全国青年教师观摩大赛数学赛课一等奖作品教学设计精品模板(一)
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小船在水平 D 点以南方向 30 米的 A 处（其中 D1D ⊥水面） 求（1）6s 后火炬手与小船的距离？
（2）此时的视线与开始时的视线所成角的余弦值? （不考虑火炬手与小船本身的大小）.
解：建立如图空间直角坐标系，
则 A30,0,0,C1 0,30,30 M 0,18,30, N 24,0,0 ；
1、空间两点间的距离公式 已知：A(x1, y1, z1) ，B(x2 , y2 , z2 ),则
AB x2 x1, y2 y1, z2 z1
AB AB AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
dA,B (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2 2、夹角公式
P
M
N
即到到 M，N 两点距离相等的点的坐标点 (x, y, z) 满足的条件是
4x 3y 5z 54 0 (四)概括提炼，总结升华
求空间两点间的距离
求空间两条直线的夹角
建立空间直角坐标系
建立空间直角坐标系
写出和设出点的坐标
写出相应向量的坐标
求出相应向量的模长
求出相应向量夹角的余弦
(五)布置作业，探究延续 1．课本 P42 习题 9.6 ⒎ ⒏ ⒐ 2．请同学们各编写一道关于求夹角和距离的题目,并解答. 3．思考题：引例:何时小船与火炬手之间的距离最短?
数学的魅力，培养学生“做数学”的习惯和热情.
教学重点：夹角公式、距离公式．
教学难点：数学模型的建立．
关键： 将生活中的问题转化为数学问题，建立恰当的空间直角坐标系，正确
写出空间向量的坐标.
教具准备：多媒体投影，实物投影仪.
教学过程：
(一) 创设情境,新课导入
2008 年 5 月 16 日，南昌可以说是万人空巷,大家都把自己的爱国热情聚集在
余弦值，两者有什么区别？我们又如何转化为本题的结论？
(三)学生互动 巩固提高 变式训练:实际上,我们刚刚就是在一个正方体中讨论两点间的距离, 两条直线
所成的角,而在正方体中还有许多的点与线,
例 2：（1）若 G 为 MN 的中点，求 GB 两点间的距离.
（2）若 B1E1
D1F1
A1B1 4
，求
BE1 与 DF1 所成的角的余弦值．
设 a x1, y1, z1 ,b x2, y2, z2 ，
则 a OA,b OB
cos a, b a b
x1x2 y1 y2 z1z2
ab
x12 y12 z12 x22 y22 z22
z
A(x1, y1, z1)
a
a
O
b
y
B(x2 , y2 , z2 )
x
(二)例题示范，形成技能 例 1: 在离江面高 30 米的大桥上，火炬手由东向西以 2 m/s 的速度前进，小船以 1 m/s 的速度由南向北匀速行驶，现在火炬手在桥上 D1 点以东 30 米的 C1 点处，
例 3:求到 M，N 两点距离相等的点 P(x, y, z) 的坐标 x、y、z 满足的条件．
解: 点 P(x, y, z) 到 M，N 两点距离相等,
则 PM PN
x 02 y 182 z 302 x 242 y 02 z 02
化简,得 4x 3y 5z 54 0
D
0,
0,
0
,
F1
0,
15 2
,
30
.
BE1
0,
15 2
,
30
,
DF1
0, 15 2
,
30
.
4
cosBE1, DF1
BE1 DF1 BE1 DF1
15 2
15 2
பைடு நூலகம்
30
30
15
.
15 17 15 17
17
2
2
请在上面例题的基础上,各编一个关于求夹角和距离的题目.
拓展提高:我们知道平面上到两点距离相等的点的轨迹是一条直线,那么猜想空间 上到两点距离相等的点的轨迹是一个平面,我们能不能把它表示出来呢?
3
（1） MN 242 182 302
30 2m
（2） MN 24, 18, 30, AC1 30,30,30 .
cosMN , AC1
MN AC1 MN AC1
2430 1830 3030 2 6
.
30 2 302 302 30 2
5
此题所求的是空间两条直线所成角的余弦值，而不是两个空间向量夹角的
(1)解：设 G 点的坐标为 G(x, y, z) ，则
DG 1 DM DN 2
1 2
0,18, 30
24,
0,
0
12,9,15 .
G12,9,15, B30,30,0 ,
GB 182 212 152 3 110.
(2)解:如图，
B
30,
30,
0
,
E1
30,
45 2
,
30
全国青年教师观摩大赛数学赛课一等奖作品 教学设计精品模板（一）
目录
9．6 空间向量的夹角和距离公式
南昌大学附属中学 高
莹
三维目标： 知识与技能：
⒈使学生知道如何建立空间直角坐标系，掌握向量的长度
1
公式、
夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这
些公式
解决有关问题；
⒉使学生经历对从生活中如何抽象出数学模型的过程，从
圣火的传递上，让我们值得骄傲的是火炬传递中的一站就是我们的南昌大学，其
中途经我市雄伟而壮观的生米大桥,为记录传递过程，我校派了小记者在船上进
行全景拍摄,出现了这么一个问题.
引例:在离江面高 30 米的大桥上，火炬手由东向西以 2 m/s 的速度前进，小船以
1 m/s 的速度由南向北匀速行驶，现在火炬手在桥上 D1 点以东 30 米的 C1 点处，
小船在水平 D 点以南方向 30 米的 A 处（其中 D1D ⊥水面）
求（1）6s 后火炬手与小船的距离？
D1
（2）此时的视线与开始时的视线所成角的余弦值?
（不考虑火炬手与小船本身的大小）.
M
C1
2
D
N
A
今天我们从另一个角度来分析这个问题. 分析:建立数学模型 问题（1）转化为:如何求空间中两点间的距离? 问题（2）转化为：如何求空间中两条直线所成角的余弦值？
5
(六)板书设计：
§9.6 空间向量的夹角和距离公式
而提高分析问题、解决问题的能力.
过程与方法：
通过采用启发探究、讲练结合、分组讨论等教学方法使
学生在积极活跃的思维过程中，从“懂”到“会”到“悟”.
情感、态度和价值观：⒈通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生
的学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位；
⒉通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会
（2）此时的视线与开始时的视线所成角的余弦值? （不考虑火炬手与小船本身的大小）.
解：建立如图空间直角坐标系，
则 A30,0,0,C1 0,30,30 M 0,18,30, N 24,0,0 ；
1、空间两点间的距离公式 已知：A(x1, y1, z1) ，B(x2 , y2 , z2 ),则
AB x2 x1, y2 y1, z2 z1
AB AB AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
dA,B (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2 2、夹角公式
P
M
N
即到到 M，N 两点距离相等的点的坐标点 (x, y, z) 满足的条件是
4x 3y 5z 54 0 (四)概括提炼，总结升华
求空间两点间的距离
求空间两条直线的夹角
建立空间直角坐标系
建立空间直角坐标系
写出和设出点的坐标
写出相应向量的坐标
求出相应向量的模长
求出相应向量夹角的余弦
(五)布置作业，探究延续 1．课本 P42 习题 9.6 ⒎ ⒏ ⒐ 2．请同学们各编写一道关于求夹角和距离的题目,并解答. 3．思考题：引例:何时小船与火炬手之间的距离最短?
数学的魅力，培养学生“做数学”的习惯和热情.
教学重点：夹角公式、距离公式．
教学难点：数学模型的建立．
关键： 将生活中的问题转化为数学问题，建立恰当的空间直角坐标系，正确
写出空间向量的坐标.
教具准备：多媒体投影，实物投影仪.
教学过程：
(一) 创设情境,新课导入
2008 年 5 月 16 日，南昌可以说是万人空巷,大家都把自己的爱国热情聚集在
余弦值，两者有什么区别？我们又如何转化为本题的结论？
(三)学生互动 巩固提高 变式训练:实际上,我们刚刚就是在一个正方体中讨论两点间的距离, 两条直线
所成的角,而在正方体中还有许多的点与线,
例 2：（1）若 G 为 MN 的中点，求 GB 两点间的距离.
（2）若 B1E1
D1F1
A1B1 4
，求
BE1 与 DF1 所成的角的余弦值．
设 a x1, y1, z1 ,b x2, y2, z2 ，
则 a OA,b OB
cos a, b a b
x1x2 y1 y2 z1z2
ab
x12 y12 z12 x22 y22 z22
z
A(x1, y1, z1)
a
a
O
b
y
B(x2 , y2 , z2 )
x
(二)例题示范，形成技能 例 1: 在离江面高 30 米的大桥上，火炬手由东向西以 2 m/s 的速度前进，小船以 1 m/s 的速度由南向北匀速行驶，现在火炬手在桥上 D1 点以东 30 米的 C1 点处，
例 3:求到 M，N 两点距离相等的点 P(x, y, z) 的坐标 x、y、z 满足的条件．
解: 点 P(x, y, z) 到 M，N 两点距离相等,
则 PM PN
x 02 y 182 z 302 x 242 y 02 z 02
化简,得 4x 3y 5z 54 0
D
0,
0,
0
,
F1
0,
15 2
,
30
.
BE1
0,
15 2
,
30
,
DF1
0, 15 2
,
30
.
4
cosBE1, DF1
BE1 DF1 BE1 DF1
15 2
15 2
பைடு நூலகம்
30
30
15
.
15 17 15 17
17
2
2
请在上面例题的基础上,各编一个关于求夹角和距离的题目.
拓展提高:我们知道平面上到两点距离相等的点的轨迹是一条直线,那么猜想空间 上到两点距离相等的点的轨迹是一个平面,我们能不能把它表示出来呢?
3
（1） MN 242 182 302
30 2m
（2） MN 24, 18, 30, AC1 30,30,30 .
cosMN , AC1
MN AC1 MN AC1
2430 1830 3030 2 6
.
30 2 302 302 30 2
5
此题所求的是空间两条直线所成角的余弦值，而不是两个空间向量夹角的
(1)解：设 G 点的坐标为 G(x, y, z) ，则
DG 1 DM DN 2
1 2
0,18, 30
24,
0,
0
12,9,15 .
G12,9,15, B30,30,0 ,
GB 182 212 152 3 110.
(2)解:如图，
B
30,
30,
0
,
E1
30,
45 2
,
30
全国青年教师观摩大赛数学赛课一等奖作品 教学设计精品模板（一）
目录
9．6 空间向量的夹角和距离公式
南昌大学附属中学 高
莹
三维目标： 知识与技能：
⒈使学生知道如何建立空间直角坐标系，掌握向量的长度
1
公式、
夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这
些公式
解决有关问题；
⒉使学生经历对从生活中如何抽象出数学模型的过程，从
圣火的传递上，让我们值得骄傲的是火炬传递中的一站就是我们的南昌大学，其
中途经我市雄伟而壮观的生米大桥,为记录传递过程，我校派了小记者在船上进
行全景拍摄,出现了这么一个问题.
引例:在离江面高 30 米的大桥上，火炬手由东向西以 2 m/s 的速度前进，小船以
1 m/s 的速度由南向北匀速行驶，现在火炬手在桥上 D1 点以东 30 米的 C1 点处，
小船在水平 D 点以南方向 30 米的 A 处（其中 D1D ⊥水面）
求（1）6s 后火炬手与小船的距离？
D1
（2）此时的视线与开始时的视线所成角的余弦值?
（不考虑火炬手与小船本身的大小）.
M
C1
2
D
N
A
今天我们从另一个角度来分析这个问题. 分析:建立数学模型 问题（1）转化为:如何求空间中两点间的距离? 问题（2）转化为：如何求空间中两条直线所成角的余弦值？
5
(六)板书设计：
§9.6 空间向量的夹角和距离公式
而提高分析问题、解决问题的能力.
过程与方法：
通过采用启发探究、讲练结合、分组讨论等教学方法使
学生在积极活跃的思维过程中，从“懂”到“会”到“悟”.
情感、态度和价值观：⒈通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生
的学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位；
⒉通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会