现代控制理论总结

y c1 c2
化成了n个彼此独立的系统－－解耦
x1
cn


x2


xn

（3）N(s) 含重极点
D(s)
D(s) (s 1)3(s 4 ) (s n )
G(s)

N (s) D(s)

(s
c11
1)3

c12
(s 1)2

x2

n1


xn1

xn
b x Ax bu,
y cx
当 bn 0 时:
bn
u
z
1
sn an1sn1 a1s a0
sn1 n 1



1s

0
y2 +
+
y
y1
Y1(s) Z (s) Y1(s) U (s) U (s) Z(s)
Y (s) Y1(s) bnU (s)
状态方程不变，A，b 阵不变 y cx bnu
x1 0

x2


0
10 01


xn1


xn a0 a1
0 x1 0

x2

0
0 u
(t1 t2 ) (t1)(t2 ) (t2 )(t1)
(4) 1(t t0 ) (t0 t)
(5) x(t2 ) (t2 t1)x(t1)
(6) (t2 t1)(t1 t0 ) (t2 t0 )
(7) (t)k (kt)
1 1
1
则范德蒙特矩阵使 A对角化:

1
2
P


12
22
n

n
2



1n 2n
nn
四、线性离散系统状态空间表达式的建 立及其解
4.1 离散系统状态空间表达式建立
(1) 从差分方程状态方程
y(k n) an1 y(k n 1) a1 y(k 1) a0 y(k ) b0u(k )
eAtx(0)
1 Aktk k!
)x(0)
『定义』：矩阵指数 eAt
eAt I At 1 A2t2 1 Aktk 1 Aktk
2
k!
k0 k !
x(0) eAt x(t)
又称为状态转移矩阵，记为 (t) eAt
根据拉普拉斯矩阵法：
(t) eAt L1[(sI A)1]
1)
x3 (s)
x3 (s)

(s
1 U
1)
(s)
若其它变量选取与单实极点相同
x11 1 1

x12


1 1

x13 x4



1 4

xn
y [c11 c12 c13 c4
约当标准型
x11 0

bn zn bn1zn1 zn an1zn1
b1z b0 a1z a0

bn

zn1 n1

zn an1zn1


1z
a1z
b0 a0
0 1 0

0
01
x(k 1)


a0 a1
0 0

0
sn1 n1

sn an1sn1


1s 0
a1s a0
G(s) Y(s) Z(s) Y(s) U (s) U (s) Z(s)
1 sn an1sn1
a1s a0 .(n1sn1
1s 0 )
u
z
y
1 sn an1sn1 a1s a0

x2
(t )


xn
(t
)

状态空间表达式：
状态方程：
状态方程是描述状态变量与输入信号之间关系 的一阶微分方程组。
x(t) Ax(t) bu(t)
输出方程：
描述系统输出量与状态变量、输入信号之间关系 的数学表达式。
y(t) cx(t) du(t)
1.2建立状态空间表达式
初始条件为零时，进行拉氏变换
sX(s) AX(s) Bu(s) Y(s) CX(s) Du(s)
Y(s) [C(sI A)1B D]U(s) G(s)U(s)
G(s) C(sI A)1B D
对于多输入多输出系统：
Y1(s) G11(s) G12(s)
令 sI A 0 为特征方程
sI A 0 的根为特征值 i (i 1, 2, , n)
3.特征向量 Pi (i 1, 2, , n)
设A阵具有不相同的特征值(λi)，如果一个非 零的向量pi，满足下式：
i Pi APi
称pi为特征向量。
4. 状态方程的线性变换
选取不同的状态变量有不同形式的状态方程， 两组状态变量之间存在着线性变换。
Y2
(s)


G21(s)
G22 (s)

Yq(s) Gq1(s) Gq2(s)
U(s) －－p维
Y(s) －－q维
G(s) －－qxp维
G1p(s) U1(s)
G2
p
(
s)

U2
(s)


Gqp
(s)

U
p
(s)
2.特征方程和特征值
n1sn1 1s 0
写向量-矩阵形式的动态方程
0 1 0

0
01
x


a0 a1
0
0




x u
1

an1 nn
0 1 n1
A——友矩阵 A，b ——可控标准型
x
y 0
A
1
C
x
x1
0 1 0

0
01
x(k 1)


a0 a1
y(k) x1(k) 1 0
0 0


0

x(k) u(k)
1


0

an1
b0
0x(k)
(2) 从脉冲函数状态方程
G(z)

Y (z) U (z)
G(s) Y (s) N(s)
N (s)
U (s) D(s) (s 1)(s 2 ) (s n )
c1 c2
cn
s 1 s 2 s n
n
Y (s)
ci U (s)
i1 s i
令
xi (s)

s
1
i
U (s)
sxi (s) i xi (s) U (s)
1


xn1

0
an1 xn 1
y 0 1
x1

x2

n1

xn1


bnu
xn
（2）N(s) 并联分解法
D(s)
D(s) (s 1)(s 2 ) (s n )
求解的关键：求状态转移矩阵 (t)
2.状态转移矩阵的运算性质
(1) (0) I
(2) (t) AeAt A(t) (t)A (0) A
上式表明：(t) 是下面微分方程的唯一解 (t) A(t) (0) I
(3) (t1 t2 ) eA(t1t2 ) eAt1eAt2 (t1)(t2 )
1 根据系统机理建立状态空间表达式 2 根据传递函数(微分方程)建立状态空间表达式
2 根据传递函数（微分方程）建立状态空间表达式
考虑单入单出的线性定常系统：
相应的传递函数为：
G(s)

bmsm bm1sm1 sn an1sn1
b1s b0 a1s a0
相应的微分方程为：
现代控制理论复习
一、 线性系统的状态空间描述
1.1 状态空间描述
状态： 状态是指系统的运动状态。
状态变量：
系统状态是由描述系统的最小一组变量来确定，这
组最小变量就是系统的状态变量[x1(t),x2(t),…,xn(t)] .
状态向量：
x1(t)
由状态变量组成的列矩阵。
x(t
)

n
ci xi (t) i 1
y c1x1(t) c2x2 (t) cn xn (t)
x1 1

x2



2


xn


x1 1
பைடு நூலகம்


x2


1
u

4


xn

1
3. 非齐次状态方程的解
x(t) Ax(t) Bu(t) 在输入作用下的响应。
x(t) eAt x(0) t eA(t )Bu( )d 0
t
(t)x(0) 0 (t )Bu( )d
对初始状态 的响应
对输入作用 的响应
三、传递矩阵
1.传递矩阵
x(t) Ax(t) Bu(t) y(t) Cx(t) Du(t)
1

Λ p1Ap
2




n

P阵由A阵的实数向量Pi组成 p p1 p2
pn
特征向量满足： APi i Pi
b) 若A阵为友矩阵，且有n个互不相同的实数特征值λi
0 1 0

0
01
A


a0 a1
0



1

an1

c13
(s 1)

n i4
ci
s i
状态变量选取:
x1(s)

(s
1
1)3
U
(s)

(s
1
1)


(s
1
1)2
U
(s)


(s
1
1)
x2 (s)
x2
(s)

(s
1
1)2
U (s)

(s
1
1)


(s
1
1)
U
(s)


(s
1


x12

0


x13 x4


1 1
u


n xn 1
cn ]x
二、线性定常连续系统状态方程的解
1. 齐次状态方程的解
x(t) Ax(t) x (0) x0
x(t) (I At 1 A2t2 2

b1s b0 a1s a0
mn
先考虑这种情况： 当m n
G(s)

bn

sn1 n1

sn an1sn1


1s
a1s
0
a0

bn

N(s) D(s)
（1）ND((ss)) 串连分解
当 bn 0 时:
G(s)

Y (s) U (s)

sxi (s) i xi (s) U (s) xi (t) i xi (t) u(t)
展开，得
x1(t) 1x1(t) u(t) x2 (t) 2 x2 (t) u(t)

xn (t) n xn (t) u(t)
n
Y(s)
ci U (s)
i1 s i
x Ax bu y cx
x px
x Ax bu y cx
P变换， 变换矩阵： p p1 p2
pn
这里
A p1Ap
b p1b
y cx cpx cx c cp
对系统作线性非奇异变换，其特征值不变。
化A阵为对角阵
a) A阵具有不相同的实数特征值，即λi
mn
y(n)

a y(n1) n1

an2
y(n2)
...
a1 y

a0
y

bmu ( m )

b0u
y 输出 u 输入
传递函数没有零点
G(s)

sn

b0 an1sn1
a1s a0
y(n)

a y(n1) n1

an2
y(n2)
...
a1 y

a0 y

b0u
0 1 0

0
01
x


a0 a1
y 1 0 0x
0
0




x u
1


0

an1 nn
b0 n1
能控标准形
传递函数有零点
G(s)

bmsm bm1sm1 sn an1sn1
离散化
差分形式 状态方程
(k 1)T
G(T )
((k 1)T )Bd
x(k) u(k)
1

0
an1
1
y(k) x1(k) 0 1
n1x(k) bnu(k)
离散系统状 x(k 1) Gx(k) hu(k)
态方程：
y(k) cx(k) du(k)
4.2 定常连续系统状态方程离散化
微分形式 状态方程