第一章导数及其应用测试题(含答案)
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第一章导数及其应用测试题
一、 选择题
1.设x
x y sin 12-=,则='y ( ).
A .x x x x x 22sin cos )1(sin 2---
B .x
x x x x 2
2sin cos )1(sin 2-+- C .x x x x sin )1(sin 22-+- D .x
x x x sin )
1(sin 22---
2.设1ln
)(2+=x x f ,则=)2('f ( )
. A .
54 B .52 C .51 D .5
3 3.已知2)3(',2)3(-==f f ,则3
)
(32lim
3--→x x f x x 的值为( ).
A .4-
B .0
C .8
D .不存在 4.曲线3
x y =在点)8,2(处的切线方程为( ).
A .126-=x y
B .1612-=x y
C .108+=x y
D .322-=x y
5.已知函数d cx bx ax x f +++=2
3)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ,
)0,(2x ,且)(x f 在1=x ,2=x 时取得极值,则21x x ⋅的值为( ) A .4 B .5 C .6 D .不确定 6.在R 上的可导函数c bx ax x x f +++=22
131)(2
3,
当)1,0(∈x 取得极大值,当)2,1(∈x 取得极小值,则
1
2
--a b 的取值范围是( ). A .)1,4
1( B .)1,2
1( C .)4
1,21(- D .)2
1,21(-
7.函数)cos (sin 21)(x x e x f x +=
在区间]2
,0[π
的值域为( ). A .]21,21[2π
e B .)2
1
,21(2πe C .],1[2πe D .),1(2π
e
8.积分
=-⎰
-a
a
dx x a 22( ).
A .
24
1
a π B .
22
1
a π
C .2a π
D .22a π
9.由双曲线122
22=-b
y a x ,直线b y b y -==,围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体
积为( )
A .
23
8
ab π B .
b a 2
3
8π C .
b a 234π D .23
4
ab π 10.由抛物线x y 22
=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是( ). A .18
B .
3
38
C .
3
16 D .16
11.设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ,则其表面积最小时,底面边长为( ). A.3V B.32V C.34V D .32V 二、填空题
13.曲线3x y =在点)0)(,(3
≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为
6
1
,则=a _________ 。 14.一点沿直线运动,如果由始点起经过t 秒后的位移是23
425
341t t t S +-=,那么速度为零的时刻是_______________。 16.
=-+-⎰
dx x x 4
|)3||1(| ____________。
三、解答题
(17)(本小题满分10分)
已知向量),1(),1,(2t x b x x a -=+=,若函数b a x f ⋅=)(在区间)1,1(-上是增函数,求t 的取值范围。
(18)(本小题满分12分)
已知函数x bx ax x f 3)(2
3
-+=在1±=x 处取得极值. (1)讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值;
(2)过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线,求此切线方程.
(19)(本小题满分14分)
设a x ≤≤0,求函数x x x x x f 24683)(2
3
4
+--=的最大值和最小值。
(20)(本小题满分12分)
用半径为R 的圆形铁皮剪出一个圆心角为α的扇形,制成一个圆锥形容器,扇形的圆心角α多大时,容器的容积最大?
(21) (本小题满分12分)
直线kx y =分抛物线2x x y -=与x 轴所围成图形为面积相等的两个部分,求k 的值.
第一章导数及其应用测试题参考答案
一、选择题:(本大题共10小题,每小题5分,共50分。)
二、填空题:(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
(13)、 1± (14)、 0=t (16)、 10
三、解答题:(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) (17)(本小题满分10分) 解:由题意知:t tx x x x t x x x f +++-=++-=2
3
2
)1()1()(,则
t x x x f ++-=23)('2
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (3分) ∵)(x f 在区间)1,1(-上是增函数,∴0)('>x f
即x x t 232
->在区间)1,1(-上是恒成立, ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (5分)
设x x x g 23)(2-=,则3
1
)31(3)(2-
-=x x g ,于是有 5)1()(max =-=>g x g t
∴当5>t 时,)(x f 在区间)1,1(-上是增函数 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (8分) 又当5=t 时, 3
14)3
1(3523)('2
2
+
--=++-=x x x x f , 在)1,1(-上,有0)('>x f ,即5=t 时,)(x f 在区间)1,1(-上是增函数 当5 ∴5≥t ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (10分) (18)(本小题满分12分) 解:(1)323)('2 -+=bx ax x f ,依题意, 0)1(')1('=-=f f ,即⎩⎨ ⎧=--=-+. 0323, 0323b a b a 解得 0,1==b a ┅┅ (3分) ∴x x x f 3)('3 -=,∴)1)(1(333)('2 -+=-=x x x x f 令0)('=x f ,得 1,1=-=x x 若),1()1,(+∞--∞∈ x ,则0)('>x f 故)(x f 在),1()1,(+∞--∞和上是增函数;