上海市七宝中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题

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上海市2019-2020年度高一下学期数学期末考试试卷(I)卷

上海市2019-2020年度高一下学期数学期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2016高二上·杭州期中) 不等式x（x﹣1）＞0的解集是（）A . （﹣∞，0）B . （0，1）C . （1，+∞）D . （﹣∞，0）∪（1，+∞）2. （2分） (2018高一下·山西期中) 已知向量，若与平行，则（）A . -5B .C . 7D .3. （2分）在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55，…中，x等于（）A . 11B . 12C . 13D . 144. （2分） (2019高三上·黑龙江月考) 如图，为了测量某湿地A,B两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点．从点测得，从点测得，，从点测得 .若测得，（单位:百米），则两点的距离为（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高一下·天津期中) 对于任意实数a、b、c、d，下列命题中，真命题为（）①若a＞b，c≠0，则ac＞bc；②若a＞b，则ac2＞bc2；③若ac2＞bc2 ，则a＞b；④若a＞b，则＜．A . ①B . ②C . ③D . ④6. （2分）已知=5，=﹣3，=4，则2﹣3+=（）A . 5B . ﹣5C . 23D . ﹣237. （2分）(2017高二下·河北期末) 已知为的导函数，若，且，则的最小值为（）A .B .C .D .8. （2分）设等差数列取最小值时，等于（）A . 9B . 8C . 7D . 69. （2分）点是椭圆上的一点, 是焦点, 且, 则△的面积是（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高一下·宜春期末) 数列{an}满足an+an+1= （n∈N*），a2=2，Sn是数列{an}的前n 项和，则S21为（）A . 5B .C .D .二、双空题 (共4题；共4分)11. （1分）(2020·济宁模拟) 已知向量满足 ,其中 ,那么________12. （1分） (2019高二上·上海期中) 设满足约束条件，则最大值为________.13. （1分）(2017·山南模拟) 已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1 ， a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6=________．14. （1分）如果关于x的不等式|x-10|+|x-20|<a 的解集不是空集，则实数a的取值范围为________.三、填空题 (共3题；共3分)15. （1分）(2018·枣庄模拟) 已知函数，若正实数，满足，则的最小值为________．16. （1分） (2020高一下·太和期末) 设的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，，，则面积的最大值是________.17. （1分）(2016·南通模拟) 如图，已知△ABC的边BC的垂直平分线交AC于点P，交BC于点Q，若||=3，| |=5，则（ + ）•（﹣）的值为________．四、解答题 (共5题；共35分)18. （5分） (2018高一下·龙岩期中) 已知：三点,其中 .（Ⅰ）若三点在同一条直线上，求的值；（Ⅱ）当时，求．19. （5分） (2018高二上·遵义月考) 已知等差数列满足： .（1）求；（2）令，求数列{bn}的前n项和Tn.20. （10分） (2019高一下·杭州期末) 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若.（1）求角A的度数；（2）当时，求的取值范围．21. （5分） (2016高一下·大连期中) 已知f（x）=2x2﹣3x+1，g（x）=k•sin（x﹣）（k≠0）．（1）设f（x）的定义域为[0，3]，值域为A； g（x）的定义域为[0，3]，值域为B，且A⊆B，求实数k的取值范围．（2）若方程f（sinx）+sinx﹣a=0在[0，2π）上恰有两个解，求实数a的取值范围．22. （10分）(2015高二上·常州期末) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，通项公式为．（1）计算f（1），f（2），f（3）的值；（2）比较f（n）与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、双空题 (共4题；共4分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、填空题 (共3题；共3分)15-1、16-1、17-1、四、解答题 (共5题；共35分)18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。

上海市七宝中学高一数学理期末试题含解析

上海市七宝中学高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f （11）的值等于（）A．2 B．2+C．2+2D．﹣2﹣2参考答案：C【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据图象，求出函数的解析式，结合函数周期性的性质进行转化求解即可．【解答】解：由图象知A=2，T=4×2=8，即=8，则ω=，即f（x）=2sin（x+φ），由五点对应法得×2+φ=，即φ=0，则f（x）=2sin（x），则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（8）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（11）=f（1）+f（2）+f（3），∵f（1）=2sin=2×=，f（2）=2sin（×2）=2sin=2，f（3）=2sin（×3）=2×=，∴f（1）+f（2）+f（3）=2+2，即f（1）+f（2）+f（3）+…+f（11）=2+2，故选：C．2. 设函数，集合，设，则（）A． B． C． D．参考答案：D略3. 已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x+4)=f(x), 当x∈(0,2)时，f(x)=2x2,则f(7)等于（）A．-2 B．2 C．-98 D．98参考答案：A略4. 函数y=的定义域为（）A．（﹣B．C．D．参考答案：B【考点】函数的定义域及其求法．【分析】两个被开方数都需大于等于0；列出不等式组，求出定义域．【解答】解：要使函数有意义，需，解得，故选B．5. 已知是函数的一个零点.若，则 ( ) A．B．C．D．参考答案：B6. 已知a=0.23.5，b=0.24.1，c=e1.1，d=log0.23，则这四个数的大小关系是（）A．a＜b＜c＜d B．a＞b＞c＞d C．d＜b＜a＜c D．b＞a＞c＞d参考答案：C【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．【解答】解：∵y=0.2x是减函数，3.5＜4.1，a=0.23.5，b=0.24.1，∴1=0.20＞a＞b＞0，c=e1.1＞e0=1，d=log0.23＜log0.21=0，∴d＜b＜a＜c．故选：C．7. 三个数0.76，60.7，log0.76的大小关系为（）A．0.76＜log0.76＜60.7 B．0.76＜60.7＜log0.76C．log0.76＜60.7＜0.76 D．log0.76＜0.76＜60.7参考答案：D【考点】指数函数单调性的应用．【分析】由对数函数的图象和性质，可得到log0.76＜0，再指数函数的图象和性质，可得0.76＜1，60.7＞1从而得到结论．【解答】解：由对数函数y=log0.7x的图象和性质可知：log0.76＜0由指数函数y=0.7x，y=6x的图象和性质可知0.76＜1，60.7＞1∴log0.76＜0.76＜60.7故选D8. 若，，则 ( )A． B．0 C．1 D ．2参考答案：A略9. 的展开式中的系数是A．B．C．D．参考答案：D略10. 已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有三个不同的零点，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】原问题等价于函数y=f（x）与y=m的图象有三个不同的交点，作出函数的图象，数形结合可得答案．【解答】解：函数g（x）=f（x）﹣m有三个不同的零点，等价于函数y=f （x ）与y=m 的图象有三个不同的交点，作出函数f （x ）的图象如图：由二次函数的知识可知，当x=时，抛物线取最低点为，函数y=m 的图象为水平的直线，由图象可知当m∈（，0）时，两函数的图象有三个不同的交点，即原函数有三个不同的零点，故选C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 计算下列几个式子，结果为的序号是．①tan25°+tan35°tan25°tan35°，②，③2（sin35°cos25°+sin55°cos65°），④．参考答案：①②③【考点】两角和与差的正切函数．【分析】先令tan60°=tan （25°+35°）利用正切的两角和公式化简整理求得tan25°+tan35°=（1﹣tan25°tan35°），整理后求得tan25°+tan35°+tan25°tan35°=；②中利用正切的两角和公式求得原式等于tan60°，结果为；③中利用诱导公式把sin55°转化才cos35°，cos65°转化为sin25°，进而利用正弦的两角和公式整理求得结果为，④中利用正切的二倍角公式求得原式等于，推断出④不符合题意．【解答】解：∵tan60°=tan （25°+35°）==∴tan25°+tan35°=（1﹣tan25°tan35°） ∴tan25°+tan35°tan25°tan35°=，①符合═tan （45°+15°）=tan60°=，②符合2（sin35°cos25°+sin55°cos65°）=2（sin35°cos25°+cos35°sin25°）=2sin60°=，③符合=tan=，④不符合故答案为：①②③12. 设函数f （x ）=mx 2﹣mx ﹣1．若对一切实数x ，f （x ）＜0恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案：【考点】6E ：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】通过讨论m=0成立，m≠0时，结合二次函数的性质求出m 的范围即可．【解答】解：m=0时f （x ）=﹣1＜0成立，或 m≠0时，结合题意得：，解得：﹣4＜m≤0，因此实数m 的取值范围（﹣4，0]．13. 定义在R 上的函数f （x ）既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是π，且当x∈（0，）时，f （x ）=sinx ，则= ．参考答案：【分析】由题意利用函数的周期性偶函数，转化为f （），即可求出它的值．【解答】解：定义在R 上的函数f （x ）既是偶函数又是周期函数，若f （x ）的最小正周期是π，且当x∈（0，）时，f （x ）=sinx ，所以=f （﹣）=f （）=sin=．故答案为：．14. 函数的极大值为_________。

2019年七宝中学高一期末

七宝中学高一期末数学试卷2019.06一. 填空题1. 计算：21lim33n n n →∞-=+ 2. 已知数列{}n a 是等差数列，如果15a =，22a =，那么3a = 3. 已知数列{}n a 是正实数组成的等比数列，如果41a =，816a =，则q =4. 已知等差数列{}n a 前10项和为20，则14710a a a a +++=5. 等比数列{}n a 中，121a a +=，5616a a +=，则910a a +=6. 如果无穷递缩等比数列{}n a 所有奇数项的和等于所有项和的5倍，则公比q =7. 已知等比数列{}n a 为单调递增数列，设其前n 项和为n S ，若22a =，37S =，则5a 的值为8. 若数列{}n a 满足1120212112n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，若159a =，则2019a = 9. 在△ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若2222019a b c +=，则cot cot cot C A B=+ 10. 已知数列{}n a 的通项公式为1sin()22020n n a a =+-，若满足1232019a a a a +++⋅⋅⋅+= 4038，则a =11. 若等差数列{}n a 、{}n b 的公差都为d （0d ≠），若满足对于任意*n ∈N ，都有 n n b a kd -=，其中k 为常数，*k ∈N ，则称它们互为“同宗”数列，已知等差数列{}n a 中，首项为11a =，2d =，数列{}n b 为数列{}n a 的“同宗”数列，若112233111123lim()90n n n a b a b a b a b →∞+++⋅⋅⋅+=，则k = 12. 现有正整数构成的数阵如下：第一行：1第二行：1 2第三行：1 1 2 3第四行：1 1 2 1 1 2 3 4第五行：1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 1 1 2 3 4 5⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅第k 行：先抄写第1行，接着按原顺序抄写第2行、第3行、⋅⋅⋅直至按原顺序抄写第1k -行，最后添上数k （如第四行，先抄写第一行的数1，接着抄写第二行的数1，2，接着抄写第三行的数1，1，2，3，最后添上4），将按照上述方式写下的第n 个数记作n a （如11a =，21a =，32a =，⋅⋅⋅，143a =，⋅⋅⋅），则1232019a a a a +++⋅⋅⋅+=二. 选择题13. 已知数列{}n a 是等差数列且k 、l 、m 、p 是正整数，则“k l m p +=+”是“k l m p a a a a +=+”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件14. 数列{}n a 和{}n b 分别是等差数列和各项均为正数的等比数列，若55a b =，则（）A. 3746a a b b +>+B. 3746a a b b +≥+C. 3746a a b b +<+D. 3746a a b b +≤+15. 对任意的锐角α、β，下列不等关系中正确的是（）A. cos()sin sin αβαβ+<+B. sin()cos cos αβαβ+>+C. cos()cos cos αβαβ+<+D. sin()sin sin αβαβ+>+16. 已知1a 、2a 、3a 、4a 是等比数列，且1234123lg()a a a a a a a +++=++，若11a >，则（）A. 13a a <，24a a <B. 13a a >，24a a <C. 13a a <，24a a >D. 13a a >，24a a >三. 解答题17. 已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0ω>，||2πϕ<）的部分图像，5(,2)12M π，2(,0)3N π. （1）求ω、A 、ϕ；（2）7[,]26x ππ∈时，求()f x 的值域和单调减区间.18. 已知正项数列{}n a 的首项11a =，前n 项和n S 满足22nn n a a S +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 是公比为5的等比数列，且11b a -，22b a -，33b a -也是等比数列，若数列{}n n a b λ+单调递增，求实数λ的取值范围.19. 已知等比数列{}n a 的公比1q >，且23414a a a ++=，31a +是2a 、4a 的等差中项，数列{}n b 满足16b =-，数列1{()}n n n b b a +-的前n 项和为2n .（1）求q 的值；（2）求数列{}n b 的通项公式.20. 由函数()y f x =确定数列{}n a ，()n a f n =，若函数1()y f x -=能确定数列{}n b ，1()n b f n -=，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“反数列”.（1）若函数()f x ={}n a 的反数列为{}n b ，求数列{}n b 的通项公式；（2）对（1）中的{}n b21log (82)2a a a ⋅⋅⋅>-对任意的正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设1(1)1(1)3(21)22n n c n λλ+---=⋅+⋅-，*λ∈N ，若数列{}n c 的反数列为{}n d ，{}n c 与{}n d 的公共项组成的数列为{}n t （公共项k p q t c d ==，*,,k p q ∈N ），求数列{}n t 的前n 项和n S .21. 已知数列{}n a 满足：11a =，2114n n a a m +=+，其中*n ∈N ，m ∈R . （1）若1a ，m ，2a 成等差数列，求m 的值；（2）若0m =，求数列{}n a 的通项n a ；（3）若对任意正整数n ，都有2n a <，求m 的最大值.参考答案一. 填空题 1. 232. 1-3. 24. 85. 2566. 45-7. 16 8. 29 9. 1009 10. 2 11. 3 12. 3988二. 选择题13. A 14. D 15. C 16. B三. 解答题17.（1）2ω=，2A =，3πϕ=-；（2）[-，11[,]212ππ. 18.（1）n a n =；（2）34λ>-. 19.（1）2q =；（2）2212n n n b -+=-. 20.（1）29n n b =；（2）(0,1)(2,4)U ；（3）3(31)2n n S =-. 21.（1）54；（2）222n n a -=；（3）1.。

高一第二学期数学期末考试试卷

七宝中学高一第二学期数学期末考试试卷一、填空题（每小题3分，满分30分）1. 函数cos y x ω=（其中0ω>）的最小正周期是3，则ω= .32π 2. 数列{}n a 中，11111,1()n na n N a a *+=-=∈，则4a = . 413. 求值：2sin[arccos()]3-= .35 4.已知等比数列{}n a 满足292,9a a ==，则56a a = .18 5. sin cos y x x =+的值域为_______________.[]2,2-6. 等比数列{}n a 中，332a =，前三项之和392S =，则公比q= . q=1或21-7. 已知函数-1()arcsin(2),()23f x x f ππ=+=则 . 41- 8. 函数1arccos y x =-的反函数为 .()[]cos 1,1,1y x x π=-∈- 9．已知函数()cos (0),()f x x x y f x ωωω+>= 的图像与直线2y = 的两个相邻交点的距离等于π ，则()y f x =的单调递增区间是_____________________.,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦10.设等差数列{}n a 满足：公差*d N ∈，*n a N ∈，且{}n a 中任意两项之和也是该数列中的一项. 若513a =，则d 的所有可能取值之和为_________________. 364二、选择题（每小题4分，满分16分）11. 函数sin ,[,]y x x x ππ=+∈-的大致图象是（ C ）12．等差数列{}n a 的前n 项和为1415,0,0n S S S ><，则该数列中正数项共有（ A ）项. A ．7 B ．8 C ．14 D ．1513．对于共有2n 项的数列{}k a ，122213221n n n n n a a a a a a a a --++=+=+==+ 是{}n a 为等差数列的（ B ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 14. 对于()cos f x x x =，以下5个结论中不正确．．．的个数有（ B ） ①函数()y f x =的图像是中心对称图形；②任取x R ∈，()f x x ≤恒成立； ③函数()y f x =的图像与x 轴有无穷多个交点，任取两相邻交点的距离相等； ④函数()y f x =与y x =的任意相邻交点间的距离相等； ⑤当1k >时，()f x kx =仅有一个公共点.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个三、解答题（共5题，满分54分）15．（6分）解方程：2tan 10x +=．解：1arctan ,2x k k Z π=-∈16． (10分) 已知等比数列{}()n a n N *∈满足12a =，454a =，等差数列{}n b ()n N *∈满足11b a =，32b a =．求数列{}n b 的前n 项和n S ．解：等比数列{}()n a n N *∈，12a =，54314==q a a 则3=q .等差数列{}n b ()n N *∈，6,22311====a b a b ，则2213=-=b b d ()n n b n 2122=-+=，()()2212n nS n n n =+=+17．（6+6=12分）在数列{}n a 中，若32n n S a =+，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对于任意n N ∈*，n S a ≤恒成立，求实数a 的取值范围．解：()1因为 n n a S 23+=，1123+++=n n a S ，+∈N n .()n n n a a a -=++112，n n a a 21=+,+∈N n .又1123a a +=，所以31-=a .所以数列{}n a 是以31-=a 为首项，公比为2的等比数列. 所以123-⋅-=n n a ，+∈N n .()2()21213---=nn S ()n 213-=a ≤，因为n S 单调递减，所以()32131-=-⨯=≤S S n ，所以()max n S a ≥=1S =3-，即3-≥a .18. （12分）已知数列{}n b ，若存在正整数T ，对一切*n ∈N 都有n T n b b +=，则称数列{}n b 为周期数列，T 是它的一个周期．例如：数列a ，b ，c ，a ，b ，c ，… 可看作周期为3的数列…若12,,12a b c ===-，且它有一个形如sin()n b A n ωϕ=+B +的通项公式，其中A 、B 、ω、ϕ均为实数，0A >，0ω>，||2ϕπ<，求该数列的一个通项公式n b ．解：由题意，0ω>，应有23ωπ=，得23ωπ=，于是2sin()3n b A n B ϕπ=++，把12b =，212b =，31b =-代入上式得2sin()2,(1)341sin(),(2)32sin(2)1,(3)A B A B A B ϕϕϕπ⎧++=⎪⎪π⎪++=⎨⎪π++=-⎪⎪⎩由(1)(2)可得cos A ϕ=，再代入(1)的展开式，可得5sin 24A B ϕ-+=，与(3)联立得12B =，3sin 2A ϕ=-，于是t a nϕ=，因为||2ϕπ<，所以3ϕπ=-，于是可求得A ．故213sin()332n n b ππ=-+（*n ∈N ）或写成213sin[(31)]332n n b k ππ+-+（k ∈Z ,*n ∈N ）．19.（4+5+5=14分）设数列{}n a 为递增数列，且01=a ，1()sin()n n f x x a n=-，[]1,n n x a a +∈（n 为正整数）．若对于任意的[)0,1b ∈，()n f x b =总有两个不同的根．（1）试写出1()y f x =，并求出2a ；（2）求1n n a a +-，并求出{}n a 的通项公式；（3）设n n n a a a S 121)1(--++-= ，求n S ．解：（1）[]211,0,sin )sin()(a x x a x x f ∈=-=，又[)1,0,s i n ∈=b b x 总有两个不同的实根，π=∴2a ，且`1()sin f x x =，[0,]x π∈．（2）1当102n n n a a π+<-≤时，)(x f y n =为增函数，不合题意，舍去； 2 当ππn a a n n n <-<+12时，10,sin n n a a b n +⎡-⎫∈⎪⎢⎣⎭时，b x f n =)(有唯一解，不合题意． πn a a n n =-∴+1π2)1(11211-=+-+-+-=∴--n n a a a a a a a n n n n ．（3）当k n 2=时，122122(21)n k k S a a a a k πππ-=-++-=----- =ππ422n k -=-当12+=k n 时，21221221(21)22n k k k k kS a a a a a k ππ-++=-++-+=-+ 2(1)(1)4n k k ππ-=+=224(1)4n n S n ππ⎧-⎪⎪∴=⎨-⎪⎪⎩ 为奇数为偶数n n ．第二卷1、填空题：(6分)在等差数列{}n a 中，当()r s a a r s =≠时，{}n a 必定是常数数列. 然而在等比数列{}n b 中，对某些正整数,()m t m t ≠，m t b b =时，非常数数列{}n b 的一个例子是()1nn b =- .2、选择题：（6分）函数sin cos ,(,y a x b x a b =-是常数，0)a ≠在4x π=处取到最小值，则函数34f x π⎛⎫-⎪⎝⎭是（ C ）（A ）偶函数且它的图像关于点(),0π对称（B ）偶函数且它的图像关于点3,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称（C ）奇函数且它的图像关于点(),0π对称（D ）奇函数且它的图像关于点3,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称3，解答题：（8分）对于x R ∈，函数()f x满足：21(1),()()2n f x a f n f n +==-，数列{}n a 的前n 项和为3116-，求(2015)f 的值.解：1(1)2f n +=，221(1)()()2f n f n f n ⎡⎤+-=-⎢⎥⎣⎦，221(1)(1)()()4f n f n f n f n +-++=-，则11,04n n n a a a ++=-≤ 111,044n n n a a a ++=--≤≤设121,,4a a ab a b ==+=-，此数列为,,,,,,a b a b a b31,21,16n S n k k N =-∴=+∈14n S k a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，得37,16k a ==-23(2015)f(2015)16f -=-，1(2015)4f = 或3(2015)4f = 13(2015),(2015)24f f ≥∴=。

0204-七宝中学高一下期末(2019.6)

七宝中学高一下期末数学试卷2019.6一、填空题 1．计算：21lim33n n n →∞-=+ ．2．已知数列{}n a 是等差数列，如果15a =，22a =，那么3a = ．3．已知数列{}n a 是正实数组成的等比数列，如果41a =，816a =，则q = ． 4．已知等差数列{}n a 前10项和为20，则14710a a a a +++= ． 5．等比数列{}n a 中，121a a +=，5616a a +=，则910a a += ．6．如果无穷递缩等比数列{}n a 所有奇数项的和等于所有项和的5倍，则公比q = ． 7．已知等比数列{}n a 为单调递增数列，设其前n 项和为n S ，若22a =，37S =，则5a 的值为．8．若数列{}n a 满足112,(0)2121,(1)2n n n n n a a a a a +⎧⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩≤≤≤，若159a =，则2019a = ．9．在A BC △中，,,A B C ∠∠∠的对边分别为,,a b c ．若2222019a b c +=，则cot cot cot CA B=+ ．10．已知数列{}n a 的通项公式为1sin 22020n n a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若满足1232019a a a a +++⋅⋅⋅+=4038，则a = ．11．若等差数列{}n a 、{}n b 的公差都为(0)d d ≠，若满足对于任意*n ∈N ，都有n n b a kd -=，其中k 为常数，*k ∈N ，则称它们互为“同宗”数列．已知等差数列{}n a 中，首项为11a =，2d =．数列{}n b 为数列{}n a 的“同宗”数列，若112233111123lim 90n n n a b a b a b a b →∞⎛⎫+++⋅⋅⋅+=⎪⎝⎭，则k = ．12．现有正整数构成的数阵如下：第一行：1 第二行：1 2 第三行：1 1 2 3 第四行：1 1 2 1 1 2 3 4第五行：1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 1 1 2 3 4 5………………第k 行：先抄写第1行，接着按原顺序抄写第2行、第3行、⋅⋅⋅直至按原顺序抄写第1k -行，最后添上数k （如第四行，先抄写第一行的数1，接着抄写第二行的数1，2，接着抄写第三行的数1，1，2，3，最后添上4），将按照上述方式写下的第n 个数记作n a （如11a =，21a =，32a =，⋅⋅⋅，143a =，⋅⋅⋅），则1232019a a a a +++⋅⋅⋅+= ．二、选择题13．已知数列{}n a 是等差数列且,,,k l m p 是正整数，则“k l m p +=+”是“k l m p a a a a +=+”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 14．数列{}n a 和{}n b 分别是等差数列和各项均为正数的等比数列，若55a b =，则（） A ．3746a a b b +>+ B ．3746a a b b ++≥ C ．3746a a b b +<+ D ．3746a a b b ++≤ 15．对任意的锐角,αβ，下列不等关系中正确的是（）A ．cos()sin sin αβαβ+<+B ．sin()cos cos αβαβ+>+C ．cos()cos cos αβαβ+<+D ．sin()sin sin αβαβ+>+16．已知1234,,,a a a a 是等比数列，且1234123lg()a a a a a a a +++=++，若11a >，则（） A ．1324,a a a a << B ．1324,a a a a >< C ．1324,a a a a <> D ．1324,a a a a >>三、解答题17．已知函数()sin()(0,||)2f x A x πωϕωϕ=+><的部分图像如右图．（1）求,,A ωϕ；（2）7[,]26x ππ∈时，求()f x 的值域和单调递减区间．18．已知正项数列{}n a 的首项11a =，前n 项和n S 满足22n n n a a S +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 是公比为5的等比数列，且11b a -，22b a -，33b a -也是等比数列，若数列n n a b λ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭单调递增，求实数λ的取值范围．19．已知等比数列{}n a 的公比1q >，且23414a a a ++=，31a +是2a ，4a 的等差中项．数列{}n b 满足16b =-，数列1{()}n n n b b a +-的前n 项和为2n ．（1）求q 的值；（2）求数列{}n b 的通项公式．20．由函数()y f x =确定数列{}n a ，()n a f n =．若函数1()y f x -=能确定数列{}n b ，1()n b f n -=，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“反数列”．（1）若函数()f x ={}n a 的反数列为{}n b ，求数列{}n b 的通项公式；（2）对（1）中的{}n b21log (82)2a a a ⋅⋅⋅+-对任意的正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设*1(1)1(1)3(21),22n n c n λλλ+---=⋅+⋅-∈N ，若数列{}n c 的反数列为{}n d ，{}n c 与{}n d 的公共项组成的数列为{}n t （公共项k p q t c d ==，*,,k p q ∈N ），求数列{}n t 的前n 项和n S ．21．已知数列{}n a 满足：11a =，2114n n a a m +=+，其中*n ∈N ，m ∈R ．（1）若12,,a m a 成等差数列，求m 的值；（2）若0m =，求数列{}n a 的通项n a ；（3）若对任意正整数n ，都有2n a <，求m 的最大值．参考答案一、填空题 1．23 2．1- 3．2 4．8 5．256 6．45- 7．16 8．299．1009 10．2 11．3 12．3988【第9题解析】cos cos cot sin sin cos sin sin cos cos sin cos sin cos cot cot sin sin()sin sin sin sin C CC A B C C C A B A B B A A B C A B A B A B ===++++ 222222222222sin sin cos 201921009sin 22a b c ab A B C a b c c c ab C c c c +-⋅+--=====．【第10题解析】∵sin sin()0x x +-=， ∴120192201820202(12019,)n n a a a a a a a n n *-+=+==+=∈N ≤≤，∴123201920194038a a a a a +++⋅⋅⋅+==，从而2a =．【第11题解析】改编自2019宝山一模12由题意，111111()(21)(212)221212n n n n a b a a kd n n k k n n k ⎛⎫===- ⎪+--+--+⎝⎭．①1k =时，11223311111111111213352121n n a b a b a b a b n n ⎛⎫+++⋅⋅⋅+=-+-++- ⎪-+⎝⎭111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，11223311111lim 2nn n a b a b a b a b →∞⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪⎝⎭，不符； ②2k =时，1122331111111114132123n n a b a b a b a b n n ⎛⎫+++⋅⋅⋅+=+-- ⎪++⎝⎭，11223311111lim 3n n n a b a b a b a b →∞⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪⎝⎭，不符； ③3k =时，1122331111111111123613521232590n n a b a b a b a b n n n ⎛⎫+++⋅⋅⋅+=++---=⎪+++⎝⎭，符合．【第12题解析】由题意，第n 行共有12-n 个数，前n 行共有21122221n n -++++=-个数，解212019n -≥得11n ≥，说明2019a 在第11行，前10行共有1023个，第11行的前511个数为前9行所有数字的复制；之后的255个数为前8行所有数字的复制；之后的127个数为前7行所有数字的复制；之后的63个数为前6行所有数字的复制；之后的31个数为前5行所有数字的复制，至此共有2010个数．之后的9个数为前4行的前9个数1，1，2，1，1，2，3，1，1．记前n 行的所有数的和为n T ，则11T =，12(2)n n T T n n -=+≥， 12[(1)]n n T kn b T k n b -++=+-+，化简得12(2)n n T T kn b k -=++-，∴1k =且20b k -=，∴122[(1)2]n n T n T n -++=+-+，即{2}n T n ++是首项为4，公比为2的等比数列，从而122n n T n +=--，∴12320195678910133988a a a a T T T T T T +++⋅⋅⋅+=++++++=．【说明】前n 行共有1个n ，2个1n -，22个2n -，…，2n k -个k ，，…，12n -个1， ∴211(1)22212n n n T n n --=⨯+-⨯++⨯+⨯，后续可采用错位相减法求解n T ，过程略．二、选择题13．A 14．D 15．C 16．B【第16题解析】取12a =，设公比为x ，借助计算器的solve 功能，解方程232102(1)log (222)x x x x x +++=++，可得0.927x ≈-，选B ．三、解答题17．（1）2ω=，2A =，3πϕ=-；（2）[-，11[,]212ππ． 18．（1）n a n =；（2）1158n n b -=-⋅，118()5n nn a n b λλ-+⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，由题意，1max 113044n n n n a a n b b λλλλ++++⎛⎫->⇒>-+⇒>- ⎪⎝⎭． 19．（1）2q =；（2）12n n a -=，记1()n n n n b b a c +-=，则212n c c c n +++=，易得21n c n =-，于是11212n n n n b b +---=，应用累加法及错位相减法，可求出2212nn n b -+=-． 20．改编自2014年长宁一模理23（1）21()(0)9x f x x -=≥，则2()9n n b n *=∈N ．（2）不等式化为：23331log (82)1222a a a n n n +++>-++，设333122n T n n n =+++++，因为13302122n n T T n n +-=->++，所以{}n T 单调递增，则min 13()2n T T ==．因此213log (82)22a a a -<，即2log (82)3a a a -<．①01a <<时，22382082a a a a a ⎧->⎨->⎩，解得01a <<； ②1a >时，22382082a a a a a ⎧->⎨-<⎩，解得24a <<；综上，a 的取值范围是(0,1)(2,4)．（3）当λ为奇数时，21n c n =-，1(1)2n d n =+．由121(1)2p q -=+，得43q p =-，即{}{}n n c d ，因此21n t n =-，所以2n S n =．当λ为偶数时，3n n c =，3log n d n =．由33log p q =，得33p q =，即{}{}n n c d ，因此3n n t =，所以3(31)2n n S =-．21．改编自2019年杨浦二模21 （1）214a m =+，由122m a a =+，得1214m m =++，所以54m =；（2）2114n n a a +=，显然，0n a >恒成立所以，221221log log 22log 4n n n a a a +==-+，即2122log 2(2log )n n a a +-+=-+，所以，112122log 2(2log )22n n n n a a --+-+=-+=-⨯，整理得，1222n n a --=；（3）22111(2)(1)144n n n n n a a a a m a m m +-=-+=-+--≥故1122111()()()(1)(1)n n n n n a a a a a a a a a n m ---=-+-++-++--≥，当1m >时，令1(1)(1)2a n m +--≥，即1211a n m -+-≥，则1(1)(1)2n a a n m +--≥≥，与已知矛盾；所以，1m ≤．（另解：当1m >时，注意到n →+∞时，(1)(1)m n --→+∞因此，存在充分大的n ，使得1(1)(1)2m n +-->，即2n a >，与已知矛盾）若1m =，则21124n n a a +=+，下用数学归纳法证明02n a <<．1n =时，显然成立，假设02k a <<，则22111121244k k a a +=+<⨯+=，而10k a +>显然成立．故对所有正整数n ，都有2n a <．所以，m 的最大值为1．。

七宝中学高一数学期末复习试卷

七宝中学高一数学期末复习试卷（满分100分，90分钟完成，允许使用计算器，答案一律写在答题纸上）一．填空题：每小题3分，共42分1．命题“若a ＞b ，则33a b >”的逆命题是． 2．已知集合}|{},1|{a x x B x x A ≥=≤=，且,R =B A 则实数a 的取值范围是．3．不等式2|12|≥+x 的解为．4.设函数⎩⎨⎧∉∈=Qx Q x x D 01)(，令)1()(+=x D x F ，则）)((x D F = ． 5.设函数xa x x x f ))(1()(++=为奇函数，则实数a= ． 6．若函数)1,0()(≠>=a a a x f x 的反函数的图像过点)1,2(-，则a= ．7.方程)2lg(2--x x =)6lg(2x x --的解为．8.若函数2)1(22+-+=x a x y 在区间(]4-，∞上单调递减，则实数a 的取值范围是．9.函数)(22)(22R x x x x f ∈-+=的最小值是．10.若函数k x x f --=1||1)(只有一个零点，则实数k= ． 11.已知()()()()2111x a x , x f x a , x -+<⎧⎪=⎨≥⎪⎩（a ＞0，1a ≠）是R 上的增函数，那么实数a 的取值范围是。

12.若不等式210x kx k -+->对(1,2)x ∈恒成立，则实数k 的取值范围是．13．定义在R 上的函数)(x f 满足)(2)2(x f x f =+，当]2,0[∈x 时，x x x f 2)(2-=，则当]2,4[--∈x 时，函数)(x f 的最小值为_______________．14.已知函数x x f 241)(-=的图像关于点P 对称，则点P 的坐标是．二．选择题：每小题3分，共12分15．下列函数中，与函数1y x = 有相同定义域的是 ( ) （A ）2()log f x x = （B ）1()f x x=（C ） ()||f x x = （D ）()2x f x = 16．幂函数)(x f y =的图像经过点)21,4(，则1()4f 的值为 ( ) （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）417．“2=a ”是函数||)(a x x f -=在[)∞+，2上为增函数的 ( ) （A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件18．定义区间(,)c d ，[,)c d ，(,]c d ，[,]c d 的长度均为()d c d c ->.已知实数a b >，则满足111x a x b+≥--的x 构成的区间的长度之和为 ( ) （A ）a-b（B ）a+b （C ）2 （D ）4三．解答题：19题8分，20题10分，21题12分，22题16分19．设)10(log )()(≠>=a a x f x g a 且(1)若)(x f 在定义域D 内是奇函数，求证： 1)()(=-⋅x g x g(2)若ax x g =)(且在[1，3]上最大值是23，求a 的值（3）若x ax x g -=2)(，是否存在a 使得)(x f 在区间[2，4]上是增函数？如果存在，说明a 可以取哪些值；如果不存在，请说明理由。

上海市闵行区七宝中学2020-2021学年高一下学期期末数学试题答案和解析

上海市闵行区七宝中学【最新】高一下学期期末数学试题学校:姓名：班级：考号：一、填空题1 .方程cosx = sin*的解集为O2 .设｛%｝为等差数列，若41 +% +〃9 =)，则生+/= 5 .设数列｛叫的前〃项和S“，若％= —1, 5”一0(〃 tN) 则｛%｝的通项公式为. 6 .利用数学归纳法证明不等式“1 + ! + : +...+J 二的过程中, 2 32“-1 2、 7由“n = k"变到"〃 =% + 1”时，左边增加了项.7.若/(工)=25吊工-1在区间［4可(〃,〃£1<且。

</?)上至少含有30个零点，则/?一。

的最小值为.38.设数列｛“〃｝的通项公式为% =01丫卜 J 〃>310.对于正项数列｛4｝‘定义"〃=--——J ------------------- 为｛4｝的“光阴”值，6 +2/+3% + ♦♦・ + ”%则 lim (% +%+・•・ + q J =9.已知数列｛4｝中，其前〃项和为S”，为2飞〃为正奇数则与 2〃-1, 〃为正偶数34的值域是112 114 .数列｛/｝的前〃项和为S 〃，若数列｛册｝的各项按如下规律排列：：，一，一，—, 2 3 3 4u — 1 3…，—■,…有如下运算和结论：n 8②数列％ , % +4，〃4+〃5+4，% +4 +% +/o ，…是等比数列:③数列4，4 +%，2%+% + 4，%+/+"9+60,…的前〃项和为［=汇三：④若存在正整数k ，使演<10, 5A +I >10,则4 =?.其中正确的结论是 ________________________________________________ .（将你认为正确的结论序号都填上）二、单选题15 .已知伍”｝、鱼｝都是公差不为0的等差数歹ij,且也户 2 , S“ = q +的+…+ a”, n2S则lim —的值为（）nb 2/iA. 2B. -1C. 1D.不存在16.设伍”｝是公比为4（0<卜|<1）的无穷等比数列，若｛"”｝的前四项之和等于第五项起以后所有项之和，则数列｛%“-J 是（）A.公比为!的等比数列2 B.公比为立的等比数列2 C.公比为它或-它的等比数列2 211D.公比为正或一正的等比数列17.函数y = sin （2x + 0（O<8<1）图象的一条对称轴在（。

2019-2020学年高一(下)期末数学试卷 (33)-720(解析版)

2019-2020学年高一（下）期末数学试卷 (33)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.不等式x2−x−2>0的解集是()A. (−12,1) B. (1,+∞)C. (−∞,−1)∪(2,+∞)D. (−∞,−12)∪(1,+∞)2.点(0,5)到直线2x−y=0的距离是()A. √52B. √5 C. 32D. √543.某种树的分枝生长规律如图所示，则预计到第6年树的分枝数为()A. 5B. 6C. 7D. 84.在△ABC中，若(a+c)(a−c)=b(b−c)，则∠A=()A. 300B. 600C. 1200D. 15005.已知圆C：x2+y2−2x−4y−4=0，则其圆心坐标与半径分别为()A. (1,2)，r=2B. (−1,−2)，r=2C. (1,2)，r=3D. (−1,−2)，r=36.已知：△ABC中，a=2，∠B=60°，∠C=75°，则b=()A. √6B. 2C. √3D. √27.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a2015=S2015=2015，则首项a1=()A. 2015B. −2015C. 2013D. −20138.若直线过P(2,1)点且在两坐标轴上的截距相等，则这样的直线有几条()A. 1条B. 2 条C. 3条D. 以上都有可能9.某几何体的三视图如下所示，则该几何体的体积为()A. 2π+8B. π+8C. 2π+83D. π+8310.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A. 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则n//mC. 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD. 若m⊥α，n//m，n//β，则α⊥β11.点P(1,−2)关于点M(3,0)的对称点Q的坐标是()A. (1,2)B. (2,−1)C. (3,−1)D. (5,2)12.已知等差数列{a n}，a1=1，a3=3，则数列{1a n a n+1}的前10项和为()A. 1011B. 911C. 910D. 1110二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设变量x，y满足约束条件： {x+y⩾3x−y⩾−12x−y⩽3，则目标函数z=3x−2y的最小值为______．14.直线l过点A(−1,3)，B(1,1)，则直线l的倾斜角为______ ．15.平行六面体ABCD−A1B1C1D1的所有棱长均为2，∠A1AD=∠A1AB=∠DAB=60°，那么二面角A1−AD−B的余弦值为______ ．16.已知等比数列{a n}的公比为正数，且a1⋅a7=2a32，a2=2，则a1的值是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.求倾斜角为直线y=−√3x+1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点(−4,1)；(2)在x轴上的截距为−10．18.已知：△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos2B−cos(A+C)=0．(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)若sinA=3sinC，△ABC的面积为3√3，求b边的长．419.已知等差数列{a n}满足：a5=9，a2+a6=14．(1)求{a n}的通项公式；(2)若b n=1，求数列{b n}的前n项和S n．a n a n+120.如图，圆x2+y2=8内有一点P(−1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦，(1)当α=135°时，求|AB|(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．(3)求过点P的弦的中点的轨迹方程．21.在等差数列{a n}中，a1=10，d=−2，求数列的前n项和S n的最大值．22.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，点D在棱BC上，AD⊥C1D，点E，F分别是BB1，A1B1的中点。

上海市2019-2020学年高一下期末检测数学试题含解析

上海市2019-2020学年高一下期末检测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，若a α⊥，b β⊥，//αβ，则下列三个结论：①//a b 、②a b ⊥、③a β⊥．其中正确的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C【解析】【分析】根据题意，a α⊥，b β⊥，//αβ，则有b α⊥，因此//a b ，a β⊥，不难判断.【详解】因为a α⊥，b β⊥，//αβ，则有b α⊥，所以//a b ，a β⊥，所以①正确，②不正确，③正确，则其中正确命题的个数为2.故选C【点睛】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间推理能力，属于简单题.2．问题：①有1000个乒乓球分别装在3个箱子内，其中红色箱子内有500个，蓝色箱子内有200个，黄色箱子内有300个，现从中抽取一个容量为100的样本；②从20名学生中选出3名参加座谈会. 方法：Ⅰ.随机抽样法 Ⅱ.系统抽样法 Ⅲ.分层抽样法.其中问题与方法能配对的是( )A ．①Ⅰ，②ⅡB ．①Ⅲ，②ⅠC ．①Ⅱ，②ⅢD ．①Ⅲ，②Ⅱ 【答案】B【解析】解：（1）中由于小区中各个家庭收入水平之间存在明显差别故（1）要采用分层抽样的方法（2）中由于总体数目不多，而样本容量不大故（2）要采用简单随机抽样故问题和方法配对正确的是：（1）Ⅲ（2）Ⅰ．故选B ．3．已知a b <，则下列不等式成立的是（）A ．11a b >B ．a b <C ．22a b <D ．33a b <【答案】D【解析】【分析】利用排除法，取3a =-，2b =，可排除错误选项，再结合函数3y x =的单调性，可证明D 正确.【详解】取3a =-，2b =，可排除A ，B ，C ，由函数3y x =是R 上的增函数，又a b <，所以33a b <，即选项D 正确.故选：D.【点睛】本题考查不等式的性质，考查学生的推理论证能力，属于基础题.4．已知数列{}{},n n a b 满足11a =，且1,n n a a +是函数2()2n n f x x b x =-+的两个零点，则10b 等于（） A ．24B ．32C ．48D ．64【答案】D【解析】试题分析：依题意可知，1n n n a a b ++=，12n n n a a +⋅=，1122n n n a a +++⋅=，所以12212n n n n n na a a a a a ++++⋅==⋅.即22n n a a +=，故312a a =，53124a a a ==，75128a a a ==，971216a a a ==.11a =，所以916a =，又可知9910102512,32a a a ⋅==∴=.1010111121024,32a a a ⋅==∴=,故10101164b a a =+=.考点：函数的零点、数列的递推公式5．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和其所用的时间x 的函数图象为( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：根据题意，甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20min ，在乙地休息10min 后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30min ，那么可知先是匀速运动，图像为直线，然后再休息，路程不变，那么可知时间持续10min ，那么最后还是同样的匀速运动，直线的斜率不变可知选D. 考点：函数图像点评：主要是考查了路程与时间的函数图像的运用，属于基础题．6．若a b ，是函数()()200f x x px q p q =-+>>，的两个不同的零点，且2a b -，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于（）A ．1B ．5C ．9D ．4【答案】C【解析】试题分析：由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4=b a ．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a =-，解得1a =，4b =；当4a 是等差中项时，82a a=-，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=．考点：等差中项和等比中项．7．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】先求出基本事件总数n ＝27，在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上，且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，由此能求出在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率．【详解】∵一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，∴基本事件总数n ＝27，在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上，且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，则在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率P = 故选：C【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、正方体性质等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，686a a +=，963S S -=，则使n S 取得最大值时n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】【分析】由题意求得数列的通项公式为172n a n =-，令0n a ≥，解得182n ≤+，即可得到答案. 【详解】由题意，根据等差数列的性质，可得68726a a a +==，即73a =又由96789833S S a a a a -=++==，即81a =，所以等差数列的公差为872d a a =-=-，又由7116123a a d a =+=-=，解得115a =，所以数列的通项公式为1(1)15(1)(2)172n a a n d n n =+-=+-⨯-=-，令1720n a n =-≥，解得182n ≤+，所以使得n S 取得最大值时n 的值为8，故选D.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的通项公式，以及前n 项和最值问题，其中解答中熟记等差数列的性质和通项公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9．圆()()22215x y -++=关于原点对称的圆的方程为( )A ．()()22215x y -+-=B ．()()22125x y ++-=C ．()()22125x y -++=D ．()()22215x y ++-= 【答案】D【解析】【分析】根据已知圆的方程可得其圆心()2,1-，进而可求得其关于原点对称点，利用圆的标准方程即可求解.【详解】由圆()()22215x y -++=，则圆心为()2,1-，半径r =圆心为()2,1-关于原点对称点为()2,1-，所以圆()()22215x y -++=关于原点对称的圆的方程为()()22215x y ++-=.故选：D【点睛】本题考查了根据圆心与半径求圆的标准方程，属于基础题.10．直线210x ay +-=与平行，则a 的值为( ) A ．12 B ．12或0 C ．0 D ．－2或0 【答案】A【解析】【分析】若直线210x ay +-=与(1)10a x ay --+=平行,则1()2(1)0a a a ⨯---=,解出a 值后,验证两条直线是否重合,可得答案.【详解】若直线210x ay +-=与(1)10a x ay --+=平行,则1()2(1)0a a a ⨯---=,解得0a =或12a =, 又0a =时,直线10x -=与10x -+=表示同一条直线, 故12a =, 故选A.本题考查的知识点是直线的一般式方程,直线的平行关系,正确理解直线平行的几何意义是解答的关键. 11．设R a ∈，若关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[]1,2上有解，则（）A ．2a ≤B ．2a ≥C ．52a ≥D ．52a ≤ 【答案】D【解析】【分析】根据题意得不等式对应的二次函数()21f x x ax =-+开口向上，分别讨论0,0,0∆=∆>∆<三种情况即可．【详解】由题意得：当02a ∆=⇒=±当()()22052251020222a a a a f f a a ⎧->⎧⎪⇒⇒<-<≤⎨⎨≥≥≤≤⎩⎪⎩或或或或当022a ∆<⇒-<<综上所述：52a ≤,选D. 【点睛】本题主要考查了含参一元二次不等式中参数的取值范围．解这类题通常分三种情况：0,0,0∆=∆>∆<．有时还需要结合韦达定理进行解决．12．已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，下列命题正确是（）A ．m ∥n ，m ∥α⇒n ∥αB ．α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥nC ．α⊥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ⊥nD ．α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β 【答案】D【解析】【分析】在A 中，n ∥α或n ⊂α；在B 中，m 与n 平行或异面；在C 中，m 与n 相交、平行或异面；在D 中，由线面垂直的判定定理得：α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β．【详解】由两条直线m ，n ，两个平面α，β，知：在A 中，m ∥n ，m ∥α⇒n ∥α或n ⊂α，故A 错误；在B 中，α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m 与n 平行或异面，故B 错误；在C 中，α⊥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m 与n 相交、平行或异面，故C 错误；在D 中，由线面垂直的判定定理得：α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β，故D 正确．故选：D ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题：本题共4小题13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若53a =,392S =,则5S =______. 【答案】10【解析】【分析】将5a 和3S 用首项和公差表示，解方程组，求出首项和公式，利用公式求解5S .【详解】设该数列的公差为d ，由题可知： ()1143932a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1112a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，故5151010S a d =+=.故答案为：10.【点睛】本题考查由基本量计算等差数列的通项公式以及前n 项和，属基础题.14．已知数列{}n a 的前n 项和为21n S n =-，则其通项公式n a =__________．【答案】0,121,2n n n =⎧⎨-≥⎩【解析】分析：先根据和项与通项关系得当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-，再检验，1n =时，1a 不满足上述式子，所以结果用分段函数表示.详解： ∵已知数列{}n a 的前n 项和21n S n =-，∴当1n =时，110a S ==，当2n ≥时，222211[(1)1](1)21n n n a S S n n n n n -=-=----=--=-，经检验，1n =时，1a 不满足上述式子，故数列{}n a 的通项公式0,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩．点睛：给出n S 与n a 的递推关系求n a ，常用思路是：一是利用1,2n n n a S S n -=-≥转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a . 应用关系式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩时，一定要注意分1,2n n =≥两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.15．已知直线20ax y +-=平分圆22(1)()4x y a -+-=的周长，则实数a =________．【答案】1【解析】【分析】由题得圆心在直线上，解方程即得解.【详解】由题得圆心（1，a ）在直线20ax y +-=上，所以20,1a a a +-=∴=.【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.16．已知3sin()45πθ-=，则sin 2θ的值为______ 【答案】725 【解析】【分析】根据两角差的正弦公式，化简3sin()cos 4225πθθθ-=-=，解出sin cos θθ-的值，再平方，即可求解.【详解】由题意，可知3sin()45πθθθ-=-=，sin cos θθ∴-=1812sin cos 25θθ-= 72sin cos 25θθ∴=则7sin 225θ=故答案为：725【点睛】本题考查三角函数常用公式()2sin cos 12sin cos θθθθ-=-关系转换，属于基础题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

上海中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题+Word版含答案

上海中学高一下期末数学试卷2020.6一、填空题1．在数列{}n a 中，若11a =，1133n na a +=+，则n a = ． 2．在首项为2020，公比为12的等比数列中，最接近于1的项是第项． 3．等差数列{}n a 的前15项和为90，则8a = ． 4．等比数列{}n a 满足78927a a a =．则313233315log log log log a a a a ++++= ．5．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，49S S =，则n S 取最大值时n = ． 6．数列{}n a 由2,(),n n n n a n a n *⎧⎪=∈⎨⎪⎩N 为奇数为偶数确定，则{}n a 中第10个3是该数列的第项．7．已知方程cos221x x k +=+在区间[0,]2π内有两个相异的解,αβ，则k 的取值范围是．8．在数列{}n a 中，11a =，1()1nn n a a n a *+=∈+N ，则n a = ． 9．1111lim 132435(2)n n n →∞⎡⎤++++=⎢⎥⨯⨯⨯+⎣⎦．10．对于数列{}n a ，当n 为奇数时，51n a n =+；当n 为偶数时，22nn a =，则这个数列的前2n 项之和为．11．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x ，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x 生成两个数，一个是x -，另一个是3x +．若1x =，前n 次生成的所．有数．．中不同的数的个数为n T ，则n T = ． 12．若数列{}n a ，{}n b 满足11a =，11b =，若对任意的n *∈N，都有1n n n a a b +=+1n n n b a b +=+111()3n n n nc a b =+，则无穷数列{}n c 的所有项的和为．二、选择题13．用数学归纳法证明“(1)(2)()213(21)n n n n n n +++=⋅⋅-”，从“n k =到1n k =+”，左边需增添的因式为（）A ．21k +B ．2(21)k +C ．211k k ++ D ．231k k ++ 14．“2b ac =”是“,,a b c 依次成等比数列”的（）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．既不充分也不必要D ．充分必要15．等差数列{}n a 的公差d 不为零，等比数列{}n b 的公比q 是小于1的正有理数，若1a d =，21b d =，且222123123a a ab b b ++++是正整数，则q 的值可以为（）A ．17 B ．17- C ．12 D ．12- 16．n S 为实数构成的等比数列{}n a 的前n 项和，则{}n S 中（）A ．任一项均不为0B ．必有一项为0B ．至多有有限项为0 D ．或无一项为0，或无穷多项为0三、解答题17．有三个数,,a b c 依次成等比数列，其和为21，且,,9a b c -依次成等差效列，求,,a b c ．18．解下列三角方程：（1）24cos 4cos 10x x -+=；（2）2sin 3sin cos 10x x x ++=；（3）sin 212(sin cos )120x x x --+=．19．己知等差数列{}n a 满足20a =，6810a a +=-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列1{}2nn a -的前n 项和n S ．20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S 是6和n a 的等差中项．（1）求数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S ；（2）若对任意的n *∈N ，都有[,]n S s t ∈，求t s -的最小值．21．对于实数x ，将满足“01y <≤且x y -为整数”的实数y 称为实数x 的小数部分，用记号x 表示，对于实数a ，无穷数列{}n a 满足如下条件：1a a =，11,0,0,0n n n n a a a a +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩．其中1,2,3,n =⋅⋅⋅．（1）若a ={}n a ；（2）当14a >时，对任意的n *∈N ，都有n a a =，求符合要求的实数a 构成的集合A ．（3）若a 是有理数，设pa q =（p 是整数，q 是正整数，p 、q 互质），问对于大于q 的任意正整数n ，是否都有0n a =成立，并证明你的结论．参考答案一、填空题1．32n - 2．12 3．6 4．15 5．6或7 6．1536 7．[0,1) 8．1n 9．34 10．21522n n n +++- 11．1,13,246,3,n n n n n *=⎧⎪=⎨⎪-∈⎩N ≥ 12．1【第10题解析】分组求和：21321242()()n n n S a a a a a a -=+++++++21(6104)2(12)522212n n n n n n ++--=+=++--．【第11题解析】第1次生成的数为“1”；第2次生成的数为“1-、4”；第3次生成的数为“1、2、4-、7”；第4次生成的数为“1-、4、2-、5、4、1-、7-、10”；…可观察出：11T =，23T =，36T =，410T =，514T =，…，当3n ≥时，{}n T 是公差为4的等差数列，∴1,13,246,3,n n T n n n n *=⎧⎪==⎨⎪-∈⎩N ≥．【第12题解析】由题意，112()n n n n a b a b +++=+，∴{}n n a b +是首项为2，公比为2的等比数列，∴2n n n a b +=，而22211()()2n n n n nn n n a b a b a b a b ++⋅=+-+=⋅，可得12n n n a b -⋅=，从而11112()333n n n n n n n n n n a b c a b a b +=+=⋅=⋅，其各项和为12311113c q ==--．二、选择题13．B 14．B 15．C 16．D【第15题解析】222222123222123(2)(3)14(1)1a a a d d d b b b d q q q q ++++==++++++，12q =符合，选C ．【第16题解析】11,1(1),0,11n n na q S a q q q q =⎧⎪=-⎨≠≠⎪-⎩，当1q =-时，{}n S 有无穷多项为0；否则，{}n S 无一项为0，选D ．三、解答题17．由题意，可设,9a b d c b d =--=+，于是293124()(9)312a b c b b b d b d b d d ++-===⎧⎧⇒⎨⎨-++===-⎩⎩或，从而，可得1,4,16a b c ===或16,4,1a b c ===．18．（1）即21(2cos 1)0cos 2()23x x x k k ππ-=⇒=⇒=±∈Z ；（2）即222sin 3sin cos sin cos 0x x x x x +++=，两边同除2cos x ，可得22tan 3tan 10x x ++=，∴1tan 2x =-或tan 1x =-，∴1arctan ()24x k x k k πππ=-=-∈Z 或；（3）令sin cos4t x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，[t ∈，则2sin 21x t =-，从而2112120t t --+=，即212130t t +-=，解得1t =或13t =-（舍），1sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫-=⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭244x k πππ-=+或32()44x k k πππ-=+∈Z ，∴22x k ππ=+或2()x k k ππ=+∈Z ．19．（1）2n a n =-+；（2）由错位相减法，可得12n n nS -=． 20．（1）由题意，46n n S a =+①，令1n =，可得12a =，1146n n S a ++=+②，②-①，得114n n n a a a ++=-，即113n n a a +=-，∴{}n a 是首项为2，公比为13-的等比数列，∴1123n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，163114223n n n a S -+⎛⎫==+⋅- ⎪⎝⎭；（2）①n 为奇数时，1311223n n S -⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，n S 关于n 单调递减且32n S >恒成立，此时，1322n S S <=≤； ②n 为偶数时，1311223n n S -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，n S 关于n 单调递增且32n S <恒成立，此时，24332n S S =<≤； ∴min 4()3n S s =≥，max ()2n S t =≤，于是min 42()233t s -=-=．21．（1）11a =，21111a a ====，1k a =，则1111k ka a +===所以1n a =．（2）1a a a ==，所以114a <<，所以14a1<<， ①当112a <<，即12a1<<时，211111a a a a a ===-=，所以210a a +-=，解得a =1(,1)2a =，舍去）． ②当1132a <≤，即123a<≤时，211112a a a a a ===-=，所以2210a a +-=，解得1a ==（111(,]32a =∉，舍去）． ③当1143a <≤，即134a<≤时，211113a a a a a ===-=，所以2310a a +-=，解得a =11(,]43a ，舍去）．综上，A =⎪⎪⎩⎭．（3）成立．（证明1）由a 是有理数，可知对一切正整数n ，n a 为0或正有理数，可设nn np a q =（n p 是非负整数，n q 是正整数，且nnp q 既约）． ①由111p pa q q ==，可得10p q <≤； ②若0n p ≠，设n n q p αβ=+（0n p β<≤，,αβ是非负整数）则n n n q p p βα=+，而由n n np a q =得1n n n q a p =11n n n n nq a a p p β+===，故1n p β+=，1n n q p +=，可得10n n p p +<≤ 若0n p =则10n p +=，若123,,,,q a a a a ⋅⋅⋅均不为0，则这q 个正整数互不相同且都小于q ，但小于q 的正整数共有1q -个，矛盾．故123,,,,q a a a a ⋅⋅⋅中至少有一个为0，即存在(1)m m q ≤≤，使得0m a =．从而数列{}n a 中m a 以及它之后的项均为0，所以对于大于q 的自然数n ，都有0n a =. （证法2，数学归纳法）。

2019-2020学年上海中学高一下学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年上海中学高一第二学期期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1．在数列{a n}中，若a1＝1，，则a n＝．2．在首项为2020，公比为的等比数列中，最接近于1的项是第项．3．在等差数列{a n}中，前15项的和S15＝90，则a8＝．4．等比数列{a n}满足a7a8a9＝27．则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a15＝．5．在等差数列{a n}中，a1＞0，S4＝S9，则S n取最大值时，n＝．6．数列{a n}由a n＝（n∈N*）确定，则{a n}中第10个3是该数列的第项．7．已知方程在区间内有两个相异的解α，β，则k的取值范围是．8．已知数列{a n}中a1＝1且（n∈N），a n＝．9．计算＝．10．数列{a n}中，当n为奇数时，a n＝5n+1，当n为偶数时，a n＝，则这个数列的前2n 项的和S2n＝11．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3．设第n次生成的数的个数为a n，则数列{a n}的前n项和S n＝；若x＝1，前n次生成的所有数中不同的数的个数为T n，则T n＝．12．若数列{a n}，{b n}满足a1＝1，b1＝1，若对任意的n∈N*，都有a n+1＝a n+b n+，b n+1＝a n+b n﹣，设c n＝，则无穷数列{c n}的所有项的和为．二、选择题13．用数学归纳法证明：“（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n•1•3…（2n+1）”．从“n＝k到n＝k+1”左端需增乘的代数式为（）A．（2k+1）（2k+2）B．2（2k+1）C．D．14．“b2＝ac”是“a，b，c依次成等比数列”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．既不充分也不必要D．充分必要15．已知等差数列{a n}的公差d不为零，等比数列{b n}的公比q是小于1的正有理数．若，且是正整数，则q的值可以是（）A．B．C．D．16．S n为实数构成的等比数列{a n}的前n项和，则{S n}中（）A．任一项均不为0B．必有一项为0C．至多有一项为0D．或无一项为0，或无穷多项为0三、解答题17．有三个数a，b，c依次成等比数列，其和为21，且a，b，c﹣9依次成等差效列，求a，b，c．18．解下列三角方程：（1）4cos2x﹣4cos x+1＝0；（2）sin2x+3sin x cos x+1＝0；（3）sin2x﹣12（sin x﹣cos x）+12＝0．19．已知等差数列{a n}满足a2＝0，a6+a8＝﹣10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和S n．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n是6和a n的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n；（2）若对任意的n∈N*，都有S n∈[s，t]，求t﹣s的最小值．21．对于实数a，将满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，对于实数a，无穷数列{a n}满足如下条件：a1＝|a，a n+1＝其中n＝1，2，3，…（1）若a＝，求数列{a n}；（2）当a时，对任意的n∈N*，都有a n＝a，求符合要求的实数a构成的集合A．（3）若a是有理数，设a＝（p是整数，q是正整数，p、q互质），问对于大于q的任意正整数n，是否都有a n＝0成立，并证明你的结论．参考答案一、填空题1．在数列{a n}中，若a1＝1，，则a n＝3n﹣2．【分析】利用等差数列定义和通项公式即可得出．解：a1＝1，，则a n+1＝a n+3，∴数列{a n}为首项为1，公差为3的等差数列，∴a n＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2，故答案为：3n﹣2．2．在首项为2020，公比为的等比数列中，最接近于1的项是第12项．【分析】由已知可先求出数列的通项公式，进而可求．解：a n＝a1q n﹣1＝2020×（）n﹣1，则数列单调递减，a11﹣1＝2020×（）10﹣1＝，a12﹣1＝2020×（）11﹣1＝﹣故当n＝12时，数列的项与1最接近．故答案为：12．3．在等差数列{a n}中，前15项的和S15＝90，则a8＝6．【分析】由等差数列的前n和可得，由等差数列的性质可得a1+a15＝2a8，代入可求a8解：由等差数列的前n和可得∴a8＝6故答案为：64．等比数列{a n}满足a7a8a9＝27．则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a15＝15．【分析】利用等比数列的通项公式推导出a8＝3，由此利用等比数列性质和对数函数运算法则能求出log3（a1a2…a15）的值．解：∵a7a8a9＝27，∴a83＝27，∴a8＝3，∴a1a15＝a2a14＝a3a13＝a4a12＝a5a11＝a6a10＝a7a9＝a82＝9，∴log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a15＝log3（a1•a2…a15）＝log3315＝15，故答案为：15．5．在等差数列{a n}中，a1＞0，S4＝S9，则S n取最大值时，n＝6或7．【分析】先由题设条件求出a1＝﹣6d，，然后用配方法进行求解．解：，解得a1＝﹣6d．∴＝＝，∵a1＞0，d＜0，∴当n＝6或7时，S n取最大值﹣．故答案：6或7．6．数列{a n}由a n＝（n∈N*）确定，则{a n}中第10个3是该数列的第1536项．【分析】借助于递推公式知道奇数项的值为其项数，而偶数项的值由对应的值来决定．又通过前面的项发现项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列．即可求出第8个3在该数列中所占的位置．解：由题得：这个数列各项的值分别为1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3…∴a12+a15＝3+15＝18．又因为a3＝3，a6＝3，a12＝3，a24＝3…即项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列．所以第10个3是该数列的第3×210﹣1＝1536项．故答案为：1536．7．已知方程在区间内有两个相异的解α，β，则k的取值范围是[0，1）．【分析】由已知结合辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的图象可求．解：因为在区间内有两个相异解，故y＝cos2x+sin2x＝2sin（2x+），由x∈[0，]可得2x+∈[]，其大致图象如图所示，结合图象可知，1≤k+1＜2，解可得0≤k＜1，故答案为：[0，1）．8．已知数列{a n}中a1＝1且（n∈N），a n＝．【分析】本题考查数列的概念，由递推数列求数列的通项公式，适当的变形是完整解答本题的关键．解：根据题意，a n+1a n＝a n﹣a n+1，两边同除以a n a n+1，得，于是有：，，…，，上述n﹣1个等式累加，可得，又a1＝1，得，所以；故答案为．9．计算＝．【分析】先利用裂项求和可得，＝，代入可求极限＝解：∵2[]＝＝＝∴＝∴＝＝故答案为：10．数列{a n}中，当n为奇数时，a n＝5n+1，当n为偶数时，a n＝，则这个数列的前2n 项的和S2n＝5n2+n+2n+1﹣2【分析】对数列{a n}使用分组求和的办法即可求得其前2n项的和．解：由题意知：数列{a n}的奇数项构成首项为6，公差为10的等差数列；数列{a n}的偶数项构成首项为2，公比为2的等比数列，故S2n＝（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）+（a2+a4+a6+…+a2n）＝6n++＝5n2+n+2n+1﹣2．故答案为：5n2+n+2n+1﹣2．11．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3．设第n次生成的数的个数为a n，则数列{a n}的前n项和S n＝2n﹣1；若x＝1，前n次生成的所有数中不同的数的个数为T n，则T n＝．【分析】（1）根据题意，一个数字生成器，生成规则可得：第1次生成1个数，第二次生成2个数，第三次生成4个数，第四次生成8个数…，以此类推知该数列是等比数列，利用等比数列求和公式即可求出数列{a n}的前n项和S n（2）因为一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3，类推可求出数列的和．解：（1）根据题意，一个数字生成器，生成规则可得：第1次生成1个数，第二次生成2个数，第三次生成4个数，第四次生成8个数…，以此类推，第n次生成的数的个数为a n＝2n﹣1，显然，此数列为首项为1，公比为2的等比数列．再根据等比数列求和公式，则数列{a n}的前n项和S n＝2n﹣1．（2）因为一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3．第一次生成的数为“1”，第二次生成的数为“﹣1、4”，第三次生成的数为“1、2、﹣4、7”，第四次生成的数为“﹣1、4、﹣2、5、4、﹣1、﹣7、10”…可观察出：第一次生成后前1次所有数中不同的个数为“1”，第2次生成后前2次所有数中不同的个数为“3”，第三次生成后前3次所有数中不同的个数为“6”，第四次生成后前4次所有数中不同的个数为“10”，…以此类推以后为公差为4的等差数列．则易得数中不同的数的个数为T n，则T n＝所以，应填上12．若数列{a n}，{b n}满足a1＝1，b1＝1，若对任意的n∈N*，都有a n+1＝a n+b n+，b n+1＝a n+b n﹣，设c n＝，则无穷数列{c n}的所有项的和为1．【分析】由题意可得a n+1+b n+1＝2（a n+b n），则数列{a n+b n}是首项为2，公比为2的等比数列，为本题解题的关键．解：由题意，a n+1+b n+1＝2（a n+b n），∴{a n+b n}是首项为2，公比为2的等比数列，∴，而，可得，从而，其各项和为．故答案为：1．二、选择题13．用数学归纳法证明：“（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n•1•3…（2n+1）”．从“n＝k到n＝k+1”左端需增乘的代数式为（）A．（2k+1）（2k+2）B．2（2k+1）C．D．【分析】写出从n＝k到n＝k+1时左边需增乘的代数式，化简即可．解：当n＝k时，左端＝（k+1）（k+2）（k+3）…（2k），当n＝k+1时，左端＝（k+2）（k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2），从n＝k到n＝k+1时左边需增乘的代数式是：＝2（2k+1）．故选：B．14．“b2＝ac”是“a，b，c依次成等比数列”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．既不充分也不必要D．充分必要【分析】根据等比数列的性质和必要条件和充分条件即可判断．解：“b2＝ac”，当a＝b＝c＝0时，“a，b，c不成等比数列”，但“a，b，c依次成等比数列”则一定有“b2＝ac”，故“b2＝ac”是“a，b，c依次成等比数列”的必要非充分条件，故选：B．15．已知等差数列{a n}的公差d不为零，等比数列{b n}的公比q是小于1的正有理数．若，且是正整数，则q的值可以是（）A．B．C．D．【分析】运用等差数列和等比数列的通项公式，确定的表达式，利用是正整数，q是小于1的正有理数，即可求得结论．解：根据题意：a2＝a1+d＝2d，a3＝a1+2d＝3d，b2＝b1q＝d2q，b3＝b1q2＝d2q2，∴＝＝，∵是正整数，q是小于1的正有理数．令＝t，t是正整数，则有q2+q+1＝，∴q＝，对t赋值，验证知，当t＝8时，有q＝符合题意．故选：D．16．S n为实数构成的等比数列{a n}的前n项和，则{S n}中（）A．任一项均不为0B．必有一项为0C．至多有一项为0D．或无一项为0，或无穷多项为0【分析】举特例验证即可．解：若a n＝1，则S n＝n，显然{S n}中无一项为0，排除A，B；若a n＝（﹣1）n，显然当n为偶数时，S n＝0，即{S n}中有无穷多项为0，排除C，故选：D．三、解答题17．有三个数a，b，c依次成等比数列，其和为21，且a，b，c﹣9依次成等差效列，求a，b，c．【分析】由题意可设a＝b﹣d，c﹣9＝b+d，再由已知列关于b与d的方程组求解b与d 的值，则答案可求．解：由题意，可设a＝b﹣d，c﹣9＝b+d，于是，解得或，当b＝4，d＝3时，可得a＝1，b＝4，c＝16当b＝4，d＝﹣12时，可得a＝16，b＝4，c＝1．18．解下列三角方程：（1）4cos2x﹣4cos x+1＝0；（2）sin2x+3sin x cos x+1＝0；（3）sin2x﹣12（sin x﹣cos x）+12＝0．【分析】（1）由条件可得，然后求出x即可；（2）利用同角三角函数基本关系式化简，然后两边同除cos2x，可得2tan2x+3tan x+1＝0，再求出x；（3）通过换元，转化为二次函数，进而得出．解：（1）即；（2）即sin2x+3sin x cos x+sin2x+cos2x＝0，两边同除cos2x，可得2tan2x+3tan x+1＝0，∴或tan x＝﹣1，∴或；（3）令，，则sin2x＝1﹣t2，从而1﹣t2﹣12t+12＝0，即t2+12t﹣13＝0，解得t＝1或t＝﹣13（舍），再由，∴或，∴或x＝2kπ+π（k∈Z）．19．已知等差数列{a n}满足a2＝0，a6+a8＝﹣10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和S n．【分析】（1）等差数列{a n}的公差设为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得＝（2﹣n）•（）n﹣1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．解：（1）等差数列{a n}的公差设为d，a2＝0，a6+a8＝﹣10，可得a1+d＝0，a1+5d+a1+7d＝﹣10，解得a1＝1，d＝﹣1，则a n＝a1+（n﹣1）d＝1﹣n+1＝2﹣n，n∈N*；（2）＝（2﹣n）•（）n﹣1，数列{}的前n项和设为S n，S n＝1•（）0+0•（）+（﹣1）•（）2+…+（3﹣n）•（）n﹣2+（2﹣n）•（）n﹣1，S n＝1•（）+0•（）2+（﹣1）•（）3+…+（3﹣n）•（）n﹣1+（2﹣n）•（）n，上面两式相减可得，S n＝1+（﹣1）[（）+（）2+…+（）n﹣2+（）n﹣1]﹣（2﹣n）•（）n＝1+（﹣1）•﹣（2﹣n）•（）n，可得S n＝n•（）n﹣1．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n是6和a n的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n；（2）若对任意的n∈N*，都有S n∈[s，t]，求t﹣s的最小值．【分析】（1）利用数列递推式可以得到数列，∴{a n}是首项为2，公比为的等比数列；（2）分为两种情况，n为奇数以及n为偶数，再利用函数性质可以判定S n增减性，从而得到s与t的值．解：（1）由题意，4S n＝6+a n①，令n＝1，可得a1＝2，4S n+1＝6+a n+1②，②﹣①，得4a n+1＝a n+1﹣a n，即，∴{a n}是首项为2，公比为的等比数列，∴，；（2）①n为奇数时，，S n关于n单调递减且恒成立，此时，；②n为偶数时，，S n关于n单调递增且恒成立，此时，；∴（s n）min＝≥s，（s n）max＝2≤t，于是．21．对于实数a，将满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，对于实数a，无穷数列{a n}满足如下条件：a1＝|a，a n+1＝其中n＝1，2，3，…（1）若a＝，求数列{a n}；（2）当a时，对任意的n∈N*，都有a n＝a，求符合要求的实数a构成的集合A．（3）若a是有理数，设a＝（p是整数，q是正整数，p、q互质），问对于大于q的任意正整数n，是否都有a n＝0成立，并证明你的结论．【分析】（1）由题设知＝，a2＝＝＝＝，由此能求出．（2）由a1＝||a||＝a，知，1＜＜4，由此进行分类讨论，能求出符合要求的实数a构成的集合A．（3）成立．证明：由a是有理数，可知对一切正整数n，a n为0或正有理数，可设，由此利用分类讨论思想能够推导出数列{a m}中a m以及它之后的项均为0，所以对不大q 的自然数n，都有a n＝0．解：（1）∵满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，a1＝，a n+1＝其中n＝1，2，3，…∴＝，a2＝＝＝＝，…a k＝，则a k+1＝＝＝，所以．…（2）∵a1＝||a||＝a，∴，∴1＜＜4，①当，即1＜＜2时，＝＝﹣1＝a，所以a2+a﹣1＝0，解得a＝，（a＝∉（，1），舍去）．…②当，即2≤＜3时，a2＝＝，所以a2+2a﹣1＝0，解得a＝＝，（a＝﹣∉（，]，舍去）．…③当，即3＜4时，，所以a2+3a﹣1＝0，解得a＝（a＝，舍去）．…综上，{a＝，a＝，a＝}．…（3）成立．…证明：由a是有理数，可知对一切正整数n，a n为0或正有理数，可设（p n是非负整数，q n是正整数，且既约）．…①由，得0≤p1≤q；…②若p n≠0，设q n＝ap n+β（0≤βP n，α，β是非负整数）则＝a+，而由，得＝，＝＝，故P n+1＝β，q n+1＝P n，得0≤P n+1＜P n．…若P n＝0，则p n+1＝0，…若a1，a2，a3，…，a q均不为0，则这q正整数互不相同且都小于q，但小于q的正整数共有q﹣1个，矛盾．…（17分）故a1，a2，a3，…，a q中至少有一个为0，即存在m（1≤m≤q），使得a m＝0．从而数列{a m}中a m以及它之后的项均为0，所以对不大q的自然数n，都有a n＝0．…（18分）（其它解法可参考给分）。

2019-2020学年上海市上海中学高一下学期期末数学试题(解析版)

2019-2020学年上海市上海中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．用数学归纳法证明：“12213521n n n n nn n N”时，从n k =到1n k =+，等式的左边需要增乘的代数式是（）A ．21k +B ．211k k ++ C ．231k k ++ D ．()221k +【答案】D【解析】根据条件分别求出n k =和1n k =+时左边的式子，从而可求得由n k =到1n k =+时需要增乘的代数式.【详解】当n k =时，左边()()()12k k k k =++⋅⋅⋅+，当1n k =+时，左边()()()()()111211111k k k k k k k k =++++⋅⋅⋅++-+++++，所以由n k =到1n k =+时，等式左边应该增乘的代数式是()()()1112211k k k k k k +++++=++.故选：D 【点睛】本题主要考查数学归纳法的应用，属于基础题.2．“2b ac =”是“,,a b c 依次成等比数列”的（）条件 A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．既不充分也不必要 D ．充分必要【答案】B【解析】举例说明充分性不成立，根据等比数列定义证必要性成立. 【详解】0a b c ===时满足2b ac =，但,,a b c 不成等比数列，所以充分性不成立，若,,a b c 依次成等比数列，则2c bb ac b a=∴=，即必要性成立. 故选：B 【点睛】本题考查充要关系的判断、等比数列定义，考查基本分析判断能力，属基础题. 3．等差数列{}n a 的公差d 不为零，等比数列{}n b 的公比q 是小于1的正有理数，若1a d =，21b d =，且222123123a a ab b b ++++是正整数，则q 的值可以为（）A ．17B ．17-C ．12D ．12-【答案】C【解析】根据等差数列与等比数列通项化简222123123a a ab b b ++++，再根据正整数性质逐一验证选项即可. 【详解】因为1a d =，21b d =，公差d ，公比q所以222222123222123(2)(3)14(1)1a a a d d d b b b d q q q q ++++==++++++，因为q 是小于1的正有理数，所以舍去B,D, 当17q =时，2141449157Z q q ⨯=∉++，舍去A ，当12q =时，21481q q =++，符合，故选：C ．【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项、正整数概念，考查基本分析判断能力，属基础题. 4．n S 为实数构成的等比数列{}n a 的前n 项和，则{}n S 中（） A ．任一项均不为0 B ．必有一项为0C ．至多有有限项为0D ．或无一项为0，或无穷多项为0【答案】D【解析】根据等比数列求和公式特征直接判断选择. 【详解】因为11,1(1)0,11n n na q S a q q q q =⎧⎪=-⎨≠≠⎪-⎩，，所以当1q =-时，{}n S 有无穷多项为0；当1,0q q ≠-≠时，{}n S 无一项为0，故选：D本题考查等比数列求和公式，考查基本分析判断能力，属基础题.二、填空题5．在数列{}n a 中，若11a =，1133n na a +=+，则n a =________．【答案】32n -【解析】根据题意，先得数列{}n a 是公差为3的等差数列，进而可求出结果. 【详解】因为1133n na a +=+，即13n n a a +-=，所以数列{}n a 是公差为3的等差数列，又11a =，所以()13132n a n n =+-=-. 故答案为：32n -. 【点睛】本题主要考查求等差数列的通项公式，熟记公式即可，属于基础题型. 6．在首项为2020，公比为12的等比数列中，最接近于1的项是第________项．【答案】12【解析】先计算等比数列的通项公式，根据该数列是递减的数列，分别计算111213,,a a a ，简单判断可得结果. 【详解】由题可知：等比数列的通项为11=2020()2-⨯n n a所以1112131.97,0.99,0.49≈≈≈a a a所以120.99≈a 与1最接近，所以最接近于1的项是第12项. 故答案为：12 【点睛】本题主要考查等比数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 7．等差数列{}n a 的前15项和为90，则8a =________．【答案】6【解析】根据等差数列求和公式得1151515()2a a S +=,再结合等差数列性质即可求结果.因为等差数列{}n a 的前15项和为90，所以115158815()159062a a S a a +===∴= 故答案为：6 【点睛】本题考查等差数列求和公式、等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 8．等比数列{}n a 满足78927a a a =．则313233315log log log log a a a a ++++=________．【答案】15【解析】根据等比数列性质求得8a ，再根据对数运算法则以及等比数列性质化简所求式子为1538log a ，最后代入8a 得结果. 【详解】78398827273a a a a a =∴=∴=731323331531231531158log log log log log ()log [()]a a a a a a a a a a a ∴++++=⋅⋅=2715388383log [()]log 15log 315a a a ==== 故答案为：15 【点睛】本题考查等比数列性质、对数运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题.9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，49S S =，则n S 取最大值时n =________．【答案】6或7【解析】根据等差数列{}n a 的前n 项和二次函数性质确定最大值取法，即得结果. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为10a >，49S S =，所以0d <2111(1)()222n d dna n n d n S a n =+-=+-为开口向下的二次函数，又49S S =所以对称轴为4913,22n n +== 因为*n N ∈，所以当n =6或7时，n S 取最大值，故答案为：6或7 【点睛】本题考查等差数列前n 项和、二次函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.10．数列{}n a 由2,(),n n n n a n N a n *⎧⎪=∈⎨⎪⎩为奇数为偶数确定，则{}n a 中第10个3是该数列的第____项．【答案】1536【解析】根据递推关系式可得奇数项的项为其项数，而偶数项的值由对应的值来决定，通过前面的项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列，即可求出第10个3在该数列中所占的位置. 【详解】由题意可得：这个数列各项的值分别为1,1,,3,1,5,3,7,1,9,5,11,3,，即33a =，63a =，123a =，243a =，，即项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列，所以第10个3是该数列的第101321536-⨯=. 故答案为：1536 【点睛】本题主要考查了递推数列、等比数列的通项公式，属于中档题. 11．已知方程cos 221x x k +=+在区间[0,]2π内有两个相异的解,αβ，则k 的取值范围是________．【答案】[0,1)【解析】采用数形结合的方法，转化为函数()cos22,1==+f x x x y k 的图象在区间[0,]2π内有两个交点，可得结果.【详解】由题意可知：方程cos 221x x a =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，令()cos22=f x x x ，1y k =+ 等价于两函数的图象在区间[0,]2π内有两个交点.由()cos 23sin 22sin 26f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭如图所以11201≤+<⇒≤<k k 故答案为：[0,1) 【点睛】本题重点考查了数形结合的思想及函数与方程的思想，此外还考查了利用辅助角公式化成同一个角的三角函数的形式，是中档题. 12．在数列{}n a 中，11a =，1()1nn n a a n a *+=∈+N ，则n a =________．【答案】1n【解析】先由11n n n a a a +=+，得到1111n na a ，求出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而可求出结果. 【详解】因为11n n n a a a +=+，所以11n n n n a a a a +++=，则1111n na a ，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为公差的等差数列，又11a =，所以11(1)n n n a =+-=，解得1n a n=. 故答案为：1n. 【点睛】本题主要考查由数列的递推公式求数列的通项公式，关键在于对递推公式进行合适的变形，构造成等差数列或等比数列，属于常考题型.13．111lim[]38(2)n n n →∞+++=+________．【答案】34【解析】利用裂项求和，再求极限，可得结论．【详解】解：11111111111111138(2)2322423522n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111112324352n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪+⎝⎭111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ 111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭()()3234212n n n +=-++ ()()1113233lim[]lim 38(2)42124n n n n n n n →∞→∞∴⎡⎤++++=-=⎢⎥+++⎣⎦ 故答案为:34．【点睛】本题考查裂项求和，考查极限知识，正确求和是关键．14．数列{}n a 中，当n 为奇数时，51n a n =+，当n 为偶数时，22nn a =，则这个数列的前2n 项的和2n S =________ 【答案】21522n n n +++-【解析】当n 为奇数时，51n a n =+，奇数项为等差数列，当n 为偶数时，22nn a =，偶数项为等比数列，利用分组求和的方法可求这个数列的前2n 项的和. 【详解】122122n n n a a a a S -=++⋅⋅⋅++1321242n n a a a a a a -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()2616104222n n =++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+所以数列{}n a 的奇数项是首项为6公差为10的等差数列，数列{}n a 的偶数项首项为2公比为2的等比数列， ∴()()1222121610522212nn nn n n Snn +⨯--=+⨯+=++--.故答案为：21522n n n +++-. 【点睛】本题考查利用分组求和法求数列的前2n 项的和，一定要正确找出等差数列的首项与公差、等比数列的首项与公比，考查运算求解能力，是基础题.15．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x ，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x 生成两个数，一个是x -，另一个是3x +．若1x =，前n 次生成的所有数．．．中不同的数的个数为n T ，则n T =________．【答案】1,13,246,3,n n T n n n n N *=⎧⎪==⎨⎪-≥∈⎩【解析】根据计算第一次，第二次，第三次的生成的数，依此类推，利用不完全归纳法，当3n ≥时，{}n T 是公差为4的等差数列，简单计算，可得结果. 【详解】第1次生成的数为“1”；第2次生成的数为“1-、4”；第3次生成的数为“1、2、4-、7”；第4次生成的数为“1-、4、2-、5、4、1-、7-、10”；… 可观察出：11T =，23T =，36T =，410T =，514T =，…，当3n ≥时，{}n T 是公差为4的等差数列，∴1,13,246,3,n n T n n n n N *=⎧⎪==⎨⎪-≥∈⎩．故答案为：1,13,246,3,n n T n n n n N *=⎧⎪==⎨⎪-≥∈⎩【点睛】本题考查不完全归纳法以及等差数列的通项公式，关键在于对数据的分析，属基础题. 16．若数列{}n a ，{}n b 满足11a =，11b =，若对任意的n *∈N，都有1n n n a a b +=+，1n n n b a b +=+，设111()3n n n nc a b =+，则无穷数列{}n c 的所有项的和为________．【答案】1【解析】由已知得：()112+n n n n a b a b +++=，2,n n n a b n N *∴+=∈,11n n a b ++=2n n a b ，12n n n a b -∴=，由此可得：23n nc =，再由等比数列求和公式可得解. 【详解】由题意，11)2(n n n n a b b a +++=+，∴{}n n a b +是首项为2，公比为2的等比数列，∴2nn n a b +=，而22211()()2n n n n nn n n a b a b a b a b ++⋅=+-+=⋅，可得12n n n a b -⋅=，从而11112()333n n n nn n n n n n a b c a b a b +=+=⋅=⋅， 121,33c q ==，其所有项和为12311113c q ==--．故答案为：1. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，考查了转化能力和计算能力.属于中档题.三、解答题17．有三个数,,a b c 依次成等比数列，其和为21，且,,9a b c -依次成等差数列，求,,a b c ．【答案】1,4,16a b c ===或16,4,1a b c ===【解析】本题由,,9a b c -成等差数列，可设公差为d ，所以,9a b d c b d =--=+，再利用等差中项与等比中项公式联立方程求解即可. 【详解】由题意，可设,,9a b c -公差为d ，则,9a b d c b d =--=+，于是()()()()29219b d b b d b d b d b ⎧-++++=⎪⎨-++=⎪⎩，解得：43b d =⎧⎨=⎩或412b d =⎧⎨=-⎩ 所以1,4,16a b c ===或16,4,1a b c ===．【点睛】此题考查等差数列与等比数列的概念问题，可直接利用等差中项与等比中项的公式列式计算，属基础题. 18．解下列三角方程：（1）24cos 4cos 10x x -+=；（2）2sin 3sin cos 10x x x ++=；（3）sin 212(sin cos )120x x x --+=．【答案】（1）2()3x k k Z ππ=±∈；（2）1arctan 2x k π=-或()4x k k Z ππ=-∈；（3）22x k ππ=+或2()x k k Z ππ=+∈．【解析】（1）先解一元二次方程，再根据余弦函数性质解三角方程；（2）先利用1的代换转化为齐次方程，再根据弦化切转化解一元二次方程，最后根据正切函数性质解三角方程；（3）令sin cos t x x =-，将原方程转化为关于t 的一元二次方程，根据t 的范围解得t 的值，再利用辅助角公式以及正弦函数性质解三角方程. 【详解】（1）2214cos 4cos 10(2cos 1)0cos 2()23x x x x x k k ππ-+=∴-=∴=∴=±∈Z ；（2）2sin 3sin cos 10x x x ++= 222sin 3sin cos sin cos 0x x x x x ∴+++=，显然cos 0x =不是方程的解，所以两边同除2cos x ，得22tan 3tan 10x x ++=， ∴1tan 2x =-或tan 1x =-， ∴1arctan ()24x k x k k πππ=-=-∈Z 或；（3）令sin cos 4t x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，[t ∈，则2sin 21x t =-，从而2112120t t --+=，即212130t t +-=，解得1t =或13t =-（舍），1sin44x xππ⎛⎫⎛⎫-=⇒-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴244x kπππ-=+或32()44x k kπππ-=+∈Z，∴22x kππ=+或2()x k k Zππ=+∈．【点睛】本题考查解简单三角方程、解一元二次方程、辅助角公式、弦化切，考查综合分析求解能力，属中档题.19．已知等差数列{a n}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列12nna-⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和．【答案】（1）2na n=-；（2）12nn-.【解析】【详解】(1)设等差数列{a n}的公差为d，由已知条件可得1121210a da d⎧⎨⎩＋＝＋＝－，解得111ad⎧⎨-⎩＝＝，故数列{a n}的通项公式为a n＝2－n.(2)设数列12nna-⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和为S n，∵1121212222nn n n na n n－－－－－＝＝－，∴S n＝2211121222n⎛⎫⋯⎪⎝⎭－＋＋＋＋＋－21231222nn⎛⎫⋯⎪⎝⎭－＋＋＋＋记T n＝21231222nn⋯－＋＋＋＋，①则12T n＝231232222nn⋯＋＋＋＋，②①－②得：12T n＝1＋211112222n nn-⋯＋＋＋，∴12T n ＝112112n-－－2n n ，即T n ＝4112n ⎛⎫ ⎪⎝⎭－－12n n -. ∴S n ＝1212112n ⎡⎤⎛⎫⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-－－4112n ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋12n n - ＝4112n ⎛⎫ ⎪⎝⎭－－4112n ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋12n n -＝12n n -.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S 是6和n a 的等差中项．（1）求数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S ；（2）若对任意的n *∈N ，都有[,]n S s t ∈，求t s -的最小值．【答案】（1）1123n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，1311223n n S -⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭；（2）23．【解析】（1）先根据等差中项得46n n S a =+，再根据和项与通项关系求数列{}n a 的通项公式，最后代入46n n S a =+求n S ；（2）根据n 奇偶性分类讨论n S 取值范围，进而确定t s ，范围，即得t s -的最小值．【详解】（1）由题意，46n n S a =+①，令1n =，可得12a =，又1146n n S a ++=+②，②-①，得114n n n a a a ++=-，即113n n a a +=-，又12a =∴{}n a 是首项为2，公比为13-的等比数列， ∴1123n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，163114223n n n a S -+⎛⎫==+⋅- ⎪⎝⎭；（2）①n 为奇数时，1311223n n S -⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，n S 关于n 单调递减且32n S >恒成立，此时，1322n S S <=≤；②n 为偶数时，1311223n n S -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，n S 关于n 单调递增且32n S <恒成立，此时，24332n S S =<≤； ∴min 4()3n S s =≥，max ()2n S t =≤，于是min 42()233t s -=-=．【点睛】本题考查等差中项、利用和项与通项关系求通项、数列单调性，考查综合分析求解能力，属中档题.21．对于实数x ，将满足“01y ≤<且x y -为整数”的实数y 称为实数x 的小数部分，用记号||||x 表示．对于实数a ，无穷数列{}n a 满足如下条件：1||||a a =，11||||,0,0,0.n n n na a a a +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩其中1,2,3n =．（1）若a ={}n a ；（2）当14a >时，对任意的*n N ∈，都有n a a =，求符合要求的实数a 构成的集合A ；（3）若a 是有理数，设p a q=（p 是整数，q 是正整数，p q 、互质），问对于大于q 的任意正整数n ，是否都有0n a =成立，并证明你的结论．【答案】（1）1n a =；（2）13{1,}22--；（3）成立，证明见解析. 【解析】试题分析：（1）利用新定义，可求数列{}n a 的通项公式；（2）分类讨论，利用n a a =，即可求符合要求的实数a 构成的集合A ；（3）由a 是有理数，可知对一切正整数n ，n a 为0或正有理数，可设n n np a q =（n p 是非负整数，n q 是正整数，且n p ，n q 互质），利用反证法可得结论．试题解析：（1）1||1a =，211||||||||||1||1a a ====，若1k a =，则11||||||1||1k ka a +===，所以1n a .（2）1||||a a a ==，所以114a <<，所以114a <<， ①当112a <<，即112a<<时，21111||||||||1a a a a a ===-=，所以210a a +-=，解a =得（1(,1)2a =，舍去）. ②当1132a <≤，即123a≤<时，21111||||||||2a a a a a ===-=，所以2210a a +-=，解1a ==（111(,]32a =∉，舍去）. ③当1143a <≤，即134a≤<时，21111||||||||3a a a a a ===-=，所以2310a a +-=，解得32a -+=（311(,]243a --=∉舍去）.综上. （2）成立.由a 是有理数，可知对一切正整数n ，n a 为0或正有理数，可设n n n p a q =（n p 是非负整数，n q 是正整数，且n np q 既约）. ①由111||||p p a q q ==，可得10p q ≤<； ②若0n p ≠，设n n q p αβ=+（0n p β≤<，α，β是非负整数），则n n n q p p βα=+，而由n n n p a q =得1n n nq a p =， 11||||||||n n n n n q a a p p β+===，故1n p β+=，1n n q p +=,可得10n n p p +≤<. 若0n p =则10n p +=，若123,,,,q a a a a 均不为0，则这q 正整数互不相同且都小于q ，但小于q 的正整数共有1q -个，矛盾.故123,,,,q a a a a 中至少有一个为0，即存在(1)m m q ≤≤，使得0m a =.从而数列{}n a 中m a 以及它之后的项均为0，所以对不大于q 的自然数n ，都有0n a .【考点】（1）新定义；（2）数列递推式.。

2019学年上海市高一下学期期末考试数学试卷【含答案及解析】

2019学年上海市高一下学期期末考试数学试卷【含答案及解析】姓名____________ 班级_______________ 分数____________一、填空题1. 计算： ------- :—"~*亚4对+ 12. 已知数列；一「为等差数列，•―- ■-，贝V二3. 在等比数列，中，二y - m ,则—的值为4. 已知；；是等差数列，是其前*项和，•，则45. 函数 -■- 在上「一1」.的值域是6. 数列■:中，込一；，,一二，“；一，.一心“ ■-監,贝V ：的前2015项和= ----------------------- ----7. 在数列.「中，已知广二」..二1* ,且数列•化+菇是等比数列，则9.函数v = sin —+ cos —在f —hT-"\内的单调递增区间为J7争rr10. 在厶'、、、；、中，已知，贝「1, 的取值范围是11. 在等腰直角中，，-一 i ,形，如图所示，若正方形的面积依次为 -.八，则•’•‘12.已知数列｛nJ 满足q ・-1勺＞斫.匕灼-他卜严⑷「V*）,若数列；单调递减，数列；’ 单调递增，则数列罠「；■的通项公式为-=8. 执行右边的程序框图，若「二、，则输出的X1BC 中排列着内接正方（从大到小），其中、选择题) 本题共有2个小题，第1小题4分，第2小题4分.A B.C 的对边分别为门、氏匸.已知c =C,-EU11 A •C . 钝角三角形D .不能确定14.利用数学归纳法证明“ 1 +灯一小 4-L + /' =■|芒 1、 n e A ) ”,在验1 一证 -,成立时，等号左边是()A .B .C .D .1十亓+打】15.在等差数列打中，若且的前•项和有最小值，则使得 |的最小值 n 为(A .11B .19C .D16. 有穷数列, CT, ， …，- 中的每一项都是一 II , 0 ,1这三个数中的某一个数，若灯1+ +…+ =425,且 i 一 1 r+・+'+…+■ = 3870 ,则有穷数列■- , ■ ■ ■ ■ ，：： ,中值为0的项数是()A ..■. C B .；门$.1010D . 1030三、解答题)在 ^中，右，则一宀的形状是()锐角三角形________________ B .直角三角形13. A .(本题满分8分ZU2?C 中，内角 17.在 (1 )求.；，的大小；(2 )若-7.7 ，求 _；；的面积.18. (本题满分8分) 本题共有2个小题，第1小题4分，第2小题4分.已知；[、：：|| . ^ ^ 一■； .■'|| — ，■，且函数’图象上的任意两条对称轴之间距离的最小值是—•(1 )求的值；(2)将函数= _■/-,,>>的图像向右平移— 个单位后，得到函数■ = 的图像,6 求函数•的解析式，并求 • 在——-上的最值.19. (本题满分10分) 本题共有2个小题，第1小题4分，第2小题6分已知数列；.：的首项.■ .「「.(1 )求证：数列；—-J.为等比数列；•%」(2) 记「；-」--[* ，若| ,求最大正整数坏 %6本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题6分-公司开拓国际市场，基本形成了市场规模个月(20 14年1月为第一个月)产品的内销量、出口量和销售总量(销售总量=内销量斗出口量)分别为人、和•. (单位：万件)，依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：.-,■1 T 1Ifl匚-匚广；广叮(其中为常数，卄二严)，已知一万件，• 一万件，. -万件• (1 )求的值，并写出•-与满足的关系式；(2)证明：逐月递增且控制在2万件内•21. (本题满分14分) 本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题5分，第3小题5分•设等比数列..’的前.项的和为，公比为，亩戏口 (1 )若成等差数列，求证：.成等差数列；(2 )若 ..(-为互不相等的正整数)成等差数列，试问数列I 〕中是20. (本题满分12分)在上海自贸区的利好刺激下自20 14年1月以来的第否存在不同的三项成等差数列？若存在，写出两组这三项；若不存在，请说明理由； (3)若：.为大于的正整数•试问.:中是否存在一项，使得恰好可以表示为该数列中连续两项的和？请说明理由.参考答案及解析第1题【答案】【解析】第2题【答案】【解析】试题分析;由等差数列求和公式£ =即吗十— d 0 = 3 5 ??+戈匕_ x (-2 )/_n = 362 2第3题【答案】 4【解析】--- —Z -- — 一 2 4阳一 1 2试题分析:试题分析：= 102+flj = 1024 =4第4题【答案】-1【解析】第5题【答案】［討］【解析】第6题【答案】1【解析】试题分析：由递推公式应-可得各项依次为12X-1-Z-1J.2,所決周期为d,前6项和为°,所以电町二珂_込+气+丐+%二“第7题【答案】2 3^-re【解析】试题分折：数列⑺号对第二项込十2-6 ,第三项◎十3二1& ,等比数列公比対3/.心十 M 二& 3,1~-二心二 2 3：'-1- n第8题【答案】试题分析;- 1T-CCOE ； A试题分析;s n A【解析】H5：程序执行中的费据变怙尸〃士46 = 2”击.27®二丄十丄L 6<7J 7 = 7,J -—+ —+L +—7<7不成立,输岀 2x3 3><4 2«3 3 如 7«81 】q 丄1 1 1 3二； -- 十 ---- -T [ 十 ---- 二一一一二一 2凉 A4 7^8 2 8 S第9题【答案】【解析】Q r e （~2^r,2^） : 乂亡乂+ 乞214第10题【答案】试题分析：过A 作血）丄EC 于D 」B = 60". C = 2, B[1<1 = 1 0寸、mC 二1』当取=4时试题分析：严响吟+遇于三』5血-+ - 匕4丿（35e — /T, —/r I 4 4令三畀 2托714€72'2、增区间为卜寻&・所a sin c 的取值范围是[£i]At【解析】此A 寸=第11题【答案】92【解析】x3 —迸试题分析；设第一个正方形的边长为知贝恼相佩三角册可得= S产4再宙ffilU三角形可得卅丄比L构成4为首项，扌为公比的等比数列，S 4 9■■魚⑶+ S/L ^^)=^-=—=-9第12题【答案】E-L【解析】试题分析；采用列举法得刊=-g =1*理=-3心=5•码=—1血二21L 、然后从数字的变化上找规律，得％广碣二(T厂2” •「①=(外亠％JH為叫卄叽)+L卡@十的)=(—1丫05(Typr+L ±2U2T-1 (-2)^-1 | (-2?-1■■«■-J ■■ 电第13题【答案】【解析】试题分析:由正弦翹里可将迪Ur in诂“血C诗化为R > 丁/nf—十h】一F，7F _LcosC=——； ----- >OAC<-,由已知A，B角的范围不确定，因此形状不能确定2ab2第14题【答案】C【解析】试题分析：n = l时等号左恻卫的最高次数为為所以所边为"卄亍第15题【答案】C【解析】试题分析：M的前斤项和必有最小倩，所以豹列单调递增，且首项巧<o•:加—1二％<0^n>0 且％+知>0.兀二WSjqJ二旧％丸虽二沙匹）二10（佝旳,所以使得\>0的最小1削—--第16题【答案】【解析】试题分析！（巧十1）' +0 +1）]丰他寸1尸+'" + （%手+1）J=3E7OR开得佃+L +d■审”）+2&十碣*L +«；0]j ）+2015 = 3870 ”-&+卅4|_ +咗严E0S ・所以7 ,1共W1E硕，刪,值为0啊I页骚是血0天第17题【答案】（1）R = —（2）M 或需【解析】试题分析；⑴ 由关系式刘1^4$)*诚/_£) =wA・结合两角和差的正弦展开式化简可求得8汕的值，得到B角大小£⑵ 由B甬和方疋边利坪余弦定理可求得静边长，结合三角形面积公式S = —^c s-iii *求得面积2试题解析：（1）2&111.4^0£5= SAH A => eos5 -—或虹n 勺兰0（雋）f/. B28 = a2?良卩口' -6^ + S = 0 、二&二2站二4当（? = 2 时，S ——CC sin R 二3 迟；当/T= 4 B寸：S ——crc&in R — 6爲第18题【答案】⑴1⑵sM^ = n ,厭工)碍二运【解析】试题分析；⑴由对称轴的距蛊求得函数周期，进而得到血IB,代入7(0)-0可戒得倂角：从而确JT 7T 定函数解析式，将自变量“亍代入求解的值,⑵由平移规律得到函数y=^W的解析式h 4咖二岳inp■勻,由工的范围得到"■彳的范围，进而结合单调性求得函数最值试题解析：(1) /M=^2sin(^4^+-)_7 = ^ A，■*'- VFsmpx)…'/(彳)-JJsdil 二-14第19题【答案】详见解析(2)99【解析】试西并析：CD证明数列是等比数列需证明数列相邻两项的比值为常数，井且首项不为①本题中通过数列& ｝的递推公式入手将其变形1冋j⑵借助于(1)的结论求得数列S ｝的的通项公比进而得到数列］三］的通项公式」结合特点采用分组拥闻W比数列求和公式可得到爲的表达式，解不孝武可求得：值’T ⑴Q土中护亡-1说乜,且Q「“.右I"”⑵由⑴可求得于第20题【答案】（1）应二Lb二"g, g] =2屯档士/ C3详见解析A£【解析】试题分析；（1）依蛊意：口―】=■巾+】=吗+內+占如'；将諏1，2；构建方程组丿冃卩可求得S b的値，从而可得為巧芍町满足的关系式』⑵先证明3“為-如/"*6_2卄少2 , 于是供＜2 .再用作差法证明久亡弘,从而可得结论；试题解析：Ci）依ffiiS：口“二矗齐十£卄]二“％十口,，、 3 *.\ 0\ —皿】丄诃十5CT*,「*阿+1十H寸一“ ........ ① 又立* —+ t7r卄by jI r j ■■■■u Ji IA -£7+- + ^! -V=- .................. ②解①②得＜7=1,6 = -2 2 （2 丿8 2从而口m二2口厂十「（2）由于码T = 2珂厂+口；=一片（臥一2）】十2$2・但碍・1工2・否贝」可推得% =匹=2矛盾・故孝&偽・严2 ,于ftn, ＜ 2 .又旳〒1_码=_*V・2码-q =-斗码（码・2）:＞0 ,所決為勺卜仇，从而＜2 .第21题【答案】（1）详见解析（2）心+].dg.q.] （3）不存在【解析】试题分析：⑴ 根据％%爲成等差数列，q^l,可得2几=2 +耳,化简可得,进而可以证明如.％你成等差数列,（2）根据凡・片$ 51为互不相等的正整数）成等差数列、可得2S#二几4Sr ；化简可得2叩「4珂7‘ ；从而可得％“叶知成尊差数列，即可得出结论,<3）设存在一项①,使得丑・恰好可以表示/该数列中连续两项的和，设冷=6斗％] ）可得斤>"} q s'n =1+（?，从而可得结论试题解析：（1）若Z，咼成等差数列,则2S宀览,即2円（1一/；） _ 竹（1-/> | 呵（1-扌）\・q '■ q \-q+ ” …：靳二1 + / ,又2弧- （% +a u） = 2如7 -（a}q9 + qg"） = qg°（2/ T -『）=0|.・2<7|g = CT]。