第20讲：图形的分割与剪拼
小学四年级逻辑思维学习—图形的分割与拼接
小学四年级逻辑思维学习—图形的分割与拼接知识定位本讲中的知识点比较抽象，在这一讲中我们主要学习几种图形处理方法：1、理解掌握图形的分割；2、理解掌握图形的拼合；3、理解图形的剪拼；4、利用剪拼图形计算、解决问题.【授课批注】本讲中很多类型的题目还要求学生去动手尝试．通过本讲知识点的学习，让学生了解不同图形的分割、拼合、剪拼的方法，锻炼学生的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力知识梳理图形的分割与拼接的概念把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割．反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合．将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼．我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考．如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多．图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形．如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的．如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法．【授课批注】该知识点可从七巧板引入，举几个由七巧板组成的图形的剪拼的例子。
【重点难点解析】1．根据题目需要找合适的方法进行剪拼2．如何根据相等的量来剪拼图形【竞赛考点挖掘】1．方格纸的分割与拼接2．简单平面基本图形（长方形、三角形等）的分割与拼接例题精讲【题目】右图是一个3×4的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．【题目】右图是一个4×4的方格纸，请用六种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．【题目】请把右面这个长方形沿方格线剪成形状、大小都相同的4块，使每一块内都含有“奥数读本”这四个字中的一个，该怎么剪?【题目】学习与思考对小学生的发展是很重要的，学习改变命运，思考成就未来，请你将右图分成形状和大小都相同的四个图形，并且使其中每个图形都含有“学习思考”这四个字．应怎样分?【题目】图中是由三个正三角形组成的梯形．你能把它分割成4个形状相同、面积相等的梯形吗?【题目】如何把图a中的三个图形分割成两个相同的部分(除了沿正方形的边进行分割外，还可沿正方形的对角形进行分割)．【题目】下图是由18个小正方形组成的图形，请你把它分成6个完全相同的图形．习题演练【题目】把右图剪成形状、大小相等的8个小图形，怎么剪?作出分出的小图形．【题目】用同样大小的四块等腰直角三角板，能否拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、一个梯形、一个平行四边形五种图形?若能，画出示意图．【题目】下面哪些图形自身用4次就能拼成一个正方形？【题目】将方格纸剪成面积是4的图形，形状只有七种，如下图所示．其中有哪几种可以拼成面积是16的正方形?【题目】试用图a中的8个相等的直角三角形，拼成图b中的空心正八边形和图c中的空心正八角星．【题目】将右图分成4个形状、大小都相同的图形，然后拼成一个正方形．【题目】试将一个正方形分成相同的四块，然后用这四块分别拼成三角形、平行四边形和梯形．【题目】试将任意一个三角形分成三块，然后拼成一个长方形．【题目】试将任意一个矩形分成三块，然后拼成一个三角形【题目】将右图分成两块，然后拼成一个正方形．【题目】如图所示，四个等腰直角三角形和一个正方形，已知正方形的面积是4平方厘米，长方形ABCD的面积是多少平方厘米？【题目】如何把一个长20厘米、宽12厘米的长方形切成两块，拼成一个长16厘米、宽15厘米的新长方形．【题目】正六边形ABCDEF的面积是1平方米，将六条边分别向两端各延长一倍，交于六个点，组成如下图的图形，求这个图形的面积.【题目】一个正三角形形状的土地上有四棵大树(如右图所示)，现要把这块正三角形的土地分成和它形状相同的四小块，并且要求每块地中都要有一棵大树．应怎样分?【题目】右图是一个直角梯形，请你画一条线段，把它分成两个形状相同并且面积相等的四边形．【题目】用两块大小一样的等腰直角三角形能拼成几种常见的图形？【题目】用下面左边的3个图形，拼成右边的大正方形．【题目】小龙的妈妈在街上卖边角布料的地摊上，买回了一块形状是等腰直角三角形的绸布，想用它来做长方形的窗帘，为了不把布剪的太碎，裁剪的块数就要尽可能的少，请问小龙的妈妈应该怎样剪拼呢？柏拉图古希腊哲学家，也是全部西方哲学乃至整个西方文化最伟大的哲学家和思想家之一，他和老师苏格拉底，学生亚里士多德并称为古希腊三大哲学家。
【思维拓展】数学四年级思维拓展之图形的分割与剪拼(附答案)
四年级思维拓展之图形的分割与剪拼1.请把下面这个长方形沿方格线剪成形状、大小都相同的4块，使每一块内都含有“奥数读本”这四个字中的一个，该怎么剪?2.图中是由三个正三角形组成的梯形．你能把它分割成4个形状相同、面积相等的梯形吗?3.把下图四等分，要求剪成的每个小图形形状、大小都一样．除了剪正方形外，你还有别的方法吗?4.下图是由18个小正方形组成的图形，请你把它分成6个完全相同的图形．5.下面哪些图形自身用4次就能拼成一个正方形？6.将右图分成4个形状、大小都相同的图形，然后拼成一个正方形．7.下图是一个直角梯形，请你画一条线段，把它分成两个形状相同并且面积相等的四边形．8.用两块大小一样的等腰直角三角形能拼成几种常见的图形？用下面左边的3个图形，拼成右边的大正方形．参考答案1.【解答】图中“奥数”与“读本”中的两个字都是挨着的，所以肯定要在它们中间分割，因此，首先在它们中间划出分割线，因为要将这个长方形分成大小、形状完全相同的4块，因为长方形是6×4的，所以分割后的每一块都有6小块组成，可以考虑先把长方形分成相同的两部分，再把每一部分分成相同的两部分，对称分成如右上图.2.【解答】这道题的要点在于通过计算解决问题，要求把原来三个正三角分成四个大小、形状都相同的四个梯形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等，即把整个梯形的面积分成四份，分割后的每一个梯形占一份，可以考虑把每一个三角形的面积分成四份，再把三个正三角形中的每一个小三角形合成要求的梯形，这种类型的题目可以从中点入手，找到每个正三角形的中点并连接，如下图.3.【解答】先把图形分成20×40相等的两块，每一块中再分成相等的两份，这样就不难分成四块了，如下图所示.4.【解答】通过计算，18÷6=3，说明基本形状是有三个小正方形组成，三个正方形有两种形式：与，通过观察，上面的图形具有对称性，不可能分成6个，是由6结合染色法，如下图.5.【解答】用4块图（4）和图（5）那样的图形显然能够拼成一个大正方形．其实用图（1）、图（2）、图（3）也能拼成一个大正方形，拼法见下图．6.【解答】经过计数可以发现，图形是由16个完全一样的正方形组成，所以拼成的正方形每排都有4个这样的小正方形，共有4排把大图形分成完全一样的4个图形，每个图形的面积都是小正方形的4倍．现在来考虑形状．由于这个图形具有对称的特点，很容易想到先将它分成两个完全一样的图形，只要沿大图形中间的那条竖线剪开即可，其中的一个如图2，再想办法把已经分成的两个图形各分成两个形状、大小都相同的图形即可．下面以图2为例，继续探讨分割的办法．如果把上图中每个小正方形的边长看作1个单位，那么这个图形中的最长边有4个单位，其次为3；显然，要把它分成完全一样的两个图形，每个图形的最长边只能为3，如图3；用同样的方法，可以将与上面的图形完全一样的下面的一个图形分成两个形状、大小都相同的图形，如下图．图2：图3：7.【解答】直角梯形的上底为1，下底为2，要分成两个相同的四边形，需要一条边可以分成1和2，所以将长为3的边分成两段，找到AD 的三等分点E，现在，CD=AE,DE=AB,EF=EF，所以还要找到BC 的中点F，连接EF，就把梯形ABCD 分成完全相同的两部分.如下图.8.【解答】最好拿起手中的等腰直角三角板，把不同的边进行重合，不要漏掉旋转重合，见下图【解答】首先数一数所有的空格数，一共只有16个，只能组成4×4的正方形，使用目标倒推法，在右边的大正方形中拼图，仍然使用染色法，相当于把已知图形往右边的大正方形中放，这样就很容易拼成了，如下图：→→。
四年级奥数《数学图形的分割与剪拼课件》
知识链接
单位元分割
例题（六）（★ ★ ★ ）
正三角形ABC的面积是1平方米，将三条边分别向两端各延长一倍， 连结六个
端点得到一个六边形(如右图)，求六边形的面积。
例题（六）（★ ★ ★ ）
采用分割法，过A、B、C分别作平行线，得到下图;
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根据等底高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成4 个等底高的小三角形分成4个等底等高的小三角形，它们的面积 必定相等。
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等底等高的两个三角形的面积相等
例题（四）（★ ★ ★ ★）
怎样把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的三角 形。
（1）分成8块的方法：先取各边的中点并把它们连接起来， 得到4个大小、形状相同三角形，然后再把每一个三角形分成两部分。
图形的分割与剪拼
四年级 第13课
知识链接
一、了解一下 图形的分割与剪拼 用一条线段把一个长方形分成形状大小都相同的两块，一共有多少种 把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割。 按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合。 将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼。 二、会用到的 几何变换：平移，旋转，对称 动手
四年级思维训练课程-图形的分割与拼接PPT
闯关五
如图所示，这是一张十字形纸片，它是由五个全等正方形组成， 试沿一直线将它剪成两片，然后再沿另一直线将其中一片剪成 两片，使得最后得到的三片拼成两个并列的正方形。
宝典六 如图（a），ABCD是一个长方形，其中阴影部分是由一副面积 为100平方厘米的七巧版图（b）拼成。那么，长方形ABCD的面 积是多少平方厘米？
先分成最小的 点拨： 形，再数出来
正方形的面积：10×10=100（平方厘米）
每个三角形的面积：100÷16=6.25（平方厘米）
长方形ABCD的面积是：6.25×30=187.5（平方厘米）
闯关六
如图，矩形ABCD被分成一些正方形，已知AB=32厘米，试求AD 的长度是多少？
点拨
闯关二 请把右面这个长方形沿方格线剪成形状、大小都相同的4块， 使每一块内都含有“奥数好玩”这四个字中的一个，该怎么剪?
奥数 好玩
宝典三 图中是由三个正三角形组成的梯形。你能把它分割成4个形状相 同、面积相等的梯形吗?
分成4的倍数
点拨
闯关三
下图是由18个小正方形组成的图形，请你把它分成6个完全相 同的图形．
宝典四
把如图的图形分成大小、形状完全相同的两块,使每块中都含 有2009。
点拨：
20 0
2
90Βιβλιοθήκη 90闯关四
请将如图所示的正方形分成两块，使得这两块的形状和大小 都相同。并且每一块中都含有A、B、C、D、E五个字母，在图 中用斜线或不同色笔区分。
E
BB
D
D
E
C
AA
C
宝典五 如图两个正方形的边长分别是a和b（ a>b），将边长为a的正方 形切成四块大小、形状都相同的图形，与另一个正方形拼在一 起组成一个正方形。
图形的分割与剪拼
课题：图形的分割与剪拼图形操作型的问题可分为两大类：一类是围绕“图形变换”展开的，一类是围绕图形的分割与剪拼展开的。
图形分割与剪拼应注意以下几下方面的思考途径和解决方法： 1、图形的剪拼问题考虑图形的变换性质和如何利用变换； 2、考虑相似三角形面积比与相似比的关系； 3、考虑“勾股定理”对应的图形面积关系； 4、考虑特定数量的构成形式。
一、图形的分割按分割的要求分为：（1）借助于“边、角”计算的分割； （2）依“面积等分”为要求的分割；例1 （1）已知ABC ∆中，︒=∠︒=∠5.67,90B A ，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形。
（2）已知ABC ∆中，C ∠是其最小的内角，过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求ABC ∠与C ∠之间的关系。
例2 如图（1），在ABC ∆和DEF ∆中，︒=∠=∠90D A ，42,3====DF AC DE AB 。
（1）判断这两个三角形是否相似？并说明为什么？（2）能否分别过D A ,在这两个三角形中各作一条辅助线，使ABC ∆分割成的两个三角形与DEF ∆ 分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论。
（1）ABCEFA BC例3 我们能把平分四边形面积的直线称为“好线”，利用下面的作图，可以得到四边形的“好线”：在四边形ABCD 中，取对角线BD 的中点O ，连结OC OA ,，显然，折线AOC 能把四边形ABCD 的面积平分，再过点O 作AC OE //，交CD 于E ，则直线AE 即为一条“好线”。
（如图（1）（1）试证明：AE 确为一条“好线”；（2）如图（2），若AE 为四边形ABCD 的一条“好线”，F 为CD 上一点，请作出过F 的一条“好线”，并说明理由。
（1） （2）二、将原图形剪拼成新图形例1 下列各图中，沿着虚线将正方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形，又能拼成三角形和梯形的是（ ）（中点） （中点）ABCD例2 如图（1），现有两个边长之比为1：2的正方形ABCD 与''''D C B A ，已知点',',,C B C B 在同一直线上，且点'B C 与 重合，请你利用这两个正方形，通过裁割、平移、旋转的方法，拼出两个相似比为1；3的三角形。
图形的分割与拼接
课题：图形的分割与拼接专题知识点概述本讲中的知识点比较抽象,在这一讲中我们主要学习几种图形处理方法：1、理解掌握图形的分割；2、理解掌握图形的拼合；3、理解图形的剪拼；4、利用剪拼图形计算、解决问题.图形的分割与拼接的概念把一个几何图形按某种要求分成几个图形,就叫做图形的分割．反过来,按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形,就叫做图形的拼合．将一个或者多个图形先分割开,再拼成一种指定的图形,则叫做图形的剪拼．我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中,都要结合所提供的图形特点来思考．如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分,那么就要想办法找图形的对称点,把图形先分少,再分多．图形中,如果有数量方面的要求,可以先从数量入手,找出平分后每块上所含数量的多少,再结合数量来分割图形．如果是要把几个图形拼合成一个大图形,要特别注意每条边的长度,把相等的边长拼合在一起,先拼少的,再拼多的．如果是剪拼图形,要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键,根据已知条件和图形的特点,通过分析推理和必要的计算,确定剪拼的方法．习题精讲例1难度等级※右图是一个3×4的方格纸,请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分,但要保持每个小方格的完整．分析与解因为要分割成完全相同的两块,即大小、形状完全相同.方格纸一共有3×4=12个小格,所以分成的两块每块有12÷2=6个小格,并且这两块要关于中心点对称,大小和形状完全一样,我们从对称线入手, 介绍一种分割技巧——染色法,先选中一个小格,找它关于中心点或中心线的对称位置,标上相应的符号,当找它关于中心线的对称位置时是一种情况,关于中心点的对称位置是另一种情况,具体如下图所示.例2难度等级※※右图是一个4×4的方格纸,请用六种不同的方法将它分割成完全相同的两部分,但要保持每个小方格的完整．分析与解因为要分割成完全相同的两块,即大小、形状完全相同.方格纸一共有4×4=16个小格,所以分成的两块每块有16÷2=8个小格,并且这两块要关于中心点对称,大小和形状完全一样,应用染色法,从中心点的一侧入手染色,逐步推进,建议同时呈现六幅空的4×4格图,不同的变化在不同的图上同时呈现,如下图所示.例3难度等级※※※请把右面这个长方形沿方格线剪成形状、大小都相同的4块,使每一块内都含有“奥数读本”这四个字中的一个,该怎么剪分析与解图中“奥数”与“读本”中的两个字都是挨着的,所以肯定要在它们中间分割,因此,首先在它们中间划出分割线,因为要将这个长方形分成大小、形状完全相同的4块,因为长方形是6×4的,所以分割后的每一块都有6小块组成,可以考虑先把长方形分成相同的两部分,再把每一部分分成相同的两部分,对称分成如下图.例4难度等级※※※学习与思考对小学生的发展是很重要的,学习改变命运,思考成就未来,请你将右图分成形状和大小都相同的四个图形,并且使其中每个图形都含有“学习思考”这四个字．应怎样分分析与解看到这道题目,首先想到俄罗斯方块,由题意可知,所分出的每一块图形,必须由4个小正方形组成,它的形状不外乎如右上图所示的五种俄罗斯方块,这就控制了搜索的范围．根据原题中各个字的具体位置,上图中有些图形是必须排除的,例如,如果把图2与原题右下角2×2的正方形重叠,其中“考”字出现了两次,不符合题意,因此,图2可以先排除掉．现在,再固定某一角上的一个小正方形,按其中的字来考虑．如固定右上角写有“考”的小正方形来分析,只有下列4种可能出现的情况：例5难度等级※※※图中是由三个正三角形组成的梯形．你能把它分割成4个形状相同、面积相等的梯形吗分析与解这道题的要点在于通过计算解决问题,要求把原来三个正三角分成四个大小、形状都相同的四个梯形,先不考虑形状,大小相同也就是面积相等,即把整个梯形的面积分成四份,分割后的每一个梯形占一份,可以考虑把每一个三角形的面积分成四份,再把三个正三角形中的每一个小三角形合成要求的梯形,这种类型的题目可以从中点入手,找到每个正三角形的中点并连接,如下图.例6难度等级※※※※如何把图a中的三个图形分割成两个相同的部分除了沿正方形的边进行分割外,还可沿正方形的对角形进行分割．分析与解要把图形分成两个相同的部分,首先要保证分得的两部分面积相同,其次要保证分得的两部分形状相同,从面积入手进行分割会使问题更容易解决．第一个图形一共有6个小正方形,2个三角形,要分割成两块完全相同的部分,每一部分都要有3个正方形、1个三角形,这样很容易就可以解决这个问题了；同样,对第二个图形,一共有7个正方形,2个三角形,因为正方形的个数是奇数,所以,肯定有一个正方形被分成相同的两块,对于这个图形,我们很容易看出有一个正方形的位置很特殊,在最中间,所以考虑将它分成两部分,由对称的原则,从对角线分开；第三个图形更复杂一些,一共有6个正方形,6个三角形,分成的两块每一块都要有3个正方形、3个三角形,因为最上面的两个三角形组合成了一个大的三角形,所以右下方的两个三角形不能分开,再根据对称的原则,就容易解决这个问题了,具体分法见下图．例7难度等级※※※下图是由18个小正方形组成的图形,请你把它分成6个完全相同的图形．分析与解通过计算,18÷6=3,说明基本形状是有三个小正方形组成,三个正方形有两种形式：与,通过观察,上面的图形具有对称性,不可能分成6个,是由6结合染色法,如下图.例8难度等级※※※把右图剪成形状、大小相等的8个小图形,怎么剪作出分出的小图形．分析与解总格数为12,用总格数除以8,得到每个小图形应该是一个半小正方形,根据平均一个小图形的格数作图,如右图.例9难度等级※※用同样大小的四块等腰直角三角板,能否拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、一个梯形、一个平行四边形五种图形若能,画出示意图．分析与解能用四块同样大小的等腰直角三角板拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、一个梯形、一个平行四边形五种图形．建议用等腰直角三角板,把不同的边进行重合,不要漏掉旋转重合,或者准备一些等腰直角三角形的纸片,由学生拼接后贴到黑板上,具体拼法如图所示．例10难度等级※※※下面哪些图形自身用4次就能拼成一个正方形分析与解用4块图4和图5那样的图形显然能够拼成一个大正方形．其实用图1、图2、图3也能拼成一个大正方形,拼法见下图．例11难度等级※※将方格纸剪成面积是4的图形,形状只有七种,如下图所示．其中有哪几种可以拼成面积是16的正方形分析与解面积是16的正方形,其边长等于4,用图形5和7显然能拼成边长是4的正方形如左下图所示．用图形1、2和6也能拼成边长为4的正方形如右下图所示．通过观察与试验,无法用所给图中的3和4拼成题目要求的正方形．因此,用所给图中的七种图形,共可以拼成5种面积是16的正方形．例12难度等级※※试用图a中的8个相等的直角三角形,拼成图b中的空心正八边形和图c中的空心正八角星．分析与解把一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的一条直角边重合,同时,斜边上的一个锐角顶点与直角顶点重合,像这样依次摆放下去,便可得空心正八边形．若把一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的直角边的一部分重合,但顶点均不重合,依次摆放下去,便可由这八个相等的直角三角形组成空心正八角星．例13难度等级※※※将右图分成4个形状、大小都相同的图形,然后拼成一个正方形．分析与解经过计数可以发现,图形是由16个完全一样的正方形组成,所以拼成的正方形每排都有4个这样的小正方形,共有4排把大图形分成完全一样的4个图形,每个图形的面积都是小正方形的4倍．现在来考虑形状．由于这个图形具有对称的特点,很容易想到先将它分成两个完全一样的图形,只要沿大图形中间的那条竖线剪开即可,其中上面的一个如图1,再想办法把已经分成的两个图形各分成两个形状、大小都相同的图形即可．下面以上面的图为例,继续探讨分割的办法．如果把上图中每个小正方形的边长看作1个单位,那么这个图形中的最长边有4个单位,其次为3；显然,要把它分成完全一样的两个图形,每个图形的最长边只能为3,如图2；用同样的方法,可以将与上面的图形完全一样的下面的一个图形分成两个形状、大小都相同的图形,如右下图．图1 图2例14难度等级※※试将一个正方形分成相同的四块,然后用这四块分别拼成三角形、平行四边形和梯形．分析与解要用分成的四块组成三角形,那么剪成得图形一定是三角形,这样平均分成四等分,当然这种分法有好几种．组成图形的时候我们可以换位思考,看如何将三角形、平行四边形、梯形分成大小相等的三角形．如图例15难度等级※※※试将任意一个三角形分成三块,然后拼成一个长方形．分析与解方法一三角形与长方形的不同在于：角、边的个数不同,把三角形变为四边形,需要加一个角,加一条边,而且长方形四个角都是直角,自然能想到在三角形中做两条垂线,并且过三角形两条边的中点,这样才能拼出一个长方形,如左下图.方法二因为由平行四边形转化为长方形很简单,所以只需要把三角形先分割、拼凑成平行四边形,作三角形的中位线,旋转180°即可转化为平行四边形,然后拼成长方形,如右下图.例16难度等级※※※试将任意一个矩形分成三块,然后拼成一个三角形．分析与解方法一我们应该首先考虑三角形与矩形的图形差异,三角形有三个角、三条边,所以需要把长方形的两个角变为一个角,可以讲长方形的两个角剪掉,拼在两边,如左下图.方法二在长方形两边割三角形,向上旋转180°,即可拼成三角形,如右下图.例17难度等级※※将右图分成两块,然后拼成一个正方形．分析与解图形的面积等于16个小方格,如果以每个小方格的边长为1,那么拼成的正方形的边长应该是4;因为图形是缺角长方形,长为6,宽为3,应将宽加1,长减去2便可得一个正方形,所以分割成两块后,右边的一块应向上平移1原来宽为3,向上平移使宽为4,向左平移2原来长为6,向左平移使长为4;如下图.例18难度等级※※※如图所示,四个等腰直角三角形和一个正方形,已知正方形的面积是4平方厘米,长方形ABCD的面积是多少平方厘米分析与解取AB、CD AE的中点,BC的三等分点进行连接,可以把长方形分割成如下图所示,由于取得点都是等分点,分割后7个小正方形的面积都是4平方厘米,10个小等腰直角三角形的面积都是2平方厘米,可以看出长方形ABCD 的面积等于：7×4+10×2=48平方厘米例19难度等级※※※※如何把一个长20厘米、宽12厘米的长方形切成两块,拼成一个长16厘米、宽15厘米的新长方形．分析与解因为原长方形比新长方形的长多4厘米,新长方形比原长方形的宽多3厘米,因此我们把原长方形分成20个长4厘米,宽3厘米的小长方形．因为新长方形的长为16厘米,所以原长方形的长应减少一个小长方形,而新长方形的宽为15厘米,所以原长方形的宽应增加一个小长方形．可以沿对角线的方向,把它切成k阶梯状的两块,并使他们的形状和大小完全相同,然后把它们相互错位交在一起,即白色部分往上爬了一个台阶,这样便拼成了一个新的长方形．具体操作中可按下图中的粗线把长方形分两成块,一移一错一对,便可得到如图所示的长为16厘米,宽为15厘米的新长方形．例20难度等级※正六边形ABCDEF的面积是1平方米,将六条边分别向两端各延长一倍,交于六个点,组成如下图的图形,求这个图形的面积.分析与解采用分割法,连接正六边形的对角线,会发现,所有的三角形面积都相同,一共有12个小三角形,原来正六边形的面积是1平方米,由6个小三角形组成,所以现在的大图形的面积是：1×2=2平方米。
中班图形的分割与拼合教案反思
中班图形的分割与拼合教案反思教案标题：中班图形的分割与拼合教案反思教案目标：1. 帮助学生认识不同的图形，并理解如何将它们分割和拼合。
2. 发展学生的观察力、想象力和手眼协调能力。
3. 培养学生的解决问题和合作交流的能力。
教学准备：1. 图形卡片：包括圆形、正方形、三角形等常见的几何形状。
2. 剪刀、胶水、彩色纸和彩色笔。
3. 桌面或工作区域。
教学过程：1. 导入（5分钟）- 引导学生观察周围的环境，并询问他们看到了哪些图形。
- 引导学生讨论图形的特征和不同之处。
2. 图形分割（10分钟）- 准备一些图形卡片，如圆形、正方形、三角形等。
- 将其中一个图形卡片展示给学生，并让他们观察和描述这个图形。
- 询问学生如何将这个图形分割成更小的部分，鼓励他们提出不同的分割方法。
- 让学生使用剪刀和彩色纸按照自己的分割方法将图形分割成更小的部分，并粘贴在纸上。
3. 图形拼合（15分钟）- 给学生分发一些分割好的图形部分，让他们观察和探索如何将这些部分拼合成完整的图形。
- 引导学生尝试不同的组合方式，鼓励他们尝试多种可能性。
- 让学生将拼合好的图形粘贴在纸上，并使用彩色笔为图形添加细节。
4. 反思（5分钟）- 引导学生回顾整个活动，询问他们在分割和拼合图形过程中遇到了哪些困难和挑战。
- 鼓励学生分享他们的想法和解决问题的方法。
- 总结活动的目标和收获，强调图形的分割和拼合是一种创造性的活动。
教案反思：这个教案的设计旨在帮助中班学生认识不同的图形，并通过分割和拼合图形的活动来培养他们的观察力、想象力和手眼协调能力。
在教学过程中，学生通过观察和描述图形来理解其特征，通过分割和拼合图形来实践和运用所学知识。
教师的角色是引导学生思考和探索，鼓励他们尝试不同的方法和解决问题的思路。
在反思环节，学生有机会分享他们的想法和方法，促进他们的交流和合作能力的发展。
整个教案设计注重培养学生的创造性思维和解决问题的能力，为他们未来的学习打下基础。
图形的分割与组合
图形的分割与组合1．将图12—18分成两块拼成一个正方形．2．将图形12—19分成四个形状、大小相同的图形，然后拼成一个正方形．3．将一块长6米、宽3.5米的长方形剪成形状相同、面积相等的两块，拼成一个长为5米、宽为4.2米的新的长方形．4．有一个长100厘米、宽70厘米的长方形桌面，中间损坏了一块．现在想在中间挖去一个长60厘米，宽10厘米的小长方形，如图12—20，然后把它分成两块，拼成一个正方形桌子，应怎么切拼？5．将图12—21所示的正方形分成两块，使得这两块的形状和大小都相同，并且每一块中只含有a、b、c、d、e五个字母．6．如图12—22，有两个正方形．请把每一个正方形分成两块，两个正方形共分成四块，使这四块的形状和大小都相同，并且每一块中都有1、2、3、4四个数字．仅供参考：1．切拼方法如图12—1’．2．因为小方格的个数是36个，所以拼成的一个正方形的边长为6个小方格，将图12-19分成四个形状、大小相同的图形，只需将图12-19从图的对称中心切开即可，如图12-2’，然后按照图12-3’拼成一个正方形．3．因为新长方形的长比原长方形的长少1米，宽多0.7米，因此将原长方形分成长为1米，宽为0.7米的小长方形，如图12-4’，按阶梯形分法分成相同的两块，然后错位对齐，即可拼成一个新的长方形，如图12-5’．4．因为拼成的正方形的桌面的面积为：100×70-60×10=6400（平方厘米）所以正方形的桌子的边长为80厘米．原长方形的长减少20厘米，宽增加10厘米．将原长方形分成长为20厘米，宽为10厘米的小长方形，利用阶梯形分法，分到中间缺损地方时，要考虑到两块的形状必须相同，按如图12-6’中的粗线切分，最后拼成一个正方形，如图12-7’5．图中有相同的字母挨在一起时，要从它们之间切开，因此先在它们之间画上切分线，然后将这些切分线绕中心点旋转180°，得到一些切分线，根据切分线进行切分，分成形状、大小相同的两块，每块有18个小方格．本题有两种切法，如图12-8’（1）、（2）．6．把两个正方形叠在一起考虑．为了便于区别，将其中一组数字1、2、3、4改写为a、b、c、d，如图12-9’，为了使相同的数字不在同一块，可以先在它们之间画切分线，然后绕中心180°又可以找到一些切分线，根据这些切线将它分割成大。
图形剪拼教案
图形剪拼教案【篇一：图形的分割与拼接(教案案)】图形的分割与拼接【专题知识点概述】本讲中的知识点比较抽象，在这一讲中我们主要学习几种图形处理方法： 1、理解掌握图形的分割； 2、理解掌握图形的拼合； 3、理解图形的剪拼；4、利用剪拼图形计算、解决问题.图形的分割与拼接的概念把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割．反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合．将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼．我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考．如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多．图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形．如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的．如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法．【重点难点解析】1．根据题目需要找合适的方法进行剪拼 2．如何根据相等的量来剪拼图形【竞赛考点挖掘】1．方格纸的分割与拼接2．简单平面基本图形（长方形、三角形等）的分割与拼接【习题精讲】【例1】（难度等级※）介绍一种分割技巧——染色法，先选中一个小格，找它关于中心点或中心线的对称位置，标上相应的符号，当找它关于中心线的对称位置时是一种情况，关于中心点的对称位置是另一种情况，具体如下图所示.【例2】（难度等级※※）【例3】（难度等级※※※）请把右面这个长方形沿方格线剪成形状、大小都相同的4块，使每一块内都含有“奥数读本”这四个字中的一个，该怎么剪? 【分析与解】如下图.【例4】（难度等级※※※）学习与思考对小学生的发展是很重要的，学习改变命运，思考成就未来，请你将右图分成形状和大小都相同的四个图形，并且使其中每个图形都含有“学习思考”这四个字．应怎样分? 【分析与解】【例5】（难度等级※※※）图中是由三个正三角形组成的梯形．你能把它分割成4个形状相同、面积相等的梯形吗? 【分析与解】这道题的要点在于通过计算解决问题，要求把原来三个正三角分成四个大小、形状都相同的四个梯形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等，即把整个梯形的面积分成四份，分割后的每一个梯形占一份，可以考虑把每一个三角形的面积分成四份，再把三个正三角形中的每一个小三角形合成要求的梯形，这种类型的题目可以从中点入手，找到每个正三角形的中点并连接，如下图.【例6】（难度等级※※※※）如何把图a中的三个图形分割成两个相同的部分(除了沿正方形的边进行分割外，还可沿正方形的对角形进行分割)．【分析与解】要把图形分成两个相同的部分，首先要保证分得的两部分面积相同，其次要保证分得的两部分形状相同，从面积入手进行分割会使问题更容易解决．第一个图形一共有6个小正方形，2个三角形，要分割成两块完全相同的部分，每一部分都要有3个正方形、1个三角形，这样很容易就可以解决这个问题了；同样，对第二个图形，一共有7个正方形，2个三角形，因为正方形的个数是奇数，所以，肯定有一个正方形被分成相同的两块，对于这个图形，我们很容易看出有一个正方形的位置很特殊，在最中间，所以考虑将它分成两部分，由对称的原则，从对角线分开；第三个图形更复杂一些，一共有6个正方形，6个三角形，分成的两块每一块都要有3个正方形、3个三角形，因为最上面的两个三角形组合成了一个大的三角形，所以右下方的两个三角形不能分开，再根据对称的原则，就容易解决这个问题了，具体分法见下图．【例7】（难度等级※※※）下图是由18个小正方形组成的图形，请你把它分成6个完全相同的图形．【分析与解】与由6结合染色法，如下图.，通过观察，上面的图形具有对称性，不可能分成6个，是【例8】（难度等级※※※）把右图剪成形状、大小相等的8个小图形，怎么剪?作出分出的小图形．【分析与解】总格数为12，用总格数除以8，得到每个小图形应该是一个半小正方形，根据平均一个小图形的格数作图，如右图.【例9】（难度等级※※）用同样大小的四块等腰直角三角板，能否拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、一个梯形、一个平行四边形五种图形?若能，画出示意图．【分析与解】能用四块同样大小的等腰直角三角板拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、一个梯形、一个平行四边形五种图形．建议用等腰直角三角板，把不同的边进行重合，不要漏掉旋转重合，或者准备一些等腰直角三角形的纸片，由学生拼接后贴到黑板上，具体拼法如图所示．【例10】（难度等级※※※）下面哪些图形自身用4次就能拼成一个正方形？【分析与解】用4块图（4）和图（5）那样的图形显然能够拼成一个大正方形．其实用图（1）、图（2）、图（3）也能拼成一个大正方形，拼法见下图．【例11】（难度等级※※）将方格纸剪成面积是4的图形，形状只有七种，如下图所示．其中有哪几种可以拼成面积是16的正方形?【分析与解】面积是16的正方形，其边长等于4，用图形(5)和(7)显然能拼成边长是4的正方形(如左下图所示)．用图形(1)、(2)和(6)也能拼成边长为4的正方形(如右下图所示)．通过观察与试验，无法用所给图中的(3)和(4)拼成题目要求的正方形．因此，用所给图中的七种图形，共可以拼成5种面积是16的正方形．【例12】（难度等级※※）试用图a中的8个相等的直角三角形，拼成图b中的空心正八边形和图c中的空心正八角星．【分析与解】把一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的【篇二：一年级数学下册图形的拼组教学设计教案】人教版新课标实验教科书小学一年级下册数学第三单元《图形的拼组》教学设计灯盏小学余文田设计并执教第一课时教学设计教学内容：图形的拼组（一）教学目标：1、通过直观使学生知道长方形、正方形的形状和边的特点,并能用自己的语言描述长方形、正方形的特征。
动手做——图形的分割(教案)2023-2024学年数学五年级上册 苏教版
教案：图形的分割课程名称：数学年级：五年级教材版本：苏教版学年：2023-2024学年课程时长：2课时教学目标：1. 理解图形分割的概念和方法。
2. 能够运用图形分割的方法解决实际问题。
3. 培养学生的观察能力、动手能力和创新能力。
教学重点：1. 图形分割的方法和技巧。
2. 图形分割在实际问题中的应用。
教学难点：1. 理解图形分割的原理。
2. 灵活运用图形分割的方法解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：图形分割的教具、课件、练习题。
2. 学生准备：练习本、铅笔、直尺、剪刀。
教学过程：第一课时一、导入1. 教师出示一个简单的图形，如正方形，并提出问题：“如何将这个图形分割成几个完全相同的小图形？”2. 学生思考并回答问题，教师引导学生总结出图形分割的概念和方法。
二、新课1. 教师讲解图形分割的方法和技巧，如对角线分割法、等分线分割法等。
2. 教师出示一些复杂的图形，如五角星、心形等，引导学生运用所学的图形分割方法进行分割。
3. 学生分组讨论，尝试运用图形分割的方法解决实际问题，如如何将一块蛋糕平均分给几个小朋友等。
三、练习1. 教师出示一些练习题，让学生独立完成。
2. 教师巡视课堂，指导学生解决练习中的问题。
四、总结1. 教师引导学生总结本节课所学的图形分割的方法和技巧。
2. 学生分享自己在练习中的收获和体会。
第二课时一、复习1. 教师提问上节课所学的图形分割的方法和技巧。
2. 学生回答问题，巩固所学知识。
二、新课1. 教师讲解图形分割在实际问题中的应用，如设计拼图、制作剪纸等。
2. 学生分组讨论，尝试运用图形分割的方法解决实际问题，如如何将一张纸剪成几个完全相同的小图形等。
三、实践1. 教师出示一些图形，让学生动手进行分割。
2. 学生展示自己的作品，分享分割的方法和技巧。
四、总结1. 教师引导学生总结本节课所学的图形分割在实际问题中的应用。
2. 学生分享自己在实践中的收获和体会。
教学评价：1. 课后，教师可以通过学生的练习和作品来评价学生对图形分割的理解和应用能力。
图形的分割与剪拼(4年级培优)教师版
图形的剪拼，即把一个几何图形剪成几块形状相同的图形，或是把一个几何图形剪开后拼成另一种满足某种条件的图形。
完成这样的图形剪拼，需要考虑图形剪开后各部分的形状、大小以及它们之间的位置关系。
在拼图形的过程中，多动手画一画，剪一剪，拼一拼是最好的方法。
分图形时要从图形的性质入手，观察它的对称点、对称轴，从这些性质出发解决问题。
用四种不同的方法，沿格子线把下面的图形分割成形状相同、大小相等的四块，应该怎样分？【答案】如下图；【难度】A；【出处】底稿修改【分析】这个图形由16个小正方形组成，要将它分割成形状相同、大小相等的四块，每块应该由4个小正方形组成，且每块的形状只能是下列四种情况：所以有如下的四种剪法：用四种不同的方法，沿格子线把下面的图形分割成形状相同、大小相等的两块（非长方形），应该怎样分？【答案】如下图；【难度】A；【出处】底稿修改【分析】把下图分成形状、大小完全相同的4块，而且每块中有一个字母。
DACB【答案】如下图；【难度】B；【出处】底稿修改【分析】这个图形一共有12个小正方形，因此要将它分成4个相同的图形，则分成的每一个图形中有小正方形3个。
于是有如下的分法：将下列的各图分别切成大小、形状相同的三块，使每块都带有一个圆圈“○”。
【答案】如下图；【难度】B；【出处】底稿修改【分析】左边图形一共有12个小正方形，因此要将它分成3个相同的图形，则分成的每一个图形中有小正方形4个。
于是有如下的分法；右边图形一共有18个小正方形，因此要将它分成3个相同的图形，则分成的每一个图形中有小正方形6个。
于是有如下的分法：如下图所示是由三个正方形组成的图形，请把它分成大小、形状都相同的四个图形。
【答案】如下图；【难度】B；【出处】底稿修改【分析】由于要分成四个大小、形状相同的图形，所以可以把小正方形分成四个相等的小正方形，再尝试剪，剪法如下图：如下图所示是由5个正方形组成的图形，请把它分成大小、形状都相同的四个图形。
幼儿园中班教案《图形的分割》含反思
幼儿园中班教案《图形的分割》教学目标1.能够分辨不同形状的图形，如正方形、长方形、三角形等。
2.能够在纸上使用直线将图形分割成相等的部分，对应实际生活中的切割蔬菜、水果等的操作。
3.能够通过分割后的形状判断分割前形状的整体和部分关系。
4.培养观察能力和空间想象力。
5.呈现学习成果。
教学内容本堂课的主要内容是“图形的分割”。
通过图形分割的实践、思考、交流，让幼儿们逐渐建立起对图形形状、分割方式、部分和整体的认识和理解。
教学准备1.确定教学目标：在教案中，需要确定好教学目标，找到适合幼儿学习的方式，对幼儿有明确的导向。
2.准备教具：在本课程中，需要准备纸张、颜料、颜色笔、颜色卡片、剪刀、胶水、色带等。
3.建立学习环境：为了使幼儿保持专注，建立一个干净、安静、舒适、整洁的学习环境是非常重要的。
教学步骤第一步：引入主题1.激发幼儿的学习兴趣，例如：通过积木、玩具比较不同形状，帮助幼儿理解形状的概念；通过观察图形，帮助幼儿认识不同形状的特点。
2.引导幼儿回忆日常生活中，我们常常需要将蔬菜、水果等食材切割成相等的部分，尝试让幼儿进行相应的分割练习。
第二步：分组练习1.分组活动，让幼儿自由分组。
2.每个小组分配一些不同形状的卡片或纸张，并提供颜色笔。
3.让幼儿通过手眼协调、剪纸、折纸、用颜色笔画画等方式进行各种形状的创造和分割，鼓励他们进行自由探索和尝试。
4.在这个环节，要注意及时给予幼儿重要的帮助和鼓励。
第三步：归纳总结1.活动结束后，请幼儿将自己完成的作品进行分享和展示。
2.经过幼儿自己的再创造、再设计，不同形状的图形不再是孤立的事物，他们更明确地把图形之间的联系和转换清晰化。
第四步：教学反思1.教学的活动与目标配合度高，激发了幼儿的学习兴趣，增强了他们对图形的认知。
2.教学设计重点是要尊重幼儿的个体差异，及时给予幼儿个性化的关心与引导。
3.教学中互动方面要注意，及时地为幼儿提供鼓励和帮助，避免过度干预。
图形剪拼分割
教师： 王喜才 学生： 时间： 年 月 日 段 一、 授课目的与考点分析：图形剪拼分割二、授课内容：【例1】已知两个连体的正方形（有两条边在同一条直线上）在正方形网格上的位置如图所示，请你把它分割后，拼接成一个新．．．的．正方形．．．.要求：在正方形网格图中用实线画出拼接成的新正方形且新正方形的顶点在网格的格点上，不写作法）.分析：利用图形分割中面积不变性，先求出剪拼后的图形 所需关键线段的长度，再从剪拼前图形中找这些长度裁剪。
【例2】在ABC △中，BC a =，BC 边上的高2h a =，沿图中线段DE 、CF 将ABC △剪开，分成的三块图形恰能拼成正方形CFHG ，如图1所示．图1③②①HGF E DC BA图2C′B′A′图2C′B′A′请你解决如下问题：在A B C '''△中，B C a ''=，B C ''边上的高12h a =．请你设计两种不同的分割方法，将A B C '''△沿分割线剪开后，所得的三块图形恰能拼成一个正方形，请在图2、图3中，画出分割线及拼接后的图形．分析：正方形四个角都是直角，四边相等，剪拼时要充分利用线段的中点和垂直关系。
【例3】已知：如图，△ABC 中， AC ＜AB ＜BC ．（1）在B C 边上确定点P 的位置，使∠A P C =∠C ．请画 出图形，不写画法；（2）在图中画出一条直线l ，使得直线l 分别与AB 、BC 边 交于点M 、N ，并且沿直线l 将△A B C 剪开后可拼成 一个等腰梯形．请画出直线l 及拼接后的等腰梯形，并 简要说明你的剪拼方法．说明：本题只需保留作图痕迹，无需尺规作图．要剪拼成等腰梯形，首先要找到相等的角。
：大兴22. 如图8-1、9-1，现将二张形状、大小完全相同的平行四边形透明纸片，分别放在方格纸中，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，并且平行四边形纸片的每个顶点与小正方形的顶点重合．分别在图8-1、图9-1中，经过平行四边形纸片的任意一个顶点画一条裁剪线，沿此裁剪线将平行四边形纸片裁成两部分，按所采裁图形的实际大小，在图8-2中拼成正方形，在图9-2中拼成一个角是︒135的三角形．要求：（1）裁成的两部分在拼成几何图形时要互不重叠且不留空隙； （2）所拼出的几何图形的各顶点必须与小正方形的顶点重合.石景山22．（1）如图1，把边长是3的等边三角形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作等边三角形，并去掉居中的那条线段，得到图2，再把图2中图形各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作等边三角形，并去掉居中的那条线段，得到一个新图形，则这个新图形的周长是 ；（2）如图3，在55⨯的网格中有一个正方形，把正方形的各边三等分，分别以居中那条线段为斜边向外作等腰直角三角形，去掉居中的那条线段，得到图4，请把图4中的图形剪拼成正方形，并在图4中画出剪裁线，在图5中画出剪拼后的正方形． 房山22．阅读下列材料：小明遇到一个问题：如图1，正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 和DA 边上靠近A 、B 、C 、D 的n 等分点，连结AF 、BG 、CH 、DE ，形成四边形MNPQ ．求四边形MNPQ 与正方形ABCD 的面积比（用含n 的代数式表示）．小明的做法是：先取n=2，如图2，将△ABN 绕点B 顺时针旋转90゜至△CBN ′，再将△ADM 绕点D 逆时针旋转90゜至△CDM ′，得到5个小正方形，所以四边形MNPQ 与正方形ABCD 的面积比是15； 然后取n=3，如图3，将△ABN 绕点B 顺时针旋转90゜至△CBN ′，再将△ADM 绕点D 逆时针旋转90゜至△CDM ′，得到10个小正方形，所以四边形MNPQ 与正方形ABCD 的面积比是410，即25；……请你参考小明的做法，解决下列问题：（1）在图4中探究n=4时四边形MNPQ 与正方形ABCD 的面积比（在图4上画图并直接写出结果）；（2）图5是矩形纸片剪去一个小矩形后的示意图，请你将它剪成三块后再拼成正方形（在图5中画出并指图1 图2图3 图4 图5明拼接后的正方形）．丰台22．在图1中，正方形ABCD 的边长为a，等腰直角三角形FAE 的斜边AE ＝2b ，且边AD 和AE 在同一直线上．操作示例当2b ＜a 时，如图1，在BA 上选取点G ，使BG＝b ，连结FG 和CG ，裁掉△F AG 和△CGB并分别拼接到△FEH 和△CHD 的位置构成四边形FGCH ．思考发现：小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△F AG 绕点F 逆时针旋转90°到△FEH 的位置，易知EH 与AD 在同一直线上．连结CH ，由剪拼方法可得DH =BG ，故△CHD ≌△CGB，从而又可将△CGB 绕点C 顺时针旋转90°到△CHD 的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH （如图1），过点F作FM ⊥AE 于点M （图略），利用SAS 公理可判断△HFM ≌△CHD ，易得FH =HC =GC =FG ，∠FHC =90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH 是正方形．实践探究（1）正方形FGCH 的面积是 ；（用含a ，b 的式子表示）（2）类比图1的剪拼方法，请你就图2—图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．联想拓展小明通过探究后发现：当b ≤a 时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA 方向上随着b 的增大不断上移．当b ＞a 时（如图5），能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图5中画出剪拼成的正方形的示意图；若不能，简要说明理由．M’E B A Q P NG H F E D C B A M M’A B E H C P G D Q H M N F B E A图 图1 图3 图4图5 图3E图 4图22b ＝a a ＜2b ＜2ab ＝a 图12b ＜a①②③怀柔22．直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形，方法如下: 请你用上面图示的方法，解答下列问题：(1)对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形； (2)对任意四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形.朝阳：在下面所给的图形中，若连接BC ，则四边形ABCD 是矩形，四边形CBEF 是平行四边形． （1）请你在图1中画出两条线段，将整个图形分为两部分，使这两部分面积相等（不写画法）；（2）请你在图2中画出一条线段，将整个图形分为两部分，使这两部分面积相等．简要说明你的画法．昌平22．阅读下列材料:将图1的平行四边形用一定方法可分割成面积相等的八个四边形．．．，如图2，再将图2中的八个四边形适当组合拼成两个面积相等且不全等的平行四边形.（要求：无缝隙且不重叠） 请你参考以上做法解决以下问题：（1）将图4的平行四边形分割成面积相等的八个三角形．．．； （2）将图5的平行四边形用不同于（1）的分割方案，分割成面积相等的八个三角形．．．，再将这八个三角形适当组合拼成两个面积相等且不全等的平行四边形，类比图2，图3，用数字1至8标明.图1图24图3653126877584321门头沟22.如图1，方格纸中有一透明等腰三角形纸片，按图中裁剪线将这个纸片裁剪成三部分．请你将这三部分小纸片重新分别拼接成（1）一个等腰梯形；（2）一个正方形．请在图2和图3中分别画出拼接后的这两个图形，要求每张三角形纸片的顶点与小方格顶点重合．图1 图2 图3 密云22．阅读下列材料：在学习小组，小明接到这样一个任务：把一个正方形分割成9个、10个和11个小正方形．为完成任务，小明先学习了两种简单的“基本分割法”．基本分割法1：如图①，把一个正方形分割成4个小正方形，即在原来1个正方形的基础上增加了3个正方形． 基本分割法2：如图②，把一个正方形分割成6个小正方形，即在原来1个正方形的基础上增加了5个正方形．学习了上述两种“基本分割法”后，小明很从容的就完成了分割的任务： （1）把一个正方形分割成9个小正方形．方法一：如图③，把图①中的任意1个小正方形按“基本分割法2”进行分割，就可增加5个小正方形，从而分割成459+=（个）小正方形．方法二：如图④，把图②中的任意1个小正方形按“基本分割法1”进行分割，就可增加3个小正方形，从而分割成639+=（个）小正方形．（2）把一个正方形分割成10个小正方形．如图⑤，把图①中的任意2个小正方形按“基本分割法1”进行分割，就可增加32⨯个小正方形，从而分割成43210+⨯=（个）小正方形．请你参照上述分割方法解决下列问题（只要求画图，不用说明分割方法）：（1）请你替小明同学把图⑥给出的正方形分割成11个小正方形； （2）仿照基本分割法1：请把图a 中的正三角形分割成4个小正三角形； （3）仿照基本分割法2：请把图b 中的正三角形分割成6个小正三角形； （4）分别把图c 和图d 中的正三角形分割成9个和10个小正三角形．图① 图② 图③ 图④ 图⑤ 图⑥ABC DEOA B CDA B CDABCABC西城22. 如图，在△ABC 中，∠B =∠C =30°.请你设计两种不同的分法，将△ABC 分割成四个小三角形，使得其中两个是全等．．三角形，而另外两个是相似．．但不全等．．．的直角三角形．请画出分割线段，并在两个全等三角形中标出一对相等的内角的度数（画图工具不限，不要求证明，不要求写出画法）．东城22．请阅读下面材料，完成下列问题：（1）如图1，在⊙O 中，AB 是直径，CD AB ⊥于点E ，AE a =，EB b =．计算CE 的长度（用a 、b 的代数式表示）；（2）如图2，请你在边长分别为a 、b （a b >）的矩形ABCD 的边AD 上找一点M ，使得线段CM =，保留作图痕迹；（3）请你利用（2）的结论，在图3中对矩形ABCD 进行拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形.要求：画出拼成的正方形，并用相同的数字表明拼接前与拼接后的同一图形.（第22题图1） （第22题图2） （第22题图3）丰台22．认真阅读下列问题，并加以解决：问题1：如图1，△ABC 是直角三角形，∠C =90º．现将△ABC 补成一个矩形．要求：使△ABC 的两个顶点成为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上．请将符合条件的所有矩形在图1中画出来；图1 图2问题2：如图2，△ABC 是锐角三角形，且满足BC ＞AC ＞AB ，按问题1中的要求把它补成矩形．请问符合要求的矩形最多可以画出 个，并猜想它们面积之间的数量关系是 （填写“相等”或“不相等”）；问题3：如果△ABC 是钝角三角形，且三边仍然满足BC ＞AC ＞AB ，现将它补成矩形．要求：△ABC 有两个顶点成为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形的一边上,那么这几个矩形面积之间的数量关系是 （填写“相等”或“不相等”）． 房山22．（本小题满分5分）小明想把一个三角形拼接成面积与它相等的矩形．他先进行了如下部分操作，如图1所示：ADE第22题图1A ADCB A①取△ABC 的边AB 、AC 的中点D 、E ，联结DE ； ②过点A 作AF ⊥DE 于点F ；（1）请你帮小明完成图1的操作，把△ABC 拼接成面积与它相等的矩形．（2）若把一个三角形通过类似的操作拼接成一个与原三角形面积相等的正方形，那么原三角形的一边与这边上的高之间的数量关系是________________．（3）在下面所给的网格中画出符合（2）中条件的三角形，并将其拼接成面积与它相等的正方形．平谷22．一种电讯信号转发装置的发射直径为31km ．现要求：在一边长为30km 的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？在图1中画出安装点的示意图，并用大写字母M 、N 、P 、Q 表示安装点；（2）能否找到这样的3个安装点，使得在这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？在图2中画出示意图说明，并用大写字母M 、N 、P 表示安装点，用计算、推理和文字来说明你的理由．（2．）中的结论．．．．求△ABC 的面积．延庆22．阅读下列材料：根据所给的图形解答下列问题：（1）如图1，ABC ∆中，AC AB =，90=∠BAC ，D BC AD 于⊥，把ABD ∆绕点A 旋转，并拼 接成一个正方形,请你在图1中完成这个作图；（2）如图2，ABC ∆中，AC AB =，90=∠BAC ，请你设计一种与(1)不同方法，将这个三角形拆分并拼接成一个与其面积相等的正方形,画出利用这个三角形得到的正方形；（3）设计一种方法把图3中的矩形ABCD 拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形,请你依据此矩形画出正方形.图1 C D 图2 C D朝阳22．阅读并操作：如图①，这是由十个边长为1的小正方形组成的一个图形，对这个图形进行适当分割(如图②)，然后拼接成新的图形(如图③).拼接时不重叠、无空隙，并且拼接后新图形的顶点在所给正方形网格图中的格点上(网格图中每个小正方形边长都为1).图①图②图③请你参照上述操作过程，将由图①所得到的符合要求的新图形画在下边的正方形网格图中.（1）新图形为平行四边形；（2）新图形为等腰梯形.顺义22．如图，将正方形沿图中虚线（其x y）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰好能拼成一个矩形（非正方形）．（1）画出拼成的矩形的简图；（2）求xy的值．东城22. 如图1是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为10cm的正三角形，三个侧面都是矩形．现将宽为15cm 的彩色矩形纸带AMCN裁剪成一个平行四边形ABCD（如图2），然后用这条平行四边形纸带按如图3的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满．在图3中，将三棱柱沿过点A的侧棱剪开，得到如图4的侧面展开图.为了得到裁剪的角度,我们可以根据展开图拼接出符合条件的平行四边形进行研究.（1）请在图4中画出拼接后符合条件的平行四边形；（2）请在图2中，计算裁剪的角度（即∠ABM的度数）.yyxyxy xx④③②①图4F ED C BA顺义22．请阅读下列材料：问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．小东同学的做法是：设新正方形的边长为x （x >0）. 依题意，割补前后图形面积相等, 有52=x , 解得5=x ．由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长．于是，画出如图2所示的分割线，拼出如图3所示的新正方形．请你参考小东同学的做法，解决如下问题：（1） 如图4，是由边长为1的5个小正方形组成，请你通过分割，把它拼成一个正方形（在图4上画出分割线，在图4的右侧画出拼成的正方形简图）；（2）如图5，是由边长分别为a 和b 的两个正方形组成，请你通过分割，把它拼成一个正方形（在图5上画出分割线，在图5的右侧画出拼成的正方形简图）.西城22．如图1，若将△AOB 绕点O 逆时针旋转180°得到△COD ，则△AOB ≌△COD ．此时，我们称△AOB与△COD 为“8字全等型”．借助“8字全等型”我们可以解决一些图形的分割与拼接问题．例如：图2中，图3图2图1图3图2图1-----您值 龙文 学校 ----- 您值 得信赖的 专业化个性辅 导学校 △ABC 是锐角三角形且 AC＞AB，点 E 为 AC 中点，F 为 BC 上一点且 BF≠FC（F 不与 B，C 重合） ，沿 EF 将其剪开，得到的两块图形恰能拼成一个梯形．请分别按下列要求用直线将图 2 中的△ABC 重新进行分割，画出分割线及拼接后的图形． （1）在图 3 中将△ABC 沿分割线剪开，使得到的两块图形恰能拼成一个平行四边形； （2） 在图 4 中将△ABC 沿分割线剪开，使得到的三块图形恰能拼成一个矩形，且其中的两块为直角三角形； （3）在图 5 中将△ABC 沿分割线剪开，使得到的三块图形恰能拼成一个矩形，且其中 的一块为钝角三角 形．门头沟 22．如图 1，有一张菱形纸片 ABCD，AC＝8，BD＝6． （1）若沿着 AC 剪开，把它分成两部分，把剪开 的两部分拼成一个平行四边形，请在图 2 中 用实线画出你所拼成的平行四边形，并直接 写出这个平行四边形的面积； （2）若沿着 BD 剪开，把它分成两部分，把剪开 的两部分拼成一个平行四边形，请在图 3 中 用实线画出你所拼成的平行四边形，并直接 写出这个平行四边形的周长； （3）沿着一条直线剪开，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成与上述两种都不全等的平行四边形，请在 图 4 中用实线画出你所拼成的平行四边形． （注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等） 上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等）D CDCA 图1BDCDCA 图2 面面周BA 图3 周周周BA 图4B（本小题满分 5 分） 门头沟 22．媒体村龙文学校 84955492-----您值 龙文 学校 ----- 您值 得信赖的 专业化个性辅 导学校 如图所示，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长都为 3，另一种纸片的 两条直角边长分别为 1 和 3．图 1、图 2、图 3 是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正 方形的边长均为 1． （1）请用三种方法（拼出的两个图形只要不全等就认为是不同的拼法）将图中所给四块直角三角形纸片拼成 平行四边形（非矩形） ，每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙， 并把你所拼得的图形按实际大小画在图 1、图 2、图 3 的方格纸上（要求：所画图形各顶点必须与方格 纸中的小正方形顶点重合；画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹） ； （2）三种方法所拼得的平行四边形的面积是否是定值？若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直 接写出三种方法所拼得的平行四边形的面积各是多少； （3）三种方法所拼得的平行四边形的周长是否是定值？若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直 接写出三种方法所拼得的平行四边形的周长各是多少.3 33 31 31 3 图1图2图3顺义 22. 现有 12 个边长为 1 的正方形，排列形式如图① ，请把它们分割后拼成面积为 12 的一个特殊三角形形 和一个三边都不相等的三角形（顶点在格点上） 。
小学四年级奥数竞赛班作业第20讲：图形的分割与剪拼
图形的分割与剪拼练习题一．夯实基础：1.下图是由五个正方形组成的图形．把它分成形状、大小都相同的四个图形，应怎样分？你能想出几种方法？2.把右图剪成形状、大小相等的8个小图形，怎么剪？作出分出的小图形．3.一个正三角形形状的土地上有四棵大树(如下图所示)，现要把这块正三角形的土地分成和它形状相同的四小块，并且要求每块地中都要有一棵大树．应怎样分？4.用下面的3个图形，拼成右边的大正方形．二． 拓展提高：5. 把下图四等分，要求剪成的每个小图形形状、大小都一样．除了剪正方形外，你还有别的方法吗？6. 图中是由三个正三角形组成的梯形．你能把它分割成4个形状相同、面积相等的梯形吗？7. 下图是由18个小正方形组成的图形，请你把它分成6个完全相同的图形．8. 下面哪些图形自身用4次就能拼成一个正方形？三．超常挑战：9. 下图是一个34 的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．2060402010.试用图a中的8个相等的直角三角形，拼成图b中的空心正八边形和图c中的空心正八角星．11.将下图分成两块，然后拼成一个正方形．四．杯赛演练：12.(第九届“中环杯”小学生思维能力训练活动初赛)如图，它是由15个边长为1厘米的小正方形组成的．⑴请在原图中沿正方形的边线，把它划分为5个大小形状完全相同的图形，分割线用笔描粗．⑵分割后每个小图形的周长是厘米．⑶分割后5个小图形的周长总和与原来大图形的周长相差厘米．第3题13.(2003年《小学生数学报》数学邀请赛)如图，将一个等边三角形分割成互相不重叠的23个较小的等边三角形(这些较小的等边三角形的大小不一定都相同)，请在图中画出分割的结果．答案：1. 如果不考虑分成的四个图形的形状，只考虑它们的面积，这就要求把原来五个正方形分成四个面积相等的图形，每个图形的面积应是1个多正方形．我们把每个正方形各分成四个面积相等的小正方形，分成的每块图形应有五个这样的小正方形．根据图形的对称性，我们很快就能得到如左下图图的分法．也可以将中间的正方形分成四个小正方形，如右下图．2. 总格数为12，用总格数除以8，得到每个小图形应该是一个半小正方形，根据平均一个小图形的格数作图，如下图．3. 由于土地的形状为正三角形，由题意可知，把大三角形的面积分成四份，每一块占一份，且形状与原三角形相同，于是我们想到取大正三角形的各边中点，依次连接各边中点，即可将这块大正三角形的土地分成与它相等的四份，如下图所示．4. 首先数一数所有的空格数，一共只有16个，只能组成44⨯的正方形，使用目标倒推法，在右边的大正方形中拼图，仍然使用染色法，相当于把已知图形往右边的大正方形中放，这样就很容易拼合了，如下图：5. 先把图形分成2040⨯相等的两块，每一块中再分成相等的两份，这样就不难分成四块了，如右上图．（答案不唯一）206. 这道题的要点在于通过计算解决问题，要求把原来三个正三角形分成四个大小、形状都相同的四个梯形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等，即把整个梯形的面积分成四份，分割后的每一个梯形占一份，可以考虑把每一个三角形的面积分成四份，再把三个正三角形中的每一个小三角形合成要求的梯形，这种类型的题目可以从中点入手，找到每个正三角形的中点并连接，如下图．7. 通过计算，18÷6=3，说明基本形状是由三个小正方形组成，三个正方形有两种形式：与，通过观察，上面的图形具有对称性，不可能分成6个，分法如下图：8. 用4块图(4)和图(5)那样的图形显然能够拼成一个大正方形．其实用图(1)、图(2)、图(3)也能拼成一个大正方形，拼法见下图．(6)(7)拼不成。
初中奥数讲义_图形的折叠、剪拼与分割附答案
图形的折叠、剪拼与分割一页普通的纸，童年时我们用稚气的双手把它折成有趣的动物，民间艺人可以把它剪成美丽的图案．折纸与剪纸是最富于自然情趣而又形象生动的实验，是丰富想象力与心灵手巧的结合．对图形进行折叠与剪拼，是学习几何不可或缺的重要一环，通过折叠与剪拼图形，我们可以发现一些几何结论并知晓这些结论是怎样被证明的．把图形或部分沿某直线翻折叫图形的折叠，对图形通过有限次的剪裁再重新拼接成新的图形叫图形的剪拼．解与图形折叠或剪拼相关的问题，利用不变量解题是关键，在折叠过程中，线段的长度、角的度数保持不变；在剪拼过程中，新图形与原图形的面积一般保持不变．例题求解【例1】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于．(南通市中考题)思路点拨设CD=x，由折叠的性质实现等量转换，将条件集中到Rt△BDE中，建立x的方程．注图形折叠与剪拼问题可考壹我们的动手操作能力和分析推理能力，解题时需要把计算、推理与合情想象结合起来．折叠问题可以对称观点认识：(1)折痕两边是全等的；(2)对应点连线被折痕垂直平分．解折叠问题常用到勾股定理、相似形、方程思想等知识与方法．【例2】如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为( ) A．12 D10 C．8 D．6 (2004年武汉市选拔赛试题)思路点拨只需求出AF长即可．【例3】取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图1；第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′，得Rt△AB'E，如图2；第三步：沿EB'线折叠得折痕EF，如图3．利用展开图4探究：(1)△AEF是什么三角形?证明你的结论．(2)对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形?请说明理由．(山西省中考题)思路点拨本例没有现成的结论，需经历实验、观察、猜想、证明等数学活动，从而探究得到结论．【例4】如图，是从边长为40cm、宽为30cm的矩形钢板的左上角截取一块长为20cm、宽为10cm的矩形后，剩下的一块下脚料．工人师傅要将它作适当地切割，重新拼接后焊成一个面积与原下脚料的面积相等，接缝尽可能短的正方形工件．(1)请根据上述要求，设计出将这块下脚料适当分割成三块或三块以上的两种不同的拼接方案(在图2和图3中分别画出切割时所沿的虚线，以及拼接后所得到的正方形，保留拼接的痕迹)；(2)比较(1)中的两种方案，哪种更好一些?说说你的看法和理由．（山东省中考题)思路点拨 拼接后正方形的边长为221030 ㎝，它恰是以30cm 和10cm 为两直角边的直角三角形的斜边的长，为此可考虑设法在原钢板上构造两直角边长分别为30㎝和l0cm 的直角三角形，这是解本例的关键． 注 有效的数学学习过程不能单纯地依赖模仿与记忆，应该通过观察、实验、操作、猜测、验证、推理等数学活动，形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略，从而使知识得到内化，形成能力． 近年中考中涌现的设计新颖、富有创意的折叠、剪拼与分割等问题，注重对动手实践操作、应用意识、学习潜能的考查．【例5】 用10个边长分别为3，5，6，11，17，19，22，23，24，25的正方形，可以拼接成一个矩形．(1)求这个矩形的长和宽； (2)请画出拼接图．思路点拨 利用拼接前后图形面积不变求矩形的长和宽；运用矩形对边相等这一性质画拼接图． 【例6】 如图，已知△ABC 中，∠B=∠C=30°，请设计三种不同的分法，将△ABC 分割成四个三角形，使得其中两个是全等三角形，而另外两个是相似但不全等的直角三角形．请画出分割线段，标出能够说明分法的所得三角形的顶点和内角度数(或记号)．(画图工具不限，不要求证明，不要求写出画法) (温州市中考题)思路点拨 充分运用几何计算、推理和作图，综合运用动手操作、空间想象、解决问题．学力训练1． 将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕(图中虚线)，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到 条折痕，如果对折n 次，可以得到 条折痕．(2002年南宁市中考题)2．一张直角三角形的纸片，像图中那样折叠，使两个锐角顶点A 、B 重合，若∠B=30°，AC=3，则折痕DE 的长等于 ． (三明市中考题)3．如图，将一块长为12的正方形纸片ABCD 的顶点A 折至DC 边上的点E ，使DE ＝5，折痕为PQ ，则线段PM= ．4．在△ABC 中，已知AB=20，∠A=30°，CD 是AB 边的中线，若将△ABC 沿CD 对折起来，折叠后两个小三角形ACD 与三角形BCD 重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC 的面积的41，有如下结论：①AC 边的长可以等于a ；②折叠前的△ABC 的面积可以等于223a ；③折叠后，以A 、B 为端点的线段AB 与中线CD 平行且相等，其中，正确结论有 个． (天津市中考题)5．将四个相同的矩形(长是宽的3倍)，用不同的方式拼成一个大矩形，设拼得大矩形的面积是四个小矩形的面积和，则大矩形周长的值只可能有( )A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种 (2003年南昌市中考题)6．如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是( ) A ．∠A=∠1+∠2 B ．2∠A ＝∠1+∠2 C ．3∠A ＝2∠1+∠2 D ．3∠A=2(∠l+∠2) (北京市海淀区中考题)7．将一张矩形纸对折再对折(如图)，然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分．将①展开后得到的平面图形是( )A ．矩形B ．三角形C ．梯形D ．菱形 (陕西省中考题)8．如图1，小强拿一张正方形的纸，沿虚线对折一次得图2，再对折一次得图3，然后用剪刀沿图3中的虚线剪去一个角，再打开后的形状是( ) (济南市中考题)9．如图，东风汽车公司冲压厂冲压汽车零件的废料都是等腰三角形的小钢板，其中AB=AC，该冲压厂为了降低汽车零件成本，变废为宝，把这些废料再加工成红星农业机械厂粉碎机上的零件，销售给红星农业机械厂，这些零件的形状都是矩形．现在要把如图所示的等腰三角形钢板切割后再焊接成两种不同规格的矩形，每种矩形的面积正好等于该三角形的面积，每次切割的次数最多两次(切割的损失可忽略不计)．(1)请你设计两种不同的切割焊接方案，并用简要的文字加以说明；(2)若要把该三角形废料切割后焊接成正方形零件(只切割一次)，则该三角形需满足什么条件? (十堰市中考题)10．如图，ABCD是矩形纸片，E是AB上一点，且BE：EA＝5：3，EC=155，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD边上，设这个点为F，求AB、BC的长．11．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC=5，现将它折叠，使点B与点C重合，则折痕的长是． (四川省竞赛题)12．如图，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A，处，第二次过A，再折叠，使折痕DE∥BC，若AB=2，AC=3，则梯形BDEC的面积为．( “宇振杯”上海市竞赛题)13．如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若EH＝3，EF＝4，那么线段AD与AB的比等于． ( “希望杯”邀请赛试题)14．要剪切如图l(尺寸单位mm)所示的两种直角梯形零件，且使两种零件的数量相等．有两种面积相等的矩形铝板，第一种长500mm，宽300mm(如图2)；第二种长600mm，宽250mm(如图3)；可供选用．(1)填空：为了充分利用材料，应选用第种铝板，这时一块铝板最多能剪甲、乙两种零件共个，剪出这些零件后，剩余的边角料的面积是 mm2．(2)画图，从图2或图3中选出你要用的铝板示意图，在上面画出剪切线，并把边角余料用阴影表示出来．15．如图，EF为正方形ABCD的对折线，将∠A沿DK折叠使它的顶点A落在EF上的G点，则∠DKG为( ) A．15° B．30° C．55° D．75°16．某班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图，在Rt△ABC的长都不小于5cm ，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是( )A ．24B ．25C ． 26D ．27 (山东省济南市中考题)17．如图，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设a ＝1，则这个正方形的面积为( )A ．2537+ B ．253+ C ．251+ D ．2)21(+ (2003年山东省竞赛题)18．如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，沿过点月的一条直线BE 折叠这个三角形，使点C 落在AB 边上的点为D ，要使点D 恰为AB 的中点，问在图中还需添加什么条件? (1)写出两个满足边的条件； (2)写出两个满足角的条件；(3)写出一个满足除边角以外的其他条件． (黄冈市竞赛题)19．如图，正方形纸片ABCD 中，E 为BC 的中点，折叠正方形，使点A 与点E 重合，压平后，得折痕MN ，设梯形ADMN 的面积为S 1，梯形BCMN 的面积为S 2，求21S S 的值20．已知一个三角形纸片ABC ，面积为25，BC 的长为l0，∠B 、∠C 都为锐角，M 为AB 边上的一动点(M 与A 、B 不重合)，过点M 作MN ∥BC 交AC 于点N ，设MN=x ． (1)用x 表示△AMN 的面积；(2)△AMN 沿MN 折叠，使△AMN 紧贴四边形BCNM(边AM 、AN 落在四边形BCNM 所在的平面内)，设点A 落在平面BCNM 内的点A ′，△A ′MN 与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ． ①用的代数式表示y ，并写出x 的取值范围．②当x 为何值时，重叠部分的面积y 最大，最大为多少?。
小学四年级奥数竞赛班讲义 第20讲：图形的分割与剪拼
【例2】 (★★★) 在一块长方形的地里有一正方形的水池(如下图)。试画一条直线把除 开水池外的这块地分成面积相等的两块。
【例3】 (★★★) 把任意一个三角形分成面积相等的4个小三角形，有许多种分法。请 你画出4种不同的分法。
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【例5】 (★★★★)
【例4】(★★★★) 怎样把一ห้องสมุดไป่ตู้等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的三角形。
下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将 它分成大小形状完全一样的两部分。如果分三部分呢？如果分成四部 分呢？
【例6】 (★★★) 正三角形ABC的面积是1平方米，将三条边分别向两端各延长一倍， 连结六个端点得到一个六边形(如右图)，求六边形的面积。
A C
B
【例7】 (★★★) 用同样大小的四块等腰直角三角板，能否拼出一个三角形、一个正方 形、一个长方形、一个梯形、一个平行四边形五种图形？若能，画出 示意图。
二、本讲经典例题 例3，例4，例6，例8
3
图形的分割与剪拼
一、了解一下 把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割。 按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼 合。 将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的 剪拼。
二、会用到的 1. 几何变换：平移，旋转，对称 2. 动手
【例1】 (★★) 用一条线段把一个长方形分成形状大小都相同的两块，一共有多少种 不同的分割法？
2
【例8】 (★★★★) 试将一个4×9的长方形分割成两个大小相等、形状相同的图形，然后 拼成一个正方形。
【例9】 (★★★★★)
把下图中两个图形中的某一个分成三块，最后都拼在一起，使它们成 为一个正方形。
图形的分割与剪拼
（3）找中心利用染色法分割
例题：1.下图是一个直角梯形，请你画一条线段，把它分成两个形状相同并且面积相等的四边形．
分割后两个图形形状相同面积相等说明两个图形全等，直角梯形的上底为1，下底为2，要分成两个相同的四边形，需要一条边可以分成1和2， 边长正好为3，所以 边分成两段，找到 的三等分点 ，过点E任作一条线段将梯形ABCD分成两部分交BC与点F，现在， ，∠D=∠A=90°， ，∴BE=CE且∠BED=90°△BEC为等腰直角三角形，由对应性，只需满足EF=BF，CF=EF即CF=EF=BF∴ 应为BC的中点，连接 ，就把梯形 分成完全相同的两部分．如右上图．
为1:2:3
分析：由8字相似可知
∴△PAB,△PBC,△PAC的面积比为1:2:3
二．按要求分割出与原图形形状相同的图形
图形的形状相同即相似，在研究多边形相似时要满足两点：
1.对应角相等，
2.对应边成比例，
（1）如图，非等腰Rt△ABC中，∠A=90°点P为Rt△ABC的边上的动点，过点P作一条直线分割出一个三角形与原三角形形状相同。
一．按要求分割后各部分的面积满足一定的比例关系。
在研究这类问题时，同学们先给我们的大脑充点电吧
Ⅰ.把任意一个三角形分成面积相等的2个小三角形，有许多种分法．请你画出
4种不同的分法．
分析：方法一.根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成2个等
底等高的小三角形，它们的面积必定相等．而要得到这2个等底等高的小三角
同学们以上三点看懂了吗？下面让我们来两个小题实战一下吧！
1.如图所示五边形ABCDE内有一段折线CFE把原五边形分成两部分，面积分别为s1和s2现在过点E想用一条直线将原五边形仍分成两部分但两侧的面积不变。
四年级学而思秋季讲义20 图形的分割与剪拼(强化)--田芳宇
甜甜传秘笈
知识篇 图形拼接： 1、等边找等边； 2、熟悉常见图形：正、长、三角形、梯形。 图形等分： 1、等分点是关键； 2、先分2、3再其他，倍数关系； 3、正三角形的分割：完全平方数份
无方格等分： 无中生有造出格， 形状合理数整除！ 方格剪拼： 先用总数定大小，根据结果定形状。
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图形的分割与剪拼
今日要闻
1．基础图形的剪拼
2．复杂图形的剪拼
3．图形剪拼挑战
【例1】 （1）如图，给出两个完全一样的等腰直角三角形，拼成一个正 方形，三角形，平行四边形。
（2）如图，有两个面积相等的正方形纸片，现在想把它们剪拼成 一个更大的正方形，要求如下： 如果分别剪开这两个正方形，再拼接成一个大正方形，应该怎么办பைடு நூலகம் 如果只允许剪开一个正方形，再拼接成一个大正方形，应该怎么办？
【例6】 如图，试将一个4×9的长方形分割成两个大小相等、形状相同的图 形，然后拼成一个正方形。
3
【例7】 将图分割成形状、大小完全相同的四块，请至少画出 4种不同的方法。
【例8】 如图，左图是由五个相同大小的小正方形拼成的，右图是由一个 正方形和一个等腰直角三角形拼成的。请把这两个图形分别剪成 四个形状、大小都相同的图形。
【例2】 （1）用一条直线把一个正方形分成大小相同，形状相等的2部分。
1
（2）用一条直线把一个长方形分成大小相同，形状相等的2部分。
【例3】 在一块长方形的地里有一个正方形的水池，试画一条直线把除开 水池外的这块地平分成两部分
【例4】 （1）请将下面的正方形平均分成4份，9份，16份。
（2）你能把一个正三角形分成形状相同，大小相等的2个，3个， 4个，9个三角形吗？
2
【例5】 （1）把下图分成形状相同、大小相等的5个小图形，怎么分？ （要保证每个小方格完整） 大小：15÷5＝3 形状：
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图形的分割与剪拼练习题
一．夯实基础：
1.下图是由五个正方形组成的图形．把它分成形状、大小都相同的四个图形，应怎样分？
你能想出几种方法？
2.
3.
4.
二． 拓展提高：
5. 把下图四等分，要求剪成的每个小图形形状、大小都一样．除了剪正方形外，你还有别
的方法吗？
6.
7.
下图是由18个小正方形组成的图形，请你把它分成6个完全相同的图形．
8. 下面哪些图形自身用4次就能拼成一个正方形？
三．超常挑战：
9. 下图是一个34 的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要
保持每个小方格的完整．
20
60
40
20
10. 试用图a 中的8个相等的直角三角形，拼成图b 中的空心正八边形和图c 中的空心正八
角星．
11.
12.
13.分割的结果．
答案：
1. 如果不考虑分成的四个图形的形状，只考虑它们的面积，这就要求把原来五个正方形分
成四个面积相等的图形，每个图形的面积应是1个多正方形．我们把每个正方形各分成四个面积相等的小正方形，分成的每块图形应有五个这样的小正方形．根据图形的对称性，我们很快就能得到如左下图图的分法．也可以将中间的正方形分成四个小正方形，如右下图．
2.
小图形的格数作图，如下图．
3. 由于土地的形状为正三角形，由题意可知，把大三角形的面积分成四份，每一块占一份，
4.
5. 先把图形分成2040⨯相等的两块，每一块中再分成相等的两份，这样就不难分成四块了，
如右上图．
（答案不唯一）
20
6.这道题的要点在于通过计算解决问题，要求把原来三个正三角形分成四个大小、形状都
相同的四个梯形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等，即把整个梯形的面积分成四份，分割后的每一个梯形占一份，可以考虑把每一个三角形的面积分成四份，再把三个正三角形中的每一个小三角形合成要求的梯形，这种类型的题目可以从中点入手，找到每个正三角形的中点并连接，如下图．
7.
通过计算，18÷6=3，说明基本形状是由三个小正方形组成，三个正方形有两种形式：
与，
通过观察，上面的图形具有对称性，不可能分成6个，分法如下图：8.
9.
10.把一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的一条直角边重合，同时，斜边上的一个
锐角顶点与直角顶点重合，像这样依次摆放下去，便可得空心正八边形．若把一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的直角边的一部分重合，但顶点均不重合，依次摆放下去，便可由这八个相等的直角三角形组成空心正八角星．
11. 图形的面积等于16个小方格，如果以每个小方格的边长为1，那么拼成的正方形的边
长应该是4．因为图形是缺角长方形，长为6，宽为3，应将宽加1，长减去2便可得一个正方形，所以分割成两块后，右边的一块应向上平移1(原来宽为3，向上平移使宽为
12.，13.。