必修411任意角和弧度制
《任意角和弧度制》教案
《任意角和弧度制》教案《任意角和弧度制》教案篇一：人教A版高中数学必修四1.1《任意角和弧度制》1.1《任意角和弧度制》教案【教学目标】1.理解任意角的概念.2.学会建立直角坐标系讨论任意角，判断象限角，掌握终边相同角的集合的书写.3.了解弧度制，能进行弧度与角度的换算.4.认识弧长公式，能进行简单应用.对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.5.了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题.【导入新课】复习初中学习过的：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系提出问题：1．初中所学角的概念.2．实际生活中出现一系列关于角的问题.3.初中的角是如何度量的？度量单位是什么？4.1°的角是如何定义的？弧长公式是什么？5.角的范围是什么？如何分类的？新授课阶段一、角的定义与范围的扩大1．角的定义：一条射线绕着它的端点O，从起始位置OA旋转到终止位置OB，形成一个角，点O是角的顶点，射线OA,OB分别是角的终边、始边.：在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以简记为．2．角的分类：正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角.说明：零角的始边和终边重合.3．象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与某轴的非负轴重合，则（1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.例如：30,390,330都是第一象限角；300,60是第四象限角.（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.例如：90,180,2等等.说明：角的始边“与某轴的非负半轴重合”不能说成是“与某轴的正半轴重合”.因为某轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线.4．终边相同的角的集合：由特殊角30看出：所有与30角终边相同的角，连同30角自身在内，都可以写成30k360kZ的形式；反之，所有形如30k360kZ的角都与30角的终边相同.从而得出一般规律：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360,kZ，即：任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.说明：终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同.例1在0与360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？（1）120；（2）640；（3）95012.解：（1）120240360，所以，与120角终边相同的角是240，它是第三象限角；（2）640280360，所以，与640角终边相同的角是280角，它是第四象限角；（3）95012129483360，所以，95012角终边相同的角是12948角，它是第二象限角.例2若k3601575,kZ，试判断角所在象限.解：∵k3601575(k5)360225,(k5)Z∴与225终边相同，所以，在第三象限.例3写出下列各边相同的角的集合S，并把S中适合不等式360720的元素写出来：（1）60；（2）21；（3）36314．解：（1）S|60k360,kZ，S中适合360720的元素是601360300,60036060,601360420.（2）S|21k360,kZ，S中适合360720的元素是21036021,211360339,212260699（3）S|36314k360,kZS中适合360720的元素是36314236035646,363141360314,36314036036314.例4写出第一象限角的集合M．分析：（1）在360内第一象限角可表示为090；（2）与0,90终边相同的角分别为0k360,90k360,(kZ)；（3）第一象限角的集合就是夹在这两个终边相同的角中间的角的集合，我们表示为：M|k36090k360,kZ．学生讨论，归纳出第二、三、四象限角的集合的表示法：P|90k360180k360,kZ；N|90k360180k360,kZ；Q|2k360360k360,kZ．说明：区间角的集合的表示不唯一.例5写出y某(某0)所夹区域内的角的集合.解：当终边落在y某(某0)上时，角的集合为|45k360,kZ；当终边落在y某(某0)上时，角的集合为|45k360,kZ；所以，按逆时针方向旋转有集合：S|45k36045k360,kZ．二、弧度制与弧长公式1.角度制与弧度制的换算：∵360=2（rad），∴180=rad.∴1=180rad0.01745rad.1801rad57.305718.oSl2．弧长公式：lr.由公式：lnrlr.比公式l简单.r1801lR，其中l是扇形弧长，R是圆的半径.2弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积3．扇形面积公式S注意几点：1．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略，如：3表示3rad，in表示rad角的正弦；2．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：3．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系.任意角的集合实数集R例6把下列各角从度化为弧度：(1)252；（2）1115；(3)30；(4)6730.解：(1)/71（2）0.0625(3)(4)0.37556变式练习：把下列各角从度化为弧度：(1)22o30′；（2）-210o；(3)1200o.解：(1)；（2）18720；(3).63例7把下列各角从弧度化为度：（1）；(2)3.5；(3)2；(4)35.4解：（1）108o；(2)200.5o；(3)114.6o；(4)45o.变式练习：把下列各角从弧度化为度：（1）43；（2）-；（3）.12310解：（1）15o；（2）-240o；（3）54o.例8知扇形的周长为8cm，圆心角为2rad，，求该扇形的面积.解：因为2R+2R=8,所以R=2,S=4.课堂小结1．弧度制的定义；2．弧度制与角度制的转换与区别；3．.弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用；篇二：(教案3)1.1任意角和弧度制1.1.1任意角教学目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
人教A版高中数学必修四任意角和弧度制任意角和弧度制知识梳理文字素材
《任意角和弧度制》知识梳理一、要点知识精析１．任意角是由角的终边按照一定方向旋转而定义的，由于旋转有逆时针和顺时针两个方向，因此旋转所得到的角也有正负之分．如果角的终边没有作任何旋转，则称该角为零角．注意：一般情况下，角的始边与x 轴的正半轴重合，定点在坐标原点．２．正确理解直角坐标系中的几种角象限角：是指始边与x 轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，而终边落在某个象限内的角（注意：终边落在坐标轴上的角不属于任何象限的角）；如：α是第一象限角，则2k πα<22k ππ<+（)k Z ∈．轴线角：终边落在坐标轴上的角．如α的终边在x 轴的正半轴，则2k απ=；α的终边在x 轴，则k απ=；α的终边在坐标轴上，则2k πα=；（以上)k Z ∈． 区间角：是指介于两个角之间的角的集合，如030150x <≤；区域角：是介于某两条终边之间的角集，如0030360k α+∙<0090360k <+∙k Z ∈，显然区域角是无数个区间角的集合，而且象限角可以用区域角来表示．终边相同的角：具有同一终边的角的集合，与角α终边相同的角可用集合表示为｛β∣0360,k k Z βα=+∙∈｝或｛β∣2,k k Z βαπ=+∈｝．在写与角α终边相同的角的集合时要注意单位统一，避免出现“0302()k k Z π+∈或0360,6k k Z π∙+∈” 之类的错误；３．等于半径长的圆弧所对的圆心角叫１弧度的角．这一定义与圆的半径大小无关．由弧度制的定义，衍生出两个公式：弧长公式（l r α=）和扇形面积公式（212S r α=），应用这两个公式时，角的单位都必须用弧度制，这两个公式都比用角度制下的弧长公式和扇形面积公式简单．无论是角度制或是弧度制，都能在角的集合与实数集Ｒ之间建立一种一、一对应关系．４．弧度制和角度制可以相互转化：00/1801()5718rad π=≈，010.01745180rad rad π=≈．用弧度制表示角时，“弧度”二字可以省略不写，但用角度表225图2 图3示时，“度”（或“0”）不能省略．在同一个式子中，两种单位不能混用．二、解题方法指津１．判断角终边所在象限的方法角所在的象限的确定，是三角函数求值问题的关键环节，为此，要利用题中的若干条件准确地对角所在的象限进行判断． （１）利用终边相同的角的表示法判断判断一个角的终边所在位置，可先将此角化为α+∙0360k 003600(<≤α，Z k ∈）或),20(2Z k k ∈<≤+πααπ的形式，找出与此角终边相同的角α，再由角α的象限来判断此角的位置． （２）确定角的范围判断 已知单角α的象限，求2α、3α、2α等角的范围问题，通常先把α角的范围用不等式表示出来，再利用不等式的性质得出所讨论的角的范围，对k 的取值进行讨论，确定出所在象限．（３）．由α所在象限，确定nα所在象限的方法 求nα所在象限，可先将各个象限n 等分，从第一象限离x 轴最近的区域开始逆时针方向依次重复标注数码１，２，３，４，直到将所有区域标完为止．如果α在第几象限，则nα就在图中标号为几的区域内．如图２所示，将各象限２等分，若α在第一象限，则2α就在图中标号为１的区域内，即一、三象限的前半区域．如图３，若α在第三象限，则3α就在图中标号为３的区域内，即一、三、四象限．依次类推．。
必修4-1.1-任意角和弧度制PPT课件
正半轴。
➢角的终边落在第几象限，就说这个角是第几 象限的角（包含第一、 二、三、 四象限角）
➢角的终边落在哪坐标轴上，就说这个角是 哪坐标轴上角（包含x,y正负半轴上的角）
.
7
2．象限角和坐标轴上角
终边
终边
y
x
o
始边
终边
终边 是第一象限角
是 第 二 象 限 角 是 第 三 象 限 角 是 第 四 象 限 角
１.{β| β=k∙1800 ，k∈Z} {β| β=kπ ，k∈Z}
２.{β| β=k∙900 ，k∈Z}
{β| β=k∙
2
，k∈Z}
3.{β| k ∙ <β<2kπ
3600 +
<β<k∙ 3600+900 ，k∈Z}
，k∈Z}
={β| β=900+（2K+1）1800 ，K∈Z} ={β| β=900+1800 的奇数倍}
.
11
所以 终边落在ｙ轴上的角的集合为
S=S1∪S2 ={β| β=900+1800 的偶数倍} ∪{β| β=900+1800 的奇数倍} ={β| β=900+1800 的整数倍} ={β| β=900+K∙1800 ，K∈Z}
现状生活中：体操、跳水、滑冰、 转体720度的高难度动作,直体后空 翻转体900度及以上的旋转 时钟的时针、分针转动和调准时间 时顺时针、逆时针拨转角度 主从动轮转动角 车的轮子的转动角 风车,风扇叶片等转动
.
4
思考：这些旋转形成的角该如何表示和区分?
引入新的角定义:
定义2:平面内一条射线绕着端点从一个位 置旋转到另一个位置所成的图形.射线OA、 OB分别是角的始边和终边，端点O为角的 顶点。
1.1 任意角和弧度制 课件(34张PPT) 高中数学必修4(人教版A版)
圆心角为30°时
圆心角为60° 时
结论：圆心角不变则比值不变
比值的大小只与角度大小有关， 我们可以利用这个比值来度量 角，这就是度量角的另外一种 单位制——弧度制。
弧度制的定义
定义：长度等于半径 长的圆弧所对的圆心 角叫做弧度的角，用 符号1 rad表示，读 作1弧度。这种以弧 度为单位来度量角的 制度叫做弧度制。
3、终边相同的角
一般地，所有与角α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合
S { | k 360 , k Z}
0
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与 整数个周角的和. 注意：1 、α是任意的角（可以是正的，可以 是负的，也可以是0o） 2、k取整数
例l、在0°～360°范围内，找出与下列各角终 边相同的角，并判定它们是第几象限角： ①480° ② -150° ③ 665° ④-950° 解：① 480°=120°+1×360° 与120°的角终边相同，是第二象限角 ② -150°=210°+(-1)×360° 与210°的角终边相同，是第三象限角 ③ 665°=305°+360° 与305°的角终边相同，是第四象限角 ④ -950° =130°+(-3)×360° 与130°的角终边相同，是第二象限角
B' R B O A r L A'
l
即时问答：下列四个图中的圆心角的弧度数 分别是多少？
问题：
（1）若弧是一个半圆，圆心角所对的 弧度数是多少？若是一个圆呢？
（2）正角的弧度数是什么数？负角呢？ 零角呢？角的正负由什么决定？
角度制与弧度制不同之处
1.定义方式不同：弧度制是以“弧度”为单 位的度量角的单位制，角度制是以“度”为 单位来度量角的单位制；1°≠1 弧度； 2. 进位制不同：弧度制是十进制，而角度 制是六十进制.
高中数学必修四任意角与弧度制知识点汇总
任意角与弧度制 知识梳理:一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α，记作：角α或α∠ 可以简记成α。
注意：（1）“旋转”形成角，突出“旋转”（2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x 轴正半轴 （3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
例1、若13590<<<αβ，求βα-和βα+的范围。
（0,45） （180,270）2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。
可以将角分为正角、零角和负角。
正角：按照逆时针方向转定的角。
零角：没有发生任何旋转的角。
负角：按照顺时针方向旋转的角。
例2、（1）时针走过2小时40分，则分针转过的角度是 -960（2）将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 3π ．3、 “象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴。
角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。
例1、30? ；390? ；?330?是第 象限角 300? ； ?60?是第 象限角585? ； 1180?是第 象限角 ?2000?是第 象限角。
例2、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B= ④ （填序号）.①{小于90°的角} ②{0°～90°的角}③ {第一象限的角}④以上都不对（2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（B ）A ．B=A∩CB ．B∪C=CC ．A ⊂CD ．A=B=C例3、写出各个象限角的集合：例4、若α是第二象限的角，试分别确定2α,2α 的终边所在位置.解 ∵α是第二象限的角，∴k ·360°+90°＜α＜k ·360°+180°（k ∈Z ）.（1）∵2k ·360°+180°＜2α＜2k ·360°+360°（k ∈Z ）， ∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上. （2）∵k ·180°+45°＜2α＜k ·180°+90°（k ∈Z ）， 当k=2n （n ∈Z ）时， n ·360°+45°＜2α＜n ·360°+90°； 当k=2n+1（n ∈Z ）时， n ·360°+225°＜2α＜n ·360°+270°. ∴2α是第一或第三象限的角. 拓展：已知α是第三象限角，问3α是哪个象限的角∵α是第三象限角，∴180°+k ·360°＜α＜270°+k ·360°（k ∈Z ）， 60°+k ·120°＜3α＜90°+k ·120°. ①当k=3m(m ∈Z )时，可得 60°+m ·360°＜3α＜90°+m ·360°（m ∈Z ）. 故3α的终边在第一象限. ②当k=3m+1 (m ∈Z )时，可得 180°+m ·360°＜3α＜210°+m ·360°（m ∈Z ). 故3α的终边在第三象限. ③当k=3m+2 （m ∈Z ）时，可得 300°+m ·360°＜3α＜330°+m ·360°（m ∈Z ）.故3α的终边在第四象限. 综上可知，3α是第一、第三或第四象限的角. 4、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角：（1）终边相同的角都可以表示成一个0?到360?的角与)(Z k k ∈个周角的和。
高二数学必修4知识点：任意角和弧度制
高二数学必修 4 知识点：随意角和弧度制在中国古代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。
小编准备了高二数学必修 4 知识点，希望你喜爱。
1.随意角(1)角的分类：①按旋转方向不一样分为正角、负角、零角.②按终边地点不一样分为象限角和轴线角.(2)终边同样的角：终边与角同样的角可写成+k360(kZ).(3)弧度制：① 1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角 .②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，||=， l 是以角作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径 .③用弧度做单位来胸怀角的制度叫做弧度制.比值与所取的r 的大小没关，仅与角的大小相关.④弧度与角度的换算：360 弧度 ;180 弧度 .⑤弧长公式： l=||r ，扇形面积公式：S 扇形 =lr=||r2.2.随意角的三角函数(1)随意角的三角函数定义：设是一个随意角，角的终边与单位圆交于点P(x， y) ，那么角的正弦、余弦、正切分别是：sin =y ，cos =x，tan =，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数 .(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦 .3.三角函数线察看内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与少儿生活靠近的，能理解的察看内容。
随机察看也是不行少的，是相当风趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边察看，一边发问，兴趣很浓。
我供给的察看对象，注意形象传神，色彩鲜亮，大小适中，指引少儿多角度多层面地进行察看，保证每个少儿看获得，看得清。
看得清才能说得正确。
在察看过程中指导。
我注意帮助少儿学习正确的察看方法，即按次序察看和抓住事物的不一样特点重点察看，察看与说话相联合，在察看中累积词汇，理解词汇，如一次我抓住机遇，指引少儿察看雷雨，雷雨前天空急巨变化，乌云密布，我问少儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像海洋的波涛。
数学必修4(1.1任意角与弧度制课件)
OA:角的始边
OB:角的终边 O:角的顶点
0
A
(二)角的大小:
正角： 按逆时针方向旋转所形成的角 . 负角： 按顺时针方向旋转所形成的角 .如α =-150º. 没有作任何旋转的角.记作 零角：
α=0º. 角的概念推广后，它包括任意大小的 正角、负角和零角
1.从中午12点到下午3点，
0 -90 时针走过的角度是＿＿
象 限. 思考：试 判断 下列 各角 所 在的
(4) 1
0 1
2
( 3.1 4
2
1.57)
( 5) (6)
4 8
1是第一象限的角 . 3 4 2 4是第三象限的角 .
分析 : 由于 3.14, 得 2 6.28 ,
4 12.56.而 8介于两数之间. 8 4 4.56 3 3 3 又 4.56 ( 3.14 4.71) 2 2 2 8是第三象限的角 .
2. 在 同 一 直 角 坐 标 系 内 作 出 30° 、 390°、 -330°、 750°,观察它们终边 的关系 390°= 30°+1· ＿＿＿ 360° (-1) · 360° -330°= 30°+＿＿＿ 750°= 30°+＿＿＿ 2· 360° 归纳: 与30°终边相同的角的集合 ｛β ︱β = 30°＋ k· 360°,k∈Z｝
，整个y轴指的是直线
例3
写出满足下列条件的角的集合（用弧度制）：
1、 终边与X轴正半轴重合；
2、 终边与X轴负半轴重合； 3、 终边与X轴重合；
| 2 ( ) | 2 ( )
| 2 2 2 7、第一象限内的角； | 2 2 8、第二象限内的角； 2 3 | 2 2 2 9、第三象限内的角； 3 | 2 2 2 10、第四象限内的角； 2
高一数学必修4任意角和弧度制实用知识
o
角度和弧度的关系 弧度制意义下与 α 终边相同的角 （连同 α ）的集合 终边与 x 轴重合的所有角的集合
1° =
π
180°
{ β β = 2 kπ + α , k ∈ Z } { β β = kπ , k ∈ Z }
{β β = α + k • 360°, k ∈ Z } {α α = 180° + k • 360°, k ∈ Z } {α α = k • 360° {α α = 270° + k • 360°, k ∈ Z } {α α = 90° + k • 360°, k ∈ Z } {α α = 180° + k • 90°, k ∈ Z } {α k • 360° < α < k • 360° + 90°, k ∈ Z } {α k • 360° + 90° < α < k • 360° + 180°, k ∈ Z } {α k • 360° + 180° < α < k • 360° + 270°, k ∈ Z } {α k • 360° + 270° < α < k • 360° + 360°, k ∈ Z } {α α = 45° + k •180°, k ∈ Z } {α α = 135° + k •180°, k ∈ Z }
任意角和弧度制
与 α 终边相同的角（连同 α ）的集合 终边在 x 轴的非正半轴上的角的集合 终边在 x 轴的非负半轴上的角的集合 终边在 x 轴上的角的集合 终边在 y 轴的非正半轴上的角的集合 终边在 y 轴的非负半轴上的角的集合 终边在 y 轴上的角的集合 终边落在第一象限角的集合 终边落在第二象限角的集合 终边落在第三象限角的集合 终边落在第四象限角的集合 终边落在 y = x 上角的集合 终边落在 y = − x 上角的集合
高一必修4第一章第一节任意角与弧度制(学生)
高一必修4第一章第一节任意角与弧度制（学生）1.1任意角与弧度制知识梳理:一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角，记作：角或 可以简记成。
2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。
可以将角分为正角、零角和负角。
正角：按照逆时针方向转定的角。
零角：没有发生任何旋转的角。
负角：按照顺时针方向旋转的角。
3、 “象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴。
角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。
例1、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B= （填序号）. ①{小于90°的角}②{0°～90°的角}③ {第一象限的角}④以上都不对（2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、 C 关系是（ ）A ．B=A∩CB ．B∪C=CC ．A ⊂CD ．A=B=C4、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角：（1）终边相同的角都可以表示成一个0︒到360︒的角与个周角的和。
（2）所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 注意：1、Z ∈k2、α是任意角3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。
终边相同的角有无数个，它们相差ααα∠αx )(Z k k ∈{}Z k k S ∈⋅+==,360| αββ360°的整数倍。
4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。
例1、（1）若角的终边与58π角的终边相同，则在[]π2,0上终边与4θ的角终边相同的角为 。
（2）若βα和是终边相同的角。
新课标高一数学必修4任意角和弧度制
新课标高一数学必修4任意角和弧度制第一课时 1.1.1 任意角教学要求：理解任意大小的角正角、负角和零角，掌握终边相同的角、象限角、区间角、终边在坐标轴上的角.教学重点：理解概念，掌握终边相同角的表示法.教学难点：理解角的任意大小.教学过程：一、复习准备：1.提问：初中所学的角是如何定义？角的范围？（角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；0°～360°）2.讨论：实际生活中是否有些角度超出初中所学的范围？→ 说明研究推广角概念的必要性（钟表；体操，如转体720°；自行车车轮；螺丝扳手）二、讲授新课：1.教学角的概念：① 定义正角、负角、零角：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，未作任何旋转所形成的角叫零角.② 讨论：推广后角的大小情况怎样？（包括任意大小的正角、负角和零角）③ 示意几个旋转例子，写出角的度数.④如何将角放入坐标系中？→定义第几象限的角.（概念：角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合. 那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. ）⑤ 练习：试在坐标系中表示300°、390°、－330°角，并判别在第几象限？⑥ 讨论：角的终边在坐标轴上，属于哪一个象限？结论：如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角.口答：锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题.⑦ 讨论：与60°终边相同的角有哪些？都可以用什么代数式表示？与α终边相同的角如何表示？⑧ 结论：与α角终边相同的角，都可用式子k×360°＋α表示，k∈z，写成集合呢？⑨ 讨论：给定顶点、终边、始边的角有多少个？注意：终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍2.教学例题：① 出示例1：在0°～360°间，找出下列终边相同角：－150°、1040°、－940°.（讨论计算方法：除以360求正余数→试练→订正）② 出示例2：写出与下列终边相同的角的集合，并写出－720°～360°间角.120°、－270°、1020°（讨论计算方法：直接写，分析k的取值→试练→订正）③ 讨论：上面如何求k的值？（解不等式法）④ 练习：写出终边在x轴上的角的集合，y轴上呢？坐标轴上呢？第一象限呢？⑤ 出示例3：写出终边直线在y=x上的角的集合s, 并把s中适合不等式的元素写出来. （师生共练→小结）3. 小结：角的推广；象限角的定义；终边相同角的表示；终边落在坐标轴时等；区间角表示.三、巩固练习：1. 写出终边在第一象限的角的集合？第二象限呢？第三象限呢？第四象限呢？直线y=-x呢？2. 作业：书p6 练习3 ③④、4、5题.第二课时：1.1.2 弧度制（一）教学要求：掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集r一一对应关系的概念.教学重点：掌握换算.教学难点：理解弧度意义.教学过程：一、复习准备：1. 写出终边在x轴上角的集合 .。
必修四 任意角和弧度制 课时练习 含答案
必修四§1.1任意角和弧度制第一课时：§1.1.1任意角1. 下列命题中正确的是( )A ．终边在y 轴非负半轴上的角是直角B ．第二象限角一定是钝角C ．第四象限角一定是负角 D.若β＝α＋ｋ·360°（ｋ∈Ｚ），则α与β终边相同2.将-885化为360k α+⋅ (0360α≤<k ,∈Z )的形式是 ( ) A.-165(2)360+-⨯ B.195(3)360+-⨯ C.195(2)360+-⨯ D.165(3)360+-⨯3．在［360°，1440°］中与－21°16′终边相同的角有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．终边落在X 轴上的角的集合是（ ）A.{ α|α=k ·360°,K ∈Z }B.{ α|α=(2k+1)·180°,K ∈Z }C.{ α|α=k ·180°,K ∈Z }D.{ α|α=k ·180°+90°,K ∈Z }5．角α＝45°＋ｋ·180°，ｋ∈Ｚ的终边落在 ( )A ．第一或第三象限B ．第一或第二象限C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限6.设,,,,那么( ) A ．B C A B ．B A C C ．D (A ∩C) D ．C ∩D=B7.下列各组角中终边相同的是( )A. +90与Z B.与ZC. +30与+30Z D.与+60Z 8.若角和的终边关于y 轴对称,则有 ( ) A. B.Z C.Z D.Zo {90A =小于的角｝{B =锐角｝{C ＝第一象限的角｝00{900}D =小于而不小于的角180k ⋅90k ⋅k ,∈(21)180k +⋅(41)180k ±⋅k ,∈180k ⋅360k ⋅k ,∈60k ⋅180k ⋅k ,∈αβ90αβ+=90αβ+=360k +⋅k ,∈360k αβ+=⋅k ,∈180αβ+=360k +⋅k ,∈9.若β是第四象限角,则180β-是第 象限角。
任意角和弧度制PPT课件
综上3 可知： 是第一或第二或第三象限的角 .
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解 (1)因为－150°＝－360°＋210°， 所以在 0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角 是 210°角，它是第三象限角．
(2)因为 650°＝360°＋290°，
所以在 0°～360°范围内，与 650°角终边相同的角
是 290°角，它是第四象限角．
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例 1 在 0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角， 并判定它们是第几象限角． (1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.
(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′， 所以在 0°～360°范围内，与－950°15′角 终边相同的角是 129°45′角，它是第二象限角．
小结 解答本题可先利用终边相同的角的关系：
β＝α＋k·360°，k∈Z， 把所给的角化归到 0°～360°范围内， 然后利用 0°～360°范围内的角分析该角是第几象限角．
k 360 k 360 90 ，k Z
又 k 180 k 180 45 ，k Z .
2
180°
当 k 2n(n Z ) 时 ，
y
90°
0°
O
360° x
n 360 n 360 45 ，n Z
故
2
是第一象限的角 .
270°
2
当 k 2n 1(n Z ) 时 ，
45 2180 315, 45 1180 225, 45 1180 135, 45 2180 405, 45 0180 45, 45 3180 585.
高中数学 必修四 1.1.1任意角和弧度制
又k∈Z，故所求的最大负角为β=-50°. (2)由360°≤10 030°+k·360°<720°， 得-9670°≤k·360°<-9310°，又k∈Z，解得k=-26. 故所求的角为β=670°.
【方法技巧】 1.在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法 (1)一般地，可以将所给的角α 化成k·360°+β 的形式(其中 0°≤β <360°，k∈Z)，其中的β 就是所求的角. (2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所 给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用 连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止.
4.将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为_______， 将35°角的终边按逆时针方向旋转两周后的角度数________. 【解析】将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角为35°60°=-25°，将35°角的终边按逆时针方向旋转两周后的角为 35°+2×360°=755°. 答案：-25° 755°
【解析】(1)错误.终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z)，不一定 是零角. (2)错误.如-10°与350°终边相同，但是不相等. (3)错误.如-330°角是第一象限角，但它是负角. (4)错误.终边在x轴上的角不属于任何象限. 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2.下列各组角中，终边不相同的是( )
2.判断角的概念问题的关键与技巧 (1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念. (2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举 出反例即可.
【变式训练】射线OA绕端点O顺时针旋转80°到OB位置，接着逆时针 旋转250°到OC位置，然后再顺时针旋转270°到OD位置，则 ∠AOD=________.
必修四1.1任意角和弧度制
k 360o k 360o 90o , k z
（4）小于90o的角 90o
综合运用问题：
3、若角 、b 满足下列条件，
求它们的关系式？ （1）终边关于 x轴对称 （2）终边关于 y轴对称 （3）终边互为反向延长线
一、角度制
形式，并指出是第几象限的角
(1) 23π
6
(2) -1500°
若 α 是第二象限角，则 π-α
是第__象限角
注意：学完弧度制后，写出与角 終 边相同的角（连同 在内）时，要根
据角 的单位来决定后一项的单位。
也就是说，两项所采用的单位必须一 致，不能出现 k 360o 或60o 2k 的写法，不能“3一国两制”，即用一 种制度就只能一种制度写到底。但建 议用弧度制。因为弧度制的单位与实 数单位是一致的，所以能给研究问题 带来方便。
规定：长度等于
B
半径长的弧所对 的圆心角叫做 1
r
1 rad
Or A
弧度的角
C
2r
2 rad
记作 1 rad（弧度： O r A
radian）
α = l = 2r = 2 rr
• 当圆心角为周角时，它所对的弧 （即圆周）长 l=2πr，那么周角的弧 度数是
l = 2πr = 2π rr
• 当圆心角为一个负角时，且它 所对的弧长为 l=3πr，那么这 个圆心角的弧度数的绝对值是 3π，即这个角的弧度数是 -3π
(3) 3π = ____ 度 (4) 2 rad = ____ 度
10
一些特殊角的弧度数：
度
弧 度
0° 30° 45
π °π
0
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人教A版必修第一册高中数学5.1任意角和弧度制精品课件
不等的，故 C 错误；对于 D，用弧度表示的角也可以不是正角，故 D 错误．
例题解析
例2.把下列角度化成弧度或弧度化成角度.
2
(1)72°；(2)-300°；(3)2；(4)− .
9
解：(1)72° = 72 ×
当2 = 4时， = 2，此时， =
1
2
.
1
综上所述，扇形圆心角的弧度数为
2
.
课堂小结
1．任意角的概念；
2．角的分类;
3．终边相同的角；
4. 弧度制；
5. 扇形面积公式。
感谢您的观看
定义
一条射线绕其端点按 逆时针 方向旋转形成
的角
一条射线绕其端点按 顺时针 方向旋转形成
的角
一条射线 没有 做任何旋转形成的角
图示
知识梳理
二．象限角
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与 原点重合，角的始边与
x 轴的非负半轴重合，那么角的 终边 在第几象限，就说这个角是第几
象限角 如果角的终边在 坐标轴上 ，就认为这个角不属于任何一个象限.
A．α＋β＝90°
B．α＋β＝k·360°＋90°(k∈Z)
C．α＋β＝k·360°(k∈Z)
D．α＋β＝(2k＋1)·180°(k∈Z)
因为角α与角β的终边关于 y 轴对称，
所以α－(90°＋360°×k1)＝90°＋360°×k2－β，k1，k2∈Z，
α＋β＝90°＋360°×k2＋90°＋360°×k1＝360°×(k1＋k2)＋180°，k1，k2∈Z，
选项错误；终边与始边都相同的两个角可以相等也可以不相等，例如 720°，360°终边与始边都相同但不相
必修四数学 第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数
课题：任意角和弧度制及任意角的三角函数个性化教学辅导教案第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角和零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }． 2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式角α的弧度数公式 |α|＝lr (弧长用l 表示)角度与弧度的换算①1°＝π180rad ；②1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°弧长公式 弧长l ＝|α|r 扇形面积公式S ＝12lr ＝12|α|r 23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么y 叫作α的正弦函数， 记作sin α＝yx 叫作α的余弦函数，记作cos α＝xyx叫作α的正切函数， 记作tan α＝yx各象限符号Ⅰ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ－＋－三角函 数线有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线有向线段AT 为正切线1．三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx.2．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况． 3．(1)三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．1．(必修4 P 5练习T 4改编)已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，则－2 017°6′8″的终边落在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．(必修4 P 15练习T 6改编)若θ满足sin θ<0，cos θ>0，则θ的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．(必修4 P 15练习T 2改编)已知θ的终边过点P (12，－5)，则cos θ的值为( ) A.1213 B ．－513C ．－125D ．－5124．(必修4 P 15练习T 3改编)下列结果及其表示正确的有____________(填上所有正确的序号)． ①sin 90°＋cos 90°＝1；②cos π＋tan π＝1；③sin 270°＋tan 2π＝1；④cos 0°＋tan 0°＝1.5．(必修4 P 10A 组T 10改编)扇形弧长为20 cm ，中心角为100°，则该扇形的面积为________cm 2.象限角与终边相同的角(1)[判断三角函数值的符号]若α是第二象限的角，则下列结论一定成立的是( ) A ．sin α2>0B ．cos α2>0C ．tan α2>0D ．sin α2cos α2<0(2)[与α终边相同的角]与2 017°的终边相同，且在[0°，360°)内的角是________．(1)表示区间角的三个步骤：①先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；②按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间； ③起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．(2)确定kα，αk (k ∈N *)的终边位置时，先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出kα或αk 的范围，然后根据k的可能取值讨论确定kα或αk的终边所在位置．1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A.π3B ．π6C ．－π3D ．－π62．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－33．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( ) A ．M ＝N B ．M ⊆N C ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅三角函数的定义已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( ) A ．－45B ．－35C ．35D ．45用定义法求三角函数值的两种情况：①已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解；②已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义求解．1．设角α终边上一点P (－4a ，3a )(a <0)，则sin α的值为( ) A.35B ．－35C ．45D ．－452.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α的值为( )A.45 B ．－45C.35 D ．－35扇形的弧长与面积已知扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l ，面积为S . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略：①明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)；②求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量； ③周长L 为定值，当圆心角α＝2弧度时，扇形面积S 取得最大值S max ＝L 216.1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为( ) A ．40π cm 2 B ．80π cm 2 C ．40 cm 2D ．80 cm 22．已知扇形的周长为10，面积为4，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A.14B ．12C ．1D ．23．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，则弦AB 的长为( ) A ．2sin 1 B ．2cos 1 C ．sin 1D ．cos 1一、选择题1．(必修4 P 21A 组T 4(1)改编)a sin 0°＋b cos 90°＋c tan 180°等于( ) A ．a ＋b －c B ．a －b ＋c C ．a ＋bD ．02．(必修4 P 20A 组T 2改编)角α的终边过点P (3a ，4)，若cos α＝－35，则a 的值为( )A ．1B ．－1C ．±1D ．±53．(必修4 P 15练习T 4改编)α是△ABC 的一内角，下列结论正确的是( ) A ．sin α2的最大值为1B ．sin αcos α<0时，△ABC 为钝角三角形 C ．sin α<cos α时，45°<α<90°D ．∀α，tan α2<0二、填空题4．(必修4 P 10B 组T 1改编)一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为________．5．(必修4 P 9练习T 5改编)一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为________． 三、解答题6．(必修4 P 10A 组T 6改编)已知x ∈R ，求使sin x >cos x 成立的x 的取值范围．一、选择题1．已知角α的终边经过点(4，－3)，则cos α＝( ) A.45B ．35C ．－35D ．－452．若cos θ＝35，sin θ＝－45，则角θ的终边所在直线的方程为( )A ．3x ＋4y ＝0B ．4x ＋3y ＝0C ．3x －4y ＝0D ．4x －3y ＝03．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限4．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2，3] B ．(－2，3) C ．[－2，3)D ．[－2，3]5．已知角α的终边上一点坐标为⎝⎛⎭⎫sin 5π6，cos 5π6，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B ．5π3C.11π6D ．2π36．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1或4 B ．1 C ．4D ．87．若角α和β的终边关于y 轴对称，则必有( ) A ．α＋β＝π2B ．α＋β＝⎝⎛⎭⎫2k ＋12π(k ∈Z ) C ．α＋β＝2k π(k ∈Z ) D ．α＋β＝(2k ＋1)π，(k ∈Z )8．已知角α的终边上有一点P (t ，t 2＋1)(t >0)，则tan α的最小值为( ) A ．1 B ． 2 C.3D ．2＝－255，则y ＝________.。
任意角和弧度制
1.1任意角和弧度制1.1.1任意角考点一：任意角的概念1.角可以看成平面内一条绕着从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
如图：其中射线OA称为角α的始边，OB称为角α的终边。
2.角按照旋转的方向分类：①正角：按逆时针方向旋转形成的角②负角：按顺时针方向旋转形成的角③零角：一条射线没有作任何旋转的角特别提醒：（1）理解角的概念时主要抓住“旋转”二字。
①明确旋转的方向。
②明确角旋转的大小。
③明确射线未作任何旋转时所处的位置。
（2）角的范围不再局限于0°～360°.（3）当角的始边相同时，若角相等，则终边一定相同；但是，当终边相同时，角不一定相等。
（4）在不引起混淆的情况下，“角a”或“∠a”可以记为：a例1：下列说法中正确的是（）A.终边与始边重合的角是零角B.终边和始边都相同的两个角一定相等C. 90°～180°间的角不一定是钝角D.小于90°的角是锐角变式1：①下列说法中正确的是（）A.小于180°的角是钝角、锐角、直角B.零角终边和始边相同C. 90°～180°间的角一定是钝角D.小于90°的角是锐角、零角②下列说法中正确的是（）A.终边相同的角必相等B.相等的角终边位置必相同C.不相等的角终边位置必不相同D.最小的角是零角例2：如图，射线OA先绕端点O逆时针旋转60°至OB处，再顺时针旋转820°至OC处，则β=_____.解：变式2：①在直角坐标系中作出下列各角（1）780o （2）-120o（3）-660o（4）1200o②写出下列图中的角α、β、和γ。
例3：已知180°<α+β<240°，-180°<α-β<-60°，求2α－β的取值范围。
变式3：若90°<β<α<135°，则α－β的范围是__________，α+β的范围是_________。
高中数学第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.2弧度制课件新人教A版必修4
变化后圆的半径为 3R，圆心角为 θ′，则 θ′＝3lR＝13θ.所
以该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的13. 答案：13
类型 1 弧度制的概念(自主研析)
[典例 1] 下列各种说法中，错误的是( ) A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．1°的角是周角的3160，1 rad 的角是周角的21π C．根据弧度的定义，180°的角一定等于π rad 的角
rad＝α·18π0°，n°＝n·1π80.
[变式训练] 把下列各角从角度化成弧度或从弧度
化成角度.(不必求近似值)
(1)10°； (2)－10°30′； (3)－210°；(4)400°；
(5)1.5 rad；
(6)－π5 rad；
11π (7) 36 rad.
π
π
解：(1)10°＝10×180 rad＝18 rad.
[迁移探究 2] (变换条件、改变问题)已知一扇形的 周长为 4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最 大？最大值是多少？
解：设扇形圆心角的弧度数为 θ(0<θ<2π)，弧长为 l，
半径为 r，面积为 S， 则 l＋2r＝4，所以 l＝4－2r1＋2π<r<2，
所以 S＝12l·r＝12×(4－2r)×r＝ －r2＋2r＝－(r－1)2＋1， 所以当 r＝1 时，S 最大，且 Smax＝1，
[变式训练] (1)在半径不相等的两个圆内，1 弧度的
圆心角( )
A.所对弧长相等
B.所对的弦长相等
C.所对弦长等于各自半径 D.所对弧长等于各自半径
(2)圆弧长度等于圆内接正三角形边长，则其所对圆
人教A版数学必修四第一章第一节任意角和弧度制中的第二课时1.1.2弧度制
问题 2 如果一个半径为 r 的圆的圆心角 α 所对的弧长是1.l1，.2
那么 α 的弧度数与 l、r 之间有着怎样的关系？请你完成下
表，找出某种规律.
OB 旋转的 弧 AB 的长 方向
0
无—旋—转
π2r
顺时针方向
∠AOB 的 弧度数
0 －π2
∠AOB 的度数 0° －90°
πr
逆时针方向
π
180°
180°＝π rad
1°＝ rad≈0.01 745rad
180
1
rad＝
180
°
≈57.30°
1.1.2
【典型例题】 例 1 (1)把 112°30′化成弧度；(2)把－71π2化成角度．
解：(1)112°30′＝112.5°＝2225°＝2225×1π80＝58π. (2)－71π2＝－172π×18π0°＝－105°.
1.1.2
问题 3 角度制与弧度制换算时，灵活运用下表中的对应关 系，请补充完整.
角度化弧度 360°＝ 2π rad
180°＝ π rad 1°＝1π80 rad
弧度化角度 2π rad＝ 360° π rad＝ 180° 1 rad＝1π80°
1.1.2
画龙点睛
角度制与弧度制之间的互化，我们只需记住一个公式即可：
度量单位
类别
n 为角度制
α 为弧度制
扇形的弧长 扇形的面积
l nR
180
S nR2
360
l＝ αR S＝__12_α_R_2_＝__12_l_R_
1.1.2
典型例题 2 一个扇形的面积为 1，周长为 4，求圆心角的弧 度数． 解 设扇形的半径为 R，弧长为 l，则 2R＋l＝4，
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不相同（调整时间）
思考： 为了区分形成角的两种不同的旋转方向， 可以作怎样的规定？ 如果一条射线没有作任何旋转，它还形成一个角吗？
新课讲解 1.任意角定义：
? 规定： ? 1.按逆时针方向旋转形成的角叫做正角， ? 2.按顺时针方向旋转形成的角叫做负角． ? 3.如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成
? (4)第四象限． S ? ?a 2700 ? 2n? ? a ? 3600 ? 2n? , n ? z?
4.弧度的概念
思考：在平面几何中， 1°的角是怎样定
义的？将圆周分成 360
等份，每一段圆弧
所对的圆心角就是
1°的角.
思考：在半径为r
的圆中，圆心角
n°所对的圆弧长 如何计算？
l ? 2?r ?n
了一个零角.
度量一个角的大小，既要考虑旋转方向， 又要考虑旋转量，通过上述规定，角的范 围就扩展到任意大小.
终边与始边重合的角是零角吗？
30度
终边
750度
终边
顶点 390度
始边 顶点
终边
终边 -330度
始边
顶点
始边 顶点
始边
画图表示一个大小一定的角 : (1)先画一条射线作为角的始边， (2)再由角的正负确定角的旋转方向， (3)再由角的绝对值大小确定角的旋转量，
360
定义:把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角 叫做1弧度的角，记作1rad ，读作1弧度.
r
A
B
1rad r
O
? 约定：
L
? 正角的弧度数为正数，
? 负角的弧度数为负数，
α
? 零角的弧度数为0.
? 如果半径为r的圆的圆心 角α所对的弧长为l，那 么，角α的弧度数的绝 对值如何计算？
? ? l 一周的弧长 2?r,一周的弧度 2?r ? 2?
y
495°
135°
x o
思考：－32°，328°，－392°是第几象限的 角？这些角有什么内在联系？
y
3280 ? ? 320 ? 3600
328° o
－392° x
? 3920 ? ? 320 ? 3600
－32°
与－32°角终边相同的角有多少个？ 这些角与－32°角在数量上相差多少？
? 320 ? k ? 3600 , k ? Z
例2 在0°～360°内找出与下列各角终边相同 的角 (1)9000 (2)-500 (3)4250 (4)-6700
解：(1) 9000=2×3600+1800
所以 9000的角与 1800角终边相同 (2) -500=-3600+3100
所以 -500的角与 3100角终边相同 (3) 4250=3600+650
y
y
y
y
x
x
x
x
o
o
o
o
思考 ：锐角是第几象限的角？
第一象限的角是否都是锐角？
第一象限的角
不是
思考 ：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？
不一定
象限角只能反映角的终边所在象限 (位 置)，不能反映角的大小 .
? 3.终边相同的角 ? 思考：在直角坐标系中，135°角的终边在什
么位置？终边在该位置的角一定是135°吗？
如果角的终边落在了坐标轴上，就认为这个 角不属于任何象限。
轴线角:终边落在坐标轴上的角.
那么下列各角： -50°，405°，210°,-200 ° 分别是第几象限的角？
y
y
y
210°
x
x
x
o
－50°
o 405°
o
y
x o －200°
? 那么下列各角：
? -90°，90°，-450°,-180°终边落在坐标轴 上
1.1任意角和弧度制
必修4
新课引入
回忆：
在初中角是如何定义的？
角的取值范围如何？
定义：从一个点出发，引出的 两条射线构成的几何图形 叫 做角.
角是平面几何中的 一个基本图 形，角是可以度量其大小的 . 在平面几何中，角的取值范 围
00 ~ 3600
边 顶点
边
? 如果你的手表慢了30分钟，你应该如何校准？
终边相同的角的集合
一般地, 所有与角? 终边相同的角,连同角? 在内,
可构成一个集合
? ? S ? ? | ? ? ? ? k ?3600, k ? Z
即任一与角? 终边相同的角,都可以表示成角?
与整数个周角的和.
例1 判别下列各角是第几象限的角。
(1)4050 (2)4880 (3)8400 (4)-1200
? (1)第一象限；S ? ?a 00 ? 2n? ? a ? 900 ? 2n? , n ? z?
? (2)第二象限； S ? ?a 900 ? 2n? ? a ? 1800 ? 2n? , n ? z? ? (3)第三象限； S ? ?a 1800 ? 2n? ? a ? 2700 ? 2n? , n ? z?
r
r
1弧度圆心角的大小与所在圆的半径的大小无关。
解：(1) 4050=3600+450 而450是第一象限角，所以 4050是第一象限角
(2) 4880=3600+1280 而1280是第二象限角，所以 4880是第一象限角
(3) 8400=2×3600+1200 而1200是第二象限角，所以 8400是第二象限角
(4) -120 0=-3600+2400 而2400是第三象限角，所以 -1200是第三象限角
(4)画出角的终边，并用带箭头的螺旋线加以标注 .
如果你的手表慢了20分钟，或快了1.25小时， 你应该将分钟分别旋转多少度才能将时间校准？
－120°，450°.
2.象限角的定义
y
? ?Ⅱ
1)将角的顶点与原点重合 ? ? Ⅲ
2)始边重合于X轴的非负半轴
? ?I
o
x
? ?Ⅳ
终边落在第几象限就是第几象限角.
把手表分针顺时针旋转 180读
? 如果你的手表快了30分钟，你应该如何校准？
把手表分针逆时针旋转 180读
从运动状态升级角的定义
B 终边
始边
o
A
顶点
角的定义：由平面内一条射线绕其端点从一 个位置旋转到另一个位置所组成的图形.
一般地，一条射线绕其端点旋转，既可 以按逆时针方向旋转，也可以按顺时针方向旋 转.
所以 4250的角与 650角终边相同 (4) -6700=-2×360பைடு நூலகம்+500
所以 -670 0的角与 500角终边相同
练习：1. 在0o到360o范围内，找出与下列各角 终边相同的角，并判断它是哪个象限的角 .
(1) －120o；(2) 640o；(3) －950o.
? 例3 写出下列象限的角的集合．