(完整版)线性代数测试试卷及答案

线性代数(A 卷)

一、选择题(每小题3分，共15分)

1 .设A 、B 是任意n 阶方阵，那么下列等式必成立的是() (A) AB BA (B) (AB)

2 A 2B 2 (C) (A B)2 A 2AB B 2 (D) A B B A

2 .如果n 元齐次线性方程组 AX 0有基础解系并且基础解系含有 s(s n)个解向量，那

1 0 0

2

10, A *是A 的伴随矩阵，则(A*)

4 .设向量 (1, 1,1)T 与向量 (2,5, t)T 正交，则t

5 .设A 为正交矩阵，则A

1 1

1 6 .设a,b,c 是互不相同的三个数，则行列式a

b c

2,2

2

a b c

7 .要使向量组 1 (1, ,1)T , 2 (1,2,3)T

, 3 (1,0,1)T 线性相关，则

8 .三阶可逆矩阵A 的特征值分别为1, 2, 3,那么A 1的特征值分别为

么矩阵A 的秩为(

(A) n (B) )

s (C)

n s (D)

以上答案都不正确 3 .如果三阶方阵A (a j )3 3的特征值为1,2,5 ,那么an

a 22

a 33 及A 分别等于()

(A) 10, 8

(B)

8, 10

(C)

10,

8

(D)

10,

4 .设实二次型f(x 1,x 2)

2 (X ,X 2)

4

X 1 X 2

的矩阵为A, 那么()

2 3

(A) A

3 1 ⑻

(C)

1 1

(D)

5.若方阵A 的行列式A

0, 则(

(A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 二、

填空题(每小题3分，共30分)

(B)A (D)A 的行向量组线性相关，列向量组线性无关 的列向量组线性相关，行向量组线性无关

1如果行列式

D 有两列的元对应成比例，那么该行列式等于

2.设A

3.设，是非齐次线性方程组AX b 的解若

也是它的解，那么

关组和秩. 四、(10分)设有齐次线性方程组

X 1 ( 1)X 2 X 3 0, (1)X 1 X 2 X 3 0, X 1 X 2 ( 1)X 3 0.

问当 取何值时，上述方程组（1）有唯一的零解；（2）有无穷多个解，并求出这些解. 五、（12分）求一个正交变换X PY ,把下列二次型化成标准形：

、

2

2

2

f （X 1,X 2, X 3） X 1 X 2 X 3 4X 1X 2 4X 1X 3 4X 2X 3.

六、（6分）已知平■面上三条不同直线的方程分别为

11 : ax 2by 3c 0, 12 : bx 2cy 3a 0, 13 : cx 2ay 3b 0.

试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为

a b c 0.

线性代数(A 卷)答案

1. D

2. C

3. B

4. A

5. A

■

-

4

*

1

1.0

2. (A ) A

3. 1

4. 3

5. 1

6. (c a)(c b)(b a)

7. 0

8. 1

,

9.

4

1

1 t 0 10. A I 5 4

2

、1.解由AX

(A I ) 1B . (2

分)

9 .若二次型 f(X i ,X 2,X 3)X 21 x 22 5x 23 2tX i X 2-2X 1X 3 4X 2X 3 是正定的，则 t 的取值范围

10 .设A 为n 阶方阵，且满足A 2 2A 4I 0,这里I 为n 阶单位矩阵，那么A 1

三、计算题（每小题9分，共27分）

1 .已知A 1 0

0 1 ,求矩阵X 使之满足AX 0 0

X B.

2 .求行列式

的值.

3求向量组 (1,0,1,0), 2 ( 2,1,3, 7), 3 (3, 1,0,3,), 4 （4, 3,1, 3,）的一个最大无

或-1

由于

1 2

3 4 1 2 3 4

1 2 3 4 0 1 1 3 r r 0 1 1 3 「3 5r 2 0 1 1 3 1 3 0

1 UUuLu 0 5 3 3 LuiuiUj

2 0 0 2 12 0 7

3 3 0 7

3

3

4

24

四、解 方程组的系数行列式

卜面求 (A I ) 由于

(4

分）

(A I)

所以 (A I

) (7

分）

2.解 10 10 10 10

10

(9 分)

10

(4 分）

(8

160 (9 分)

3.解 故向量组的秩是

UjuniUr

3

1 2 0

3 12 0

(6分)

3是它的一个最大无关组。

(9分)

-2

1)( 2)

分）