 2 阶可逆矩阵，λ为实数，如果 A A 4=λ，则 （ ）． （A ）2±=λ （B ）1±=λ （C ）2±=λ （D ）4= λ 9．设 A 是 n 阶方阵，k 为非零实数，则=-kA （ ）． （A ）()A k n n 1- （A ）A k n （C ）A k - （D ）A k 10．设 B A ,均为 n 阶矩阵，则必有（ ）． （A ）B A B A +=+ （B ）BA AB = （C ）BA AB = （D ）() 111 ---+=+B A B A
1．=? ? ? ? ??++++c b b a z y y x （ ）． （A ）??????+++???? ??++c b b z y y c b a z y x （B ）? ? ? ???+++??????++c b z y b a y x （C ）??????+??????c b z y b a y x （D ）?? ????+++??????++c b a z y x b b a y y x 2．下列矩阵中，（ ）不是初等矩阵． （A ）??????????001010100 （B ）????? ?????010100001 （C ）???? ??????1000210001 （D ）???? ??????10 02121000 1 3．设 C B A ,,均为 n 阶方阵，且 0||≠A ，则必有（ ）．（A ） C B CA AB =?= （B ）C B AC AB =?= （C ）O C O BC =?= （D ） E B C AB =?= 4．已知矩阵 )(,n m B A m n n m ≠??，则下列运算结果不为 n 阶方阵的是（ ）．
0101000011110100011001110011111000101 111 000 100 01d c b a d c b a +++=． （ ） 第二章 矩阵 一、填空题 1．设??????????=??????????=101010101,10010101B x A ，且 B A =，则=x ________ ． 2．设???? ??????=??????????=000220001,100120301B A ，则()()=-+B A B A ． 3．设? ? ?? ??=101a A ，则=n A ． 4．设()?? ? ? ??=--=1231,12A x x x f ，则()=A f ． 5．设? ? ????=4321A ，则 A 的伴随矩阵=*
0=Ax 有非零解的充分必要条件是（ ）． (A) n r = (B) n r < (C) n r ≥ (D) n r > 2．设 n 元齐次线性方程组 0=Ax ，若 n r A R <=)(，则该方程 组的基础解系（ ）． （A ）唯一存在 （B ）共有 r n -个 （C ） 含有 r n -个解向量 （D ）含有无穷多个解向量 3．已知 321,,ααα是线性方程组 0=Ax 的一个基础解系，则必 有（ ）． （A ）321,,ααα线性相关 （B ）321,,ααα线 性无关 （C ）133221,,αααααα+++线性相关 （D ）133221,,αα αααα+++不是 0=Ax 基础解系 4．方程组? ??=-+-=+-04620 23321321x x x x x x 的一组基础解系是由（ ）个解向量组成 的． （A ）2 （B ）1 （C ）3 （D ）0 5．设 s ααα,,,21 是 n 元 齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系，则（ ）．（A ）s ααα,,,21 线性相关 （B ）0=Ax 的任意 1+s 个解向量线性相关 （C ）n A R s =-)( （D ）0=Ax 的任意 1-s 个解向量线性相 关 6．若 321,,ααα是齐次线性方程组 0=Ax 的一个基础解系， 则（ ）． （A ）133221,,αααααα+++也是 0=Ax 的一个基础解系 （B ）基础解系具有唯一性 （C ）133221,,αααααα+++
A ． 6．设)0(≠-? ? ?? ??=cb ad d c b a A ，则 A -1 = ． 7．若???? ? ???? ? ? ?=n a a a A 2 1（n i a i ,,2,1,0 =≠），则=-1A ． 8．设 2=A ，且 A 为三阶方阵，则 =A 3 ． 9．已知??????=101121A ，???? ? ?????=111121B ，则 =AB ． 10．? ? ? ???-=???? ??12643252X ，则=X ． 二、选择题
性为线性 ． 4．设()()()T T T 3,0,1,0,4,1,0,0,2,0,0,1321=== α α α ， 则 该 向 量 组 的 秩 为 ()=321,,αααR ． 5．若向量组()()() T T T t t 1,0,0,0,2,1,0,1,12 321+==+=ααα的秩为 2，则=t ． 6．若向量组()()()T T T k k k 0,1,,2,2,,7,1,6321==+=ααα的秩为 3，则≠k ． 7．若 n 维向量组 s ααα,,,21 是 n R 的一组基，则=s ． 二、选择题 1．向量组 n ααα,,,21 线性无关的充要条件是（ ）． (A) n ααα,,,21 均不为零向量 (B) n ααα,,,21 中任意两个向量的对应分量不成比例 (C) n
三、判断题 1．设 B A ,都是 n m ?矩阵，则 A B B A +=+．（ ） 2．两个 n 阶可逆矩阵之和一定是可逆矩阵．（ ） 3．如果 A 与 B 可交换，且 A 可逆，则 1 -A 与 B 可交换．（ ） 4．n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是 0=A ．（ ） 5．设 C B A ,,都是 n 阶方阵，且 0≠A ，若 AC AB =，则 C B =．（ ） 6．设 B A ,都是 n 阶方阵，若 0=AB ，则 0=B ．（ ） 7．若 A 与 B 为 n 阶方阵，则 BA AB =．（ ） 8．设 A 与 B 为 n 阶方阵，且 A 为对称矩阵，则 AB B T 也是对称矩阵．（ ） 9．设 A 与 B 为 n 阶方阵，则 B A AB =．（ ） 10．若 A 和 B 皆为 n 阶方阵，则必有 B A B A +=+．（ ） 第三章 向量组的线性相关性 一、填空题 1．设()()T T 2,3,1,1,1,221-=-=αα，若()T 5,,13λα=可由 21,αα线性表示，则=λ ． 2．设 2132122113,,2ααβααβααβ+-=+=-=，则 321,,β ββ的线性相关性为线性 ． 3．设 4321,,,αααα是 n 维向量组，144433322211,,,ααβ ααβααβααβ+=+=+=+=，则 4321,,,ββββ的线性相关
ααα,,,21 中有一个部分向量线性无关 (D) n ααα,,,21 中任意一个向量都不能由其余 1-n 个向量线性 表示 2．设向量组 321,,ααα线性无关，则与 321,,ααα等价的向 量组为（ ）． (A) 3221,αααα++ (B) 2121214,3,,ααα ααα-+ (C) 31312121,,,αααααααα-+-+ (D) 3221,αααα-+ 3．设向量组γβα,,线性无关，δβα,,线性相关，则（ ）． (A) α必可由δγβ,,线性表示 (B) β必不可由δγα,,线性表示 (C) δ必可由γβα,,线性表示 (D) δ必不可由γβα,,线性 表示 4．设 A 为 n m ?矩阵，齐次线性方程组 0=Ax 仅有零解的 充分条件是（ ）． (A) A 的列向量组线性无关 (B) A 的列向 量组线性相关 (C) A 的行向量组线性无关 (D) A 的行向量组线 性相关 三、判断题 1．设向量组 r ααα,,,21 与 s βββ,,,21 都线性相关，且 可以互相线性表示，则必有 s r =．（ ）2．n 维向量组)1(,,,21>s s ααα 线性相关的充要条件是其中有一个向量可由其余向量 线性表示．（ ） 3．设 n 维向量组 r ααα,,,21 中每一个向 量均可由 s βββ,,,21 线性表示，且 s r >，则 r ααα,,,21
n ________ ． 5．设行列式 9 63302 21a 中，余子式 321=M ，则=a ________ ． 二、选择题 1．下列行列式中值为 0 的是（ ）． （A ）行列式中有两行对应元素之和为 0 （B ）行列式中对角 线上元素全为 0 （C ）行列式中有两行含有相同的公因子 （D ）行列式中有一 行与另一列对应元素成比例 2．在函数 x x x x x f ----=2 3 111 2)(中，3x 的系数是（ ）． （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3．设 133 32 31 232221 131211
433214 131x x x x ax x x ax x 仅有零解，则≠a （ ）． （A ）21- （B ）21 （C ）4 1- （D ）41 三、判断题 1．交换行列式的两行（列），行列式的值不变．（ ） 2．n 阶行列式中，若有 n n -2 个以上元素为 0，则行列式的值为 0．（ ） 3．333 33 3222 22 211111 1d c c b b a d c c b b a d c c b b a +++++++++33 3222111c b a c b a c b a =3 3 3 222 1 11d c b d c b d c b +．（ ） 4．元素 ij a 的代数余子式 ij A 与 ij a 所在有行、列有关，而与 ij a 的值无关．（ ） 5．