极值和极值点的概念

<2> (极值的第一充分条件) 设函数 y = f (x) 在 x0 的一个邻域内可微(在 x0 处可以不可微，但必须连续)， 若当 x 在该邻域内 由小于 x0 连续地变为大于 x0 时， 其导数 f (x) 改变 符号， 则 f (x0) 为函数的极值. 并且 则 x0 为极大 (1)若导数 f (x) 由正值变成负值， 值点，f (x0) 为 f (x) 的极大值； (2)若导数 f (x) 由负值变成正值， 则 x0 为极小 值点， f (x0) 为 f (x) 的极小值. x0 为函数的极值点，
为极大值.
运用定理 2.6 求函数极值的一般步骤是：
(1)确定定义域，并找出所给函数的驻点和导 数不存在的点； (2) 考察上述点两侧一阶导数的符号 ( 或考察上 述点的二阶导数的符号)，确定极值点；
(3)求出极值点处的函数值，得到极值.
补充例题1. 求f (x)=x33x29x+5的极值. 解: f '(x)=3x2 6x 9 =3(x+1)(x3)
x
f (x) f (x) (-, 1) + 1 0 极大值0
7 1, 5
7 5
2
3
7 , 2 5
2 0 无极值
(2, + ) +
-
0
极小值 108 3125
+
补充例题 5
解 因为
求函数 f (x) = x4 – 10x2 + 5 的极值.
(1)定义域为 (- , + ). f (x) = 4x3 – 20x = 4x(x2 - 5)，
<3>
( 极值的第二充分条件 )
设函数 y = f (x) 在 x0 处的二阶导数存在， 若
f (x0) = 0，且 f (x0) 0， 则 x0 是函数的极值点，
f (x0) 为函数的极值， 并且
(1)当 f (x0) > 0 时，则 x0 为极小值点，f (x0)
为极小值；
(2)当 f (x0) < 0 时，则 x0 为极大值点，f (x0)
x0 称为 f (x) 的极小值点；
函数的极大值、极小值统称为函数的极值， 极大 值点、极小值点统称为极值点.
显然，在图中， x1，x4 为 f (x) 的极 大值点， x2，x5 为 f (x) 的极小值点.
y y = f (x)
x1 O
x2
x3
x4
x5 x
再看下面函数曲线： y
y= f ( x )

5 由周期性知 x 2k 和 x 2k 4 4

(k Z )
分别为 f (x) 的极大值点和极小值点.
补充例 题4
求函数 f (x) = (x - 1)2 (x - 2)3 的极值.
解
(1)定义域为 (- ,+ ).
f (x) = (x - 1) (x - 2)2 (5x - 7).
令 f '(x)=cosxsinx = 0 得驻点
又
5 x1 , x2 4 4

f ''( x) sin x cos x
5 f "( ) 0, f "( ) 0. 4 4
有

由定理2.6知 f ( ) 2 为极大值
4 5 f ( ) 2 为极小值 4
x
0
极大值和极小值是函数在一点附近的性质，因而 是局部的性质，这样，在一个函数中极大值就不一定 大于极小值． 如P41书上图2-5
y
ax
1
x2
o
x3
x4
x5
x6
b
来自百度文库
x
定理 2.6 <1> (极值的必要条件) 设函数 y = f (x) 在 x0 处可导， 且 f (x0) 为极 值(即 x0 为值点)，则 f (x0) = 0. 即函数的极值点必为驻点或不可导点
2
解:
2 1 2 3 f '( x) x 3 3 3 x
( x 0)
x < 0时, f '(x)<0, x > 0时, f '(x) > 0
y
y 3 x2
故得
极小值f (0)=0
0
x
补充例题3. 求 f ( x) sin x cos x 的极值. 解: f (x) 以2 为周期，故考虑区间[0, 2 )
时， f (x) > 0. 因此，由定理 3 可知， x = 1 为极大
值点， x 7 为极小值点,
5
x = 2 不是极值点(因为在
x = 2 的两侧 f (x) 同为正号).
(3)计算极值
极大值 f (1) = (1 1)2 (1 2)3 = 0，
108 7 7 7 极小值 f 1 2 . 3125 5 5 5 有时，可以将整个解题过程以表格形式表示：
所以，由 f (x) = 0 可得该函数的三个驻点
2.6 函数的极值和最大（小）值及其求法
2.6.1 极值和极值点的概念 定义2.6 设函数 y = f(x) 在 x0 的一个邻域内有定义， 若对于该邻域内异于 x0 的 x 恒有
(1) f (x0) > f (x)， 则称 f (x0) 为函数 f (x) 的极大值，
x0 称为 f (x) 的极大值点； (2) f (x0) < f (x)， 则称 f (x0) 为函数 f (x) 的极小值，
7 x 1, x , x 2, 所以由 f (x) = 0 可得 f (x) 的三个驻点： 5
该函数在定义区间内无不可导的点， 上述驻点将定义
7 区间分为四个子区间 ( , 1), 1, , 5 7 , 2 , ( 2, ). 5
7 (2) 当 x (-, 1)时， f (x) > 0；当 x 1, 时, 5 7 当 x (2, + ) f ( x ) 0; 当 x , 2 时 , f (x) > 0 ； 5
令f '(x)=0 解得驻点 x1= 1, x2=3
x = 1:
x<1时 f '(x)>0. x>1时 f '(x)<0
极大值f (1)=10.
x=3: x<3时 f '(x)<0. x>3时 f '(x)>0 极小值 f (3)= 22.
补充例题2. 求 f (x)= 3
x 的极值