第3章 平面应力和平面应变
弹性力学-平面应力-平面应变问题
平面应力问题的求解方法
解析法
实验法
通过数学分析的方法，将问题转化为 数学方程进行求解。适用于简单几何 形状和边界条件的问题。
通过实验测试来测量物体的应力分布， 通常需要制作模型并进行加载测试。 适用于无法通过理论分析求解的问题。
有限元法
将物体离散化为有限个小的单元，通 过求解每个单元的平衡方程来得到整 个物体的应力分布。适用于复杂几何 形状和边界条件的问题。
弹性力学的基本方程
描述物体在受力后的应力 与应变之间的关系。
描述物体在受力后发生的 位移和应变关系。
描述物体内部力的平衡关 系03
平面应力问题
平面应力问题的定义
平面应力问题是指在弹性力学中，物 体受到的应力作用在某一平面内，且 在该平面上没有作用力的问题。
平面应力问题通常适用于薄板、薄壳 等二维结构，其中应力分量在某一平 面内变化，而垂直于该平面的方向上 ，应力和应变均为零。
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04
平面应变问题
平面应变问题的定义
平面应变问题是指在弹性力学中，应变和应力都仅发生在某一平面内的现象。在 此情况下，应变和应力分量都与离开平面的距离无关。
平面应变问题通常出现在薄壁结构、板壳结构等二维结构中，其中主要的变形和 应力分布都在一个平面内。
平面应变问题的求解方法
1 2 3
有限元法
通过将问题离散化为有限个小的单元，利用弹性 力学的平衡方程和变形协调方程，求解每个单元 的应力、应变和位移。
跨学科的研究
与其他学科的交叉研究 可能会带来新的思想和 理论。例如，与物理学 、化学、生物学等学科 的交叉可能会为弹性力 学的研究提供新的视角 和思路。
实验与理论的结 合
实验技术的发展将有助 于更好地验证理论的正 确性和实用性。同时， 理论的发展也将为实验 提供更好的指导。因此 ，实验与理论的结合将 是未来研究的一个重要 方向。
试述平面应力问题和平面应变问题的特点。
试述平面应力问题和平面应变问题的特点。
平面应力问题和平面应变问题是固体力学中的两个重要概念，用于描述材料在二维平面内受力和变形的行为。
它们具有以下特点：
平面应力问题特点：
1.二维平面：平面应力问题假设材料在一个平面内受力，即只考虑材料在平
面内的应力分布，忽略沿垂直于该平面的应力分量。
2.平行应力：在平面应力问题中，只考虑平行于平面的应力分量，即沿着平
面的两个方向上的应力分量。
3.垂直应力：由于假设材料在平面外的应力分量为零，因此平面应力问题中
不考虑垂直于平面的应力分量。
4.线性弹性：平面应力问题通常基于线性弹性理论，即假设材料的应力-应
变关系是线性的。
平面应变问题特点：
1.二维平面：与平面应力问题类似，平面应变问题假设材料在一个平面内变
形，只考虑材料在平面内的应变分布，忽略垂直于该平面的应变分量。
2.平行应变：平面应变问题中，只考虑平行于平面的应变分量，即沿着平面
的两个方向上的应变分量。
3.垂直应变：与平面应力问题不同，平面应变问题中考虑垂直于平面的应变
分量。
4.线性弹性：平面应变问题通常基于线性弹性理论，假设材料的应力-应变
关系是线性的。
这些问题的特点使得对材料在二维平面内受力和变形行为进行简化和分析成为可能。
它们在工程学和材料科学中有广泛的应用，例如在结构力学、材料设计和应力分析中的应用。
midas有限元理论-3 平面应力单元&平面应变单元
For triangular element
fi
(ξ
,η
)
=
1 2 1 4
(1+η ) (1+ ξiξ
)
(1
−
η
)
for i = 3 for i = 1, 2
For quadrilateral element
fi
(ξ
,η
)
=
1 4
(1+
ξiξ
)
(1
+
ηiη)
for i = 1, 2,3, 4
σ = Dε = DBq
where, D is the elasticity matrix defining mechanical properties of the material. Also, the matrix D is the
only difference that distinguishes plane stress elements from plain strain elements in finite element
∂v ∂x
=
∂x 0
∂ ∂y
∂
0
∂x
∂ u
∂y
v
=
0
∂
∂
∂x
∂y
0
∂ f1
∂y
0
∂
∂x
0 f1
f2 0
0 ... fn
f2
0
u1
v1
0
平面应力问题和平面应变问题
平面应力问题和平面应变问题
平面应力和平面应变是力学研究中的一个重要内容，它们主要涉及到应力和应变的表达、状态的判断以及它们之间的联系。
首先，平面应力是指施加在平面上的外力，它以牛顿力/
千克为单位来表示。
应力分为正应力和负应力，当施加的外力为正时，应力也是正的，反之亦然。
应力的大小由施加的外力的大小决定，如果外力越大，应力越大，反之亦然。
其次，平面应变是指在应力作用下物体的形变，它以百分比表示，一般用“δ”表示。
应变可以分为正应变和负应变，正
应变表示物体受力时膨胀，负应变表示物体受力时压缩，应变的大小与应力的大小成正比，如果应力越大，应变也越大，反之亦然。
最后，平面应力和应变之间的关系是对称的，它们的关系可以用应力-应变曲线来表示，一般来说，应力和应变的关系
是线性的，也就是说，如果应力增加一倍，应变也会增加一倍。
总之，平面应力和平面应变是力学研究中的一个重要内容，它们主要涉及到应力和应变的表达、状态的判断以及它们之间的联系。
应力和应变之间的关系可以用应力-应变曲线来表示，一般来说，应力和应变的关系是线性的，应力增加一倍，应变也会增加一倍。
平面应力和平面应变
Fx 0
x O
(
x
x
x
dx)dy 1
xdy 1
(
yx
yx
y
dy)dx 1
yxdx 1
Xdx dy 1 0
两边同除以dx dy，并整理得：
x yx X 0
y
yx
x
yx
y
y
P D
xy
B
dy
yxA
X
x
x
x
dx
Y
C
xy
xy
x
dx
y
y
y
dy
x y
Fy 0
(
y
y
y
2. 平面应变问题
(1) 几何特征
一个方向的尺寸比另
两个方向的尺寸大得多， 且沿长度方向几何形状和 尺寸不变化。
水坝
—— 近似认为无限长
(2) 外力特征
外力（体力、面力）平行于横截面作 用，且沿长度 z 方向不变化。
约束 —— 沿长度 z 方向不变化。
(3) 变形特征
滚柱
厚壁圆筒
如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵线为 z 轴。
煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。
如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平 面应力问题还是平面应变问题？
平面应力问题
平面应变问题
非平面问题
3. 平面问题的求解
问题： 已知：外力（体力、面力）、边界条件，
求： x , y , xy x , y , xy u, v
—— 仅为 x y 的函数 需建立三个方面的关系：
整理得： YN m y l xy
（4）
X N l x m yx YN m y l xy
平面应力问题和平面应变问题的基本方程中
平面应力问题和平面应变问题的基本方程中嘿，伙计们！今天我们要聊聊一个非常有趣的话题——平面应力问题和平面应变问题的基本方程。
别担心，我会用最简单的语言来解释这个话题，让你轻松理解。
让我们来看看什么是平面应力问题和平面应变问题吧。
平面应力问题，就是指在一个平面内，物体受到的力分布不均匀，导致物体内部产生应力。
而平面应变问题呢，就是指在一个平面内，物体的形状发生变化，导致物体内部产生应变。
这两个问题看似复杂，但其实它们都是由一个基本方程组成的。
这个基本方程就是什么呢？嘿嘿，让我慢慢告诉你。
这个方程叫做胡克定律，它是由英国科学家胡克在18世纪发现的。
胡克定律告诉我们，一个物体受到的应力与其形变成正比，与材料的弹性模量成反比。
换句话说，一个物体受到的应力越大，它的形变就越大；而材料的弹性模量越大，它所能承受的应力就越大。
那么，我们如何运用胡克定律来解决平面应力问题和平面应变问题呢？这里我就给大家举个例子吧。
假设我们有一个矩形板子，它的长度是L,宽度是W,材料是弹性模量为E的金属。
现在我们在板子的四个角上分别施加了40牛顿的力，让板子发生形变。
我们想要知道板子发生了多大的形变。
我们需要计算出板子受到的总应力。
因为我们在四个角上分别施加了40牛顿的力，所以总应力就是40 * 4 = 160牛顿。
接下来，我们要用胡克定律来计算板子的形变。
根据胡克定律，我们可以得到：$\Delta L = F times E \div (A * L)$$\Delta W = F \times E \div (A * W)$其中，$\Delta L$表示板子的长度变化，$\Delta W$表示板子的宽度变化，F表示施加在板子上的力，E表示板子的弹性模量，A表示板子的面积。
将已知的数据代入公式，我们就可以得到：$Delta L = 160 times E \div (4 * A) = 40E \div A$$\Delta W = 160 \times E div (4 * A) = 40E \div A$所以，板子的长度和宽度分别发生了$40E \div A$的形变。
什么是平面应变与平面应力
平面应变与平面应力
人们所感受到的，认知到的物质世界是三维的，然而在工程分析中，通常采用合理的二维近似以节省资源。
在众多仿真求解软件中也常常采用二维近似计算。
例如ABAQUS标准分析中的Plane Strain 和Plane Stress单元既是分别采用的平面应变和平面应力的近似假设。
在Plane Strain单元类型中，相关单元的3方向应变E33均为0；在Plane Stress单元类型中，相关单元的3方向应变S33均为0。
上述单元的应力，应变也取决于如下本构方程中的相关假设。
本构方程
在线弹性假设下，胡克定律可以专门用于平面应变和平面应力。
三维胡克定律的完整形式如下：
其中，E 是杨氏模量，ν是泊松比，G是剪切模量。
平面应变
平面应变的情况比较简单，从三维公式中删除三个为零的应变分量就是平面应变状态。
通俗来讲，只有平面内有应力，与该面垂直的方向的应力可忽略（如，薄板拉压）。
平面应力
对于平面应力可以使用来消除，从而得到
横向应变(即厚度变化)计算为：。
通俗来讲，只有平面内有应变，与该面垂直的方向的应变可忽略（如，坝体侧向水压）。
平面应力和平面应变
平面应力和平面应变
平面应力和平面应变都是起源于简化空间问题而设定的概念。
平面应力：只在平面内有应力，与该面垂直方向的应力可忽略，例如薄板拉压问题。
平面应变：只在平面内有应变，与该面垂直方向的应变可忽略，例如水坝侧向水压问题。
具体说来：平面应力是指所有的应力都在一个平面内，如果平面是OXY平面，那么只有正应力σx，σy，剪应力τxy(它们都在一个平面内)，没有σz，τyz，τzx。
平面应变是指所有的应变都在一个平面内，同样如果平面是OXY平面，则只有正应变εx，εy和剪应变γxy，而没有εz，γyz，γzx。
举例说来：平面应变问题比如压力管道、水坝等，这类弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束。
平面应力问题讨论的弹性体为薄板，薄壁厚度远远小于结构另外两个方向的尺度。
薄板的中面为平面，其所受外力，包括体力均平行于中面面内，并沿厚度方向不变。
弹性力学平面应力问题和平面应变问题
平面应力问题的定义
平面应力问题的基本假设
假设弹性体是连续的，没有空隙或裂缝。
假设弹性体的材料性质在空间中是均匀的，即各向同性。
假设弹性体的材料性质在不同方向上相同。
假设弹性体的变形是微小的，即变形前后的形状和尺寸变化不大。
连续性
均匀性
各向同性
小变形
解析法
01
通过数学公式和定理求解弹性力学问题的精确解。适用于简单形状和边界条件的平面应力问题。
平面问题的定义
02
CHAPTER
平面应力问题
在弹性力学中，平面应力问题是指应变场和应力场在二维平面上变化的问题。这类问题通常涉及到薄板、薄壳等二维结构，其厚度相对于结构的尺寸较小，可以忽略不计。
平面应力问题
平面应力问题具有对称性，即应变和应力在垂直于平面的方向上为零。同时，由于结构厚度较小，平面应力问题通常只考虑平面内的应变和应力分量，忽略垂直于平面的分量。
弹性力学简介
平面问题是指弹性物体在平面内的变形问题，其中物体与平面平行或与平面垂直。
平面应变问题是指物体在平行于平面的方向上发生变形，而垂直于平面的方向上变形较小或忽略不计。
平面问题可以分为平面应变问题和平面应力问题两类。
平面应力问题是指物体在垂直于平面的方向上发生变形，而平行于平面的方向上变形较小或忽略不计。
03
CHAPTER
平面应变问题
平面应变问题
模拟 aword/noun like "bleepileysing前进 on how toilet b. The first time you feel that there is a word-like "bleepilexamples the first time you具有重要的 first time you feel that there is a word's a word-like "bleepilexamples[c. The first time you feel that there is a word's a word-like b. The first time you feel that there is a word's a word's a word-like "bleepilexamples the first time you's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a way toilet's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's
平面应力问题和平面应变问题的异同点
平面应力问题和平面应变问题的异同点平面应力问题和平面应变问题是力学中的重要课题，它们是探索物质承受拉力、压力等外力的变形情况和应力情况的基本方程，也是很多工程的重要参考依据。
不同于立体应力问题和立体应变问题，平面应力问题和平面应变问题是二维问题，具有相对简单的结构，只考虑物体周围两个平面上的力和变形器件。
首先，当讨论平面应力问题和平面应变问题的异同点时，最显著的区别在于他们的物理本质：前者是探索物质在外力作用下的变形特性，后者是探索物质在外力作用下的应力特性。
平面应力及平面应变是机械传动力学最基本的现象，它们是物体承受外力作用而引起的变形和应力之间的密切联系。
其次，当进一步研究它们的异同点时，可以发现，它们在计算方法上也有着不同，平面应变问题一般求解使用平面位移，而平面应力问题则需要利用平面应力的不变量来求解。
此外，从它们的求解结果上来看，由于平面应力问题只考虑物体两个平面上的力，因此它的解析解只有四个方程，而平面应变问题的解析解则有八个方程，不仅考虑了每个平面上的位移量，还考虑到物体的旋转量。
最后，从解决它们问题的作用上来看，平面应力问题和平面应变问题都可以帮助我们研究物质在外力作用下的变形特性和应力特性，让我们对物质的本构关系有更加清晰的认识。
由于两类问题具有不同本质，因此在解决它们时，也需要采用不同的计算方法，从而得到不同的求解结果，进而帮助我们更好的发掘物质在外力作用下的变形和应力的特性。
从上面的分析可以看出，平面应力问题和平面应变问题虽然在物理本质上有着不同，但是它们在求解方法和解决作用上也有着一定的异同点。
因此，在研究物质在外力作用下的变形特性和应力特性时，可以通过求解平面应力问题和平面应变问题，从而更直观的发现物质的本构关系，为用物理方法分析材料的性能、设计新材料提供了重要依据。
弹性力学平面应力问题和平面应变问题
有限差分法的精度取决于差分格式的选择和网格的划分，同时需要注意数 值稳定性和计算精度的问题。
边界元法
边界元法是一种基于边界积 分方程的数值分析方法，通 过将微分方程转化为边界积
分方程来求解。
变形特点
应用领域
在平面应力问题中，变形主要发生在作用 面上，而在平面应变问题中，变形可以发 生在整个结构中。
平面应力问题在桥梁、建筑和机械等领域 有广泛应用，而平面应变问题在岩土、地 质和材料等领域有广泛应用。
06
结论与展望
结论总结
平面应力问题和平面应变问题在弹性力学中具有重要地位，它们是描述物体在应力作用下的变形和应 力分布的基础。
弹性模量表示材料在受力作用下的刚度，是衡量材料抵 抗弹性变形能力的重要参数。
剪切模量表示材料在剪切力作用下的刚度，与弹性模量 和泊松比有关。
03
平面应变问题
应变状态分析
平面应变条件
应变分量中，只有$varepsilon_{x}$ 、$varepsilon_{y}$和 $gamma_{xy}$不为零，其余分量为 零。
有限元法在弹性力学平面应力问题和平面应变问题中广泛 应用，因为它能够处理复杂的几何形状和边界条件，且计 算精度高。
有限元法的实现需要建立离散化的模型、选择合适的单元 类型和求解算法，并进行数值稳定性和误差分析。
有限差分法
有限差分法是一种基于差分原理的数值分析方法，通过将微分方程转化为 差分方程来求解。
薄板弯曲问题
考虑一个矩形薄板，受到一对相距较远的集中力作用，使板发生弯曲。根据平面应力问题，可以分析 板的应力分布、中性面位置以及挠度等。
试比较平面应力和平面应变问题的异同点
试比较平面应力和平面应变问题的异同点下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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平面应变问题和平面应力问题的异同点
平面应变问题和平面应力问题的异同点1. 前言在我们讨论材料力学时，平面应变和应力这两个概念就像两个兄弟，性格各异却又密不可分。
想象一下，平面应变就像个爱静的书呆子，而平面应力则是那个热爱社交的朋友。
今天就来聊聊这两个家伙的异同，看看他们在我们生活中是怎么“打交道”的。
2. 平面应变问题2.1 定义与特征首先，平面应变问题指的是在某些条件下，材料在某个平面上的变形情况。
简单来说，就是我们常见的“拉伸”和“压缩”情景。
想象一下，像橡皮泥被捏扁了，表面看起来光滑，但内部却可能发生了复杂的变形。
在这种情况下，材料的某一方向的变形被假设为零，这样我们就能简单地处理问题。
2.2 应用场景说到应用，这平面应变可不简单！它常常出现在一些工程问题中，比如桥梁、隧道建设等，特别是在大规模的结构中。
想象一下，一个大桥的承重结构，所有的力都集中在某个平面上，这时应变问题就浮出水面了。
工程师们可得好好研究这个问题，才能保证桥梁的安全性。
3. 平面应力问题3.1 定义与特征转到平面应力问题，哎呀，这家伙可就热闹多了！它主要讨论在一个平面内的应力状态，简单来说，就是材料受到的各种力作用下的反应。
想象你在拥挤的地铁里被挤来挤去，那种“被压力包围”的感觉就是平面应力的典型表现。
这个时候，虽然我们也考虑了材料的厚度，但更关注的是在某个面上的力的分布。
3.2 应用场景在实际应用中，平面应力同样是不可或缺的。
很多时候，我们在设计零件，比如汽车车身或飞机机翼时，就会用到这个概念。
设计师们可得深思熟虑，确保在高速行驶时，这些材料能承受得住压力，绝不能让人有“毛毛的感觉”。
4. 异同点总结4.1 相似之处好啦，现在我们来看看这两个概念的相似之处。
首先，平面应变和应力都涉及到材料如何在外力作用下变形或反应，都是力学的基础。
其次，它们都为工程师提供了重要的分析工具，帮助他们设计出安全可靠的结构，真是一对“亲密无间”的兄弟。
4.2 不同之处不过，这两者的不同也挺明显的。
《弹性力学教学课件》2-1平面应力和平面应变问题
数学模型的比较
平面应力问题
需要建立三个方向的应力分量，即$sigma_{x}$、$sigma_{y}$ 和$tau_{xy}$，以及三个方向的应变分量，即$epsilon_{x}$、 $epsilon_{y}$和$gamma_{xy}$。
平面应变问题
需要建立两个方向的应变分量，即$epsilon_{x}$、 $epsilon_{y}$和$gamma_{xy}$，以及三个方向的应力分量， 即$sigma_{x}$、$sigma_{y}$和$tau_{xy}$。
04
弹性力学在工程中的应用
弹性力学在建筑领域的应用
结构设计
建筑结构中的梁、柱、板等构件 的受力分析，需要考虑弹性力学 的基本原理，以确保结构的稳定 性和安全性。
地震工程
地震工程中，建筑物的抗震设计 需要利用弹性力学的基本原理， 研究地震作用下的结构响应和破 坏机制。
弹性力学在机械领域的应用
机械零件设计
机械零件如轴承、齿轮、弹簧等的受 力分析，需要考虑弹性力学的基本原 理，以确保零件的稳定性和可靠性。
疲劳寿命预测
弹性力学在机械领域中广泛应用于疲 劳寿命预测，通过分析材料的应力分 布和应变历程，预测零件的疲劳寿命。
弹性力学在航空航天领域的应用
飞机结构分析
飞机结构中的机翼、机身等部件的受力分析，需要考虑弹性力学的基本原理，以确保飞机的安全性和稳定性。
假设物体在平面内的应力分量与垂直于平面的应力分量相比很小，因此可以忽略不 计。
平面应变问题的求解方法
基于弹性力学的基本方程，建 立平面应变问题的数学模型。
利用边界条件和初始条件，求 解数学模型中的未知量。
常用的求解方法包括有限元法、 有限差分法和变分法等数值计 算方法，以及解析法等理论计 算方法。
弹性力学平面应力问题和平面应变问题
弹性力学与材料科学、计算科学、生物学等学科的交叉融合，为解决 复杂工程问题提供了新的思路和方法。
数值模拟与计算
随着计算机技术的进步，数值模拟和计算在弹性力学领域的应用越来 越广泛，能够更精确地模拟和预测材料的力学行为。
多尺度分析
从微观到宏观的多尺度分析方法，能够更好地理解材料的微观结构和 宏观性能之间的关系。
它们简化了问题的复杂性，使得 弹性力学成为一种实用的工程工 具。
02
基本假设的局限性
03
限制条件的考虑
在某些情况下，这些假设可能不 成立，例如在处理非均匀、非各 项同性或大变形问题时。
在应用弹性力学时，必须考虑这 些限制条件，以确保结果的准确 性和可靠性。
06 弹性力学的发展趋势和未 来研究方向
弹性力学的发展趋势
非线性力学
随着工程结构的复杂性和非线性特征的增加，非线性力学的研究越来 越受到重视，为解决复杂工程问题提供了新的理论和方法。
未来研究方向
新材料和新结构的力学行为
智能材料的力学行为
研究新型材料和复杂结构的力学行为，探 索其性能优化和设计方法。
研究智能材料的响应机制和调控方法，探 索其在传感器、驱动器和自适应结构等领 域的应用。
生物医学中的弹性力学问题
研究生物组织的力学行为和生理功能，探 索其在生物医学工程和再生医学等领域的 应用。
环境与可持续发展的弹性力学问 题
研究环境因素对材料和结构的影响，探索 其在环保和可持续发展等领域的应用。
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材料力学性能的测试
材料弹性模量的测定
通过实验测定材料的弹性模量，可以了解材料的力学性能，为工程设计和材料选择提供依据。
平面应力和平面应变
平面应力和平面应变1． 平面应力在三维应力分布中，如果作下列假定无关与z 、、xy y x yz xz z τσσττσ0=== 1-1就得到了平面应力问题。
这种情况发生在薄板边界处受到平行于板面、并且沿厚度均匀分布的力作用的时候如图。
这时，在板的上下表面处，z σ、xz τ、yz τ为零（z 为板的法向），并认为沿着整个厚度方向它们也等到于零（因为厚度很小）。
应力状态只须用仅与x 、y 有关的x σ、y σ、xy τ来描述，称为平面应力情况。
此时，这三个应力分量与z 无关，即沿着板厚度保持不变。
平面应力问题的所有方程可以从相应的三维方程并结合式1-1得到：平衡方程 ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00y y xy x xy x f y x f y x σττσ 1-2 边界条件 ⎪⎭⎪⎬⎫+=+=--y xy xy x m l Y m l X σττσ 1-3 应变--位移方程 ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂=∂∂=∂∂=x v y u y v x u xy y x γεε 1-4 应力--应变方程 ()()⎪⎭⎪⎬⎫=-=-=G E v E v xy xy x y y y x x τγσσεσσε 1-5 这里()v E G +=12是剪切模量，在结构的矩阵分析中，常把1-5式写成矩阵形式。
即()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧xy y x xy y x v v E τσσγεε1201011称对 1-6 或者，反之用应变表示应力，则有⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧xy y x xy y x v v vE γεετσσ21010112称对 或记： {}[]{}εσD = 1-7其中： []⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=21010112v v v E D 称对 1-8 协调方程 y x x y xy y x ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε22222 1-9 此外，还必须注意下面两点：1） 在平面应力状态中0=z σ，而0≠z ε，事实上有()⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==+-=00yz xzy x z E v γγσσε 2）平面应力假定下，方程式1-1是违背了某些协调条件的。
弹性力学平面应力问题和平面应变问题
y 面， 面）， n
边长 AB ds, PB lds , PA mds.
2、平面问题中一点的应力状态 x
35
yx yx
y
y y
A
几何参数：
cos(N , x) l ,cos(N , y) m,
xx
xy xy
P P
τN
B py
xy 设AB面面积=ds， PB面积=lds， p σN x PA面积=mds。
z 0, 本题中： zx , zy 0
zx , zy 0.
故只有 ε x , ε y , γ xy ，
ox
z
且仅为 f x, y 。
故为平面应变问题。
y
第二章
平面应力问题和平面应变问题
定义
§2－2
平衡微分方程
平衡微分方程--表示物体内任一点
的微分体的平衡条件。
x
y yz
x xy xz ij = yx y yz zx zy z
x xy xz ij = yx y yz zx zy z
u,,
第二章
平面应力问题和平面应变问题
zx
z xz x
x xy ij = yx y
当 d x, d y 0 时，得切应力互等定理,
xy yx .
(c)
第二章
平面应力问题和平面应变问题
说明
对平衡微分方程的说明：
⑴ 代表A中所有点的平衡条件，
因位（ x ，）∈A； y ⑵ 适用的条件--连续性，小变形； ⑶ 应力不能直接求出； ⑷ 对两类平面问题的方程相同。
第二章
平面应力问题和平面应变问题的异同点
平面应力问题和平面应变问题的异同点应力和应变是力学中的基本概念，其有效的分析和研究在工程课题中应用十分广泛。
普通的力学问题，一般可以由应力问题和应变问题之间的关系得出明确的结论。
针对平面的力学问题，应力问题和应变问题是理解和解决其本质问题的必要条件，本文将对平面应力问题和平面应变问题的异同点进行探讨。
首先，从定义上来看，平面应力问题主要是指针对指定的结构体，平面性质的应力问题，而平面应变问题则是指针对指定的结构体，平面性质的应变问题。
从研究对象和对象体上来看，平面应力问题主要应用于研究形状为矩形或平面的结构体，而平面应变问题则主要应用于研究形状为平面的结构体。
其次，从学习目的来看，平面应力问题的研究主要是为了解结构体内静止元素的应力分布，而平面应变问题的研究则是解决结构体内被控制的变形元素的应变分布。
另外，平面应力问题和平面应变问题在研究上均以几何元素为处理对象，平面应力问题都是分析几何元素的拉力，而平面应变问题则是分析几何元素的变形。
此外，平面应力问题主要是由应力的概念来解释结构体的行为，因此，其研究的目的是解决结构体内应力的分布，而平面应变问题则是由应变的概念来解释结构体的行为，因此，其研究的目的是解决结构体内应变的分布。
最后，从计算方法上来看，平面应力问题和平面应变问题在计算方法上也有所不同。
平面应力问题一般采用经典力学理论，通过对所采用的力学模型进行分析和求解，以得到应力的分布情况；而平面应变问题，则一般采用分块表征法，从而获得平面应变的分布情况。
总之，平面应力问题和平面应变问题主要是指在平面上研究应力和应变的分布情况，是理解和解决力学问题的重要环节，不仅在研究对象、学习目的等方面有很大的不同，而且计算方法也大相径庭，因此，平面应力问题和平面应变问题具有较为明显的异同点。
断裂力学讲义第三章： 弹性力学的平面问题
第3章 弹性力学的平面问题任何弹性力学问题都是空间问题，但是在某些条件下，它们可以简化为平面问题。
在平面问题中，我们以x,y,z 表示直角坐标系的三个坐标，以u,v,w 表示相应的位移分量，而以xx σ、yy σ…和xx ε、yy ε…分别表示相应的应力分量和应变分量。
§3.1 平衡方程与变形协调方程在平面问题里，所有位移量都只是x , y 的函数，与z 无关，因而所有应变和应力分量也都只是x , y 的函数，与z 无关。
平衡方程(2.40)可简化为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00y yyxy x xyxx f y x f y x σσσσ (3.1)变形协调方程(2.63)只余下yx x y xy yyxx ∂∂ε∂∂ε∂∂ε∂222222=+ (3.2) §3.2平面应力与平面应变3.2.1平面应力问题平面应力问题是指: 发生在物体某一方向(z 方向)的尺寸远小于其余两个方向尺寸的物体中，即物体是一个很薄的平板，此外还要求板的厚度均匀，所有外力都作用在板的中面内，或者所有外力都作用在与中面平行的平面内，且载荷对中面对称。
根据这些前提条件，在物体的两个端面(上下底面)上，进而整个物体内，=zz σ0, 其它应力分量中0==zy zx σσ。
平面应力的应变分量, 根据虎克定律(2.95)式，有0==zx yz εε,)(yy xx zz Eσσνε+-= (3.3)利用(2.95)式，虎克定律可以写成⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+==-=-=xy xy xy xx yy yy yy xx xx E E E σνσμενσσενσσε121)(1)(1(3.4)3.2.2平面应变问题平面应变问题是指：在弹性体沿某一方向(z 方向)的尺度远大于其余两个方向的尺度，而且物体形状及载荷沿z 方向不变的情况下，在任一远离端部且与xoy 平行的平面内，物体的变形都是相同的。
此外，由于z 方向尺度极大，不能产生z 方向的位移，即0=w ，因此，物体内的变形只发生在与xoy 平行的平面内。
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x
u
u x
dx
u
dx
u x
PB的正应变：
O
u
P
dx
x u u dx x
v P A
dy
v v dx x
y
v
v y
dy
dy
v
v y
P点的剪应变：
y
v v dy y
P点两直角线段夹角的变化 xy
B
A
B
u u dy y
tan
v
v x
dx
v
dx
v x
tan
u
u y
dy
dy
u
u y
xy
v x
xy
cos(N, x) l cos(N, y) m
dx ds m y dy ds l
B
s
YN
N
外法线
由微元体平衡：
Fx 0, xdy 1 yxdx 1 X N ds 1 0
xds l 1 yxds m1 X N ds 1 0
整理得：
X N l x m yx
（3）
Fy 0, ydx 1 xydy 1 YN ds 1 0
O
y x
yx
yx
y
xy
y
P D
yxA
X
x
x
x
dx
xyB
Y
C
xy
xy
x
dx
dy
y
y
y
dy
xy dx
x
BC面：
y
y
y
dy
yx
yx
y
dy
注： 这里用了小变形假定，以变形前 的尺寸代替变形后尺寸。
x O
由微元体PABC平衡，得
MD 0
(
xy
xy
x
dx)dy 1
dx 2
y
yx
整理得： YN m y l xy
（4）
X N l x m yx YN m y l xy
（3） （4）
（2）斜面上的正应力与剪应力
N lX N mYN
O
y
x
yx
P dx x dy ds
A XN
N lYN mX N
将式（2-3）（2-4）代入，并整理得： y
N l 2 x m2 y 2lm xy （5）
2. 平面应变问题
(1) 几何特征
一个方向的尺寸比另
两个方向的尺寸大得多， 且沿长度方向几何形状和 尺寸不变化。
水坝
—— 近似认为无限长
(2) 外力特征
外力（体力、面力）平行于横截面作 用，且沿长度 z 方向不变化。
约束 —— 沿长度 z 方向不变化。
(3) 变形特征
滚柱
厚壁圆筒
如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵线为 z 轴。
应力主向的计算公式：
tan 1
1 xy
x
tan 2
xy 2
y
（8）
由 1 2 x y 得
2 y (1 x )
tan 2
xy 1
x
显然有 tan1 tan2 1
表明： σ1 与 σ2 互相垂直。
结论
任一点P，一定存在两 互相
垂直的主应力σ1 、 σ2 。
（3）σN 的主应力表示
第三章 平面问题
要点 —— 建立平面问题的基本方程
包括：平衡微分方程；几何方程；物理方 程；变形协调方程；边界条件的描 述；方程的求解方法等
§3.1 平面应力问题与平面应变问题
1. 平面应力问题
(1) 几何特征
b
一个方向的尺寸比另两个 方向的尺寸小得多。
t a,t b —— 平板
x
z
t
y
y
a
如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等
不能确定u、v。
（∵积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）
（3） xy —— 以两线段夹角减小为正，增大为负。
求解得： m x
l
yx
m yx l y
2
(
x
y
)
(
x
y
2 xy
)
0
O
y
x
yx
P dx x dy ds
A XN
xy N
N
y
B
s
YN
N
X N l x m yx YN m y l xy
N lX N mYN
N lYN mX N
1 x y
2
2
x
2
y
2
2 xy
X
x
x
x
dx
Y
C
xy
xy
x
d
y
y
y
dy
xy
xy
x
dx
§ 3.2.1 平衡微分方程
取微元体PABC（P点附近），
x
PA dx PB dy
Z 方向取单位长度。
设P点应力已知： x , y , xy yx
体力：X ，Y
AC面：
xxyxxxxyddxx212!1!2x2x2xx2xy(d(dxx)x2)x2dx
O
x
2
1
P
dy
dx ds
A
y
N
N
B
sN
由 N l 2 x m2 y 2lm xy
N lm( y x ) (l 2 m2 ) xy
N l 21 m2 2
l 2 (1 2 ) 2
N lm( 2 1)
σ1 与 σ2 分别为最大和最小应力。
（4）最大、最小剪应力
由 N lm( 2 1)
N l 21 m2 2 l 2 (1 2 ) 2
N lm( 2 1)
l( x )s m( xy )s X m( y )s l( xy )s Y （18）
—— 平面问题的应力边界条件
（2）一点的主应力、应力主向、最 大最小应力
1 x y
2
2
x
2
y
2
2 xy
（7）
tan 1
dy)dx 1
ydx 1 ( xy
xy
x
dy)dx 1
xydy 1 Ydx dy 1 0
两边同除以dx dy，并整理得：
y xy Y 0
y x
平面问题的平衡微分方程：
x yx X 0
x y
xy y Y 0 （2）
x y
x O
y
yx
x
yx
y
y
P D
xy
B
y y (x, y)
—— 平面应变问题
xy yx xy (x, y)
水坝
(1)平面应变问题中 z 0 但是， z 0 z ( x y )
注：
(2)平面应变问题中应力分量： x , y , z , xy ( zx zy 0)
可近似为平面应变问题的例子：
—— 仅为 x y 的函数。
1 xy
x
tan 2
xy 2 y
（8） 表明：σ1 与 σ2 互相垂直。
max 1 2
min
2
τmax、 τmin 的方向与σ1 （ σ2 ）成45°。
§3.2.3 几何方程 刚体位移
建立：平面问题中应变与位移的关系 —— 几何方程
1. 几何方程
O
一点的变形 线段的伸长或缩短； 线段间的相对转动；
m x
l
yx
tan 1
sin 1 cos1
cos(90 1) cos1
m1 l1
1 x xy
(或 xy ) 1 y
设σ2 与 x 轴的夹角为α2， σ2与坐标轴正向的方向余弦为 l2、
m2，则
tan 2
sin 2 cos2
cos(90 2 ) cos2
m2 l2
2 x xy
(或 xy ) 2 y
Fx 0
x O
(
x
x
x
dx)dy 1
xdy 1
(
yx
yx
y
dy)dx 1
yxdx 1
Xdx dy 1 0
两边同除以dx dy，并整理得：
x yx X 0
y
yx
x
yx
y
y
P D
xy
B
dy
yxA
X
x
x
x
dx
Y
C
xy
xy
x
dx
y
y
y
dy
x y
Fy 0
(
y
y
y
u y
整理得：
O
x
u x
P
v
y
v y
（9）
dy
xy
v x
u y
——几何方程
y
说明：
v v dy y
（1） 反映任一点的位移与该点应变间的 关系，是弹性力学的基本方程之一。
x
u
dx
P A
B
B
u u dy y
u u dx x
v v dx x
A
（2） 当 u、v 已知，则 x , y , xy 可完全确定；反之，已知 x , y , xy，
设 z方向为无限长，则 x, x, u, 沿 z 方向都不变化，
仅为 x，y 的函数。 任一横截面均可视为对称面
因为任一横截面均可视为对称面，则有
w0
所有各点的位移矢量都平行于 x y 平面。
—— 平面位移问题
z 0 zy yz 0 zx xz 0